Một số phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân

Khóa luận tốt NHD: TS.Nguyễn Văn LI CM N hồn thành khóa luận tốt nghiệp này, trước hết em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Tốn, thầy tổ giải tích tạo điều kiện, giúp đỡ em thời gian vừa qua Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng tận tình hướng dẫn, bảo cho em suốt q trình nghiên cứu khóa luận Em xin chân thành cảm ơn Hà Nội, ngày 25 tháng năm 2013 Sinh viên Trần Hồng Hạnh TrÇn Hång H¹nh –K35G SP LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khóa luận cơng trình nghiên cứu riêng em Trong nghiên cứu, em kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với trân trọng biết ơn Những kết nêu khóa luận chưa cơng bố cơng trình khác Hà Nội, ngày 25 tháng năm 2013 Sinh viên Trần Hồng Hạnh MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .3 §1 SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ Khái niệm số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tương đối .3 Sai số tính tốn Bài toán ngược toán sai số §2 SAI PHÂN Định nghĩa tính chất Một số công thức nội suy sử dụng sai phân 10 §3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 12 Một số khái niệm 12 Một số phương trình vi phân biết cách giải 12 Định lí Pica – Lindolov (định lí tồn nghiệm) .14 Phương trình vi phân cấp chưa giải đạo hàm 16 Cách giải số phương trình vi phân cấp cao 18 Chương 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 24 §1 PHƯƠNG PHÁP EULER VÀ EULER CẢI TIẾN 24 Phương pháp Euler 24 Phương pháp Euler cải tiến 26 §2 PHƯƠNG PHÁP RUNGE – KUTTA 29 Trường hợp m = 31 Trường hợp m = 31 Trường hợp m = 33 Trường hợp m = 35 Phương pháp Runge – Kutta áp dụng để giải hệ phương trình vi phân cấp hay phương trình vi phân cấp cao 39 Chương 3: BÀI TẬP ÁP DỤNG 41 KẾT LUẬN 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 LỜI NĨI ĐẦU Thoạt đầu, tốn học phát sinh nhu cầu giải tốn có nguồn gốc thực tiễn Cùng với phát triển nội toán học ngành khoa học khác, toán học chia thành hai lĩnh vực: tốn học lí thuyết toán học ứng dụng Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp nhiều toán liên quan tới phương trình vi phân thường Vì vậy, nghiên cứu phương trình vi phân thường đóng vai trò quan trọng lí thuyết tốn học Chúng ta biết có số phương trình vi phân thường tìm nghiệm xác, phần lớn phương trình vi phân thường nảy sinh từ tốn thực tiễn khơng tìm nghiệm xác Do dó, số vấn đề đặt tìm phương pháp để xác định nghiệm gần phương trình vi phân thường Xuất phát từ nhu cầu thực tiễn đó, nhà tốn học tìm nhiều phương pháp để giải gần phương trình vi phân thường Trong phương pháp đó, người ta phân làm nhóm: nhóm thứ gọi phương pháp giải tích cho phép tìm nghiệm gần dạng biểu thức giải tích, nhóm thứ hai gọi phương pháp số cho phép tìm nghiệm dạng bảng Là sinh viên khoa Tốn, khn khổ khóa luận, em xin trình bày hiểu biết số phương pháp số giải gần phương trình vi phân thường Được hướng dẫn tận tình Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng với lòng nhiệt tình say mê nghiên cứu khoa học, em chọn đề tài: “Một số phương pháp giải gần phương trình vi phân” Em sâu nghiên cứu hai phương pháp số: phương pháp Euler Euler cải tiến, phương phỏp Runge Kutta Trần Hồng Hạnh K35G SP Nội dung khóa luận gồm ba chương Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Chương 2: Một số phương pháp giải gần phương trình vi phân Chương 3: Bài tập áp dụng Do thời gian lực có hạn nên khóa luận em nhiều thiếu sót, kính mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô giáo bạn sinh viên Hà Nội, ngày 25 tháng năm 2013 Sinh viên Trần Hồng Hạnh Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1 SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ Khái niệm số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tương đối a, Số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tương đối Trong thực tế tính tốn, ta thường số a biết số gần a * a Đại lượng thực a Do * a a * mà gọi sai số * a nên  khơng biết, ta tìm a  cho a*  a  a ; (1.1) Số a nhỏ thỏa mãn (1.1) gọi sai số tuyệt đối a Tỷ số a  a gọi sai số tương đối a a Ví dụ Giả sử a  3,14; a   * * Do 3,14  a  3,15  3,14  0,01 nên a  0,01 * Mặt khác 3,14  a  3,142  3,14  0,002 nên a  0,002 Trong phép đo nói chung, sai số tuyệt đối nhỏ tốt b Ví dụ Đo độ dài hai đoạn thẳng AB, CD ta a  10 cm cm, với a  b  0,01 Khi đó, ta có 0, 01 a  0,1%; 10 0, 01 b  1% hay b  10 a Hiển nhiên phép đo a xác phép đo b a  b Vậy độ xác phép đo phản ánh qua sai số tương đối b, Sự thu gọn số, sai số thu gọn Xét số thập phân a biểu diễn dạng a   10 p  p    9,   Z ,  i p1    p s 10 p s  a số nguyên Nếu p  s  m,(m  0) Nếu s   10 số nguyên i Nếu p  s  p1 a có phần lẻ gồm m chữ số a số thập phân vô hạn 1 Chẳng hạn a  597,36  5.10  9.10  7.10  3.10  6.10 Ở p  2, s  4,   5,   9,   7,  1  3,   2  , ta thấy p  s  2 nên a  597,36 số thập phân có phần lẻ gồm hai chữ số *) Thu gọn a vứt bỏ số chữ số hàng bên phải biểu diễn a để số gần a gọn hơn, đảm bảo độ xác cần thiết *) Quy tắc thu gọn Giả sử a   10 p    10 j    p p s j 10 ps ta giữ lại đến số hạng thứ j Gọi phần vứt bỏ  , ta đặt a   p.10 p    j 1 10 j 1   j.10 j j   j 1 0,5.10    10  j j   j    0,5.10 Nếu   0,5.10 j  j   j j  j chẵn  j   j 1  lẻ tính tốn với số chẵn tiện Ví dụ   3,141592  3,14159  3,1416  3,142  3,14  3,1  j Sai số thu gọn a  số thỏa mãn điều kiện a  a  a Chương BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài Bằng phương pháp Euler tìm nghiệm gần phương trình sau a, y'  y  1; y(0)  0; h  0,1; x [0;0,5] b, y'  x  y  2; y(0)  0; h  0,2; x [0;1] y c, y'   ; y(1)  1; h  0,1; x [1;0,5] x d, y'  y sin x ; y(0)  1; h  0,1; x [0;0,5] e, y'  xy 2x ; y(1)  2; h  0,1; x [1;2] Bài làm a, Áp dụng công thức (2.3) , ta có bảng sau i xi yi f (xi , yi ) fi  hf (xi , yi ) y(x i )  e  0 0,1 0,1 0,1 1,1 0,11 0,1052 0,2 0,21 1,21 0,121 0,2214 0,3 0,331 1,331 0,1331 0,3499 0,4 0,4641 1,4641 0,1464 0,4918 0,5 0,6105 1,6105 0,1611 0,6487 i b, Ta có bảng sau i xi yi f (xi , yi ) fi  hf (xi , yi ) y(xi )  xi  2xi 0 -2 -0,4 0,2 -0,4 -1,56 -0,312 -0,36 0,4 -0,712 -1,128 -0,2256 -0,64 0,6 -0,9376 -0,7024 -0,1405 -0,84 0,8 -1,0781 -0,2819 -0,0564 -0,96 -1,1345 0,1345 0,0269 -1 fi  hf (x i , yi ) c, Ta có bảng sau i xi yi f (xi , yi ) -1 -1 -1 -0,1 -1 -0,9 -1,1 -1,2222 -0,1222 -1,1111 -0,8 -1,2222 -1,5278 -0,1528 -1,25 -0,7 -1,375 -1,9643 -0,1964 -1,4286 -0,6 -1,5714 -2,619 -0,2619 -1,6667 -0,5 -1,8333 -3,6666 -0,3667 -2 y(x i )  xi d, Ta có bảng sau y(x )  i xi yi f (xi , yi ) fi  hf (x i , yi ) 0 0 1 0,1 0,0998 0,01 1,005 0,2 1,01 0,2027 0,0203 1,0203 0,3 1,0303 0,3137 0,0314 1,0468 0,4 1,0617 0,439 0,0439 1,0857 0,5 1,1056 0,5860 0,0586 1,1395 i cos x i e, Ta có bảng sau i xi yi f (xi , yi ) fi  hf (x i , yi ) 1,5 0,15 y(xi )  xi  xi 1,1 2,15 1,4773 0,1477 2,1488 1,2 2,2977 1,4574 0,1457 2,2954 1,3 2,4434 1,4398 0,144 2,4402 1,4 2,5874 1,4241 0,1424 2,5832 1,5 2,7298 1,4099 0,141 2,7247 1,6 2,8708 1,3971 0,1397 2,8649 1,7 3,0105 1,3854 0,1385 3,004 1,8 3,149 1,3747 0,1375 3,1416 1,9 3,2865 1,3649 0,1365 3,2784 10 3,423 1,3558 0,1356 3,4142 Bài Bằng phương pháp Euler cải tiến, giải gần phương trình sau a, y'  y ; y(1)  0,5; h  0,1; x [1;0,5] 1 x b, y'  y  2x ; y(0)  1; h  0,1; x [0;1] y c, y'  xy  y ; y(0)  1; h  0,1; x [0;0,5] d , y'  y ; y(0)  1; h  0,1; x [0;0,5] Bài làm a, Áp dụng cơng thức (2.5) , ta có bảng sau f (x , y ) yi f  xi , yi  0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 -0,9 0,525 0,2763 0,5263 0,277 0,5263 -0,8 0,554 0,3078 0,5555 0,3086 0,5556 * i xi y -1 * i 1 i 1 i 1 y 1x -0,7 0,5864 0,3449 0,5882 0,346 0,5882 -0,6 0,6228 0,3893 0,625 0,391 0,625 -0,5 0,6641 0,4427 0,6667 0,4445 0,6667 b, Ta có bảng sau * f (x , y ) yi f (xi , yi ) 1 1 0,1 1,1 0,9182 1,096 0,9135 1,0954 0,2 1,1874 0,8505 1,1842 0,8464 1,1832 0,3 1,2688 0,796 1,2663 0,7925 1,265 0,4 1,3456 0,7511 1,3435 0,748 1,3416 0,5 1,4183 0,7132 1,4166 0,7107 1,4142 0,6 1,4877 0,6811 1,4862 0,6788 1,4832 0,7 1,5541 0,6533 1,5528 0,6512 1,5492 0,8 1,618 0,6291 1,6168 0,6272 1,6125 0,9 1,6795 0,6077 1,6785 0,6061 1,6733 10 1,7391 0,5891 1,7383 0,5878 1,7321 i xi 0 * i 1 y i 1 i 1 y 2x  c, Ta có bảng sau * 1x f (x , y ) yi f (xi , yi ) 1 1 0,1 1,1 1,221 1,1111 1,2346 1,1111 0,2 1,2346 1,5394 1,2498 1,5622 1,25 0,3 1,4060 1,9991 1,4279 2,0396 1,4286 0,4 1,6319 2,6971 1,6647 2,7732 1,6667 0,5 1,9420 3,8277 1,9947 3,9841 i xi 0 y * i1 i 1 i 1 y d, Ta có bảng sau f (x , y ) yi f x , y  -1 -1 -1 0,1 -0,9 0,81 -0,9095 0,8272 -0,9091 0,2 -0,8268 0,6836 -0,834 0,6956 -0,8333 0,3 -0,7644 0,5843 -0,77 0,5929 -0,7692 0,4 -0,7107 0,5051 -0,7175 0,5114 -0,7143 0,5 -0,664 0,4409 -0,6675 0,4456 -0,6667 i xi y 0 * i1 * i 1 i 1 i i 1 1x y Bài Bằng công thức Runge – Kutta với độ xác 0(h ) , giải gần toán sau a, y'  y cos x ; y(0)  1; h  0,1; x [0;0,3] b, y'  x  y ; y(0)  1; h  0,1; x [0;0,5] c, y'  xy ; y(0)  1; h  0,2; x [0;1] 2 d , y'  x  y ; y(0)  0; h  0,2; x [0;1] e, y'  y  x ; y(0)  0; h  0,1; x [0;0,5] Bài làm a, Ta có bảng tính sau i x y k  hf (x, y) y 0,1 0,105 0,05 1,05 0,1049 0,05 1,0525 0,1051 0,1 1,1051 0,11 0,1 1,105 0,11 0,1148 0,15 1,16 0,1147 0,15 1,16240 0,1149 0,2 1,2199 0,1196 0,2 1,2198 0,1195 0,25 1,2796 0,124 0,25 1,2818 0,1242 0,3 1,344 