Luận văn một số phương pháp biến phân và ứng dụng

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI • ••• NGUYỄN THỊ SEN ■ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyền ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 • •• LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Nguyễn Văn Tuấn HÀ NỘI, 2014 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, hướng dẫn TS. Nguyễn Văn Tuấn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Tuấn, người thầy tận tình bảo, động viên khuyến khích tác giả ngày đầu làm quen với nghiên cứu khoa học trình thực luận văn. Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo Khoa Toán, Trường Đại học sư phạm Hà Nội với thầy cô tham gia giảng dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập từ năm sinh viên ngày hôm nay. Thêm nữa, tác giả xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp trường THPT Hàm Long, Bắc Ninh (nơi tác giả công tác) tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập thực luận văn này. Hà Nội, tháng 07 năm 2014 Tác giả LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn T.s Nguyễn Văn Tuấn. Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn. Một số kết đạt luận văn chưa công bố công trình khoa học khác. Hà Nội, tháng 07 năm 2014 Tác giả Mục lục Tài liệu tham khảo 71 BẢNG KÍ HIỆU Luận văn sử dụng kí hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: N Tập số tự nhiên N* Tập số tự nhiên khác không z Tập số nguyên Q Tập số hữu tỷ R Tập số thực c Tập số phức C[a; 6] Tập tất hàm số thực liên tục [a, 6] C K [A-B] Tập tất hàm số xác định có đạo hàm liên tục đến cấp K [A, 6] L2 [a; B] Tập tất hàm bình phương khả tích [A, 6] SPAN(A ) Tập tất tổ hợp tuyến tính phần tử A Tập hợp rỗng. MỞ ĐẦU 1. Lý chọn đề tài Trong khoa học, kỹ thuật thường gặp nhiều toán liên quan tới giải toán biên với phương trình toán tử vi phân, vi tích phân. Việc giải tìm nghiệm toán nhiều trường hợp không giải nghiệm ý nghĩa thiết thực. Bởi người ta dùng nhiều phương pháp khác để giải toán biên với phương trình toán tử vi phân tuyến tính. Trong phương pháp biến phân có nhiều ưu điểm nhiều nhà toán học nước quan tâm nghiên cứu. Do vậy, nhờ giúp đỡ hướng dẫn tận tình Tiến sĩ Nguyễn Văn Tuấn chọn nghiên cứu đề tài: “ Một số phương pháp biến phân ứng dụng”. Bố cục luận văn gồm chương: Chương luận văn trình bày số khái niệm giải tích hàm, khái niệm không gian hàm spline đa thức, sai số khái niệm phương trình tích phân. Chương luận văn tập trung trình bày phương pháp Galerkin phương pháp collocation. Chương luận văn trình bày ứng dụng phương pháp Galerkin phương pháp collocation giải phương trình vi phân bậc cao, phương trình vi tích phân Fredholm - Volterra ứng dụng giải số lập trình Maple 14. 2. Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu khái niệm tính chất hai phương pháp biến phân: phương pháp Galerkin phương pháp collocation. - Nghiên cứu ứng dụng hai phương pháp biến phân việc giải phương trình vi phân, phương trình vi tích phân. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu khái niệm tính chất hai phương pháp biến phân trên. - Nghiên cứu ứng dụng hai phương pháp biến phân giải phương trình vi phân phương trình vi tích phân. - Nghiên cứu lập trình Maple để ứng dụng. 4. Đối tượng phạm vi nghiền cứu - Đối tượng nghiên cứu: "phương pháp Galerkin phương pháp collocation". - Phạm vi nghiên cứu: Các khái niệm, tính chất, ứng dụng vào giải phương trình vi phân, phương trình tích phân. Lập trình Maple để giải toán đặt ra. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp phương pháp lấy ý kiến chuyên gia. 6. Giả thuyết khoa học Áp dụng phương pháp Galerkin phương pháp collocation cho lớp phương trình vi phân, vi tích phân bậc cao thu nghiệm xấp xỉ với độ xác cao. Chương Kiến thức chuẩn bị [Kiến thức chương trích dẫn từ tài liệu [ ] [ ] ) 1.1. Các khái niệm giải tích hàm 1.1.1. Không gian tuyến tính Đ ị n h n g h ĩ a . . . Cho tập hợp X 7^ với phép toán hai viết theo lối cộng ( + ) ánh xạ —> X. Với : K X X a E K X e X phần tử ip ( a , X ) số a gọi tích với phần tứ X kí hiệu ax. Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: 1) X + y = y + X, Va;, y e X; 2) X + (y + z) = (x + y) + z, Vx, y, z e X; 3) Trong X tồn phần tử cho X + = + x,\/x € X; 4) Với phần tử X E X, tồn phần tử đối ( — x ) £ X cho X + (-à?) = 6; 5) l.x = X, \fx G X ; 6) a ( ßx ) = (aß) X, Va , ß G K,Vx G X; 7) (a + ß) X = ax + ßx, Va, ß €: X, Vx G X; 8) o; (:r + y) = 0:2 + ay, Vqí €: ÜT, V:r, y £ X . Khi ta nói X không gian tuyến tính trường K, K trường số thực R trường số phức c phần tử X e X gọi vectơ; điều kiện gọi tiên đề không gian tuyến tính. VÍ DỤ 1.1.1. Dễ dàng kiểm tra C [a, B] không gian tuyến tính. Đ ị n h n g h ĩ a . . . Cho X không gian tuyến tính trường K. n Các vectơ Xị, x , .x n G X gọi độc lập tuyến tính Ỵ2 a i x i = ỡ kéo theo OLị = 0= 1, 2, n. i=1 Các vectơ Xi, X 2, ■■■ x n e X gọi phụ thuộc tuyến tính chúng không độc lập tuyến tính. Đ ị n h n g h ĩ a . . . Giả sử X không gian tuyến tính trường K. Một hệ vectơ X gọi hệ sinh X vectơ X biểu thị tuyến tính theo hệ đó. Nếu X có hệ sinh gồm hữu hạn phần tử X gọi không gian tuyến tính hữu hạn sinh. Một hệ vectơ X gọi sở X vectơ X biểu thị tuyến tính qua hệ đó. Đ ị n h n g h ĩ a . . . Giả sử X không gian tuyến tính hữu hạn sinh. Khi X có sở hữu hạn số phần tử sở X nhau. Số gọi số chiều không gian tuyến tính X. Nếu X không gian tuyến tính trường K có số chiều n ta viết dimX = n d i m ^ x = n 336 Vì phương trình (2.63) có nghiệm 337 v n = (I + P n T)- l P n f. 338 Vì (2.59) có nghiệm tầm thường nên tồn nghiệm collocation B 339 Nữ. u n (t) = Ị G (t, s ) v n (s) ds , u n ( t) < E Sp ( T n , p + r a , q + m ) , n > 340 a 341 Ta chứng minh 1). 