Một số nguyên lý biến phân và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN XUÂN TRUNG MỘT SỐ NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN XUÂN TRUNG MỘT SỐ NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Hoàng Ngọc Tuấn Hà Nội, 2017 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Hoàng Ngọc Tuấn giảng viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tận tình hướng dẫn để em hoàn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán, thầy cô phòng Sau đại học thầy cô Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập Trường Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Nguyễn Xuân Trung Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Một số nguyên lý biến phân ứng dụng" hoàn thành hướng dẫn TS Hoàng Ngọc Tuấn nhận thức thân, không trùng với luận văn khác Trong nghiên cứu viết luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng 06 năm 2017 Tác giả Nguyễn Xuân Trung Mục lục Phần mở đầu Chương Một số nguyên lý biến phân 1.1 Nguyên lý biến phân Ekeland 1.2 Dạng hình học nguyên lý biến phân Ekeland 12 1.3 Nguyên lý biến phân Borwein-Preiss 17 1.4 Nguyên lý biến phân Deville-Godefroy-Zizler 21 Chương Ứng dụng 26 2.1 Nguyên lý điểm bất động 26 2.2 Định lý ánh xạ mở Định lý Graves 31 2.3 Sự tồn nghiệm hệ phương trình bất phương trình tuyến tính 35 2.4 Nguyên lý biến phân Borwein-Preiss vi phân 42 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 Các kí hiệu d(x, y) Khoảng cách hai phần tử x y {xn }∞ n=1 Dãy số thực phức C1 Tập tất hàm khả vi liên tục B (a, r) Br (a) Hình cầu mở tâm a bán kính r B (a, r) B r (a) Hình cầu đóng tâm a bán kính r BX Hình cầu đơn vị đóng X x Chuẩn x bd(S) Biên S conv(S) Bao lồi S diam(S) Đường kính S supp(φ) Giá hàm φ, {x ∈ X : φ(x) = 0} ∇f (x) Gradient (Đạo hàm) f x inf f Cận f X sup f Cận f X X X domf Miền hữu hiệu f epif Trên đồ thị hàm f graphF Đồ thị F ιS Hàm tập S ∂F f (x) Dưới vi phân Fréchet f x ∂V F f (x) Dưới vi phân Fréchet nhớt f x Phần mở đầu Lý chọn đề tài Một hàm nửa liên tục tập không compact không đạt cực tiểu Nguyên lý biến phân khẳng định rằng, hàm nhận giá trị vô cùng, nửa liên tục bị chặn dưới, người ta thêm vào thay đổi nhỏ (làm nhiễu) để nhận giá trị cực tiểu Nguyên lý biến phân cho phép áp dụng kỹ thuật biến phân với hàm nửa liên tục dưới, nhận giá trị vô cùng, cách có hệ thống mở rộng đáng kể sức mạnh kỹ thuật biến phân Những nguyên lý biến phân cung cấp công cụ mạnh mẽ giải tích biến phân đại Các ứng dụng bao gồm nhiều lĩnh vực lý thuyết ứng dụng giải tích như: tối ưu, hình học không gian Banach, giải tích không trơn, kinh tế, lý thuyết điều khiển, lý thuyết trò chơi, Trong đề tài này, tập trung vào hai nguyên lý biến phân ứng dụng nguyên lý biến phân Ekeland nguyên lý biến phân Borwein-Preiss Chúng ta xét "đối tác" nguyên lý