Một số phương pháp biến phân và ứng dụng

Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ SEN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Tuấn HÀ NỘI, 2014 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, hướng dẫn TS. Nguyễn Văn Tuấn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Tuấn, người thầy tận tình bảo, động viên khuyến khích tác giả ngày đầu làm quen với nghiên cứu khoa học trình thực luận văn. Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo Khoa Toán, Trường Đại học sư phạm Hà Nội với thầy cô tham gia giảng dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập từ năm sinh viên ngày hôm nay. Thêm nữa, tác giả xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp trường THPT Hàm Long, Bắc Ninh (nơi tác giả công tác) tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập thực luận văn này. Hà Nội, tháng 07 năm 2014 Tác giả ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn T.S Nguyễn Văn Tuấn. Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn. Một số kết đạt luận văn chưa công bố công trình khoa học khác. Hà Nội, tháng 07 năm 2014 Tác giả Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1. Các khái niệm giải tích hàm . . . . . . . . . . 1.1.1. Không gian tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Spline đa thức bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3. Sai số xấp xỉ tốt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1. Sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2. Xấp xỉ tốt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.3. Tốc độ hội tụ nghiệm xấp xỉ . . . . . . . . . 14 1.4. Ma trận đường chéo trội . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5. Khái niệm phương trình tích phân . . . . . . . . . . . 15 1.5.1. Phương trình toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . 15 iii iv 1.5.2. Phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . Một số phương pháp biến phân 15 17 2.1. Phương pháp biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2. Phương pháp Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.2. Phương pháp Galerkin phương trình vi phân cấp n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.3. Phương pháp Galerkin phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3. Phương pháp collocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3.2. Phương pháp spline collocation phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3.3. Phương pháp spline collocation phương trình vi tích phân Fredholm - Volterra . . . . . . Một số ứng dụng phương pháp biến phân 54 61 3.1. Áp dụng phương pháp Galerkin giải xấp xỉ phương trình vi phân bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.2. Áp dụng phương pháp collocation giải xấp xỉ phương trình vi tích phân Fredholm - Volterra . . . . . . . . . . . . . . Kết luận 66 70 v Tài liệu tham khảo 71 BẢNG KÍ HIỆU Luận văn sử dụng kí hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: N Tập số tự