Phương pháp điểm gần kề suy rộng tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)

Phương pháp điểm gần kề suy rộng tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)Phương pháp điểm gần kề suy rộng tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)Phương pháp điểm gần kề suy rộng tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)Phương pháp điểm gần kề suy rộng tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)Phương pháp điểm gần kề suy rộng tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)Phương pháp điểm gần kề suy rộng tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)Phương pháp điểm gần kề suy rộng tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)Phương pháp điểm gần kề suy rộng tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)Phương pháp điểm gần kề suy rộng tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)Phương pháp điểm gần kề suy rộng tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN CẨM DƯƠNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM GẦN KỀ SUY RỘNG TÌM KHƠNG ĐIỂM CỦA TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI TRONG KHƠNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN CẨM DƯƠNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM GẦN KỀ SUY RỘNG TÌM KHƠNG ĐIỂM CỦA TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN GS TS NGUYỄN BƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2017 i Mục lục Bảng ký hiệu ii Mở đầu 1 Một số vấn đề liên quan 1.1 Không gian Hilbert số tính chất 3 1.2 1.3 Toán tử đơn điệu cực đại 12 Phương pháp điểm gần kề cổ điển 20 Thuật toán điểm gần kề suy rộng 23 2.1 Thuật toán điểm gần kề suy rộng Ackstein Bertsekas 23 2.2 Thuật toán điểm gần kề co 28 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 ii Bảng ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng ký hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: R tập số thực Rn C[a, b] không gian véc tơ n chiều tương ứng tập hàm thực liên tục [a, b] conv C bao lồi tập C conv C A∗ bao lồi đóng tập C toán tử liên hợp toán tử A A dom A toán tử mở rộng toán tử A miền xác định toán tử A gra A domf đồ thị toán tử A miền hữu hiệu hàm f epif zer(A) tập đồ thị hàm f tập tất không điểm A, A−1 (0) Jr,T NC toán tử giải toán tử T hình nón chuẩn tắc ứng với tập lồi C ∅ tập rỗng δC (.) hàm C Mở đầu Toán tử đơn điệu lĩnh vực giải tích đại nhiều nhà toán học hàng đầu giới nghiên cứu, đặc biệt phải kể đến Browder F E, Rockafellar R T, Minty G J Bên cạnh kết đặc biệt có ý nghĩa mặt lý thuyết, tốn tử đơn điệu công cụ sử dụng nhiều có hiệu lĩnh vực tốn ứng dụng Phương pháp tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại có hội tụ yếu Để khắc phục điểm yếu Xu đưa cải biên zk+1 = λk u + (1 − λk )(I + ck T )−1 zk + ek , k ≥ với điều kiện {ck } tiến tới vơ Mục đích đề tài luận văn nghiên cứu số phương pháp điểm gần kề suy rộng để tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại khơng gian Hilbert Nội dung đề tài luận văn viết hai chương: Chương 1: "Một số vấn đề liên quan" Chương giới thiệu không gian Hilbert trường số thực số kiến thức giải tích lồi, giới thiệu tốn tử đơn điệu cực đại định nghĩa tốn tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại cuối giới thiệu thuật toán điểm gần kề cổ điển Chương 2: "Thuật toán điểm gần kề suy rộng" Chương trình bày hai phương pháp tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại khơng gian Hilbert Luận văn hồn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình GS TS Nguyễn Bường, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người người dành nhiều thời gian tâm huyết để hướng dẫn tận tình, giúp đỡ tơi q trình học tập, nghiên cứu viết luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin tồn thể thầy ngồi trường giảng dạy giúp tác giả trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc học tập nghiên cứu thân Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè ln động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tác giả trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2017 Học viên Nguyễn Cẩm Dương Chương Một số vấn đề liên quan Chương trình bày số vấn đề để phục vụ cho chương sau Cụ thể: Mục 1.1 giới thiệu không gian Hilbert thực số tính chất khơng gian Hilbert Mục 1.2 trình bày số kiến thức giải tích lồi, giới thiệu tốn tử đơn điệu cực đại, định nghĩa khơng điểm Mục 1.3 trình bày phương pháp điểm gần kề cổ điển Các kiến thức chương tổng hợp từ tài liệu [1], [2], [3] 1.1 Khơng gian Hilbert số tính chất Định nghĩa 1.1.1 Một tập X gọi khơng gian tuyến tính R với cặp (x, y) ∈ X × X, phần tử X, ta gọi tổng x y, ký hiệu x + y; với α ∈ R x ∈ X, phần tử X, gọi tích α x, ký hiệu αx thỏa mãn điều kiện sau: (i) x + y = y + x với x, y ∈ X (tính chất giao hốn); (ii) (x + y) + z = x + (y + z) với x, y, z ∈ X (tính chất kết hợp); (iii) tồn phần tử không X, ký hiệu 0, cho: x + = + x với x ∈ X; (iv) với x ∈ X, tồn phần tử đối x, ký hiệu −x, cho x + (−x) = với x ∈ X; (v) · x = x · = x, với x ∈ X (1 phần tử đơn vị); (vi) α(βx) = (αβ)x, với α, β ∈ R, với x ∈ X; (vii) (α + β)x = αx + βx), với α, β ∈ R, với x ∈ X; (viii) α(x + y) = αx + αy), với α ∈ R, với x, y ∈ X Định nghĩa 1.1.2 Cho H khơng gian tuyến tính trường số thực R Tích vơ hướng khơng gian H ánh xạ từ tích Descartes H × H vào R, ký hiệu , , thỏa mãn điều kiện sau: (i) x, y = y, x với x, y ∈ H; (ii) x + y, z = x, z + y, z với x, y, z ∈ H; (iii) αx, y = α x, y với x, y ∈ H α ∈ R; (iv) x, x > x = x, x = x = Nhận xét 1.1.3 Từ Định nghĩa 1.1.2 ta suy (i) x, αy = α y, x với x, y ∈ H