biến phân Borwein-Preiss đề xuất Deville, Godefroy Zizler Với mong muốn tìm hiểu sâu số nguyên lý biến phân ứng dụng nó, hướng dẫn TS Hoàng Ngọc Tuấn chọn đề tài “Một số nguyên lý biến phân ứng dụng” để thực luận văn Bố cục luận văn bao gồm chương: Chương : Nghiên cứu hai nguyên lý biến phân là: Nguyên lý biến phân Ekeland nguyên lý biến phân Borwein-Preiss Chúng ta xét "đối tác" nguyên lý biến phân Borwein-Preiss nguyên lý biến phân Deville-Godefroy-Zizler Chương : Ứng dụng nguyên lý biến phân chứng minh số định lý giải tích hàm, tồn nghiệm hệ phương trình bất phương trình tuyến tính, chứng minh số định lý lý thuyết tối ưu Mục đích nghiên cứu • Luận văn nghiên cứu số nguyên lý biến phân giải tích • Ứng dụng nguyên lý biến phân chứng minh số định lý giải tích hàm lý thuyết tối ưu Nhiệm vụ nghiên cứu • Nghiên cứu số nguyên lý biến phân ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Nguyên lý biến phân Ekeland nguyên lý biến phân Borwein-Preiss • Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu dạng khác số nguyên lý biến phân ứng dụng Phương pháp nghiên cứu • Vận dụng kiến thức, phương pháp giải tích hàm, giải tích không trơn, lý thuyết tối ưu • Phân tích, tổng hợp hệ thống kiến thức liên quan đến nguyên lý biến phân ứng dụng Dự kiến đóng góp luận văn Cố gắng xây dựng luận văn thành tài liệu tổng quan tốt đề tài số nguyên lý biến phân ứng dụng Do thời gian thực luận văn không nhiều, kiến thức hạn chế nên làm luận văn không tránh khỏi hạn chế sai sót Tác giả mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Chương Một số nguyên lý biến phân Chương dành để hệ thống lại số dạng nguyên lý biến phân Nội dung chọn lọc từ tài liệu [2], [5] 1.1 Nguyên lý biến phân Ekeland 1.1.1 Minh họa hình học Xét hàm nửa liên tục f bị chặn không gian Banach (X, ) Rõ ràng f không đạt cực tiểu phương diện hình học, f giá siêu phẳng Nguyên lý biến phân Ekeland cung cấp thay xấp xỉ để đạt cực tiểu khẳng định rằng, với ε > 0, f phải có nón tựa có dạng f (y) − ε x − y Điều minh họa Hình 1.1 Chúng ta bắt đầu với điểm z0 mà f (z0 ) < inf X f + ε xét nón f (z0 ) − ε x − z0 Nếu nón không đỡ f ta tìm điểm z1 ∈ S0 := x ∈ X|f (x) ≤ f (z) − ε x − z cho f (z1 ) < inf f + [f (z0 ) − inf f ] S0 S0 Nếu f (z1 )−ε x − z1 không đỡ f lặp lại bước Với trình tìm nón tựa mong muốn tạo dãy tập đóng lồng (Si ) có đường kính thu nhỏ lại đến Cuối (2.15) Hệ 2.3.2 ([5], Corollary 3.18) (Bổ đề Farkas, phiên affine) Giả sử hệ (2.17) , x ≤ αi , i = 1, , m, n có nghiệm, {ai }m ⊂ R Khi phát biểu sau tương đương: (a) Nếu x thỏa mãn , x ≤ αi , i = 1, , m, c, x ≤ γ, m m (b) Tồn ≤ λ ∈ R cho m λi αi ≤ γ λi = c, i=1 i=1 Chứng minh Lưu ý khẳng định (a) tương đương với vô nghiệm hệ bất phương trình tuyến tính    −c, x < −γ,   , x ≤ αi , i = 1, , m Từ Định lý 2.3.3 (Định lý Motzkin, phiên