Dáng điệu nghiệm của các phương trình vi phân hàm bị nhiễu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN BÙI TRỌNG QUY DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BỊ NHIỄU LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 HÀ NỘI - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN BÙI TRỌNG QUY DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BỊ NHIỄU LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 Giảng viên hướng dẫn: PGS.TS Đặng Đình Châu HÀ NỘI - 2015 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn trực tiếp bảo tận tình thầy PGS.TS Đặng Đình Châu Trước tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy, người tận tình bảo, giúp đỡ tạo điều kiện nhiều mặt để hoàn thành luận văn Nhân dịp này, xin bày tỏ lòng biết ơn tới toàn thể thầy giáo, cô giáo công tác khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội, người giảng dạy cung cấp kiến thức khoa học quý báu suốt năm học vừa qua để có tảng kiến thức thực luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình bạn bè bên cạnh, động viên, nhiệt tình giúp đỡ chia sẻ khó khăn quãng thời gian làm luận văn suốt năm học tập trường Hà Nội, ngày 16 tháng 11 năm 2015 Học viên Bùi Trọng Quy Lời nói đầu Phương trình vi phân hàm lần A.D Mushkic (nhà toán học Nga) nghiên cứu từ năm 1950, phát triển cách hoàn thiện Phương trình vi phân hàm xem phương trình vi phân không gian Banach với không gian pha không gian hàm liên tục miền J trục thực R Các kết lý thuyết định tính phương trình vi phân hàm có nhiều ứng dụng thực tiễn (xem tài liệu [3], [7], [9],[12]) Nội dung luận văn chủ yếu tập trung nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình vi phân có chậm Phương pháp sử dụng chủ yếu phương pháp thông dụng lý thuyết định tính phương trình vi phân tuyến tính Trong phần cuối có áp dụng thêm phương pháp nửa nhóm phương pháp họ toán tử tiến hóa không gian Banach Bố cục luận văn bao gồm chương: • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị • Chương 2: Phương trình vi phân tuyến tính có chậm • Chương 3: Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân hàm bị nhiễu Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi hạn chế thiếu sót Chúng mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 16 tháng 11 năm 2015 Học viên: Bùi Trọng Quy Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm nửa nhóm liên tục mạnh không gian Banach toán tử sinh 1.2 Ứng dụng phương pháp toán tử Laplace phương trình vi phân có chậm Khái niệm họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh không gian Banach 10 1.4 Tính chất nghiệm phương trình vi phân so sánh tích phân không gian Banach 13 1.4.1 Tính ổn định phải tính ổn định trái theo Lyapunov 13 1.4.2 Các phương trình so sánh tích phân 15 1.4.3 Sự tương đương tiệm cận phương trình so sánh tích Phương trình vi phân tuyến tính có chậm 2.1 1.3 phân 15 17 Khái niệm phương trình vi phân hàm phương pháp tìm nghiệm 17 2.1.1 Sự tồn nghiệm 17 2.1.2 Phương pháp giải phương trình vi phân hàm 19 2.2 Phương trình vi phân tuyến tính có chậm 21 2.3 Phương pháp nửa nhóm cho phương trình vi phân có chậm 24 Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân hàm bị nhiễu 26 MỤC LỤC 3.1 Họ toán tử tiến hóa phi tuyến U (t, s) tồn nghiệm phương trình tích phân Volterra có chậm 26 3.2 Các tính chất họ toán tử tiến hóa U (t, s) 28 3.3 Sự tương đương tiệm cận phương trình