G-Khung chính xác trong không gian Hilbert

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————————o0o—————————— ĐỖ THỊ HOA G-KHUNG CHÍNH XÁC TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Quỳnh Nga HÀ NỘI, 2017 Lời cảm ơn Sau thời gian cố gắng, nỗ lực học tập nghiên cứu, đến hoàn thành luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Để có kết này, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc lời cảm ơn chân thành đến cô giáo, TS Nguyễn Quỳnh Nga, người định hướng nghiên cứu truyền thụ kiến thức cho suốt thời gian thực luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu thầy cô giáo môn Toán Giải tích nói riêng khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội nói chung Xin cảm ơn người thân gia đình tất người bạn thân yêu thông cảm, chia sẻ tạo điều kiện tốt cho để học tập, nghiên cứu thực luận văn Tôi mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Đỗ Thị Hoa i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng tôi, thực hướng dẫn cô giáo TS Nguyễn Quỳnh Nga Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Các kết trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Đỗ Thị Hoa ii Mục lục Mở đầu iv 1 3 13 16 22 22 33 36 40 44 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Toán tử tuyến tính liên tục không gian Hilbert 1.2 Khung sở Riesz không gian Hilbert 1.2.1 Khung không gian Hilbert 1.2.2 Cơ sở Riesz không gian Hilbert 1.3 Tính ổn định khung G-khung xác không gian Hilbert 2.1 G-khung g-cơ sở Riesz 2.2 Đặc trưng g-khung xác 2.3 Mối quan hệ g-khung xác g-cơ sở Riesz 2.4 Tính ổn định g-khung 2.5 Tính ổn định g-khung xác Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 51 iii Mở đầu Lí chọn đề tài Khái niệm khung lần giới thiệu Duffin Schaeffer [4] để nghiên cứu vài toán chuỗi Fourier không điều hòa vào năm 1952, sau giới thiệu lại vào năm 1986 Daubechies, Grossmann, Meyer [3] từ trở nghiên cứu rộng rãi Khung tập hợp véctơ không gian Hilbert H với tính chất véctơ không gian biểu diễn thông qua phần tử khung biểu diễn không thiết Khung sử dụng nhiều xử lý tín hiệu hình ảnh, nén liệu, lý thuyết mẫu, lý thuyết lượng tử Trong năm gần đây, có nhiều thành tựu việc ứng dụng sở Riesz nhiều nghiên cứu đặc trưng tính ổn định sở Riesz [2] Cơ sở Riesz tương đương với khung xác không gian Hilbert, trở thành công cụ lý thuyết hữu hiệu để nghiên cứu phân tích tín hiệu Tuy nhiên, số ứng dụng xuất hiện, mà mô hình hóa cách tự nhiên khung sở Riesz, số tác giả đưa số khái niệm khung suy rộng giả khung (pseudoframe) [5], khung không gian (frame of subspaces) [1] Tất khái niệm khung suy rộng hữu ích nhiều ứng dụng Để nghiên cứu có hệ thống khung suy rộng trên, Sun [8] đưa khái niệm g-khung không gian Hilbert phức, bao gồm khung thông thường chứng minh nhiều đặc tính khung cho g-khung (xem[8,9]), có số khác biệt khung g-khung Ví dụ, khung xác tương đương với sở Riesz, g-khung xác không tương đương với g-cơ sở Riesz (xem [2] [8]) Sau Sun giới thiệu khái niệm g-khung ông xem xét tính ổn định g-khung không gian Hilbert Những kết tương tự với tính ổn định khung với iv Luận Văn Thạc sĩ không gian Hilbert (xem [9]) Liệu tính ổn định g-khung xác không gian Hilbert có tương tự tính ổn định g-khung hay không? Với mong muốn hiểu biết sâu sắc g-khung xác không gian