Luận văn một số phương pháp giải phương trình toán tử vi phân

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PHẠM HÀ NỘI TRỊNH DUY THANH MỘT SỔ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ VI PHÂN Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Ngưịi hướng dẫn khoa học: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH HẢ NỘI, 2015 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn Giáo sư, Tiến sĩ giảng dạy cao học chun ngành Tốn Giải Tích, BGH, Phịng sau đại học trường đại học sư phạm Hà Nội truyền thụ kiến thức, đóng góp ý kiến cho tơi suốt trình học tập thực đề tài Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới PGS.TS Khuất Văn Ninh người thầy tận tâm truyền thụ kiến thức hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Trong suốt trình thực luận văn, nhờ gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc bảo tận tình thầy giúp tơi có ý thức trách nhiệm tâm cao để hồn thành luận văn H Nội, t háng 11 năm 2015 Học viên Trịnh Duy Thanh LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng tơi, hướng dẫn trực tiếp PGS.TS Khuất Vãn Ninh Trong q trình nghiên cứu luận văn tơi kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn H Nội, t háng 11 năm 2015 Học viên Trịnh Duy Thanh MUC LUC • • Mở đầu .6 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian metric .7 1.2 Không gian định chuẩn 1.3 Không gian H ilb ert 11 1.4 Phép toán vi phân không gian B anach 13 1.5 Khái niệm phương trình toán tử vi p h ân 18 1.6 Toán tử đơn điệu .18 Chương Phương trình tốn tử vỉ phân cấp 21 2.1 Phương trình tốn tị vi phân với tốn tử liên tục Lipschitz không gian c 21 2.2 Phương trình vi phân với toán tử Volterra; L2- Lý th u y ế t 28 2.3 Các phương trình giả parabolic; C- Lý thuyết .31 2.4 Các phương trình giả parabolic; L2- Lý th u y ết 33 2.5 Bài toán giá trị ban đ ầ u .35 2.6 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 37 Chương Phương trình tốn tử vỉ phân cấp h a i 43 3.1 Các định lí tồn 43 3.2 Phương pháp Galerkin .49 3.3 ứ ng d ụng 55 Kết luận 60 Tài liệu tham k h ả o 61 M Ở ĐẦU Lý chọn đề tài Nhiều lớp toán biên phương trình vi phân thường tốn với điều kiện biên điều kiện ban đầu phương trình đạo hàm riêng phi tuyến đưa dạng phương trình tốn tử vi phân khơng gian Banach phản xạ nhờ lí thuyết tốn tử đơn điệu Có nhiều phương pháp để nghiên cứu phương trình tốn tử vi phân Một số phương pháp thường sử dụng phương pháp điểm bất động, phương phương pháp Galerkin, phương pháp compact Mỗi phương pháp có ưu, nhược điểm riêng, phù hợp YỚi loại phương trình khác Với mong muốn tìm hiểu saau phương trình tốn tử vi phân hướng dẫn PGS.TS Khuất Văn Ninh, chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ “Một số phương pháp giải phương trình tốn tử vi phân” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp giải phương trình tốn tử vi phân cấp cấp hai số không gian Banach phản xạ Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu sở lý thuyết phương trình tốn tử vi phân số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tốn tử vi phân phương pháp điểm bất đọng phương pháp Galerkin Áp dụng vào giải số phương trình vi phân cụ thể Đối tượng