Về dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình vi phân trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - ĐỖ THỊ HƯỜNG VỀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHƠNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - ĐỖ THỊ HƯỜNG VỀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHƠNG GIAN HILBERT Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS ĐẶNG ĐÌNH CHÂU Hà Nội - 2014 Mục lục Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân khơng gian Banach 1.1 Toán tử Volterra ứng dụng cho PTVP tuyến tính khơng gian Banach 1.1.1 1.1.2 1.2 Phương trình tiến hóa tính chất nghiệm phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân khơng gian Hilbert 2.1 Phương trình vi phân không gian Hilbert 2.1.1 2.1.2 2.2 Tính ổn định nghiệm phương trình vi phân với dạng tam giác tôpô yếu 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.3 Phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân không gian Hilbert 2.3.1 2.3.2 Sử dụng định lí Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định nghiệm lớp PTVP khơng gian Hilbert 40 2.4 Một số ví dụ áp dụng 45 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 Mở Đầu Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiêm phương trình vi phân (PTVP) khơng gian Hilbert có ý nghĩa quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân toán ứng dụng (xem [3]) Trong thời gian gần đây, lý thuyết PTVP khơng gian Banach nói chung PTVP khơng gian Hilbert phát triển mạnh mẽ đáp ứng nhiều địi hỏi đặt mơ hình ứng dụng Đặc biệt tốn mơ tả tốn học tượng chuyển động vật thể, trình sinh trưởng phát triển loài sinh vật (xem[6]) Trong luận văn này, tơi trình bày lại cách hệ thống số kết liên quan tới tồn nghiệm phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu tính chất nghiệm chúng Phương pháp nghiên cứu tơi sử dụng tính chất toán tử Volterra kết hợp với việc sử dụng chuẩn Bielecki không gian Hilbert để nghiên cứu tồn tai nghiệm PTVP dạng phương trình tốn tử khơng gian hàm Để nghiên cứu tính chất nghiệm PTVP khơng gian Hilbert, sử dụng phương pháp xấp xỉ thứ Lyapunov cho PTVP dạng tam giác không gian Hilbert Trong phần cuối luận văn, tơi trình bày lại phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định PTVP phi tuyến số ví dụ ứng dụng Nội dung luận văn gồm chương: chương trình bày dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân khơng gian Banach, chương hai trình bày dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân khơng gian Hilbert số ví dụ áp dụng Bản luận văn thực hướng dẫn PGS TS Đặng Đình Châu Nhân dịp này, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy, người dành nhiều công sức thời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ việc hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến ban lãnh đạo thầy khoa Tốn - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội kiến thức điều tốt đẹp mang lại cho thời gian học tập trường Đồng thời, tơi xin cảm ơn tới phịng Sau Đại học tạo điều kiện thuận lợi việc hoàn thành thủ tục học tập bảo vệ luận văn Tôi muốn gửi lời cám ơn tới thầy bạn seminar Phương trình vi phân động viên ý kiến trao đổi q báu thân tơi thời gian qua Cuối cùng, tơi muốn tỏ lịng biết ơn gia đình, người thân chỗ dựa vững tinh thần vật chất cho sống học tập để tơi hồn thành xong luận văn Mặc dù, có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận góp ý q thầy, bạn Hà Nội, tháng 11 năm 2014 Đỗ Thị Hường Chương Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân khơng gian Banach 1.1 Tốn tử Volterra ứng dụng cho PTVP tuyến tính không gian Banach Giả sử (X, ||.||) không gian Banach Xét PTVP không gian Banach x(t0) = x0 t ∈ [a; b], x : [a, b] → X hàm (trừu tượng) phải tìm, hàm f : [a, b] ×X → X liên tục thỏa mãn điều kiện Lipchitz tức tồn L : [a, b] → R+ khả tích địa phương cho với x, y ∈ X ta có ||f (t, x) − f (t, y)|| ≤ L(t)||x − y|| Để chứng minh định lí tồn nghiệm (1.1) sau trình bày khái niệm toán tử Volterra chuẩn Bielecki Định nghĩa 1.1 Tốn tử Volterra Tốn tử tích phân Volterra toán tử V : C([a, b], X) → C([a, b], X) xác định t V (x)(t) = f (t, s, x(s))ds a Trong x ∈ C([a, b], X) hàm trừu tượng cần tìm, V(x) tốn tử tích phân Volterra Kí hiệu C([a, b], X) tập hợp tất hàm liên tục từ [a; b] vào X Kí hiệu chuẩn Bielecki ||x(t)||B,p = Ta dễ dàng thấy x = x(t), t ∈ [a; b] nghiệm (1.1) t Kí hiệu V [x(t)] = x0 + f (τ, x(τ ))dτ t0 Khi , ta có tốn tử Volterra V : C([a, b], X) → C([a, b], X) Bổ đề 1.1 Trong không gian C([a, b], X) C([a, b], X) thỏa mãn điều kiện sau t ∈ [a; b], p > Chứng minh Ta có ||V [x(t)] − V [y(t)]|| = ||x0 + t = || [f (τ, x(τ )) − f (τ, y(τ ))]dτ || t0 Sử dụng điều kiện Lipchitz (1.2) ta có t ||V [x(t)] − V [y(t)]|| ≤ L(τ )||x(τ ) − y(τ )||dτ t0 Do −p at L(s)ds −p a t L(s)ds ≤ sup −p at L(s)ds ≤ sup −p a t L(s)ds ||V (x) − V (y)||B,p = sup a≤t≤b = sup a≤t≤b e e a≤t≤b e a≤t≤b = sup a≤t≤b ≤ ||x − e t e−p a y|| L(s)ds −p sup e B,p a≤t≤b a ≤ ||x − y|| B,p p Giả sử G miền mở X f : [a, b] × G → X, (t0, x0) ∈ G0 hàm liên tục thỏa mãn điều kiện Lipchitz (1.2) Xét hình hộp Q = {(t, x)/t0 − α ≤ t ≤ t0 + α, ||x − x0|| ≤ β}, α, β đủ nhỏ để [t0 − α; t0 + α] ⊂ [a; b], G0 ⊂ G Xét tương ứng V : C([t0 − α; t0 + α], G0) → C([t0 − α; t0 + α], G0) t Đặt V [x(t)] = f (τ, x(τ ))dτ t0 Bổ đề 1.2 a) Tương ứng V ánh xạ từ ([t0 − α; t0 + α], G0) vào ([t0 − α; t0 + α], G0) b) ||V [x(t)] − V [y(t)]|| ≤ p||x(t) − y(t)|| Chứng minh Sử dụng điều kiện Lipchitz (1.2) ta có Chọn α = Do ||V (x) − V (y)||B,p = sup a≤t≤b = sup a≤t≤b ≤ sup a≤t≤b ≤ sup −p at L(s)ds −p at L(s)ds −p a t L(s)ds −p a t L(s)ds e e e a≤t≤b e = sup t a≤t≤b e−p ≤ ||x − y||B,p a L(s)ds sup e a≤t≤b a ≤ ||x − y|| B,p p Nguyên lí ánh xạ co: Giả sử A : X → X A : S → S S = {x/||x − x0|| ≤ β} thỏa mãn ||Ax − Ay|| ≤ L||x − y|| J - ổn định tiệm cận Thật vậy: Ta thấy V(t, x) đạt giới hạn vô bé x → 45 ˙ Rõ ràng V (t, x) hàm xác định âm Vậy nghiệm tầm thường x ≡ hệ J - ổn định tiệm cận Ví dụ 2.3 Xét H = l2 hệ Xét hàm V (t, x) = thường J - ổn định tiệm cận khơng ổn định theo Lyapunov Thật vậy: Với ε = π e Mặt khác, nπ , 0, x0n)|| = e ||x( Như vậy, nghiệm tầm thường không ổn định theo Lyapunov Ví dụ 2.4 Mơ hình Lotka-Volterra có chậm Mơ hình cạnh tranh Lotka - Volterra Dạng khái qt mơ hình thú - mồi thường mơ tả hệ phương trình sau x˙t = f (xt) − l(xt, yt), y˙t = g(yt) + el(xt, yt) 46 , chọn với t ≥ 0, với điều kiện ban đầu x(t) = ϕ1(t) y(t) = ϕ2(t) với t ∈ [−h, 0] đây, dấu (+) (−) trước hàm l(x, y) biểu thị kết tương tác hai loài thú mồi (đối với loài thú ta lấy dấu (+) loài xy mồi ta lấy dấu (−)), ta thường chọn l(x, y) = α K • Với h > 0, ta ký hiệu C = C([−h, 0], R ) không gian Banach hàm liên tục [−h, 0] nhận giá trị R Với ϕ ∈ C chuẩn ϕ định nghĩa là: ||ϕ|| = sup |ϕ(θ)| −h≤θ≤0 n • Giả sử t0 ∈ R, A > u ∈ C ([t0 − h, t0 + A] , R ) ta xác định hàm: ut ∈ C, ut(θ) = u(t + θ), −h ≤ θ ≤ Trong u =< x, y > Giả sử f, g : R → R liên tục thỏa mãn điều kiện Lipchitz, l : R2 → R2 liên tục thỏa mãn điều kiện Lipchitz Định nghĩa 2.12 Hàm ut gọi nghiệm phương trình vi phân n (2.36) [t0 − h, t0 + A] xt ∈ C([−h, A], R ), (t, x(t)) ∈ Ω ut thỏa mãn phương trình (2.36) với t ∈ [t0, t0 + A] Định nghĩa 2.13 Cho t0 ∈ R, ϕ ∈ C, hàm u(t0, ϕ) gọi nghiệm phương trình vi phân (2.36) với giá trị ban đầu ϕ t = t0, tồn số A > cho u(t0, ϕ) nghiệm (2.36) [t0 − h, t0 + A] ut0 (t0, ϕ) = ϕ Bổ đề 2.9 Giả sử f hàm liên tục nghiệm x(t) phương trình (2.36) qua (t0, ϕ), ϕ ∈ C tương đương với phương trình tích phân x(t) = y(t) = [g(y với t ≥ 0, với điều kiện ban đầu x(t) = ϕ1(t) y(t) = ϕ2(t) với t ∈ [−h, 0] 47 Bằng phương pháp tương tự phần 1.1.2 , chứng minh hệ phương trình vi phân hàm có nghiệm nhờ ngun lí điểm bất động với chuẩn Bielecki Trong phần tiếp theo, nghiên cứu tính ổn định tiệm cận phương trình dạng Lotka-Volterra có chậm Xét mơ hình cạnh tranh Lotka-Volterra có chậm cho hệ sau: x˙(t) = x(t) [b1 − a11x(t − τ11) − a12y(t − τ12)] (2.38) y˙(t) = y(t) [b2 − a21x(t − τ21) − a22y(t − τ22)] với điều kiện ban đầu y(t) = Φ (0) + Φ x(t) = Φ (0) + Φ (t) ≥ (2.39) τ = max {τij } x(t), y(t) mật độ hai lồi thời điểm t, bi aij số dương, τij không âm Nếu tất thời gian chậm τij khơng hệ (2.38) trở trường hợp đơn giản x˙(t) = x(t) [b1 − a11x(t) − a12y(t)] y˙(t) = y(t) [b2 − a21x(t) − a22y(t)] tất nghiệm Z(t) = (x(t), y(t)) ∗ ∗ (x , y ) t → +∞, ∗ (2.40) có điểm cân Z = ∗ x = Tính ổn định tiệm cận địa phương Ta thấy từ điều kiện (2.41), hệ (2.38) có ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ điểm cân Z = (x , y ), với x , y xác định (2.42) Đặt ∗ u(t) = x(t) − x , v(t) = y(t) − y ∗ Khi (u(t), v(t)) thỏa mãn hệ phương trình ∗ u˙(t) = (u(t) + x ) [−a11u(t − τ11) − a12v(t − τ12)] ∗ v˙(t) = (v(t) + y ) [−a u(t − τ ) − a v(t − τ )] 48 Ta thấy (2.43) biến thiên (2.38) với điểm cân Z phương trình tuyến tính ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = (x , y ) u˙(t) = −a11x u(t − τ11) − a12x v(t − τ12) hệ v˙(t) = −a21y u(t − τ21) − a22y v(t − τ22) (2.44) Đặt p p 11 21 q1 = a11a21(τ11 + τ21) + q2 = a12a22(τ12 + τ22) + α= Định lý 2.12 Với giả thiết (2.41) Nếu biến chậm τij thỏa mãn điểm cân Z ∗ ∗ = (x , ∗ y ) hệ (2.43) ổn định tiệm cận địa phương Chứng minh Hệ phương trình (2.44) viết dạng sau Đặt ′ −a u(t) x A(t) = t 11 t−τ11 −a t 21 t−τ21 B(t) = v(t) y Chúng ta chứng minh định lý việc sử dụng phiếm hàm Lyapunov: W (t) = α W1(t) = W11(Z)(t) + W12(Z)(t) W2(t) = W21(Z)(t) + W22(Z)(t) W3(t) = W31(Z)(t) + W32(Z)(t) 49 với Wij (Z)(t) xác định phần đây: Đầu tiên ta xét hàm vô hướng W11(Z)(t), Z(t) = (u(t), v(t)) Đạo hàm dọc theo nghiệm (2.46): dW11(Z)(t)/dt cho dW11(Z)(t) dt Sử dụng bất đẳng thức ab ≤ 2a11 u(t) Làm tương tự vậy, ta thu dW11(Z)(t) dt +a11(a11 + a12) Tiếp theo ta đặt W (Z)(t) = (a 12 t−τ12 Như định nghĩa W1(t) = W11(Z)(t) + W12(Z)(t) Do đó, từ (2.48) (2.53) ta có Tiếp theo, đặt Làm tương tự ta có: dW21(Z)(t) dt 50 +a21(a21 + a22) W22(Z)(t) = (a22 + a21) Và dW2(t) (2.55) dt Và cuối ta lấy (2.56) W31(Z)(t) = −A(t)B(t), Khi dW31 dt − (a11u + a12v) a21 − (a21u + a22v) a 11 ≤ a 21 a 12 x ∗u + y ∗ v + (a11u + a12 + v )(a τ + + (a + a ) a 11 12 21 (a u 2 + (a21 + a22) a11 với W32(Z)(t) = Từ W3(t) = W31(Z)(t) + W32(Z)(t), tương tự phần trước ta suy dW3(t) dt 51 Từ biểu thức W1(t), W2(t), W3(t) W (t), ta có: 2 W (t) = αA (t)+βB (t)−γA(t)B(t)+αW12(Z)(t)+βW22(Z)(t)+γW32(Z)(t) (2.58) Dễ thấy γ −4αβ = ∗ − 4Δ (a12a21 + a11a22)[(a 22 + a 21)y ∗ ∗ 2 ∗ 2 + (a 11 + a 12)x ] + 2(a 22 + a 21)(a 11 + ∗ ∗2 a 12)x y (a11x + a22y ) (a11a22 + a12a21) < Do đó, ta có 2 αA (t) + βB (t) − γA(t)B(t) > Khi đó, ta có W (t) > Từ (2.51), kết hợp với (2.53), (2.57) (2.58) ta có: dW (t) dt η1 = r1 − αp11 − βp21 − γq1 η2 = r2 − αp12 − βp22 − γq2 Từ bất đẳng thức (2.44) ta thấy η1 > 0, η2 > Đặt η = {η1, η2}, từ (2.44) ta suy t 2 W (t) + η [u (s) + v (s)]ds ≤ W (T ) với t ≥ T T 2 u (t) + v (t) ∈ L1[T, ∞) Dễ thấy từ (2.43) tính bị chặn Z(t), ta suy 2 lim u (t) + v (t) = t→∞ nghiệm tầm thường hệ (2.43) ổn định tiệm cận địa phương Ví dụ 2.5 Xét phương trình dt = A(t)x + f (t, x ), t ≥ dx t x(t) = ϕ(t), −h ≤ t ≤ ∗ + + A(t) ∈ L(H) thỏa mãn điều kiện A(t) = −A (t), ∀t ∈ R f : R ×H → H liên tục mạnh thỏa mãn điều kiện Lipchitz ||f (t, x) − f (t, y)|| ≤ α(t)||x − y|| 52 Mệnh đề 2.2 Nghiệm tầm thường x(t) ≡ phương trình (2.61) ổn định Chứng minh Kí hiệu (U(t, s))t≥s họ tốn tử tiến hóa sinh A(t) xác định t U(t, s)x = x + A(τ )U(τ, s)xdτ s Khi đó, áp dụng bổ đề Gronwall - Belman ta có sup ||U(t, s)|| ≤ M t≥s≥0 Mặt khác, nghiệm phương trình (2.61) xác định x(t) = U(t, 0)ϕ(0) + x(t) = ϕ(t), −h ≤ t ≤ + Chú ý rằng, kí hiệu C = C(R , H) x(t) ∈ C, áp dụng ngun lí ánh xạ co với chuẩn Bielecki không gian B = C([0, T ], C) tồn nghiệm phương trình vi phân có chậm (2.61) Bây giờ, ta nghiệm tầm thường x(t) ≡ phương trình (2.61) ổn định Thật vậy: Ta có ||x(t)||C ≤ ||U(t, 0)||.