Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov dạng Razumikhin để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các phương trình vi phân và hệ phương trình có xung

Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov dạng Razumikhin để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các phương trình vi phân và hệ phương trình có xung.

Mục lục

1 Ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho ph-ơng trình vi phân hàm 1

1.1. Kiến thức chuẩn bị . 1

1.1.1 Các khái niệm cơ bản 1

1.1.2 Ba định lý của Lyapunov về sự ổn định . 4

1.1.3 Tiêu chuẩn so sánh 7

1.2 Ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho ph-ơng trình vi phân hàm 8

1.2.1 Các định lý về sự ổn định nghiệm của ph-ơng trình vi phân hàm 12

2 Ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho ph-ơng trình sai phân và ph-ơng trình động lực trên thang thời gian 17 2.1 Ph-ơng trình sai phân 17

2.1.1 Sai phân hữu hạn 17

2.1.2 Ph-ơng trình sai phân tuyến tính 18

2.1.3 Hệ ph-ơng trình sai phân tuyến tính thuần nhất 20

2.1.4 Hệ ph-ơng trình sai phân tuyến tính không thuần nhất và công thức biến thiên hằng số Lagrăng 21

2.1.5 Các khái niệm về ổn định 23

2.1.6 Ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho hệ sai phân autonomous 24 2.1.7 Ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho hệ sai phân không au-tonomous 26

2.1.8 Sự ổn định của mô hình rời rạc trong hệ động lực quần thể 29

2.1.9 Tiêu chuẩn so sánh 32

2.2 Ph-ơng trình động lực trên thang thời gian 34

2.2.1 Các khái niệm cơ bản về thang thời gian 34

2.2.2 Đạo hàm và tích phân trên thang thời gian 35

2.2.3 Các kết quả về tính ổn định 37

Lời mở đầu

Việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm của ph-ơng trình vi phân và ph-ơng trình sai phân đ-ợc nhiều ng-ời quan tâm vì nó có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học kỹ thuật, đặc biệt là trong các mô hình chuyển động cơ học và các mô hình sinh thái Tuy nhiên để mở rộng phạm vi ứng dụng của nó nhiều h-ớng nghiên cứu mới của lý thuyết ổn định đã xuất hiện và nhận đ-ợc nhiều kết quả thú vị về cả lý thuyết và ứng dụng.

Trong luận văn này chúng tôi cố gắng trình bày lại một số kết quả của ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho các h-ớng nghiên cứu cơ bản mà gần đây đ-ợc nhiều ng-ời quan tâm là tính ổn định nghiệm của ph-ơng trình vi phân hàm (xem [3], [9], [14], [16]) và tính ổn định nghiệm của ph-ơng trình sai phân (xem [3], [7]).

Trong phần cuối của luận văn chúng tôi sẽ trình bày một số kết quả về sự ổn

định nghiệm của ph-ơng trình động lực trên thang thời gian Trong đó ngoài việc chứng minh chi tiết các điều kiện đủ về tính ổn định mũ của hệ ph-ơng trình động lực tuyến tính có nhiễu trên thang thời gian, chúng tôi đã cố gắng dành công sức vào việc xây dựng các ví dụ cụ thể Trên cơ sở các ví dụ này chúng tôi thấy rằng các kết quả nhận đ-ợc có thể áp dụng cho các mô hình quần thể sinh học mà hiện nay đang đ-ợc nhiều ng-ời quan tâm.

Nội dung của luận văn gồm có hai ch-ơng: trong ch-ơng 1, ngoài một

số kiến thức chuẩn bị về khái niệm và trình bày tóm tắt các kết quả cổ điển của ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho hệ ph-ơng trình vi phân trong R n, chúng tôi

đã trình bày lại các định lý cơ bản của ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho ph-ơng trình vi phân hàm.

Ch-ơng 2 dành cho việc trình bày ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho ph-ơng trình sai phân và ph-ơng trình động lực trên thang thời gian Trong đó có sự đóng góp của tác giả vào quá trình chứng minh các kết quả mới và xây dựng ví dụ.

Tác giả luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy giáo h-ớng dẫn PGS.TS Đặng Đình Châu đã tận tình h-ớng dẫn tác giả trong suốt quá trình làm luận văn Tác giả xin cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ bộ môn Giải tích trong

khoa Toán - Cơ - Tin đã nhiệt tình giảng dạy và tổ chức các buổi xemina đầy

bổ ích, xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp và bạn bè đã quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi và động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình làm luận văn.