0,1284 0,3 1,3439 0,1284 0,1284 0,1241 Các giá trị gần nhận y0  ; y  1,105 ; y  1,2198 ; y  1,3439 b, Ta có bảng sau i x y k  hf (x, y) y -1 -0,2 -0,2211 0,05 -1,1 -0,2198 0,05 -1,1099 -0,2217 0,1 -1,2217 -0,2433 0,1 -1,2211 -0,2432 0,15 -1,3427 -0,2663 0,15 -1,3543 -0,2686 0,2 -1,4897 -0,2939 0,2 -1,4889 -0,2938 0,25 -1,6358 -0,3209 0,25 -1,6494 -0,3236 0,3 -1,8125 -0,3535 0,3 -1,8116 -0,3533 0,35 -1,9883 -0,3854 -0,2678 -0,3227 -0,3876 0,35 -2,0043 -0,3886 0,4 -2,2002 -0,424 0,4 -2,1992 -0,4238 0,45 -2,4111 -0,462 0,45 -2,4302 -0,4658 0,5 -2,665 -0,508 0,5 -2,6638 -0,5078 -0,4646 -0,5078 Các giá trị gần nhận y0  1; y1  1,2211; y2  1,4889; y3  1,8116; y4  2,1992; y5  2,6638 c, Ta có bảng sau i x y k  hf (x, y) y 0,0067 0,1 0,0067 0,1 1,0034 0,0067 0,2 1,0067 0,0134 0,2 1,0067 0,0134 0,3 1,0134 0,0203 0,3 1,0169 0,0203 0,4 1,027 0,0274 0,4 1,027 0,0274 0,5 1,0407 0,0347 0,5 1,0444 0,0348 0,6 1,0618 0,0425 0,6 1,0618 0,0425 0,7 1,0831 0,0505 0,0203 0,0348 0,0507 0,7 1,0871 0,0507 0,8 1,1125 0,0593 0,8 1,1125 0,0593 0,9 1,1422 0,0685 0,9 1,1468 0,0688 1,1813 0,0788 1,1813 0,0788 0,0688 0,0788 Các giá trị gần nhận y0  1; y1  1,0067; y2  1,027; y3  1,0618; y4  1,1125; y5  1,1813 d, Ta có bảng sau i x y 0 0,1 0,002 0,1 0,001 0,002 0,2 0,002 0,008 0,2 0,0027 0,008 0,3 0,0067 0,018 0,3 0,0117 0,018 0,4 0,0207 0,0321 0,4 0,0214 0,0321 0,5 0,0375 0,0503 0,5 0,0466 0,0504 0,6 0,0718 0,073 0,6 0,0725 0,0365 0,7 0,0908 0,0996 0,7 0,1223 0,101 k  hf (x, y) y 0,0027 0,0187 0,0511 0,0953 0,8 0,1735 0,134 0,8 0,1678 0,1336 0,9 0,2346 0,173 0,9 0,2543 0,1749 0,3427 0,2235 0,3433 0,2236 0,1755 0,2236 Các giá trị gần nhận y0  0; y1  0,0027 ; y2  0,0214 ; y3  0,0725 ; y4  0,1678 ; y5  0,3433 e, Ta có bảng sau i x y k  hf (x, y) y 0 0,0202 0,05 0,0224 0,05 0,0112 0,0224 0,1 0,0224 0,0317 0.1 0,0202 0,0317 0,15 0,0361 0,0389 0,15 0,0397 0,0389 0,2 0,0591 0,0451 0,2 0,0589 0,0451 0,25 0,0815 0,0507 0,25 0,0843 0,0507 0,3 0,1096 0,056 0,3 0,1096 0,056 0,35 0,1376 0,0611 0,35 0,1402 0,0611 0,4 0,1707 0,0662 0,0387 0,0507 0,0611 0,4 0,1707 0,0662 0,45 0,2038 0,0712 0,45 0,2419 0,0729 0,5 0,2436 0,0766 0,5 0,2425 0,0766 0,0718 0,0766 Các giá trị gần nhận y0  ; y1  0,0202 ; y2  0,0589 ; y3  0,1096 ; y4  0,1707 ; y5  0,2425 Bài Giải toán y" xy' x  ; y(0)  ; y'(0)  ; h  0,1 ; x [0;0,5] Bài làm Đặt y'  z Bài toán tương đương với việc giải hệ phương trình cấp sau  y'  z   z'  xz  x2 với điều kiện ban đầu y(0)  1; z(0)  Từ giá trị ( y0 , z0 )  (1,1) muốn tính tiếp giá trị ( yi , zi ) , ta phải tính yi , zi Nghiệm tìm đoạn [0;0,5] với h  0,1 Đặt f  f (x, y, z)  z ; g  g(x, y, z)  xz  x2 , ta có bảng sau Trần Hồng Hạnh K35G SP 81 i x y z k  hf l  hg y z 1 0,1 0,0998 -0,0053 0,05 1,05 0,1 -0,0053 0,05 1,05 0,9974 0,0997 -0,0052 0,1 1,0997 0,9948 0,0995 -0,0109 0,1 1,0998 0,9947 0,0995 -0,0109 0,0987 -0,0171 0,15 1,1496 0,9893 0,0989 -0,0171 0,15 1,1493 0,9862 0,0986 -0,017 TrÇn Hång H¹nh –K35G SP 82 0,2 1,1984 0,9777 0,0978 -0,0236 0,2 1,1985 0,9776 0,0978 -0,0236 0,25 1,2474 0,9658 0,0966 -0,0304 0,25 1,2468 0,9624 0,0962 -0,0303 