Một số phương trình tích phân và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC NGÔ THỊ NGA MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƠN LA, NĂM 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC NGÔ THỊ NGA MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn: ThS Phạm Thị Thái SƠN LA, NĂM 2015 LỜI CẢM ƠN Trong trình hoàn thành đề tài, em nhận hướng dẫn tận tình cô giáo Thạc sĩ Phạm Thị Thái thầy cô giáo giảng dạy môn Giải tích Nhân em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô giáo, đặc biệt cô giáo Phạm Thị Thái Đây lần em làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn sinh viên để đề tài đầy đủ hoàn thiện Cuối em xin kính chúc thầy cô giáo sức khỏe, công tác tốt, chúc bạn sinh viên mạnh khỏe, thành công học tập Sơn La, tháng 05 năm 2015 Người thực Ngô Thị Nga MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn Cấu trúc khóa luận CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian metric 1.1.1 Định nghĩa.: 1.1.2 Dãy không gian metric 1.1.3 Định nghĩa 1.2 Không gian định chuẩn 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Tính chất 1.3 Không gian Hilbert 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Bất đẳng thức Schwarz, chuẩn không gian tiền Hilbert 1.3.3 Đẳng thức hình bình hành 1.3.4 Định nghĩa 1.3.5 Hệ thống trực giao trực chuẩn 1.3.6 Một số định lý 1.3.7 Cơ sở trực chuẩn 1.3.8 Toán tử tuyến tính không gian Hilbert 1.3.9 Toán tử tích phân 1.4 Phương trình vi phân 1.4.1 Phương trình vi phân cấp 1.4.2 Phương trình vi phân cấp n 1.4.3 Định lý tồn nghiệm 10 CHƢƠNG MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 11 2.1 Một số định nghĩa 11 2.2 Một số toán dẫn tới phương trình tích phân 13 2.2.1 Bài toán “Cân có tải trọng” 13 2.2.2 Bài toán “ Dao động tự cưỡng ” 14 2.3 Đưa phương trình vi phân phương trình tích phân 15 2.4 Phương trình tích phân với hạch đối xứng 16 2.4.1 Định nghĩa Phương trình Fredholm loại 16 2.4.2 Xét tồn nghiệm 16 2.5 Phương trình tích phân với hạch thoái hóa 18 2.5.1 Định nghĩa 18 2.5.2 Xét tồn nghiệm 18 2.5.3 Định lý Fredholm 23 2.6 Phương trình tích phân với hạch không đối xứng 23 2.6.1 Định nghĩa Phương trình tích phân Fredholm loại 23 2.6.2 Xét tồn nghiệm 24 2.6.3 Định lý Fredholm 24 2.7 Phương trình Volterra 24 2.7.1 Giải phương trình Volterra phương pháp xấp xỉ liên tiếp picar 24 2.7.2 Giải phương trình Volterra phương pháp toán tử 34 2.8 Một số cách giải phương trình tích phân tuyến tính 39 2.8.1 Phương pháp đại số hóa 39 2.8.2 Phương pháp xấp xỉ 44 2.8.3 Phương pháp lặp liên tiếp 46 2.9 Ứng dụng phương trình tích phân Volterra vào giải phương trình vi phân 53 2.9.1 Phương trình tích phân Volterra 53 2.9.2 Giải phương trình vi phân cấp 55 2.9.3 Giải phương trình vi phân cấp hai 56 KẾT LUẬN 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích hàm ngành Toán học xây dựng vào khoảng đầu kỉ XX đến xem ngành toán học cổ điển Trong trình phát triển, Giải tích hàm tích lũy nội dung phong phú Những phương