Toán tử đơn điệu trong không gian HIlbert

Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Hoàng Hà TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Hoàng Hà TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Toán giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Hoàng Ngọc Tuấn Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Hoàng Ngọc Tuấn tận tình hướng dẫn để em hoàn thành đề tài Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực đề tài thực tập Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Hoàng Hà i Footer Page of 161 Header Page of 161 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu khóa luận trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cảm đoan giúp đỡ cho việc thực khóa luận cảm ơn thông tin thu trích dẫn khóa luận rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Hoàng Hà Footer Page of 161 Header Page of 161 Mục lục Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Những khái niệm 1.1.1 Toán tử hàm 1.1.2 Lưới 1.1.3 Tính liên tục Không gian Hilbert 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Các đồng thức bất đẳng thức 1.2.3 Topo mạnh topo yếu không gian Hilbert Tập lồi hàm lồi 11 1.3.1 Tập lồi 11 1.3.2 Hàm lồi 13 1.4 Hàm liên hợp 14 1.5 Dưới vi phân 17 1.5.1 17 1.2 1.3 Các tính chất Toán tử đơn điệu 20 i Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Hoàng Hà 2.1 Toán tử đơn điệu 20 2.2 Toán tử đơn điệu cực đại 26 2.3 Hàm hai biến tính đơn điệu cực đại 31 2.4 Hàm Fitzpatrick 34 2.5 Định lý Minty 40 2.6 Định lý Debrunner-Flor 43 ii Footer Page of 161 Header Page of 161 Lời mở đầu Lý chọn đề tài Toán học môn khoa học bắt nguồn từ nhu cầu giải toán có nguồn gốc thực tiễn Trong đó, giải tích lĩnh vực đóng vai trò quan trọng có ứng dụng thực tiễn Để nắm vững kiến thức giải tích nói riêng toán học nói chung, em chọn đề tài khóa luận tốt nghiệp: " Toán tử đơn điệu không gian Hilbert" Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu giải tích đặc biệt toán tử đơn điệu Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu toán tử đơn điệu Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp đánh giá Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Hoàng Hà Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận bao gồm chương: • Chương 1: "Kiến thức chuẩn bị" trình bày số khái niệm kết không gian Hilbert số kiến thức Giải tích lồi • Chương 2: "Toán tử đơn điệu" Tác giả khóa luận chân thành cảm ơn TS Hoàng Ngọc Tuấn tận tình hướng dẫn tác giả đọc tài liệu tập dượt nghiên cứu Tác giả chân thành cảm ơn thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt tổ Giải tích, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học Đại học thực khóa luận Hà Nội, ngày 03/05/2016 Tác giả khóa luận Nguyễn Hoàng Hà Footer Page of 161 Header Page of 161 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Những