342 Chứng minh 2) 343 Theo (2.62), ta có V + PnTv = p f + V - p v, V -v + P n T (v - v ) = V - p v v-v n = ự n n n n n + P n T)~ l (V - p n v) 344 Từ suy 345 u - u n = u (v - v n ) 346 347 = uự + P n TỴ l (x™ - P n xW) , ||w - Un\I < ll^ll Muj (z(m\ M < P u i /l n ) 348 349 đó, Ị3 = ỊỊt/|| M Định lý chứng minh. □ 350 Chương 351 Một số ứng dụng phương pháp biến phân 3.1. Áp dụng phương pháp Galerkin giải xấp xỉ phương trình vi phân bậc cao 352 VÍ DỤ 3.1.1. Giải phương trình vi phân 353 w(4) — 4U'" + 5U" — 4U' + 4U = (T + 1) e*, (0 < T < 1) (3.1) 354 355 Lời giải. Phương trình (3.1) có nghiệm xác 356U (T ) = —e2í + TE T — cos T -\—- sin T 4- í-t + ) eí 3 V 357 Áp dụng phương pháp Galerkin giải xấp xỉ phương trình (3.1) Đặt 358 359 AU (T ) = (T ) — 4U'" (T ) + 5U" (T ) — 4U' (T ) + 4U (T ) Khi đó, phương trình (3.1) có dạng 360 Au = f 361 đó, / € c [0, 1], / ( t ) = ( t + 1) é . 362 Chọn (í) = , 02 (í) = í ự>3 (í) = T , ự>4 (í) = í3. 363 Áp dụng phương pháp Galerkin tìm nghiệm xấp xỉ phương trình (3.1) có dạng 364 Uị (t) = dội (t) + C2Ộ2 (t) + c3ệ3 (í) + Cịộị (t) C ị , C2, C3, C4 nghiệm hệ phương trình đại số 365 366 367 k (^401, ộ À) Ci +(^402 504) c2 04 ) c4 + (^403 ộ À) c3 + (^404 J = (/> ộ À) 368 Lập trình tính toán với Maple 14 369 ậi :=■ t —> ; 370 4>2 t —> t] := t —> t ] := í —^ 371 / í —» (í + 1) eỂ; 372 A : = unapply (diff (u ( t ) , í , t, 4.diff (u ( í ) , t, t, t ) t, t ) — 373 + .diff (u (t ) , t, t) - ị.diff (u {t ) , í ) + . U ( í ) , u ) ; 375 378 374 «11 := / -401 (í) -01 ( í ) d í ; 376 377 a12 := / Aự>2 (í) .01 (í) dí; 13 ữ : a14 : 379 380 = J Аф (t) . ! (t) dt ; 381 382 = J AỘỊ (T) .0! (í) DT ; 383 384 385 = J Аф (í) .02 (í) dt ; 386 387 = J М (T ) .ự>2 (í) dí ; 388 389 390 = J АФЗ (í) .02 23 (í) DT ; 391 392 = J Aộị (t) .02 a : 24 : ữ ( í ) dt ; 393 394 Ö3 1: 395 = J AẬÍ (T) .03 (í) DT ; 396 32 397 : 398 = J АФ (í) .03 (í) DT ; 399 33 : 400 ữ ữ J Аф з (t ) . 03 (í) d t ; 401 = 402 403 404 = J АфА (t) .03 (í) dt ; 405 406 407 = J AỘI (í) .04 (í) DT ; 408 409 «42 := J Аф (í) .04 {t) dt ; 410 о 411 412 a43 := / Афз t ( ) .04 ( t) dt о ; 414 413 I Аф 415 о Û44 := (í) .04 (í) dt ; dt ; 416 417 bl := Jf (Í) .01 (Í) 418 419 62 := J f {t) -Ộ2 (t) dt ; 420 421 63 := J f (t) 4z {t) dt ; 422 423 64 := J F { T ) .04 (i) D T ; 424 425 426 427 solve ({eqnl, EQN2, EQN3, EQNÀ} , {ci, c2, c3, C4}) ; W4 := CỊ.ẬI (T ) + C2.2 (i) + c3.03 {T) + С 4-Ф (í) ; 428 Chạy chương trình ta thu kết 430 429 4ci — 2C + Ị^C3 — 12 c, 431 2ci - | c2 + yC3 - yC4 = -1 + e ịci - ÌC2 + ffc3 fỉc4 =4e 432 30' 433 Ci - |c2 + f£c3 - yC4 = -18 + 7e {ci = -0,3068 , c2 = 0,5891, c3 = 1,2148, C = 0,3154} U = -0,3068 + 0,5891 í + 1,21481 + 0,3154 í3 Vậy nghiệm xấp xỉ Galerkin phương trình (3.1) 434 U (T ) = -0,3068 + 0,5891Í + 1,214812 + 0,3154Í3 435 Lập trình tính toán với Maple 14 436 restart; 437 with(linalg); 438 a := array (1 10, 4) : u := t —»•—e t +te t — COSÍH—-siní+ Ị -t + j e*; y y 439 Uị t ^ -0,3068 + 0, 58911+ 1, 2148 Í2 + 0, 3154 Í3; 440 For from to 10 441 A [I, 1] := EVALF (jjg) ; 442 a[i, 2] := evalf (u (2 *0 )) ; a [i, 3] := evalf (u ( ^ ) ) ; 443 A [I, 4] := EVALF (ABS (u (^y - w4 (ãếõ))) ; 444 od; 445 print (a)-, 446 Chạy chương trình ta kết U(T), UỊ(T) sai số IU (T ) — UỊ (í)| số giá trị bảng t u(í) 0.005 