về toán tử đơn điệu trong không gian hilbert

Bên cạnh các kết quảđặc biệt có ý nghĩa về mặt lý thuyết, toán tử đơn điệu là một trong nhữngcông cụ được sử dụng nhiều và rất có hiệu quả trong lĩnh vực toán ứng dụngchẳng hạn như bất đ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trungthực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi

sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tintrích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2013Người viết Luận văn

Nguyễn Thị Na

Lời cảm ơn

Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận được sựhướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của GS Lê Dũng Mưu (Viện Toán học ViệtNam) Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và xin gửi lờitri ân nhất của tôi đối với những điều thầy đã dành cho tôi

Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng sau Đại học, quý thầy côgiảng dạy lớp Cao học K19 (2011- 2013) Trường Đại học Sư Phạm - Đại họcThái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạođiều kiện cho tôi hoàn thành khóa học

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những người

đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trìnhhọc tập và thực hiện luận văn

Xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2013Người viết Luận văn

Nguyễn Thị Na

Mục lục

1 Các kiến thức về không gian Hilbert 2

1.1 Định nghĩa và ví dụ 2

1.2 Một số tính chất quan trọng 5

2 Toán tử đơn điệu và đơn điệu cực đại 16 2.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản 16

2.1.1 Tập lồi và hàm lồi 16

2.1.2 Dưới vi phân 18

2.1.3 Ánh xạ đa trị 21

2.1.4 Toán tử đơn điệu 25

2.2 Tổng của các toán tử đơn điệu cực đại 34

3 Phương pháp điểm gần kề giải bao hàm thức đơn điệu cực đại 41 3.1 Giới thiệu bài toán và các trường hợp riêng quan trọng 41

3.2 Thuật toán và sự hội tụ 43

3.2.1 Thuật toán điểm gần kề 43

3.2.2 Sự hội tụ 44

Mở đầu

Toán tử đơn điệu là một trong những lĩnh vực của giải tích hiện đại đã vàđang được nhiều nhà toán học hàng đầu thế giới nghiên cứu, đặc biệt phải kểđến như Browder F.E, Rockafellar R.T, Minty G.J Bên cạnh các kết quảđặc biệt có ý nghĩa về mặt lý thuyết, toán tử đơn điệu là một trong nhữngcông cụ được sử dụng nhiều và rất có hiệu quả trong lĩnh vực toán ứng dụngchẳng hạn như bất đẳng thức biến phân Nó giúp ích cho việc nghiên cứu ánh

xạ dưới gradient và gradient, chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm chorất nhiều các lớp bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân và bàitoán tối ưu

Đề tài của luận văn là về toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert thực

và ứng dụng của nó trong việc khảo sát bài toán bao hàm thức đơn điệu cựcđại và một số bài toán có liên quan Vì thế đây là một đề tài vừa có ý nghĩa

về mặt lý thuyết, đồng thời vừa có ý nghĩa thực tiễn cao

Nội dung của bản luận văn được trình bày trong ba chương Chương 1 giớithiệu một cách hệ thống lại các định nghĩa, ví dụ và một số tính chất quantrọng của không gian Hilbert thực Chương 2 gồm hai phần chính Phần thứnhất nêu lên định nghĩa và giới thiệu các tính chất cơ bản của toán tử đơnđiệu Phần thứ hai trình bày về tổng của hai toán tử đơn điệu cực đại Chương

3 giới thiệu bài toán bao hàm thức đơn điệu cực đại và hai trường hợp riêngquan trọng là bài toán cực tiểu hàm lồi và bài toán bất đẳng thức biến phânđơn điệu, cuối chương nêu thuật toán điểm gần kề và khảo sát sự hội tụ tớinghiệm của thuật toán này trong việc giải bài toán bao hàm thức đơn điệucực đại