pháp kết mẫu mực, tổng quát Giải tích hàm xâm nhập vào tất ngành toán học có liên quan sử dụng đến công cụ Giải tích không gian vectơ Chính điều mở rộng phạm vi nghiên cứu lớn cho ngành Toán học Phương trình tích phân không gian Hilbert mảng Giải tích hàm xây dựng từ toán thực tế Vật lý, Hóa học nhiều khoa học ứng dụng khác Cụ thể nghiên cứu tính đàn hồi, tính dẻo, nhiệt thay đổi khối lượng vật, lý thuyết dao động, lý thuyết xếp bảng, kỹ thuật điện, kinh tế, y học,… Với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu sắc phương trình tích phân, ứng dụng phương trình tích phân bước đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa học, em chọn đề tài “Một số phương trình tích phân ứng dụng” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu Giải tích hàm đặc biệt phương trình tích phân không gian Hilbert, ứng dụng vào giải số phương trình vi phân Trên sở hệ thống lại kiến thức cần thiết toán tử không gian Hilbert, từ trình bày cách giải số phương trình tích phân số ứng dụng vào giải phương trình vi phân Đối tƣợng nghiên cứu Nghiên cứu không gian Hilbert làm sở cho việc nghiên cứu phương trình tích phân không gian Hilbert, cụ thể phương trình tích phân tuyến tính Sau nghiên cứu ứng dụng vào việc giải phương trình vi phân Phƣơng pháp nghiên cứu Sưu tầm, đọc nghiên cứu tài liệu liên quan tới nội dung khóa luận Vận dụng kiến thức sở để hiểu đối tượng cần nghiên cứu, từ phân tích, tổng hợp rút kết luận Trao đổi với giáo viên hướng dẫn Ý nghĩa khoa học thực tiễn Khóa luận tài liệu tham khảo cho bạn sinh viên ĐHSP Toán việc tìm hiểu sâu phương trình tích phân nhờ kiến thức sở Giải tích hàm ứng dụng vào tìm nghiệm số phương trình vi phân Cấu trúc khóa luận Ngoài lời nói đầu, mục lục, kết luận, tài liệu tham khảo nội dung khóa luận gồm hai chương: Chƣơng Kiến thức chuẩn bị Trong chương hệ thống lại kiến thức về: Không gian metric, không gian định chuẩn Trên cở sở nghiên cứu không gian Hilbert Chƣơng Một số trình tích phân ứng dụng vào giải phƣơng trình vi phân Trong chương trình bày định nghĩa cách giải phương trình tích phân: Fredholm loại 1, Fredholm loại 2, Volterra loại 1, Volterra loại tập trung nhiều vào phương trình Fredholm loại ý nghĩa Sau trình bày ứng dụng phương tích phân để giải phương trình vi phân cấp một, cấp hai CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian metric 1.1.1 Định nghĩa Cho tập X   Một metric X hàm d : X    0,   thỏa mãn tính chất sau: i) d  x, y   0, x, y  X d  x, y    x  y ii) d  x, y   d  y, x  , x, y  X 3i) d  x,z   d  x, y,   d  y, z  , x, y, z  X Khi  X , d  gọi không gian metric 1.1.2 Dãy không gian metric Cho X không gian metric Dãy  xn   X gọi hội tụ x với số   0, tồn số nguyên dương n0 cho n  n0  d  xn , x    ký hiệu lim xn  x n Dãy  xn   X gọi dãy Cauchy (hay dãy bản) với số   0, tồn số nguyên dương n0 cho n, m  n0  d  xn , xm    Nhận xét Dãy Cauchy không gian metric hội tụ 1.1.3 Định nghĩa Không gian metric gọi đầy đủ với dãy Cauchy hội tụ phần tử thuộc 