khái niệm Toán tử hàm Cho X , Y Z tập không rỗng cho 2Y họ tất tập Y Kí hiệu T : X → Y nghĩa toán tử (cũng gọi phép ánh xạ) T ánh xạ điểm x với điểm T x Y Do kí hiệu A : X → 2Y nghĩa A toán tử đa trị từ X đến Y, tức là, A ánh xạ điểm x ∈ X đến tập Ax nằm Y Cho A : X → 2Y Thế A biểu thị đặc điểm đồ thị graA = {(x, u) ∈ X × Y | u ∈ Ax} Nếu C tập X A(C) = x∈C (1.1) Ax Cho B : Y → 2Z , phép hợp B ◦ A B ◦ A : X → 2Z : x → B(Ax) = By y∈Ax Footer Page of 161 (1.2) Header Page 10 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Hoàng Hà Miền xác định miền giá trị A tương ứng dom A = x ∈ X Ax = ∅ ran A = A(X ), (1.3) Nếu X không gian tôpô, bao đóng dom A kí hiệu domA; tương tự vậy, Y không gian tôpô, bao đóng ran A kí hiệu ran A Nghịch đảo A, kí hiệu A−1 , đặc trưng đồ thị gra A−1 = (u, x) ∈ Y × X (x, u) ∈ graA (1.4) Do đó, với (x, u) ∈ X ×Y, u ∈ Ax ⇔ x ∈ A−1 u Hơn nữa, dom A−1 = ranA ranA−1 = dom A Nếu Y không gian vectơ, tập không điểm A zer A = A−1 = x ∈ X | ∈ Ax (1.5) Khi với x ∈ dom A, Ax đơn trị, nói Ax = {T x}, A gọi không đơn trị đồng với toán tử T : dom A → Y Ngược lại, D ⊂ X , toán tử T : D → Y đồng với toán tử không đơn trị từ X đến Y, A : X → 2Y : Ax =   {T x}, x ∈ D  ∅, (1.6) trái lại Một lựa chọn toán tử đa trị A : X → 2Y toán tử T : dom A → Y cho (∀x ∈ dom A) T x ∈ Ax Bây cho T : X → Y, Footer Page 10 of 161 Header Page 41 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Hoàng Hà (áp dụng cho F ∗∗ , G L), tồn (v, y) ∈ H × H cho ≥ F ∗ (v, y) + (G ◦ L)(−v, −y) = F ∗ (v, y) + G(y, v) Giả sử F ∗ ≥ · | · Bổ đề 2.1(i) kéo theo ≥ F ∗ (v, y) + G(y, v) ≥ y | v + G(y, v) ≥ (2.20) y | v + G (y, v) = (2.21) Do F ∗ (v, y) = y | v , tức (y, v) ∈ gra A (2.22) Từ (2.19) (2.22) ta nhận z−y |w−v (2.23) Bổ đề 2.1(iii) (2.21) (2.23) tương đương với (z, w) = (y, v) Do sử dụng (2.22), suy (z, w) ∈ gra A Hệ 2.2 Cho F ∈ Γ0 (H × H) tự liên hợp xác định A thông qua graA = (x, u) ∈ H × H F (x, u) = x | u (2.24) Thế A đơn điệu cực đại Chứng minh Suy từ Mệnh đề 1.32, Mệnh đề 1.42, Định lý 2.2(ii), Một hệ quan trọng Hệ 2.2 kết sau tính cực đại Footer Page 41 of 161 33 Header Page 42 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Hoàng Hà vi phân Tổng trực tiếp Hilbert cuả họ thứ tự hoàn toàn không gian Hilbert thực (H1 , H2 ) không gian Hilbert thực H1 H2 = x = (x1 , x2 ) ∈ H1 × H2 f1 ⊕ f2 : H1 x1 + x2 < +∞ H2 → (−∞, +∞] : (x1 , x2 ) → f1 (x1 ) + f2 (x2 ) Định lý 2.3 Cho f ∈ Γ0 (H) Thế ∂f đơn điệu cực đại Chứng minh Một mặt f ⊕ f ∗ tự liên hợp Mặt khác (x, u) ∈ H × H | (f ⊕ f ∗ ) (x, u) = x | u = gra∂f Mệnh đề 1.39 Vậy, ∂f đơn điệu cực đại Hệ 2.2 2.4 Hàm Fitzpatrick Định nghĩa 2.3 Cho A : H → 2H đơn điệu Hàm Fitzpatrick A FA : H × H → [−∞, +∞] (x, u) → sup y|u + x|v − y|v (2.25) x−y |u−v (2.26) (y,v)∈graA = x|u − inf (y,v)∈graA Ví dụ 2.16 FId : H × H → (−∞, +∞] : (x, u) → (1/4) x + u Ví dụ 2.17 Cho A ∈ B(H) cho A∗ = −A Thế FA = ιgra A Ví dụ 2.18 A ∈ B(H) đơn điệu đặt qA : H → R : x → (1/2) x | Ax Thế (∀(x, u) ∈ H × H) FA (x, u) = 2qA∗ Footer Page 42 of 161 34 2u + 12 A∗ x Header Page 43 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Hoàng Hà Chứng minh Lấy (x, u) ∈ H × H Thế FA (x, u) = sup y | u + x | Ay − y | Ay y∈H = sup y∈H = 2qA∗ u+ 1 u + A∗ x 2 y ∗ Ax − y | Ay (2.27) Ví dụ 2.19 Cho f ∈ Γ0 (H) Thế F∂f ≤ f ⊕ f ∗ domf × domf ∗ ⊂ domF∂f Chứng minh Lấy (x, u) ∈ domf × domf ∗ (y, v) ∈ gra ∂f Thế y | u + x | v − y | v = ( y | u − f (y)) + ( x | v − f ∗ (v)) ≤ f ∗ (u) + f ∗∗ (x) Mệnh đề 1.39 Mệnh đề 1.28 Do đó, F∂f ≤ f ⊕ f ∗ Mệnh đề 2.13 Cho A : H → 2H toán tử đơn điệu cho gra A = ∅ cho (x, u) ∈ (H × H) Thế ta có khẳng định sau: (i) Giả sử (x, u) ∈ gra A Thế FA (x, u) = x | u (ii) FA = ιgra A−1 + · | · ∗ ∈ Γ0 (H × H) (iii) FA (x, u) ≤ x | u {(x, u)} ∪ gra A đơn điệu (iv) FA (x, u) ≤ FA∗ (u, x) (v) Giả sử (x, u) ∈ gra A Thế FA∗ (u, x) = x | u (vi) FA (x, u) = FA−1 (u, x) (vii) Cho γ ∈ R++ Thế FγA (x, u) = γFA (x, u/γ) (viii) Giả sử (x, u) ∈ gra A Thế (x, u) = ProxF A (x + u, x + u) Footer Page 43 of 161 35 Header Page 44 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Hoàng Hà Chứng minh (i): Ta có inf (y,v)∈graA x − y | u − v = 0, (2.26) suy FA (x, u) = x | u (ii): Tính đồng FA = (ιgraA−1 + · | · )∗ rõ ràng từ (2.25) Do đó, (i) Mệnh đề 1.27 FA ∈ Γ0 (H × H) (iii): Rõ ràng từ (2.26) (iv): Chúng ta nhận từ (i) FA (x, u) = sup y|u + x|v − y|v (y,v)∈graA = sup y | u + x | v − FA (y, v) (y,v)∈graA ≤ sup y | u + x | v − FA (y, v) (y,v)∈H×H = sup (y, v) | (u, x) − FA (y, v) (y,v)∈H×H = FA∗ (u, x) (2.28) (v): Bởi (ii) Mệnh đề 1.29(i), FA∗ = (ιgraA−1 + · | · )∗∗ ≤ ιgraA−1 + · | · Điều với (i) (iv) suy FA∗ (u, x) ≤ x | u = FA (x, u) ≤ FA∗ (u, x) (vi) (vii): Hệ trực tiếp (2.25) (vii): Bởi (i) (v), FA (x, u) + FA∗ (u, x) = x | u = (x, u) | (u, x) Do đó, (u, x) ∈ ∂FA (x, u) (x + u, x + u) ∈ (Id + ∂FA )(x, u) Mệnh đề 2.14 Cho A : H → 2H đơn điệu cực đại Thế FA ≥ · | · gra A = (x, u) ∈ H × H Footer Page 44 of 161 36 FA (x, u) = x | u (2.29) Header Page 45 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Hoàng Hà Chứng minh Lấy (x, u) ∈ H × H Nếu (x, u) ∈ gra A, FA (x, u) = x | u Mệnh đề 2.13(i) Mặt khác, (x, u) ∈ / gra A, {(x, u)} ∪ gra A không đơn điệu, Mệnh đề 2.13(iii) suy FA (x, u) > x | u Hệ 2.3 Cho A : H → 2H đơn điệu cực đại, cho x u H, cho (xn , un )n∈N dãy thuộc gra A cho (xn , un ) (x, u) Thế ta có khẳng định sau: (i) x | u ≤ lim xn | un (ii) Giả sử lim xn | un = x | u Thế (x, u) ∈ gra A (iii) Giả sử lim xn | un ≤ x | u Thế xn | un → x | u (x, u) ∈ gra A Chứng minh (i): Bởi Mệnh đề 2.13(ii) Định lý 1.4, FA nửa liên tục yếu Do đó, Mệnh đề 2.14 giả sử kéo theo x | u ≤ FA (x, u) ≤ lim FA (xn , un ) = lim xn | un (2.30) (ii) Trong