Phương trình tích phân trong không gian hilbert

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ————oOo———— KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Giải tích Giảng viên hướng dẫn : TS HOÀNG NGỌC TUẤN Sinh viên thực : NGUYỄN THỊ HẢI Lớp : K39A HÀ NỘI, 04-2017 Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Lời mở đầu KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Không gian định chuẩn 1.2 Toán tử tuyến tính không gian định chuẩn 1.3 Không gian Hilbert PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 17 2.1 Phương trình tích phân Fredholm 17 2.2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 21 2.3 Phương trình tích phân Volterra 24 2.4 Phương pháp nghiệm cho nhân tách 2.5 Phương trình tích phân Volterra loại I phương trình tích 30 phân Abel 35 Kết luận chung 38 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy cô khoa Toán, trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, thầy cô tổ môn Giải Tích thầy cô tham gia giảng dạy tận tình truyền đạt tri thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt nhiệm vụ khóa học khóa luận Đặc biệt, em xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tới TS Hoàng Ngọc Tuấn, người trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình giúp đỡ để em hoàn thành khóa luận Do thời gian, lực điều kiện thân hạn chế nên khóa luận tránh khỏi sai sót Vì vậy, em mong nhận ý kiến góp ý quý báu thầy cô bạn Hà Nội, tháng năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Hải Lời cam đoan Em xin cam đoan, hướng dẫn TS Hoàng Ngọc Tuấn, khóa luận tốt nghiệp chuyên ngành Toán Giải Tích với đề tài “Phương trình tích phân không gian Hilbert” em tự làm Ngoài ra, trình thực khóa luận em tham khảo số tài liệu trình bày phần tài liệu tham khảo Hà Nội, tháng năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Hải Lời mở đầu Lý chọn đề tài Toán học môn khoa học bắt nguồn từ nhu cầu giải toán có nguồn gốc thực tiễn Trong đó, giải tích lĩnh vực đóng vai trò quan trọng có ứng dụng thực tiễn, có phương trình tích phân Để nắm vững kiến thức phương trình tích phân ứng dụng nói riêng toán học nói chung, em chọn đề tài khóa luận tốt nghiệp: “Phương trình tích phân không gian Hilbert” Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu giải tích, đặc biệt phương trình tích phân không gian Hilbert Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng phương trình tích phân không gian Hilbert Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp đánh giá Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận bao gồm chương: • Chương 1: “Kiến thức chuẩn bị” • Chương 2: “Phương trình tích phân” Tác giả khóa luận chân thành cảm ơn TS Hoàng Ngọc Tuấn tận tình hướng dẫn tác giả đọc tài liệu tập dượt nghiên cứu Tác giả chân thành cảm ơn thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt tổ Giải Tích, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học Đại học thực khóa luận