1.2 Không gian định chuẩn 1.2.1 Định nghĩa Cho X không gian vectơ trường K (thực phức), hàm thực : X   thỏa mãn ba tính chất: i ) x  0, x  X , x   x  ii )  x   x , x  X ,   K iii ) x  y  x  y , x, y  X   gọi chuẩn X cặp X , gọi không gian tuyến tính định chuẩn thường gọi không gian định chuẩn 1.2.2 Tính chất  +) d  x, y   x  y , x, y  X ,  metric X +) Trong không gian tuyến tính định chuẩn X i) Phép cộng phép nhân vô hướng ánh xạ liên tục ii) Chuẩn hàm số liên tục X 1.3 Không gian Hilbert 1.3.1 Định nghĩa Cho E không gian vectơ trường K , hàm g : EE  thỏa mãn: i ) g  x, y   g  y,x ,x, y  E ii ) g  x  y,z   g  x,z   g  y,z  ,x, y,z  E iii ) g  x, y   g  x, y  ,x, y  E,  K iiii ) g  x,x   0,x  E,g  x,x    x   E Khi g gọi tích vô hướng E kí hiệu , , E với tích vô hướng E gọi không gian tích vô hướng hay không gian tiền Hilbert kí hiệu  E , ,  1.3.2 Bất đẳng thức Schwarz, chuẩn không gian tiền Hilbert Kí hiệu x  x, x , với x  E ta có x, y  x y , x, y  E (1.1) Bất đẳng thức gọi bất đẳng thức Schwarz Nếu  E , ,  không gian tiền Hilbert E không gian định chuẩn với chuẩn x  x, x , x  E (1.2) Thật i) x , x, x   x  x   x, x  x, x   x, x   x   E ii) Với   K , x  E ta có Thay vào (*) phương trình (**)   x    c1  c2 x  c3 x Thay (**) vào (*) e ln s  x     c1  c2 s  c3 s ds c1  c2 x  c3 x   1   ln s  x    1  Do tính độc lập tuyến tính hệ 1, x, x  ta có hệ phương trình    12  6e  c1   3e  3 c2   2e3   c3   e  1   36c1   27  9e  c2  8e3   c3  36     72  36e  c1   9e   c2   76  4e  c3  36  e   Giải phương trình 3e5  e  34e3  16e  49e  20 c1  5e5  4e  26e3  61e  42e  119 2e5  2e3  2e  15 c2  5e5  4e  26e3  61e  42e  119 9e3  27e  63 c3  5e5  4e  26e3  61e  42e  119 Thay vào phương trình (**) nghiệm xấp xỉ phương trình cho 3e5  e4  34e3  16e  49e  20   x    c1   5e5  4e  26e3  61e  42e  119 2e5  2e3  2e  15 9e3  27e  63 x  x2 5 5e  4e  26e  61e  42e  119 5e  4e  26e  61e  42e  119 2.8.3 Phƣơng pháp lặp liên tiếp Xét phương trình Fredholm loại b g  s   f  s     K  s, t  g  t  dt , s  a; b  , a f  L2a ,b , K  s, t  thỏa mãn b b   K  s, t  dtds   a a b Hơn với s   a, b ,  K  s, t  dt   với t   a, b a 46 b  K  s, t  ds   a b b a a Chọn g0  f , đặt g1  s   f  s     K  s, t  g  x  dx  f  s     K  s, t  f  t  dt g1 hàm bậc xấp xỉ liên tiếp b Đặt g  s   f  s     K  s, t  g1  t  dt , gọi g hàm bậc hai xấp xỉ liên tiếp, a hàm bậc n  xấp xỉ b g n1  s   f  s     K  s, t  g n  t  dt , n  1, 2, a Khi ta có dãy  g n  xác định đoạn  a, b , dãy hội tụ đoạn  a, b hàm g đó, qua giới hạn tích phân ta b g  s   f  s     K  s, t  g  t  dt , a tức g nghiệm phương trình cho Ta có b g1  s   f  s     K  s, t  f  t  dt a b g  s   f  s     K  s, t  g1  t  dt a b    f  s     K  s, t   f  t     K  x, t  g1  x  dx  dt a a   b b  f  s     K  s, t  f  t  dt   a b  K  s, t  f t  dt , a b K  s, t    K  s, x  K  x, t  dx a Tương tự ta có b g3  s   f  s     K  s, t  f  t  dt   a b b  K  s, t  f t  dt    K  s, t  f t  dt , a 47 a b K3  s, t    K  s, x  K  x, t  dx