Một số phương trình tích phân và ứng dụng

Phương trình tích phân trên không gian Hilbert là một mảng trong Giải tích hàm được xây dựng từ các bài toán thực tế trong Vật lý, Hóa học và nhiều khoa học ứng dụng khác.. Cụ thể như tr

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

NGÔ THỊ NGA

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

SƠN LA, NĂM 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình hoàn thành đề tài, em đã nhận được sự hướng dẫn tận tình của cô

giáo Thạc sĩ Phạm Thị Thái cùng các thầy cô giáo giảng dạy bộ môn Giải tích

Nhân đây em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo, đặc biệt là cô

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 1

3 Đối tượng nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 1

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn 2

6 Cấu trúc của khóa luận 2

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Không gian metric 3

1.1.1 Định nghĩa.: 3

1.1.2 Dãy trong không gian metric 3

1.1.3 Định nghĩa 3

1.2 Không gian định chuẩn 3

1.2.1 Định nghĩa 3

1.2.2 Tính chất 4

1.3 Không gian Hilbert 4

1.3.1 Định nghĩa 4

1.3.2 Bất đẳng thức Schwarz, chuẩn trên không gian tiền Hilbert 4

1.3.3 Đẳng thức hình bình hành 5

1.3.4 Định nghĩa 5

1.3.5 Hệ thống trực giao và trực chuẩn 5

1.3.6 Một số định lý 6

1.3.7 Cơ sở trực chuẩn 6

1.3.8 Toán tử tuyến tính trên không gian Hilbert 7

1.3.9 Toán tử tích phân 7

1.4 Phương trình vi phân 9

1.4.1 Phương trình vi phân cấp một 9

1.4.2 Phương trình vi phân cấp n 9

1.4.3 Định lý tồn tại duy nhất nghiệm 10

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 11

2.1 Một số định nghĩa 11

2.2 Một số bài toán dẫn tới phương trình tích phân 13

2.2.1 Bài toán “Cân bằng của thanh có tải trọng” 13

2.2.2 Bài toán “ Dao động tự do và cưỡng bức của thanh ” 14

2.3 Đưa phương trình vi phân về phương trình tích phân 15

2.4 Phương trình tích phân với hạch đối xứng 16

2.4.1 Định nghĩa Phương trình Fredholm loại 2 16

2.4.2 Xét sự tồn tại nghiệm 16

2.5 Phương trình tích phân với hạch thoái hóa 18

2.5.1 Định nghĩa 18

2.5.2 Xét sự tồn tại nghiệm 18

2.5.3 Định lý Fredholm 23

2.6 Phương trình tích phân với hạch không đối xứng 23

2.6.1 Định nghĩa Phương trình tích phân Fredholm loại 2 23

2.6.2 Xét sự tồn tại nghiệm 24

2.6.3 Định lý Fredholm 24

2.7 Phương trình Volterra 24

2.7.1 Giải phương trình Volterra bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp picar 24

2.7.2 Giải phương trình Volterra bằng phương pháp toán tử 34

2.8 Một số cách giải phương trình tích phân tuyến tính 39

2.8.1 Phương pháp đại số hóa 39

2.8.2 Phương pháp xấp xỉ 44

2.8.3 Phương pháp lặp liên tiếp 46

2.9 Ứng dụng phương trình tích phân Volterra vào giải phương trình vi phân 53

2.9.1 Phương trình tích phân Volterra 53

2.9.2 Giải phương trình vi phân cấp một 55

2.9.3 Giải phương trình vi phân cấp hai 56

KẾT LUẬN 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO

Phương trình tích phân trên không gian Hilbert là một mảng trong Giải tích hàm được xây dựng từ các bài toán thực tế trong Vật lý, Hóa học và nhiều khoa học ứng dụng khác Cụ thể như trong nghiên cứu tính đàn hồi, tính dẻo, nhiệt và sự thay đổi khối lượng của vật, lý thuyết dao động, lý thuyết xếp bảng, kỹ thuật điện, kinh tế, y học,…

Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu sắc hơn về phương trình tích phân, ứng dụng của phương trình tích phân và bước đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa

học, em đã chọn đề tài “Một số phương trình tích phân và ứng dụng”

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về Giải tích hàm đặc biệt về phương trình tích phân trên không gian Hilbert, ứng dụng của nó vào giải một số phương trình vi phân

Trên cơ sở đó hệ thống lại những kiến thức cần thiết về toán tử trên không gian Hilbert, từ đó trình bày cách giải một số phương trình tích phân và một số ứng dụng của

nó vào giải phương trình vi phân

3 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu về không gian Hilbert làm cơ sở cho việc nghiên cứu đối với phương trình tích phân trên không gian Hilbert, cụ thể là phương trình tích phân tuyến tính Sau