Hà Nội, ngày 20/4/2017 Sinh viên Nguyễn Thị Hải Chương KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1 Một hàm x → x từ không gian vectơ E đến K gọi chuẩn thỏa mãn điều kiện sau: (1) x ≥ 0, x = ⇔ x = 0; (2) λx =| λ | x , ∀x ∈ E, λ ∈ K; (3) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ E Định nghĩa 1.2 Cho chuẩn E , (E, ) gọi không gian định chuẩn Ví dụ 1.1 Cho không gian vectơ L[a,b] Đối với hàm số x(t) ∈ L[a,b] ta đặt b |x(t)| dt x = (1.1) a Khi (L[a,b] , ) không gian định chuẩn Định nghĩa 1.3 (Sự hội tụ không gian định chuẩn) Giả sử E không gian định chuẩn Dãy (xn ) phần tử E gọi Chương KIẾN THỨC CƠ BẢN hội tụ đến phần tử a ∈ E lim x − a = n→∞ Định nghĩa 1.4 (Dãy Cauchy không gian định chuẩn) Dãy (xn ) dãy Cauchy không gian định chuẩn lim m,n→∞ xm − xn = 0, hay tương đương ∀ε > 0, ∃n0 , ∀m, n ≥ n0 : xm − xn < ε Định nghĩa 1.5 Không gian tuyến tính định chuẩn E gọi không gian Banach E với metric sinh chuẩn E không gian metric đầy 1.2 Toán tử tuyến tính không gian định chuẩn Định nghĩa 1.6 Cho hai không gian tuyến tính X Y trường K Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y gọi tuyến tính A thỏa mãn điều kiện: 1) ∀x, y ∈ X : A(x + y) = Ax + Ay; 2) ∀x ∈ X, ∀α ∈ K : A(αx) = αAx Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính toán tử tuyến tính Định nghĩa 1.7 Cho X Y hai không gian định chuẩn Toán tử tuyến tính A từ không gian định chuẩn X vào không gian Y gọi bị Chương KIẾN THỨC CƠ BẢN chặn, tồn số c > cho: Ax ≤ c x , ∀x ∈ X (1.2) Định nghĩa 1.8 Cho A toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Hằng số c ≥ nhỏ thỏa mãn hệ thức (1.2) gọi chuẩn toán tử A Kí hiệu A Định lý 1.1 (Định lí ba mệnh đề tương đương) Cho A toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Khi ba mệnh đề sau tương đương: 1) A liên tục; 2) A liên tục điểm x0 X; 3) A bị chặn Định lý 1.2 Cho A toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Nếu A bị chặn A = sup Ax x≤1 1.3 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.9 (Tích vô hướng) Giả sử X không gian tuyến tính trường K Tích vô hướng X ánh xạ f: X ×X →K (x, y) → x, y thỏa mãn tiên đề sau : 1) αx, y = α x, y , ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ K; Chương PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 25 nhân Kn (x, t) thỏa mãn quan hệ lặp lại K1 (x, t) = K(x, t), x Kn (x, t) = cho n ≥ K(x, ξ)Kn−1 (ξ, t)dξ, (2.15) a Chứng minh: Ta đặt x b |K(x, y)| dy A(x) = B(y) = a |K(x, y)|2 dx y Từ (2.12), A B hàm số khả tích, tồn số M cho b b A(x)dx ≤ M B(y)dy ≤ M a a Ta giới thiệu hàm số λ ∈ [a, b] được xác định x λ(x) = A(t)dt a Rõ ràng ≤ λ(x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b] Xét toán tử b (T f )(x) = α K(x, y)f (y)dy + ϕ(x) a Ta biểu diễn T n toán tử co với n ∈ N sau sử dụng Định lí 1.8 để kết luận T có điểm bất động Điểm bất động phải nghiệm (2.13) Nếu ta viết T f = αW f + ϕ, Chương PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 