Luận văn sự tồn tại không điểm của toán tử đơn điệu trong không gian banach phản xạ

B Ộ G I Á O DỤ C V À Đ ÀO T Ạ O T R ƯỜ NG ĐẠ I H Ọ C s P H Ạ M H À NỘ I NGUYỄN QUỲNH TRANG Sự TỒN TẠI KHÔNG ĐIEM CỦA TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN BANACH PHẢN XẠ * Chuyên ngành : T O Á N GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 L UẬ N V Ă N T H ẠC SỸ T O Á N H Ọ C Người hướng dẫn khoa học: P G S . T S . NG UY Ễ N NĂ NG T Â M Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn này. CẢM ƠN Xin chân thành cảm ơn cácLỜI Thầy cô trường Đại học Sư phạm Hà Nội truyền thụ kiến thức cho suốt trình học tập vừa qua. Xin cảm ơn gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn . Hà Nội, ngày 16 tháng năm 2014 Tác giả Nguyễn Quỳnh Trang Tôi xin cam đoan hướng dẫn PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài " Sự tồn không điểm toán tử đơn điệu không gian Banach phản xạ " hoàn thành nhận thức thân tác giả. Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn. Hà Nội, ngày 16 tháng năm 2014 Tác giả Nguyễn Quỳnh Trang LỜI CAM ĐOAN BẢNG KÝ HIỆU M đường thẳng thực M+ đường thẳng thực không âm Mn không gian Euclid n- E* không gian đối ngẫu E E+ không gian đối ngẫu đại số E E** không gian đối ngẫu thứ hai E Ơ (E, E *) Ơ (E*, E) chiều tôpô yếu E tôpô yếu* E* T : X —> Y ánh xạ đa trị từ X vào Y G PH T đồ thị T D OM T miền hữu hiệu ánh R GE T miền ảnh ánh xạ đa trị T BR(X) hình cầu tâm X bán kính r ll-ll chuẩn không gian Banach (x, /) giá trị / X DF xạ đa trị T đạo hàm hàm / Mục lục 1.1. Không điểm toán tử đơn điệu không gian Banach 16 1.1.1. Không điểm toán tử không gian Banach 16 1.1.2. Không điểm toán tử đơn điệu không gian MỞ ĐẦU 1. Lý chọn đề tài Các toán tử đơn điệu đóng vai trò quan trọng tối ưu hóa, giải tích biến phân phương trình vi phân. Việc nghiên cứu tồn không điểm toán tử đơn điệu dạng bao hàm: e T{ U ), E không gian Banach, U (0.1) € E T : E —»■ 2B* toán tử đơn điệu. Đây hình thức tổng quát toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân số toán khác. Nhiều tác giả nghiên cứu tồn nghiệm (0.1); xem [5] tài liệu dẫn đó. Với mong muốn tìm hiểu sâu kiến thức học, mối quan hệ ứng dụng toán giải tích, đặc biệt Lý thuyết toán tử ứng ứng dụng, chọn đề tài: “Sự tồn không điểm toán tử đơn điệu không giãn Banach phản xạ” để nghiên cứu. 2. Mục đích nghiên cứu Đạt hiểu biết tốt tồn không điểm toán tử đơn điệu không gian Banach phản xạ. Đặc biệt, kiến thức kĩ thuật chứng minh tồn đó. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu toán tử đơn điệu không gian Banach phản xạ tồn không điểm chúng. 4. Đối tượng phạm vi nghiền cứu - Phạm vi nghiên cứu: Toán tử không gian Banach phản xạ. - Đối tượng nghiên cứu: Sự tồn không điểm toán tử đơn điệu toán tử đơn điệu cực đại. 5. Phương pháp nghiên cứu - Tìm hiểu tài liệu: Các báo đăng sách in liên quan mật thiết đến toán tử đơn điệu tồn không điểm chúng. - Sử dụng phương pháp Toán giải tích. 6. Những đóng góp Một tổng quan tồn không điểm toán tử đơn điệu . Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày khái niệm không gian Banach không gian Hilbert toán tử tuyến tính chúng. Những kiến thức trích chủ yếu từ tài liệu [1], [2], [3]. 