đó nghiên cứu về ứng dụng của nó vào việc giải phương trình vi phân

4 Phương pháp nghiên cứu

Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu liên quan tới nội dung của khóa luận Vận dụng các kiến thức cơ sở để hiểu về đối tượng chính cần nghiên cứu, từ đó phân tích, tổng hợp

2

rồi rút ra kết luận

Trao đổi với giáo viên hướng dẫn

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Khóa luận là tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên ĐHSP Toán về việc tìm hiểu sâu hơn về phương trình tích phân nhờ kiến thức cơ sở về Giải tích hàm và ứng dụng của

nó vào tìm nghiệm của một số phương trình vi phân

6 Cấu trúc của khóa luận

Ngoài lời nói đầu, mục lục, kết luận, tài liệu tham khảo nội dung khóa luận gồm hai chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này hệ thống lại các kiến thức về: Không gian metric, không gian định

chuẩn Trên cở sở đó nghiên cứu về không gian Hilbert

Chương 2 Một số trình tích phân và ứng dụng vào giải phương trình vi phân

Trong chương này trình bày định nghĩa và cách giải các phương trình tích phân:

Fredholm loại 1, Fredholm loại 2, Volterra loại 1, Volterra loại 2 và tập trung nhiều vào phương trình Fredholm loại 2 bởi ý nghĩa của nó Sau đó trình bày ứng dụng của phương

tích phân để giải các phương trình vi phân cấp một, cấp hai

3

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian metric

1.1.1 Định nghĩa Cho tập X  . Một metric trên X là hàm d: X  0, thỏa mãn các tính chất sau:

Khi đó X d được gọi là không gian metric , 

1.1.2 Dãy trong không gian metric

Cho X là không gian metric Dãy  x n  X được gọi là hội tụ về x nếu với mỗi số  0,tồn tại số nguyên dương n sao cho 0  n n0d x x n,  và ký hiệu lim n

Dãy  x n  X được gọi là dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu với mỗi số  0, tồn tại số nguyên dương n sao cho 0 n m, n0 d x x n, m 

Nhận xét Dãy Cauchy trong không gian metric luôn hội tụ

1.1.3 Định nghĩa Không gian metric được gọi là đầy đủ nếu với mọi dãy Cauchy trong

nó đều hội tụ về phần tử thuộc nó

1.2 Không gian định chuẩn

1.2.1 Định nghĩa Cho X là một không gian vectơ trên trường K (thực hoặc phức),

được gọi là một chuẩn trên X cặp  X , được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn

và thường gọi là không gian định chuẩn

4

1.2.2 Tính chất

+) d x y   ,   x y ,  x y ,   X ,  là một metric trên X

+) Trong một không gian tuyến tính định chuẩn X

i) Phép cộng và phép nhân vô hướng là một ánh xạ liên tục

ii) Chuẩn . là một hàm số liên tục trên X

1.3 Không gian Hilbert

1.3.1 Định nghĩa Cho E là một không gian vectơ trên trường K hàm ,

i g x, y g y,x , x, y E.

ii g x y,z g x,z g y,z , x, y,z E.

iii g x, y g x, y , x, y E, K iiii g x,x , x E,g x,x x E.

1.3.2 Bất đẳng thức Schwarz, chuẩn trên không gian tiền Hilbert

Kí hiệu x  x x, , với mọi x  E thì ta có

x y  x y  x y  E (1.1) Bất đẳng thức trên được gọi là bất đẳng thức Schwarz

Nếu E, ,  là không gian tiền Hilbert thì E là không gian định chuẩn với chuẩn

x  x x, , x E (1.2) Thật vậy

i  x x x   x  x x 

và x  0 x x,  0 x x,    0 x 0 E.

ii) Với   K, x E ta có

Nhận xét Mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian định chuẩn và chuẩn xác định

như trên gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng được xác định theo (1.2)

1.3.3 Đẳng thức hình bình hành

2 x  y   x y   x y ,  x y ,  E (1.3)

1.3.4 Định nghĩa Không gian tiền Hilbert cùng với chuẩn xác định trên nó là không

gian đầy đủ được gọi là không gian Hilbert

Một hệ trực chuẩn  e n n trong không gian tích vô hướng E gọi là đầy đủ khi chỉ duy

nhất vectơ 0 trực giao với tất cả các phần tử của hệ nghĩa là xe n n1, 2,  kéo theo

