Một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân và ứng dụng

LèI CÁM ƠN Lu¾n văn đưoc hồn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2, dưói sn hưóng dan cna TS Khuat Văn Ninh Tác giá xin đưoc bày tó lòng biet ơn sâu sac tói TS Khuat Văn Ninh, ngưòi thay ln t¾n tình chí báo, đ®ng viên khuyen khích tác giá nhung ngày đau làm quen vói nghiên cúu khoa hoc q trình thnc hi¾n bán lu¾n văn Đong thòi, tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói thay giáo Khoa Tốn, Đai hoc sư pham Hà N®i thay tham gia giáng day cao hoc chun ngành Tốn giái tích giúp đõ tác giá suot thòi gian hoc t¾p tù nhung năm sinh viên cho đen ngày hôm Thêm nua, tác giá xin chân thành cám ơn đong nghi¾p Khoa tn nhiên, Trưòng Cao sư pham Vĩnh Phúc (nơi tác giá mói nh¾n cơng tác) tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá nhung khống thòi gian cuoi cựng hon thnh bỏn luắn ny H Nđi, ngy 30 tháng năm 2010 Tác giá LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi dưói sn hưóng dan cna T.S Khuat Văn Ninh Trong nghiên cúu lu¾n văn, tơi ke thùa thành khoa hoc cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn M®t so ket đat đưoc lu¾n văn mói chưa tùng đưoc cơng bo bat kỳ cơng trình khoa hoc cna khác Hà N®i, ngày 30 tháng năm 2010 Tác giá Mnc lnc Lài má đau 1 M®t so kien thNc liên quan 1.1 Các khái ni¾m bán cna giái tích hàm 1.1.1 Không gian metric 1.1.2 Không gian đ%nh chuan 1.1.3 Không gian Hilbert 1.2 Khái ni¾m ve phương trình tích phân .10 1.2.1 Phương trình tốn tú 10 1.2.2 Phương trình tích phân 10 1.2.3 M®t so điem ý 12 M®t so phương pháp giái gan phương trình tích phân 14 2.1 Phương pháp nhân suy bien .14 2.1.1 Phương pháp 14 2.1.2 Các ví du 17 iii 2.2 Phương pháp Fredholm thay phiên .20 2.2.1 Phương pháp 20 2.2.2 Ví du .21 2.3 Phương pháp xap xí nhân 23 2.3.1 Phương pháp 24 2.3.2 Các ví du 27 2.4 Phương pháp xap xí liên tiep 31 2.4.1 Lưoc đo l¾p 31 2.4.2 Phương trình tích phân Volterra .36 2.4.3 Ví du .37 2.5 Phương pháp Galerkin 39 2.5.1 Phương pháp 39 2.5.2 Moi liên h¾ giua phương pháp Galerkin vói phương pháp nhân suy bien 41 2.5.3 Ví du .44 2.6 Phương pháp cau phương 56 2.6.1 Phương pháp 56 2.6.2 Ví du .57 Úng dnng 58 3.1 Úng dung vào phương trình vi phân thưòng 58 3.1.1 Bài toán giá tr% ban đau 58 3.1.2 Bài toán giá tr% biên 61 3.1.3 Ví du .63 3.2 Úng dung giái so bang l¾p trình Maple 12 64 3.2.1 Phương pháp nhân suy bien 65 3.2.2 Phương pháp xap xí nhân 70 3.2.3 Phương pháp xap xí liên tiep .75 3.2.4 Phương pháp Galerkin 77 3.2.5 Phương pháp cau phương 86 Ket lu¾n 88 Tài li¾u tham kháo 89 BÁNG KÝ HIfiU N T¾p so tn nhiên N∗ T¾p so tn nhiên khác khơng Q T¾p so huu tý R T¾p so thnc Z T¾p so nguyên C T¾p so phúc Rk Khơng gian thnc k chieu C[a;b] T¾p tat cá hàm so thnc liên tuc [a, b] C[a;b] T¾p tat cá hàm so thnc liên tuc tích [a, b] L D[a;b] T¾p tat cá hàm so xác đ%nh có đao hàm liên tuc đen k cap k [a, b] "." Chuan ∅ T¾p hop rong LèI Mé ĐAU Lý chon đe tài Rat nhieu tốn v¾t lý thưòng đưoc giái bang phương pháp phương trình vi phõn eu cú the giỏi mđt cỏch hiắu quỏ hn bang cách sú dung phương trình tích phân Th¾t v¾y, phương pháp sú dung phương trình tích phân đưoc xuat hiắn nhieu ti liắu vúi mđt tan suat tng dan cung cap nhung lòi giái cho tốn mà se g¾p khó khăn neu giái bang nhung phương pháp bán cna phương trình vi phân Nhung tốn v¾y xuat hi¾n rat nhieu nhung lĩnh vnc úng dung nhung phương pháp đưoc kháo sát lu¾n văn se rat huu ích tốn hoc úng dung, v¾t lý tốn lý thuyet Phương trình tích phân đem đen m®t kĩ thu¾t hi¾u cho vi¾c giái quyet rat nhieu nhung tốn thnc te khác M®t nhung lí cna ích loi tat cá nhung đieu kiắn ban au v ieu kiắn biờn cna mđt bi tốn phương trình vi phân đeu có the gói gon lai m®t phương trình tích phân đơn Sn thay the m®t mơ hình tốn hoc phúc tap cna m®t tỡnh huong vắt lớ thnh mđt phng trỡnh tớch phõn đơn m®t bưóc tien đáng ke rat nhieu nhung loi ích cna vi¾c thay the phép tính vi phân bói phép tính tích phân M®t nhung loi the náy sinh bói phép tính tích phõn l mđt quỏ trỡnh uyen chuyen oc the hiắn q trình tìm nghi¾m xap xí Neu ta can tìm m®t lòi