1.1. Không gian Banach không gian Hilbert 1.1.1. Không gian Banach Chúng ta khái niệm không gian định chuẩn thực. Định nghĩa 1.1. Cho E không gian tuyến tính trường số thực R. Ta gọi ánh xạ ||.|| : E —¥ M chuẩn E 1. ||x|| > 0, Va: G E, ||x|| = ^ X = 0, 2. \/ X e E, VA € M, 11Arc11 = ỊA| Ị|a:|Ị; . V x , y e E , \\x + y\\ < ||a;|| + \ \y\\. Định nghĩa 1.2. Ta gọi không gian tuyến tính thực E với chuẩn ||.|| xác định không gian định chuẩn. Không gian định chuẩn E với chuẩn xác đinh ||.|| thường kí hiệu (E, ||.||) đơn giản E. Dễ thấy rằng, ll-ll chuẩn E công thức P ( X , Y ) = ||z — Y II cho ta metric E. Do vậy, E với P ( X , Y ) = || x — Y II không gian metric. Trong luận văn ta hiểu không gian định chuẩn không gian với metric thế. Định nghĩa 1.3. Dãy điểm (x n) không gian định hội tụ tới điểm X e E l i m | | a ; n — x|| = 0, n—>oc kí hiệu chuẩn E gọi lim x n = X hay n—>oc x n — > X ( n —>■ oo). Định nghĩa 1.4. Dãy điểm ( x n ) không gian định chuẩn E gọi dẫy (hoặc dẫy Cauchy) lim \\x n — x m \ \ = 0. n , m — ¥ 00 Định nghĩa 1.5. Không gian định chuẩn E gọi không gian Banach dẫy E hội tụ. Nhận xét 1.1. Từ định nghĩa trên, ta thấy rằng: gian định chuẩn E không gian Banach không với metric p ( x , y ) = ỊỊíc — y\\ không gian đủ. 1.1.2. Không gian Hilbert Định nghĩa 1.6. Cho không gian tuyến tính E trường số thực R. Ta gọi ánh xạ ị .,.) : E X E —»• M ỉà tích vô hướng E 1. \/x,y G E, (y,x) = (x,y), 2. Va;, y , z e E , ( x + y , z ) = ( x , z ) + ( y , z ) , 3. \ỉx,y € E, VÀ € M, ( \ x , y ) = À( x , y ) , ị . \ / x G í?, { x , x } > nếíí a: 7^ 0. Định nghĩa 1.7. Không gian tuyến tính thực H gọi không gian Hilbert điều kiện sau thỏa mãn: (•,•), 1. H trang bị tích vô hướng 2. H không gian Banach với chuẩn ||:r|| = ^J(x,~x), \fx e H. Không gian Hilbert H với tích vô hướng xác định thường kí hiệu ( H , (.,.)) đơn giản H. 1.2. Toán tử tuyến tính liền tục Cho hai không gian tuyến tính E I ,E trường số thực M. Nhắc lại rằng, ánh xạ T : E Ị —»■ E gọi toán tử tuyến tính Va: G E Ị , Vy e E , VA, /lẽM T( X X + FIY) = A T( X ) + ỊI T( Y ). Định lý 1.1. Cho hai không gian tuyến tính định chuẩn Eị , E trường số thực M T : Eị E toán tử tuyến tính. Các mệnh đề sau tương đương: 1. T toán tử tuyến tính liên tục, 2. T ỉiên tục điểm x £ Eị, T liên tục 0, C H ỨN G MINH. 2: Hiển nhiên đúng. =>- 3: Lấy X N —>• 0, suy X N + X —> XỮ. Do T toán tử liên tục nên ta có: T( X N + Xq) = T X N + T X —> T X , . Suy T X N —> =>- T(0) = 0. Vậy T liên tục 0. XỮ Khi đó, tính toàn cục xác định tính địa phương. Ta có điều phải chứng minh. Để tìm hiểu thêm không điểm lớp toán tử kiểu trễ. Chúng ta cần thêm giả thiết sau: (H ) Toán tử T : E Ữ —> E toán tử liên tục. (H Q ) Tồn A( T ) thỏa mãn tính chất (H Y ) cho {A(t)(T(ệ) - T(V0) - D-A(t)(ộ(0) - (0 )), (0 ) - v>(0 ))+ > - g ( t , 1 (0 ) - V>(o)|| i4(i))||0(o) - (0 ) 1 Ộ , IP € E cho 11000 - ^( S )\\Ả{ T + S ) < 110(0) - ^(0)||i4(í) Vs G [—r, 0]. (H 7) A( T ) hàm từ (—T, 0 ) thỏa mãn tính chất (i) A(0 ) = , A( T ) > , T G (—T, oo), (ii) A tập bị chặn tập compact D-A( T ) tồn Ví e (-T, oo), (iii) Nếu R ( T ,0, U Ữ ) nghiệm lớn phương trình U ' — g(t,u), w(0) = U Ữ . Khi tồn T * > K *, < K * < cho ^4°^ < K - U . A(t*) (H 8) G e C(R + X R + ,R + ) G(T, 0) = 0; U = nghiệm phương trình vi