18 Ui (u )= [oíikU^ (a) +Ị 3i ku {k) (6 )] =0 k=
2.3.2.2.Sự tồn tại nghiệm collocation thông qua hàm Green
80 X é í ồ ồ ỉ toán giá trị biên
81 Lu ( t) = f (t) , a < t < b
82 w v '
(2.40) 83 и ( a ) = a và и (b ) = ß
84 trong đó, L là toán tử tuyến tính vi phẫn bậc 2 trong c2 [a, 6] ЖЙС
định bởi
85 Lu ( t ) = u" (t) + p ( t ) u' (t) + q(t)u (t) với p và q là các hàm liên tục trên đoạn [ a , 6 ] .
86 Giả sử bài toán (2.40) có nghiệm duy nhất U{T) ẽ C 2 [A, B] với mỗi hàm liên tục F(T).
87
Tìm Ú (A) và thay vào (2.39), ta có
89 bậc D + 2 trên mỗi đoạn ỊTKD, T(K+I)D\ , 0 < Ả: < p — 1 mà khả vi liên tục đến cấp hai trên đoạn [a, B].
90 Suy ra XN là không gian con hữu hạn chiều của không gian c2 [a, 6].
91 Khi đó, áp dụng phương pháp collocation cho bài toán (2.40), ta tìm một hàm U N thuộc X N thỏa mãn:
92 LUN (tị) = f (tị ), 0 < i < n (2.41)
93 Để chứng minh sự tồn tại nghiệm collocation Wjv(í) với mỗi cách chọn
X
N ta xét hàm Green K Ữ(S,T ) liên kết với bài toán giá trị biên 94 u" (t) = V (t)
95 v v '
(2.42) 96 u(a) = a và u (6) = /3
97 Từ những lập luận của phần trước, việc tìm nghiệm của bài toán (2.40)
tương đương với việc tìm nghiệm của phương trình tích phân 98 b V (t) + 1 k (t, s) V (s) ds = / (í) (2.43) 99 a 100 hoặc 101 (/ + K)v = f (2.44) 102 b
103 trong đó, K V ( T ) = F K (T , S) V (S) D S là toán tử tuyến tính trên C [a, 6].
104 a
105 Nghĩa là, nghiệm U(T ) của bài toán (2.40) chính là nghiệm duy
nhất của bài toán
106 u" (t) = V (t) U(A) = A và U (B ) = /3 trong đó, V(T ) là nghiệm duy nhất của phương trình tích phân (2.43). Việc tìm
nghiệm xấp xỉ UN thuộc XỴ của phương trình collocation (2.41) tương đương
với việc tìm nghiệm VỴ của phương trình tích phân collocation
107 VN (tị) + KvN (tị) = / (tị), 0 <i <n (2.45)
108 Cho -Pjv là đa thức Lagrange từng đoạn duy nhât bậc d, nội suy f tại
các nút tị, ỉ = 0, n, xác định bởi PNg (tị) = g (tị) với mỗi hàm g ẽ с [а, 6].
109 Khi đó, phương trình (2.45) có nghiệm VN khi và chỉ khi
110 PNVN + PỵKVỵ = Pỵf ( 2 - 4 6 )
111 Xét phương trình
112 Vỵ + PỵKVỵ = Pỵf
(2.47)
113 Nếu VN là một nghiệm của (2.47) thì
114 VN — PNỈ — PNKVN = P N (f-