nhiên N∗ Tập số tự nhiên khác không Z Tập số nguyên Q Tập số hữu tỷ R Tập số thực C Tập số phức C[a; b] Tập tất hàm số thực liên tục [a, b] Ck [a; b] Tập tất hàm số xác định có đạo hàm liên tục đến cấp k [a, b] L2 [a; b] Tập tất hàm bình phương khả tích [a, b] span(A) Tập tất tổ hợp tuyến tính phần tử A Ø Tập hợp rỗng. MỞ ĐẦU 1. Lý chọn đề tài Trong khoa học, kỹ thuật thường gặp nhiều toán liên quan tới giải toán biên với phương trình toán tử vi phân, vi tích phân. Việc giải tìm nghiệm toán nhiều trường hợp không giải nghiệm ý nghĩa thiết thực. Bởi người ta dùng nhiều phương pháp khác để giải toán biên với phương trình toán tử vi phân tuyến tính. Trong phương pháp biến phân có nhiều ưu điểm nhiều nhà toán học nước quan tâm nghiên cứu. Do vậy, nhờ giúp đỡ hướng dẫn tận tình Tiến sĩ Nguyễn Văn Tuấn chọn nghiên cứu đề tài: “ Một số phương pháp biến phân ứng dụng”. Bố cục luận văn gồm chương: Chương luận văn trình bày số khái niệm giải tích hàm, khái niệm không gian hàm spline đa thức, sai số khái niệm phương trình tích phân. Chương luận văn tập trung trình bày phương pháp Galerkin phương pháp collocation. Chương luận văn trình bày ứng dụng phương pháp Galerkin phương pháp collocation giải phương trình vi phân bậc cao, phương trình vi tích phân Fredholm - Volterra ứng dụng giải số lập trình Maple 14. 2. Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu khái niệm tính chất hai phương pháp biến phân: phương pháp Galerkin phương pháp collocation. - Nghiên cứu ứng dụng hai phương pháp biến phân việc giải phương trình vi phân, phương trình vi tích phân. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu khái niệm tính chất hai phương pháp biến phân trên. - Nghiên cứu ứng dụng hai phương pháp biến phân giải phương trình vi phân phương trình vi tích phân. - Nghiên cứu lập trình Maple để ứng dụng. 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: "phương pháp Galerkin phương pháp collocation". - Phạm vi nghiên cứu: Các khái niệm, tính chất, ứng dụng vào giải phương trình vi phân, phương trình tích phân. Lập trình Maple để giải toán đặt ra. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp phương pháp lấy ý kiến chuyên gia. 6. Giả thuyết khoa học Áp dụng phương pháp Galerkin phương pháp collocation cho lớp phương trình vi phân, vi tích phân bậc cao thu nghiệm xấp xỉ với độ xác cao. 57 Rõ ràng ∈ Sp (πn , p, q) thỏa mãn (2.62) + Pn T = Pn f (2.63) Bổ đề 2.3. Giả sử aj (t) ∈ C [a, b] , j = 0, ., m − , Ki (t, s) ∈ C (Ω) , i = 1, |K2 (t1 , s) − K2 (t2 , s)| ≤ L |t1 − t2 | , ∀t1 , t2 ∈ [a, b] đó, L số dương. Pn phép chiếu tuyến tính liên tục thỏa mãn Pn f − f ≤ M ω (f, hn ) , ∀f ∈ C [a, b] Pn f (ζi ) = f (ζi ) , ∀ζi ∈ Sn , ∀f ∈ C [a, b] , đó, M số độc lập với n ω (f, hn ) mô đun liên tục hàm f với hn . Khi đó, 1) Dãy Pn hội tụ điểm tới toán tử đồng I C [a, b]. 