Phương pháp hiệu chỉnh cải biên cho thuật toán điểm gần kề tìm không điểm của toán tử đơn điệu

I HC THI NGUYấN TRNG I HC KHOA HC NGUYN BCH LNG PHNG PHP HIU CHNH CI BIấN CHO THUT TON IM GN K TèM KHễNG IM CA TON T N IU LUN VN THC S TON HC Thỏi Nguyờn - 2015 I HC THI NGUYấN TRNG I HC KHOA HC NGUYN BCH LNG PHNG PHP HIU CHNH CI BIấN CHO THUT TON IM GN K TèM KHễNG IM CA TON T N IU Chuyờn ngnh: Toỏn ng dng Mó s: 60 46 01 12 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: GS.TS NGUYN BNG Thỏi Nguyờn - 2015 i Mc lc Li cm n ii Danh sỏch ký hiu iii Li m u 1 Mt s c bn 1.1 Khụng gian Hilbert v mt s vớ d 1.2 Bi toỏn cc tiu phim hm li khụng gian Hilbert 1.3 Phng phỏp hiu chnh gii phng trỡnh vi toỏn t n iu 11 Phng phỏp hiu chnh ci biờn cho thut toỏn im gn k tỡm khụng im ca toỏn t n iu 17 2.1 Mt s b b tr 17 2.2 Mụ t phng phỏp 19 2.3 S hi t ca phng phỏp 22 Kt lun 34 Ti liu tham kho 35 ii Li cm n Tụi xin by t lũng bit n sõu sc ti GS.TS Nguyn Bng, ngi ó tn tỡnh ch bo, nh hng, chn ti v truyn t kin thc tụi cú th hon thnh lun ny Tụi cng xin by t lũng bit n chõn thnh ti cỏc thy cụ giỏo trng i hc Khoa hc Thỏi Nguyờn, c bit l cỏc thy cụ Khoa Toỏn - Tin, ó giỳp tụi sut quỏ trỡnh nghiờn cu v hc Qua õy tụi cng xin gi li cm n Trng Cao ng S phm Hng Yờn, th lp Cao hc K7Y, gia ỡnh, bn bố, ng nghip ó ng viờn, gúp ý v cho tụi nhng nhn xột quý bỏu Mc dự ó cú nhiu c gng nhng lun khú trỏnh nhng thiu sút, tụi rt mong nhn c s úng gúp ý kin ca cỏc quý thy cụ v cỏc bn lun c hon thin hn Tụi xin chõn thnh cm n! Thỏi Nguyờn, thỏng 12 nm 2015 Tỏc gi Nguyn Bớch Lng iii Danh sỏch ký hiu Trong ton lun vn, ta dựng nhng ký hiu vi cỏc ý ngha xỏc nh bng di õy: R khụng gian s thc H khụng gian Hilbert thc X khụng gian i ngu ca X domA hu hiu ca A D(T ) xỏc nh ca T R(T ) nh ca T NC (x) nún phỏp tuyn ti im x trờn C Fix(S) im bt ng ca ỏnh x S tớch vụ hng ca hai vect x v y x, y hm ch trờn C C (.) chun ca vect x x xn x dóy {xn } hi t mnh ti x xn x dóy {xn } hi t yu ti x x := y x c gỏn bng y x mi x x tn ti x rng I ỏnh x n v Li m u Toỏn t n iu l mt nhng lnh vc ca gii tớch hin i ó v ang c nhiu nh toỏn hc hng u th gii nghiờn cu, c bit phi k n nh Browder F E, Rockafellar R T, Minty G J Bờn cnh cỏc kt qu c bit cú ý ngha v mt lý thuyt, toỏn t n iu l mt nhng cụng c c s dng nhiu v rt cú hiu qu lnh vc toỏn ng dng chng hn nh bt ng thc bin phõn Nú giỳp ớch cho vic nghiờn cu ỏnh x di gradient v gradient, chng minh s tn ti v nht nghim cho rt nhiu cỏc lp bi toỏn cõn bng, bi toỏn bt ng thc bin phõn v bi toỏn ti u Mc ớch ca lun l trỡnh by mt phng phỏp hiu chnh ci biờn cho thut toỏn im gn k chng minh rng mt dóy lp {xn } hi t mnh n x l nghim nht ca bt ng thc bin phõn F x u, x p Lun c trỡnh by hai chng: Trong Chng chỳng tụi xin trỡnh by v khỏi nim khụng gian Hilbert, mt s vớ d minh v bi toỏn cc tiu phim hm