trường hợp này, (2.30) dẫn tới x | u = FA (x, u) Bởi Mệnh đề 2.14, (x, u) ∈ gra A (iii) Sử dụng (i), thấy x | u ≤ lim xn | un ≤ lim xn | un ≤ x | u Footer Page 45 of 161 37 Header Page 46 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Hoàng Hà Do đó, xn | un → x | u (ii), (x, u) ∈ gra A Mệnh đề 2.15 Cho C D không gian affine đóng H cho D − D = (C − C)⊥ , cho A : H → 2H đơn điệu cực đại, cho (xn , un )n∈N dãy thuộc gra A, cho (x, u) ∈ H × H Giả sử xn x, un u, xn − PC xn → 0, un − PD un → (2.31) Thế (x, u) ∈ (C × D) ∩ graA xn | un → x | u Chứng minh Đặt V = C − C Vì PC xn x C đóng yếu theo dãy Định lý 1.2, ta có x ∈ C tương tự u ∈ D Do đó, C = x + V D = u + V ⊥ Vì vậy, sử dụng Hệ 1.18(i), PC : w → PV w + PV ⊥ x PD : w → PV ⊥ w + PV u (2.32) Bởi vậy, PV PV ⊥ liên tục yếu Mệnh đề 1.20(i), ta suy từ Bổ đề 1.15(iii) kéo theo xn | un = PV xn + PV ⊥ xn | PV un + PV ⊥ un = PV xn | PV un + PV ⊥ xn | PV ⊥ un = PV xn | un − PV ⊥ un + xn − PV xn | PV ⊥ un = PV xn | un − (PD un − PV u) + xn − (PC xn − PV ⊥ x) |PV ⊥ un = PV xn | un − PD un + PV xn | PV u + xn − PC xn | PV ⊥ un + PV ⊥ x | PV ⊥ un → P V x | PV u + P V ⊥ x | P V ⊥ u = x|u Footer Page 46 of 161 (2.33) 38 Header Page 47 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Hoàng Hà Do đó, kết suy từ Hệ 2.3(iii) Mệnh đề 2.16 Cho A : H → 2H toán tử đơn điệu cho gra A = ∅ Thế ta có khẳng định sau: (i) FA∗ = (ιgra A−1 + · | · )∗∗ (ii) FA∗ ≥ · | · (iii) Giả sử A đơn điệu cực đại Thế graA = (x, u) ∈ H × H FA∗ (u, x) = x | u (2.34) Chứng minh (i): Mệnh đề 2.13(i) (ii) (iii): Cho B mở rộng đơn điệu cực đại A lấy (x, u) ∈ H × H Vì FA ≤ FB , ta nhận từ Mệnh đề 1.29(ii) FA∗ ≥ FB∗ Do đó, Mệnh đề 2.13(iv) Mệnh đề 2.14 kéo theo FA∗ (u, x) ≥ FB∗ (u, x) ≥ FB (x, u) ≥ FA (x, u) ≥ x | u = u | x , (2.35) suy (ii) Nếu (x, u) ∈ / gra B (2.35) (2.29) kéo theo FB∗ (u, x) ≥ FB (x, u) > x | u Bây giả sử (x, u) ∈ gra B lấy (y, v) ∈ H × H Thế FB (y, v) ≥ (y, v) | (u, x) − x | u x | u ≥ (y, v) | (u, x) − FB (y, v) Lấy cận trên (y, v) ∈ H × H, nhận x | u ≥ FB∗ (u, x) Theo (2.35) x | u = FB∗ (u, x) Do đó, A đơn điệu cực đại, B = A Footer Page 47 of 161 39 Header Page 48 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Hoàng Hà (2.34) kiểm tra 2.5 Định lý Minty Định lý 2.4 (Minty) Cho A : H → 2H đơn điệu Thế A đơn điệu cực đại ran (Id + A) = H Chứng minh Đầu tiên giả sử ran(Id + A) = H cố định (x, u) ∈ H × H cho ∀(y, v) ∈ gra A x − y | u − v ≥ (2.36) Vì ran (Id + A) = H, nên tồn (y, v) ∈ H cho v ∈ Ay x + u = y + v ∈ (Id + A) y (2.37) Từ (2.36) (2.37) suy ≤ y − x|v − u = y − x|x − y = − y − x ≤ Do đó, y = x v = u ta có (x, u) = (y, v) ∈ graA A đơn điệu cực đại Ngược lại, giả sử A đơn điệu cực đại Thế Mệnh đề 2.14 dẫn tới (x, u) ∈ H × H 2FA (x, u) + (x, u) = 2FA (x, u) + x ≥ x|u + x = x+u ≥ Footer Page 48 of 161 40 2 + u + u 2 (2.38) Header