0.475770684 11 12 0.01 0.451415461 15 16 0.015 0.426933413 19 20 0.02 0.402323603 23 24 0.025 0.377585074 27 28 0.03 0.352716858 31 32 0.035 0.327717964 35 36 0.04 0.302587388 39 40 0.045 0.277324103 43 44 0.05 0.251927070 47 447 Bảng 3.1: u4(t) 0.3038240906 13 0.3007872046 17 0.2976891055 21 0.2945295568 25 0.2913083219 29 0.2880251642 33 0.2846798472 37 0.2812721344 41 0.2778017892 45 0.2742685750 Hí) IÍ4 (í) 10 0.1719 465934 14 0.1506 282564 18 0.1292 443075 22 0.1077 940462 26 0.0862 767521 30 0.0646 916938 34 0.0430 381168 38 0.0213 152536 42 0.0004 776862 46 0.0223 415050 3.2. Áp dụng phương pháp collocation giải xấp xỉ phương trình vi tích phân Eredholm - Volterra 448 449 VÍ DỤ 3.2.1. Xét phương trình 1 u" (t) + 2u(t) + — f S U (s) ds 20 450 451 452 453 thỏa mãn điều kiện biên 454 Ị u ( ) = Ị w ( l ) = 455 456 Đặt có nghiệm xác U (T ) = T A — 2í3 + T í 457-------------------------------- Lu (t) = u" (t) + 2u ( t ) - i -----------------------------J S U ( s ) d s — J u (s) d s 458 0 Khi đó, L toán tử tuyến tính từ không gian C [0,1] vào C [0,1]. 459 Phương trình (3.2) có dạng 460 461 LU = F (3.3) đó, 462 / € c [0, 1], / (í) = -í5 + V - 4ís + —í2 + 2í J 463 5600 464 Chọn 465 ệ i (t ) = í (í - 1) 466 Ộ ( t ) =t (t- ) 467 thỏa mãn điều kiện 468 ' 01 (0) = 0! (1) = (0) = [...]... của X và { 01, ộ 2, ỘN} là một cơ sở của X N Khi đó, phương pháp biến phẫn là một thuật toán xác định U N thuộc X N CÓ dạng UN = CIỘI + C2Ộ2 + ••• + C]V 0ÌV sao cho IIAU - / l l y N nhỏ nhất có thể Các phương pháp biến phân cơ bản: + \\U N - U\\ X 1) Phương pháp bình phương nhỏ nhất 2) Phương pháp Rayleigh-Ritz 3) Phương pháp collocation 4) Phương pháp Galerkin 5) Phương pháp sai phân hữu hạn Các phương. .. hạn Các phương pháp biến phân kể trên được quan tâm nghiên cứu trong và ngoài nước Trong luận văn này tôi trình bày hai phương pháp thường được dùng trong giải gần đúng các phương trình toán tử Đó là phương pháp Galerkin và phương pháp collocation 2.2 Phương pháp Galerkin 2.2.1 Định nghĩa Đ ị n h n g h ĩ a 2 2 1 Cho X là không gian tích vô hướng với tích vô hướng kí hiệu là ( , ) và A là toán tử... Như vậy phương pháp Galerkin là phương pháp đi tìm nghiệm gần đúng của phương trình (2.1) có dạng Un — Ciội + C 2Ộ 2 + + C n Ộ n trong đó, CI, c 2 , C j v là nghiệm của hệ phương trình đại số (2.5) Nếu toán tử A là toán tử tuyến tính đối xứng và xác định dương thì ta giải hệ (2.3) bằng phương pháp Rayleigh - Ritz Tuy nhiên, toán tử Ả không đối xứng và không xác định dương thì áp dụng phương pháp Galerkin... trình tích phân Volterra loại I và loại II Chương 2 Một số phương pháp biến phân (Kiến thức trong chương này được trích dẫn từ tài liệu [2], [ 5 ] và [ 7 ] ) 2.1 Phương pháp biến phân Khái niệm 2.1.1 Cho X , Y là các không gian tuyến tính định chuẩn với các chuẩn kí hiệu tương ứng I I \\ x , I I I I Y và Ả là một toán tử xác định A :X y U ì-» AU Xét phương trình Au = f trong đó, f là phần tử đã biết... tích phân • A là toán tử tích phân