||ϕ(0)|| + ||U(t, τ )||.||f (τ, xτ )||dτ t ≤ M.||ϕ(0)|| + M t ≤ M.||ϕ(0)|| + M Áp dụng bổ đề Gronwall - Belman, ta có ||x(t)||C ≤ M||ϕ(0)||.e Như vậy: ||x(t)|| ≤ M||ϕ(0)||.e M 53 KẾT LUẬN Luận văn trình bày cách chi tiết dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân khơng gian Hilbert Nội dung luận văn bao gồm: Trình bày dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân khơng gian Banach Trình bày dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân khơng gian Hilbert Đóng góp luận văn nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình vi phân không gian vô hạn chiều thông qua việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình vi phân không gian hữu hạn chiều phương pháp rút gọn hệ phương trình dạng tam giác Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thế Hoàn - Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục (2000) [2] G Belickii , Equivalence and normal forms of smooth mappings, Russian Math Surveys 33 (1978), 107 - 177 [3] C Chicone and Yu Latushkin , Evolution Semigroups in Dynamics Sys- tems and Differential Equations, Mathematical Monographs 70 Surveys, Amer Math Soc., 1999 Surveys and [4] E.Coddington and N Levinson, Theory of Ordinary Differential Equa- tions, McGraw - Hill, 1955 [5] Ju Dalecki and M Krein , Stability of Solutions of Differential Equation on Banach Space, Translation of Mathematical Monographs 43, Amer Math Soc., 1974 [6] Luis Barreira - Claudia Valls , Stability of Nonautonomous differential Equation , Springer - Verlag Berlin Heidelgerg 2008 [7] A Lyapunov, The General Problem of the Stability of Motion , Taylor and Francis, 1922 [8] J Massera and J.Schaffer, Linear Differential Equations and Function Spaces , Pure and Applied Mathematics 21, Academic Press, 1966 Tài liệu tham khảo [9] G Sell and Y You, Dynamics of Evolutionary Equations , Applied Mathematical Sciences 143, Springer, 2002 ... chương: chương trình bày dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân khơng gian Banach, chương hai trình bày dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân khơng gian Hilbert số ví dụ áp dụng... định lí 1.3 22 Chương Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân khơng gian Hilbert 2.1 2.1.1 Phương trình vi phân không gian Hilbert Sự tồn nghiệm ∞ Cho H không gian Hilbert tách với sở trực... chất nghiệm phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân khơng gian Hilbert 2.1 Phương trình vi phân không