phân vô hướng: U' = G ( T , U ), U ( T 0) = ( T Ữ , oo). □ Định lý 2.9. ( [ ] , t h e o r e m , p p . ) V i c c g i ả t h i ế t ( H $ ) , (H Q ), (H 7) v (H$), toán tử T có không điểm, nghĩa ỉà tồn ộ G E0 cho T ( ộ ) = 0. C H ỨN G MINH. Xét phương trình vi phân kiểu trễ x ' + T { x ị ) — 0, X Q — ộ G E Q . Nếu đặt F ( Ộ ) = —T( Ộ ) theo (H E ) ta có (.A ( t ) ( f ( ệ ) - f ( ộ ) ) + D . A ( t ) ( ệ ( ) - ĩ p ( ) ) , ệ ( ) - ĩ p ( ) ) _ < g { t , 110(0) - ' ệ { ) \ \ A { t ) ) . \ \ ệ ( ) - ^(0)11 ộ, ĩị) G E cho IIỆ ( S ) - Ý { S )\\A{ T + S ) < 110(0) - V>(0)||i4(í) Vs G (—r,0). Vì T toán tử liên tục, / hàm liên tục / thỏa mãn tính chất (H Ị ). Do định lý 2.8 đảm bảo tồn toàn cục. Cho Ộ G E Ữ X ( T , 0, Ệ ) nghiệm phương trình vi phân x ' + T { x t ) = 0, X Q = ậ . Định nghĩa toán tử U ( T ) : E Ữ —» E Ữ đó, U ( T )( Ộ ) = X T (0, Ộ ). Vì phương trình vi phân có chất tự điều khiển. Chúng ta có U(t + s)(ệ) = U{t)(U(s){4 >)) = U(s)(U{t)(ệ)). Cho M ( T ) = IIX ( T , Ộ ) — X ( T , I / J )\\A( T ). Tương tự ta có m ( t ) < r ( t , , \ \ ộ - ĩ p ị ị o ) , t > 0. đây, R ( T ) nghiệm lớn phương trình ú = g ( t , u ) u ( 0) = \ \ ф - ф\\ . Ta có ỊIx ( t , ộ ) — x ( t , ĩ ị ) ) \ \ A { t ) < r ( t , о, \ \ ф — ф \ \ о ) , t > 0. Hơn thế, (H 7) có T — T * ta có \ \ и ( * * ) ( Ф ) - и ( ^ ) ( ' Ф ) \ \ о = I\ x r (о,ф ) - Sr(0 , ^ ) lo < к * \ \ ф - V’llo- Suy U ( T *) phép CO. Do U{ T *) có điểm cố định Ф *, Ф* = U( T *)( Ộ *). Nhưng ị\U(t)ậ--ậ% = \\U(t)(U[t)(ệ-))-U(f)(ậ')\h — £/(í*)(0*)||o = < k'ị\U(t)(ộ’) - ФЪDo X T (0, Ộ *) = Ф* với Ví, suy Ф* hàm X '( T , 0,0*) = Т{ Ф *) = 0. Điều phải chứng minh. 2.2.3. □ Sự tồn không điểm toán tử đơn điệu Lyapunov Xét toán tử phi tuyến T từ không gian Banach E vào nó. Toán tử T có không điểm toán giá trị ban đầu X' + T X = 0, æ(0) = X Ữ (2.3) có nghiệm không đổi. Nếu T toán tử đơn điệu, (2.3) có nghiệm X ( T , æ0) xác định đoạn [0 , oo) toán tử nghiệm U( T ) X = X ( T , X Ữ ) không giãn Ví > 0. Cho E không gian vectơ thực. Chuẩn suy rộng ánh xạ ||.|| : E —> hiệu ||a;|| = ( a i ( x ) , a 2( x ) , . . . , a p ( x )) X e E cho kí 1. ||a;|| > 0, 2. \ \ x \ \ = X = 0, 3. ||Aa;|| = |A|||x|| A e K , 4. \ \ x + y \ \ < 11^11 + \ \ y \ \ . Định nghĩa 2.13. ([6], pp.108) Cho E ỉà không gian Banach thực. Tập K c E gọi nón i) K đóng, i i ) N ế u u , v £ K t h ì a u + Ị v £ K Va, Ị > 0, Ui) Có cặp vectơ u, —u Ệ. K, với điều kiện u Ỷ 0; đ ẫ y l p h ầ n t k h ô n g c ủ a E . Ta nói u > V u — V e K. N ó n K đ ợ c g ọ i l n ó n p h ấ p t u y ế n n ế u t n t i ổ > s a o c h o ||ei+e2|| > ổ v i ei,e2 ẽ K , ỊỊei11 = Ị|e2 Ị| = 1. M ộ t n ó n đ ợ c g ọ i l n ó n c h í n h t h n g dẫy đơn điệu, bị chặn có giới hạn. Định lý 2.10. ( [ ] , t h e o r e m . , p p . ) C h o I p l m ộ t n h x đ n đ i ệ u đoạn nón < u < u v o c h í n h n ó , m ặ t k h c c h o (i ) ĩ p l n a liên tục bên phải với K thường (ỉỉ)ĩỊ) hoàn toàn l i ê n t ụ c v i K p h p t u y ế n ( h o ặ c c ả h a i ) . K h ỉ đ ó , d ã y ỉ ặ p { I p n u ữ} l giảm hội tụ đến điểm cố định w ĩị) nghĩa ĩị)w = w. Hơn nữa, V < ĩpv dẫn đến V < r, r điểm cố định lớn ĩỊj đoạn nón. Định nghĩa 2.14. ( [ ] , d e f i n i t i o n . , p p . ) C h o X l m ộ t t ậ p v K l m ộ t n ó n t r o n g E , h m p : X X X —»• K đ ợ c g ọ i l k — m e t r i c t r ê n X nếu: (i) p(x,y) = p(y,x), (ũ) p(x, y) = X = y, (ni) p(x, y) < p(y, z) + p{z, X) Vx, y,z e X. D ã y { x n} t r o n g k h ô n g g i a n k — m e t r i c đ ợ c g ọ i l d ã y C a u c h y n ế u lim \ \ p ( x n , xm)|| = 0. M ộ t k — k h ô n g g i a n m e t r i c l đ ầ y n ế u m ọ i d ã y m > n — > 00 Cauchy hội tụ. Định lý 2.11. ( [ ] , t h e o r e m . , p p . ) C h o ' ệ t h ỏ a m ã n đ ị n h l ý ( . ) . G i ả s r ằ n g ĩ ị i ỉ i Q < u v ĩ p u = u k h i v c h ỉ k h i u = 0. C h o X l m ộ t k — không gian metric đầy cho T ánh xạ từ X vào cho p{Tx,Ty) < ìpp(x,y) với p(x,y) < u 0. K h i đ ó n ế u x € X v i p ( T x , x 0) < «0 , d ã y l ặ p { T m x } h ộ i t ụ đ ế n đ i ể m c ố định w T, w điểm cố định B = [y G X : p{y,xo) < Mo]. Cho E không gian Banach suy rộng với chuẩn 11.11. Cho T ánh xạ liên tục từ E vào E. Mỗi V e C[E X E, R+] ta định nghĩa D + V (X , y ) = lim sup — [ V ( X + h T x , y + h T y ) — V (X , y ) ] . /i-> + H Chúng ta cần sử dụng số giả thiết sau đây. 8 (2.4) (H ) Mỗi R+, Q 0,G Q G C[R^_, R P ], hàm nơi, không giảm GQ(U) u , g q ( 0) = u = đơnđiệu hầu khắp nghiệm hệ phương trình vi phân ta nói T toán tử Lyapunov đơn điệu mạnh E. Nếu t r o n g (2.7) c ó t h ê m đ i ề u k i ệ n g G C \ R P + , R P + ] h o ặ c g ( u ) = t h ì T đ ợ c g ọ i l t o n t L y a p u n o v đ n đ i ệ u t r ê n E . N ế u (2.7) đ ợ c t h a y b i đ i ề u kiện yếu hơn: D+V(x,y) + gq{V{x,y)) > x,y e B[q]. (2.8) T r o n g đ ó g q t h ỏ a m ẫ n g i ả t h i ế t (H i ) v i m ọ i q E R p + Ĩ q > v B [ q \ = [x G E : ||:cỊỊ < gọi toán tử Lyapunov đơn q] T điệu m n h t r ê n B [ q \ . T r o n g t r n g h ợ p r i ê n g k h i V ( x , y ) = ||x — y \ \ h o ặ c V(x,y) metrỉc, toán tử T gọi tương ứng toán tử Lyapunov đơn điệu suy rộng mạnh E, toán tử đơn điệu suy rộng E toán tử đơn điệu suy rộng mạnh B[q\. Để thuận tiện liệt kê số giả thiết sau đây: ( H ) V e C [ E X E , R P + ] ; V ( x , y ) = 0, V ( x , y ) > X ± y , x , y e E {X N },{ Y n} dãy E cho lim V ( X N , Y n) = = 0. (H ) Với ( X , Y ) € E X E có lân cận N( X , Y ) ma trận d n g cỡrìXĩỉ L = L( X , Y ) s a o c h o \V{?uyì) - V ( x , y ) \ < L [ \ \ x i - ÍC2 II + \ \ y i - /2 11] (Hị) Với q £ R p+, q > có ma trận âm A(q ) cỡ n X n cho X, y G B[q\ x - y II < V { x , y ) < A ( q ) \ \ x - y \ \ . (H ) ||Ta:|| —> 00 ||a;|| 00. (H ) Nghiệm lớn R ( T , U 0) hệ vi phân U' = G ( U ) + ||T0|| m(0) = U0 > (2.9) tồn [0 , 0 ) có Ợo ẽ -R+, Ợo > cho r { t , u o ) < Q o với t > , < u < q . (2.10) Hơn thế, tồn số dương T cho r(r, M0) < U Ữ với < U Ữ < (2 .11 ) 2QỮ; với bất đẳng thức ngặt u = q , r ( t , u ) nghiệm lớn u ' = g ( u ) , lí(o) = u ữ > 0. (2.12) (H ) Với Q e R+, Q > 0, nghiệm lớn R Q ( T , U Q ) U' = G Q { U ), U ( 0) = U > 0, (2.13) tồn đoạn [0 , 0 ), có số dương r e (0 ,0 ) cho RQ(R, A( Q ) U 0) < U với < U thỏa mãn (Hị), (H5), (Hy). Khi đó, tồn không điểm E. Định lý 2.13. ( [ ] , t h e o r e m . , p p . 1 ) G i ả s r ằ n g T l t o n t đ n điệu suy rộng mạnh E giả thiết (H 6) đúng. Khi có phần tử q0 G Rp+, qo > cho T có không điểm B[q0]. Định lý 2.14. ( [ ] , t h e o r e m Ậ . l , p p . 