a Cứ làm liên tiếp trình ta kết b n gn  s   f  s     m  K  s, t  f t  dt , n  1, 2, , m m 1 (2.39) a b K m  s, t    K  s, x  K m1  x, t  dx, K o  x, t   a Cho hai vế (2.38) qua giới hạn n   , ta chuỗi gọi chuỗi Newmann  b g  s   f  s     m  K m  s, t  f  t  dt m 1 (2.40) a Bây ta khảo sát hội tụ chuỗi (2.39) Theo bất đẳng thức Holder có b  b  2 K s , t f t dt  K s , t dt f t dt            m m a   a  a  b b Đặt D   f  t  dt cm2 cận tích phân a (2.41) b  f  t  dt , từ a b  K  s, t  f t  dt m  cm2 D a Ta đánh giá cm2 qua c12 b  b  2 K m  s, t    K  s, x  K m1  x, t  dx    K  s, x  dx   K m1  x, t  dx  a a  a  b b  K  s, t  m a b b b b dt    K  x, t  dxdt.cm2 1 cm2 1B 2 a a Với B    K  x, t  dxdt a a Như cm2  cm2 1B2   c12 B m2 48 Từ theo bất đẳng thức (2.41) có ước lượng b  K  s, t  f  t  dt  c12 D B m2 m a Suy số hạng tổng quát chuỗi (2.40) có ước lượng  b m  K  s, t  f t  dt   m a Do chuỗi số dương có số hạng tổng quát m c1DB m1 , m    B   hội tụ chuỗi (2.40) hội tụ m tuyệt đối (Theo định lý hội tụ theo chuỗi trội) Như với  mà  B  chuỗi (2.40) xác định hàm g làm nghiệm phương trình cho Bây ta xét tính nghiệm g Giả sử có g1 , g nghiệm phương trình, b g1  s   f  s     K  s, t  g1  t  dt a b g  s   f  s     K  s, t  g  t  dt Đặt   s   g1  s   g  s  , hàm  thỏa mãn a b b a a   s     K  s, t  g1  t  dt    K  s, t  g1  t  dt b b a a    K  s, t   g1  t   g1  t   dt    K  s , t    t  dt Khi  2b  b  2 K s , t  t dt   K s , t dt  t dt            a a    a  b b b   2 2      s  ds      K  s, t  dt     t  dt  ds a a  a  b b   2    B     s  ds       s  ds     a a   g1  g  s    b  49 Ví dụ Giải phương trình  g  s      sin  s  t   g  t  dt Ở phương trình cho tương đương với phương trình  g  s       sin t cos s  sin s cos t  g  t  dt Ta đặt g0  s    g1  s       sin t cos s  sin s cos t  1.dt   0    cos s  sin tdt   sins  cos tdt   2 cos s  g  s       sin t coss  sin s cos t  g1  t  dt       sin t coss  sin s cos t 1  2 cos t  dt       sin t coss  sin s cos t  dt  2   sin t coss sin s cost  cos tdt    2 cos s  2   sin t cos s  sin s cos t  cos tdt   2 cos s   sins  g3  s       sin t cos s  sin s cos t  g  t  dt       sin t cos s  sin s cos t  1  2 cos t   sint  dt   2 cos s   sins   2 3coss 50  g  s       sin t cos s  sin s cos t  g  t  dt    2 3cost       sin t cos s  sin s cos t  1  2 cos t   sint   dt    2 3coss  3 4coss   2 cos s   sins   Cứ làm liên tiếp trình ta kết        g  s      2 cos s       sin s        i 0 i 0 2i  2i       2 cos s   sin s     i 1        2  1,    2 cos s   sin s   , với  2        4 hay g  s    2 cos s   sin s  , với   2      2i Ví dụ Giải phương trình g  s      1  3st  g  t  dt Giải: f  s   1, K  s, t    3st đặt g0  s     g1  s      1  3st  dt    1  s       g  s      1  3st  g1  t  dt     1  3st  1   1  s   dt    0      1  s      1     g3  s      1  3st  g  t  dt    1  s      1  s      4     2   4           g  s    1  s  1          1           2 2               2   4     1         1     s    2 2      51  g s      6s  , với    2 x Ví dụ Giải phương trình   x   x     s  x   s  ds 0  x   x Giải: Đặt x 1  x   x     s  x 0  s  ds  x  x 2  x   x     s  x 1  s  ds  x  Cuối ta x2 3! x x5  3! 