Định lý 1.1 Giả sử  e n n là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert H và giả sử

 n n là một dãy các phần tử trong trường K Khi đó chuỗi

1

n n n

Hệ trực chuẩn B trong không gian tiền Hilbert E được gọi là một cơ sở trực chuẩn

của E nếu x E  có biểu diễn duy nhất

1

n n n

x   x



 , trong đó nE x, nlà các phần tử

đôi một phân biệt trong B

Nhận xét Mỗi dãy trực chuẩn đầy đủ là một cơ sở trực chuẩn

7

1.3.8 Toán tử tuyến tính trên không gian Hilbert

Giả sử H H là hai không gian Hilbert trên cùng trường 1, 2 K Ánh xạ

A gọi là toán tử liên hợp của toán tử A

Vì A bằng chuẩn của phiếm hàm * Ax y mà chuẩn của phiếm hàm này lại bằng A ,nên A  A*

Ví dụ Toán tử đồng nhất trên không gian Hilbert H là một toán tử tự liên hợp

i A A

ii A B A B iii AB B A





Toán tử đối xứng

Định nghĩa Toán tử liên tục A từ không gian Hilbert H vào chính nó gọi là đối xứng

nếu toán tử liên hợp của nó là chính nó

Trước hết ta có thể thấy rằng đó là một toán tử tuyến tính liên tục trong L 2a b, Thật vậy, cho    2

,

b

a

k t  K t s ds khả tích theo t và tích phân của 2 

k t

 2 2

L và do tích phân là tuyến tính đối

với các hàm nên A là tuyến tính và do có (1.6)nên ta có được

 

1 2 2

Nghiệm Hàm y  x xác định và khả vi trên khoảng (a,b) được gọi là nghiệm của

Trong phương trình (1.9) có thể vắng mặt   1

, , ', , yn

x y y  nhưng  

yn nhất thiết phải có mặt Nếu từ (1.9) ta giải ra được đạo hàm cấp cao nhất, tức là phương trình (1.9) có dạng

Đường cong y  y x ( ), x  ( , ) a b gọi là đường cong tích phân của phương trình đã cho Để giải phương trình vi phân ta cũng dùng thuật ngữ “Tích phân phương trình vi phân” vì lý do này

Bài toán Cauchy

Bài toán tìm nghiệm y  y x ( ) của phương trình (1.9) hay (1.10) xác định trên

khoảng (a,b) nào đó thỏa mãn điều kiện:

0 ( ),0 0 ( ), ,0 0n n ( )0

y  y x y  y x y   y  x (1.11) được gọi là bài toán Cauchy Điều kiện (1.11) được gọi là điều kiện ban đầu

1.4.3 Định lý tồn tại duy nhất nghiệm

Giả sử trong miền n 1

E  hàm f u u 1, 2, ,u n liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipsit theo u u1, 2, ,u Khi đó với bất kì điểm trong n  ,  1 

0, 0, 0, , y0n

x y y  E tồn tại duy nhất nghiệm y y x  của phương trình (1.10) thỏa mãn điều kiện ban đầu

11

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

là các hàm cho trước

Phương trình mà f x 0 được gọi là phương trình thuần nhất

có một số tính chất khác biệt mà các phương trình Fredholm tùy ý không có được

13

Lý thuyết các phương trình Fredholm loại 1 phức tạp hơn các phương trình Fredholm loại 2 mà lại không có nhiều ý nghĩa vì vậy ta chủ yếu xét các phương trình Fredholm loại 2

2.2 Một số bài toán dẫn tới phương trình tích phân

2.2.1 Bài toán “Cân bằng của thanh có tải trọng”

Xét bài toán: Cho thanh vật chất đàn hồi có độ dài ,l có thể uốn tự do nhưng chống

lại sự dãn Giả sử các đầu mút của thanh được gắn chặt tại vị trí cân bằng x0,xl Khi

đó ở vị trí cân bằng của thanh trùng với đoạn thẳng Ol của trục Ox

● ● ●

Giả sử tại vị trí x0  l ta đặt một lực thẳng đứng p p Dưới tác dụng của

lực p thanh bị lệch khỏi vị trí cân bằng và có dạng như hình vẽ:

● ● ●



p

Bây giờ yêu cầu là hãy tìm độ lệch  tại điểm  của thanh dưới tác dụng của lực p

Gọi sức căng của thanh là T Nếu lực p nhỏ hơn lực căng dây 0 0 của thanh không tải (tức thanh ở vị trí cân bằng) thì hình chiếu của lực căng của thanh có tải có thể coi bằng