Hà Nội, ngày 22 tháng 12 năm 2009

Tác giả

Nguyễn Ngọc Huy

T := Thang thêi gian

σ(t) := To¸n tö nh¶y tiÕn

ρ(t) := To¸n tö nh¶y lïi

µ(t) := Hµm h¹t

f∆(t) := §¹o hµm ∆ cña f t¹i t

Ch-ơng 1.

Ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho ph-ơng trình vi phân hàm

Giả sử η = η(t) (t0 ≤ ∞ : t0 > a) là nghiệm của hệ (1.1.1) (chuyển động không

bị nhiễu) mà ta phải nghiên cứu tính ổn định của nó Ký hiệu

U H (η(t)) = {t0≤ t < ∞; ||y − η(t)|| < H ≤ ∞}.

Ta đặt:

tức x là độ lệch của nghiệm y với nghiệm η(t).

hơn nữa rõ ràng: X(t, 0) ≡ 0 Do đó, hệ (1.1.3) có nghiệm tầm th-ờng x = 0

ứng với nghiệm đã cho η = η(t) trong không gian R n y Hệ (1.1.3) gọi là hệ rút gọn Nh- vậy, việc nghiên cứu sự ổn định của nghiệm η = η(t) trong không gian R n đ-ợc đ-a về nghiên cứu sự ổn định của nghiệm tầm th-ờngx = 0 trong không gian R n.

Định nghĩa 1.1.1 Nghiệm tầm th-ờng x = 0 của hệ (1.1.3) đ-ợc gọi là ổn định

(ôđ) theo Lyapunov khi t → +∞, nếu với ∀ > 0 , ∃δ = δ(, t0) sao cho từ bất đẳng thức kx(t0)k < δ suy ra kx(t)k <  với mọi t ≥ t0.

Định nghĩa 1.1.2 Nghiệm tầm th-ờng x = 0 của hệ (1.1.3) đ-ợc gọi là ổn định

tiệm cận (ôđtc) theo Lyapunov khi t → +∞, nếu nó ổn định theo Lyapunov và

∃h > 0 sao cho mọi nghiệm x(t) của hệ (1.1.3) thoả mãn điều kiện kx(t0)k < h thì

lim

t→∞ kx(t)k = 0

Định nghĩa 1.1.3 Nghiệm tầm th-ờng x = 0 của hệ (1.1.3) đ-ợc gọi là ổn định

đều (ổn định tiệm cận đều) theo Lyapunov khi t → +∞ nếu trong các định nghĩa t-ơng ứng, số δ chọn đ-ợc không phụ thuộc vào t0.

Định nghĩa 1.1.4 Nghiệm tầm th-ờng x = 0 của hệ (1.1.3) đ-ợc gọi là ổn định

mũ khi t → +∞ nếu đối với mỗi nghiệm x(t) ≡ x(t, t0, x0) của hệ đó ở trong miền nào đó t0 ≤ t < ∞, ||x|| ≤ h < H thoả mãn bất đẳng thức:

||x(t)|| ≤ N ||x(t0)||e −α(t−t0 ) (t ≥ t0) trong đó N và α là hai hằng số d-ơng không phụ thuộc vào sự lựa chọn nghiệm x(t).

Ta dễ dàng thấy rằng, từ sự ổn định mũ của nghiệm x = 0 suy ra sự ổn định tiệm cận của nó Thật vậy, đặt:

||x(t0)|| < 

N = ,

trong đó  > 0 tuỳ ý, ta có:

||x(t)|| <  với t ≥ t0, tức là nghiệm x = 0 ổn định theo Lyapunov, ngoài ra rõ ràng ta có:

lim

t→+∞ x(t) = 0, nếu ||x(t0)|| ≤ h T-ơng tự, ta định nghĩa sự ổn định mũ đối với nghiệm không tầm th-ờng Cụ thể là nghiệm ξ(t) là ổn định mũ nếu với t ≥ t0, các nghiệm x(t) gần

Định nghĩa 1.1.5 Hàm vô h-ớng thực liên tục V (t, x), đ-ợc gọi là không đổi dấu

(có dấu d-ơng hay có dấu âm) trong Z0, nếu:

V (t, x) ≥ 0 (hay V (t, x) ≤ 0), với (t, x) ∈ Z0.