5! x x5 x x n1 n   x   x       1  3! 5! 7!  2n  1! Nhận thấy vế phải phương trình khai triển Taylor hàm sin x x  Do nghiệm phương trình cho   x   sin x x Ví dụ Giải phương trình   x      s  x   s  ds Giải: Đặt 0  x   x x x x 0 x2 1  x      s  x  0  s  ds     s  x  ds   2! 0  2  x      s  x 1  s  ds     s  x  1   x2  x2 x4 ds     2!  2! 4! 2n x2 x4 n x Cuối ta   x   x      1  2! 4!  2n ! Vậy nghiệm phương trình   x   cos x x Ví dụ Giải phương trình   x       s  ds Giải: Đặt 0  x   52 x x 0 x x 1  x     0  s  ds    ds   x x2 2  x     1  s  ds    1  s  ds   x  2! 0 Cuối ta   x    x  x2 x4 xn     2! 4! n! Vậy nghiệm phương trình   x   e x 2.9 Ứng dụng phƣơng trình tích phân Volterra vào giải phƣơng trình vi phân Lý thuyết phương trình tích phân có mối liên hệ mật thiết với nhiều lĩnh vực khác toán học, số phương trình vi phân Nhiều vấn đề phương trình vi phân thường biểu diễn lại thành phương trình tích phân Sự tồn nghiệm thu từ kết tương ứng từ phương trình tích phân Bây sử dụng phương trình tích phân Volterra để giải phương trình vi phân tuyến tính cấp một, cấp hai 2.9.1 Phƣơng trình tích phân Volterra Xét phương trình tích phân dạng x y  x   f  x     K  x, t  y  t  dt ,  a  x  b  , (2.42) a y  x  hàm chưa biết,  tham số, K  x, t   L2a ,ba ,b f  x  hàm biết Định nghĩa Giá trị  gọi giá trị thường hạch K  x, t  thuộc L2a ,ba ,b tồn hạch H  x, t   L2a ,ba ,b cho b b H  x, t   K  x, t     H  x, u  K  u, t  du    K  x, u  H  u , t  du a (2.43) a Khi đó, H  x, t  gọi hạch giải hạch K  x, t  ứng với giá trị  Định lý Nếu  giá trị thường hạch K  x, t  H  x, t  hạch giải tương ứng phương trình 53 x y  x   f  x     K  x, t  y  t  dt (2.44) a có nghiệm xác định x y  x   f  x     K  x, t  y  t  dt (2.45) a Bổ đề Nếu hạch K  x, t   L2a ,ba ,b triệt tiêu a  x  t  b chuỗi K  x, t    K  x, t    K  x, t   (2.46) b với K n  x, t    K  x, u  K n1  u, t  du,  n  1 hội tụ tuyệt giá trị  a tổng H   x, t  hạch giải hạch K  x, t  ứng với giá trị  Chứng minh Bằng quy nạp ta chứng minh M  cho K n  x, t   M x t  n  1! n 1 n b b  K n    K  x, t  n , n  1, t  x  M b  a  dxdt  n! a a Với  , ta có  n 1 K n  M b  a   M b  a    n! n , n  n 1 Như chuỗi (2.46) làm trội chuỗi số hội tụ nên hội tụ tuyệt đối  Đặt H   x, t     n1K n  x, t  , ta có n 1 b b a a     n1    H   x, u  K  u, t  du       n1K n  x, u   K  u , t  du     n1K n  x, t   H   x, t   K  x, t  n2 b Tương tự ta có   K  x, u  H   u, t  du  H   x, t   K  x, t  a Vậy H   x, t  thỏa mãn (2.43) nên H   x, t  hạch giải K  x, t  ứng với giá trị  54 Định lý Phương trình tích phân (2.42) có nghiệm x y  x   f  x     H   x, t  f  t  dt (2.47) a  H   x, t     n1K n  x, t  n 1 Chứng minh Mở rộng K  x, t   a  x  t  b phương trình (2.42) viết lại thành phương trình (2.44) Hạch K  x, t  thỏa mãn điều kiện bổ đề nên  