affine) suy tồn nhân tử không âm = (µ0 , µ1 ) ∈ R2 , λ ∈ Rm cho  m   λi = 0, −µ1 c + i=1 m   −µ1 γ + λi αi +µ0 = i=1 Nếu µ1 > ta giả sử µ1 = tính khẳng định m chứng minh Nếu µ1 = ta có µ0 > 0, m λi = 0, i=1 λi αi < i=1 Điều mâu thuẫn với tồn nghiệm (2.17), x thỏa mãn m 0≥ m λi ( , x − αi ) = − i=1 λi αi > i=1 41 2.4 Nguyên lý biến phân Borwein-Preiss vi phân 2.4.1 Dưới vi phân Fréchet Định nghĩa 2.4.1 ([2], Definition 3.1.1) (Dưới vi phân Fréchet) Cho X không gian Banach thực Cho f : X → R ∪ {+∞} hàm thường nửa liên tục Ta nói f khả vi Fréchet x∗ đạo hàm Fréchet f x x ∈ domf |f (x + h) − f (x) − x∗ , h | lim inf ≥ h h →0 (2.18) Ta ký hiệu tập tất đạo hàm Fréchet f x ∂F f (x) gọi vi phân Fréchet f x Để thuận tiện ta định nghĩa ∂F f (x) = ∅ x ∈ / domf Định nghĩa 2.4.2 ([2], Definition 3.1.2) (Dưới vi phân Fréchet nhớt) Cho X không gian Banach thực Cho f : X → R ∪ {+∞} hàm thường nửa liên tục Ta nói f khả vi Fréchet nhớt x∗ đạo hàm Fréchet nhớt f x x ∈ domf tồn hàm g C cho g (x) = x∗ f − g đạt cực tiểu địa phương x Ta ký hiệu tập tất đạo hàm Fréchet nhớt f x ∂V F f (x) gọi vi phân Fréchet nhớt f x Để thuận tiện ta định nghĩa ∂V F f (x) = ∅ x ∈ / domf Vì thêm vào g số không ảnh hưởng đến đạo hàm nên yêu cầu f − g đạt cực tiểu địa phương x định nghĩa 42 Quan hệ sau vi phân Fréchet vi phân Fréchet nhớt đơn giản hữu ích Mệnh đề 2.4.1 ([2], Proposition 3.1.3) Cho X không gian Banach cho f : X → R ∪ {+∞} hàm nửa liên tục Khi ∂V F f (x) ⊂ ∂F f (x) Chứng minh Giả sử x∗ ∈ ∂V F f (x) Khi tồn hàm g ∈ C cho g (x) = x∗ f − g đạt cực tiểu địa phương x Suy tồn ε > để (f − g)(x + h) ≥ (f − g)(x) với h thỏa mãn h < ε Hay f (x + h) − f (x) − [g(x + h) − g(x)] ≥ 0, ∀ h < ε Vì g ∈ C nên ta có g(x + h) − g(x) = g (x)h + o(h) = x∗ , h + o(h) Do f (x + h) − f (x) − x∗ , h + o(h) ≥ 0, (2.19) với h đủ nhỏ Nếu x∗ ∈ / ∂F f (x) f (x + h) − f (x) − x∗ , h lim inf < h h →0 Do tồn α > dãy {hk } → để f (x + hk ) − f (x) − x∗ , hk < −α hk ⇔ f (x + hk ) − f (x) − x∗ , hk < −α hk , mâu thuẫn với (2.19) Vậy phải có x∗ ∈ ∂F f (x) Nếu f khả vi Fréchet x không khó để ta ∂F f (x) = f (x) Điều ngược lại không Nói chung, ∂F f (x) có 43 thể ∅ x ∈ domf Một ví dụ đơn giản ∂F f (− ) (0) = ∅ Tuy nhiên, áp dụng nguyên lý biến phân lại thu kết quan trọng sau tồn vi phân Fréchet Định lý 2.4.1 ([2], Theorem 3.1.4) Cho X không gian Banach trơn Fréchet cho f : X → R ∪ {+∞} hàm nửa liên tục Khi {x ∈ X|∂F f (x) = ∅} trù mật domf Chứng minh Cho x ∈ domf cho ε số dương tùy ý Ta f khả vi Fréchet số điểm y ∈ Bε (x) Vì f nửa liên tục x nên tồn δ > cho f (x) > f (x) − với x ∈ Bδ (x) Định nghĩa f := f + ιBδ (x) Khi f hàm nửa liên tục f (x) = f (x) < inf f + = inf f + Bδ (x) X Áp dụng nguyên lý biến phân Borwein-Preiss Định lý 1.3.2, sử dụng giả thiết nửa chuẩn trơn Fréchet với λ < min(δ, ε), ta