1 ) C h o T ỉ m ộ t t o n t đ n đ i ệ u Lyapunov E cho (H2), (H3) đúng. Khi x ữ G E có n h ấ t m ộ t n g h i ệ m x ( t , x ) c ủ a b i t o n x ' + T x = 0,x(0) = x E E x c đ ị n h t r ê n [0 ,oo). Định lý 2.15. ( [ ] , t h e o r e m ị . , p p . 1 ) C h o g G C[R+ X RP+,RP\ g(t,u) toán tử đơn điệu khắp nơi (a) u với t, (b) [ t , t + a] đoạn lớn tồn nghiệm lớn r ( t , t , u ữ) u' = g { t , u ) , u ( t 0) = u > 0, (c)m € C[R+,R+] đạo hàm D cố định, bất đẳng thức Dm(t) < )) t > t ữ đúng. K h ỉ đ ó m ( t 0) < u t h ì m ( t ) < r ( t , t ữ , u ) , t G [íos^o + «]• Định lý 2.16. ( [ ] , t h e o r e m Ậ . , p p . 1 ) G i ả s (a), (6 ) c ủ a đ ị n h l ý . đ ú n g . G i ả s c ó [ioj^i] c [ t o , t ữ + a]. K h i đ ó t n t i £o € i?+,£o > cho < £ < £o, nghiệm lớn r(t,tữ,u0,£) u ' — g ( t , ù ) + £ , u ( t 0) = u + £ t n t i t r ê n [ t , t i \ v ì i m r ( t , t ữ , u , £ ) = r ( t , t ữ , u 0) d u y n h ấ t t r ê n [ t , t i \ . e->0 BỔ đề 2.7. ( [ ] , l e m m a ị . l , p p . 1 ) C h o a > 0, b G c h ọ n b > s a o cho \\Tx\\ < — = M B[xữ,b]. Khi với số nguyên dương n a có số nguyên N = N(n) dẫy điểm chia {ti}f = c ủ a [0,a] v m ộ t h m x n t [0, a] v o B [ x ữ , b ] s a o c h o (i) |í"+i — [о, о], < - v i m ỗ i < ỉ < N , ( a ) I\ x n ( t ) - a; n (s)|| < M i t - s ) , t , s e (iii) N ế u t e ( t ị _ , t ị ) , k h i đ ó đ o h m t r i (x n Ỵ _ ( t ) t n t i v (x n Ỵ _ ( t ) + Tæn(i”_1) = v i m ỗ i < г < N, Nếu \\x - xn (t™— (iv) ) 11 < M ( t ? - k h i đ ó \ \ T x — Тжп(^_1)|| < e n , đ â y {£n}^°=i l m ộ t d ã y s a o c h o £ n e R + , E n > v lim £ n = 0. n—>oo Bổ đề 2.8. ( [ ] , l e m m a ị . , p p . 1 ) G i ả s r ằ n g g i i h n lim x n ( t ) = n—ĩoc x ( t ) , v i m ỗ i t € [о, а ] . K h i đ ó x ( t ) l m ộ t n g h i ệ m c ủ a b i t o n x ' + T x = о, ж(о) — x0 € E C H ỨN G MINH. . Bây giờ, sử dụng kết phía để chứng minh định lý 2.14. Cho X Ữ e E Ị X N ( T )} dãy nghiệm xấp xỉ bổ đề 2.7 cho жп(0) = Cho ra, N số nguyên dương cho m{t) = V(xn(t),xm(t)) t Nếu T e { T Ị , T Ị + i) П + R L < lim inf Ị [V( X N ( T ), X M ( T )) - V{ X N ( T ) - H T X N ( T ), X M ( T ) - /iTa;m(í))] /i->0 + H I^Cn(i) - H ) - T X N ( T )II + lim inf L 7i->0+ h \\ X M { T ) - xm(t - /ì) - Tzm(£)|| H < g { V { x n ( t ) , x m ( t ))) + L ị ị ị T x n Ụ ; " ^ ) - Ta;n(i)|| + ||Txm(C_ )-T^m(i)] < g{m(t)) + L(en +£m). Sử dụng giả thiết (I V ) bổ đề (2.6), (2.7) ta có lim inf h v ( x , y ) - V ( x - h T x , y - h T y )] < g ( v ( x , y ) ) . /i-> + Al XQ. Từ rn(o) = 0, bất đẳng thức vi phân vectơ theo định lý (2.15) có m(t) < rnjm(í,0) t E [0, a]. rn m(í, 0) nghiệm lớn U' = G(U) + L(en + em), U { ) = . Theo định lý 2.16, giới hạn lim R N M ( T , 0) = R ( T , 0) đoạn [0, a], n,m—>00 ’ R ( T , 0) nghiệm lớn (2.6). Nhưng theo (H Í ), R(T, 0) = [0 ,a], giới hạn lim V { x n { t ) , x m ( t ) ) = . n , m —>00 Theo (H 2) dẫn đến dãy {£n(í)}?r=i dãy Cauchy. Từ đó, dãy liên tục đồng bậc, giới hạn lim X N ( T ) = X ( T ) [0,a]. Theo bổ đề 2.8 X ( T ) nghiệm toán X ' + T X = 0,x(0) = X Ữ e E [0 ,a]. Nếu Y ( T ) nghiệm khác toán X ' - T X = 0, X (0) = Khi đó, đặt M ( T ) = V ( X ( T ), X0 £ E [0,a). tương tự ta có D_m(t ) < t e [0,a) M ( T ) < R ( T , 0), T G [0,a], R ( T , 0) nghiệm lớn (2.6). Suy X ( T ) = y(í) [0,a] theo (ií^i), (H 2). Điều cho thấy tồn địa phươngnghiệm toán x' + Tx = 0, x(0) = x ữ £ E . Tiếp theo, ta tồn nghiệm [0, oo). Giả sử X ( T ) nghiệm toán X ' + T X = 0,a;(0) nghiệm xác định [0,a), a < 00. = X0 GE , Nếu < H < A, đặt M(T) — V (X ( T + H ), X ( T )) với T G [0, A — /i). Khi đó, ta dễ dàng thu bất đẳng thức V (x ( t + h ) , x ( t ) ) < r ( t , V ( x ( h ) , x(0 )) t G [0 , a — /ỉ]. R ( T , U 0) nghiệm lớn (2 .1 ). Vì lim V ( X ( H ) , a^(0)) = 0, theo định lý (2.16) nên giới h-¥Ũ hạn lim X ( T ) tồn X ( T ) xác định [0, oo). Định lý chứng í—>o_ minh. □ Hệ 2.4. ( [ , c o r o l l a r y ị . l , p p . 1 ] ) C h o T l m ộ t t o n t đ n đ i ệ u suy rộng E. Khi đó, kết luận định lý 2. lị đúng. Định lý 2.17. ( [ ] , t h e o r e m ị . ị , p p . 1 ) C h o T l m ộ t t o n t đ n đ i ệ u L y a p u n o v t r ê n E . V i g ( u ) = t r o n g (2.7) v c h o ( H ) , (#3 ), ( H ị ) : ( H $ ) đ ú n g . K h i đ ó , t ấ t c ả c c n g h i ệ m x ( t , x 0) c ủ a b i t o n x ' + T x = 0, x(0) = x ữ € E b ị c h ặ n t r ê n [0,oo). C H ỨN G MINH. 0,ж(0) = X0 Theo định lý 2.14, tất nghiệm X ( T , X ữ) toán X ' + T X = € E tồn [о, сю). Khi đặt M(T) = V ( X ( T , X Ữ ), X ( T , Y Ữ )) có bất đẳng thức M(T) < m(0 ) T G [0 , oo). Nếu X Ữ , Y Ữ G B[ Q \ theo (H Ị ) có bất đẳng thức \ \ x ( t , x ) - x ( t , y ) \ \ < A ( q ) \ \ x - y \ \ t G [0, oo). Vì nghiệm nhất, X ( T + H,X0) = X ( T , Y Ữ )-, Ở i/o = X ( H ,X O ) cho H > đủ nhỏ. Suy từ (2.15) có \ \ x ( t : x ) - x ( t + h , x 0)II < A ( q ) \ \ x - x { h , x ữ ) |Ị. (2.15) Bằng cách chia nhỏ H , ta có giới hạn H —> 0+ \ \ T x ( t , ж0)|| < A ( q ) \ \ T x \ \ - , Theo (я5) nhận thấy X ( T , x0) bị chặn [0, oo). Do với Q > 0. Vây ta có điều phải chứng minh. □ Tiếp theo, ta sử dụng hệ quả, bổ đề, định lí ta chứng minh chứng minh định lý 2.12 2.13. Chứng minh định lý 2.12. Cho X G E cho Q G R p+, Q > cho X ( T , X ), Y ( T , Y ) thực theo định lý 2.14 (2.17). Đặt £ B[ Q \, M(T) = T> 0. Điều V(x(t,x0),x(t,y0)), theo giả thiết (b) có bất đẳng thức D _ m ( t ) < g q ( m ( t )) t > 0. Suy M ( T ) < R Q ( T , M ( 0)) T > 0. đây, R Q ( T , U0) nghiệm lớn (2.13). Theo (#4 ) ta có \\ X ( T , Xo) - X ( T , /0 ) 1 < R Q [ T , A( Q )\\ X - /0 II], T > 0. (2.16) Cho (T , X 0) e R + X E, kí hiệu nghiệm toán tử U U ( t ) x ữ = x ( t , x 0). Khi U nửa nhóm toán tử phi tuyến tính E. ĨJ J R U = rg[r, A( Q ) U ], Ở Ta định nghĩa r > số cho trước từ (H 7). Từ (2.16) suy (2.17) \\U(T)X0 - u{r)yữ\\ < ĩị)T\\xữ - y0\\. Xét nón K = R P + theo (H 7) có ánh xạ -0T từ đoạn nón < IP T Q < U < Q vào 2Q. Cũng theo (H ữ) có điểm bất động U = Ĩ Ị J T U U = 0. Hơn V < w T q ( t , v ) < r q ( t , w ) . đây, r q ( t , u ữ) nghiệm lớn (2.13). Xét ĨP R toán tử. Rõ ràng, ĨJ ) T toán tử hoàn toàn liên tục. Xét E không gian metric suy rộng với metric ||x — Y \ \ . Từ (2.17) định lý 2.11 tồn X T ẽ B [ Q \ cho U ( T ) X T = X T với Q > 0. Từ X T = x(0, X T) = x(r, X T) X ' + T X = 0, a;(0) = X O e E giải nhất; x(t, XT) r nghiệm tuần hoàn. Áp dụng tính chất nửa nhóm u (2.17) ta có \\x(t,xT) — XT\\ = \\x(t + T ), X T — X T \\ = \ \ u { T ) x { t , x T ) - U ( T )\\ ipT\\x(t, XT) — XT\\. Cho V ỊT ) (2-18) = IIX ( T , X Ị ) — жт|| bỏ giả thiết V < IIX ( T , X T) + ||x|| < 2Q . Hệ thức (2.18) V ( T ) < I Ị) T V Ị T ) với T > . So sánh với định lý . 