H   x, t     n1K n  x, t  n 1 hạch giải K  x, t  ứng với giá trị  Theo định lý 1, phương trình (2.42)có nghiệm xác định (2.45) Hơn nữa, ta có K  x, t   a  x  t  b nên H   x, t   a  x  t  b Do b x a a  H   x, t  f t  dt   H   x, t  f t  dt (2.48) Như vậy, nghiệm xác định (2.45) viết lại dạng (2.47) 2.9.2 Giải phƣơng trình vi phân cấp Xét phương trình vi phân cấp dạng giải với đạo hàm y '  f  x, y  (2.49) với điều kiện ban đầu y  a   y0 f  x, y  hàm liên tục theo  x, y  Bằng cách lấy tích phân hai vế phương trình (2.49) với cận từ a đến x , ta nhận mệnh đề sau Mệnh đề Phương trình vi phân (2.49) tương đương với phương trình tích phân x y  x   y0   f  t , y  t   dt ,  a  x  b  (2.50) a Giải phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp y ' p  x  y  q  x  (2.51) với điều kiện ban đầu y  a   y0 p  x  , q  x  hàm liên tục  a, b 55 Theo mệnh đề 1, ta có phương trình vi phân (2.51) tương đương với phương trình tích phân x x a a y  x   yo   q  t  dt   p  t  y  t  dt ,  a  x  b  (2.52) x Đặt f  x   yo   q  t  dt ; K  x, t    p  t  ,  a  t  x  b  , phương trình (2.52) có a dạng phương trình (2.42) với   Theo định lý phương trình vi phân (2.51) có nghiệm cho (2.47) Khi p  x   m ta có K  x, t   m, K  x, t     m   x  t  , K  H  x, t    K n 1 n x t  x, t      m   n  1! n 1 n 1  n x t  x, t     m   n  1! n 1 n n  me m t  x  Vậy nghiệm phương trình vi phân (2.51) y  x   f  x   me  mx x  e f t  dt , mt a x f  x   y0   q  t  dt a 2.9.3 Giải phƣơng trình vi phân cấp hai Xét phương trình vi phân cấp hai dạng y ''  f  x, y  (2.53) với điều kiện ban đầu y  a   y0 , y '  a   y1 , f  x, y  hàm liên tục theo  x, y  x Theo mệnh đề 1, ta có y '  x   y1   f  t , y  t   dt , tiếp tục lấy tích phân hai vế ta a 56 x s y  x   y0  y1  x  a     f  t , y  t   dtds a a s x x  y0  y1  x  a   s  f  t , y  t   dt   sf  s, y  s   ds a a a x  y0  y1  x  a     x  t  f  t , y  t   dt a Như ta có mệnh đề sau Mệnh đề Phương trình vi phân (2.53) tương đương với phương trình tích phân x y  x   y0  y1  x  a     x  t  f  t , y  t   dt ,  a  x  b  (2.54) a Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp y '' p  x  y ' q  x  y  g  x  (2.55) với điều kiện ban đầu y  a   y0 , y '  a   y1 , p  x  , q  x  , g  x  hàm liên tục  a, b  Theo mệnh đề 2, phương trình (2.55) tương đương với phương trình tích phân x y  x   y0   p  a  y0  y1   x  a     x  t  g  t  dt a x    x  t   p '  t   q  t    p  t   y  t  dt (2.56) a x Đặt f  x   y0   p  a  y0  y1   x  a     x  t  g  t  dt a K  x, t    x  t   p '  t   q  t    p  t  ,  a  t  x  b  Khi phương trình (2.56) có dạng phương trình tích phân (2.42) với   Theo định lý phương trình vi phân (2.55) có nghiệm cho (2.47) Sau ta xét số trường hợp riêng phương trình (2.55): Nếu p  x   0, q  x   m2 ,  m   hạch giải H  x, t   m sin m  t  x  nên nghiệm phương trình (2.55) 57 x y  x   f  x   m  sin m  t  x  f  t  dt , a x f  x   y0  y1  x  a     x  t  g  t  dt a Nếu p  x   0, q  x   m2 ,  m   hạch giải H  x, t   m sin  