Định nghĩa 1.1.6 Hàm V (t, x) đ-ợc gọi là xác định d-ơng trong Z0 nếu tồn tại một hàm vô h-ớng W (x) ∈ C(||x|| < h) sao cho:

Đặc biệt, V = V (x) là hàm có dấu xác định nếu (−1) σ V (x) > 0, với ||x|| 6= 0 và

V (0) = 0, trong đó đối với hàm xác định d-ơng thì σ = 0, còn đối với hàm xác định

âm thì σ = 1.

Định nghĩa 1.1.7 Ta nói rằng hàm V (t, x) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi

x → 0 , nếu với t0 > a nào đó, ta có:

V (t, x) ⇒ 0 theo t trên [t0, ∞) khi t → 0, tức là đối với bất kỳ  > 0, tồn tại δ = δ() > 0 sao cho:

khi ||x|| < δ và t ∈ [t0, ∞).

Nhờ bất đẳng thức (1.1.5), ta kết luận rằng hàm V (t, x) có giới hạn vô cùng

bé bậc cao khi x → 0 sẽ bị chặn trong hình trụ nào đó:

t0 ≤ t < ∞, ||x|| < h.

Ta chú ý rằng nếu V (x) là hàm liên tục không phụ thuộc vào thời gian t, và sao cho

V (0) = 0, thì rõ ràng V (x) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0.

đ-ợc gọi là đạo hàm (toàn phần) theot của hàm V (t, x) theo hệ (1.1.6).

Nếu x = x(t) là nghiệm của hệ (1.1.6) thì V (t, x) . là đạo hàm toàn phần theo thời gian của hàm hợp V (t, x(t)), tức là:

.

V (t, x) = d

dt V (t, x(t)).

Đúng hơn, giả sử (t, x) ∈ Z0 và x(τ, t, x) là nghiệm của hệ (1.1.6) xác định bởi

điều kiện ban đầu: x(τ, t, x) = x Khi đó:

Nếu V (t, x) > 0 . với V (t, x) = C thì các đ-ờng cong tích phân x = x(t) tại điểm

(t, x) của mặt cong V (t, x) = C sẽ đi từ phía âm của mặt đặc tr-ng bởi pháp tuyến −gradV, sang phía d-ơng của nó xác định bởi pháp tuyến +gradV Khi

Định lý 1.1.1 (Định lý thứ nhất của Lyapunov về sự ổn định)

Nếu đối với hệ rút gọn (1.1.6), tồn tại hàm vô h-ớng xác định d-ơng:

Vậy nghiệm tầm th-ờng x = 0, y = 0 của hệ đã cho là ổn định.

Định lý 1.1.2 (Định lý thứ hai của Lyapunov về sự ổn định tiệm cận)

Giả sử đối với hệ rút gọn (1.1.6), tồn tại hàm xác định d-ơng V (t, x) ∈ C (1,1)

tx (Z0)

có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0 và có đạo hàm theo thời gian ˙V (t, x) theo

hệ là xác định âm Khi đó, nghiệm tầm th-ờng x(t) = 0 của hệ ổn định tiệm cận theo Lyapunov khi t → +∞.

Ví dụ 1.1.2 Xét tính ổn định của nghiệm tầm th-ờng đối với hệ

bé khi x → 0 và có đạo hàm ˙V (t, x) theo hệ ph-ơng trình là xác định dấu Nếu với

t0 > a nào đó trong lân cận ||x|| < ∆ (∆ ≤ h < H) tìm đ-ợc điểm (t0, x0) mà tại

đó dấu của hàm V cùng dấu của đạo hàm ˙V , tức là:

3x3+ xy +13y3

Xét trên miền E = {(t, x, y) : t > 0, x > 0, y > 0} Vì trong E hàm V là xác định

1 Trong định lý thứ ba, hàm V (t, x) không hẳn phải có dấu xác định.

2 Hàm V (t, x) thoả mãn các điều kiện của định thứ nhất đến thứ ba của Lyapunov ta sẽ gọi, t-ơng ứng, là hàm Lyapunov loại 1, loại 2 và loại 3.