li khụng gian ú Thut toỏn im gn k, khỏi nim bi toỏn t khụng chnh v phng phỏp hiu chnh Tikhonov da trờn phng trỡnh vi toỏn t n iu cng c trỡnh by chng ny Chng dnh cho vic mụ t phng phỏp hiu chnh ci biờn thut toỏn im gn k v chng minh nghim nht ca bt ng thc bin phõn da trờn mt s kt qu b tr Chng Mt s c bn Chng ny nhc li mt s kin thc ca gii tớch hm, gii tớch li v bi toỏn t khụng chnh Khụng gian Hilbert v mt s vớ d c xột mc 1.1 Mc 1.2 nhc li bi toỏn cc tiu phim hm li khụng gian Hilbert Trong mc 1.3 trỡnh by phng phỏp hiu chnh gii phng trỡnh vi toỏn t n iu Kin thc chng ny c tham kho cỏc ti liu [1], [2], [3] 1.1 Khụng gian Hilbert v mt s vớ d Trong mc ny, tụi xin trỡnh by v khỏi nim khụng gian Hilbert v mt s vớ d v khụng gian ú nh ngha 1.1 Cho H l khụng gian tuyn tớnh trờn trng R Mt tớch vụ hng H l mt ỏnh x , : X ì X R tha cỏc iu kin sau õy: i x, y = y, x vi mi x, y H ii x + y, z = x, z + y, z vi mi x, y, z H iii x, y = x, y vi mi x, y H; R iv x, x vi mi x H v x, x = v ch x = S x, y c gi l tớch vụ hng ca hai vect x v y Cp (H, ã, ã ) c gi l khụng gian tin Hilbert (hay cũn gi l khụng gian Unita) T nh ngha ta thy rng tớch vụ hng ã, ã chớnh l mt dng song tuyn tớnh xỏc nh dng trờn H Khi ú H c gi l khụng gian tin Hilbert thc nh lớ 1.1 Cho H l khụng gian tin Hilbert vi x, y H, ta luụn cú bt ng thc sau | x, y |2 x, x y, y Du bng xy v ch x, y ph thuc tuyn tớnh Chng minh Hin nhiờn bt ng thc ỳng vi y = Gi s y = Vi mi s , ta u cú x + y, x + y tc l x, x + y, x + x, y + ||2 y, y Ly = x, y , ta c y, y x, x x, y y, y 0, t ú suy bt ng thc cn chng minh nh lớ 1.2 Cho H l khụng gian tin Hilbert Khi ú x = x, x 1/2 ,xH xỏc nh mt chun trờn H Chng minh T iu kin d) ca nh ngha 1.1 suy rng nu x = thỡ x = T a) v c) suy x = x, x = ||2 x , t ú x = || x , vi mi x H, R Vi mi x, y H x+y = x + y, x + y = x + y, x + x, y + y x + 2| x, y | + y 2 (vỡ x, y + y, x = 2Re x, y | x, y |) Do ú, theo bt ng thc Schwarz x+y x +2 x y + y = ( x + y )2 tc l x + y x + y Nh vy, mt khụng gian tin Hilbert l mt khụng gian tuyn tớnh nh chun nh ngha 1.2 Nu H l mt khụng gian tin Hilbert v y i vi chun cm sinh t tớch vụ hng thỡ c gi l khụng gian Hilbert Sau õy l mt s vớ d v khụng gian Hilbert Vớ d 1.1 Rn l khụng gian Hilbert thc vi tớch vụ hng x, y = n i=1 xi yi , ú: x = (x1 , x2 , ã ã ã , xn ) Rn , y = (y1 , y2 , ã ã ã , yn ) Rn Vớ d 1.2 Xột khụng gian: l = |xn |2 < + x = (xn )n K : n=1 Ta ó bit l2 l khụng gian Banach vi chun (1.1) |xn |2 x= n=1 Vi x = (xn )nR , y = (yn )nR l2 , nh bt ng thc Bunhiacopski ta cú: xn yn x y < + n=1 D kim tra rng: x, y = n=1 xn yn xỏc nh mt tớch vụ hng l2 v nú cm sinh (1.1) Vy l2 l mt khụng gian Hilbert Vớ d 1.3 Cho (X, A, à) l mt khụng gian o v E A Xột khụng gian 2 L (E, à) = f : E R |f | dà < E ta ó bit L2 (E, à) l mt khụng gian Banach vi chun 12 |f |2 dà f = E Hn na, vi