vi phân hàm bị nhiễu 31 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 42 Tài liệu tham khảo 43 Danh mục kí hiệu chữ viết tắt X - Không gian Banach L( X ) - Không gian Banach tất toán tử tuyến tính bị chặn X C (ω ) - Không gian hàm liên tục ω C ( X, Y ) - Không gian hàm liên tục từ X đến Y D ( A) - Miền xác định A C k ( J ) - Không gian hàm khả vi liên tục cấp k J ( T (t))t≥0 - Nửa nhóm tham số toán tử tuyến tính R(λ, A) - Giải A ρ( A) - Tập giải A U (t, s) - Họ hai tham số toán tử tuyến tính Mn(R) - Không gian ma trận (thực) vuông cấp n: A = ( aij )n.n l2 - Không gian dãy số (ξ n ) xác định bởi: l2 = { ξ ∈ l2 , ξ = (ξ n )∞ n =1 ∞ : ∑ | ξ n |2 < + ∞ } n =1 với chuẩn ∞ ∑ | ξ n |2 ||ξ || = n =1 Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số kết sử dụng chương sau Các kết chương chứng minh trích dẫn tài liệu [2],[4],[8], [10] 1.1 Một số khái niệm nửa nhóm liên tục mạnh không gian Banach toán tử sinh Định nghĩa 1.1 Họ toán tử tuyến tính bị chặn ( T (t))t≥0 không gian Banach X gọi nửa nhóm liên tục mạnh thỏa mãn: T (t + s) = T (t) T (s) với t, s ≥ T (0) = liên tục mạnh Tức ánh xạ quỹ đạo ξ x : t → ξ x (t) = T (t) x liên tục từ R+ vào X với x ∈ X Các tính chất thỏa mãn R thay R+ ta gọi ( T (t))t∈R nhóm liên tục mạnh X Mệnh đề 1.1 Cho nửa nhóm( T (t))t≥0 không gian Banach X, khẳng định sau tương đương: (a) ( T (t))t≥0 liên tục mạnh (b) lim T (t) x = x với x ∈ X t →0 (c) Tồn δ > 0, M > tập trù mật D ⊂ X cho: T (t) ≤ M với t ∈ [0, δ] lim T (t) x = x với x ∈ D t →0 Chương Kiến thức chuẩn bị Mệnh đề 1.2 Cho nửa nhóm liên tục mạnh( T (t))t≥0 , tồn số w ∈ R M ≥ cho T (t) ≤ Mewt với t ≥ Định nghĩa 1.2 Cho nửa nhóm liên tục mạnh( T (t))t≥0 , gọi w0 ( T ) = in f {w ∈ R : ∃ Mw ≥ 1, T (t) ≤ Mw ewt ∀t ≥ 0} cận tăng trưởng kiểu tăng trưởng nửa nhóm Trong định nghĩa (1.2), nửa nhóm gọi bị chặn w = 0, nửa nhóm co lấy w = M = 1, nửa nhóm đẳng cự T (t) x = x với t ≥ x ∈ X Định nghĩa 1.3 Toán tử sinh A : D ( A) ⊆ X → X nửa nhóm liên tục mạnh ( T (t))t≥0 không gian Banach X toán tử Ax := ξ x (0) = lim ( T (h) x − x ) h →0 h xác định với x miền D ( A) := { x ∈ X : ξ x khả vi} Mệnh đề 1.3 Với toán tử sinh A : D ( A) ⊆ X → X nửa nhóm ( T (t))t≥0 ta có tính chất sau đây: (a) Nếu λ ∈ C cho R(λ) x = +∞ −λs e T (s) xds tồn với x ∈ X λ ∈ ρ( A) R(λ, A) = R(λ) (b) Nếu Reλ > w λ ∈ ρ( A) giải thức R(λ, A) xác định phần (a) (c) R(λ, A) ≤ Khi R(λ, A) x M Reλ−w ∀ λ : Reλ > w +∞ = e−λs T (s) xds gọi biểu diễn tích phân giải thức Định lý 1.1 (Xem tài liệu [10])( Định lý Hille- Yosida toán tử sinh) Đối với toán tử ( A, D ( A)) không gian Banach X tính chất sau tương đương: (a) (A,D(A)) sinh nửa nhóm co liên tục mạnh (b) (A,D(A)) đóng, xác định trù mật với λ > ta có λ ∈ ρ( A) λR(λ, A) ≤ Chương Kiến thức chuẩn bị (c) (A,D(A)) đóng, xác định trù mật với λ ∈ C với Reλ > ta có λ ∈ ρ( A) R(λ, A) ≤ Reλ 1.2 Ứng dụng phương pháp toán tử Laplace phương trình vi phân có chậm ( Xem tài liệu [2]) Định nghĩa 1.4 Hàm giá trị phức f (t) = u(t) + iv(t) biến thực t gọi hàm gốc thỏa mãn điều kiện sau: 1) f (t) ≡ 0, với t < 2) f (t) liên tục (hoặc liên tục khúc), có đạo hàm liên tục đến cấp n (hoặc đạo hàm liên tục khúc đến cấp n) 3) Khi t → +∞, hàm f (t) có bậc tăng bị chặn, tức tồn số M > α > cho với t > | f (t)| ≤ Meαt Tức hàm | f (t)| tăng không nhanh hàm mũ Định nghĩa 1.5 Giả sử f (t) hàm gốc Khi hàm biến phức F ( p) xác định công thức: F ( p) = ∞ f (t)e− pt dt gọi ảnh f (t) qua phép biến đổi Laplace Phép biến đổi L : f (t) → F ( p) gọi phép biến đổi Laplace Ta kí hiệu: F ( p) = L[ f (t)] Giả sử f (t) hàm gốc F ( p) = +∞ f (t)e− pt dt Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thế Hoàn-Phạm Phu Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB ĐHQG Hà Nội (2000) [2] Nguyễn Thủy Thanh, Hàm biến phức với phép biến đổi Laplace, MS 20 KHTN, (2000) [3] C Travis and G Webb, Asymptotic stability for abstract nonlinear functional differential equations, Proc Amer Math Soc., in press [4] D D Chau, On The Asymptotic Equivalence of Linear Delay Equations in Banach Space, Acta Mathematica Vietnamica, Volume 31, Number 1, (2006), 31-38 [5] D D Chau and N B Cuong, On the asymptotic behavior of delay differential equations and its relationship with C0 − semigroup, VNU Journ of Science, Mathematics- Physic 23 (2007) 63-69 [6] J D.Murray Mathematical Biology: I.An Introduction Third Edition, Springer, (2002) [7] J K Hale and S M Verduyn Lunel, Introduction of Functional Differential Equations, New York, (1991) [8] Ju L.Daleckii and M.G.Krein, Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Space, American Mathematical Society Providence, Rhode Island (1974) [9] J Wu, Introduction to Neural Dynamics and Signal Transmission Delay, Walter de Gruyter New York, (2001) [10] K J Engel and R Nagel, One- parametter Semigroup for Linear Evolution Equations, Springer- Verlag , (2000) 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO [11] K J Engel and R Nagel, A Short Course on Operator Semigroup, Springer , (2006) [12] Y Kuang, Delay differential equations, Boston San Diego New York, (1992) [13] D.Guo, V Lakshmikantham and X Liu, Nolinear Integral Equations in Abstract Spaces, Springer [14] A.D Mushkic, Phương trình vi phân tuyến tính có chậm, Matcova, (1972), (bản tiếng Nga) 44 [...]... Phu Cơ sở phương trình vi phân và lý thuyết ổn định, NXB ĐHQG Hà Nội (2000) [2] Nguyễn Thủy Thanh, Hàm biến phức với phép biến đổi Laplace, MS 20 KHTN, (2000) [3] C Travis and G Webb, Asymptotic stability for abstract nonlinear functional differential equations, Proc Amer Math Soc., in press [4] D D Chau, On The Asymptotic Equivalence of Linear Delay Equations in Banach Space, Acta Mathematica Vietnamica,... [12] Y Kuang, Delay differential equations, Boston San Diego New York, (1992) [13] D.Guo, V Lakshmikantham and X Liu, Nolinear Integral Equations in Abstract Spaces, Springer [14] A.D Mushkic, Phương trình vi phân tuyến tính có chậm, Matcova, (1972), (bản tiếng Nga) 44 ... Introduction of Functional Differential Equations, New York, (1991) [8] Ju L.Daleckii and M.G.Krein, Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Space, American Mathematical Society Providence, Rhode Island (1974) [9] J Wu, Introduction to Neural Dynamics and Signal Transmission Delay, Walter de Gruyter New York, (2001) [10] K J Engel and R Nagel, One- parametter Semigroup for Linear... [4] D D Chau, On The Asymptotic Equivalence of Linear Delay Equations in Banach Space, Acta Mathematica Vietnamica, Volume 31, Number 1, (2006), 31-38 [5] D D Chau and N B Cuong, On the asymptotic behavior of delay differential equations and its relationship with C0 − semigroup, VNU Journ of Science, Mathematics- Physic 23 (2007) 63-69 [6] J D.Murray Mathematical Biology: I.An Introduction Third Edition,