Hilbert, nhờ giúp đỡ, hướng dẫn tận tình cô giáo TS Nguyễn Quỳnh Nga, mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu "g-khung xác không gian Hilbert" để thực luận văn tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm nghiên cứu, trình bày g-khung xác không gian Hilbert Nhiệm vụ nghiên cứu Các kiến thức sở cần thiết: Một số khái niệm kết khung sở Riesz không gian Hilbert, tính ổn định khung Khái niệm ví dụ g-khung không gian Hilbert, đặc trưng g-khung xác, mối liên hệ g-khung xác g-cơ sở Riesz, tính ổn định g-khung, tính ổn định g-khung xác Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu :Nghiên cứu khung, sở Riesz, g-khung, g-cơ sở Riesz, g-khung xác không gian Hilbert Phạm vi nghiên cứu : Các tài liệu, báo nước liên quan đến g-khung g-khung xác không gian Hilbert Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức giải tích hàm để nghiên cứu vấn đề Thu thập tài liệu báo g-khung g-khung xác không gian Hilbert Tổng hợp, phân tích, hệ thống khái niệm, tính chất Đỗ Thị Hoa v K19 Toán Giải tích Luận Văn Thạc sĩ Đóng góp luận văn Luận văn trình bày tổng quan g-khung xác không gian Hilbert Đỗ Thị Hoa vi K19 Toán Giải tích Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương nhắc lại số khái niệm kết để chuẩn bị cho chương sau Nội dung chương tham khảo tài liệu [2], [7] 1.1 Toán tử tuyến tính liên tục không gian Hilbert Toán tử tuyến tính T từ không gian Hilbert H vào không gian Hilbert K liên tục bị chặn, nghĩa là, tồn số c > cho ||T (x)|| ≤ c||x||, với x ∈ H Ký hiệu L(H, K) tập tất toán tử tuyến tính bị chặn từ H vào K Khi H = K L(H, K) ký hiệu đơn giản L(H) Chuẩn T ∈ L(H, K) định nghĩa số c nhỏ thỏa mãn ||T (x)|| ≤ c||x||, với x ∈ H Nói cách tương đương, ||T || = sup{||T (x)|| : x ∈ H, ||x|| ≤ 1} = sup{||T (x)|| : x ∈ H, ||x|| = 1} Định lý 1.1.1 Cho T ∈ L(H) ||I − T || < Khi T khả nghịch Mệnh đề 1.1.1 Giả sử H, L, K không gian Hilbert Nếu T ∈ L(H, K) tồn phần tử T ∗ ∈ L(K, H) cho T ∗ (x), y = x, T (y) , (x ∈ K, y ∈ H) Luận Văn Thạc sĩ Hơn nữa, i)(aS + bT )∗ = aS ∗ + bT ∗ ii)(RS)∗ = S ∗ R∗ iii)(T ∗ )∗ = T iv)I ∗ = I v)Nếu T khả nghịch T ∗ khả nghịch (T −1 )∗ = (T ∗ )−1 , S, T ∈ L(H, K), R ∈ L(K, L) a, b ∈ C Toán tử T ∗ Mệnh đề 1.1.1 gọi toán tử liên hợp toán tử T Mệnh đề 1.1.2 Giả sử T ∈ L(H, K) S ∈ L(K, L) Khi i)||T (x)|| ≤ ||T ||.||x|| ii)||ST || ≤ ||S||.||T || iii)||T || = ||T ∗ || iv)||T T ∗ || = ||T ||2 Cho T ∈ L(H) T gọi toán tử tự liên hợp T ∗ = T, unita T ∗ T = T T ∗ = I T gọi dương (ký hiệu T ≥ 0) T (x), x ≥ với x ∈ H T, K ∈ L(H), T ≥ K T − K ≥ Chú ý với T ∈ L(H) T ∗ T (x), x = T (x), T (x) ≥ với x ∈ H Do T ∗ T dương Mệnh đề 1.1.3 Giả sử T ∈ L(H) Khi i) T tự liên hợp T (x), x thực với x ∈ H Đặc biệt, toán tử dương tự liên hợp ii) T unita T ánh xạ bảo toàn chuẩn (hay tương đương bảo toàn tích vô hướng) từ H lên H Mệnh đề 1.1.4 Nếu U ∈ L(H) toán tử tự liên hợp ||U || = sup | U (f ), f | ||f ||=1 Chúng ta thường mong muốn tìm dạng nghịch đảo cho toán tử mà khả nghịch theo nghĩa hẹp Bổ đề đưa điều kiện để đảm bảo tồn nghịch đảo phải Bổ đề 1.1.1 Cho H, K không gian Hilbert, giả sử U : K → H toán tử tuyến tính bị chặn với miền giá trị đóng RU Khi tồn toán tử bị chặn U + : H → K mà U U + (f ) = f, ∀f ∈ RU Đỗ Thị Hoa K19 Toán Giải tích Luận Văn Thạc sĩ Chứng minh Xét hạn chế U