Một số phương pháp biến phân và ứng dụng

Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng Một số phương pháp biến phân và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Tuấn

HÀ NỘI, 2014

Hà Nội, tháng 07 năm 2014

Tác giả

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới

sự hướng dẫn của T.S Nguyễn Văn Tuấn

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa họccủa các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Một số kết quả đạt được trong luận văn là mới và chưa từng đượccông bố trong bất kì công trình khoa học nào của ai khác

Hà Nội, tháng 07 năm 2014

Tác giả

Mục lục

1 Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm 4

1.1.1 Không gian tuyến tính 4

1.1.2 Không gian metric 6

1.1.3 Không gian định chuẩn 8

1.1.4 Không gian Hilbert 9

1.2 Spline đa thức bậc ba 11

1.3 Sai số và xấp xỉ tốt nhất 12

1.3.1 Sai số 12

1.3.2 Xấp xỉ tốt nhất 13

1.3.3 Tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ 14

1.4 Ma trận đường chéo trội 14

1.5 Khái niệm về phương trình tích phân 15

1.5.1 Phương trình toán tử 15

iii

1.5.2 Phương trình tích phân 15

2 Một số phương pháp biến phân 172.1 Phương pháp biến phân 172.2 Phương pháp Galerkin 182.2.1 Định nghĩa 182.2.2 Phương pháp Galerkin đối với phương trình vi

phân cấp n 232.2.3 Phương pháp Galerkin đối với phương trình tích

phân 292.3 Phương pháp collocation 382.3.1 Định nghĩa 382.3.2 Phương pháp spline collocation đối với phương

trình vi phân 422.3.3 Phương pháp spline collocation đối với phương

trình vi tích phân Fredholm - Volterra 54

3 Một số ứng dụng của phương pháp biến phân 613.1 Áp dụng phương pháp Galerkin giải xấp xỉ phương trình

vi phân bậc cao 613.2 Áp dụng phương pháp collocation giải xấp xỉ phương trình

vi tích phân Fredholm - Volterra 66

Tài liệu tham khảo 71

Luận văn sử dụng những kí hiệu với ý nghĩa xác định trong bảng dướiđây:

C[a; b] Tập tất cả các hàm số thực liên tục trên [a, b]

Ck[a; b] Tập tất cả các hàm số xác định và có đạo hàm liên tục đến

cấp k trên [a, b]

L2[a; b] Tập tất cả các hàm bình phương khả tích trên [a, b]

span(A) Tập tất cả các tổ hợp tuyến tính các phần tử trong A

Ø Tập hợp rỗng

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong khoa học, kỹ thuật chúng ta thường gặp rất nhiều bài toánliên quan tới giải bài toán biên với phương trình toán tử vi phân, vi tíchphân

Việc giải tìm nghiệm đúng của các bài toán này nhiều trường hợpkhông giải được hoặc nghiệm đúng không có ý nghĩa thiết thực Bởi vậyngười ta dùng nhiều phương pháp khác nhau để giải bài toán biên vớiphương trình toán tử vi phân tuyến tính Trong đó phương pháp biếnphân có nhiều ưu điểm đã và đang được nhiều nhà toán học trong vàngoài nước quan tâm nghiên cứu

Do vậy, nhờ sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình của Tiến sĩ Nguyễn VănTuấn tôi đã chọn và nghiên cứu đề tài:

“ Một số phương pháp biến phân và ứng dụng”

Bố cục của luận văn gồm 3 chương:

Chương 1 của luận văn trình bày một số khái niệm của giải tích hàm,khái niệm không gian hàm spline đa thức, sai số và khái niệm về phươngtrình tích phân

Chương 2 của luận văn tập trung trình bày phương pháp Galerkin vàphương pháp collocation

Chương 3 của luận văn trình bày ứng dụng của phương pháp Galerkin

và phương pháp collocation giải phương trình vi phân bậc cao, phương

trình vi tích phân Fredholm - Volterra và ứng dụng giải số bằng lập trìnhMaple 14.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu khái niệm và các tính chất của hai phương pháp biếnphân ở trên

- Nghiên cứu ứng dụng của hai phương pháp biến phân ở trên tronggiải phương trình vi phân và phương trình vi tích phân

- Nghiên cứu về lập trình Maple để ứng dụng

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: "phương pháp Galerkin và phương phápcollocation"

- Phạm vi nghiên cứu: Các khái niệm, tính chất, ứng dụng vào giảiphương trình vi phân, phương trình tích phân Lập trình Maple để giảicác bài toán đặt ra

