Luận văn một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi tích phân tuyến tính fredholm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ THU HÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XAP xỉ PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH FREDHOLM LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Hà Nội, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ THU HÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XAP xỉ PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH FREDHOLM LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS Khuất Văn Ninh HÀ NỘI, 2016LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS.TS Khuất Văn Ninh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Khuất Văn Ninh, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn tốt nghiệp Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Thị Thu Hà LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn PGS.TS Khuất Văn Ninh, luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Một số phương phấp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm” tự làm Các kết tài liệu trích dẫn rõ nguồn gốc Trong trình nghiên cứu thực luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Thị Thu Hà Mỏ đầu 5 Mục lục 99 10 11 11 12 14 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.1.1 Khống gian metric Một số kiến thức Giải tích hàm PHƯỜNG PHẤP GĨẲĨ TÍCH GIẢI XÁP xì PHƯỜNG TRÌNH VĨ-TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH FREDHOLM 2.1 2.2 3 PHƯỜNG PHẤP GĨẲĨ SỐ PHƯỜNG TRÌNH VĨ-TÍCH 10 [> eqn7 = —0.001 * ữ — 0.002 * 6— 0.003 * c — 0.004 * d — 0.005* e— 1.006 * / + 0.993 * g — 0.008 * — 0.009 *t — 0.005 * q = 0.16; Với i = từ phương trình ta có U8 ~02%+Ul =ẩ[(0 - °-1)“° + (1 - °-1)“10 + 2((0.1 - 0.1)ui + (0.2 - 0.1)u2 + - + (0.9 - 0.1)u9)] Với ỉ = từ phương trình ta có U A — 2u-ị -ị- u 0"2 - =¿[(0 - 0.2)«„ + (1 - 0.2)«,o 119 [> eqn7 = —0.001 * ữ — 0.002 * 6— 0.003 * c — 0.004 * d — 0.005* e— 1.006 * / + 0.993 * g — 0.008 * — 0.009 *t — 0.005 * q = 0.16; + 2((0.1 - 0.2)ui + (0.2 - 0.2)U2 + + (0.9 - 0.2)u9)] Với ỉ = từ phương trình ta có M5 - ^ + « =^[(0 _ 3)ti0 + (1 _ o.3)„10 + 2((0.1 - 0.3)ui + (0.2 - 0.3)M2 + + (0.9 - 0.3)u9)] Với i = từ phương trình ta có U R — 2u b -ị- Uị r/„ 120 „ , [> eqn7 = —0.001 * ữ — 0.002 * 6— 0.003 * c — 0.004 * d — 0.005* e— 1.006 * / + 0.993 * g — 0.008 * — 0.009 *t — 0.005 * q = 0.16; ÕP =2Õ — 0.4)w0 + (1 - 0-4)ưio + 2((0.1 - 0.4)wi + (0.2 - 0.4)W2 + + (0.9 - 0.4)u9)] Với ỉ = từ phương trình ta có ——Q U ị — — =¿[(0 - 0-5)ư0 + (1 - 0.5)ư10 + 2((0.1 - 0.5)wi + (0.2 - 0.5)W2 + + (0.9 - 0.5)u9)] Với ỉ = từ phương trình ta có "8~ổĩ + 1ie =¿[(0 - 0.6H + (1 - 0.6)u10 + 2((0.1 - 0.6)ui + (0.2 - 0.6)W2 + + (0.9 - 0.6)w9)] Với ỉ = từ phương trình ta có "9~Ổ"* + U7 =M[(0 - O-7)“» + (! - °-7No 121 [> eqn7 = —0.001 * ữ — 0.002 * 6— 0.003 * c — 0.004 * d — 0.005* e— 1.006 * / + 0.993 * g — 0.008 * — 0.009 *t — 0.005 * q = 0.16; + 2((0.1 - 0.7)ui + (0.2 - 0.7)W2 + + (0.9 - 0.7)u9)] Với ỉ = từ phương trình ta có ÕP — 20 — °-7)«0 + (1 - 0.7)MIO + 2((0.1 - 0.7)«1 + (0.2 - 0.7)ư2 + + (0.9 - 0.7)M9)] Từ điều kiện ban đầu ta xác định U Q = “Q-“0 = Suy Uị = u ữ = Khi ta thu hệ phương trình đại số tuyến tính sau 122 [> eqn7 = —0.001 * ữ — 0.002 * 6— 0.003 * c — 0.004 * d — 0.005* e— 1.006 * / + 0.993 * g — 0.008 * — 0.009 *t — 0.005 * q = 0.16; uữ = «! — / «0 — 2.0001«! 