f, g L2 (E, à), t bt ng thc Hăolder v tớch phõn, ta cú 12 |f g|dà |f |2 dà E E 12 |g|2 dà < + E Ta d dng kim tra c f, g = f gdà, E xỏc nh mt tớch vụ hng L2 (E, à) v L2 (E, à) l khụng gian Hilbert thc 1.2 Bi toỏn cc tiu phim hm li khụng gian Hilbert Trc ht ta nhc li mt s kin thc ca gii tớch li nh li, hm li, di vi phõn, nh ngha 1.3 Mt C H c gi l li nu x, y C, [0, 1] x + (1 )y C nh ngha 1.4 i Mt C H c gi l nún cú nh ti nu x C, > x C 22 hiu chnh cho thut toỏn im gn k Cho mt im tựy ý x0 H, zn = (I tn F )xn + tn u + en , xn+1 = JcT zn , (2.14) n 0, ú F l mt toỏn t k - Lipschitz v n iu mnh trờn H v u l mt im bt ng H Nu khụng cú cỏc dóy tham s {tn } hi t bng khụng, chỳng tụi chng minh rng dóy {xn } (2.14) hi t mnh n x T (0), l nghim nht ca bt ng thc bin phõn F x u, x p vi mi p T (0) 2.3 S hi t ca phng phỏp Cho F l mt toỏn t k - Lipschitz v - n iu mnh trờn H vi < k v JcT l toỏn t gii ca T Gi s t (0, /k ) v t = t(2 tk ) (0, 1) v xột ỏnh x Vt trờn H c xỏc nh bi Vt x = JcT [(I tF )x + tu], x H, (2.15) ú c > l mt hng s c nh v u H l mt im bt ng D thy rng Vt l mt toỏn t co T B 2.2, ta cú Vt x Vt y = JcT [(I tF )x + tu] JcT [(I tF )y + tu] (2.16) (I tF )x (I tF )y t x y , vi x, y H Do ú, nú cú mt im bt ng nht, kớ hiu vt l nghim ca phng trỡnh vt = JcT [(I tF )vt + tu], vt H (2.17) nh lớ 2.1 Vi bt kỡ c > v u H, cho mch (net) {vt } c to bi (2.17) Khi ú, cho t mch (net) {vt } hi t mnh n v ca S l nghim 23 nht ca bt ng thc bin phõn F v u, v p 0, p S (2.18) Chng minh u tiờn chỳng ta chng minh tớnh nht ca nghim ca bt ng thc bin phõn (2.18) Gi s v S v v S c hai u l nghim ca (2.18), ú F v u, v v 0, (2.19) F v u, v v (2.20) F v F v, v v (2.21) Cng (2.19) vo (2.20) ta cú Tớnh n iu mnh ca F l v = v v tớnh nht c chng minh Sau õy, chỳng tụi s dng v S l nghim nht ca (2.18) Tip theo chỳng tụi chng minh rng {vt } l gii ni Ly p S , t (2.17) v s dng B 2.2, ta cú: vt p = JcT [(I tF )vt + tu] p (I tF )vt (I tF )pt (u F p) (2.22) t vt p + t u F p , Nờn vt p t u Fp t (2.23) Ta thy c t = (2.24) t0 t Cho t , chỳng ta cú th gi s m khụng mt tớnh tng quỏt l t < t /k , ú l mt s dng nh bt kỡ Khi ú liờn tc, vi t mi t [0, /k ] Do ú, ta cú: lim+ sup t : t 0, t k < + (2.25) 24 T (2.23) v (2.25) chỳng ta cú {vt } v {F vt } gii ni Mt khỏc, t (2.17) ta cú vt JcT vt = JcT [(I tF )vt + tu] JcT vt (2.26) (I tF )vt + tu vt t u F vt (t 0) chng minh rng vt v vi p S ta s dng B 2.2, ta cú: vt p = JcT [(I tF )vt + tu] p (I tF )vt (I tF )p + t(u F p) t2 vt p 2 + t2 u F p + 2t (U tF )vt (I tF )p, u F p t vt p + t2 u F p + 2t vt p, u F p + 2t v + t p, u F p (2.27) + 2t2 F p F vt , u F p vt p + 2t2 k p vt vt p + t2 u F p u Fp + 2t2 M + 2t vt p, u F p , ú M = max |u F p|2 , 2k |p vt | |u F p| Do ú vt p 2t 2t2 M+ vt p, u F p t t t2 T t = t(2 t ta cú lim((2t/(1 t )) vt p, u F p ) = tk ), ta cú lim t0 (2.28) = Ngoi ra, nu vt p, t0 Do ú {vt } l gii ni, chỳng ta thy rng nu {tn } l mt dóy (0, /k ] cho tn v vtn v , ú kt hp vi (2.28) ta cú vtn v Ngoi ra, t (2.26) v s dng B 2.4, ta cú v S Tip theo chỳng tụi chng minh rng v l nghim ca bt ng thc bin phõn (2.18) 25 T (2.17) v p S , ta cú vt p (I tF )vt + tu p = vt p +t 2 u F vt (2.29) + 2t vt p, u F vt , Cú ngha l F vt u, vt p t u F vt 2 (2.30) Bõy gi thay th t (2.30) bng tn v cho n , ta cú: F v u, v p (2.31) Khi ú v S l mt nghim ca (2.18) v ú v = v bi tớnh nht ca v Túm li, chỳng tụi ó ch rng mi im t ca mch {vt } (ti t 0) bng v Vỡ th vt v t Gi s F = A nh lớ 2.1, chỳng ta cú c kt qu sau H qu 2.1 Vi bt kỡ c > v u H Cho A l toỏn t tuyn tớnh, gii ni, dng, mnh vi h s < A Vi mi t (0, / A ), gi s cỏc mch {vt } c to bi vt = JcT [(I tA)vt + tu] Khi ú, cho t cỏc mch (net) {vt } hi t mnh n v l nghim nht ca bt ng thc bin phõn Av u, v p 0, p S (2.32) Gi s F = I v v = Ps u nh lớ 2.1, ta cú c kt qu sau H qu 2.2 Vi c > bt kỡ v u H Cho mi t (0, 1), cỏc mch (net) {vt } c to bi vt = JcT [(1 t)vt + tu] Khi ú, cho t 0, {vt } hi t mnh n hỡnh chiu ca im u lờn S Ngoi ra, gii hn ny t c u c > Kt qu tip theo cho mt nh lớ hi t mnh trờn Thut toỏn 2.14 vi mt iu kin yu hn trờn dóy {tn } 26 nh lớ 2.2 Cho T l mt toỏn t tuyn tớnh cc i trờn mt khụng gian Hilbert H vi S = Gi s F l mt toỏn t k - Lipschitz v - n iu mnh vi < k Cho {tn } l mt dóy (0,1), (cn ) l mt dóy (0, ) v l mt s dng nh tựy ý Gi s rng cỏc iu kin (C1), (C3), (C4), (C5) c nh {tn }, (cn ), v (en ) (C1): < tn /k vi mi n n0 , vi s nguyờn n0 Cho mt im tựy ý x0 H, cỏc dóy xn c to bi (2.14) cho zn x tn (u F xn ) 0(n ), (2.33) ú x S l nghim ca bt ng thc bin phõn F x u, x p 0, p S (2.34) Chng minh Mt mt gi s rng tn (u F xn ) (n ) Chỳng tụi tin hnh cỏc bc sau õy Bc Chỳng tụi cho rng {xn } b gii ni Tht vy, ly p S , t (2.14) v (C1) v s dng B 2.5, ta cú xn+1 p = JcTn zn p (I tn F )xn + tn u + en p (I tn F )xn (I tn F )p + tn (u F p) + en tn xn p + tn (u F p) + en [1 (1 tn )] xn p tn u F p + en + (1 tn ) tn tn max |xn p| , |u F p| + en , tn vi mi n n0 , vi s nguyờn n0 ú tn = tn (2 tn k ) (0, 1) (2.35) 27 Tng t, chỳng ta cú n1 xn p max { x0 p u F p M1 } + ej , (2.36) j=0 vi mi n n0 , vi s nguyờn n0 0, ú M1 = sup tn /(1 tn ) : < tn /k < + Vỡ th {xn } l gii ni Chỳng ta cng cú c {zn } v {F xn } l gii ni Bc Chỳng tụi cho rng lim xn+1 xn = n Trong thc t, vit Jn = JcTn v Tn = 2Jn I Khi ú, Jn l khụng gión mnh v Tn l khụng gión (xem B 2.6) Chỳ ý l I + Tn zn 1 = zn + Tn zn 2 1 = xn + [tn (u F xn ) + en + Tn zn ] 2 1 = xn + yn , 2 ú yn = tn (u F xn ) + en + Tn zn Vỡ th, xn+1 = Jn zn = (2.37) yn+1 yn = tn+1 (u F xn+1 ) + en+1 + Tn+1 zn+1 tn (u F xn ) en Tn zn (2.38) tn+1 (u F xn+1 ) + tn (u F xn ) + en+1 + en + Tn+1 zn+1 Tn zn Da vo ng thc toỏn t gii ta cú Tn+1 x Tn x = Jn+1 x Jn x = Jn cn