nghiên cứu Phương trình tốn tử vi phân cấp cấp hai phương pháp giải phương trình Phương pháp nghiên cứu - Sưu tầm, đọc, nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài luận văn - Áp dụng kiến thức Giải tích hàm, Giải tích số, Phương trình vi phân vào nghiên cứu đề tài Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian metric 1.1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1 Cho X tập hợp tuỳ ý X ^ ệ metric X ánh xạ thoả mãn điều kiện sau: 1) d(x, j ) > 0,V;t, y e X ; d (x ,y) - X - y; 2) d ( x , y ) = d ( y , x ) , V x , y e X ; 3) d ột, y ) < d (x, z) + d (z, , Vx, y , z e X Tập X metric d X gọi không gian metric, ký hiệu ( x , c / ) , s ố d ( j t ,y ) gọi khoảng cách điểm X , y Ví dụ 1.1 Một tập M đường thẳng R , với khoảng cách thông thường d ( x , y ) = \ x - y\ không gian metric Định nghĩa 1.2 Dãy điểm jx I khơng gian metric ( x ,í/) gọi hội tụ tới điểm x e X lim 6?(x , x) = *-» 0 Kí hiệu lim* = X hay 71—>00 X —>x H —» 0 Định nghĩa 1.3 Một dãy điểm {x } khơng gian metric ( x ,í/) gọi dãy ( hay dãy Cauchy) lim d ( x ,x ) = m , n —>00 Định nghĩa 1.4 Khơng gian metric ( x ,í/) gọi đầy đủ dãy X hội tụ tới phần tử X Định lý 1.1 Mọi tập đóng khơng gian metric đầy đủ không gian metric đầy đủ Chứng minh Giả sử F tập đóng khơng gian metric đầy đủ ( x , í / ) Giả sử {jc } dãy F tức lim d ( X ,x ) = m, n- >co Suy {jt } dãy X Do X không gian đày đủ nên dãy {* } hội tụ, tức 3jc0 e X : x —>xữ, n —> 00 Như (jt ) c F : X —»Jt0 e X, n -> 00 Do F tập đóng nên x0 e F Vậy F không gian metric đầy đủ Định nghĩa 1.5 Một tập hợp M không gian metric X gọi trù mật X lân cận điểm tùy ý X có điểm tập hợp M Ví dụ 1.2 Trong khơng gian metric đầy đủ (x ,c /), hình cầu đóng *S'(jc0,r) = | jc e X : í/ ( x, jc0) < r | , r > tập đóng Định lí 1.2 Cho ánh xạ / từ không gian metric Ml = (x,dj) đến không gian metric M2 = ( x , d 2) Năm mệnh đề sau tương đương: a) / liên tục; b) Tạo ảnh tập đóng M2 tập đóng M1; c) Tạo ảnh tập mở M2 tập mở ; d) Với tập A c X có f ị À ) c z f ( A ) ; e Với tập B c=Y có / _1^5 J c=/ _1(5) Định nghĩa 1.6 Cho hai không gian metric tuỳ ý (X ji/j) ( r ,í/2) Ánh xạ A : X ^ > Y gọi ánh xạ co, tồn số a e [0 , ) cho Vjcp jc2 e X ta có d 2{A{ x^), A{x2y ) < a d l {xl ,x2} , a gọi hệ số co ánh xạ co A Định lý 1.3 ( Nguyên lý Banach ánh xạ co ) Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian metric đầy đủ ( x , d ) vào có điểm bất động nhất, nghĩa tồn điểm X* e X thoả mãn Ax = X , X* giới hạn dãy (*„), xn = A ( x n_ì ),n = 1,2, , x0 e X tu ỳ ý v ữ,n d ( x n, x * ) < ^ — d ( A x ữ,xữ),n = 1,2 v ’ ỉ-a d ( x n, x *) < ~^— d (*„,*„_! ),n = 1,2 , v ’ l-a đó, a hệ số co ánh xạ COA Chứng minh Lấy điểm x0 e X lập dãy X = A { x ,),« = 1,2, ta d (x 2, ) = d ( Ảx2, Ax J) < a d ( x l, x0) = a d ( Ax 0, JC0), d( x3,x2) = d ^Ax2, A x^ < a d (^ ,^!) < a 2d ( A x 0,x 0), d (xn+ỉ’xn) = d ( Axn>Axn- 1) ^ a d ( x n,xn_ì ) < a nd ( A x ữ,xũ),n = \ , , - Từ suy = 1,2, ta có d (xn+p>-xn) ^ ấ d ( A , +* A , +*-i) ^ d ( A ) *0) ấ a ”+k~l k=1 n jt = l ỵvn+p rvn = — Z^~— d ( A x ữ,xữ) < - ^ — d ( A x ữ,xữ) 1- a 1- a Vì < a < nên lim d í x n - > 00 V ” (*) , X ) = 0, V/7 e N* nghĩa (jc ) dãy / ' ' khơng