0

 như trước, khi đó từ điều kiện cân bằng của thanh ta có

tan 1 tan 2 0

p     Góc  1, 2 rất nhỏ nên có thể coi tan1 sin1, tan2 sin2

sin 1 sin 2 0, sin 1 , sin 2

 

 

 

, 0,

u x của thanh có tải trọng

Ngược lại xét bài toán: Tìm cách phân bố tải trọng p  khi thanh có dạng u x đã cho  

Với hàm cần tìm p  ,ta thu được phương trình Fredholm loại 2

2.2.2 Bài toán “ Dao động tự do và cƣỡng bức của thanh ”

Giả sử thanh dao động mà không ở trạng thái tĩnh như ở bài toán 2.2.1, u x t , là vị

trí của thanh tại thời điểm t ở vị trí , x là mật độ (tuyến tính) của thanh Tại mỗi yếu tố

độ dài dx thanh có tác dụng một lực quán tính là

2.3 Đưa phương trình vi phân về phương trình tích phân

Một loạt các trường hợp giải các phương trình vi phân đưa về việc giải phương trình tích phân

Chúng ta biết rằng để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân cấp một

16

 0

2.4 Phương trình tích phân với hạch đối xứng

2.4.1 Định nghĩa Phương trình Fredholm loại 2

  khi n  Giả sử rằng bằng cách nào đó ta đã biết  e n và  n , khi ấy muốn

xác định  chỉ cần biết các hệ số ,e i của nó đối với hệ  e vì i

Bây giờ với giả thiết f e, i 0 cho mọi e ứng với i i 1, nghiệm của phương trình (2.5)

là

.1

số lấy theo các e có j j 1 Vì j 0 khi j  nên tồn tại

1sup1

f e e





 hội tụ

Đặt , là tổng của chuỗi ấy, còn tổng của chuỗi "j e jthì chỉ gồm một số hữu hạn hạng

tử, vì theo tính chất của toán tử hoàn toàn liên tục thì chỉ có thể có một số hữu hạn e với j

Điều này chứng tỏ (2.7)là nghiệm của (2.5)

Nhận xét ,, thuộc không gian con riêng ứng với giá trị riêng 1 nên ta có phát biểu sau:

- Nếu A không có giá trị riêng nào bằng 1 thì phương trình (2.5) có một nghiệm duy

nhất ( ,

1

i i i

i

f e e









 ) với mọi f cho trước

- Nếu A có giá trị riêng bằng 1 thì phương trình (2.5) chỉ có nghiệm khi f trực giao

với không gian con riêng ứng với giá trị riêng bằng 1 và khi đó nghiệm được xác định xê xích một phần tử tùy ý của không gian con riêng này

Qua những điều trên thấy rằng việc giải phương trình tích phân (2.4) hoặc (2.5)

trong trường hợp hạch đối xứng được quy về tìm vectơ riêng của toán tử A tương ứng

2.5 Phương trình tích phân với hạch thoái hóa

2.5.1 Định nghĩa Phương trình tích phân Fredholm loại 2

19

đem thay tổ hợp này vào p i0 x trong K x s thì vẫn được một biểu thức có dạng (2.9),  ,nhưng trong đó sẽ bớt đi được p i0 x , lặp lại phép toán đó một số lần cần thiết cuối cùng

ta sẽ được một biểu thức có dạng (2.7) trong đó các p x , cũng như i  q s đều độc lập i 

tuyến tính Với hạch K x s xác định bởi (2.9) ta có  ,

       

1

b m

- Nếu  mà D  0 thì hệ (2.13) có nghiệm duy nhất

- Nếu  mà D  0 thì hệ (2.13) hoặc là vô số nghiệm hoặc là vô nghiệm

Vì việc tìm nghiệm  của phương trình (2.10) được đưa về việc tìm các c theo hệ i

phương trình đại số (2.13), với giả thiết đã có xác lập một phép tương ứng giữa các tập nghiệm  của phương trình (2.10) với tập các nghiệm cc1, c m của hệ (2.13)

Thật vậy, với mỗi nghiệm  của (2.10) thì do tính độc lập của các nghiệm p x và cách i 

đặt các c ta hoàn toàn có thể xác định các i c , và các i c nghiệm đúng (2.13) và ngược lại từ i

(2.11) ta hoàn toàn có thể xác định được f từ cách đặt các , c ta suy ra i  này nghiệm đúng (2.10) Do đó việc khảo sát phương trình (2.10) hoàn toàn tương đương với việc khảo sát hệ