0,3 1,2947 0,9473 0,0947 -0,0374 0,3 1,2949 0,9472 0,0947 -0,0374 0,35 1,3423 0,9285 0,0929 -0,0447 0,35 1,3414 0,9249 0,0925 -0,0446 0,4 1,3874 0,9026 0,0903 -0,0521 0,4 1,3875 0,9025 0,0903 -0,0521 0,45 1,4327 0,8765 0,0877 -0,0597 0,45 1,4314 0,8727 0,0873 -0,0595 0,5 1,4748 0,843 0,0843 -0,0672 0,5 1,4749 0,8429 0,0843 -0,0671 0,0964 -0,0304 0,0926 -0,0447 0,0874 -0,0596 0,0843 -0,0671 Các giá trị gần nhận y0  y2  1,1985  y1  1,0998 ;  ; ; z  z  0,9947 z  0,9776 0 1 2  y3  1,2949  y4  1,3875  y5  1,4749  ; ; z3  0,9472 z4  0,9025 z  0,8429 5  Bài tập tự giải Bài Bằng phương pháp Euler giải toán sau a, y'  y ; y(0)  1; h  0,1; x [0;1] b, y'  x  y ; y(0)  0; h  0,1; x [0;0,5] Bài Bằng phương pháp Euler cải tiến giải toán sau a, y'  sin x  cos y ; y(0)  0; h  0,1; x [0;0,5] b, y'  x  y  2; y(1)  3; h  0,1; x [1;0] Bài Bằng công thức Runge – Kutta với độ xác 0(h ) , giải gần toán sau a, y'  sin x  cos y ; y(0)  0; h  0,2; x [0;1] 2 b, y'  2x  y ; y(0)  0; h  0,1; x [0;0,5] Bài Giải toán a, y" xy' y  0; y(0)  0; y'(0)  1; h  0,2; x [0;1] b, y"0,2 y'10 sin y  0; y(0)  0,3; y'(0)  0; h  0,1; x [0;0,5] KẾT LUẬN Ngày nay, toán học ứng dụng dần phổ cập cách rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học phương trình vi phân theo hướng ngày ứng dụng rộng rãi Do đó, để đáp ứng nhu cầu thực tiễn phương pháp giải gần phương trình vi phân thường phải ngày tối ưu hóa mặt tính tốn mặt xác Trong khóa luận tốt nghiệp này, phần kiến thức số gần sai số, sai phân, phương trình vi phân thường, em nêu hai phương pháp thông dụng phương pháp giải gần phương trình vi phân là: phương pháp Euler Euler cải tiến; phương pháp Runge – Kutta, cuối số tập minh họa việc sử dụng hai phương pháp Các phương pháp giải gần phương trình vi phân phong phú nên em đề cập đến hai phương pháp Ngay hai phương pháp đề cập, lực thân có hạn với khn khổ khóa luận nên em khơng thể sâu rộng Do đó, khóa luận nhiều hạn chế, thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo bạn đọc Cuối cùng, em xin trân trọng cảm ơn Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hoàn thành đề tài TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Kỳ Anh, Giải tích số, Nxb ĐHQG Hà Nội, 1996 Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường, Giải tích số, Nxb GD, 2000 Phan Văn Hạp, Lê Đình Thịnh, Phương pháp tính thuật tốn, Nxb GD, 2000 Phan Văn Hạp, Các phương pháp gần đúng, ĐH & THCN, 1981 Phan Văn Hạp, Hoàng Đức Ngun, Lê Đình Thịnh, Phương pháp tính, phần tập, KH & KTHN, 1996 ... số phương trình vi phân cấp cao 18 Chương 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 24 §1 PHƯƠNG PHÁP EULER VÀ EULER CẢI TIẾN 24 Phương pháp Euler 24 Phương. .. b, Phương trình vi phân cấp y'   y  f Giả thiết hàm số xác định với x    x Để giải phương trình ta đặt u phương trình vi phân có biến số phân li y x , sau đưa vi c giải c, Phương trình. .. cứu khoa học, em chọn đề tài: Một số phương pháp giải gần phương trình vi phân Em sâu nghiên cứu hai phương pháp số: phương pháp Euler Euler cải tiến, phương pháp Runge – Kutta Trần Hồng Hạnh