26 x (W f )(x) = K(x, y)f (y)dy, a T n f = ϕ + αW ϕ + α2 W + + αn W n f Các toán tử W m viết dạng x m (W g) (x) = Km (x, y)g(y)dy, a nhân Kn xác định (2.13) Thật vậy, cho m = ta có z x K(z, y)g(y)dydz K(x, z) W g (x) = a a Tích phân xem tích phân kép miền tam giác {(y, z) : a ≤ y ≤ z, a ≤ z ≤ x} (Xem hình 2.1) Sau hoán đổi thứ tự phép lấy tích phân, ta x x W g (x) = K(x, z)K(z, y)dzg(y)dy a y Nếu ta kí hiệu x K2 (x, y) = K(x, z)K(z, y)dz, y lập luận tương tự, ta có x x W g (x) = K(x, z)K2 (z, y)dzg(y)dy, a y Và thế, nói Chương PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 27 Hình 2.1: Miền tam giác {(y, z) : a ≤ y ≤ z, a ≤ z ≤ x} Để ước lượng W m , ta xét Km Cho m = 2, áp dụng bất đẳng thức Schwarz cho x |K2 (x, y)| = K(x, z)K(z, y)dz y x ≤ x |K(x, z)| dz y |K1 (z, y)|2 dz ≤ A(x)B(y) y Tương tự x |K3 (x, y)| ≤ x |K(x, z)| dz y |K2 (z, y)|2 dz y x ≤ A(x)B(y) A(z)dz = A(x)B(y) (λ(x) − λ(y)) y Chương PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 28 Từ phép quy nạp, ta biểu diễn (λ(x) − λ(y))m−2 |Km (x, y)| ≤ A(x)B(y) , (m − 2)! cho m ≥ Vì m m x 2m |T f1 (x) − T f2 (x)| = |α| Km (x, y) (f1 (y) − f2 (y)) dy a x [λ(x) − λ(y)]m−2 dy |f1 (y) − f2 (y)|2 dy ≤ |α| A(x)B(y) (m − 2)! a a 2m m−2 x |α| A(x) (λ(x)) ≤ B(y)dy f1 − f2 (m − 2)! a m−2 2m |α| A(x) (λ(x)) M f1 − f2 ≤ (m − 2)! x 2m Lấy tích phân x [a, b], ta m m T f1 − T f2 |α|2m M m ≤ f1 − f2 , (m − 2)! cho m ≥ Vì vậy, từ tồn n ∈ N cho |α|2n M n < 1, (n − 2)! T n toán tử co Theo Định lí 1.8, phương trình (2.13) có nghiệm viết dạng lim T n f = ϕ + αW ϕ + α2 W ϕ + α3 W ϕ + · · · , n−→∞ Chương PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 29 tương đương ∞ x f (x) = ϕ(x) + α n Kn (x, t)ϕ(t)dt a n=1 Định lý 2.4 (Phương trình Volterra nhất) Phương trình Volterra x f (x) = α K(x, t)f (t)dt, x ∈ [0, 1] (2.16) có nghiệm tầm thường f = Chứng minh: Từ (2.16), ta có x |f (x)| ≤ |α| |K(x, t)||f (t)|dt ≤ |α|M p, (2.17) |f (t)|dt p= M số cho |K(x, t)| ≤ M, ∀x, t ∈ [0, 1] Hơn cách sử dụng (2.17) (2.16), ta x |K(x, t)||α|M pdt ≤ |α|2 M px |f (x)| ≤ |α| Bằng cách tiếp tục trình trên, ta có |f (x)| ≤ |α|n M n p |α|n M n p xn−1 ≤ −→ 0, (n − 1)! (n − 1)! Điều cho thấy f (x) = 0, ∀x ∈ [0, 1] n −→ ∞ Chương PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 2.4 30 Phương pháp nghiệm cho nhân tách Phương pháp dùng để kiểm tra tính giải phương tình tích phân Fredholm loại II với nhân tách Nhân K gọi tách có dạng n Mk (s)Nk (t), K(s, t) = (2.18) k=1 giả thiết hàm số Mk Nk thuộc L2 ([a, b]) Các nhân gọi suy biến Chúng bao gồm tất đa thức hàm số siêu việt, chẳng hạn cos(s + t) = cos s cos t − sin s sin t Đối với nhân tách được, phương trình Fredholm loại II đưa dạng n f (x) = ϕ(x) + α b Mk (x) Nk (t)f (t)dt (2.19) a k=1 n f (x) = ϕ(x) + α ck Mk (x), (2.20) k = 1, , n (2.21) k=1 b ck = Nk (t)f (t)dt, a Các số ck phụ thuộc vào nghiệm f chưa biết chúng chưa biết Mặt khác, ta biết nghiệm phương trình (2.19) có