(2.13) Hơn nữa khi f 0 thì hệ thức (2.11) trở thành

1

m

i i i

c p

 



  , khi đó có một phép đẳng cấu giữa không gian tuyến tính tạo bởi các nghiệm của phương trình thuần nhất

1

0,

m

i i i

q g

  



   (2.17) Bằng lập luận tương tự như trước ta cũng thấy rằng việc khảo sát (2.17) hoàn toàn tương

tự với việc khảo sát phương trình đại số

   xác lập một phép tương ứng 1-1 giữa tập các nghiệm

 của phương trình (2.17) với tập các nghiệm   1, m của hệ thức (2.18) và khi 0

g  xác lập một phép đẳng cấu giữa không gian tuyến tính tạo thành bởi các nghiệm của phương trình thuần nhất

1

0

m

i i i

q

  



   (2.19) Với không gian tuyến tính các nghiệm của hệ thuần nhất

ấy muốn cho hệ (2.13) có nghiệm điều kiện cần và đủ là vectơ bf1, f m phải trực giao với mọi nghiệm   1, mcủa hệ thuần nhất (2.20)

Thật vậy cho e là vectơ m chiều mà thành phần thứ i là 1 i a ii còn thành phần thứ j i

là a ji ta thấy rằng vế thứ nhất của (2.20) chính là tích vô hướng   1, mtrực giao với mọi vectơ e e1, 2, ,e Do vậy đặt m M e1, ,e n thì N M, với N là không

gian con sinh bởi nghiệm  1, mcủa phương trình (2.20) Nếu hệ (2.11) có nghiệm thì vectơ bf1, f mM, do đó b N Ngược lại nếu b N thì bM , tức là tồn tại những số c c1, 2, ,c nghiệm đúng (2.11), do đó (2.11) có nghiệm m

Tương tự như thế muốn hệ (2.18) có nghiệm điều kiện cần và đủ là vectơ

 1, m

d  g g trực giao với mọi nghiệm của hệ (2.19) Nhưng để ý rằng điều kiện

23

 1, m

b f f trực giao với các nghiệm  của (2.20) có nghĩa là f trực giao với các

nghiệm  của (2.19), cũng như điều kiện d g1, g m trực giao với các nghiệm  của (2.11) vì chẳng hạn

phương trình (2.21) và (2.23) đều có nghiệm duy nhất

- Hoặc là phương trình thuần nhất (2.22) có nghiệm khác 0, thì khi ấy phương trình thuần nhất (2.24) cũng có nghiệm khác 0 Số nghiệm độc lập tuyến tính của (2.22) và

(2.24) bằng nhau, và phương trình (2.21) có nghiệm khi và chỉ khi f trực giao với mọi nghiệm của (2.24), phương trình(2.23) có nghiệm khi và chỉ khi g trực giao với mọi

nghiệm của (2.22)

2.6 Phương trình tích phân với hạch không đối xứng

2.6.1 Định nghĩa Phương trình tích phân Fredholm loại 2

2.6.2 Xét sự tồn tại nghiệm

Một cách tổng quát hơn ta xét phương trình

A f

   (2.27)

trong đó A là một toán tử hoàn toàn liên tục trong không gian Hilbert H Ta sẽ chứng

minh định lý Fredholm vẫn đúng cho trường hợp này

Bằng cách đặt T  I A ta có thể viết (2.27) dưới dạng

T  f (2.28) Cùng với phương trình (2.28) ta còn xét các phương trình sau:

Phương trình thuần nhất T0 (2.29)

Phương trình liên hợp không thuần nhất T* g (2.30)

Phương trình liên hợp thuần nhất T*0 (2.31)

Khi đó ta có phát biểu của định lý Fredholm như sau

2.6.3 Định lý Fredholm (trong trường hợp hạch không đối xứng)

(i) Phương trình không thuần nhất (2.28) giải được khi và chỉ khi f trực giao với mọi nghiệm của phương trình thuần nhất liên hợp (2.31)

(ii) Hoặc là phương trình (2.28) có một và chỉ một nghiệm với mỗi f cho trước hoặc là phương trình thuần nhất (2.29) có nghiệm khác

(iii) Các phương trình thuần nhất (2.29) và (2.31) có cùng số nghiệm độc lập tuyến tính như nhau

2.7 Phương trình Volterra

2.7.1 Giải phương trình Volterra bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp picar

a x

i x n i

x n i i

x n i i i

i a

 có giới hạn có phải là nghiệm của phương trình Volterra ? Ta có định lý sau

Định lý 1 Nếu nhân K x s của phương trình Volterra loại 2  ,