kết luận tồn y ∈ Bλ (x) ⊂ int(Bδ (x) ∩ Bε (x)) ϕ2 (x) := ∞ i=1 µi x − xi (xi ) dãy hội tụ tới y (µi ) dãy số dương thỏa mãn ∞ i=1 µi = cho f + λ−2 ϕ2 đạt cực tiểu y Vì y điểm Bδ (x) nên f + λ−2 ϕ2 đạt cực tiểu địa phương y Sau kiểm tra ϕ2 khả vi Fréchet, ta thấy f khả vi Fréchet y ∈ Bε (x) Sau phiên vi phân nguyên lý biến phân Borwein-Preiss Đây dạng thường sử dụng ứng dụng có liên quan đến vi phân 44 Định lý 2.4.2 ([2], Theorem 3.1.10) Cho X không gian Banach với chuẩn trơn Fréchet cho f : X → R ∪ {+∞} hàm nửa liên tục bị chặn dưới, λ > p > Khi đó, với ε > z ∈ X thỏa mãn f (z) < inf f + ε, X tồn điểm y ∈ X cho z − y ≤ λ hàm ϕ C với |ϕ(y)| < ε ϕ (y) < pε/λ cho f + ϕ đạt cực tiểu y Do đó, ∂F f (y) ∩ pε BX ∗ = ∅ λ ∞ µi x − xi Chứng minh Theo Định lý 1.3.2 ta có hàm ϕp (x) = i=1 ∞ với µi > p µi = thỏa mãn điều kiện định lý Đặt i=1 ϕ(x) = ε ϕp (x), ∀ x ∈ X λp Từ (ii) Định lý 1.3.2 suy |ϕ(y)| < ε Từ (iii) Định lý 1.3.2 suy f + ϕ đạt cực tiểu y Chú ý chuẩn X trơn Fréchet nên p khả vi với p > Do ε ε ϕ (x) = p ϕp (x) = p λ λ ∞ µi p x − xi p−1 i=1 Suy pε ϕ (x) ≤ p λ ∞ µi x − xi i=1 p−1 pε ≤ p λ ∞ µi λp−1 = i=1 pε λ Rõ ràng −ϕ (x) ∈ ∂V F f (x) −ϕ (x) ∈ ∂F f (x) Hơn −ϕ (x) ∈ pε BX ∗ Vậy ta có điều phải chứng minh λ 45 2.4.2 Quy tắc tổng xấp xỉ không địa phương Định nghĩa 2.4.3 ([2], Definition 3.2.1) (Tách Cận đúng) Cho X không gian Banach, fn : X → R ∪ {+∞} , n = 1, , N hàm nhận giá trị vô S tập X Ta định nghĩa tách cận f1 , , fN S [f1 , , fN ] (S) := N lim inf η→0 fn (xn ) : diam(x0 , x1 , , xN ) ≤ η ιS (x0 ) + (2.20) n=1 Bổ đề 2.4.1 ([2], Lemma 3.2.2) Cho sp (y1 , , yN ) := N n,m=1 yn − ym p với p ≥ Giả sử (x∗1 , , x∗N ) ∈ ∂F sp (x1 , , xN ) Khi N x∗n = (2.21) n=1 Hơn nữa, p = s1 (x1 , , xN ) > max{ x∗n | n = 1, , N } ≥ (2.22) Chứng minh Kết luận (2.21) dễ dàng suy từ giả thiết khái niệm vi phân Fréchet Để chứng minh (2.22) thấy s1 Theo Mệnh đề 2.4.1 ta có N x∗n , −xn ≤ lim inf n=1 t→0+ s1 (x1 − tx1 , , xN − txN ) − s1 (x1 , , xN ) t = −s(x1 , , xN ) (2.23) 46 Kết hợp (2.21) (2.23) ta có N −1 N x∗n , xn s1 (x1 , , xN ) ≤ x∗n , xn − xN = n=1 n=1 N −1 ≤ max{ x∗n |n = 1, , N − 1} xn − xN n=1 ≤ max{ x∗n |n = 1, , N − 1}s1 (x1 , , xN ), (2.24) từ suy (2.22) s1 (x1 , , xN ) > Bây chứng minh kết phần Định lý 2.4.3 ([2], Theorem 3.2.3) (Quy tắc tổng xấp xỉ không địa phương) Cho X không gian Banach trơn Fréchet cho f1 , , fN : X → R ∪ {+∞} hàm nửa liên tục bị chặn Giả sử [f1 , , fN ] (X) < +∞ Khi đó, với ε > tùy ý, tồn xn x∗n ∈ ∂F fn (xn ), n = 1, , N thỏa mãn diam(x1 , , xN ) × max(1, x∗1 , , x∗N ) < ε, (2.25) N fn (xn ) < [f1 , , fN ] (X) + ε (2.26) n=1 cho N x∗n < ε (2.27) n=1 Chứng minh Không tính tổng quát, ta giả sử khả vi C x = Định nghĩa, với số thực r > s2 Bổ đề 2.4.1, N ωr (y1 , , yN ) := fn (yn ) + rs2 (y1 , , yN ) n=1 47 Mr := inf