dạng (2.20), vấn đề đến việc xác định số c1 , , cn Điều thực theo cách sau Đầu tiên, ta nhân phương trình (2.20) Nm (x) lấy tích phân đối Chương PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 31 với x để loại bỏ phụ thuộc x Kết là, từ (2.21) có dạng sau n amk ck + bm , cm = α (2.22) k=1 b amk = b Nm (x)Mk (x)dx bm = a Nm (x)ϕ(x)dx a Phương trình (2.22) viết dạng ma trận (I − αA)c = b c = (I − αA)−1 b, A = (amk ), b = (b1 , , bn ), c = (c1 , , cn ) Phương trình tương đương với hệ phương trình đại số tuyến tính đồng thời có dạng (1 − αa11 )c1 − αa12 c2 −αa13 c3 − · · · −αa21 c1 + (1 − αa22 )c2 −αa23 c3 − · · · −αan1 c1 − αan2 c2 −αan3 c3 − · · · −αa1n cn = b1 , −αa2n cn = b2 , (1 − αann )cn = bn Hệ phương trình có nghiệm det(I − αA) = Nếu phương trình ban đầu nhất, nghĩa là, ϕ(x) = b = Khi hệ phương trình (I − αA)c = (2.23) Chương PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 32 có nghiệm không tầm thường det(I − αA) = Ta sử dụng nghiệm phương trình để tìm nghiệm (2.19) Chú ý trường hợp ta có vô số nghiệm Ví dụ 2.3 Ta sử dụng phương pháp để giải phương trình tích phân (1 − 3xt)f (t)dt f (x) = α (2.24) Ta có K(x, t) = − 3xt = Mk (x)Nk (t), k=1 M1 (x) = 1, M2 (x) = −3x, N1 = 1, N2 (t) = t Từ amk = Nm (x)Mk (x)dx, ta có a11 = 1, a12 = − , a21 = , a22 = −1 Nghiệm (2.24) có dạng f (x) = α ck Mk (x), k=1 ck = Nk (t)f (t)dt, k = 1, Chương PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 33 Hệ phương trình đại số tương ứng (1 − α)c1 + α c2 = 0, − α c1 + (1 + α)c2 = Các nghiệm phương trình 2α 1−α − 12 α + α =0 α = α = −2 Thay chúng vào hệ đại số, ta c1 = 3c2 cho α = 2, c1 = c2 cho α = −2 Hơn hàm riêng f1 (x) = (c1 M1 (x) + c2 M2 (x)) = 2(c1 − 3c2 x) = a(1 − x) cho α = 2; f2 (x) = −2 (c1 M1 (x) + c2 M2 (x)) = −2(c1 − 3c2 x) = b(1 − 3x) cho α = −2 Vì thế, phương trình (2.24) có nghiệm không tầm thường α = α = −2 nghiệm f (x) = a(1 − x) f (x) = b(1 − 3x), tương ứng; a b vô hướng tùy ý Ví dụ 2.4 Bây ta xét phương trình không (1 − 3xt)f (t)dt f (x) = ϕ(x) + α (2.25) Chương PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 34 Nếu 1−α 2α − 21 α 1+α = 0, phương trình có nghiệm dạng ck Mk (x), f (x) = ϕ(x) + α k=1 c1 c2 nghiệm hệ tuyến tính (1 − α)c1 + α c2 = b1 = −α c1 + (1 + α)c2 = b2 = 1 N1 (x)ϕ(x)dx = ϕ(x)dx, 1 N2 (x)ϕ(x)dx = xϕ(x)dx Mặt khác, α = phương trình có nghiệm ϕ(x)(1 − x)dx = 0, trường hợp nghiệm cho f (x) = ϕ(x) − ϕ(ξ)dξ + a(1 − x) Cuối cùng, α = −2 phương trình có nghiệm ϕ(x)(1 − 3x)dx = 0, trường hợp nghiệm f (x) = ϕ(x) − ξϕ(ξ)dξ + b(1 − 3x) Chương PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 2.5 35 Phương trình tích phân Volterra loại I phương trình tích phân Abel Trong phần này, ta xét số trường hợp đặc biệt giải mà không gặp nhiều khó khăn Ta xét phương trình x K(x, t)f (t)dt = ϕ(x), x ∈ [0, 1], (2.26) giả thiết K ϕ khả vi Ta lấy tích phân (2.26) x để x K(x, x)f (x) + ∂ K(x, t)f (t)dt = ϕ (x) ∂x Nếu K(x, x) = 