Luận văn một số phương pháp giải phương trình với toán tử đơn điệu

B ộ GIÀO DỤC VÁ ĐÁO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PHẠM HÀ NỘI LÊ T H Ị V Â N A N H MỘT SỐ PHƯƠNG PH Á P GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU C huyên ngành: Toán giải tích M ã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC N gười hướng dẫn khoa học: P G S T S K huất V ăn N in h HÀ NỘI - 2015 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn thầy giáo PGS.TS K huất Văn Ninh Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình thầy suốt trình thực luận văn giúp em nhiều cách tiếp cận vấn đề Em xin bày tỏ lòng biết ơn, kính trọng sâu sắc thầy Em xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, thầy cô giáo nhà trường thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt trình học tập nghiên cứu hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 11 năm, 2015 Học viên Lê T h ị V ân A n h LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn thầy PGS.TS K huất Văn Ninh Trong trình nghiên cứu hoàn thành luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 11 năm, 2015 Học viên Lê T h ị Vân A n h M ục lục M đầu 1 M ột số kiến th ứ c chuẩn bị 1.1 Không 1.1.1 Không gian m e t r i c 1.1.2 Nguyên lý ánh xạ c o 1.2 Không gian B a n a c h 1.3 Không gian H i l b e r t 12 1.4 Toán tử đơn đ i ệ u 13 1.4.1 gian metric, nguyên lý ánh xạ co Một số khái niệm đơn đ i ệ u 13 1.4.2 Một số khái niệm liên t ụ c 14 1.4.3 Một số tính chất toán tử 14 M ột số phương pháp giải phương trình với toán tử đơn điệu 18 2.1 Một số định lý toán tử đơn đ i ệ u 18 2.2 Định lý tồn n g h iệ m 24 2.3 Phương pháp G a le r k in 30 iv 2.4 Phương pháp l ặ p 33 2.5 Phương pháp chiếu l ặ p 37 2.6 Các định lý liên quan toán tử đơn điệu toán tử 39 2.6.1 Toán tử t h ế 39 2.6.2 Mối liên hệ toán tử đơn điệu toán tử 47 ứ n g dụng 55 K ết luận 74 Tài liệu th am khảo 75 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lí thuyết phương trình với toán tử đơn điệu nhà toán học quan tâm nghiên cứu từ năm sáu mươi kỷ 20 Có thể kể đến công trình nhà toán học P.I.Kachurovski, M.M.Vainberg, M.I.Visik, M.A.Crasnoselski, F.E.Browder, G.J.Minty, J.L.Lions, R.T.Rockaíellar, _Phương pháp toán tử đơn điệu áp dụng phổ biến lí thuyết phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Những vấn đề quan tâm tồn nghiệm phương trình, phương pháp giải xấp xỉ phương trình ứng dụng vào lớp phương trình cụ thể Cho đến lí thuyết phương trình với toán tử đơn điệu thu kết phong phú Với mong muốn tìm hiểu sâu phương trình với toán tử đơn điệu nên chọn đề tài: “M ộ t s ố p h n g p h p gi ả i p h n g t r ì n h v ới t o n t đ n đ i ệ u ” làm đề tài luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu số phương pháp giải phương trình toán tử đơn điệu, ứ ng dụng giải số phương trình toán tử đơn điệu cụ thể Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số phương pháp giải phương trình toán tử đơn điệu Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Phương trình với toán tử đơn điệu - Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu tồn nghiệm phương trình, phương pháp giải xấp xỉ phương trình, ứ n g dụng giải số phương trình toán tử đơn điệu cụ thể Phương pháp nghiên cứu - Vận dụng kiến thức, phương pháp Giải tích hàm, Giải tích số, Phương trình vi phân - Sưu tầm , nghiên cứu tài liệu liên quan - Phân tích tổng hợp hệ thống hóa Đóng góp luận văn Hệ thống hóa vấn đề nghiên cứu Áp dụng giải số phương trình toán tử đơn điệu cụ thể Chương M ột số kiến thứ c chuẩn bị Trong chương tác giả trình bày số khái niệm định lý Giải tích hàm không gian metric, không gian Banach, phép tính vi phân không gian Banach, không gian Hilbert Trong chương trình bày số khái niệm đơn điệu, số khái niệm liên tục số tính chất toán tử 1.1 Không gian metric, nguyên lý ánh xạ co 1.1.1 K h ôn g gian m etric Đ ịn h nghĩa 1.1.1 Ta gọi không gian metric tập hợp X Ỷ ộ với ánh xạ d : X X X —>■R thỏa mãn tiên đề sau đây: 1)(Vrr, y e 2)(Va;, y e x)d {x, y) >0, d,{x, y) = X = y, (tiên đề đồng nhất); x)d {x, y) = d (y , x), (tiên đề đối xứng); 3)(Víc, y, z e X ) d, {x, y) < d {x, z) + d, {z, y ), (tiên đề tam giác) Ánh xạ d, gọi metric X , số phần tử X, gọi khoảng cách hai y Các phần tử X gọi điểm Các tiên đề 1), 2), 3) gọi hệ tiên đề metric Không gian metric ký hiệu X = (X, d,) Đ ịn h n g h ĩa 1.1.2 Cho không gian metric X = (X, d) Một tập X q ỷ ộ tập X với metric d X lập thành không gian metric Không gian metric x ữ — (x ữìd) gọi không gian metric không gian metric cho Đ ịn h n g h ĩa 1.1.3 Cho không gian metric X = (X, d), dãy điểm (xn) c X , điểm X(Ị e X Dãy điểm (x n) gọi hội tụ tới điểm X(Ị không gian X n —>■00 , Ve > 0, 3n0 € N*,Vn > ĩio, d ( x n,xũ) < £, kí hiệu lim x n = X(Ị hay x n —>■X(Ị ( n —>■oo) n—ỳ00 Điểm Xq gọi giới hạn dãy (zn) không gian X Đ ịn h n g h ĩa 1.1.4 Cho không gian metric X = ( x , d ) Dãy (xn) c X gọi dãy Cauchy (hay dãy bản) Ve > ,3n£ € N* : d, (zn, x m) < £, Vn, m > n £ Nếu dãy Cauchy không gian metric X hội tụ X gọi không gian metric đầy 1.1.2 N gu y ên lý ánh x co Đ ịn h n g h ĩa 1.1.5 Cho X không gian metric Ánh xạ Ả : X —> X gọi ánh xạ co tồn số a , < a < cho d, {Ax, Ay) < ad (X, y),Vx, y £ X Đ ịn h lý 1.1.1 (Nguyên lý Banach ánh xạ co) Mọi ánh xạ co Ả ánh xạ không gian metric đầy đủ (X, d,) vào có điểm bất động nhất, nghĩa tồn điểm X* £ X thỏa mãn Ax* = X*, X* giới hạn dãy (zn) , x n = Ả (xn- ) , n = , , x ữ e X tùy ý Oin d ( x n,x*) < d ( x i,Zo) —a d (xn, z*) < ^ — d (xn, z n_ i ) , n = 1, 2, —a a hệ số co ánh xạ co A Chứng minh Lấy điểm X(Ị € X lập dãy x n = Ả (xn_i), n = 1,2, ta được: d (æ2, Xi ) = d { A x \ , A x ữ) < ad (xi, Xo) = ad {Ax 0, Xo), d (x3, x 2) = d {Ax 2, A x \ ) < ad (X2, 0Ci) < a 2d {Ax 0, Xo), d (xn+ĩ, x n) = d {Axnì Ax n- ì ) < ad (x n, x n- ) < a nd ( Ax ồì z 0) , n = 1, , Từ suy Vn,p = 1, 2, ta có p d (зСп+pìXn) ^ p d ( A x n+k, < d (Ax„, x„) k= a n+k fc= Qn - а п+р an = — -d (Ax 0, Xo) < d ( Ax 0, z 0) —a —a Vì < a < nên lim d(x n+p, x n) = 0, Vp e N* nghĩa (xn) dãy n—ỳ00 không gian metric đầy (X, d), từ tồn lim x n = X* £ X n—ỳ00 Ta có d (Ax*, X*) < d (Ax*,xn) + d {xnì X*) = d (Ax*, A x n- i ) + d {xnì X*) < ad (xn- i ,x*) + d {xnì X*), Vn = 1, 2, Cho n —>■00 ta d (Ax*,x*) = hay A x * = X*, nghĩa X* điểm bất động ánh xạ A 61 (v,Rg) = Ị Ị gvdxdy,Vv e H ị (O) íì Vì dạng yếu toán (3.1) tương đương với việc giải phương trình toán tử F u = Rg Bây số điều kiện định ( Ví dụ ộ (t ) hàm đơn điệu tăng ộ (t ) > Co > 0), toán tử F xác định toán tử đơn điệu T hật điều kiện này, với Ui, (u2 - u2 £ Hị (Q) có Ui, F u2 - Fui ) = ị j Ị [ > ( T u 2) + ệ ( T Ul)] n 2/ / ( 'd (u2 - V A L ^ TUĩ^ ~ ^ (T u i ^ (T u ~~ TUĩ) dxdy 'd{u2 - u i ) \ * / /n[ (L • ' (d{u2 -ui)' ” _ / ỡ ( u -U i)' dy dxdy > dxdy > Ví dụ 3.4 Bài toán biên phương trình vi phân tuyến tính cấp hai —u" + q { x ) u = f (z) u (0) = u (T) = q (X) > qữ > , Vz e [0 , Tị Đ ặt L (u ) = —u" + q (x) u =4> L (v) = —v" + q (z) V, ta có T {L (u) — L (v) , u — v) = I (L (u ) —L (V)) (u — v) dx = 62 т = j { - ^ + q ( x ) u + v " - q {x ) v ) { u - v ) d , = о т = J [— (и" — v") + q (я) (и — г?)] (и — v ) d x = о т т = — J (и" — v") (и — v ) d x + J q (х) (и — v)2dx о о Do т т f q ( х ) (и — V ) dx > J qo(u — V) dx = qoịịu — г?Il , о о Đăt w = и — V => w7/ = и" — v", ta có T T T — J (и" — v") (и — v) dx = —J w7/wdx = —w 7w|q + J wl2dx 0 Mà и (0) = и (T) = о => W (0) = w (Т) = О, nên ta có —f (и" — v") (и — v ) d x = f wl2dx > 0 Vậy (L (и) - L (v) , и - v) > q0\\u - v ||2, nghĩa L toán tử đơn điệu mạnh L đơn điệu Giả sử {(Pi (я)} hệ độc lập tuyến tính đầy đủ L [0,т] Ta tìm nghiệm xấp xỉ toán dạng 63 u n (X) = ’ (0 , ) (0 ,2 —0,4) (0,2 —0 , 6) (0 ,2 —0 , ) (0 , — ) xịx _ - 0,2) (x - 0,6) (a; - 0,8) (a; - 1) ’ (0,4) (0,4 - , 2) (0,4 - 0.6) (0,4 - 0,8) (0.4 - 1) x ( x — , 4) (a; —0 , ) (x — , 8) (a; — ) ’ (0,6) (0,6 - 0,4) (0,6 - 0,2) (0,6 - 0,8) (0,6 - 1) ’ ^ - ° ’^ - ° ’ ^ ^ H (0 , 8) (0,8 - ,4) (0,8 - , ) (0,8 - , 6) (0 , - ) Khai triển biểu thức ta kết u{ x ) = ,99999999x2—0 ,999999999x Đồ thị biểu diễn nghiệm xác đường m àu đỏ, nghiệm gần đường màu xanh H ình 3.2 Nhìn vào đồ th ị ta nhận thấy đường m àu đỏ biểu diễn nghiệm xác gần trùng khớp với đường m àu xanh biểu diễn nghiệm gần 74 KẾT LUẬN Luận văn trình bày ba chương Chương trình bày kiến thức chuẩn bị bao gồm số khái niệm định lý Giải tích hàm, trình bày số khái niệm đơn điệu, số khái niệm liên tục số tính chất toán tử Chương trình bày số định lý quan trọng lí thuyết toán tử đơn điệu bao gồm định