1 , c h ú n g ta thu v(t) < r. r điểm bất động cực đại И = ФТИ đoạn nón о < И < Q . Nhưng lí = điểm bất động И = IP T U . Do V ( T ) = Ví > suy U( T ) X T = X ( T , X T ) = X T với T > 0. Từ X ' + T X = 0,ж(0) = X G E suy ТА Т Х Т — 0. Định lý chứng minh. Chứng minh định lý 2.13: Theo hệ 2.4 nghiệm X ( T , X 0) toán X ' + T X = 0,ж(0) = M(T) X0 X0 € E tồn G E xác định [0, oo). Cho = ||æ(î, Æo)||. Sử dụng giả thiết T toán tử đơn điệu, suy rộng mạnh, chúng ta có _ D_ M ( T ) < lim inf [||æ(î, Æo)|| — \\ X ( T , X Ò ) — h^Q+ h + lim inf ^[| I X Ị T , ж0) — > 0+ < + ||T0||, H X(T HTX(T: — H, æ0) + ЛТ0||] ж0) - H T X ( T , ж0) 11 + I\T0 \|] H - i>0. Do định lý2.15 dẫn đến M ( T ) < R ( T ); ||x Ị| T > , R ( T , U ) nghiệm lớn (2.9). Theo (2.10) (H ) ||z(í,x0)||g < Q O , Tương tự T > nếu| |ж011 < QO - (2.19) U ( T ) X = X ( T , X ) từ (2.19) rõ ràng U ( t ) : B [ q ] - ỳ - B [ q ữ ] t > với (2.16) trường hợp ta có IIx ( t , x Q ) - x ( t , y ) \ \ < r ( t , Ị|x0 - yoll) t > 0. 57 R ( T : U ) nghiệm lớn (2.12). Đặt 'Ộ T - U = r(r,U ) quan sát (H Q ) giả thiết định lí (2.11.) thỏa mãn với K — R P + đoạn nón < U < Q . Chúng ta kết luận theo định lí 2.11 tồn U(T)XT XT G B ỊQO Ị cho = X . Định lí chứng minh. T Kết luận chương Chương trình bày số nội dung không điểm tồn không điểm toán tử đơn điệu không gian Banach. KẾT LUẬN Luận văn trình bày cách có hệ thống nội dung sau: • Một số nội dung không gian Banach, toán tử tuyến tính, toán tử đơn điệu, ánh xạ đa trị số kiến thức không gian đối ngẫu, tôpô yếu tôpô yếu*. • Những khái niệm tính chất không điểm toán tử đơn điệu tồn chúng không gian Banach phản xạ. Vì khả điều kiện có hạn, luận văn chắn tránh thiếu sót. Kính mong thầy cô đồng nghiệp góp ý kiến để em có điều kiện chỉnh sửa luận văn tốt hơn. 9 [...]... Chương 2 Sự tồn tại không điểm của toán tử đơn điệu trong không gian Banach phản xạ Trong chương này, tác giả đã trình bày các khái niệm và tính chất liên quan đến không điểm của toán tử đơn điệu và sự tồn tại của nó trên không gian Banach phản xạ Đồng thời nghiên cứu thêm về sự tồn tại không điểm của toán tử đơn điệu kiểu trễ và toán tử đơn điệu Lyapunov Kiến thức của chương này chủ yếu được lấy từ... một không gian định chuẩn, E* ỉà không gian đối ngẫu của không gian E Không gian đối ngẫu của E* được gọi là không gian đối ngẫu thứ hai của không gian E và kí hiệu là E** Định nghĩa 1.14 Không gian định chuẩn E được gọi ỉà không gian phản xạ nếu E = E** 1 4 Vậy ta có nhận xét: không gian phản xạ là không gian Banach Từ đây trở đi, nếu không có giả thiết khác đi, chỉ xét các không gian Banach phản xạ. .. 2.1 Không điểm của toán tử đơn điệu trong không gian Banach 2.1.1 Không điểm của toán tử trong không gian Banach Cho E là không gian Banach thực, phản xạ E* là không gian tôpô liên hợp cùng với tôpô yếu* và ( U , V ) là một cặp cho bởi lí Ễ £ và V e E* Định nghĩa 2.1 ([5],pp.55) Cho T là toán tử đi từ E vào E* Toán tử T được gọi là liên tục trên không gian con hữu hạn chiều nếu nó liên tục trên mỗi không. .. G т_1(г>) Khi đó T-1 là toán tử đơn điệu (ii)Hiển nhiên ta có: DOMT = {Z € E : (AiXi 4- A2T2)(2;) Ф 0} Do đó S là toán tử đơn điệu □ 1 8 1.5.2 Toán tử đơn điệu cực đại Định nghĩa 1.24 Toán tử đa trị T : E 2 