Chương 1

Các kiến thức về không gian Hilbert

Các không gian Hilbert là những trường hợp riêng quan trọng của khônggian Banach (hay còn gọi là không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ vớichuẩn kí hiệu là ||.||, xem [2], [4]) và là một không gian hữu ích, dễ thao táctrong các áp dụng của giải tích hàm tuyến tính vào lý thuyết và kĩ thuật.Trong chương này ta nhắc lại một số kiến thức cơ sở về không gian Hilberttrên trường số thực R Các kiến thức trong chương được lấy từ các tài liệu[2], [4], [7]

xkyk

xác định một tích vô hướng trong Rn

Định nghĩa 1.2 Cặp (H, h., i), trong đó H là một không gian tuyến tínhtrên R, h., i là tích vô hướng trên H được gọi là không gian tiền Hilbert thực.Định lý 1.1 (Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz)

Trong không gian tiền Hilbert H, với mọi x, y ∈ H ta luôn có bất đẳng thứcsau

Chứng minh Với y = 0, bất đẳng thức hiển nhiên đúng

Giả sử y 6= 0, khi đó với mọi số λ ∈R ta đều có

Định lý 1.2 (xem [4]) Mọi không gian tiền Hilbert H đều là không giantuyến tính định chuẩn, với chuẩn được xác định bởi công thức

||x|| =

q

Chuẩn này được gọi là chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng

Nhận xét 1.2 Với kí hiệu mới này, bất đẳng thức Schwarz được viết lạithành

Ví dụ 1.2 Rn là không gian Hilbert thực với tích vô hướng

hx, yi =

nX

k=1

xkxk =

nX

∞X

n=1

|xn|2

với mọi x = (xn)n∈N, y = (yn)n∈N ∈ l2

Ví dụ 1.4 Gọi C[a, b] là tập tất cả các hàm giá trị thực liên tục trên khoảngđóng hữu hạn [a, b] ⊂ R.

Trong C[a, b] xét tích vô hướng

hx, yi =

bZ

là không gian Banach nên C[a, b] là không gian Hilbert

• Nhưng không gian C[a, b] với chuẩn

||x|| =





bZ

a

|x(t)|2dt



1/2

lại không phải là không gian Banach nên nó không phải là không gianHilbert

Chứng minh Với mọi x, y ∈ H, ta có

||x + y||2 = hx + y, x + yi = ||x||2 + ||y||2 + hx, yi + hy, xi,

||x − y||2 = hx − y, x − yi = ||x||2 + ||y||2 − hx, yi − hy, xi

Cộng hai đẳng thức trên ta được đẳng thức (1.4)

Áp dụng đẳng thức hình bình hành cho hai véc tơ x − y và x − z ta có hệquả sau

Hệ quả 1.1 Giả sử H là một không gian tiền Hilbert và x, y, z ∈ H Khi đó,

vô hướng Điều này được thể hiện qua định lý sau

Định lý 1.5 Giả sử (H, ||.||) là một không gian định chuẩn trên R trong đóđẳng thức hình bình hành nghiệm đúng với mọi x, y ∈ H, tức là

||x + y||2 + ||x − y||2 = 2(||x||2 + ||y||2)

khi đó nếu đặt

hx, yi = p(x, y) = 1

4 ||x + y||2 − ||x − y||2
thì h., i là một tích vô hướng trên H và ta có

nghĩa là điều kiện 2 được chứng minh

Thay thế x bằng 2x trong (1.5) ta được

Bằng quy nạp ta kiểm tra được

và bằng lý luận quen thuộc ta có

Với mọi x, y ∈ H sẽ tồn tại các dãy (xn)n, (yn)n ⊂ H sao cho

||x + y||2 + ||x − y||2 = 2(||x||2 + ||y||2)

Theo định lý trên sẽ tồn tại một tích vô hướng trong H cảm sinh ra chuẩncủa H và ta có

lim

n→∞hxn, yniH = hx, yiH

Định lý được chứng minh

Điểm mới chính yếu của không gian Hilbert so với không gian định chuẩn

là ở đó khái niệm tích vô hướng bao hàm các khái niệm về tính trực giao, trựcchuẩn, góc giữa các vectơ Trong phần sau chúng ta nhắc lại định nghĩa,tính chất của các khái niệm đó và một số ví dụ minh họa

Định nghĩa 1.4 Cho H là không gian tiền Hilbert thực

• Hai phần tử x, y ∈ H được gọi là trực giao với nhau nếu hx, yi = 0 vàđược kí hiệu là x ⊥ y.