với (t, x) ∈ R+ì R n Ta có định lý so sánh sau đây

Định lý 1.1.4 (Định lý 3.9.1,xem [3]) Giả sử các điều kiện sau đây đ-ợc thoả mãn

u(t) = g(t, u), u(t0) = u0 > 0 (1.1.10)

kéo theo tính ổn định t-ơng ứng của nghiệm tầm th-ờng của ph-ơng trình (1.1.9)

Ta tìm A, B sao cho w1(t, x) = λ(t)V (t, x), gồm hai tr-ờng hợp sau

(i) A1 = 1, B1 = 1, λ1(t) = 2(e −t + sint) thì V1(t, x) = 12(x + y)2

(ii) A2 = 1, B2 = −1, λ2(t) = 2(e −t − sint) thì V2(t, x) = 12(x − y)2

Khi đó các giả thiết của định lý đ-ợc thoả mãn, vì

Giả sử x ∈ R n, ta ký hiệu |x| là chuẩn của phần tử x trong R n Ký hiệu

C([α, β], R n) là không gian Banach các hàm liên tục, xác định trên [α, β] và nhận giá trị trongR n.Với ϕ ∈ C([α, β], R n) thì chuẩn của ϕ đ-ợc định nghĩa là

kϕk = sup α6θ6β |ϕ(θ)|,

Đặc biệt khi [α, β] = [−h, 0], với h là hằng số d-ơng, ta ký hiệu

C = C([−h, 0], R n)

(x t hiểu là phần hạn chế của hàm x(.) trên đoạn [t-h, t]).

Giả sử Ω = R+ì C H , f : Ω → R n, ký hiệu x˙ là đạo hàm phải của x tại t, chúng

Ta luôn giả thiết hàm f : Ω → R n là liên tục trên Ω

Định nghĩa 1.2.8 Hàm x = x t (t0, ϕ) đ-ợc gọi là nghiệm của ph-ơng trình (1.2.12) với điều kiện ban đầu ϕ ∈ C H tại t = t0, t0 > 0 nếu tồn tại số A > 0 sao cho

x ∈ C([t0− h, t0+ A), R n)và có các tính chất

(1) x t0(t0, ϕ) = ϕ, ϕ ∈ C H;

(2) x(.) = x t (t0, ϕ) thoả mãn (1.2.12) với mỗi t ∈ [t0, t0+ A).

Giả sử ph-ơng trình (1.2.12) thoả mãn tất cả các điều kiện về sự tồn tại, duy nhất nghiệm (xem [14]) và f (t, 0) = 0, ∀t ∈ R+ Khi đó, ph-ơng trình (1.2.12) có nghiệm tầm th-ờng x ≡ 0.

Ta có thể đi tìm nghiệm của ph-ơng trình vi hàm (1.2.12) bằng hai ph-ơng pháp

Ta có: x(t) → X(p); x(t) → pX(p),˙ x(0) = ϕ(0) = 0.

Néu f(t) → F (p) và t0 > 0 thì f(t − t0) → e −t0p

F (p), x(t − 1) → e −p[

Ta sÏ t×m nghiÖm x(t0, ϕ), (t0 = 1) , cña ph-ng tr×nh vi ph©n trªn ®o¹n [0,3].NghiÖm cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n trªn cã d¹ng:

x(t) = 6(t − 2)[(t − 2)2+ 1] + 4; 3 ≥ t ≥ 2,

Cứ nh- vậy ta có thể mở rộng nghiệm trên một đoạn hữu hạn tuỳ ý

Ta định nghĩa sự ổn định của nghiệm tầm th-ờng của (1.2.12).

Định nghĩa 1.2.9 Nghiệm tầm th-ờng x = 0 của ph-ơng trình vi phân (1.2.12)

đ-ợc gọi là ổn định theo Lyapunov khi t → +∞ nếu:

∀ε > 0, t0 ∈ R+, ∃δ = δ(t0, ε) > 0, sao cho : kϕk < δ ⇒ x t (t0, ϕ) < ε, t > t0.

Định nghĩa 1.2.10 Nghiệm tầm th-ờng x = 0 của ph-ơng trình (1.2.12) đ-ợc gọi

là ổn định đều khi t → +∞ nếu số δ trong định nghĩa 1.2.9 không phụ thuộc vào t0.