4- 0.9998«2 — 0.0003«3 — 0.0004«4 — 0.0005«5 —0.0006«6 — 0.0007«7 — 0.0008«8 — 0,0009«g — 0.0005«io = —0.02 0,00005«o + «1 — 2.0001«2 + 0.9998«3 — 0.0003«4 — 0.0004«5 —0.0005«6 — 0.0006«7 — 0.0007«8 — 0.0008«9 — 0.00045«io = —0.018 0.0001«o + 0.0001«! + «2 — 2.0001«3 + 0.9998«4 — 0.0003«5 —0.0004«6 — 0.0005«7 — 0.0006«8 — 0.0007«9 — 0.0004«io = —0.016 0.00015«o + 0,0002«! + 0.0001«2 + «3 — 2.0001«4 + 0.9998«5 — 0.0003M6 — 0.0004«7 — 0.0005«8 — 0.0006«9 — 0.00035«io = —0.014 0,0002«o + 0.0003«! + 0,0002«2 + 0.0001«3 + «4 - 2.0001«5 +0.9998«6 — 0.0003«7 — 0.0004«8 — O.OOOÕMg — 0.0003«io = —0.012 0.00025«o 4“ 0.0004«! -I- 0.0003«2 4“ 0,0002«3 4“ 0.0001«4 4“ «5 —2.0001«6 + 0.9998«7 - 0.0003«8 - 0.0004«9 - 0,00025«io = -0.01 0.0003«o 4“ 0.0005«! 4“ 0.0004«2 4“ 0.0003«3 4“ 0,0002«4 4” 0.0001«5 +«6 2.0001«7 + 0.9998«s - 0.0003«9 - 0,0002«io = -0.008 0.00035«o 4" 0.0006«! 4“ 0.0005«2 4“ 0.0004«3 4" 0.0003«4 4“ 0.0002«5 4-0.0001«6 4“ «7 — 2.0001«8 4“ 09998«g — 0.00015«io — —0.006 0.0004«o 4- 0.0007«! 4- 0.0006«2 4- 0.0005«3 4123 [> eqn7 = —0.001 * ữ — 0.002 * 6— 0.003 * c — 0.004 * d — 0.005* e— 1.006 * / + 0.993 * g — 0.008 * — 0.009 *t — 0.005 * q = 0.16; 0.0004«4 4- 0.0003«5 k 4-0,0002«6 4“ 0.0001«7 4- «8 — 2.0001«9 4- 0.9999«10 = — 0.004 Dùng phần mềm maple ta giải hệ phương trình Với bước làm sau [> eqnl = a = 0; 124 [> eqn2 = b = 0; eqnl = a = 0eqn2 = = [> eqriò = a — 2.0001 * 4- 0.9998 * c — 0.0003 * d — 0.0004 * e — 0.0005 * / — 0.0006 *s — 0.0007 * — 0.0008 * — 0.0009 * l — 0.0005 * m = —0.002; eqn3 =a - 2.00016 + 0.9998c - 0.0003d - 0.0004e - 0.0005/ - 0.0006s - 0.00076, - 0.00086 - 0.0009/ - 0.0005m = -0.002 [> eqn4 = 0.00005 * a + — 2.0001 * c 4- 0.9998 *d — 0.0003 * e — 0.0004 * /0.0005 *g-0.0006* 6-0.0007* k-0.0008*/-0.00045 *m = -0.018; 125 [> eqn2 = b = 0; eqnA =0.00005a + - 2.0001c + 0.9998d - 0.0003e - 0.0004/ - 0.0005s - 0.00066 - 0.00076 - 0.0008/ - 0.00045m = -0.018 [> eqnh = 0.0001 *a + 0.0001 * + c — 2.0001 * d + 0.9998 * e — 0.0003 * / - 0.0004 * s - 0.0005 * - 0.0006 *k- 0.0007 * / - 0.0004 * m = -0.016; eqn5 =0.0001a + 0.00016 + c - 2.0001d + 0.9998e - 0.0003/ - 126 0.0004s - 0.00056 - 0.00066 - 0.0007/ - 0.0004m = -0.016 [> eqn2 = b = 0; [> eqn6 = 0.00015 *a + 0.0002 * + 0.0001 *c + d — 2.0001 *e + 0.9998 * / — 0.0003 *g — 0.0004 * — 0.0005 * — 0.0006 * / — 0.00035 * m = -0.014; eqn6 =0.00015a + 0.00026 + 0.0001c + d- 2.0001e + 0.9998/ - 0.0003s - 0.00046 - 0.00056 - 0.0006/ - 0.00035m = -0.014 [> eqn7 = 0.0002 *a + 0.0003 * + 0.0002 *c + 0.0001 *d + e — 2.0001 * / + 0.9998 * s - 0.0003 * - 0.0004 * - 0.0005 * / - 0.0003 * m = -0.012; eqn7 =0.0002a + 0.00036 + 0.0002c + O.OOOld + e - 2.0001/ 127 + 0.9998s - 0.00036 - 0.00046 - 0.0005/ - 0.0003m = -0.012[> eqn8 = 0.00025 * a + 0.0004 * + 0.0003 * c + 0.0002 *d + 0.0001 * e + f - 2.0001 *s + 0.9998 *h- 