nhau từng đôi một, tức là ∀x, y ∈ S, x 6= y ta có hx, yi = 0

• Hệ E = {e1, e2, · · · , } ⊂ H được gọi là hệ trực chuẩn nếu E là hệ trựcgiao và ||ei|| = 1, ∀ei ∈ E Một cách tương đương, hệ E được gọi là hệtrực chuẩn nếu

Định lý 1.7 (xem [4]) Nếu S là một hệ trực giao gồm các phần tử khác 0

trong H thì S là hệ độc lập tuyến tính và ta có đẳng thức Pitago

Định lý sau cho ta dạng mở rộng của đẳng thức P itago

Định lý 1.8 Cho {xn, n = 1, 2, · · · , } là một hệ trực giao đếm được trongkhông gian Hilbert H Điều kiện cần và đủ để chuỗi P∞n=1xn hội tụ là chuỗiP∞

n=1||xn||2 hội tụ và khi đó

||

∞X

n=1

xn||2 =

∞X

n=1

||xn||2

xi||2 =

n+pX

||

∞X

n=1

xn||2 = || lim

k→∞

kX

n=1

xn||2 = lim

kX

n=1

||xn||2 =

∞X

n=1

|λn|2

Định lý sau đây cho thấy sự biểu diễn của môt phần tử x ∈ H bất kì.Định lý 1.9 [4, Định lý 1] Cho M là một không gian con đóng của khônggian Hilbert H Khi đó mọi phần tử x ∈ H đều biểu diễn một cách duy nhấtdưới dạng

và y được gọi là hình chiếu trực giao của x lên không gian con M.

Hệ quả 1.3 Giả sử E = {e1, e2, · · · , en} là một hệ trực chuẩn của khônggian Hilbert H Kí hiệu M là không gian con sinh bởi hệ vectơ E Khi đó mỗi

như sau

y =

nX

i=1

hx, eiiei

Giả sử E = {e1, e2, · · · , } là một hệ trực chuẩn của không gian Hilbert H

Kí hiệu Mn là không gian con sinh bởi hệ E = {e1, e2, · · · , en} Khi đó vớimỗi x ∈ H, hình chiếu trực giao yn của x lên không gian con Mn có dạng

yn =

nX

i=1

được gọi là chuỗi Fourier của x đối với hệ trực chuẩn E

Các số hx, eii gọi là hệ số Fourier thứ i của x đối với hệ E

Định lý 1.10 Giả sử E = {en, n ∈ N} là một hệ trực chuẩn trong H Khi

đó với mọi x ∈ H chuỗi Fourier của nó luôn hội tụ trong H và ta có bất đẳngthức Bessel

∞X

i=1

Chứng minh Muốn chứng minh chuỗi Fourier hội tụ ta chỉ cần chứng minhbất đẳng thức Bessel đúng.

Với mọi n ∈ N, đặt Mn = h{e1, e2, · · · , en}i là không gian con đóng sinhbởi hệ các vectơ {e1, e2, · · · , en}

Theo Hệ quả 1.3, tồn tại yn = Pni=1hx, eiiei ∈ Mn và zn ∈ Mn⊥ sao cho

x = yn + zn

Vì yn ⊥ zn và {e1, e2, · · · , en} là hệ trực chuẩn nên theo đẳng thức Pitago

||x||2 = ||yn||2 + ||zn||2 ≥ ||yn||2 =

nX

i=1

|hx, eii|2

Định lý 1.11 Giả sử E = {e1, e2, · · · , } là một hệ trực chuẩn trong khônggian Hilbert H Khi đó bốn mệnh đề sau tương đương