x  t  nên nghiệm phương trình (2.55) x y  x   f  x   m  sin m  t  x  f  t  dt , a x f  x   y0  y1  x  a     x  t  g  t  dt a Nếu p  x   m, q  x   0,  m   hạch giải H  x, t   me m t  x  nên nghiệm phương trình (2.55) y  x   f  x   me  mx x  e f t  dt , mt a x f  x   y0   my0  y1   x  a     x  t  g  t  dt a Như ta xây dựng công thức nghiệm cho phương trình tích phân Volterra chuyển phương trình vi phân với điều kiện ban đầu thành phương trình tích phân Từ kết phương trình tích phân ta có công thức nghiệm phương trình vi phân 58 KẾT LUẬN Trên toàn nội dung khóa luận trình bày “Một số phương trình tích phân ứng dụng” Trong khóa luận hệ thống lại kiến thức không gian metric, không gian định chuẩn làm cở sở nghiên cứu không gian Hilbert số phép toán Hilbert Trình bày số kiến thức phương trình vi phân để làm sở cho việc tìm nghiệm phương trình vi phân nhờ đưa phương trình phương trình tích phân Để làm điều khóa luận tập trung vào nghiên cứu cách giải phương trình tích phân: Fredholm loại 1, Fredholm loại 2, Volterra loại 1, Volterra loại Với cách giải tìm nghiệm phương trình kể sở sử dụng chúng vào giải phương trình vi phân cấp một, cấp hai với điều kiện ban đầu Thông qua khóa luận mong muốn với cách thực tương tự khóa luận, ta xây dựng cách tổng quát để giải phương trình vi phân nhờ phương trình tích phân 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thế Hoàn (2000), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, Nxb Giáo dục [2] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nxb Khoa học Kĩ thuật Hà Nội [3] Nguyễn Xuân Liêm (2000), Giải tích hàm, Nxb Giáo dục [4] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Vũ Tuấn (1992), Phương trình vi phân, Nxb Giáo dục [6] A.N.Klomogorov, S.V Fomine (1983), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm (bản dịch tiếng Việt), tập III, NXB Giáo dục [7] Lokenath Debnath, Piotr Mikusinski (1990), Introduction to Hilbert Space and Applications, Acadimic Press, USA 60 [...]...  f  x  (2.3) 0 Đây là các phương trình Fredholm loại 2, (2.2) là phương trình thuần nhất, (2.3) là phương trình không thuần nhất 2.3 Đƣa phƣơng trình vi phân về phƣơng trình tích phân Một loạt các trường hợp giải các phương trình vi phân đưa về việc giải phương trình tích phân Chúng ta biết rằng để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân cấp một y '  f  x, y  thỏa mãn... phương trình vi phân về phương trình tích phân (phi tuyến) 15 x y  y0   f  t , y dt x0 Về việc đưa về phương trình tích phân có thể thực hiện cả đối với phương trình vi phân cấp cao hơn một Chẳng hạn phương trình vi phân cấp hai dạng y '' f  x  y  0 Đặt f  x    2    x  ,   conts , ta được y ''  2 y    x  y Vậy nghiệm của phương trình đã cho là nghiệm của phương trình tích phân. .. trước Phương trình mà f  x   0 được gọi là phương trình thuần nhất x Ví dụ   x   x    s  x   s  ds 0 Nhận xét Các phương trình tích phân nói trên còn được gọi là các phương trình tích phân tuyến tính là bởi tính chất