x+ cn cn+1 cn+1 cn Jn+1 x x cn+1 cn Tn+1 x x cn+1 Jn+1 x Jn x (2.39) 28 vi bt kỡ x H T (2.14), ta cú zn+1 zn = (I tn+1 F )xn+1 + tn+1 u + en+1 (I tn F )xn tn u en (2.40) xn+1 xn + tn+1 (u F xn+1 ) + tn (u F xn ) + en+1 + en T (2.39) v (2.40) ta cú Tn+1 zn+1 Tn zn Tn+1 zn+1 Tn zn+1 + Tn zn+1 Tn zn cn cn+1 cn cn+1 Tn+1 zn+1 zn+1 + zn+1 zn Tn+1 zn+1 zn+1 + xn+1 xn (2.41) + tn+1 (u F xn+1 ) + tn (u F xn ) + en+1 + en Thay (2.41) vo (2.38) ta nhn c yn+1 yn tn+1 (u F xn+1 ) + tn (u F xn ) + en+1 + en + cn cn+1 (2.42) + M2 + xn+1 xn , hay yn+1 yn xn+1 xn tn+1 (u + F xn+1 ) + tn (u F xn ) (2.43) cn M2 , + en+1 + en + cn+1 ú M2 = sup { Tn+1 zn+1 zn+1 , n 0} Ta nhn thy tn (u F xn ) 0, en v (cn /cn+1 ) 0(n ), suy lim sup ( yn+1 yn xn+1 xn ) n (2.44) T (2.37) v s dng B 2.5 , ta cú lim yn xn = Do ú n yn xn = n lim xn+1 xn = lim n (2.45) 29 Bc Chỳng tụi cho rng lim xn JcT xn = Do lim inf cn > 0, cú n n tn ti > v mt s nguyờn N cho vi mi n N, cn T B 2.5, vi mi c (0, ), ta cú: c c xn + Jn xn JcT xn cn cn c c xn + Jn xn xn cn cn c Jn xn xn = cn Jn xn JcT xn = JcT (2.46) Jn xn xn+1 + xn+1 xn Ta thy c Jn xn xn+1 xn zn tn (u F xn ) + en (2.47) Vỡ vy, t (2.46), (2.47) v Bc suy (2.48) lim Jn xn JcT xn = n T xn JcT xn+1 xn xn+1 + xn+1 Jn xn + Jn xn JcT , ú (2.49) lim xn JcT xn = n Bc Chỳng tụi cho rng lim sup xn x , u F x 0, ú n x = lim vt v vt c xỏc nh bi (2.17) Do {xn } gii ni nờn tn ti mt t0 dóy {xnk } ca {xn } ú hi t yu n T Bc 3, ta nhn c JcT T B 2.4, ta cú S Do ú bng nh lớ 2.1, ta cú lim sup xn x , u F x = lim xnk x , u F x n k = x ,u Fx (2.50) Bc Chỳng tụi cho rng {zn } hi t mnh ti x S T (2.14), cho 30 mt hng s > khụng i, ta cú xn+1 x = Jn zn x zn x 2 = (I tn F )xn + tn u + en x (I tn F )xn + tn u x + en (I tn F )xn (I tn F )x + tn (u F x ) tn xn x + t2n u F x + en + 2tn (I tn F )xn (I tn F )x , u F x + en tn xn x + t2n u Fx (2.51) + 2tn xn x tn F xn + tn u, u F x + 2tn F x u, u F x + en tn xn x + 2tn xn x , u F x + 3tn tn (u F xn ) u F x + en [1 (1 tn )] xn x + 2M1 tn (u F xn ) + (1 tn )[2M1 xn x , u F x u F x + en , vi mi n n0 , s nguyờn n0 Cho mi n n0 , t àn = tn v n = 2M1 xn x , u F x + 2M1 tn (u F xn ) u F x Suy xn+1 x (1 àn ) xn x D dng thy rng n=1 àn + àn n + en , n n0 (2.52) = v lim n Do ú, t B 2.6, dóy n {xn } hi t mnh n x S Ta nhn thy zn x = (I tn F )xn + tn u + en x xn x + tn (u F xn ) + en (2.53) 31 Do ú, dóy {xn } hi t mnh n x S Mt khỏc, gi s rng zn x S n T (2.14) ta cú xn+1 x = Jn zn x zn x (2.54) Vỡ th tn (u F xn ) = zn xn en (2.55) zn xn + en zn x + xn x + en Gi s F = I v x = Ps u nh lớ 2.2, ta cú kt qu sau H qu 2.3 Gi s T l mt toỏn t n iu cc i trờn khụng gian Hilbert H vi S = Cho {tn } l mt dóy (0, 1), {cn } l mt dóy (0, +) v l mt s dng nh tựy ý Gi s rng cỏc iu kin (C1"), (C3), (C4) v (C5) tha {tn }, {cn } v {en } (C1"): < tn vi mi n n0 , s nguyờn n0 Vi mt thnh phn x0 H, cho dóy {xn } c to bi zn = (1 tn )xn + tn u + en , xn+1 = JcTn zn , (2.56) n Khi ú zn Ps u tn (u xn ) (n ) (2.57) H qu 2.4 ([Wang [8],Theorem 4]) Cho {tn } , {cn } v {en } tha (C1), (C3) (hoc (C3)), (C4) v (C5) Ngoi ra, nu S = thỡ dóy c to bi (2.13) hi t mnh n Ps u Chng minh T lim tn = 0, d thy rng tn /k vi mi n n0 , n s nguyờn n0 Khụng mt tớnh tng quỏt, chỳng ta gi thit rng 32 tn /k vi mi n n0 , s nguyờn n0 Nhc li cỏc chng minh nh lớ ca Wang [8], chỳng ta bit rng {xn } l gii ni Do ú, ta cú tn (u xn ) Vỡ th tt c cỏc iu kin ca H qu 2.3 tha S dng H qu 2.3, ta cú {zn } hi t mnh n Ps u S vi zn = (1 tn )xn + tn u + en Vỡ th xn+1 Ps u zn Ps u (2.58) Chỳ ý 2.2 H qu 2.3 l tng quỏt hn nh lớ ca Wang [8] Vớ d sau õy c a minh cho tớnh hiu qu ca s khỏi quỏt ca chỳng tụi , vi mi n Xỏc nh mt toỏn t n iu cc i T nh sau: T x = 2x, vi mi x R D 1 dng thy rng JcTn = I v S = Cho dóy {tn } v {en }, tn = v en = 0, 2 vi mi n Cho mt tựy ý x0 R, cho {xn } c xỏc nh bi (2.56), ú Vớ d 2.1 Cho H = R l cỏc s thc, u = v cn = l zn = xn , 1 xn+1 = zn = xn , (2.59) n Quan sỏt rng xn+1 = 1 xn = xn 4 (2.60) n+1 Do ú, ta cú xn+1 = xn , n iu ny ng ý rng {xn } hi t mnh n = PS Do ú, tn (u xn ) = xn (n ) (2.61) 33 Hn na, d dng thy rng iu ú cũn ỳng vi: (B1) < tn = , vi mi n n0 , s nguyờn n0 0, = , (B2) n=0 tn = n=0 cn (B3) lim inf cn = > v lim = 0, n n cn+1 (B4) n=0 en = n=0 = < Do ú khụng cú nghi ng rng tt c cỏc iu kin ca H qu 2.3 tha T tn = 0, cỏc iu kin tn ca Wang [8], nh lớ khụng tha Vỡ vy, t H qu 2.3, chỳng ta cú c dóy {xn } v {zn } hi t mnh n nhng nh lớ ca Wang [8] khụng suy c {xn } v {zn } vớ d ny Kt lun: Chng trỡnh by phng phỏp hiu chnh ci biờn, chng minh nh lớ hi t n mt im ca bt ng thc bin phõn v a vớ d minh cho tớnh hi t ca phng phỏp 34 Kt lun Lun ó trỡnh by cỏc kt qu v phng phỏp hiu chnh ci biờn cho thut toỏn im gn k tỡm khụng im ca toỏn t n iu bao gm: S lc v khụng gian Hilbert v mt s kin thc c bn gii tớch li Phỏt biu bi toỏn cc tiu phim hm li v thut toỏn im gn k gii bi toỏn Phỏt biu bi toỏn t khụng chnh v phng phỏp hiu chnh Tikhonov gii phng trỡnh vi toỏn t n iu Phng phỏp hiu chnh ci biờn cho thut toỏn im gn k tỡm khụng im ca toỏn t n iu 35 Ti liu tham kho Ting Vit [1] Phm K Anh, Nguyn Bng (2005), Bi toỏn t khụng chnh, NXB i hc Quc gia H Ni [2] Vn Lu, Phan Huy Khi (2000), Gii tớch li, NXB Khoa hc v k thut H Ni [3] Hong Ty (2003), Hm thc v gii tớch hm, NXB i hc Quc gia H Ni Ting Anh [4] Lehdili N and Moudafi A (1996), "Combining the proximal algorithm and Tikhonov regularization", Optimization, vol.37, No3, pp 239-252 [5] Rockafellar R T (1976), "Monotone operators and the proximal point algorithm", SIAM Journal on Control and Optimization, vol.14, No5, pp 877-898 [6] Song Y and Yang C (2009), "A note on a paper a regularization method