phần bù trực giao hạt nhân U, tức U˜ = U |NU⊥ : NU⊥ → H ˜ tuyến tính bị chặn U˜ đơn ánh: U˜ (x) = 0, Rõ ràng U theo x ∈ NU⊥ ∩ NU = {0} Bây ta chứng minh miền giá trị ˜ với miền giá trị U Cho y ∈ RU , tồn x ∈ K cho U U (x) = y Bởi x = x1 + x2 , x1 ∈ NU⊥ , x2 ∈ NU , ta có U˜ (x1 ) = U (x1 ) = U (x1 + x2 ) = U (x) = y ˜ có nghịch đảo bị chặn Mà U (U˜ )−1 : RU → NU⊥ ˜ )−1 cách cho phần bù trực giao RU Thác triển (U ta có toán tử bị chặn U + : H → K mà U U + (f ) = f với f ∈ RU Toán tử U + xây dựng chứng minh Bổ đề 1.1.1 gọi giả nghịch đảo U Trong tài liệu ta thường thấy giả nghịch đảo toán tử U với miền giá trị đóng RU định nghĩa toán tử thỏa mãn NU + = RU⊥ , RU + = NU⊥ U U + (f ) = f, ∀f ∈ RU Định nghĩa tương đương với việc xây dựng 1.2 1.2.1 Khung sở Riesz không gian Hilbert Khung không gian Hilbert Trong nghiên cứu không gian véctơ, khái niệm quan trọng sở, cho phép biểu diễn phần tử không gian tổ hợp tuyến tính thành phần sở Tuy nhiên điều kiện sở hạn chế - không cho phép phụ thuộc tuyến tính thành phần yêu cầu thành phần trực giao tương ứng với tích vô hướng Điều làm cho khó tìm chí tìm thấy sở đáp ứng điều kiện bổ sung lý người ta muốn tìm công cụ linh hoạt Khung công cụ Một khung cho không gian vectơ trang bị tích vô hướng cho phép phần tử không gian Đỗ Thị Hoa K19 Toán Giải tích Luận Văn Thạc sĩ ˜ ∗j (ej k ) aj1 k1 bj2 k2 Λ∗j1 (ej1 k1 ), Λ 2 = k1 ∈Kj1 k2 ∈Kj2 = = δj1 j2 gj1 , gj2 Nếu j1 = j2 , ta có ˜ ∗j (gj ) Λ∗j1 (gj1 ), Λ 1 ˜ ∗j (ej k ) aj1 k1 Λ 1 aj1 k1 Λ∗j1 (ej1 k1 ), = k1 ∈Kj1 k1 ∈Kj1 ˜ ∗j (ej k ) aj1 k1 aj1 k1 Λ∗j1 (ej1 k1 ), Λ 1 = k1 ∈Kj1 aj k aj k = k1 ∈Kj1 = δj1 j1 gj1 , gj1 Do ta ˜ ∗j (gj ) = δj j gj , gj Λ∗j1 (gj1 ), Λ 2 2 (2.13) với j1 , j2 ∈ J Bây ta chứng minh {Λj }j∈J g-cơ sở Riesz U {Vj }j∈J Với {gj }j∈J ∈ l2 ({Vj }j∈J ), giả sử Λ∗j (gj ) = 0, từ (2.13) ta j∈J ˜ ∗j (gj ) = Λ∗j (gj ), Λ 0 0= j∈J ˜ ∗j (gj ) = gj , gj , ∀j0 ∈ J Λ∗j (gj ), Λ 0 0 j∈J Từ gj0 = với j0 ∈ J , ta suy {Λj }j∈J họ l2 ({Vj }j∈J )độc lập tuyến tính Theo Định lý 2.1.1 {Λj }j∈J g-cơ sở Riesz U {Vj }j∈J (2)⇒(1) Giả sử {Λj }j∈J g-cơ sở Riesz U {Vj }j∈J , {Λj }j∈J không g-khung xác U {Vj }j∈J Theo Bổ đề 2.2.1, {ujk }j∈J,k∈Kj sở Riesz U Do {Λj }j∈J không g-khung xác tồn j0 ∈ J cho {Λj }j∈J\{j0 } g-khung Lại theo Bổ đề 2.2.1, {ujk }j∈J\{j0 },k∈Kj khung U Do {ujk }j∈J , k ∈ Kj sở Riesz {ujk }j∈J\{j0 },k∈Kj dãy đầy đủ nên khung Mâu thuẫn chứng tỏ {Λj }j∈J g-khung xác Giả sử S toán tử g-khung {Λj }j∈J , theo Bổ đề 2.2.1 lại có, S toán tử khung {ujk }j∈J,k∈Kj Đỗ Thị Hoa 38 K19 Toán Giải tích Luận Văn Thạc sĩ Bây ta chứng minh đẳng thức (2.12) Vì {ujk }j∈J,k∈Kj sở Riesz U , ta có δj1 j2 δk1 k2 = uj1 k1 , S −1 (uj2 k2 ) = Λ∗j1 (ej1 k1 ), S −1 Λ∗j2 (ej2 k2 ) ˜ ∗ (ej k ) = Λ∗j1 (ej1 k1 ), Λ j2 2 với j1 , j2 ∈ J, k1 ∈ Kj1 , k2 ∈ Kj2 Vậy đẳng thức (2.12) Hệ 2.3.1 [6] Giả sử Λj ∈ L(U, Vj ), j ∈ J Khi hai điều kiện sau tương đương: (1) {Λj }j∈J g-khung xác U {Vj }j∈J ˜ ∗j (gj ) = δj j gj , gj , ∀j1 , j2 ∈ J, gj ∈ Vj , gj ∈ Vj Λ∗j1 (gj1 ), Λ 2 1 2 (2.14) (2) {Λj }j∈J g-cơ sở Riesz U {Vj }j∈J Chứng minh Từ Định lí 2.3.1, ta cần chứng minh (2.14) tương đương với (2.12) Từ chứng minh Định lí 2.3.1, ta thấy từ (2.12) suy (2.14) Ngược lại, giả sử đẳng thức (2.14) đúng, với j1 = j2 , gj1 = ej1 k1 , gj2 = ej2 k2 , k1 ∈ Kj1 , k2 ∈ Kj2 , ˜ ∗j (ej k ) = = δj j δk k Λ∗j1 (ej1 k1 ), Λ 2 2 với ej1 k1 ∈ Vj1 , ej1 k2 ∈ Vj1 , k1 , k2 ∈ Kj1 , ˜ ∗j (ej k ) = δk k = δj j δk k Λ∗j1 (ej1 k1 ), Λ 2 1 Vậy (2.12) suy (2.14) Hệ 2.3.2 [6] Giả sử dim Vj = với j ∈ J , {Λj }j∈J g-khung xác U {Vj }j∈J {Λj }j∈J g-cơ sở Riesz U {Vj }j∈J Chứng minh Giả sử {Λj }j∈J g-khung xác U {Vj }j∈J với toán tử g-khung S Do dim Vj =1 với j ∈ J , ta giả sử Vj = span{ej } với ||ej || = Giả sử Λ∗j (ej ) = uj Theo Bổ đề 2.2.1, {Λj }j∈J g-khung nên {uj }j∈J khung U Do {Λj }j∈J g-khung xác nên với j0 ∈ J, {Λj }j∈J\{j0 } không g-khung Lại theo Bổ đề 2.2.1, {uj }j∈J\{j0 } không khung U Từ {uj }j∈J khung xác U Vì S toán tử g-khung {Λj }j∈J , theo Bổ đề 2.2.1, S toán tử khung {uj }j∈J , theo Mệnh đề 1.2.4 ta có ˜ ∗j (ej ) δj1 j2 = uj1 , S −1 (uj2 ) = Λ∗j1 (ej1 ), S −1 Λ∗j2 (ej2 ) = Λ∗j1 (ej1 ), Λ Đỗ Thị Hoa 39 K19 Toán Giải tích Luận Văn Thạc sĩ với j1 , j2 ∈ J Do vậy, từ Định lí 2.3.1, {Λj }j∈J g-cơ sở Riesz U {Vj }j∈J Nhận xét 2.3.1 Định lí 2.2.1 đặc trưng quan trọng g-khung xác U {Vj }j∈J , đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu tính ổn định g-khung xác không gian Hilbert 2.4 Tính ổn định g-khung Trong mục nghiên cứu tính ổn định g-khung Nội dung mục trích dẫn từ [9] Tương tự khung thông thường, g-khung ổn định nhiễu nhỏ Đặc biệt ta có kết sau Định lý 2.4.1 Cho {Λj }j∈J g-khung U {Vj }j∈J Cho A, B cận g-khung Giả sử √ Γj ∈ L(U, Vj ) tồn số λ1 , λ2 , µ ≥ cho max{λ1 + µ/ A, λ2 } < hai điều kiện sau thỏa mãn 1/2  ||(Λj − Γj )(f )||2   j∈J 1/2  ||Λj (f )||2  ≤ λ1  1/2  ||Γj (f )||2  + λ2  j∈J + µ||f ||, ∀f ∈ U j∈J (2.15) 1/2  (Λ∗j −Γ∗j )(gj )|| ≤ λ1 || || j∈J1 Λ∗j (gj )||+λ2 || j∈J1 Γ∗j (gj )||+µ  j∈J1 ||gj ||2  j∈J1 (2.16) với tập hợp hữu hạn J1 ⊂ J gj ∈ Vj , j ∈ J1 Khi {Γj }j∈J g-khung U {Vj }j∈J với cận √ λ1 + λ2 + µ/ A A 1− + λ2 Đỗ Thị Hoa √ λ1 + λ2 + µ/ B , B 1+ − λ2 40 K19 Toán Giải tích Luận Văn Thạc sĩ Chứng minh Trước tiên, ta giả sử (2.15) thỏa mãn Do {Λj } g-khung với cận A nên ||f ||2 ≤ ||Λj (f )||2 A j∈J Từ (2.15) ta suy  1/2 µ ≤ (λ1 + √ )  ||Λj (f )||2  A j∈J ||(Λj − Γj )(f )||2   j∈J j∈J ||Γj (f )|| +λ2 Từ bất đẳng thức tam giác, ta có  1/2  ||(Λj − Γj )(f )||2   1/2 ||Λj (f )||2  ≥ j∈J 1/2  1/2 1/2  ||Γj (f )||2  − j∈J j∈J Do 1/2  µ ≥ (1 − λ1 − √ )  ||Λj (f )||2  A j∈J √ µ ≥ (1 − λ1 − √ ) A||f || A ||Γj (f )||2  (1 + λ2 )  1/2  j∈J Vì 1/2  ||Γj (f )||2   j∈J √ λ1 + λ2 + µ/ A ≥A 1− + λ2 Một cách tương tự ta chứng minh 1/2  √ λ + λ + µ/ B  ||Γj (f )||2  ≤ B + − λ2 j∈J ||f ||2 ||f ||2 Tiếp theo, ta giả sử (2.16) thỏa mãn Do Λ∗j (gj ) = gj , ej,k uj,k Γ∗j (gj ) = gj , ej,k u˜j,k uj,k = k∈Kj ∗ Λj (ej,k ), u˜j,k Đỗ Thị Hoa k∈Kj = Γ∗j (ej,k ), j ∈ J, k ∈ Kj 41 K19 Toán Giải tích Luận Văn Thạc sĩ Từ (2.16) viết lại || gj , ej,k uj,k − j∈J1 k∈Kj gj , ej,k u˜j,k || j∈J1 k∈Kj 1/2  ≤ λ1 || gj , ej,k uj,k ||+λ2 || j∈J1 k∈Kj ||gj ||2  gj , ej,k u˜j,k ||+µ  j∈J1 k∈Kj Mỗi gj ∈ Vj có khai triển gj = j∈J1 cj,k ej,k {cj,k }k∈Kj (2.17) ∈ l (Kj ) k∈Kj Từ (2.17) lại viết lại || cj,k (uj,k − u˜j,k )|| j∈J1 k∈Kj 1/2  ≤ λ1 || cj,k uj,k || + λ2 || j∈J1 k∈Kj |cj,k |2  cj,k u˜j,k || + µ  j∈J1 k∈Kj j∈J1 k∈Kj (2.18) Theo Bổ đề 2.2.1, {Λj }j∈J1 g-khung U Vj {uj,k }k∈Kj ∈ l2 (Kj ) khung U với cận Khi đó, theo Định lý 1.3.2 {˜ uj,k }k∈Kj ∈ l2 (Kj ) khung U với cận cận √ √ 2 λ1 + λ2 + µ/ B λ1 + λ2 + µ/ A , B 1+ A 1− + λ2 − λ2 Lại theo Bổ đề 2.2.1, Γj g-khung U Vj với cận √ λ1 + λ2 + µ/ A A 1− + λ2 √ λ1 + λ2 + µ/ B , B 1+ − λ2 điều phải chứng minh Nhận xét 2.4.1 Từ chứng minh Định lý ta thấy Định lý ta thay điều kiện λ1 , λ2 ≥ điều kiện λ1 , λ2 ∈ (−1, 1) Từ Định lý 2.4.1 ta có Hệ sau g-khung khung thông thường Đỗ Thị Hoa 42 K19 Toán Giải tích Luận Văn Thạc sĩ Hệ 2.4.1 Cho {fj }j∈J khung không gian √ Hilbert H với cận khung A, B Giả sử λ1 , λ2 , µ ≥ 0, max{λ1 + µ/ A, λ2 } < hai điều kiện sau thỏa mãn | f, fj − gj |2 j∈J 1/2  | f, fj |2  ≤ λ1  1/2  | f, gj |2  + λ2  j∈J + µ||f ||2 , ∀f ∈ H j∈J (2.19) 1/2  || cj (fj − gj )|| ≤ λ1 || j∈J1 cj gj || + λ2 || j∈J1 cj fj || + µ  j∈J1 |cj |2  j∈J1 (2.20) khung với tập hợp hữu hạn J1 ⊂ J cj ∈ C Khi {gj }j∈J H với cận √ √ 2 λ1 + λ2 + µ/ B λ1 + λ2 + µ/ A , B 1+ A 1− + λ2 − λ2 Chứng minh Khi Λj Γj ánh xạ từ H vào C xác định Λj (f ) = f, fj Γj (f ) = f, gj với j ∈ J theo Ví dụ 2.1.1 , {fj }j∈J khung H nên Λj g-khung H C với cận với khung {fj }j∈J Theo (2.2) Λ∗j (c) = cfj với j ∈ J c ∈ C Khi điều kiện (2.19) điều kiện (2.15) Định lý 2.4.1, điều kiện (2.20) điều kiện (2.16) Định lý 2.4.1 Do theo Định lý 2.4.1 ta suy {Γj }j∈J g-khung H C Từ {gj }j∈J khung H với cận với {Γj }j∈J Ta có điều phải chứng minh Với trường hợp Vj = V với j ∈ J dim V < +∞, ta có kết sau Định lý 2.4.2 Cho {Λj }j∈J g-khung U V Cho A, B cận khung Giả sử Vj = V, ∀j ∈ J K = dim V < +∞ Γj ∈ L(U, V) Nếu tồn số µ ≥ cho µ < (A/K)  1/2 || cj (Λj − Γj )|| ≤ µ  j∈J1 Đỗ Thị Hoa |cj |2  (2.21) j∈J1 43 K19 Toán Giải tích Luận Văn Thạc sĩ với tập hợp hữu hạn J1 ⊂ J số phức cj , {Γj }j∈J g-khung U với cận K A 1−µ A 2 K , B 1+µ B 2 Chứng minh Do (2.21), theo Mệnh đề 2.1.1 (ii), {Λj − Γj }j∈J dãy gBessel với cận µ2 K Từ (Λj − Γj )(f )||2 ≤ µ2 K||f ||2 || j∈J hay √ (Λj − Γj )(f )||2 ) ≤ µ K||f || (|| j∈J Sử dụng Định lý 2.4.1 với λ1 = λ2 = 0, ta suy Γj g-khung với cận K A 1−µ A 2 K , B 1+µ B 2 Điều phải chứng minh 2.5 Tính ổn định g-khung xác Trong mục nghiên cứu tính ổn định g-khung xác, tức trả lời câu hỏi sau: Nếu dãy {Γj ∈ L(U, V) : j ∈ J} gần với g-khung xác {Λj ∈ L(U, V) : j ∈ J} theo nghĩa liệu có kéo theo {Γj }j∈J g-khung xác? Chúng ta chứng minh tính ổn định g-khung xác không giống với tính ổn định g-khung Nội dung mục trích dẫn từ tài liệu [6] Trước tiên ta xem xét ví dụ để thấy Định lý 2.4.1 không g-khung xác Ví dụ 2.5.1 Giả sử J tập số tự nhiên giả sử {ej }j∈J sở trực chuẩn U, Vj = span{ej , ej+1 } Định nghĩa toán tử tuyến tính bị chặn Λj : U → Vj sau Λj (f ) = f, ej ej , Đỗ Thị Hoa 44 ∀f ∈ U K19 Toán Giải tích Luận Văn Thạc sĩ Thứ ta chứng minh {Λj }j∈J g-khung xác U {Vj }j∈J Giả sử f phần tử tùy ý U , ta có ||Λj (f )||2 = j∈J || f, ej ej ||2 = ||f ||2 j∈J Với gj ∈ Vj , j ∈ J , giả sử gj = cj ej + cj+1 ej+1 , Λ∗j (gj ), f = gj , Λj (f ) = cj ej +cj+1 ej+1 , f, ej ej = cj f, ej = cj ej , f , với f ∈ U Do Λ∗j (gj ) = cj ej Vì {ej , ej+1 } sở trực chuẩn Vj , j ∈ J , ta uj1 = Λ∗j (ej ) = ej , uj2 = Λ∗j (ej+1 ) = 0, ∀j ∈ J, {ujk }j∈J,k∈Kj = {e1 , 0, e2 , 0, , ej , 0, } Với j0 ∈ J ta có {ujk }j∈J\{j0 },k∈Kj = {e1 , 0, e2 , 0, , ej0 −1 , 0, ej0 +1 , } Vì span{ujk }j∈J\{j0 },k∈Kj = span{ej }j∈J j=j0 = U nên {ujk }j∈J\{j0 },k∈Kj không đầy đủ U Từ Bổ đề 2.2.2 Định lí 2.2.1, ta {Λj }j∈J g-khung