α ∈ R; (ii) x, y + z = x, y + x, z với x, y, z ∈ H Định nghĩa 1.1.4 Không gian tuyến tính H với tích vơ hướng gọi khơng gian tiền Hilbert Định lý 1.1.5 (Bất đẳng thức Schwarz) Trong không gian tiền Hilbert H, với x, y ∈ H ta ln có bất đẳng thức sau: | x, y |2 ≤ x, x y, y Chứng minh Với số thực α với x, y ∈ H ta có ≤ x − αy, x − αy = x, x − 2α x, y + α2 y, y Từ suy ∆ = | x, y |2 − x, x y, y ≤ với x, y ∈ H Hay | x, y |2 ≤ x, x y, y với x, y ∈ H (1.1) Dấu đẳng thức bất đẳng thức (1.1) xảy x y phụ thuộc tuyến tính Định lý 1.1.6 Khơng gian tiền Hilbert H khơng gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn xác định x, x x = với x ∈ H (1.2) Chuẩn gọi chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng Hàm số x = x, x với x ∈ H chuẩn H Chứng minh Thật vậy, từ điều kiện (iv) Định nghĩa 1.1.2 ta có x > x = x = x = với x ∈ H Từ điều kiện (i) (iii) Định nghĩa 1.1.2 ta suy αx = |α| x với α ∈ R x ∈ H Từ bất đẳng thức Schwarz cách định nghĩa chuẩn ta có | x, y | ≤ x y với x, y ∈ H (1.3) Từ với x, y ∈ H ta có: x + y, x + y = x, x + x, y + y, y ≤ x +2 x y + y = x + y Suy x + y ≤ x + y với x, y ∈ H Định nghĩa 1.1.7 Nếu H không gian tiền Hilbert thực đầy đủ chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng xác định (1.2) H gọi khơng gian Hilbert thực Ví dụ 1.1.8 Khơng gian ∞ |xn |2 < +∞ l = x = {xn }n ∈ R : n=1 không gian Hilbert với tích vơ hướng ∞ x, y = x n yn , x = {xn }n∈N , y = {yn }n∈N ∈ l2 n=1 chuẩn ∞ x = ∞ |2 |xn = x, x = |xn | n=1 2 n=1 Ví dụ 1.1.9 Khơng gian L2 [a, b] khơng gian Hilbert với tích vơ hướng b x(t)y(t)dt, (x, y) = ∀x, y ∈ L2 [a, b] a chuẩn b |x(t)|2 dt x = a Ví dụ 1.1.10 Gọi C[a, b] tập tất hàm giá trị thực liên tục khoảng đóng hữu hạn [a, b] ⊂ R Trong C[a, b] xét tích vơ hướng b x(t)y(t).dt, x(t), y(t) ∈ C[a, b] x, y = a Không gian C[a, b] với chuẩn b |x(t)| dt x = a không gian tiền Hilbert, không gian Hilbert Định lý 1.1.11 Giả sử {xn }n∈N , {yn }n∈N hai dãy hội tụ mạnh đến x0 , y0 không gian tiền Hilbert thực H Khi đó, lim xn , yn = x0 , y0 n→∞ Chứng minh Giả sử lim xn = x0 , lim yn = y0 không gian Hilbert n→∞ n→∞ 22 Ackstein Bertsekas xét thuật toán điểm gần kề suy rộng đây: zk+1 = (1 − ρk )zk + ρk wk , k ≥ (1.12) ρk ∈ (0, 2)(∀k) wk − (I + ck T )−1 zk ≤ εk , k ≥ Họ chứng minh hội tụ yếu thuật toán (1.12) cho ∞ < ∞, infk ck > k=1 có số ρ ∈ (0, 2) với tính chất ρ ≤ ρk ≤ − ρ, ∀k ≥ Mặt khác, thuật tốn điểm gần kề (1.7) không hội tụ mạnh nên điều thú vị đưa làm cải biên thuật toán điểm gần kề (1.7) cho hội tụ mạnh đảm bảo Năm 2002, Xu đưa cải biên thuật toán điểm gần kề co sau: zk+1 = λk u + (1 − λk )(I + ck T )−1 zk + ek , k ≥ (1.13) chứng minh hội tụ mạnh (1.13) với điều kiện dãy {ck } tiến tới vô Mới đây, Marino Xu tiếp tục xem xét thuật toán gần kề co (1.13) nhận số hội tụ mạnh với số điều kiện định Trong chương trình bày số khái niệm tính chất không gian Hilbert thực, giới thiệu số kiến thức giải tích lồi, tốn tử đơn điệu cực đại phương pháp điểm gần kề cổ điển Trong chương sau, chúng tơi trình bày hai phương pháp điểm gần kề suy rộng tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại khơng gian Hilbert 23 Chương Thuật toán điểm gần kề suy rộng Chương trình bày hai phương pháp để giải tốn tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại không gian Hilbert Các kiến thức chương tổng hợp từ tài liệu [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11] 2.1 Thuật toán điểm gần kề suy rộng Ackstein Bertsekas Ackstein Bertsekas đưa thuật toán điểm gần kề suy rộng sau: zk+1 = (1 − ρk )zk + ρk Jck (zk ) + ek , k ≥ 0, (2.1) ek sai số Thuật toán Ackstein Bertsekas mở rộng thuật toán Gol’shtein Tret’yakov định nghĩa zk+1 = (1 − ρk )zk + ρk Jc (zk ) + ek , k ≥ (2.2) Gol’shtein Tret’yakov xét thuật toán (2.2) không gian hữu hạn chiều không cho phép thông số c thay đổi theo bước lặp Kí hiệu wω (zk ) tập điểm tụ yếu {zk } Khi đó, wω (zk ) tập tất điểm mà giới hạn yếu dãy {zk } Bổ đề 2.1.1 Cho {zk } sinh thuật tốn (2.1), {zk } hội tụ yếu đến z ∈ S wω (zk ) ⊂ S Đầu tiên xét thuật toán Gol’shtein Tret’yakov (2.2) với sai 24 số, cụ thể thuật toán sau: zk+1 = (1 − ρk )zk + ρk Jc (zk ) + ek , k ≥ (2.3) Định lý 2.1.2 Cho {zk } sinh thuật toán (2.3) Giả sử limk→∞ ek = < lim infk→∞ ρk ≤ lim supk→∞ ρk < Khi {zk } hội tụ yếu đến điểm S Chứng minh Đầu tiên, ta thấy {zk } giới nội Khi đó, chọn p ∈ S, ta có zk+1 − p ≤ (1 − ρk ) zk − p ≤ ((1 − ρk ) = zk − p +ρk zk − p + ek +ρk zk − p + + ek ek zk+1 − p Vì vậy, theo Bổ đề 1.1.19, limk→∞ Jc (zk ) − p tồn Điều suy {zk } giới nội, đặt zk+1 = (1 − ρk )zk + ρk yk Chú ý {yk } giới nội Khi ta có: zk+2 − (1 − ρk+1 )zk+1 zk+1 − (1 − ρk )zk − ρk+1 ρk ek+1 ek = Jc (zk+1 ) − Jc (z k ) + − ρk+1 ρk yk+1 − yk = (2.4) Từ tính khơng giãn Jc (2.4), ta có: yk+1 − yk − zk+1 − zk ≤ từ suy (lưu ý limk→∞ lim sup( yk+1 − yk k→∞ Vì limk→∞ ρk+1 ek+1 + ρk ek , ek = ) k→∞ Từ (2.5) Bổ đề 2.1.1 suy lim − zk+1 − zk ≤ zk − yk (2.5) zk+1 − zk = 0, ta có lim k→∞ Jc (zk ) − zk = Khi áp dụng Bổ đề 1.1.20 ta thấy wω (zk ) ⊂ F ix(Jc ) = S, theo Bổ đề 1.1.19, {zk } hội tụ yếu tới điểm S Điều kết thúc chứng minh 25 Lúc ta cho ck thay đổi với bước lặp nghiên cứu hội tụ thuật toán điểm gần kề Ackstein Bertsekas (2.1) Định lý 2.1.3 Cho {zk } sinh (2.1) Giả sử có điều kiện sau: ∞ ek < ∞; (i) k=1 (ii) < lim inf k→∞ ρk ≤ lim supk→∞ ρk < 1; (iii) ck ≥ c,trong c số; (iv) ck+1 − ck → Khi {zk } hội tụ yếu đến điểm S Chứng minh Lấy điểm p ∈ S lưu ý Jr p = p với r > Từ (2.1), ta có zk+1 − p ≤ (1 − ρk ) zk − p ≤ ((1 − ρk ) = +ρk zk∂ − p zk − p + Jc (zk ) − p +ρk zk − p + + ek