for the proximal point algorithm", Journal of Global Optimization, vol.43, No1, pp 171-174 36 [7] Stampacchia G (1964), "Formes bilineaires coercitives sur les ensembles convexes", Comptes Rendus de lAcadộmie des Sciences, vol.258, pp 4413-4416 [8] Wang F H (2011), "A note on the regularization proximal point algorithm", Journal of Global Optimization, vol.50, No3, pp 531-535 [9] Wang S (2012), "A Modified Regularization Method for the Proximal Point Algorithm", Journal of Applied Mathematics, DOI: 10.1155/2012/567948 [10] Xu H K (2006), "A regularization method for the proximal point algorithm", Journal of Global Optimization, vol.36, No1, pp 115-125 [11] Yao Y H., Noor M A and Liou Y C (2010), "A new hybrid iterative algorithm for variational inequalities", Applied Mathematics and Computation, vol.216, No3, pp 822-829 [...]... Tikhonov dựa trên toán tử đơn điệu cũng được trình bày trong chương này làm cơ sở cho việc nghiên cứu chương 2 17 Chương 2 Phương pháp hiệu chỉnh cải biên cho thuật toán điểm gần kề tìm không điểm của toán tử đơn điệu Chương này là nội dung chính của luận văn trình bày phương pháp hiệu chỉnh cải biên cho thuật toán điểm gần kề Mục 2.1 là một số bổ đề bổ trợ Mô tả phương pháp hiệu chỉnh được trình bày... cho bởi công thức T (x) = ∂f (x) là toán tử đơn điệu cực đại 9 Tiếp theo chúng tôi phát biểu bài toán cực tiểu hàm lồi và thuật toán điểm gần kề cho bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại Bài toán cực tiểu hàm lồi được phát biểu như sau: Tìm z ∈ H sao cho f (z) = min f (x) x∈H Điểm cực tiểu của bài toán trên chính là không điểm của toán tử đơn điệu cực đại T = ∂f Để tìm không điểm của. .. 1.4 Cho T : H → 2H là ánh xạ đơn điệu cực đại Khi đó, nếu T có không điểm thì dãy điểm {ω k } hội tụ yếu tới ω ∗ sao cho 0 ∈ T (ω ∗ ) Nếu T không có không điểm thì dãy {ω k } không bị chặn 1.3 Phương pháp hiệu chỉnh giải phương trình với toán tử đơn điệu Trong phần này chúng tôi xét bài toán đặt không chỉnh dạng phương trình toán tử A(x) = f, f ∈Y (1.3) trong đó A là một toán tử (ánh xạ) từ một không. .. thuyết toán tử đơn điệu là tìm một điểm trong tập không điểm có thể phát biểu như sau: tìm một điểm x sao cho x ∈ T −1 (0) trong đó T −1 (0) là tập không điểm của toán tử T Một số bài toán bao gồm bài toán quy hoạch lồi, bất đẳng thức biến phân được phát biểu là tìm điểm không của toán tử đơn điệu cực đại Phương pháp cổ điển để giải bài toán này là thuật toán điểm gần của Rockafellar [5], xây dựng một... Phần tử xω thỏa mãn (1.9) được gọi là nghiệm hiệu chỉnh của bài toán (1.4) cho trường hợp Ah không đơn điệu Kết luận: Chương 1 trình bày sơ lược về không gian tiền Hilbert, không gian Hilbert đồng thời đưa ra được một số ví dụ minh họa Phát biểu bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi và trình