xác U {Vj }j∈J Giả sử ε ∈ (0, 1) định nghĩa toán tử tuyến tính bị chặn Γj : U → Vj sau Γj (f ) = Λj (f ) + ε f, ej+1 ej+1 , ∀f ∈ U Tương tự ta có Γ∗j gj = cj ej + εcj+1 ej+1 , u˜j1 = ej , u˜j2 = εej+1 , ∀j ∈ J, {˜ ujk }j∈J,k∈Kj = {e1 , εe2 , e2 , εe3 , , ej−1 , εej , ej , εej+1 , } Bây ta chứng minh {Γj }j∈J không g-khung xác U {Vj }j∈J Thật vậy, giả sử j0 ≥ 2, j0 ∈ J Khi span{˜ ujk }j∈J\{j0 },k∈Kj = span{ej }j∈J = U Từ Bổ đề 2.2.2 Định lí 2.2.1, ta thấy {Γj }j∈J không g-khung xác U {Vj }j∈J Mặt khác, với f ∈ U, j ∈ J , ta có  1/2  1/2 ||(Λj − Γj )f ||2   j∈J Đỗ Thị Hoa ||ε f, ej+1 ej+1 ||2  = ≤ ε||f ||, j∈J 45 K19 Toán Giải tích Luận Văn Thạc sĩ với tập hợp hữu hạn J1 ⊂ J gj ∈ Vj , j ∈ J,  (Λ∗j − Γ∗j )(gj )|| ≤ || || j∈J1 εcj+1 ej+1 || ≤ ε  j∈J1 1/2 ||gj ||2  j∈J1 Định nghĩa 2.5.1 Giả sử {fi }i∈J , {gi }i∈J ⊂ U Nếu tồn phép đẳng cấu T : U → U cho T fj = gj với j ∈ J , ta gọi {fj }j∈J tương đương với {gj }j∈J Bổ đề 2.5.1 Giả sử {ejk }k∈Kj sở trực chuẩn Vj với j ∈ J , giả sử {Λj }j∈J , {Γj }j∈J g-khung U {Vj }j∈J với toán tử tổng hợp Q1 , Q2 , tương ứng Khi hai điều kiện sau tương đương: (1) {ujk }j∈J,k∈Kj {˜ ujk }j∈J,k∈Kj tương đương, ujk = Λ∗j (ejk ), u˜jk = Γ∗j (ejk ) (2) KerQ1 = KerQ2 Chứng minh (1)⇒(2) Giả sử tồn phép đẳng cấu T : U → U cho T (ujk ) = u ˜jk với j ∈ J, k ∈ Kj Định nghĩa e˜jk = {δji eik }j∈J với j ∈ J, k ∈ Kj , δji ký hiệu Kronecker Khi e˜jk ∈ l2 (Vj ) {˜ ejk }j∈J,k∈Kj sở trực chuẩn l2 ({Vj }j∈J ) Ta có T Q1 (˜ ejk ) = T (ujk ) = u˜jk = Q2 (˜ ejk ) với j ∈ J, k ∈ Kj Do {˜ ejk }j∈J,k∈Kj sở trực chuẩn l ({Vj }j∈J ) nên T Q1 = Q2 Điều có nghĩa KerQ1 =KerQ2 (2)⇒(1) Vì {Λj }j∈J , {Γj }j∈J g-khung U {Vj }j∈J , theo Định lí 2.1.2, toán tử tổng hợp Q1 , Q2 : l2 ({Vj }j∈J ) → U toàn ánh Do Qi |(KerQi )⊥ : (KerQi )⊥ → U, i = 1, khả nghịch Bây ta chứng minh Q2 (Q1 |(KerQ1 )⊥ )−1 ujk = u ˜jk ⊥ Giả sử l ({Vj }j∈J ) = KerQ1 ⊕ (KerQ1 ) với e˜jk ∈ l2 ({Vj }j∈J ), e˜jk = ajk + bjk , ajk ∈ KerQ1 = KerQ2 , bjk ∈ (KerQ1 )⊥ , ta có ujk = Q1 e˜jk = Q1 (ajk + bjk ) = Q1 bjk Vì Q1 |(KerQ1 )⊥ : (KerQ1 )⊥ → U khả nghịch, ta Q1 |(KerQ1 )⊥ )−1 ujk = bjk Do ta có u˜jk = Q2 e˜jk = Q2 (ajk + bjk ) = Q2 bjk = Q2 (Q1 |(KerQ1 )⊥ )−1 ujk Bây ta cần chứng minh Q2 (Q1 |(KerQ1 )⊥ )−1 : U → U khả nghịch Đỗ Thị Hoa 46 K19 Toán Giải tích Luận Văn Thạc sĩ Giả sử tồn f ∈ U cho Q2 (Q1 |(KerQ1 )⊥ )−1 f = 0, (Q1 |(KerQ1 )⊥ )−1 f ∈ KerQ2 = KerQ1 Vì (Q1 |(KerQ1 )⊥ )−1 : U → (KerQ1 )⊥ khả nghịch, (Q1 |(KerQ1 )⊥ )−1 f ∈ (KerQ1 )⊥ Từ (Q1 |(KerQ1 )⊥ )−1 f = 0, f = Q1 (Q1 |(KerQ1 )⊥ )−1 f = Từ suy Q2 (Q1 |(KerQ1 )⊥ )−1 : U → U một-một Vì Q2 |(KerQ2 )⊥ : (KerQ2 )⊥ → U toàn ánh, với f ∈ U , có tồn f0 ∈ (KerQ2 )⊥ = (KerQ1 )⊥ cho Q2 |(KerQ2 )⊥ f0 = f , (Q1 |(KerQ1 )⊥ )−1 : U → (KerQ1 )⊥ toàn ánh, với f0 ∈ (KerQ1 )⊥ tồn f1 ∈ U cho (Q1 |(KerQ1 )⊥ )−1 f1 = f0 , ta Q2 (Q1 |(KerQ1 )⊥ )−1 f1 = f Từ suy Q2 (Q1 |(KerQ1 )⊥ )−1 : U → U toàn ánh Vậy chứng minh hoàn thành Hệ 2.5.1 Nếu {Λj }j∈J g-khung xác U {Vj }j∈J ˜ j }j∈J g-khung xác U đối dim Vj < +∞, j ∈ J, {Λ với {Vj }j∈J Chứng minh Cho j0 ∈ J Do {Λj }j∈J g-khung xác nên theo Định lý 2.2.1 , {Λj }j∈J g-khung {Λj }j∈J\{j0 } không g-đầy đủ Theo Bổ đề 2.2.2, {ujk }j∈J\{j0 },k∈Kj không dãy đầy đủ U Theo Bổ đề 2.1.2 ˜ j }j∈J g-khung U Ký hiệu Q1 , Q2 toán tử tổng hợp {Λ ∗ ˜ j }j∈J Theo (2.11), Q1 ({gj }) = {Λj }j∈J {Λ j∈J Λj (gj ), Q2 ({gj }) = −1 ˜∗ ˜ j∈J Λj (gj ) {gj }j∈J ∈ l ({Vj }j∈J ) Do Λj = Λj S , ˜ ∗ = S −1 Λ∗ Từ Q2 ({gj }) = S toán tử g-khung {Λj }j∈J , nên Λ j j −1 ∗ −1 S Λ (g ) = S Q ({g }) với {g } ∈ l2 ({Vj }j∈J ) Từ j j j∈J j j j∈J Q2 = S −1 Q1 Vì KerQ2 =KerQ1 Từ theo Bổ đề 2.5.1, {ujk }j∈J,k∈Kj ˜ ∗ (ejk ) {˜ ujk }j∈J,k∈Kj tương đương ujk = Λ∗j (ejk ) u˜jk = Λ j Từ suy {ujk }j∈J\{j0 },k∈Kj {˜ ujk }j∈J\{j0 },k∈Kj tương đương Suy ˜ j }j∈J\{j } {˜ ujk }j∈J\{j0 },k∈Kj không dãy đầy đủ U Theo Bổ đề 2.2.2 {Λ ˜ không g-đầy đủ Theo định nghĩa {Λj }j∈J g-khung xác Định lý 2.5.1 Giả sử {Λj }j∈J g-khung xác U {Vj }j∈J với cận A B Giả sử λ, β ∈ (−1, 1) dim Vj < +∞, j ∈ J Nếu {Γj ∈ L(U, Vj )}j∈J thỏa mãn (Λ∗j − Γ∗j )(gj )|| ≤ λ|| || j∈J1 Đỗ Thị Hoa Λ∗j (gj )|| + β|| j∈J1 Γ∗j (gj )||, (2.22) j∈J1 47 K19 Toán Giải tích Luận Văn Thạc sĩ với tập hợp hữu hạn J1 ⊂ J gj ∈ Vj , j ∈ J1 , {Γj }j∈J g-khung xác U {Vj }j∈J với cận 1−λ A 1+β , B 1+λ 1−β (2.23) Chứng minh Vì {Λj }j∈J g-khung U {Vj }j∈J với cận A B, từ Định lí 2.4.1, {Γj }j∈J g-khung U {Vj }j∈J với cận cho (2.23) từ Định lí 2.1.2, ta định nghĩa toán tử tuyến tính bị chặn Λ∗j (gj ), Q1 : l2 ({Vj }j∈J ) → U, Q1 ({gj }j∈J ) = j∈J √ với ||Q1 || ≤ B Với {gj }j∈J ∈ l2 ({Vj }j∈J ) tập hợp hữu hạn J1 ⊂ J , theo Bất đẳng thức tam giác ta có || Γ∗j (gj )|| − || Λ∗j (gj )|| ≤ || (Λj − Γ∗j )(gj )|| j∈J1 j∈J1 j∈J1 Từ bất đẳng thức (2.22) ta 1/2  Γ∗j (gj )|| ≤ || j∈J1 (1 + λ)||Q1 ||  1+λ || Λ∗j (gj )|| ≤ ||gj ||2  − β j∈J 1−β j∈J Γ∗j (gj ) hội tụ U Từ bất đẳng thức (2.22) suy Do chuỗi j∈J (Λ∗j − Γ∗j )(gj )|| ≤ λ|| || j∈J Λ∗j (gj )|| + β|| j∈J Γ∗j (gj )|| (2.24) j∈J Vì {Γj }j∈J g-khung U {Vj }j∈J , từ Định lí 2.1.2, ta định nghĩa toán tử tuyến tính bị chặn Γ∗j (gj ), Q2 : l2 ({Vj }j∈J ) → U, Q2 ({gj }j∈J ) = j∈J từ bất đẳng thức (2.24), với g = {gj }j∈J ∈ l2 ({Vj }j∈J ), ta có ||Q1 (g) − Q2 (g)|| ≤ λ||Q1 (g)|| + β||Q2 (g)|| (2.25) Nếu Q1 g = từ (2.25) ta suy ||Q2 (g)|| ≤ β||Q2 (g)|| Vì β ∈ (−1, 1) nên Q2 g = Vì KerQ1 ⊂ KerQ2 Tương tự KerQ2 ⊂ KerQ1 Từ Đỗ Thị Hoa 48 K19 Toán Giải tích Luận Văn Thạc sĩ KerQ1 = KerQ2 Từ Bổ đề 2.5.1, {ujk }j∈J,k∈Kj {˜ ujk }j∈J,k∈Kj tương ∗ ∗ đương, ujk = Λj (ejk ), u ˜jk = Γj (ejk ) Bây ta chứng minh {Γj }j∈J g-khung xác U {Vj }j∈J Vì {Λj }j∈J g-khung xác U {Vj }j∈J , từ Định lí 2.2.1 Bổ đề 2.2.2, {ujk }j∈J\{j0 },k∈Kj không đầy đủ U với j0 ∈ J , với j0 ∈ J , {˜ ujk }j∈J\{j0 },k∈Kj không đầy đủ U Lại theo Bổ đề 2.2.2 Định lí 2.2.1, {Γj }j∈J g-khung xác U {Vj }j∈J Định lý 2.5.2 Giả sử {Λj }j∈J g-khung xác U {Vj }j∈J với cận A B Giả sử λ, β ∈ (−1, 1) dim Vj < +∞, j ∈ J Nếu {Γj ∈ L(U, Vj )}j∈J thỏa mãn  1/2  1/2  1/2 ||(Λj − Γj )(f )||2   ||Λj (f )||2  ≤ λ j∈J1 ||Γj (f )||2  +β  j∈J1 j∈J1 (2.26) với tập hợp hữu hạn J1 ⊂ J f ∈ U, j ∈ J1 , {Γj }j∈J g-khung xác U {Vj }j∈J với cận 1−λ A 1+β , B 1+λ 1−β (2.27) Chứng minh Vì {Λj }j∈J g-khung U {Vj }j∈J với cận B, với tập hợp hữu hạn J1 ⊂ J , ta có ||Λj (f )||2 ≤ j∈J1 ||Λj (f )||2 ≤ B||f ||2 , ||(Λj − Γj )(f )||2  1/2  ||Γj (f )||2  ≥ j∈J1 j∈J1 (2.28) j∈J Theo bất đẳng thức tam giác, ta có  1/2   ∀f ∈ U 1/2 ||Λj (f )||2  − j∈J1 (2.29) Khi từ (2.26),(2.27),(2.28) ta có  1/2  1/2 √ + λ (1 + λ) B   ||Γj (f )||2  ≤ ||Λj (f )||2  ≤ ||f || − β − β j∈J j∈J Đỗ Thị Hoa 49 K19 Toán Giải tích Luận Văn Thạc sĩ ||Γj (f )||2 hội tụ C Từ bất đẳng thức (2.26) suy Do chuỗi j∈J 1/2  ||(Λj − Γj )(f )||2   1/2  ||Λj (f )||2  ≤ λ j∈J 1/2  ||Γj (f )||2  +β  j∈J j∈J Theo Định lí 2.4.1, {Γj }j∈J g-khung U {Vj }j∈J với cận cho (2.27) Tương tự, với j0 ∈ J, f ∈ U , từ bất đẳng thức (2.26) suy 1/2 1/2   ||(Λj − Γj )(f )||2   ||Λj (f )||2  ≤ λ j∈J\{j0 } j∈J\{j0 } 1/2  ||Γj (f )||2  +β (2.30) j∈J\{j0 } Theo bất đẳng thức tam giác, ta có  1/2 ||(Λj − Γj )(f )||2   1/2  ||Γj (f )||2  ≥ j∈J\{j0 } j∈J\{j0 } 1/2  ||Λj (f )||2  − (2.31) j∈J\{j0 } Do từ (2.30),(2.31) ta có  1/2  j∈J\{j0 } ||Γj (f )||2  1/2  ≤ 1+λ 1−β ||Λj (f )||2  (2.32) j∈J\{j0 } Bây ta chứng minh {Γj }j∈J g-khung xác U {Vj }j∈J Theo Định lí 2.2.1, ta cần chứng minh {Γj }j∈J,j=j0 không g-đầy đủ U với j0 ∈ J Vì {Λj }j∈J g-khung xác U {Vj }j∈J , theo Định lí 2.2.1, {Λj }j∈J,j=j0 không g-đầy đủ U với j0 ∈ J, i.e., tồn f ∈ U, f = cho Λj (f ) = với j ∈ J \ {j0 }, j0 ∈ J Từ (2.32) Γj (f ) = với j ∈ J \ {j0 }, j0 ∈ J Do {Γj }j∈J,j=j0 không g-đầy đủ U với j0 ∈ J Vậy chứng minh hoàn thành Đỗ Thị Hoa 50 K19 Toán Giải tích Kết luận Luận văn trình bày tổng quan g-khung xác không gian Hilbert cách hệ thống, có chứng minh chi tiết, ví dụ minh họa Cụ thể luận văn trình bày kết sau: -Một số khái niệm kết chuẩn bị toán tử tuyến tính liên tục không gian Hilbert, khung sở Riesz khái niệm liên quan không gian Hilbert tính ổn định khung -Khái niệm g-khung g-cơ sở Riesz khái niệm liên quan, số ví dụ tính chất -Đặc trưng g-khung xác -Mối liên hệ g-khung xác g-cơ sở Riesz -Tính ổn định g-khung g-khung xác 51 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Anh [1] P Casazza, G Kutyniok (2004), "Frames of subspaces", Contemp Math., Amer Math Soc.,Vol 345, 87-113 [2] O Christensen (2003), An introduction to frames and Riesz bases, Birkhauser, Boston [3] I Daubechies, A Grossmann and Y Meyer (1986), "Painless nonorthogonal expansions", J Math Phys., Vol 72, 1271 – 1283 [4] R J Duffin and A C Schaeffer (1952), "A class of nonharmonic Fourier series", Trans Amer Math Soc., Vol 72, 341 – 366 [5] S Li and H Ogawa (2004), "Pseudoframes for subspaces with applications", J.Fourier Anal Appl., Vol 10, 409-431 [6] J Z Li and Y C Zhu (2011), "Exact g-frames in Hilbert spaces", J Math Anal Appl, Vol 374, 201-209 [7] R Kadison and R Ringrose (1983), Fundamentals of the theory of operator algebras, Vol 1, Academic Press, New York [8] W Sun (2006), "G-frames and g-Riesz bases", J Math Anal Appl., Vol 72, 341-366 [9] W Sun (2007), "Stability of g-frames", J Math Anal Appl., Vol 326, 858-868 [10] Y Zhu (2008), "Characterizations of g-frames and g-Riesz bases in Hilbert spaces", Acta Mathematica Sinica, Vol.24, No.10, 1727-1736 52 ... tục không gian Hilbert 1.2 Khung sở Riesz không gian Hilbert 1.2.1 Khung không gian Hilbert 1.2.2 Cơ sở Riesz không gian Hilbert 1.3 Tính ổn định khung G-khung xác không. .. Riesz không gian Hilbert, tính ổn định khung Khái niệm ví dụ g-khung không gian Hilbert, đặc trưng g-khung xác, mối liên hệ g-khung xác g-cơ sở Riesz, tính ổn định g-khung, tính ổn định g-khung xác. .. Chương G-khung xác không gian Hilbert Trong chương trước nghiên cứu khung sở Riesz không gian Hilbert tính ổn định chúng Chương nhằm mục đích nghiên cứu g-khung g-cơ sở Riesz không gian Hilbert,