ek (2.6) ek Từ Bổ đề 1.1.19, (i) (2.6), ta suy lim k→∞ zk+1 − p tồn điều suy {zk } giới nội Đặt zk+1 = (1−ρk )zk +ρk yk Khi ta có zk+2 − (1 − ρk+1 )zk+1 zk+1 − (1 − ρk )zk − ρk+1 ρk ek+1 ek = Jck+1 (zk+1 ) − Jc (z k ) + − ρk+1 ρk yk+1 − yk = Nếu ck ≤ ck+1 , từ Bổ đề 1.1.21, sử dụng đẳng thức Jck+1 (zk+1 ) = Jck ( ck ck+1 zk+1 + (1 − ck ck+1 )Jck+1 (zk+1 )) 26 ta Jck+1 (zk+1 ) − Jck (zk ) ≤ ck ck+1 + 1− zk+1 − zk ck Jck+1 (zk+1 ) − zk ck+1 ≤ zk+1 − zk + |ck+1 − ck | c Jck+1 (zk+1 ) − zk Nếu ck > ck+1 , theo Bổ đề 1.1.21 Jck (zk ) − Jck+1 (zk+1 ) ck+1 ck+1 Jck (zk ) zk + − ck ck − Jck+1 (zk+1 ) ck+1 ≤ zk − zk+1 ck ck+1 Jck (zk ) − zk+1 + 1− ck ≤ zk+1 − zk + |ck+1 − ck | Jck (zk ) − zk+1 c = Jck+1 Từ đánh giá trên, ta có Jck+1 (zk+1 ) − Jck (zk ) ≤ zk+1 − zk + M |ck+1 − ck | , c (2.7) M số cho sup{ Jck+1 (zk+1 ) − Jck (zk ) , Jck (zk ) − Jck (zk+1 ) , k ≥ 0} ≤ M Vì thế, ta có yk+1 − yk ≤ Jck+1 (zk+1 ) − Jck (zk ) ≤ zk+1 − zk + + ek+1 ρk+1 M |ck+1 − ck | + c + ek+1 ρk+1 ek ρk + ek ρk 27 Suy lim sup( yk+1 − yk k→∞ − zk+1 − zk ≤ Bằng suy luận tương tự chứng minh Định lý 2.1.2, ta có Jck zk − zk = lim k→∞ (2.8) Tiếp theo, từ Bổ đề 1.1.22 (2.8) Jc zk − zk = lim k→∞ Kết hợp với Bổ đề 1.1.20 suy wω (zk ) ⊂ F ix(Jc ) = S Vì vậy, Bổ đề 2.1.1 đảm bảo {zk } hội tụ yếu điểm S Điều kết thúc chứng minh Chú ý 2.1.4 (1) Mặc dù thuật toán (2.3) trường hợp riêng thuật toán (2.1), nhiên việc chứng Định lý 2.1.2 đơn giản nhiều so với Định lý 2.1.3 (2) Lưu ý ∞ k=1 suy limk→∞ ek < ∞ ek = Khi khơng thể nhận Định lý 2.1.2 từ Định lý 2.1.3 (3) Chú ý giả thiết ∞ k=1 ck+1 − ck < ∞ dẫn đến lim (ck+1 − ck ) = k→∞ 28 (4) Các kết Định lý 2.1.2 2.1.3 mở rộng làm tốt số kết khác, cụ thể kết Marino Xu 2.2 Thuật toán điểm gần kề co Thuật toán điểm gần kề có hội tụ yếu Mới số cải biên thuật toán điểm gần kề với hội tụ mạnh đề xuất (xem [9], [10], [11]) Thuật toán điểm gần kề co mở rộng phát biểu sau: cho u ∈ H, {zk } cho công thức zk+1 = λk u + γk zk + δk Jck (zk ) + ek , k ≥ 0, (2.9) Trong λk , γk , δk ∈ (0, 1) λk + γk + δk = 1, ∀k ≥ 0, ck > ek sai số Chú ý 2.2.1 Chú ý thuật toán (2.9) chứa thuật toán Marino Xu Định lý 2.2.2 Cho {zk } tạo thuật toán điểm gần kề co (2.9) Giả sử (i) limk→∞ λk = 0; (ii) ∞ k=0 λk = ∞; (iii) < lim inf k→∞ γk ≤ lim supk→0 γk < 1; (iv) ck ≥ c; c số; (v) ck+1 − ck → 0; (vi) ∞ k=1 ek < ∞ Khi {zk } hội tụ mạnh tới điểm z ∈ S điểm chiếu gần u lên S 29 Chứng minh Lấy p ∈ S Chú ý Jc khơng giãn, ta có zk+1 − p = λk (u − p) + γk (zk − p) + δk (Jck (zk ) − p)+ ek ≤ λk u−p +γk zk − p + δk zk − p + = λk u−p +(1 − λk ) ek zk − p + ek Suy k zk − p ≤ max{ u − p , z0 − p ei , k ≥ }+ i=0 Vì {zk } giới nội Tiếp theo cần chứng minh wω (zk ) ⊂ S Để điều kết thúc chứng minh zk+1 − zk → Đặt zk+1 = γk zk + (1 − γk )yk Khi ta có zk+2 − γk+1 zk+1 zk+1 − γk zk − − γk+1 − γk λk+1 u − δk+1 Jck+1 (zk+1 ) + ek+1 = − γk+1 λk u + δk Jck (zk ) + ek − − γk λk+1 λk = − u − γk+1 − γk δk+1 + (Jc (zk+1 ) − Jck (zk )) − γk+1 k+1 δk+1 δk + − Jck (zk ) − γk+1 − γk ek+1 ek + − − γk+1 − γk yk+1 − yk = (2.10) 30 Lập luận tương tự (2.7), ta có Jck+1 (zk+1 ) − Jck (zk ) ≤ zk+1 − zk + M1 |ck+1 − ck | , c M1 số cho sup{ Jck+1 (zk+1 ) − zk , Jck (zk ) − zk+1 , k ≥ 0} ≤ M1 Khi ta có yk+1 − yk λk λk+1 δk+1 − u + − γk+1 − γk − γk+1 δk+1 M1 + |ck+1 − ck | − γk+1 c δk+1 δk + − Jck (zk ) − γk+1 − γk ek ek+1 + , + − γk+1 − γk ≤ zk+1 − zk từ suy lim sup( yk+1 − yk n→∞ − zk+1 − zk ) ≤ Từ Bổ đề 1.1.23, ta có lim n→∞ zk − yk = nên lim n→∞ zk+1 − zk = (2.11) Lưu ý zk − Jck (zk ) ≤ zk+1 − zk + ≤ zk+1 − zk +λk + γk zk − Jck (zk ) zk+1 − Jck (zk ) u − Jck (zk ) + ek , 31 zk − Jck (zk ) 1 − γk λk + − γk ≤ zk+1 − zk u − Jck (zk ) + 1 − γk ek Kết hợp với (i), (iii), (vi) (2.11) suy lim zk − Jck (zk ) = lim zk − Jck (zk ) = k→∞ Từ Bổ đề 1.1.22 ta có k→∞ Khi đó, ta có wω (zk ) ⊂ F ix(Jc ) = S Bây đặt z = PS u lấy dãy {zkj } {zk } cho lim sup u − z, zk − z = lim u − z, zkj − z , j→∞ k→∞ zkj → z hội tụ yếu Vì z ∈ S, nên ta có lim sup u − z, zk − z = u − PS u, z − PS u ≤ (2.12) k→∞ Cuối áp dụng Bổ đề 1.1.24, ta có zk+1 − z = λk (u − z) + γk (zk − z) + δk (Jck (zk ) − z) + ek ≤[ λk (u − z) + γk (zk − z) + δk (Jck (zk ) − z) + ek ]2 = λk (u − z) + γk (zk − z) + δk (Jck (zk ) − z) + ek { ek +2 + δk (Jck (zk ) − z) } λk (u − z) + γk (zk − z) 2 32 ≤ λk (u − z) + γk (zk − z) + δk (Jck (zk ) − z) ≤ γk (zk − z) + δk (Jck (zk ) − z) +M2 ek + 2λk u − z, zk+1 − z − ek + M2 ek ≤ (γk zk − z zk − z) +δk )2 (2.13) + 2λk u − z, zk+1 − z u−z + (2λk ≤ (1 − λk ) +M2 ) zk − z u−z + (2λk ek + 2λk u − z, zk+1 − z +M2 ) ek , M2 > số cho sup { ek +2 λk (u − z) + γk (zk − z) + δk (Jck (zk ) − z) } ≤ M2 với k ≥ Theo Bổ đề 1.1.24, (2.12) (2.13), ta kết luận zk → z hội tụ mạnh Điều kết thúc chứng minh Hệ 2.2.3 Cho {zk } sinh thuật toán zk+1 = λk u + γk zk + δk Jc (zk ) + ek , k ≥ 0, c > số Giả sử (i) limk→∞ λk = 0; (ii) ∞ k=0 λk = ∞; (iii) < lim inf k→∞ γk ≤ lim supk→∞ γk ≤ 1; (iv) ∞ k=0 ek < ∞ Khi {zk } hội tụ mạnh điểm z ∈ S hình chiếu u lên S Ví dụ 2.2.4 Cho φ : H → R ∪ {∞} hàm lồi thực liên tục Cho 33 ∂φ vi phân φ, đó, ∂φ(x) = {z ∈ H : φ(y) ≥ φ(x) + y − x, z , ∀y ∈ H}, x ∈ dom(∂φ) Điều cho thấy ∂ tốn tử đơn điệu cực đại H Cụ thể ∈ ∂φ(x) tương đương với x điểm cực tiểu φ H : φ(x) = inf{φ(v) : v ∈ H} Cho T = ∂φ Giả sử rằng, tập cực tiểu S φ H không rỗng Nếu H vơ hạn, thuật tốn điểm gần kề Rockafellar có hội tụ yếu Mặc dù vậy, thuật toán điểm gần kề co (2.9) lại có hội tụ mạnh Chú ý 2.2.5 (1) Rõ ràng (2) Ta bỏ giả thiết ∞ k=1 |λk+1 ∞ k=1 |ck+1 − ck | < ∞ suy ck+1 −ck → 0; − λk | < ∞ limk→∞ λk /λk+1 = 1, ta thêm ràng buộc yếu nhiều < lim inf k→∞ γk < lim supk→∞ γk < 34 Kết luận Đề tài luận văn trình bày số thuật tốn điểm gần kề suy rộng tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại khơng gian Hilbert Cụ thể: (1) Giới thiệu khái niệm số tính chất khơng gian Hilbert thực toán tử đơn điệu cực đại, thuật toán điểm gần kề cổ điển; (2) Trình bày thuật tốn điểm gần kề suy rộng Eckstein Bertsekas tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại; (3) Trình bày thuật tốn điểm gần kề co tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại Mặc dù có cố gắng nỗ lực đề tài luận văn khơng tránh khỏi hạn chế thiếu sót Em mong nhận đóng góp quý báu thầy giáo, cô giáo bạn học viên để đề tài hoàn thiện 35 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [2] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [3] Y Yao and M.A Noor (2008), "On convergence criteria of generalized proximal point algorithms", Journal of computational and Applied Mathematics 217, 46-55 [4] A Bnouhachem and M.A Noor (2006), "Inexact proximal point method for general variational inequalities", Journal of Mathematics Analysis and Applications 324, 1195-1212 [5] R.T Rokafellar (1976), "Monotone Operators and the Proximal Point Algorithm", SIAM Journal on Control and Optimization 14, 877-898 [6] J Eckstein (1988), "The Lions-Mercier splitting algorithm and the alternating direction method are instances of the proximal point algorithm", Report LIDS-P-1769, Laboratory for Information and Decision Sciences [7] D Bertsekas and J Tsitsiklis (1989), "Parallel and Distributed Computation: Numerical Methods", Englewood Cliffs: Prentice-Hall 36 [8] H Brézis (1973), "Opérateurs Maximaux Monotones et Semi-Groupes de Contractions dans les Espaces de Hilbert", Amsterdam: North Holland [9] B.S He (1999), "Inexact implicit methods for monotone general variational inequalities", Math Programming 86 113-123 [10] E.G Gol’shtein and N.V Tret’yakov (1979), "Modified Lagrangians in convex programming and their generalizations", Math Programming Stud 10 86-97 [11] H.K Xu (2002), "Iteratve algorithms for nonlinear operators", J London Math Soc 66 240-256 ... lồi, tốn tử đơn điệu cực đại phương pháp điểm gần kề cổ điển Trong chương sau, chúng tơi trình bày hai phương pháp điểm gần kề suy rộng tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại không gian Hilbert 23... dạng tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại Thuật toán đơn điệu cực đại xem xét thuật toán hữu hiệu việc 21 tìm nghiệm tốn tử đơn điệu cực đại Xuất phát từ z0 ∈ H cho trước, thuật toán điểm gần kề. .. 3 1.2 1.3 Toán tử đơn điệu cực đại 12 Phương pháp điểm gần kề cổ điển 20 Thuật toán điểm gần kề suy rộng 23 2.1 Thuật toán điểm gần kề suy rộng Ackstein