lý Browder - Minty tồn nghiệm phương trình, phương pháp giải gần phương trình với toán tử đơn điệu mối liên hệ toán tử đơn điệu toán tử Chương trình bày ứng dụng định lí Browder - Minty Trong chương xét trường hợp đặc biệt định lý Browder - Minty cho toán tử đơn điệu từ R vào R so sánh kết thu với định lý giải tích cổ điển xét ứng dụng định lý Browder - Minty vào giải toán biên phương trình vi phân thường cấp hai Dựa vào định lý Browder - Minty để khẳng định tồn nghiệm toán Sau tìm nghiệm giải tích toán tuyến tính phương pháp Galerkin tìm nghiệm toán phi tuyến phương pháp sai phân Do thời gian lực có hạn luận văn không tránh khỏi sai sót Em mong thầy cô góp ý để luận văn hoàn thiện Em xin trân trọng cảm ơn! 75 Tài liêu th am khảo [A] Tài liệu tiế n g V iệt [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chương, Ya.D.Mamedov, K huất Văn Ninh (1992), Giải xấp xỉ phương trình toán tử, NXB Khoa học kỹ th u ật Hà Nội [3] Phạm Huy Điển (2002), Tính toán, Lập trình giảng dạy toán học maple, NXB Khoa học Kỹ th u ật Hà Nội [4] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hầm, NXB Khoa học kỹ th u ật Hà Nội [5] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu tiế n g A n h T iến g N g a [6] XXciebCK.níí, unzpamvpnuz K.rrp^reP> K.3cu.cipncu; ựpavnmutt u (1978), ơntparíM/pnu^ HtAunzunuz dufpfptptuiifuamnut ypatmznutt, MưUK-ttci, Mnp [7] James M O rtega and Werner c Rheinboldt (1970), Iterative so­ lution of nonlinear equations of several variables, Academic Press, New York and London [...]... 2 Một số phương pháp giải phương trình với toán tử đơn điệu Trong chương này tác giả trình bày một số định lý về toán tử đơn điệu, định lý Browder - Minty về sự tồn tại nghiệm của phương trình Trong chương này trình bày phương pháp Galerkin, phương pháp lặp và phương pháp chiếu lặp giải xấp xỉ phương trình với toán tử đơn điệu, mối liên hệ giữa toán tử đơn điệu và toán tử thế 2.1 Một số định lý về toán. .. Hilbert 1.4 Toán tử đơn điệu 1.4.1 M ột số khái n iệm đơn điệu Đ ịn h n g h ĩa 1.4.1 Cho X là không gian định chuẩn thực, X* là không gian liên hợp của X , toán tử A: X —>■X* - Toán tử Ả được gọi là toán tử đơn điệu nếu {Au — A v , u — v) > 0, Vu, V £ X - Toán tử Ả được gọi là toán tử đơn điệu nghiêm ngặt (hay đơn điệu thực sự) nếu {Au — Av, u — v) > 0, Ỷ V, Vu, V £ X - Toán tử Ả được gọi là đ -đơn điệu nếu... 11^40II - Nếu A là toán tử d -đơn điệu với hàm a và lim a ( t ) = +00 thì A là í—ỳ 00 toán tử bức với hàm 7 (t) = a(t) — a:(0) -N ế u J : X —>■X* là toán tử đối ngẫu thì J là toán tử đ -đơn điệu với a (t ) = t, suy ra J là toán tử bức Đ ịn h nghĩa 1.4.4 (Toán tử có tín h chất (»S')) Cho X là không gian định chuẩn thực, X * là không gian liên hợp của X Toán tử A: X —>■X * được gọi là toán tử có tính chất... (s) = m s 2 - Nếu toán tử A đơn điệu m ạnh thì d-ãơn điệu