tuyến tính của nó, hàm  chưa biết chứa trong đó là tuyến tính Một loạt các bài toán đưa đến phải xét các phương trình tích phân phi tuyến, chẳng hạn phương trình tích phân. .. việc xét các phương trình tích phân tuyến tính Các phương trình Volterra loại 1, loại 2 có thể xem là trường hợp đặc biệt của phương trình Fredholm loại 1, loại 2 tương ứng Khi các phương trình sau này ta cho thêm điều kiện K  x, s   0, s  x, ta thu được phương trình Fredholm chính là phương trình Volterra Tuy nhiên ta tách các phương trình Volterra thành lớp riêng biệt bởi chúng có một số tính chất... nghĩa 2.1 Phương trình tích phân là phương trình mà ẩn hàm chưa biết nằm trong dấu tích phân Định nghĩa 2.2 Phương trình tích phân có dạng a   K  x, s   s  ds  f  x  ,  là tham số b được gọi là phương trình Fredholm loại 1 với   s  , s   a, b là hàm chưa biết, f  x  , K  x, s  , x, s   a, b là các hàm cho trước, hàm K  x, s  gọi là nhân của phương trình Phương trình mà f... đối xứng là một toán tử đối xứng 1.4 Phƣơng trình vi phân 1.4.1 Phƣơng trình vi phân cấp một Định nghĩa Phương trình vi phân cấp một có dạng tổng quát F  x, y, y '  0 (1.7) trong đó hàm F xác định trong miền D  3 Nếu trong miền D, từ phương trình (1.7) ta có thể giải được y ' y '  f  x, y  (1.8) thì ta được phương trình vi phân cấp một đã giải ra đạo hàm Nghiệm Hàm y    x  xác định và khả... xích một phần tử tùy ý của không gian con riêng này Qua những điều trên thấy rằng việc giải phương trình tích phân (2.4) hoặc (2.5) trong trường hợp hạch đối xứng được quy về tìm vectơ riêng của toán tử A tương ứng 2.5 Phƣơng trình tích phân với hạch thoái hóa 2.5.1 Định nghĩa Phương trình tích phân Fredholm loại 2 b   x   f  x     K  x, s   s  ds, (2.8) a được gọi là phương trình tích phân. .. không đối xứng) (i) Phương trình không thuần nhất (2.28) giải được khi và chỉ khi f trực giao với mọi nghiệm của phương trình thuần nhất liên hợp (2.31) (ii) Hoặc là phương trình (2.28) có một và chỉ một nghiệm với mỗi f   cho trước hoặc là phương trình thuần nhất (2.29) có nghiệm khác (iii) Các phương trình thuần nhất (2.29) và (2.31) có cùng số nghiệm độc lập tuyến tính như nhau 2.7 Phƣơng trình Volterra... khác 0, và với mọi f , g cho trước, mỗi phương trình (2.21) và (2.23) đều có nghiệm duy nhất - Hoặc là phương trình thuần nhất (2.22) có nghiệm khác 0, thì khi ấy phương trình thuần nhất (2.24) cũng có nghiệm khác 0 Số nghiệm độc lập tuyến tính của (2.22) và (2.24) bằng nhau, và phương trình (2.21) có nghiệm khi và chỉ khi f trực giao với mọi nghiệm của (2.24), phương trình( 2.23) có nghiệm khi và chỉ... Phƣơng trình tích phân với hạch không đối xứng 2.6.1 Định nghĩa Phương trình tích phân Fredholm loại 2 23 b   x   f  x     K  x, s   s  ds (2.25) a trong đó nhân K  x, s  thỏa mãn b b   K  x, s  2 dxds   (2.26) a a còn ngoài ra không đòi hỏi điều kiện gì khác được gọi là phương trình tích phân có hạch không đối xứng 2.6.2 Xét sự tồn tại nghiệm Một cách tổng quát hơn ta xét phương trình