bày thuật toán điểm gần kề để giải bài toán tìm cực tiểu Khái niệm bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh. .. toán tử với miền xác định D(T ) và miền ảnh R(T ) trong H Một toán tử đa trị T : H → 2H được gọi là đơn điệu nếu (2.10) u − v, x − y ≥ 0, với bất kì u ∈ T x, v ∈ T y và là đơn điệu cực đại nếu nó là đơn điệu và đồ thị của nó G(T ) = {(x, y) : x ∈ D(T ), y ∈ T x} (2.11) không nằm trong đồ thị của bất kì toán tử đơn điệu nào khác Một trong những bài toán quan trọng của lí thuyết toán tử đơn điệu là tìm. .. Mô tả phương pháp hiệu chỉnh được trình bày trong mục 2.2 Phương pháp hiệu chỉnh cải biên cho thuật toán điểm gần kề tìm không điểm của toán tử đơn điệu được trình bày trong mục 2.3 Những kiến thức trong chương này được tham khảo trong các tài liệu [4] - [11] 2.1 Một số bổ đề bổ trợ Cho H là không gian Hilbert thực với tích ·, · và chuẩn · Cho dãy {xn } trong H, ta viết xn x để chỉ ra rằng dãy {xn... trong đó b là một điểm bất động trong H và Fix(W ) là tập hợp các điểm bất động của ánh xạ không giãn W Chú ý 2.1 Từ định nghĩa của A lưu ý rằng một toán tử tuyến tính, giới nội, dương và mạnh A là một toán tử A - Lipschitz và γ - đơn điệu mạnh Cho T là một toán tử đơn điệu cực đại trên một không gian Hilbert thực H sao cho S := T −1 (0) = 0 Với c > 0, ta kí hiệu JcT là toán tử giải của T , với JcT... đơn điệu, toán tử đơn điệu cực đại và ví dụ Định nghĩa 1.11 Toán tử đa trị T : H → 2H được gọi là toán tử đơn điệu nếu u − v, x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ domT, ∀u ∈ T x, ∀v ∈ T y Ví dụ 1.4 .Cho f : H → R ∪ {+∞} là hàm lồi, chính thường Ánh xạ dưới vi phân ∂f : H → 2H của f là toán tử đơn điệu đa trị trên dom(∂f ) Ánh xạ đối ngẫu I là toán tử đơn điệu Trong không gian Lp (Ω), I còn có tính chất đơn điệu đều và... đã phát triển thuật toán điểm gần kề cho bài toán tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại T trong không gian Hilbert thực H Theo Định lí 1.3 nếu T là dưới vi phân của một hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới f : H → R ∪ {+∞} (tức là T = ∂f ) thì T là toán tử đơn điệu cực đại Theo định lí Minty, với mỗi z ∈ H và ck > 0, tồn tại duy nhất u ∈ H sao cho z ∈ (I + ck T )(u) Khi đó, toán tử Pk = (I + ... 2R cho bi cụng thc: nu x > 0, T (x) = [0, 1] nu x = 0, x2 nu x < l toỏn t n iu cc i nh lớ 1.3 Cho hm s f : H R {+} l hm li, chớnh thng, na liờn tc di Khi ú ỏnh x a tr T : H 2H cho. .. lm c s cho vic nghiờn cu chng 17 Chng Phng phỏp hiu chnh ci biờn cho thut toỏn im gn k tỡm khụng im ca toỏn t n iu Chng ny l ni dung chớnh ca lun trỡnh by phng phỏp hiu chnh ci biờn cho thut... (2.1) F c gi l n iu mnh nu tn ti mt hng s cho F x F y, x y x y , x, y H (2.2) 18 Cho A l mt toỏn t tuyn tớnh gii ni trờn H thỡ tn ti mt hng s > cho Ax, x x , x H (2.3) Mt bi toỏn quan