0.0003 * k — 0.0004 * l - 0.00025 * m = -0.01; eqn8 =0.00025a + 0.00046 + 0.0003c + 0.0002d + O.OOOle + / - 2.0001s + 0.9998h - 0.0003A; - 0.0004/ - 0.00025m = -0.01 [> eqn9 = 0.0003 * a + 0.0005 * + 0.0004 * c + 0.0003 * d + 0.0002 * e + 0.0001 *f + g- 2.0001 *h + 0.9998 *k — 0.0003 * / - 0.0002 * m = -0.008; egn9 =0.0003a + 0.00056 + 0.0004c + 0.0003d + 0.0002e + 0.0001/ + g - 128 128 2.0001 h + 0.9998/c - 0.0003/ - 0.0002m = -0.008 [> egnio = 0.00035 * a + 0.0006 * b + 0.0005 * c + 0.0004 *d + 0.0003 * e + 0.0002 * / + 0.0001 *g + h — 2.0001 *k + 0.9998 * / — 0.00015 * m = -0.006; eqnio =0.00035a + 0.00066 + 0.0005c + 0.0004d + 0.0003e + 0.0002/ + 0.0001s + h- 2.000 lk + 0.9998/ - 0.00015m = -0.006 [> egnll = 0.0004 * a + 0.0007 * + 0.0006 * c + 0.0005 *d + 0.0004 * e + 0.0003 * / + 0.0002 * s + 0.0001 * h + k — 2.0001 * / + 0.9999 * m = —0.004; eqnll =0.0004a + 0.00076 + 0.0006c + 0.0005d + 0.0004e + 00003/ + 0.0002s + O.OOOl/i + k - 2.0001/ + 0.9999m = -0.004 129 129 [> solve({eqnl, eqn2, eqn3, eqn4, eqnh, eqnQ, eqn7, eqn8, eqn9, eqnio, eqnll} , {a, 6, c,d,e,f,g,h,k,l,m})- a = 0,b = 0,h = -0.2640442047, k = -0.3497822921, / = -0.4416501145, m = -0.5374751738,/ = -0.1196472267, s = -0.1866083503, c= -0.003337220616, e = -0.06533333190, d = -0.02583916390 Với a = Wo, = U i , c = «2, d = «3, e = w , / = «5, s = Ue,h = Ur,k = U s , l = u g , m = «10 Ta thu bảng sau 130 130 Bảng 3.3: * 131 131 Kết luận Dựa tài liệu tham khảo luận văn trình bày số vấn đề sau Một số kiến thức không gian metric, không gian định chuẩn, không gian Cịữ,b], phương pháp cầu phương, tính chất tích phân phụ thuộc tham số, chuỗi lũy thừa tính chất Một số phương pháp giải tích giải phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm 132 132 Phương pháp giải số phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm Đóng góp tác giả thể chỗ, tìm ví dụ minh họa cho phương pháp Do điều kiện thời gian trình độ nghiên cứu hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, kính mong quý thầy cô bạn bè đóng góp ý kiến bổ sung để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn 133 133 [...]... phương trình vi- tích phẫn tuyến tính Fredholm để thực hiện luận văn của mình Mục đích nghiên cứu Luận văn sẽ nghiên cứu một số phương pháp giải phương trình vi- tích phân tuyến tính Fredholm và ứng dụng Maple trong tính toán Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi- tích phân tuyến tính Fredholm Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Phương trình vi- tích phân tuyến tính. .. vi- tích phân tuyến tính Fredholm - Các phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi- tích phân tuyến tính Fredholm - Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích và tổng hợp tài liệu đã có từ đó hệ thống lại các vấn đề liên quan tới đề tài Dự kiến đóng góp Hệ thống lại một số phương pháp giải phương trình vi- tích phân tuyến tính Predholm và ứng dụng của phương pháp đó vào giải các phương trình cụ thể Áp dụng... đến vi c giải phương trình vi- tích phân Phương trình vi- tích phân tuyến tính Fredholm là loại phương trình xuất hiện trong toán học và các