với a (s) = ms - Nếu toán tử Ả đơn điệu đều thì đơn điệu nghiêm ngặt - Nếu toán tử Ả là đ -đơn điệu và X là không gian lồi ngặt thì Ả là toán tử đơn điệu nghiêm ngặt 1.4.2 M ột số khái n iệm liên tụ c Đ ịn h n g h ĩa 1.4.2 Cho X là không gian định chuẩn thực, X* là không gian liên hợp của X , toán tử A: X —>■X* - Toán tử Ả được gọi là radian liên... số tăng nghiêm ngặt trên [0; +oo) - Toán tử Ả được gọi là đơn điệu đều nếu {Au — A v , u — v) > p (IIu — VII), Vit, V £ X , trong đó p là hàm số tăng nghiêm ngặt trên [0; +oo) vàp (0) = 0 - Toán tử Ả được gọi là đơn điệu mạnh nếu tồn tại hằng số m > 0 sao cho {Au — Av, u — v) > m\\u — 1 >||2, Vw, V e X 14 Nhận xét 1.4.1 - Nếu toán tử A đơn điệu m ạnh thì đơn điệu đều với p (s) = m s 2 - Nếu toán tử. .. định lý về toán tử đơn điệu B ổ đ ề 2.1.1 a) Toán tử Ả € ( X —>■X*) là toán tử đơn điệu khi và chỉ khi mọi u, V € X cố định hàm số biến số thực t -> P u ,v (t ) = { A( u + t v ), v) là một hàm đơn điệu tăng trên [0,1] 6) Giả sử toán tử Ả e ( X —>■X*) khả vi G âteaux và mọi u, V £ X cố định hàm t —>■ (A' (u + tv) V, v) liên tục trên [0,1] Với những điều kiện đó Ả đơn điệu khi và chỉ khi với u , v £ X... chặn địa phương - Nếu Ả là toán tử đêmi liên tục thì Ả bị chặn địa phương - Nếu Ả là toán tử bị chặn thì Ả bị chặn địa phương Đ ịn h n g h ĩa 1.4.7 Toán tử Ả có dạng Ả = L*AỮL được gọi là toán tử mở rộng năng lượng của toán tử E (với tập xác định tự nhiên là M (E)), với tập xác định là D (E) và với miền giá trị là R (E) Nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn: a) A q là toán tử đêmi liên tục của một không... trên toán tử A n Điều đó được sử dụng trong mục sau khi ta giải phương trình (2.14) bằng phương pháp lặp 31 Đ ịn h lý 2.3.1 Giả sử A € ( X —ỳ X*) là toán tử radian liên tục, đơn điệu nghiêm ngặt và là toán tử bức Khi đó 'in tồn tại duy nhất một nghiêm của phương trình Galerkin un và un —^ u trong X Nghiêm u đó là nghiệm duy nhất của phương trình A u = / Chứng minh Sự tồn tại nghiệm duy nhất un của phương. .. un của phương trình (2.13) được suy ra từ định lý 2.2.2 và nhận xét ở trên về sự tương đương của phương trình (2.13) và phương trình (2.14) Toán tử A n là toán tử radian liên tục, đơn điệu nghiêm ngặt và là toán tử bức Trên cở sở của định lý 2.2.2 thì un cũng là nghiệm của phương trình (2.12) Trong quá trình chứng minh định lý 2.2.1 ta đã áp dụng phương pháp Galerkin và đã chỉ ra rằng một dãy con hội... \\v\\) 1.4.3 M ột số tín h chất của to á n tử Đ ịn h n g h ĩa 1.4.3 Cho X là không gian định chuẩn thực, X* là không gian liên hợp của X Toán tử A: X —>■X * được gọi là toán tử coercive (toán tử bức) nếu tồn tại hàm số 7 xác định trên [0; +oo), lim 7 (s) = s —>+ 00 +00 sao cho (Au, u) > 7 (\\u\\) ||it|| ,Vu € 15 Nhận xét 1.4.2 - Nếu A là toán tử đơn điệu đều th ì A là toán tử bức với hàm số 7 được xác