ωr Khi Mr hàm tăng r bị chặn [f1 , , fN ] (X) Cho M := limr→∞ Mr Lưu ý không gian tích X N N không gian Banach trơn Fréchet X (với chuẩn tích Euclid) trơn Fréchet Với r, áp dụng nguyên lý biến phân Borwein-Preiss Định lý 2.4.2 cho hàm ωr , ta hàm φr C xn,r , n = 1, , N cho N fn (xn,r ) ≤ ωr (x1,r , , xN,r ) < inf ωr + n=1 φr (x1,r , , xN,r ) < 1 ≤M+ , r r (2.28) ε , N N fn (yn ) + rs2 (y1 , , yN ) + φr (y1 , , yN ) n=1 đạt cực tiểu địa phương (x1,r , , xN,r ) Vậy, (x∗1,r , , x∗N,r ) := −φr (x1,r , , xN,r ) − rs2 (x1,r , , xN,r ) ∈ ∂F f1 (x1,r ) × × ∂F fN (xN,r ) Cộng N thành phần bao hàm thức sử dụng Bổ đề 2.4.1 ta (2.27) Theo định nghĩa Mr ta có Mr/2 ≤ ωr/2 (x1,r , , xN,r ) r = ωr (x1,r , , xN,r ) − s2 (x1,r , , xN,r ) r ≤ Mr + − s2 (x1,r , , xN,r ) r (2.29) Viết lại (2.29) thành rs2 (x1,r , , xN,r ) ≤ 2(Mr − Mr/2 + 1r ) thu lim rs2 (x1,r , , xN,r ) = (2.30) lim diam(x1,r , , xN,r ) = (2.31) r→∞ Vì thế, r→∞ 48 Hơn nữa, lim diam(x1,r , , xN,r ) × max( x∗1,r , , x∗N,r ) = r→∞ (2.32) Cũng thế, M≤ [f1 , , fN ] (X) N ≤ lim inf r→∞ fn (xn,r ) = lim inf ωr (x1,r , , xN,r ) ≤ M r→∞ n=1 dẫn tới M= [f1 , , fN ] (X) (2.33) Với r đủ lớn, đặt xn := xn,r x∗n := x∗n,r , n = 1, , N Khi (2.25) suy từ (2.31) (2.32) (2.26) suy từ (2.28) (2.33) Quy tắc tổng xấp xỉ không địa phương công cụ mạnh để chứng minh tính nghiệm nhớt phương trình Hamilton-Jacobi toán điều khiển tối ưu Sau tìm hiểu cụ thể vấn đề 2.4.3 Tính nghiệm nhớt Xét phương trình Hamilton-Jacobi sau u + H(x, u ) = (2.34) Phương trình liên quan chặt chẽ đến hàm giá trị tối ưu toán điều khiển tối ưu 49 Xét hàm giá trị u toán điều khiển tối ưu ∞ e−t f (x(t), c(t))dt : x (t) = g(x(t), c(t)), u(x) := inf c(t) ∈ C, x(0) = x (2.35) f g hàm Lipschitz, c hàm đo gọi hàm điều khiển, C tập compact gọi miền chấp nhận hàm điều khiển Ta giả định với x bất kỳ, tồn điều khiển tối ưu cho toán Khi u trơn thỏa mãn phương trình (2.34) với H(x, p) := sup{ −g(x, c), p − f (x, c) : c ∈ C} (2.36) Nhìn chung hàm giá trị không thiết phải trơn phương trình (2.34) không thiết phải có nghiệm cổ điển Các nghiệm nhớt đưa để thay nghiệm cổ điển Chúng ta nhắc lại định nghĩa Đầu tiên, cho f : X → R ∪ {−∞} hàm nửa liên tục Ta định nghĩa vi phân Fréchet f x ∂ F f (x) := −∂F (−f )(x) Định nghĩa 2.4.4 ([2], Definition 3.2.4) (Nghiệm nhớt) Một hàm u : X → R nghiệm nhớt (dưới nghiệm nhớt) phương trình (2.34) u nửa liên tục (trên) và, với x ∈ X x∗ ∈ ∂F (u)(x) (x∗ ∈ ∂ F (u)(x)), u(x) + H(x, x∗ ) ≥ (u(x) + H(x, x∗ ) ≤ 0) Một hàm liên tục u gọi nghiệm nhớt u vừa nghiệm nhớt vừa nghiệm nhớt 50 Tính nghiệm nhớt suy từ định lý sau Định lý 2.4.4 ([2], Theorem 3.2.5) (Định lý So sánh) Cho u hàm nửa liên tục bị chặn v hàm nửa liên tục bị chặn Giả sử H : X × X ∗ → R thỏa mãn giả thiết sau: với x1 , x2 ∈ X x∗1 , x∗2 ∈ X ∗ , |H(x1 , x∗1 ) − H(x2 , x∗2 )| ≤ ω(x1 − x2 , x∗1 − x∗2 ) +M max( x∗1 , x∗2 ) x1 − x2 M > số ω : X × X ∗ → R hàm liên tục với ω(0, 0) = Giả sử thêm u nghiệm nhớt phương trình (2.34) v nghiệm nhớt phương trình (2.34) Khi u ≤ v Chứng minh Cho ε số dương tùy ý Áp dụng quy tắc tổng xấp xỉ không địa phương Định lý 2.4.3 với f1 = v f2 = −u, tồn x1 , x2 ∈ X, x∗1 ∈ ∂F v(x1 ) x∗2 ∈ ∂ F u(x2 ) thỏa mãn • x1 − x2 < ε, x∗1 x1 − x2 < ε x∗2 x1 − x2 < ε; • v(x1 ) − u(x2 ) < inf X (v − u) + ε; • x∗1 − x∗2 ≤ ε Vì hàm v nghiệm nhớt phương trình (2.34) nên ta có v(x1 ) + H(x1 , x∗1 ) ≥ Tương tự u(x2 ) + H(x2 , x∗2 ) ≤ 51 Vì thế, inf (v − u) > v(x1 ) − u(x2 ) − ε X ≥ [H(x2 , x∗2 ) − H(x1 , x∗1 )] − ε ≥ − [ω(x2 − x1 , x∗2 − x∗1 ) + M max( x∗1 , x∗2 ) x2 − x1 ] − ε Khi ε → vế phải hội tụ đến nên ta inf X (v − u) ≥ Hệ 2.4.1 ([2], Corollary 3.2.6) (Tính nghiệm nhớt) Với giả thiết Định lý 2.4.4 nghiệm nhớt liên tục bị chặn phương trình (2.34) Chứng minh Giả sử u v nghiệm nhớt phương trình (2.34) Thế u nghiệm nhớt v nghiệm nhớt phương trình (2.34), dẫn tới u ≤ v Mặt khác có v nghiệm nhớt u nghiệm nhớt phương trình (2.34), nên v ≤ u Vậy u = v 52 Kết luận: Trong chương ứng dụng nguyên lý biến phân Ekeland để chứng minh số định lý giải tích hàm, số định lý tồn nghiệm hệ phương trình bất phương trình tuyến tính Ứng dụng nguyên lý biến phân Borwein-Preiss để chứng minh số định lý vi phân 53 Kết luận Luận văn tập trung nghiên cứu số nguyên lý biến phân ứng dụng Các kết luận văn bao gồm: Hệ thống lại số dạng nguyên lý biến phân Ekeland nguyên lý biến phân Borwein-Preiss Ứng dụng nguyên lý biến phân Ekeland để chứng minh nguyên lý điểm bất động, Định lý ánh xạ mở, Định lý Graves số định lý tồn nghiệm hệ phương trình bất phương trình tuyến tính Ứng dụng nguyên lý biến phân Borwein-Preiss để chứng minh số định lý vi phân Fréchet 54 Tài liệu tham khảo [1] J M Borwein, S Lewis (2000), Convex analysis and nonlinear optimization, Springer, New York [2] J M Borwein, Q Zhu (2005), Techniques in Variational Analysis, Springer, New York [3] F H Clarke (1983), Optimization and nonsmooth analysis, SIAM, New York [4] A Granas, J Dugundji (2003), Fixed point theory, Springer, New York [5] O G¨ uler (2010), Foundations of optimization, Springer, New York 55 ... tính, chứng minh số định lý lý thuyết tối ưu Mục đích nghiên cứu • Luận văn nghiên cứu số nguyên lý biến phân giải tích • Ứng dụng nguyên lý biến phân chứng minh số định lý giải tích hàm lý thuyết... Chương Một số nguyên lý biến phân 1.1 Nguyên lý biến phân Ekeland 1.2 Dạng hình học nguyên lý biến phân Ekeland 12 1.3 Nguyên lý biến phân. .. Borwein-Preiss Chúng ta xét "đối tác" nguyên lý biến phân Borwein-Preiss nguyên lý biến phân Deville-Godefroy-Zizler Chương : Ứng dụng nguyên lý biến phân chứng minh số định lý giải tích hàm, tồn nghiệm