ngành khoa học ứng dụng và từ lâu đã được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu .Vi c tìm nghiệm chính xác của phương trình nói trên gặp nhiều khó khăn Vì vậy người ta nghiên cứu vi c giải xấp xỉ phương trình đó Phương trình vi- tích phân tuyến tính Fredholm có thể giải. .. các phương pháp khác nhau Trong đó, phương pháp giải tích cho nghiệm dưới dạng biểu thức giải tích và phương pháp số cho nghiệm thu được dưới dạng bảng số Trong quá trình giải, ta có thể kết hợp sử dụng phần mềm Maple trong tính toán Với mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về vấn đề này, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh tôi đã nghiên cứu đề tầỉ Một số phương phấp giải xấp xỉ. ..PHẦN TUYẾN TÍNH FREDHOLM 32 3.1 Phương pháp giải số phương trình vi- tích phân tuyến tính Fredholml 3.2 Các ví dụ minh họa và ứng dụng Maple trong tính toán Kết luận Tài liệu tham khảo 32 34 47 48 Mở đầu Lí do chọn đề tài Toán học là một môn khoa học gắn liền với thực tiễn Cùng với sự phát triển của nội tại toán học... Ja Jc Một số kiến thức về giải tích số 1.3.1 Phương pháp cầu phương Cho hàm / xác định trên đoạn [a,b], f là hàm số liên tục trên đoạn [ữ, 6] do đó / khả tích trên đoạn [a, 6] Ta chia đoạn [a, b] thành n phần a = x 0 < Xị < x 2 < < x n = b Công thức sau được gọi là công thức cầu phương / b n (1.1) (a;) dx — E ẢkV 0x ) + R k n k= 1 trong đó, Ak và Xỵ- tương ứng là hệ số và nút của công thức cầu phương, ... f(x,y)dx Khi đó I(y) là một hàm số xác định trên tập Y và được gọi là tích phân phụ thuộc tham số của hàm f(x,y) trong đoạn [a, b] Các tính chất của tích phân xác định phụ thuộc tham số Giả sử f(x, y) là hàm số xác định trong hình chữ nhật D = [a, 6; c, dị = [a, 6] X [c,d] = {(x,y),a < X < b;c < y < d} 28 28 s là hàm khả vi trong khoảng hội tụ ( - R , R ) v à + Tổng s là hàm khả vi trong khoảng hội tụ... của phương pháp đó vào giải các phương trình cụ thể Áp dụng phần mềm Maple trong tính toán Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Một số kiến thức về Giải tích hàm Mục này nhắc lại một số kết quả về giải tích hàm, được trích dẫn chủ yếu từ tài liệu [5] Không gian metric Cho X là một tập tùy ý Định nghĩa 1.1.1 Một metric trong X là một ánh xạ d X XX —ỳ K, thỏa mãn các điều kiện sau đây (i) d(x,y) ^ 0,Vx,y e X;... trong hình chữ nhật D thì tích phân phụ thuộc tham số I(y ) = f b f(x ì y)dx là một hàm liên tục trong đoạn [c, d] b a Định lý 1.2.5 Giả sử f(x,y) là hàm số xác định trong hình chữ nhật D liên tục theo X € [a,b] với mỗi y cố định thuộc đoạn [c,d] Hơn nữa f(x,y) có đạo hàm riêng I~(x,y) là một hàm liên tục trong hình chữ nhật D Khi đó tích phân phụ thuộc tham số 29 29 là một hàm khả vi vàĐịnh lý 1.2.6 Nếu... v à + Tổng s là hàm khả vi trong khoảng hội tụ ( - R , R ) v à + Tổng hạng của chuỗi lũy thừa đã cho, cũng có bán kính hội tụ là R.s'(x ) = ^2 nơ n x n 1 na n x n =0 Tích phân phụ thuộc tham số và các tính chất Định nghĩa 1.2.2 Giả sử f(x,y) là một hàm số xác định với X thuộc đoạn [a, 6] và y thuộc một tập hợp số thực Y nào đó, sao cho với mỗi y cố định thuộc Y hàm f(x,y) khả tích trong đoạn [a,h] Đặt