giái xác hay gan cna tốn cho trưóc phương trình tích phân m®t phương pháp huu ích đưoc trơng đoi Cũng bói lí mà phương trình tích phân thu hút đưoc sn ý cna nhà toán hoc phan lón thòi gian cna the kí trưóc đau the kí này, lí thuyet cna phát trien rat manh me Cùng vói mong muon hieu biet sâu ve van đe này, dưói sn hưóng dan cna TS Khuat Văn Ninh, tơi manh dan chon đe tài nghiên cúu: M®T SO PHƯƠNG PHÁP GIÁI GAN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VÀ ÚNG DUNG Bo cuc cna lu¾n văn bao gom chương: Chương cna luắn trỡnh by mđt so khỏi niắm cna giái tích hàm khái ni¾m ve phương trình tích phân Cuoi chương trình bày m®t so điem ý Chng cna luắn trung trỡnh by mđt so phương pháp giái phương trình tích phân tuyen tính Chương cna lu¾n văn trình bày úng dung cna phương trình tích phân vào giái phương trình vi phân úng dung giái so bang l¾p trình Maple 12 Mnc đích nghiên cNu Xây dnng phương pháp giái gan phương trình tích phân úng dung cna nhung phương pháp thnc te Nhi¾m nghiên cNu Làm rõ nhung n®i dung can the hi¾n Qua đó, thay đưoc loi ích tính huu dung cna phương pháp Đoi tưang pham vi nghiên cNu Nghiên cúu phương trình tích phân ó phương di¾n giái xap xí nghi¾m úng dung cna vào thnc te Phương pháp nghiên cNu Nghiên cúu tài li¾u, suy lu¾n logic, phân tích tong hop DN kien đóng góp mái L¾p trình mỏy tớnh iắn tỳ giỏi mđt so phng trỡnh tớch phân Hà N®i, ngày 30 tháng năm 2010 Tác giỏ luắn Nguyen Th% Hoi Chng Mđt so kien thNc liên quan 1.1 Các khái ni¾m bán cúa giái tích hàm 1.1.1 Khơng gian metric Cho X l mđt tựy ý %nh ngha 1.1.1 Mđt metric X l mđt ỏnh xa d:XìXR cỳa tớch X × X vào đưòng thang thnc R, thóa mãn đieu ki¾n sau đây: 1) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X; 2) d(x, y) = ⇔ x = y; 3) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X; 4) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X M®t khơng gian metric l mđt hop cựng vúi mđt metric âsassass âsasssas 3.2.4 Phương pháp Galerkin âsassass âsasssas âsassass âsasssas âsasssas âsasssas âsasssas âsasssas âsasssas 3.2.5 Phương pháp cau phương âsasssas Ket lu¾n Lu¾n văn đe c¾p đen phương pháp giái phương trình tích phân N®i dung cna luắn bao gom Trỡnh by mđt so kien thúc giái tích hàm khái ni¾m phương trình tích phân Trình bày phương pháp bán giái phương trình tích phân, ví du minh hoa chi tiet cho tùng phương pháp Trình bày úng dung cna phương trình tích phân vi¾c giái phương trình vi phân Phan trình bày chương trình l¾p trình maple nhung thu¾t tốn giái phương trình tích phân nói 88 Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Pham Kỳ Anh (2005), Giái tích so, Nhà xuat bán Đai hoc quoc gia, Hà N®i [2] Phan Đúc Chính (1978), Giái tích hàm, Nhà xuat bán Đai hoc Trung hoc chuyên nghi¾p [3] Nguyen Minh Chương, Nguyen Văn Khái, Khuat Văn Ninh, Nguyen Văn Tuan, Nguyen Tưòng (2000), Giái tích so, Nhà xuat bán Giáo duc [4] Nguyen Minh Chương, Ya D Mamedov, Khuat Văn Ninh (1992), Giái xap xs phương trình tốn tú, Nhà xuat bán Khoa hoc ky thu¾t [5] Pham Huy Đien (2002),Tính tốn, L¾p trình giáng day tốn hoc Maple, Nhà xuat bỏn Khoa hoc v Ky thuắt H Nđi [6] Nguyen Phu Hy (2006), Giái tích hàm, Nhà xuat bán Khoa hoc ky thu¾t [A] Tài li¾u tieng Anh 89 90 [7] David Porter (1990), Integral equations, a practical treatment from spectral theory to applications, Cambridge University press [8] Michael A Golberg (1990), Numerical Solution of Integral Equations, Plenum Press, New York [9] Ram P Kanwal (1971), Linear Integral Equations, Academic press ... phương trình tích phân .10 1.2.1 Phương trình tốn tú 10 1.2.2 Phương trình tích phân 10 1.2.3 M®t so điem ý 12 M®t so phương pháp giái gan phương trình tích phân 14 2.1 Phương. .. phương trình tích phân Fredholm loai II Chương M®t so phương pháp giái gan phương trình tích phân 2.1 2.1.1 Phương pháp nhân suy bien Phương pháp Kí hi¾u X khơng gian Banach Trong X ta xét phương. .. chương trình bày m®t so điem ý Chương cna lu¾n văn t¾p trung trình bày m®t so phương pháp giái phương trình tích phân tuyen tính Chương cna lu¾n văn trình bày úng dung cna phương trình tích phân vào