E* là toán tử đơn điệu cực đại nếu T là toán tử đơn điệu và đồ thị của nó không là tập con thực sự của đồ thị của bất kì một toán tử đơn điệu nào khác Ví dụ 1.4 Xét toán tử: Tị : M —»• 2R,T2 : R... các toán tử đơn điệu nhưng Ti không phải toán tử đơn điệu cực đại vì GphTị chứa thực sự trong GphT 2 Kết luận chương Trong chương này chúng ta đã trình bày định nghĩa, một số tính chất cơ bản của toán tử liên tục, toán tử đơn điệu, ánh xạ đa trị, tôpô yếu, và tôpô yếu* Những nội dung của chương này sẽ được dùng như là những kiến thức cơ bản chuẩn bị cho chương sau 1 9 Chương 2 Sự tồn tại không điểm của. .. X Q 11 Khi đó, T là ánh xạ lên E* 2.1.2 Không điểm của toán tử đơn điệu trong không gian Banach Cho E là không gian Banach thực với chuẩn IỊ.ỊI, E* là không gian đối ngẫu của E Kí hiệu giá trị của hàm / ẽ E* tại Ánh xạ đối ngẫu J: E —>• 2 E * xác định bởi J( X ) = {x* XẽE là (x,/) € E* : (X, X*) = ||x||2 = ||^*||2} với X e E Cho u = { x e E : ||x|| = 1} là hình cầu đơn vị của E Định nghĩa 2.2 ([4],... : E —)■ 2B’ /ồ các íoán T Ử л2 TH Ỏ A M Ẫ N Ai > о, л2 > 0 TH Ì ĐƠN ĐIỆ U V À NẾ U AiTi + Л2Т2 сгш< 7 /à các íoán Ai, T Ử ĐƠN ĐIỆU, (ỉỉi) Nếu А : E —»■ E1 /à các toán tử tuyến tính, b & E và nếu T : E ^ E* là toán tử đơn điệu thì S(x ) = A*T(Ax + b ) cũng là toán tử đơn điệu C H ỨN G MINH, (i) Theo định nghĩa toán tử T là toán tử đơn điệu khi và chỉ khi (х — у, и — v) >0, Vx, y G DomT, Mu G T { x )... E được gọi là không gian đối ngẫu hay không gian liên hợp của không gian E Ta ỉuôn hiểu trên E* có chuẩn xác định bởi 11/11 = sup{|/(a;)| : ||a;|| ^ 1} với mọi f e E* Định lý 1.2 Cho E là không gian định chuẩn khỉ đó không gian đối ngẫu E* của E là không gian Banach C H ỨN G MINH Xét ánh xạ T : E —»• R Giả sử {T N } là một dãy cơ bản trong E* Điều đó có nghĩa là: với mọi Ve > 0, tồn tại n 0, Vn > NỮ,... phép cộng ánh xạ và phép nhân ánh xạ với số thông thường lập thành một không gian 1 2 tuyến tính trên trường số thực R Ta gọi không gian tuyến tính này là không gian đối ngẫu đại số của E và kí hiệu là E + Cho không gian định chuẩn E trên trường số thực M Kí hiệu E* là không gian tuyến tính con của E + gồm tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trên E Định nghĩa 1.11 Không gian E* tất cả... toán tử đơn điệu Nhắc lại rằng, với / ẽ E * và X £ E , giá trị của / tại X được kí hiệu là { X , /), nghĩa là { X , F ) = F(X) Định nghĩa 1.20 Toán tử T : E —»■ E* được gọi là toán tử đơn điệu nếu (и — v , T ( u ) — т(г>)) > 0 Mu , V G E Ví dụ 1.2 Cho toán tử T đơn trị xác định trên R như sau: T(ù) = u, Mu € R Khi đó T là toán tử đơn điệu vì với mọi Vw, V € Ш ta có: 1 6 ( и — v , T ( u ) — T ( v ) . những toán tử đơn điệu trong không gian Banach phản xạ và sự tồn tại không điểm của chúng. 4. Đối tượng và phạm vi nghiền cứu - Phạm vi nghiên cứu: Toán tử trong không gian Banach phản xạ. -. trong không gian Banach (x, /) giá trị của / tại X DF đạo hàm của hàm / LỜI CAM ĐOAN 4 Mục lục 1.1. Không điểm của toán tử đơn điệu trong không gian Banach 16 1.1.1. Không điểm của toán tử. về sự tồn tại không điểm của toán tử đơn điệu kiểu trễ và toán tử đơn điệu Lyapunov. Kiến thức của chương này chủ yếu được lấy từ các tài liệu [4], [5], [6], [7]. 2.1. Không điểm của toán tử đơn