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp và phương pháp lấy ý kiếnchuyên gia

6 Giả thuyết khoa học

Áp dụng phương pháp Galerkin và phương pháp collocation cho mộtlớp phương trình vi phân, vi tích phân bậc cao thu được nghiệm xấp xỉvới độ chính xác cao

Kiến thức chuẩn bị

(Kiến thức trong chương này được trích dẫn từ tài liệu [1] và [4])

1.1.1 Không gian tuyến tính

Định nghĩa 1.1.1 Cho tập hợp X 6= ∅ cùng với một phép toán hai ngôiviết theo lối cộng (+) và một ánh xạ ϕ : K × X → X Với mỗi α ∈ K

và mỗi x ∈ X thì phần tử ϕ (α, x) được gọi là tích của số α với phần tử

x và được kí hiệu là αx Giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa mãn:1) x + y = y + x, ∀x, y ∈ X;

2) x + (y + z) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ X;

3) Trong X tồn tại phần tử θ sao cho x + θ = θ + x, ∀x ∈ X;

4) Với mỗi phần tử x ∈ X, tồn tại phần tử đối (−x) ∈ X sao cho

x + (−x) = θ;

5) 1.x = x, ∀x ∈ X ;

4

6) α (βx) = (αβ) x, ∀α, β ∈ K, ∀x ∈ X;

7) (α + β) x = αx + βx, ∀α, β ∈ K, ∀x ∈ X;

8) α (x + y) = αx + αy, ∀α ∈ K, ∀x, y ∈ X

Khi đó ta nói rằng X là một không gian tuyến tính trên trường K,

K là trường số thực R hoặc trường số phức C và mỗi phần tử x ∈ Xđược gọi là một vectơ; còn các điều kiện trên được gọi là các tiên đề vềkhông gian tuyến tính

Ví dụ 1.1.1 Dễ dàng kiểm tra C [a, b] là một không gian tuyến tính.Định nghĩa 1.1.2 Cho X là một không gian tuyến tính trên trường K.Các vectơ x1, x2, xn ∈ X gọi là độc lập tuyến tính nếu

n

P

i=1

αixi = θkéo theo αi = 0, ∀i = 1, 2, , n

Các vectơ x1, x2, xn ∈ X gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu chúngkhông độc lập tuyến tính

Định nghĩa 1.1.3 Giả sử X là một không gian tuyến tính trên trườngK

Một hệ vectơ trong X gọi là hệ sinh của X nếu mọi vectơ của X đềubiểu thị tuyến tính theo hệ đó

Nếu X có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì X được gọi là mộtkhông gian tuyến tính hữu hạn sinh

Một hệ vectơ trong X gọi là một cơ sở của X nếu mọi vectơ của Xđều biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ đó

Định nghĩa 1.1.4 Giả sử X là không gian tuyến tính hữu hạn sinh.Khi đó X có cơ sở hữu hạn và số phần tử của các cơ sở trong X đều như

nhau Số đó được gọi là số chiều của không gian tuyến tính X.

Nếu X là một không gian tuyến tính trên trường K có số chiều n taviết

dimX = n hoặc dimKX = nĐịnh nghĩa 1.1.5 Một tập con khác rỗng M của không gian tuyến tính

X gọi là một không gian con tuyến tính của X nếu nó ổn định với haiphép toán của X, nghĩa là thỏa mãn các điều kiện sau:

Định nghĩa 1.1.10 Cho X và Y là hai không gian metric tùy ý Ánh

xạ f : X → Y được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại một số α với

0 ≤ α < 1 sao cho với mọi x, x0 ∈ X ta đều có

d (f (x) , f (x0)) ≤ αd (x, x0)

Định lý 1.1.1 (Nguyên lý ánh xạ co) Giả sử X là không gian metricđầy đủ, và f : X → Y là ánh xạ co của X vào chính nó Khi đó tồn tạimột và chỉ một điểm x∗ ∈ X sao cho f (x∗) = x∗

1.1.3 Không gian định chuẩn

Giả sử X là một không gian tuyến tính trên trường K

Định nghĩa 1.1.11 Một chuẩn, kí hiệu k.k, trong X là một ánh xạ đi

từ X vào R thỏa mãn các điều kiện:

1) kxk ≥ 0 với mọi x ∈ X;

2) kxk = 0 khi và chỉ khi x = θ;

3) kλxk = |λ| kxk với mọi số λ ∈ K và mọi x ∈ X;

4) kx + yk ≤ kxk + kyk với mọi x, y ∈ X

Số kxk gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ x ∈ X Một không giantuyến tính X cùng với chuẩn xác định trong không gian ấy, được gọi làmột không gian tuyến tính định chuẩn (thực hoặc phức, tùy theo K làthực hay phức)

Định lý 1.1.2 Giả sử X là một không gian định chuẩn Với mọi x, y ∈

X, đặt

d (x, y) = kx − yk Khi đó, d là một metric trên X

Định nghĩa 1.1.12 Dãy (xn) trong không gian định chuẩn X được gọi

là hội tụ đến x0 ∈ X nếu lim

n→∞kxn − x0k = 0

Khi đó, ta kí hiệu

lim

n→∞xn = x0 hoặc xn → x0, khi n → ∞

Định nghĩa 1.1.13 Dãy (xn) trong không gian định chuẩn X được gọi

là một dãy cơ bản nếu

lim

m, n→∞kxm − xnk = 0

1) A(x + y) = Ax + Ay với mọi x, y ∈ X;

2) A(αx) = αAx với mọi x ∈ X, α ∈ K

A cũng được gọi là toán tử tuyến tính Khi đó, nếu A chỉ thỏa mãn 1)thì A được gọi là toán tử cộng tính; nếu A chỉ thỏa mãn 2) thì A đượcgọi là toán tử thuần nhất Khi Y = K thì toán tử tuyến tính A được gọi

là phiếm hàm tuyến tính

Định nghĩa 1.1.16 Cho không gian định chuẩn X và Y Toán tử tuyếntính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng

số c ≥ 0 sao cho:

kAxk ≤ c kxk , với mọi x ∈ X

1.1.4 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.17 Cho X là không gian tuyến tính trên trường K

Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes

X × X vào trường K, kí hiệu (., ), thỏa mãn các tiên đề:

1) (y, x) = (x, y) với mọi x, y ∈ X;

2) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) với mọi x, y, z ∈ X;

3)(αx, y) = α (x, y) với mọi x, y ∈ X, và mọi số α ∈ K;

4) (x, x) > 0 nếu x 6= θ với mọi x ∈ X;

5) (x, x) = 0 nếu x = θ với mọi x ∈ X

Các phần tử x, y, z gọi là các nhân tử của tích vô hướng Số (x, y)gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y; các tiên đề 1), 2), 3), 4), 5)gọi là hệ tiên đề tích vô hướng

Định nghĩa 1.1.18 Không gian tuyến tính X trên trường K cùng vớimột tích vô hướng trên X gọi là không gian tích vô hướng

Định lý 1.1.3 Cho X là không gian tích vô hướng Với mỗi x ∈ X,

ta đặt kxk = p(x, x) Khi đó, ta có bất đẳng thức sau (gọi là bất đẳngthức Schwarz )

|(x, y)| ≤ kxk kyk , ∀x , y ∈ X

Từ bất đẳng thức trên có thể chứng minh được rằng mọi không giantích vô hướng đều là không gian định chuẩn, với chuẩn kxk =p(x, x)Định nghĩa 1.1.19 Ta gọi không gian tuyến tính H 6= ∅ trên trường

K là không gian Hilbert H thỏa mãn các điều kiện:

1) H là không gian tích vô hướng;

2) H là không gian Banach với chuẩn kxk = p(x, x) với x ∈ X

Ta gọi mỗi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert

H là không gian Hilbert con của không gian H

Khi đó, s(t) được gọi là spline đa thức bậc ba nội suy của hàm số f (t).

Xây dựng sự tồn tại của hàm s(t) với các mốc nội suy cách đều ti =

t0 + i (b − a)

n bằng cách bổ sung thêm bốn mốc nội suy t−2 < t−1 < t0,

tn+2 > tn+1 > tn, và định nghĩa lớp hàm Bi(t) như sau

(t − ti−2)3, nếu t ∈ [ti−2, ti−1]

h3 + 3h2(t − ti−1) + 3h(t − ti−1)2 − 3(t − ti−1)3, nếu t ∈ [ti−1, ti]

h3 + 3h2(ti+1 − t) + 3h(ti+1 − t)2 − 3(ti+1 − t)3, nếu t ∈ [ti, ti+1](ti+2− t)3, nếu t ∈ [ti+1, ti+2]

0 nếu t không thuộc các trường hợp bên trênMệnh đề 1.2.2 Bi(t) ∈ S3(π)

Mệnh đề 1.2.3 Tập B = {B−1, B0, , Bn+1} là độc lập tuyến tính và

B3(π) = spanB là không gian tuyến tính n + 3 chiều

Định lý 1.2.1 Tồn tại duy nhất hàm s (t) ∈ B3(π) là nghiệm bài toán

Hệ quả 1.2 Tồn tại duy nhất spline bậc ba s(t) là nghiệm của bài toán

1 Hàm s(t) như vậy gọi là spline đa thức bậc ba nội suy của f (t)

1.3.1 Sai số

Định nghĩa 1.3.1 Số a được gọi là số gần đúng của số a∗ nếu a sai

khác với a∗ không nhiều

Kí hiệu: a ≈ a∗

số tuyệt đối của a.

kp − y0k ≤ kp − yk , ∀y ∈ M

Xấp xỉ tốt nhất có thể tồn tại, có thể không tồn tại

Định lý 1.3.1 Nếu X là không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩnk.k và XN là không gian con hữu hạn chiều của X thì với mỗi x ∈ Xtồn tại xấp xỉ tốt nhất xN ∈ XN; do đó

kx − xNk = min

y∈X N

kx − yk Định lý 1.3.2 Xấp xỉ tốt nhất từ không gian con hữu hạn chiều (đóng)của không gian tích vô hướng là duy nhất

1.3.3 Tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ

Cho đoạn [a, b], chia đoạn [a, b] thành n phần bằng nhau bởi các điểmchia ti, i = 0, n thỏa mãn:

t0 = a < t1 < t2 < < tn = bĐặt

h = b − a

n .Giả sử x là nghiệm đúng và xN là nghiệm xấp xỉ của phương trình đãcho (theo phương pháp xấp xỉ nào đó) Nếu có:

kx − xNk ≤ M hk

với M là hằng số dương không phụ thuộc vào h và k thì ta nói nghiệmxấp xỉ xN đạt tốc độ hội tụ bậc k tới nghiệm đúng x

Định nghĩa 1.4.1 Cho ma trận vuông A = (aij)ni, j=1

Ma trận A có tính chất đường chéo trội nếu nó thỏa mãn một tronghai tính chất sau:

Phương trình dạng

u = λAu + f (1.4)trong đó, f ∈ X cho trước, tham số λ ∈ K được gọi là phương trình toán

với K(t, s) là hàm số hai biến (t, s) ∈ [a, b] × [a, b] cho trước, u là hàm

số liên tục trên đoạn [a, b], được gọi là phương trình tích phân tuyến tínhloại I

với K(t, s) là hàm hai biến (t, s) ∈ [a, b] × [a, b] cho trước, u(s) là hàmliên tục trên đoạn [a, b]; tham số λ ∈ K, được gọi là phương trình tíchphân tuyến tính loại II.

Định lý 1.5.1 Cho K(t, s) là hàm hai biến (t, s) ∈ [a, b] × [a, b], u(s)

là hàm số liên tục trên đoạn [a, b] hay u (s) ∈ C [a, b] Đặt

Khi đó, A là toán tử tuyến tính từ C [a, b] vào C [a, b]

Định nghĩa 1.5.3 Cho toán tử tuyến tính liên tục A

• A được gọi là toán tử tích phân Fredholm nếu

trong đó, hàm K(t, s) gọi là nhân của các toán tử tích phân

• A là toán tử tích phân Volterra nếu

trong đó, hàm K(t, s) gọi là nhân của các toán tử tích phân

Nếu A là toán tử tích phân Ferdholm thì tương ứng với (1.3) và (1.4)

ta có phương trình tích phân Fredholm loại I và loại II Nếu A là toán

tử tích phân Volterra thì tương ứng với (1.3) và (1.4) ta có phương trìnhtích phân Volterra loại I và loại II

Chương 2

Một số phương pháp biến phân

(Kiến thức trong chương này được trích dẫn từ tài liệu [2], [5] và [7])

Au = ftrong đó, f là phần tử đã biết thuộc Y

Giả sử XN là không gian con N − chiều của X và {φ1, φ2, , φN} làmột cơ sở của XN

Khi đó, phương pháp biến phân là một thuật toán xác định uN thuộc

17

XN có dạng

uN = c1φ1 + c2φ2 + + cNφNsao cho

kAuN − f kY + kuN − ukXnhỏ nhất có thể

Các phương pháp biến phân cơ bản:

2.2.1 Định nghĩa

Định nghĩa 2.2.1 Cho X là không gian tích vô hướng với tích vô hướng

kí hiệu là (., ) và A là toán tử tuyến tính (hoặc phi tuyến) với miền xác

định D (A) ⊆ X và miền giá trị R (A) ⊆ X

Giả sử XN và YN là các không gian con N − chiều của X sao cho

XN ⊂ D (A) , YN ⊂ R (A) và {φ1, φ2, , φN} là một hệ cơ sở XN;{ψ1, ψ2, , ψN} là một hệ cơ sở của YN

Xét phương trình toán tử

Au = f (2.1)trong đó, f là phần tử cho trước thuộc X

Khi đó phương pháp Galerkin là xác định nghiệm uN ∈ XN thỏa mãn

(Aφ1, φ1) c1 + (Aφ2, φ1) c2 + + (AφN, φ1) cN = (f, φ1)

(Aφ1, φ2) c1 + (Aφ2, φ2) c2 + + (AφN, φ2) cN = (f, φ2)

(Aφ1, φN) c1 + (Aφ2, φN) c2 + + (AφN, φN) cN = (f, φN)

(2.5)

Như vậy phương pháp Galerkin là phương pháp đi tìm nghiệm gầnđúng của phương trình (2.1) có dạng

uN = c1φ1 + c2φ2 + + cNφNtrong đó, c1, c2, , cN là nghiệm của hệ phương trình đại số (2.5)

Nếu toán tử A là toán tử tuyến tính đối xứng và xác định dương thì

ta giải hệ (2.3) bằng phương pháp Rayleigh - Ritz Tuy nhiên, toán tử

A không đối xứng và không xác định dương thì áp dụng phương phápGalerkin

Chọn

φ1(t) = 1, φ2(t) = t

φ3(t) = t2, φ4(t) = t3

Ta có {φ1, φ2, φ3, φ4} là hệ độc lập tuyến tính trong C2[0, 1] Suy ra

X3 = span {φ1, φ2, φ3, φ4} là không gian con bốn chiều của C2[0, 1]

Áp dụng phương pháp Galerkin, tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình(2.6) dưới dạng

với các điều kiện biên

và miền giá trị trong không gian C [a, b]

Suy ra XN = span {φ0, φ1, φ2, , φN} là không gian con hữu hạn chiềucủa Cn[a, b]

Áp dụng phương pháp Galerkin, ta tìm nghiệm của bài toán 2 dướidạng

aN 1c1 + aN 2c2 + + aN NcN = bN

(2.12)

Nhận xét 2.1 Nếu

N

P

j=1, j6=i

|(φi, Aφj)| < |(φi, Aφi)| , ∀i = 1, 2, , N thì

ma trận AN = (aij)N ×N là ma trận có tính chất đường chéo trội Khi

đó hệ phương trình đại số (2.12) luôn có nghiệm Do đó tồn tại nghiệmGalerkin của bài toán 2

Ta xét ví dụ

Ví dụ 2.2.2 Sử dụng phương pháp Galerkin xấp xỉ nghiệm của bài toán

u000 − u00cos t + 2u0 + u sin t = sin 2t (2.13)

Aφ1(t) = cos t + sin t cos t + sin2t ,

Aφ2(t) = cos2t + sin t cos t

Aφ3(t) = −4 cos 2t + 4 cos t sin 2t + sin t sin 2t

f (t) − Aφ0(t) = sin 2t − 2 sin t

u4(t) = 2 − 3

2sin t +

7

2(cos t + 1) − sin 2t.

2.2.3 Phương pháp Galerkin đối với phương trình tích phân

Bài toán 3 Xét phương trình tích phân Fredholm loại II

(I − λA)u = f (2.16)trong đó, I là toán tử đơn vị và A là toán tử tuyến tính trong X = L2[a, b]xác định bởi

Như đã biết, L2[a, b] là không gian Hilbert với tích vô hướng

hϕ, ψi =

Z b a

ϕ (t) ψ (t) dt , ϕ, ψ ∈ L2[a, b]

Giả sử {φi}∞1 là hệ trực giao và đầy đủ trong L2[a, b] Hệ {φi}∞1 nhậnđược bằng cách trực giao hóa (quá trình Hilbert - Schmidtt) một hệ độclập tuyến tính bất kỳ, hoặc sử dụng đa thức trực giao Legendre

Bài toán 4 Xét phương trình tích phân phi tuyến loại II

Thật vậy.

Toán tử A là hoàn toàn xác định trong L2[a, b]

Hơn nữa ∀u1, u2 ∈ L2[a, b], ta có