Định nghĩa 1.2.11 Nghiệm tầm th-ờng x = 0 của ph-ơng trình vi phân (1.2.12)

đ-ợc gọi là ổn định tiệm cận theo Lyapunov khi t → +∞ nếu:

1 Nghiệm tầm th-ờng x = 0 là ổn định,

2 ∃∆ = ∆(t0) > 0, ∀ϕ ∈ C : kϕk < ∆ ⇒ lim t→+∞ kx t (t0, ϕ)k = 0.

Định nghĩa 1.2.12 Nghiệm tầm th-ờng x = 0 của ph-ơng trình vi phân (1.2.12)

đ-ợc gọi là ổn định tiệm cận đều theo Lyapunov khi t → +∞ nếu:

1 Nghiệm tầm th-ờng x = 0 là ổn định đều,

2 ∃∆ > 0(∆ không phụ thuộc vào t0)sao cho

∀ϕ ∈ C, kϕk < ∆ ⇒ lim

t→+∞ kx t (t0, ϕ)k = 0.

1.2.1 Các định lý về sự ổn định nghiệm của ph-ơng trình vi

phân hàm

Trong phần này, ta sẽ giới thiệu một số điều kiện đủ về sự ổn định và không ổn định của nghiệm tầm th-ờngx = 0 của ph-ơng trình (1.2.12) Đây là kết quả mở rộng của ph-ơng pháp thứ hai của Lyapunov đối với ph-ơng trình

vi phân th-ờng.

Định nghĩa 1.2.13 (Phiếm hàm Lyapunov) Ta gọi phiếm hàm liên tục V : RìC →

R+, thoả mãn điều kiện Lipchitz theo biến thứ hai, là phiếm hàm Lyapunov.

Nếu V : R ì C → R+ là liên tục và x t (t0, ϕ) là nghiệm của ph-ơng trình (1.2.12) đi qua điểm (t0, ϕ), chúng ta định nghĩa

sử dụng phiếm hàm Lyapunov V = V (t, ϕ) xác định trên miền Ω = R+ì C để nghiên cứu tính ổn định đều và ổn định tiệm cận đều của ph-ơng trình vi phân hàm (1.2.12), ta luôn giả thiết f (t, ϕ) là hoàn toàn liên tục trên Ω vàf (t, 0) = 0

.

Định lý 1.2.5 (Định lý ổn định) Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục (Lyapunov)

thoả mãn điều kiện:

Chứng minh Giả sử có hàm V (t, 0) thoả mãn các điều kiện trên, ta sẽ chứng minh

nghiệm tầm th-ờng x = 0 của ph-ơng trình vi phân (1.2.12) là ổn định Giả sử

(theo định nghĩa ta có thể hiểu là tồn tại s < t1 sao cho kx t1(t0, ϕ)k = ε/2) Từ

điều kiện (3) ta suy ra V (t) = V (t, x t1(t0, ϕ)) giảm theo t nên ta có:

Định lý 1.2.6 (Định lý ổn định đều) Giả sử tồn tại một phiếm hàm liên tục

V : R+ì C → R+ thỏa mãn các điều kiện sau:

1 a(kϕk) 6 V (t, ϕ) 6 b(kϕk), a, b ∈ CIP ;

2 V0

(1.2.12)6 0,

khi đó nghiệm tầm th-ờng x = 0 của hệ (1.2.12) là ổn định đều.

Chứng minh Lấy ε > 0 tùy ý ε < H, xét

Vậy nghiệm x ≡ 0 là ổn định đều.

Định lý 1.2.7 ( Định lí ổn định tiệm cận đều) Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục

V : R+ì C → R+ thỏa mãn các điều kiện sau:

1 a(kϕk) 6 V (t, ϕ) 6 b(kϕk), a, b ∈ CIP ,

2 V0

(1.2.12) (t, ϕ) 6 −c(kϕk) , c ∈ CIP

khi đó nghiệm tầm th-ờng x ≡ 0 của hệ (1.2.12) là ổn định tiệm cận đều.

Chứng minh Từ định lí trên ta có thể suy ra nghiệm x ≡ 0 là ổn định đều Bây

giờ ta sẽ chứng minh x ≡ 0 của ph-ơng trình (1.2.12) là ổn định tiệm cận đều.