Page 49 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Hoàng Hà Do đó, Hệ 1.36 đảm bảo tồn vectơ (v, y) ∈ H × H cho ∀ (x, u) ∈ H × H FA (x, u) + (x, u) 2 ≥ (x, u) + (v, y) , (2.39) dẫn tới ∀ (x, u) ∈ H × H FA (x, u) ≥ v 2 + x|v + y 2 + y|u ≥ − y|v + x|v + y|u (2.40) Điều Mệnh đề 2.13 kéo theo (∀ (x, u) ∈ graA) x |u ≥ v 2 + x |v + y 2 + y |u ≥ − y|v + x|v + y|u , (2.41) (2.42) đó, x − y | u − v ≥ Vì A đơn điệu cực đại, ta kết luận v ∈ Ay (2.43) Sử dụng (2.43) (2.41), ta nhận y|v ≥ v Do ≥ v 2 + y|v + y + y|v + y = y+v −v = y 2 + y|v (2.44) Kết hợp (2.43) (2.44) nhận ∈ (Id + A) y ⊂ ran (Id + A) Bây Footer Page 49 of 161 41 Header Page 50 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Hoàng Hà cố định w ∈ H xác định toán tử đơn điệu cực đại B : H → 2H : x → −w + Ax Thế lập luận ∈ ran (Id + B) w ∈ ran (Id + A) Bây đưa vài ứng dụng Định lý 2.4 Đầu tiên, xem lại Định lý 2.3 với chứng minh thay Định lý 2.5 Cho f ∈ Γ0 (H) Thế ∂f đơn điệu cực đại Chứng minh Kết hợp Ví dụ 2.1, Mệnh đề 1.41 Định lý 2.4 Mệnh đề 2.17 Cho C tập compac không rỗng H Giả sử toán tử điểm xa ΦC C: ΦC : H → 2H : x → u ∈ C x − u = sup x − C đơn trị Thế −ΦC đơn điệu cực đại C bao gồm điểm Chứng minh Rõ ràng dom ΦC = H C không rỗng compac Đặt fC : H → R : x → x − ΦC x , lấy x y thuộc H Thế với z ∈ C, có x − z ≤ x−y + y−z fC (x) = sup x − C ≤ x − y + sup y − C = x − y + fC (y) Điều suy fC liên tục Lipschitz với số Bây cho (xn )n∈N dãy thuộc H hội tụ tới x Thế xn − ΦC xn = fC (xn ) → fC (x) = x − ΦC x (2.45) Giả sử ΦC xn Footer Page 50 of 161 ΦC x 42 (2.46) Header Page 51 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Hoàng Hà Sau lấy giới hạn dãy kí hiệu lại cần thiết, ta giả sử tồn ε ∈ R++ u ∈ C cho ΦC xn − ΦC x ≥ ε ΦC xn → u Lấy giới hạn (2.45) ta x − u = x − ΦC x , u = ΦC x, điều Do đó, (2.46) sai liên tục Từ Ví dụ 2.7 Hệ 2.1 ta suy −ΦC đơn điệu cực đại Bởi Định lý 2.4, ran (Id − ΦC ) = H đó, ∈ ran (Id − ΦC ) Ta suy tồn w ∈ H cho = w − ΦC w = sup w − C Do w ∈ C C = {w} 2.6 Định lý Debrunner-Flor Định lý 2.6 (Debrunner-Flor) Cho A : H → 2H toán tử đơn điệu cho gra A = ∅ Thế (∀w ∈ H)(∃x ∈ conv dom A) ≤ inf y − x | v − (w − x) (y,v)∈graA (2.47) Chứng minh Đặt C = conv dom A Theo Mệnh đề 2.13(iii), ta phải (∀w ∈ H) (∃x ∈ C) FA (x, w − x) ≤ x | w − x , tức (∀w ∈ H) FA (x, w − x) + x x∈H − x | w + ιC (x) ≤ (2.48) Cho w ∈ H Chúng ta xét trường hợp: a) w = 0: Chỉ cần chứng minh FA (x, −x) + x∈H Footer Page 51 of 161 x 43 + ιC (x) ≤ (2.49) Header Page 52 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đặt q = (1/2) · Nguyễn Hoàng Hà , f : H × H → (−∞, +∞] : (y, x) → (1/2)FA∗ (2y, 2x), g = (q + ιC )∗ = q − (1/2)d2C L : H × H → H : (y, x) → x − y Ta khẳng định inf ≥ f (y, x) + g L (y, x) (2.50) (y,x)∈H×H Để chứng minh điều này, cố định (y, x) ∈ H × H Theo Mệnh đề 2.16(ii), dom FA∗ ⊂ conv ran A × conv dom A ta phải quan tâm đến trường hợp 2x ∈ C Khi đó, · | · ≤ FA∗ Mệnh đề 2.16(iii), nhận 0=4 y |x + x−y = 2y | 2x + x − y − x+y ≤ FA∗ (2y, 2x) + x − y − (x − y) − 2x 2 − d2C (x − y) = f (y, x) + g(x − y) = f (y, x) + g L(y, x) (2.51) Vì dom g = H ta có f ∗ (−L∗ x) + g ∗ (x) ≤ x∈H (2.52) Vì f ∗ = (1/2)FA , g ∗ = q + ιC , L∗ : H → H × H : x → (−x, x), ta thấy (2.52) tương đương với (2.49) b) w = 0: Cho B : H → 2H xác định thông qua gra B = −(0, w) + gra A Lập luận suy có điểm (x, −x) ∈ C × H cho {(x, −x)} ∪ gra B đơn điệu Do đó, {(x, w − x)} ∪ gra A đơn Footer Page 52 of 161 44 Header Page 53 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Hoàng Hà điệu Định lý 2.7 Cho A : H → 2H đơn điệu Thế tồn mở rộng đơn điệu cực đại A A cho dom A ⊂ conv dom A Chứng minh Đặt C = conv dom A cho M tập tất mở rộng đơn điệu B A cho dom B ⊂ C M thứ tự phận quan hệ (∀B1 ∈ M)(∀B2 ∈ M) B1 B2 ⇔ gra B1 ⊂ gra B2 Vì dây xích M có hợp cận trên, từ Bổ đề Zorn ta nhận phần tử cực đại A Bây cho w ∈ H giả sử w∈H ran(Id + A) Định lý 2.6 cho ta phần tử x ∈ C thỏa mãn ≤ inf (y,v)∈graA y − x | v − (w − x) Vì vậy, (x, w − x) ∈ / graA {(x, w − x)} ∪ graA đồ thị toán tử M mà mở rộng thực A Điều mâu thuẫn với tính cực đại A Ta suy ran(Id + A) = H Định lý 2.4, A đơn điệu cực đại Footer Page 53 of 161 45 Header Page 54 of 161 Kết luận chung Trong khóa luận em nghiên cứu số vấn đề sau đây: Toán tử đơn điệu, toán tử đơn điệu cực đại, Hàm Fitzpatrick, Định lý Minty, Định lý Debrunner-Flor Khóa luận mang tính tổng quan em chứng minh số định lí, mệnh đề kết luận đưa ví dụ cụ thể để làm rõ tính chất, để hiểu rõ vấn đề luận văn đề cập Mong tài liệu bổ ích cho bạn quan tâm đến vắn đề Do thời gian có hạn, lần đầu nghiên cứu khoa học, khả vốn kiến thức thân hạn chế nên luận văn em tránh khỏi thiết sót Em hi vọng nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2016 Footer Page 54 of 161 46 Header Page 55 of 161 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Phụ Hy, Giáo trình giải tích hàm, Nhà xuất khoa học kỹ thuật Hà Nội, Hà Nội, 2005 [2] Hoàng Tụy, Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, Hà Nội, 2005 [3] Heinz H Bauschke - Patrick L Combettes, Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces, Springer-Verlag, New York, 2011 Footer Page 55 of 161 47 ... Chương Toán tử đơn điệu 2.1 Toán tử đơn điệu Định nghĩa 2.1 Cho A : H → 2H Thế A đơn điệu (∀(x, u) ∈ graA)(∀(y, v) ∈ graA) x − y | u − v ≥ (2.1) Một tập H × H đơn điệu đồ thị toán tử đơn điệu. .. Cho K không gian Hilbert thực, cho A : H → 2H B : K → 2K toán tử đơn điệu, cho L ∈ B(H, K) cho γ ∈ R+ Thế toán tử A−1 , γA, A + L∗ BL đơn điệu Toán tử đơn điệu xuất cách tự nhiên nghiên cứu toán. .. Toán tử đơn điệu 20 i Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Hoàng Hà 2.1 Toán tử đơn điệu 20 2.2 Toán tử đơn điệu cực đại