1 E = {e1, e2, · · · , } là một cơ sở trực chuẩn đầy đủ,

2 Mọi x ∈ H đều được khai triển thành chuỗi Fourier của nó, nghĩa là

x =

∞X

i=1

hx, eiiei,

3 Với mọi x, y ∈ H ta có hx, yi =P∞i=1hx, eiihy, eii,

4 Với mọi x ∈ H ta có ||x||2 = P∞i=1|hx, eii|2, đây được gọi là đẳng thứcPacxevan

Chứng minh (1)⇒(2) Theo định lý 1.10 chuỗi Fourier của x ∈ H luôn hội

tụ Đặt

y = x −

∞X

hx, eiiei,

∞X

j=1

hy, ejieji = lim

nX

i=1

hx, eiiei,

nX

i=1

nX

j=1

hx, eiihy, ejihei, eji = lim

n→∞

nX

i=1

hx, eiihy, eii

=

∞X

i=1

hx, eiihy, eii

(3)⇒(4) Thay y = x vào đẳng thức ở (3) ta được đẳng thức ở (4)

(4)⇒(1) Đặt M = h{en, n ∈ N}i là không gian con đóng sinh bởi hệ

{en, n ∈ N} Theo Định lý 1.9 ta có

do đó chỉ cần chứng minh M⊥ = {0}

Thật vậy, với mọi z ∈ M⊥ = M⊥ ta có z ⊥ u với mọi u ∈ M, đặc biệt

z ⊥ en nên hz, eni = 0 với mọi n ∈ N.

Theo đẳng thức Pacxevan ở (4) ta có

||z||2 =

∞X

n=1

|λn|2 < +∞

nên theo Hệ quả 1.2 ta có chuỗi P∞n=1λnen hội tụ trong H.

Đặt

x =

∞X

n=1

λnen =

∞X

đó a là một véc tơ của H thỏa mãn (1.9)

Định lý trên cho phép thiết lập tương ứng một - một giữa các phiếm hàmtuyến tính liên tục f trên H và các véc tơ a ∈ H Tương ứng đó là phép đẳng

cự tuyến tính, cho nên nếu ta đồng nhất phiếm hàm f với véc tơ a sinh ra nóthì không gian Hilbert H có thể đồng nhất được với không gian liên hợp H∗

của nó

Cho A là toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert H, Với mỗi

Dễ thấy x∗ là phiếm hàm tuyến tính, liên tục trong H nên theo Định lýF.Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục, tồn tại duynhất y∗ ∈ H để

được gọi là toán tử liên hợp của toán tử A

Nhận xét 1.6 Toán tử liên hợp A∗ nếu tồn tại là duy nhất

Định nghĩa 1.7 Dãy (xn)n ∈ H được gọi là

• Hội tụ mạnh đến x0 ∈ H nếu nó hội tụ theo chuẩn, nghĩa là

Chương 2

Toán tử đơn điệu và đơn điệu cực đại

Như đã biết, toán tử đơn điệu là một công cụ hữu ích trong việc nghiên cứuánh xạ nghiệm, giải tích biến phân Chương này sẽ trình bày một số kháiniệm và tính chất của toán tử đơn điệu, đơn điệu cực đại, tổng của các toán

tử đơn điệu cực đại Các kiến thức trong chương chủ yếu được lấy từ các tàiliệu [1], [3], [5], [6], [7], [8], [9], [11]

• C được gọi là nón có đỉnh tại x0 nếu C − x0 là nón có đỉnh tại 0

• Nón C có đỉnh tại x0 được gọi là nón lồi nếu C là một tập lồi, nghĩa là

∀x, y ∈ C, ∀λ, µ > 0 ⇒ λx + µy ∈ C

Định nghĩa 2.3 Cho C 6= ∅ là tập lồi trong H và x ∈ C Nón pháp tuyếnngoài của C tại x ∈ C, nón đối cực và nón đối ngẫu của C là các tập hợplần lượt được kí hiệu và xác định bởi các công thức

NC(x) := {w ∈ H : hw, y − xi ≤ 0, ∀y ∈ C} ,

C0 := {w ∈ H : hw, xi ≤ 0, ∀x ∈ C} ,

Định nghĩa 2.4 Cho A ⊂ H, khi đó ta có các định nghĩa

• Tập A được gọi là tập affine nếu

• Phần trong tương đối của A ⊂ H là phần trong của A trong affA và được

kí hiệu là riA, một cách tương đương ta có

riA := {x ∈ affA : ∃ε > 0, (x + εB) ∩affA ⊂ A}

trong đó B là hình cầu đơn vị đóng trong H

định nghĩa về hàm lồi như sau

Định nghĩa 2.5 • Trên đồ thị của hàm f, kí hiệu là epif và được địnhnghĩa bởi công thức

Định nghĩa 2.7 Hàm f được gọi là

• Lồi trên C nếu

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0; 1]

• Lồi ngặt trên C nếu

1 Nếu f là hàm lồi ngặt hay lồi mạnh trên C thì f là hàm lồi trên C

2 f là hàm lồi trên C nếu epif là tập lồi trong H ×R.

3 f là hàm lồi suy ra domf là tập lồi

Một trong những ứng dụng quan trọng nhất của giải tích lồi là khái niệmdưới vi phân hàm lồi, dưới đây ta nhắc lại định nghĩa và một số tính chất củadưới vi phân hàm lồi

Định nghĩa 2.8 Giả sử f là hàm lồi trên H

• Phiếm hàm x∗ ∈ H∗ được gọi là dưới đạo hàm của hàm f tại x ∈ H¯ nếu

hx∗, x − ¯xi ≤ f (x) − f (¯x), ∀x ∈ H

• Tập tất cả các dưới đạo hàm của f tại x¯ được gọi là dưới vi phân củahàm f tại x¯, kí hiệu là ∂f (¯x), một cách tương đương ta có

∂f (¯x) := {x∗ ∈ H∗ : hx∗, x − ¯xi ≤ f (x) − f (¯x), ∀x ∈ H}

• Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x¯ nếu ∂f (¯x) 6= ∅

Ví dụ 2.1 Cho C là tập lồi khác rỗng của H Xét hàm chỉ của tập C códạng

Ví dụ 2.2 (Hàm lồi thuần nhất dương)

là argminx∈Cf (x) và được xác định bởi

là hàm lồi, khả dưới vi phân trên C Khi đó y là nghiệm của bài toán

x∈C f (x)

khi và chỉ khi 0 ∈ ∂f (y) + NC(y)

Trước khi trình bày các kiến thức về toán tử đơn điệu chúng ta nhắc lạimột số khái niệm cơ bản của ánh xạ đa trị và giới thiệu một số ví dụ minhhọa.

Định nghĩa 2.9 Cho X, Y ⊂ H và F : X → 2Y là ánh xạ từ X vào tậphợp gồm toàn bộ các tập con của Y (được kí hiệu là 2Y) Khi đó ta nói F làánh xạ đa trị từ X vào Y Như vậy với mỗi x ∈ X, F (x) là một tập con của

Y (F (x) có thể là tập rỗng)

Nếu với mọi x ∈ X, tập F (x) chỉ có đúng một phần tử thì ta nói F là ánh

xạ đơn trị từ X và Y và được kí hiệu là F : X → Y

Định nghĩa 2.10 Đồ thị, miền hữu hiệu, miền ảnh của ánh xạ đa trị F :

thức

gphF = {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)} ,domF = {x ∈ X : F (x) 6= ∅} ,

Ví dụ 2.4 Với ánh xạ đa trị trong ví dụ trên ta có

gphF = (a, x) ∈ Rn ×C : xn + a1xn−1 + · · · + an−1x + an = 0 ,

Định nghĩa 2.11 Ánh xạ ngược F−1 : Y → 2X của ánh xạ đa trị F : X →

2Y được xác định bởi công thức

F−1(y) = {x ∈ X : y ∈ Y ∩ F (x)}

Định nghĩa 2.12 Ánh xạ đa trị F : H → 2H được gọi là

• Nửa liên tục trên tại x ∈ domF nếu với mọi tập mở V ⊃ F (x), tồn tạilân cận mở U của x sao cho

F (x0) ⊆ V, ∀x0 ∈ U

• Nửa liên tục dưới tại x ∈ domF nếu với mọi tập mở V ⊂ H thỏa mãn

F (x) ∩ V 6= ∅, tồn tại lân cận mở U của x sao cho

• Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới ) trên H nếu F

nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) tại mọi điểm thuộc H

• F được gọi là liên tục tại x ∈ domF nếu F đồng thời nửa liên tục trên

và nửa liên tục dưới tại x

• Nếu F liên tục tại mọi điểm thuộc H thì F được gọi là liên tục trên H

Ví dụ 2.5 Cho ánh xạ đa trị F : R → 2R xác định bởi

Dễ thấy F nửa liên tục trên tại mọi x 6= 0 Hơn nữaF nửa liên tục trên tại

x = 0 vì với mọi tập mở (a, b) ⊃ [−1, 1] = F (0), tồn tại lân cận của 0 chẳnghạn (−1, 1), ta có

Ví dụ 2.6 Cho ánh xạ đa trị F : R → 2R xác định bởi

, khi đó không tồn tại lâncận mở U của 0 sao cho



Do đó F không nửa liên tục trên tại x = 0¯

Ta đã biết rằng khái niệm liên tục Lipschitz là một khái niệm có vai tròquan trọng trong giải tích toán học Trong mục này chúng ta sẽ giới thiệuđịnh nghĩa liên tục Lipschitz cho một ánh xạ đa trị dựa trên khoảng cáchHausdorff

được kí hiệu và xác định bởi

d(x, C) := inf

y∈C||x − y||

Nếu tồn tại z ∈ C sao cho

d(x, C) = ||x − z||

thì ta nói z là hình chiếu của x trên C

Định nghĩa 2.13 (Khoảng cách Hausdorff)

Với A, B ⊂ H là hai tập đóng bất kì và khác rỗng, khoảng cách Hausdorffgiữa hai tập A và B được xác định bởi

ρ(A, B) := max {d(A, B), d(B, A)} ,

Định nghĩa 2.14 (Ánh xạ liên tục Lipschitz)

tục Lipschitz với hệ số L > 0 (viết tắt là L- Lipschitz) trên C nếu

• Nếu L < 1 thì ta nói F là ánh xạ co trên C

Để minh họa cho định nghĩa trên ta xét ví dụ sau

Do đó

ρ(F (x, 0), F (x0, 0)) ≤ √

2||(x, 0) − (x0, 0)||, ∀(x, 0), (x0, 0) ∈ C

Định nghĩa 2.15 Toán tử đơn trị T : H → H∗, (H = H∗) được gọi là toán

tử đơn điệu nếu

Nhận xét 2.2 Một tập con của H × H là đơn điệu nếu nó là đồ thị củamột toán tử đơn điệu

Ví dụ 2.9 Cho f : H → R∪ {+∞} là hàm lồi, chính thường Ánh xạ dưới

vi phân ∂f : H → 2H của f là toán tử đơn điệu đa trị trên dom(∂f )

Thật vậy

Với mọi x, y ∈ dom(∂f ), u ∈ ∂f (x), v ∈ ∂f (y) ta có

Định nghĩa 2.17 Toán tử đa trị T : H → 2H được gọi là

• Đơn điệu ngặt nếu

∀x, y ∈ domT, ∀u ∈ T (x), ∀v ∈ T (y), x 6= y : hu − v, x − yi > 0

• Đơn điệu mạnh với hằng số α > 0 nếu

∀x, y ∈ domT, ∀u ∈ T (x), ∀v ∈ T (y) : hu − v, x − yi ≥ α||x − y||2

tức là T − αI là đơn điệu

• Giả đơn điệu nếu ∀x, y ∈ domT, ∀u ∈ T (x), ∀v ∈ T (y) ta có

Nhận xét 2.3

• Nếu T đơn điệu mạnh thì đơn điệu ngặt

• Nếu T đơn điệu ngặt thì T đơn điệu

Ví dụ 2.10 Ánh xạ đa trị F : C → 2R2 được xác định bởi

F (x, 0) := (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ x

là đơn điệu trên C = {(x, 0) : x ≥ 0} ⊂R2

Thật vậy

Với mọi (x, 0), (y, 0) ∈ C và với mọi (x, u) ∈ F (x, 0), (y, v) ∈ F (y, 0) ta có

h(x, u) − (y, v), (x, 0) − (y, 0)i

T (x, 0) := {(2x, y) : 0 ≤ y ≤ x}

Khi đó T đơn điệu mạnh với hệ số α = 1