0, phương trình chuyển đổi thành phương trình tích phân Volterra loại II: x ∂ K(x, t) ∂x f (x) + K(x, x) f (t)dt = ϕ (x) K(x, x) (2.27) Nếu nhân hàm số vế phải (2.27) bình phương khả tích, (2.27) có nghiệm L2 ([0, 1]) lý thuyết chung phương trình tích phân Ví dụ 2.5 (Phương trình Abel) Một phương trình dạng x f (t) dt = ϕ(x), (x − t)α (2.28) ≤ α < 1, ϕ liên tục ϕ(0) = 0, gọi phương trình Abel Ta ký hiệu nhân (2.28) Kα Nếu ta áp dụng toán tử tích phân Chương PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 36 Volterra với nhân Kβ , (0 ≤ β < 1) hai vế (2.28) ta x x t dz f (t)dt = (x − z)β (z − t)α x ϕ(t) dt (x − t)β (2.29) Tiếp theo ta đặt z = t + (x − t)v dấu ngoặc vuông vế trái (2.28) để x t dz = (x − t)1−α−β β α (x − z) (z − t) dv β α (1 − v) v Γ(1 − α)Γ(1 − β) = (x − t)1−α−β , Γ(2 − α − β) Γ biểu thị hàm số gamma Euler (Leanhard Euler (1707 − 1783)): ∞ Γ(p) = xp−1 e−x dx, p > 0 Kết là, phương trình tích phân (2.29) trở thành x f (t) Γ(2 − α − β) dt = (x − t)α+β−1 Γ(1 − α)Γ(1 − β) x ϕ(t) dt (x − t)β Đặc biệt, ta đặt α + β − = 0, có dạng đơn giản x Γ(1) f (t)dt = Γ(α)Γ(1 − α) x ϕ(t) sin πα dt = (x − t)1−α π Γ(1) = 1, Γ(α)Γ(1 − α) = x ϕ(t) dt, (x − t)1−α (2.30) π sin πα Nếu ta giả sử vế phải (2.30) khả vi, ta lấy vi phân Chương PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 37 hai vế để sin πα d f (x) = π dx x ϕ(t) dt (x − t)1−α Đây nghiệm mong muốn (2.28) Đặc biệt, α = phương trình Abel (2.28) có nghiệm d f (x) = π dx x ϕ(t) √ dt x−t (2.31) Kết luận chung Trong khóa luận em nghiên cứu số vấn đề sau đây: Phương trình tích phân Fredholm, phương pháp xấp xỉ liên tiếp, phương trình tích phân Volterra, phương pháp nghiệm cho nhân tách được, phương trình tích phân Volterra loại I phương trình tích phân Abel Do thời gian có hạn, lần đầu nghiên cứu khoa học, khả vốn kiến thức thân hạn chế nên luận văn em tránh khỏi thiết sót Em hi vọng nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn Hà Nội, ngày 20 tháng năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Hải 38 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Phụ Hy, Giáo trình giải tích hàm, Nhà xuất khoa học kỹ thuật Hà Nội, Hà Nội, 2005 [2] Hoàng Tụy, Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, Hà Nội, 2005 [3] Lokenath Debnath and Piotr Mikusinski, Hilbert Spaces with Applications, Elsevier Academic Press, 2005 39 ... Chương PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 2.1 Phương trình tích phân Fredholm Trong phần sau nghiên cứu tính giải phương trình tích phân Định lý 2.1 (Sự tồn nghiệm phương trình tích phân. .. minh nghiệm cách thay trực tiếp vào phương trình ban đầu Chương PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 2.3 24 Phương trình tích phân Volterra Phương trình Volterra x K(x, y)f (y)dy =... BẢN 1.1 Không gian định chuẩn 1.2 Toán tử tuyến tính không gian định chuẩn 1.3 Không gian Hilbert PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT