Phương trình tích phân trong không gian hilbert

KHOA TOÁN————oOo———— KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Giải tích Giảng viên hướng dẫn : TS... 7 1.2 Toán tử tuyến tính trong không gian đ

KHOA TOÁN

————oOo————

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG

GIAN HILBERT

Chuyên ngành: Giải tích

Giảng viên hướng dẫn : TS HOÀNG NGỌC TUẤN

Sinh viên thực hiện : NGUYỄN THỊ HẢI

HÀ NỘI, 04-2017

Lời cảm ơn 3

1.1 Không gian định chuẩn 7

1.2 Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn 8

1.3 Không gian Hilbert 9

2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 17 2.1 Phương trình tích phân Fredholm 17

2.2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 21

2.3 Phương trình tích phân Volterra 24

2.4 Phương pháp nghiệm cho một nhân tách được 30

2.5 Phương trình tích phân Volterra loại I và phương trình tích phân Abel 35

1

2

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng cảm

ơn tới các thầy cô khoa Toán, trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, các thầy

cô trong tổ bộ môn Giải Tích cũng như các thầy cô tham gia giảng dạy

đã tận tình truyền đạt những tri thức quý báu và tạo điều kiện thuận lợi

để em hoàn thành tốt nhiệm vụ khóa học và khóa luận

Đặc biệt, em xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Hoàng Ngọc Tuấn, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình giúp đỡ

để em có thể hoàn thành khóa luận này

Do thời gian, năng lực và điều kiện bản thân còn hạn chế nên bản khóaluận không thể tránh khỏi những sai sót Vì vậy, em rất mong nhận đượcnhững ý kiến góp ý quý báu của các thầy cô và các bạn

Hà Nội, tháng 4 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Hải

3

Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Hoàng Ngọc Tuấn, khóaluận tốt nghiệp chuyên ngành Toán Giải Tích với đề tài “Phương trình tíchphân trong không gian Hilbert” do em tự làm.

Ngoài ra, trong quá trình thực hiện khóa luận này em còn tham khảomột số tài liệu như đã trình bày trong phần tài liệu tham khảo

Hà Nội, tháng 4 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Hải

4

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là một môn khoa học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bàitoán có nguồn gốc thực tiễn Trong đó, giải tích là một lĩnh vực đóng vaitrò quan trọng và có ứng dụng trong thực tiễn, trong đó có phương trìnhtích phân

Để nắm vững hơn các kiến thức về phương trình tích phân và ứng dụngcủa nó nói riêng và toán học nói chung, em đã chọn đề tài khóa luận tốtnghiệp: “Phương trình tích phân trong không gian Hilbert”

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu về giảitích, đặc biệt là phương trình tích phân trong không gian Hilbert

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu ứng dụng của phương trình tích phân trong không gian Hilbert

5

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp và đánh giá

5 Cấu trúc đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận baogồm 2 chương:

• Chương 1: “Kiến thức chuẩn bị”

• Chương 2: “Phương trình tích phân”

Tác giả khóa luận chân thành cảm ơn TS Hoàng Ngọc Tuấn đã tậntình hướng dẫn tác giả đọc các tài liệu và tập dượt nghiên cứu

Tác giả chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là tổ Giải Tích, đã tạo điều kiện thuậnlợi cho tác giả trong quá trình học Đại học và thực hiện bản khóa luận này

Hà Nội, ngày 20/4/2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Hải

KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1 Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1 Một hàm x → kxk từ không gian vectơ E đến K đượcgọi là chuẩn nếu nó thỏa mãn 3 điều kiện sau:

Khi đó (L[a,b], k.k) là một không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.3 (Sự hội tụ trong không gian định chuẩn)

Giả sử E là không gian định chuẩn Dãy (xn) các phần tử của E được gọi

7

Định nghĩa 1.5 Không gian tuyến tính định chuẩn E được gọi là khônggian Banach nếu E cùng với metric sinh bởi chuẩn trên E là một khônggian metric đầy.

1.2 Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.6 Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường K.Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là tuyến tính nếu

A thỏa mãn các điều kiện:

1) ∀x, y ∈ X : A(x + y) = Ax + Ay;

2) ∀x ∈ X, ∀α ∈ K : A(αx) = αAx

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính

Định nghĩa 1.7 Cho X và Y là hai không gian định chuẩn Toán tửtuyến tính A từ không gian định chuẩn X vào không gian Y gọi là bị

chặn, nếu tồn tại hằng số c > 0 sao cho:

Định nghĩa 1.8 Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn

X vào không gian định chuẩn Y Hằng số c ≥ 0 nhỏ nhất thỏa mãn hệthức (1.2) gọi là chuẩn của toán tử A Kí hiệu kAk

Định lý 1.1 (Định lí ba mệnh đề tương đương) Cho A là toán tửtuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Khi

đó ba mệnh đề sau tương đương:

1.3 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.9 (Tích vô hướng) Giả sử X là không gian tuyến tínhtrên trường K Tích vô hướng trong X là ánh xạ

f : X × X → K(x, y) → hx, yi

thỏa mãn các tiên đề sau :

1) hαx, yi = αhx, yi, ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ K;

1) H là không gian tuyến tính trên trường K;

2) H được trang bị một tích vô hướng h·, ·i;

3) H là không gian Banach với chuẩn kxk = phx, xi, x ∈ H

Ví dụ 1.2 Không gianCk với tích vô hướng xác định bởihx, yi =

Định lý 1.3 Cho dãy (xn) ⊂ H sao cho hxn, xmi = 0, ∀n 6= m Khi đóchuỗi

Định lý 1.5 (Bất đẳng thức Bessel) Nếu (en)n≥1 là một hệ trực chuẩnnào đó trong không gian Hilbert H thì ∀x ∈ H ta đều có bất đẳng thức

X

n≥1

|hx, eni|2 ≤ kxk2 (1.3)Bất đẳng thức (1.3) gọi là bất đẳng thức Bessel

Định lý 1.6 (Riesz) Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong khônggian Hilbert H đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:

ở đó T là một toán tử trong không gian Hilbert và x là ẩn

Các nghiệm của phương trình (1.6) sẽ được gọi là các điểm bất độngcủa ánh xạ T Như vậy, các điểm bất động là các phần tử của không gian

mà nó là không đổi bởi tác động của T

Ánh xạ co là một ánh xạ T : E −→ E, ở đó E là một tập con củakhông gian định chuẩn, mà tồn tại một số dương α < 1 sao cho

(b) Nghiệm x duy nhất có thể được thu được như là giới hạn của dãy (xn)các phần tử của S định nghĩa bởi xn = T xn−1, n = 1, 2, , ở đó x0 là mộtphần tử tùy ý của S :

x = lim

Định lý 1.7 có thể được dùng để chứng minh sự tồn tại và tìm nghiệmcủa các phương trình đại số, phương trình vi phân và phương trình tíchphân

Định lý 1.8 Cho E là một không gian Banach, và cho T : E −→ E Nếu

Tm là một ánh xạ co với mỗi m ∈ N thì T có một điểm bất động duy nhất

x0 ∈ E, x0 = lim

n−→∞Tnx với x ∈ E bất kỳ

Định lý 1.9 Nếu A là một toán tử tuyến tính bị chặn trong một khônggian Banach E và ϕ là một phần tử tùy ý của E, thì toán tử được xác địnhbởi:

có một điểm bất động duy nhất với bất kì |α| đủ nhỏ Chính xác hơn, nếu

k là một hằng số dương sao cho

kAf k ≤ kkf k, ∀f ∈ E,

thì T f = f luôn có một nghiệm duy nhất khi |α|k < 1

Hệ quả 1.1 Cho A là một toán tử tuyến tính bị chặn trong một khônggian Banach Khi đó phương trình

x = x0 + αAx

luôn có một nghiệm duy nhất cho bởi

y = ϕ(x0) của bài toán (1.10)-(1.11) được xác định trong mỗi lân cận của

x0

Chứng minh: Ta thấy rằng mọi nghiệm của phương trình vi phân

M = sup {|f (x, y)| : (x, y) ∈ R} ,

và chọn ε > 0 sao cho kε < 1 và [x0 − ε, x0 + ε] ⊂ [a, b] Nếu

S = {ϕ(x) ∈ C ([x0 − ε, x0 + ε]) : |ϕ(x) − y0| ≤ M ε, ∀x ∈ [x0 − ε, x0 + ε]}thì S là một tập con đóng của không gian Banach C([x0 − ε, x0 + ε]) với

Z x

x 0

f (t, ϕ(t)) dt

Z x

x 0

(f (t, ϕ1(t)) − f (t, ϕ2(t))) dt

≤ kεkϕ1−ϕ2k

Vậy khi kε < 1, T là một ánh xạ co Vì thế, theo Định lí 1.7 có duy nhấtmột nghiệm của phương trình T ϕ = ϕ, đó là, y = ϕ là một nghiệm duy

Định lý 1.11 (Thay phiên Fredholm cho toán tử compact tự liênhợp) Cho A là một toán tử compact tự liên hợp trong một không gianHilbert H Khi đó phương trình toán tử không thuần nhất

phải là giá trị riêng của A và do đó (1.18) là đúng Vì thế, nếu (1.15) cónghiệm, nó có dạng

∞

X

n=1

2

≤ |α|2m

Z x a

A(x)B(y)[λ(x) − λ(y)]

m−2

(m − 2)! dy

Z x a

|f1(y) − f2(y)|2dy

≤ |α|

2m

A(x) (λ(x))m−2(m − 2)!

Z x a

B(y)dy kf1 − f2k2

≤ |α|

2mA(x) (λ(x))m−2M(m − 2)! kf1 − f2k2.Lấy tích phân đối với x trong [a, b], ta được

kTmf1 − Tmf2k2 ≤ |α|

2mMm(m − 2)!kf1 − f2k2, cho m ≥ 2

Vì vậy, từ đó tồn tại n ∈ N sao cho

|α|2nMn(n − 2)! < 1,

Tn là một toán tử co Theo Định lí 1.8,phương trình(2.13) có một nghiệmduy nhất nó có thể được viết dưới dạng

lim

n−→∞Tnf = ϕ + αW ϕ + α2W2ϕ + α3W3ϕ + · · · ,

hoặc tương đương

|K(x, t)||f (t)|dt ≤ |α|M p, (2.17)

ở đó

p =

Z 1 0

2.4 Phương pháp nghiệm cho một nhân tách được

Phương pháp này dùng để kiểm tra tính giải được của phương tình tíchphân Fredholm loại II với nhân tách được Nhân K được gọi là tách đượcnếu nó có dạng

cos(s + t) = cos s cos t − sin s sin t

Đối với nhân tách được, phương trình Fredholm loại II có thể được đưa

Nk(t)f (t)dt, k = 1, , n (2.21)Các hằng số ck phụ thuộc vào các nghiệm f chưa biết và vì thế chúng

là chưa biết Mặt khác, ta biết rằng nghiệm của phương trình (2.19) là

có dạng (2.20), và như vậy vấn đề là đi đến việc xác định các hằng số

c1, , cn Điều này có thể thực hiện theo cách sau

Đầu tiên, ta nhân phương trình (2.20) bởi Nm(x) và lấy tích phân đối

với x để loại bỏ sự phụ thuộc x Kết quả là, từ (2.21) nó có dạng sau

Nm(x)Mk(x)dx và bm =

Z b a

(1 − αa11)c1 − αa12c2 −αa13c3 − · · · −αa1ncn = b1,

−αa21c1 + (1 − αa22)c2 −αa23c3 − · · · −αa2ncn = b2,

−αan1c1 − αan2c2 −αan3c3 − · · · (1 − αann)cn = bn

Hệ phương trình này có một nghiệm duy nhất nếu det(I − αA) 6= 0.Nếu phương trình ban đầu là thuần nhất, nghĩa là, nếu ϕ(x) = 0 thì

b = 0 Khi đó hệ phương trình thuần nhất

có một nghiệm không tầm thường nếu và chỉ nếu

Nk(t)f (t)dt, k = 1, 2

Hệ phương trình đại số tương ứng là

1 − α 32α

−12α 1 + α

Ví dụ 2.4 Bây giờ ta xét một phương trình không thuần nhất

f (x) = ϕ(x) + α

Z 1 0

(1 − 3xt)f (t)dt (2.25)

... data-page="18">

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN

TRONG KHƠNG GIAN HILBERT< /h2>

2.1 Phương trình tích phân Fredholm

Trong phần sau nghiên cứu tính giải cácphương trình tích phân. .. Neumann phương trình tíchphân

2.3 Phương trình tích phân Volterra

Phương trình. .. theo, ta áp dụng Hệ 1.1 để có kết sau liên quanđến tính giải (2.5) phương trình tích phân( 2.6)

Nếu |α|kT k < 1, phương trình (2.5) có nghiệm chobởi chuỗi Neumann

f (x) = ϕ(x) +