2) Dãy Pn T hội tụ tới T không gian L (C [a, b] , C [a, b]) (không gian gồm toán tử tuyến tính liên tục C [a, b]). Chứng minh. Dễ thấy 1) thỏa mãn. Chứng minh 2) Vì aj (t) ∈ C [a, b] , Ki (t, s) , G (t, s) ∈ C (Ω) K2 (t, s) thỏa mãn điều kiện Lipschitz đối tới t, toán tử T hoàn toàn liên tục C [a, b]. Đặt S (0, ρ) = {u (t) ∈ C [a, b] : u ≤ ρ, ρ > 0} 58 Vì toán tử T hoàn toàn liên tục nên với ε dương tùy ý, tồn tập hữu hạn B = {y1 , ., yl } cho với u1 ∈ S (0, ρ) tồn yi ∈ B thỏa mãn T u1 − yi < ε Khi đó, ta có T u1 − Pn T u1 = (I − Pn ) T u1 ≤ (I − Pn ) (T u1 − yi ) + (I − Pn ) yi ≤ (I − Pn ) ε + + (I − Pn ) yi Vì dãy {Pn } dãy gồm phép chiếu tuyến tính liên tục hội tụ điểm đến I C [a, b] không gian Banach nên theo định lý Banach Steinhauss, dãy {Pn } bị chặn. Do đó, ∃M1 > cho Pn ≤ M1 , ∀n Với n đủ lớn, ta có T u1 − Pn T u1 ≤ (1 + M1 ) ε + ε ≤ (2 + M1 ) ε, ∀u1 ∈ S (0, ρ) Do Pn T − T → n → ∞. Bổ đề chứng minh. Định lý 2.3.4. Cho aj (t) ∈ C [a, b] , j = 0, ., m − 1, Ki (t, s) ∈ C (Ω) , i = 1, |K2 (t1 , s) − K2 (t2 , s)| ≤ L |t1 − t2 | , ∀t1 , t2 ∈ [a, b] đó, L số dương. Giả sử Pn phép chiếu đề cập bổ đề tồn 59 toán tử ngược (I + T )−1 phương trình (2.61) phương trình (2.59) có nghiệm tầm thường. Khi đó, 1) Với n đủ lớn (n ≥ N0 ) tồn nghiệm collocation un toán (2.57), (2.58) cho un ∈ Sp (πn , m + p, q + m) Sn . 2) Tốc độ hội tụ nghiệm xấp xỉ un tới nghiệm xác u đánh giá u − un ≤ βω u(m) , hn đó, β = M γ U . Chứng minh. Đặt A = I + T B = Pn T − T . Rõ ràng, A B toán tử tuyến tính bị chặn C [a, b]. Mặt khác, theo bổ đề Pn T − T → n → ∞ Do tồn số tự nhiên N0 cho với n ≥ N0 , ta có Pn T − T ≤ α , α (I + T )−1 < đó, α số dương. Hơn nữa, tồn toán tử ngược (A + B)−1 = (I + Pn T )−1 (I + Pn T )−1 ≤ (I + T )−1 −1 − α (I + T ) Vì phương trình (2.63) có nghiệm = (I + Pn T )−1 Pn f. =γ 60 Vì (2.59) có nghiệm tầm thường nên tồn nghiệm collocation b G (t, s) (s) ds, un (t) ∈ Sp (πn , p + m, q + m ) , n ≥ N0 . un (t) = a Ta chứng minh 1). Chứng minh 2) Theo (2.62), ta có v + Pn T v = Pn f + v − Pn v, v − + Pn T (v − ) = v − Pn v v − = (I + Pn T )−1 (v − Pn v) Từ suy u − un = U (v − ) = U (I + Pn T )−1 x(m) − Pn x(m) , u − un ≤ γ U M ω x(m) , hn ≤ βω x(m) , hn đó, β = γ U M Định lý chứng minh. Chương Một số ứng dụng phương pháp biến phân 3.1. Áp dụng phương pháp Galerkin giải xấp xỉ phương trình vi phân bậc cao Ví dụ 3.1.1. Giải phương trình vi phân u(4) − 4u + 5u − 4u + 4u = (t + 1) et , (0 ≤ t ≤ 1) Lời giải. Phương trình (3.1) có nghiệm xác 10 u (t) = − e2t + te2t − cos t + sin t + t + et Áp dụng phương pháp Galerkin giải xấp xỉ phương trình (3.1) Đặt Au (t) = u(4) (t) − 4u (t) + 5u (t) − 4u (t) + 4u (t) Khi đó, phương trình (3.1) có dạng Au = f 61 (3.1) 62 đó, f ∈ C [0, 1] , f (t) = (t + 1) et . Chọn φ1 (t) = , φ2 (t) = t φ3 (t) = t2 , φ4 (t) = t3 . Áp dụng phương pháp Galerkin tìm nghiệm xấp xỉ phương trình (3.1) có dạng u4 (t) = c1 φ1 (t) + c2 φ2 (t) + c3 φ3 (t) + c4 φ4 (t) c1 , c2 , c3 , c4 nghiệm hệ phương trình đại số   (Aφ1 , φ1 ) c1 + (Aφ2 , φ1 ) c2 + (Aφ3 , φ1 ) c3 + (Aφ4 , φ1 ) c4 = (f, φ1 )       (Aφ1 , φ2 ) c1 + (Aφ2 , φ2 ) c2 + (Aφ3 , φ2 ) c3 + (Aφ4 , φ2 ) c4 = (f, φ2 )   (Aφ1 , φ3 ) c1 + (Aφ2 , φ3 ) c2 + (Aφ3 , φ3 ) c3 + (Aφ4 , φ3 ) c4 = (f, φ3 )      (Aφ , φ ) c + (Aφ , φ ) c + (Aφ , φ ) c + (Aφ , φ ) c = (f, φ ) 4 4 4 Lập trình tính toán với Maple 14 φ1 := t → 1; φ2 := t → t; φ3 := t → t2 ; φ4 := t → t3 ; f := t → (t + 1) et ; A := unapply (dif f (u (t) , t, t, t, t) − 4.dif f (u (t) , t, t, t) +5.dif f (u (t) , t, t) − 4.dif f (u (t) , t) + 4.u (t) , u) ; a11 := Aφ1 (t) .φ1 (t) dt ; a12 := Aφ2 (t) .φ1 (t) dt ; 63 a13 := Aφ3 (t) .φ1 (t) dt ; a14 := Aφ4 (t) .φ1 (t) dt ; a21 := Aφ1 (t) .φ2 (t) dt ; a22 := Aφ2 (t) .φ2 (t) dt ; a23 := Aφ3 (t) .φ2 (t) dt ; a24 := Aφ4 (t) .φ2 (t) dt ; a31 := Aφ1 (t) .φ3 (t) dt ; a32 := Aφ2 (t) .φ3 (t) dt ; a33 := Aφ3 (t) .φ3 (t) dt ; a34 := Aφ4 (t) .φ3 (t) dt ; a41 := Aφ1 (t) .φ4 (t) dt ; 64 a42 := Aφ2 (t) .φ4 (t) dt ; a43 := Aφ3 (t) .φ4 (t) dt ; a44 := Aφ4 (t) .φ4 (t) dt ; b1 := f (t) .φ1 (t) dt ; b2 := f (t) .φ2 (t) dt ; b3 := f (t) .φ3 (t) dt ; b4 := f (t) .φ4 (t) dt ; eqn1 := a11 .c1 + a12 .c2 + a13 .c3 + a14 .c4 = b1 ; eqn2 := a21 .c1 + a22 .c2 + a23 .c3 + a24 .c4 = b2 ; eqn3 := a31 .c1 + a32 .c2 + a33 .c3 + a34 .c4 = b3 ; eqn4 := a41 .c1 + a42 .c2 + a43 .c3 + a44 .c4 = b4 ; solve ({eqn1, eqn2, eqn3, eqn4} , {c1 , c2 , c3 , c4 }) ; u4 := c1 .φ1 (t) + c2 .φ2 (t) + c3 .φ3 (t) + c4 .φ4 (t) ; 65 Chạy chương trình ta thu kết   4c1 − 2c2 + 22   c3 − 12c4 = e     2c1 − c2 + 10 c3 − 21 c4 = −1 + e 3  32 67   c1 − c2 + 15 c3 − 30 c4 = − e     c − c + 47 c − 10 c = −18 + 7e 30 {c1 = −0, 3068 , c2 = 0, 5891 , c3 = 1, 2148 , c4 = 0, 3154} u4 = −0, 3068 + 0, 5891 t + 1, 2148 t2 + 0, 3154 t3 Vậy nghiệm xấp xỉ Galerkin phương trình (3.1) u4 (t) = −0, 3068 + 0, 5891t + 1, 2148t2 + 0, 3154t3 Lập trình tính toán với Maple 14 restart; with(linalg); 10 a := array (1 10, 4) : u := t → − e2t +te2t −cos t+ sin t+ t + et ; u4 := t → −0, 3068 + 0, 5891 t + 1, 2148 t2 + 0, 3154 t3 ; For i from to 10 a [i, 1] := evalf i 200 a [i, 2] := evalf u ; i 200 ; i 200 ; a [i, 4] := evalf abs u i 200 a [i, 3] := evalf u4 − u4 i 200 ; od; print(a); Chạy chương trình ta kết u(t), u4 (t) sai số |u (t) − u4 (t)| số giá trị bảng 66 t u(t) u4 (t) |u(t) − u4 (t)| 0.005 -0.475770684 -0.3038240906 0.1719465934 0.01 -0.451415461 -0.3007872046 0.1506282564 0.015 -0.426933413 -0.2976891055 0.1292443075 0.02 -0.402323603 -0.2945295568 0.1077940462 0.025 -0.377585074 -0.2913083219 0.0862767521 0.03 -0.352716858 -0.2880251642 0.0646916938 0.035 -0.327717964 -0.2846798472 0.0430381168 0.04 -0.302587388 -0.2812721344 0.0213152536 0.045 -0.277324103 -0.2778017892 0.0004776862 0.05 -0.251927070 -0.2742685750 0.0223415050 Bảng 3.1: 3.2. Áp dụng phương pháp collocation giải xấp xỉ phương trình vi tích phân Fredholm - Volterra Ví dụ 3.2.1. Xét phương trình 1 u (t) + 2u (t) + s u (s) ds 20 t 19 33589 u (s) ds = −t5 + t4 − 4t3 + t2 + 2t − 2 5600 −5 thỏa mãn điều kiện biên   u (0) =  u (1) = có nghiệm xác u (t) = t4 − 2t3 + t (3.2) 67 Đặt t Lu (t) = u (t) + 2u (t) + 20 s3 u (s) ds − u (s) ds Khi đó, L toán tử tuyến tính từ không gian C [0, 1] vào C [0, 1]. Phương trình (3.2) có dạng Lu = f (3.3) đó, 19 33589 f ∈ C [0, 1] , f (t) = −t5 + t4 − 4t3 + t2 + 2t − 2 5600 Chọn φ1 (t) = t (t − 1) φ2 (t) = t2 (t − 1) thỏa mãn điều kiện   φ1 (0) = φ1 (1) =  φ (0) = φ (1) = hệ {φ1 , φ2 } hệ độc lập tuyến tính C [0, 1]. Áp dụng phương pháp collocation, tìm nghiệm xấp xỉ u2 thuộc X2 = span {φ1 , φ2 } có dạng u2 (t) = a1 φ1 (t) + a2 φ2 (t) đó, a1 , a2 nghiệm hệ phương trình tuyến tính   a1 Lφ1 (t1 ) + a2 Lφ2 (t1 ) = f (t1 )  a Lφ (t ) + a Lφ (t ) = f (t ) Chọn t1 = 0, t2 = 1. Ta có Lφ1 (t) = φ1 (t) + 2φ1 (t) + 20 t s3 φ1 (s) ds − φ1 (s) ds 68 1199 = − t3 + t2 − 2t + 600 Lφ2 (t) = φ2 (t) + 2φ2 (t) + 20 t s3 φ2 (s) ds − φ2 (s) ds 11 1681 = − t4 + t3 − 2t2 + 6t − 840 Suy 1681 1199 , Lφ2 (t1 ) = Lφ2 (0) = − 600 840 3709 1699 , Lφ2 (t2 ) = Lφ2 (1) = Lφ1 (t2 ) = Lφ1 (1) = 600 840 33589 28011 f (t1 ) = f (0) = − , f (t2 ) = f (1) = 5600 5600 Lφ1 (t1 ) = Lφ1 (0) = Ta có hệ phương trình   1199 600 a1 − 1681 840 a2 = − 33589 5600  1699 600 a1 + 3709 840 a2 = 28011 5600 Giải hệ phương trình ta a1 ≈ −1, 136919 , a2 ≈ 1, 861938 Vậy nghiệm xấp xỉ collocation phương trình (3.2) u2 (t) = −1, 136919t (t − 1) + 1, 861938 t2 (t − 1) Lập trình tính toán với Maple 14 restart; with(linalg); a := array (1 15, 4) : u := t → t4 − 2t3 + t; u2 := t → −1, 136919t (t − 1) + 1, 861938 t2 (t − 1) ; For i from to 15 69 a [i, 1] := evalf i 100 ; i 100 a [i, 2] := evalf u ; i 100 ; a [i, 4] := evalf abs u i 100 a [i, 3] := evalf u2 − u2 i 100 ; od; print(a); Chạy chương trình ta kết u(t), u2 (t) sai số |u (t) − u2 (t)| số giá trị bảng. t u(t) u2 (t) |u(t) − u2 (t)| 0.01 0.009998010000 0.01107116624 0.001073156240 0.02 0.01998416000 0.02155373270 0.00156957270 0.03 0.02994681000 0.03145887103 0.00151206103 0.04 0.03987456000 0.04079775283 0.00092319283 0.05 0.04975625000 0.04958154975 0.00017470025 0.06 0.05958096000 0.05782143341 0.00175952659 0.07 0.06933801000 0.06552857543 0.00380943457 0.08 0.07901696000 0.07271414746 0.00630281254 0.09 0.08860761000 0.07938932110 0.00921828890 0.10 0.09810000000 0.08556526800 0.01253473200 0.11 0.1074844100 0.09125315978 0.01623125022 0.12 0.1167513600 0.09646416806 0.02028719194 0.13 0.1258916100 0.1012094645 0.0246821455 0.14 0.1348961600 0.1055002207 0.0293959393 0.15 0.1437562500 0.1093476082 0.0344086418 Bảng 3.2: KẾT LUẬN Luận văn trình bày kiến thức phương pháp Galerkin phương pháp collocation. Áp dụng phương pháp Galerkin cho lớp phương trình vi phân bậc cao, phương trình tích phân tuyến tính dạng đặc biệt phương trình tích phân phi tuyến. Chứng minh tồn nghiệm collocation đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm thông qua hàm Green. Nêu ứng dụng hai phương pháp vào giải phương trình vi phân bậc cao phương trình vi tích phân Fredholm - Volterra. Giải số phương trình cụ thể, giải số máy tính. Với khả thời gian có hạn, luận văn không tránh khỏi thiếu sót. Kính mong quý thầy cô bạn góp ý để luận văn hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn. Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Minh Chương (chủ biên), Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường, (2001), Giải tích số, Nhà xuất Giáo dục. [2] Nguyễn Minh Chương, Ya.D.Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), Giải xấp xỉ phương trình toán tử, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Hà Nội. [3] Phạm Huy Điển (2002),Tính toán, Lập trình giảng dạy toán học Maple, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Hà Nội. [4] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội. [B] Tài liệu tiếng Anh [5] P. M. Prenter, (2008), Spline and Variational Methods, Dover Publications, INC. Mineola, New York. [6] H. M. El – Hawary and K. A. El – Shami, (2009), "Spline Collocation Methods for Solving Second Order Neutral Delay Differential Equations", Int. J. Open Problems Compt. Math., 4, 1998 - 6262. 71 72 [7] Nguyen Minh Chuong and Nguyen Van Tuan, (1997), "Spline Collocation Methods for Fredholm - Volterra Integro - Differential Equations of High Order", Vietnam Journal of Mathematics, 25:1, 15-24. [...]... X và {φ1 , φ2 , , φN } là một cơ sở của XN Khi đó, phương pháp biến phân là một thuật toán xác định uN thuộc 17 18 XN có dạng uN = c1 φ1 + c2 φ2 + + cN φN sao cho AuN − f Y + uN − u X nhỏ nhất có thể Các phương pháp biến phân cơ bản: 1) Phương pháp bình phương nhỏ nhất 2) Phương pháp Rayleigh-Ritz 3) Phương pháp collocation 4) Phương pháp Galerkin 5) Phương pháp sai phân hữu hạn Các phương pháp biến. .. Volterra thì tương ứng với (1.3) và (1.4) ta có phương trình tích phân Volterra loại I và loại II Chương 2 Một số phương pháp biến phân (Kiến thức trong chương này được trích dẫn từ tài liệu [2], [5] và [7]) 2.1 Phương pháp biến phân Khái niệm 2.1.1 Cho X, Y là các không gian tuyến tính định chuẩn với các chuẩn kí hiệu tương ứng X , Y và A là một toán tử xác định A:X→Y u → Au Xét phương trình Au =... Như vậy phương pháp Galerkin là phương pháp đi tìm nghiệm gần đúng của phương trình (2.1) có dạng uN = c1 φ1 + c2 φ2 + + cN φN trong đó, c1 , c2 , , cN là nghiệm của hệ phương trình đại số (2.5) Nếu toán tử A là toán tử tuyến tính đối xứng và xác định dương thì ta giải hệ (2.3) bằng phương pháp Rayleigh - Ritz Tuy nhiên, toán tử A không đối xứng và không xác định dương thì áp dụng phương pháp Galerkin... hạn Các phương pháp biến phân kể trên được quan tâm nghiên cứu trong và ngoài nước Trong luận văn này tôi trình bày hai phương pháp thường được dùng trong giải gần đúng các phương trình toán tử Đó là phương pháp Galerkin và phương pháp collocation 2.2 Phương pháp Galerkin 2.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 2.2.1 Cho X là không gian tích vô hướng với tích vô hướng kí hiệu là (., ) và A là toán tử tuyến tính... metric đầy đủ, và f : X → Y là ánh xạ co của X vào chính nó Khi đó tồn tại một và chỉ một điểm x∗ ∈ X sao cho f (x∗ ) = x∗ 8 1.1.3 Không gian định chuẩn Giả sử X là một không gian tuyến tính trên trường K Định nghĩa 1.1.11 Một chuẩn, kí hiệu , trong X là một ánh xạ đi từ X vào R thỏa mãn các điều kiện: 1) x ≥ 0 với mọi x ∈ X; 2) x = 0 khi và chỉ khi x = θ; 3) λx = |λ| x với mọi số λ ∈ K và mọi x ∈ X;... tuyến tính tức A phi tuyến thì các phương trình (1.3) và (1.4) gọi là các phương trình toán tử phi tuyến 1.5.2 Phương trình tích phân Định nghĩa 1.5.2 Phương trình dạng b K (t, s) u (s) ds = f (t) , (1.5) a với K(t, s) là hàm số hai biến (t, s) ∈ [a, b] × [a, b] cho trước, u là hàm số liên tục trên đoạn [a, b], được gọi là phương trình tích phân tuyến tính loại I Phương trình dạng b u (t) = λ K (t,... không suy biến Khi đó hệ phương trình Ax = y luôn có nghiệm 15 1.5 Khái niệm về phương trình tích phân 1.5.1 Phương trình toán tử Cho A là toán tử từ không gian định chuẩn X vào chính nó Định nghĩa 1.5.1 Phương trình dạng Au = f (1.3) trong đó, f ∈ X cho trước được gọi là phương trình toán tử loại I Phương trình dạng u = λAu + f (1.4) trong đó, f ∈ X cho trước, tham số λ ∈ K được gọi là phương trình... tử tích phân Fredholm nếu b (Au) (t) = K (t, s) u (s) ds a trong đó, hàm K(t, s) gọi là nhân của các toán tử tích phân • A là toán tử tích phân Volterra nếu t (Au) (t) = K (t, s) u (s) ds a trong đó, hàm K(t, s) gọi là nhân của các toán tử tích phân Nếu A là toán tử tích phân Ferdholm thì tương ứng với (1.3) và (1.4) ta có phương trình tích phân Fredholm loại I và loại II Nếu A là toán tử tích phân Volterra... với miền xác 19 định D (A) ⊆ X và miền giá trị R (A) ⊆ X Giả sử XN và YN là các không gian con N − chiều của X sao cho XN ⊂ D (A) , YN ⊂ R (A) và {φ1 , φ2 , , φN } là một hệ cơ sở XN ; {ψ1 , ψ2 , , ψN } là một hệ cơ sở của YN Xét phương trình toán tử Au = f (2.1) trong đó, f là phần tử cho trước thuộc X Khi đó phương pháp Galerkin là xác định nghiệm uN ∈ XN thỏa mãn hệ phương trình   (AuN − f, ψj... sin 2t) dt = 0 −π Do đó ta có hệ phương trình:   2πc3 = −2π    2πc1 + πc2 + π c3 = 0 2    π  c + πc =π 2 1 2 2 Giải hệ phương trình trên, ta có: 3 7 c1 = − , c2 = , c3 = −1 2 2 Vậy nghiệm xấp xỉ của phương trình (2.13) là u4 (t) = 2 − 2.2.3 3 7 sin t + (cos t + 1) − sin 2t 2 2 Phương pháp Galerkin đối với phương trình tích phân Bài toán 3 Xét phương trình tích phân Fredholm loại II (I − λA)u . khái niệm và các tính chất cơ bản của hai phương pháp biến phân: phương pháp Galerkin và phương pháp collocation. - Nghiên cứu ứng dụng của hai phương pháp biến phân trên trong việc giải phương. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp và phương pháp lấy ý kiến chuyên gia. 6. Giả thuyết khoa học Áp dụng phương pháp Galerkin và phương pháp collocation cho một lớp phương. . 42 2.3.3. Phương pháp spline collocation đối với phương trình vi tích phân Fredholm - Volterra . . . . . . 54 3 Một số ứng dụng của phương pháp biến phân 61 3.1. Áp dụng phương pháp Galerkin