gian metric đầy ( x , í / ) Tù tồn limx = X* e X Ta có d ịAx*,x* ) < c/ ịAx*,x n) + d { x n, x *) = d ịAx*,Axn_l ) + d < a d ị x _15jt*) + í/(jt ) = 1,2, Cho n —> 00 ta d ( ấ x *, X* ) = hay Ax* = X*, nghĩa X* điểm bất động ánh xạ A Giả sử tồn điểm / e X điểm bất động ánh xạ A d ( x *, J*) = d ị^Ax*, A y *) < a d ị x * ,y*Ỵ, ■=> (l - a ) d ) < => d ị x * , y *) = 0,(0 < a < 1) => X* = y * Vậy X* điểm bất động ánh xạ A Từ bất đẳng thức d (xn+p,-xn) £ ^ — d (.Axữ,x 0) v 1- a a n Cho p —» 00 d {xn, x * ) < Y ^ d { x ỉ,xữ),n = \,2 d { x ,x*^ = d^Ax x, A x * ^ < d ( A x ị,Ax } + dị^Ax ,Ax*"j< a d ( x „>x n -i) + ^ d [ x n, x ) < a d ( x n ’ x * ) ’ (xn, X„_1) Định lý chứng minh 1.2 Không gian định chuẩn 1.2.1 Không gian định chuẩn Cho X không gian vectơ trường p ( p = M c ) Định nghĩa 1.7 Một chuẩn, kí hiệu ||.||, X ánh xạ từ X vào R thoả mãn điều kiện: 1) \\xị > với X e X ; ||jt|| = X = ( kí hiệu phần tà khơng ); 2) ||ằjc| = |A,|\\x \\ với số X e p x e X ; 3) ||jc + y ị < ||jc|| + 1y ị với x , y € X Số |jt| gọi chuẩn (hay độ dài) vectơ X € X Một không gian vectơ X với chuẩn xác định không gian gọi không gian định chuẩn ( thực phức, tuỳ theo p thực hay phức ) Định lý 1.4 Giả sử X không gian định chuẩn Với X, y € X , đặt d { x , y } = ||je —J/|| Khi đó, d metric X 10 Định nghĩa 1.8 Dãy (jc ) không gian định chuẩn X gọi hội tụ đến Jt0 e X lim I* - JE0II= Khi đó, ta kí hiệu limjtn = x0 xn —>Xq , n -» 00 n - > 00 Định nghĩa 1.9 Dãy ( X ) không gian định chuẩn X gọi dãy lim 1*w - x\\ = n\\ m , n - > 00 1.2.2 Không gian Banach Định nghĩa 1.10 Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach, dãy X hội tụ Ví dụ 1.3 Khơng gian vectơ Euclide n chiều E" không gian Banach YỚi chuẩn 1*1 =I* ■ ,VxeM " Ví dụ 1.4 Khơng gian vectơ Lị Đối YỚi hàm số Jt(í) e Lị ta đặt b ||jc|| = (Z,)J|jc(í)^í , dễ thấy Lị khơng gian Banach a Ví dụ 1.5 Khơng gian vectơ Cị Đối YỚi hàm số x (í) e Cị ,b-ị ta đặt ||jc|| = max x (í) , dễ thấy Cị ,b-ị khơng gian Banach Định nghĩa 1.11 Cho hai khơng gian tuyến tính X Y trường p Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y gọi tuyến tính thoả mãn: A ( x + y ) = Ax + A y , với x , y e X ; A ( ax) = a Ả x , với X e x , a e p A gọi tốn tử tuyến tính Khi đó, A thoả mãn ( ) A gọi tốn tử cộng tính; A thoả mãn ( ) A gọi tốn tử Khi Y = p tốn tử A gọi phiếm hàm tuyến tính Định nghĩa 1.12 Cho khơng gian định chuẩn X Y Tốn tử tuyến tính A từ không gian X vào không gian Y gọi bị chặn tồn số c > cho: 1^4*1 < c||je|| , với X e X Định nghĩa 1.13 Cho hai không gian định chuẩn X Kí hiệu L ( X , Y ) tập tất toán tử tuyến tính bị chặn từ khơng gian X vào khơng gian Y Ta đưa vào z , ( x , r ) hai phép toán: ( A + B ) ( x ) = Ax + Bx, A , B e L ( X , Y ) , V x e X ; a e P ( P = R p = c ), ^ e L ( X ,r ) tốn tử kí hiệu clA , xác định biểu thức (a^)(jc) = a(^4jc) 46 > - — ị e 2ẮS ||m (í) —V(•S')||2 ds —^ —Ị e Us ||( ì ỉ m ) ( í ) - ( ì ỉ v ) ( í ) ||2 ds > 2ị 2m ị Từ ta kết luận với u, V e X Ẳ > t Ị e 2ẲS(((A + B R ) u ) ( s ) - ( ( A + BR) v) (s) , « ( s ) - > = !•" {( (3.6) Từ ( 3.6 ) ta thấy toán tử A + BR YỚi Ằ = max ( ụ, M 2T / m2) thỏa mãn điều kiện ( 2.40 ), ( 2.41 ) chương Do toán tử Ả + BR e ( x -» X *) toán tử radian liên tục áp dụng định lí 2.7 chương vào tốn ( 3.4 ) ta có điều phải chứng minh Nhận xét 3.3 Có thể khẳng định nghiệm toán Cauchy xét định lí 3.1 3.2 phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu nghĩa sau đây: phép tương ứng {aữ’a\} «0 «1 theo {“>“'} ánh xạ liên tục từ V x H vao C(S;K)xC(S;//) 3.1.2 Nghiệm tuần hồn Định lí 3.3 Giả sử tốn tử A e ( x -> X ") toán tử radian liên tục, đơn điệu Cịn tốn tử B e ( x toán » thỏa mãn điều kiện (3.1) Khi với V/ u" + Au' + Bu = f m (0 ) = m( t ), m' ( ) = u’( t ) u e C ( S ; V ) , u ' e X G X ’ ( 7) có nghiệm Neu thêm giả thiết A toán tử đơn điệu nghiêm ngặt nghiệm tốn ( 3.7 ) Nhận xét 3.4 Trong định lí ta giả thiết X = u{s-, V*}, < p < 00 Nhận xét 3.5 Nếu hàm ueC( S, V) u' GX thỏa mãn phương trình u" + Au' + Bu = f ( không gian SỀ* V *) ) u” G X" u' Gw c: C(S;H) Cho nên điều kiện u'(0) = u' ( t ) có nghĩa Chứng minh định lí 3.3: Để giải toán ( 3.7 ) ta đưa vào khơng gian Khơng gian khơng gian đóng khơng gian X Sử dụng định lí Hanl - Banach ta khẳng định không gian liên hợp khơng gian khơng gian hiểu không gian thương không gian X * không 47 gian gồm phần tử không x ữ Nếu ŨD&X' không x ữ với hàm ẹ e Si(S') x e V ọ'x e x ữ ta có ( ) = (/,v ) V v e l„ Các phương trình Galerkin sau tương ứng với toán (3 ) (3 ): u”n + A u ’n +Bun = f n, мЛ ° ) = а 0»’ м» ( ) = а 1„> (3.15) un ï c ( S ; H „ ) , ui E l , BỔ đề 3.2 Giả sử điều kiện định lí 3.1 thỏa mãn V« tốn ( 3.15 ) có nghiệm и e c' [S;H ) Nghiệm có tính chất и” e X* Dãy {un} bị chặn C(5';F), dãy {и'}bị chặn X dãy {Au'n} bị chặn X * Chứng minh Tốn tử A thỏa mãn giả thiết khơng gian X toán tử A thỏa mãn giả thiết khơng gian X Điều suy từ đẳng thức (Anu,v) = (Au,v) với Vm, v ẽ ! Ta kí hiệu I phép nhúng (liên tục) khơng gian H vào V V tốn tử tuyến tính liên hợp I dễ dàng khẳng định (iv )(í) = w v ( Toán tử VBữI G( я —»/ / ) tốn tử tuyến tính, bị chặn, đối xứng xác định dương Cho nên toán tử в thỏa mãn điều kiện khơng gian X tốn tử В thỏa mãn giá trị X Vì tồn nghiệm и đối phương trình ( 3.15 ) Điều suy từ định lí 3.1.Đối với nghiệm ta có M„ GC ( S ; H n), u'n GX n, u”n Gx n ’ , u'n GC ( S ; H n) Lấy tích vơ hướng 51 từ phương trình Galerkin tương ứng ta J ( < ( í ) + ( ^ ) ( í ) + ( m„)( í ), u ;(s))ds = [ ( / ( * ) , «;(j))ífe Cho nên J (( ^ M»)(Í ) - ( ^ ° ) ( Í ) + ; K ( S) ’ “í ( s ) ) * + + ị k ( f + ị K “„ (0 ’ “n( ) = f ( / ( ;s) - ( ^ o)(;s) +;iM»(í ) ’ “í (*)) e suy hội tụ mạnh dãy {«'} tới u' X Chứng minh định lí 3.4 Theo Bổ đề 1.3 chương I tồn dãy {v'}, v' e c 1(S;H ) cho hội tụ w hội tụ C ( S ; H ) tới u ' e W Đ ặt v„ (í) = aữn + Ị v'n(s)đs Khi đó: «ó»-fl0+ J(v; ( * ) - “'(* ))* < a„ II Un + í /II n-«1 U II \\x Nghĩa dãy {v } hội tụ C(S; V) tới u tiếp ứieo ta có: ị ( k ( - vH M MH - vá(0|2) = í ( < ( s ) - vr(s ) X 0 - ^ 0 ) ^ K = const 52 = í ( - ( ^ M0 ( í ) - 5“noo + (^H')(í ) + (5M)(s) + M"(s) - vr(s))ífc = 0 - (-®0(un(0 - “ (0)»“»(0 “ “ (0 )+ K (ữ0„ - «0) >(ữ0„ - «0)) - J ( G á“0 ( j ) - ( i4“,) (j ) + -B“ (s ) - A i (j ) ’i|,(j ) - ^ ( j ) ) ds+ + í(“'(s) - v'(s) x (j ) - “'(s))>(l) + / ( l ) = Giải: Chọn ọữ(x) = - x , (pl (x) = x2 -?>,