Volterra nếu t (Au) (t) = Ị K [t, 5) u ( 5) ds a trong đó, hàm K ( t , s) gọi là nhân của các toán tử tích phân Nếu A là toán tử tích phân Ferdhoỉm thì tương ứng với ( 1 3 ) và ( 1 4 ) ta có phương trình tích phân Fredholm loại I và loại II Nếu A là toán tử tích phân Voỉterra thì tương ứng vôi ( 1 3 ) và ( 1 4 ) ta có phương trình tích phân Volterra loại I và loại... A không suy biến 1.5 1.5.1 Khi đó hệ phương trình AX = Y luôn có nghiệm Khái niệm về phương trình tích phân Phương trình toán tử Cho A là toán tử từ không gian định chuẩn X vào chính nó Định nghĩa 1.5.1 PHƯƠNG TRÌNH DẠNG (1.3) Au = f trong đó, f E X cho trước được gọi là phương trình toán tử loại I Phương trình dạng u = X Au + f (1-4) trong đó, f £ X cho trước, tham số X € K được gọi là phương trình... đủ, và f : X Y là ánh xạ co của X vào chính nó Khi đó tồn tại một và chỉ một điểm X* & X sao cho f ( X*) = X* 1.1.3 Không gian định chuẩn Giả sử X là một không gian tuyến tính trên trường K Đ ị n h n g h ĩ a 1 1 11 Một chuẩn, kí hiệu | | | | ; trong X là một ánh xạ đi từ X vào M thỏa mãn các điều kiện: ll^ll > 0 với mọi X e X; 2) ||x|| =0 khi và chỉ khi X = 6; 3) ||Ax|| = |A| ||a;|| VỚI MỌI SỐ X... tuyến tính tức A phi tuyến thì các phương trình (1.3) và (1.4) gọi là các phương trình toán tử phi tuyến 1.5.2 Phương trình tích phân Định nghĩa 1.5.2 PHƯƠNG TRÌNH DẠNG b Ị K (t, s)u(s)ds = f ( í ) , (1.5) a với K(t, s) l à h à m s ố ha i b i ế n (t , 5) € [ a, b] X [a, 6] c ho trước, u là hàm số liêntục trên đoạn [a, b\, được gọi là phương trình tíchphân tuyến tính loại I Phương trình dạng b u(t) = X I... 1.3 Sai số và xấp xỉ tốt nhất 1.3.1 Sai số Đ ị n h n g h ĩ a 1 3 1 số a được gọi là số gần đúng của số a* nếu a sai khác với a* không nhiều Kí hiệu: a « a* e íj] - í)3, nếu T - 3(T I + I íj_i) 3 ,nếu t Đ ị n h n g h ĩ a 1 3 2 Đại ỉượng A = ( a * — a) được gọi là sai số thực sự của a Nói chung, ta không biết được A* nên không biết Л Tuy nhiên ta có thể ước lượng sai số thực sự của A bằng số dương... tồn tại một số n ữ sao cho với mọi n > n 0 và m > n ữ ta đều có d(xn, xm) < e Nói cách khác, ta có l i m d(x n ,x m ) = 0 n, m-¥0 o Đ ị n h n g h ĩ a 1 1 9 Một không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ tới một phần tử trong X Đ ị n h n g h ĩ a 1 1 1 0 Cho X và Y là hai không gian metric tùy ý Ánh xạ f : X Y được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại một số a với . của Tiến sĩ Nguyễn Văn Tuấn tôi đã chọn và nghiên cứu đề tài: “ Một số phương pháp biến phân và ứng dụng . Bố cục của luận văn gồm 3 chương: Chương 1 của luận văn trình bày một số khái niệm của. sai số và khái niệm về phương trình tích phân. Chương 2 của luận văn tập trung trình bày phương pháp Galerkin và phương pháp collocation. Chương 3 của luận văn trình bày ứng dụng của phương pháp. khái niệm và các tính chất cơ bản của hai phương pháp biến phân: phương pháp Galerkin và phương pháp collocation. - Nghiên cứu ứng dụng của hai phương pháp biến phân trên trong việc giải phương