Do nghiệm x ≡ 0 là ổn định đều nên tồn tại δ0(H) > 0 sao cho với t0 ∈ R+ và

Chøng tá: V (t, x t (t0, ϕ) < a(δ) M©u thuÉn víi

Ch-ơng 2.

Ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho ph-ơng trình sai phân và ph-ơng trình động lực trên thang thời gian

Nh- vậy, sai phân cấp 2 của hàm u n là

∆2u n = ∆(∆u n ) = ∆u n+1 − ∆u n = u n+2 − u n+1 − (u n+1 − u n ) = u n+2 − 2u n+1 + u n;Sai phân cấp 3 của hàm u n là

Sai phân mọi cấp đều là toán tử tuyến tính

Định nghĩa 2.1.16 Ph-ơng trình sai phân tuyến tính là một hệ thức tuyến tính

giữa sai phân các cấp

F (u n , ∆u n , , ∆ k u n) = 0

Trong đó u n coi là sai phân cấp 0 của hàm u n , cấp của ph-ơng trình sai phân chính

là cấp lớn nhất của các sai phân (ở đây là bằng k).

Định nghĩa 2.1.17 Ph-ơng trình sai phân tuyến tính của hàm u n là một biểu thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm u n tại các điểm khác nhau

a0u n+k + a1u n+k−1 + + a k u n = f n Trong đó a0.a1, , a k với a0 6= 0, a k 6= 0 là các hằng số hoặc các hàm số của n, đ-ợc gọi là các hệ số của ph-ơng trình sai phân; f n là một hàm số của n, đ-ợc gọi là vế phải; u n là giá trị cần tìm, đ-ợc gọi là ẩn.

Nghiệm của ph-ơng trình sai phân tuyến tính:

Xét ph-ơng trình sai phân tuyến tính cấp k

a0u n+k + a1u n+k−1 + + a k u n = f n (1)Ph-ơng trình sai phân thuần nhất t-ơng ứng

a0u n+k + a1u n+k−1 + + a k u n = 0. (2)Ph-ơng trình đặc tr-ng

a0λ k + a1λ k−1 + + a k = 0. (3)Nghiệm tổng quát u n của ph-ơng trình sai phân tuyến tính (1): u n = u∗+ ¯u, với u∗ là một nghiệm riêng của ph-ơng trình trên và u¯ là nghiệm tổng quát của ph-ơng trình thuần nhất t-ơng ứng (2).

Nghiệm tổng quát của (2) có dạng

¯

u = c1u n1 + c2u n2 + + c k u nk

trong đóu n1, u n2, , u nk là k nghiệm độc lập tuyến tính của (2) và c1, c2, , c k là các hằng số tuỳ ý.

Nếu (3) có k nghiệm phân biệtλ1, λ2, , λ k thì hệ {λ n1, λ n2, , λ n k} là hệ k nghiệm

độc lập tuyến tính của (2) và nghiệm tổng quát của (2) là

NÕu (3) cã nghiÖm phøcλ j = r(cosϕ + isinϕ) béi s th× ta lÊy thªm c¸c nghiÖm:

u1(k + 1) = a11(k)u1(k) + a12(k)u2(k) + + a 1n (k)u n (k),

u2(k + 1) = a21(k)u1(k) + a22(k)u2(k) + + a 2n (k)u n (k),

(2.1.2)

B»ng ph-¬ng ph¸p truy håi, chóng ta dÔ dµng thÊy r»ng bµi to¸n Cauchy lu«n

cã nghiÖm vµ nghiÖm cña bµi to¸n Cauchy ®-îc cho bëi:

u(k) = A(k − 1).A(k − 2) A(k0+ 1).A(k0).u0, k > k0 (2.1.3)

Hä ma trËn tiÕn ho¸ sinh bëi ma trËn kh«ng suy biÕn:

Định nghĩa 2.1.18 Với mỗi s > k0, ký hiệu: W (k, s) = A(k − 1).A(k − 2) A(s +

1).A(s)

Khi đó, họ {W (k, s)} k>s>k0 đ-ợc gọi là họ ma trận tiến hoá sinh bởi ma trận hàm không suy biến A(k).

Ma trận nghiệm cơ bản chuẩn tắc (hay ma trận Cauchy):

Định nghĩa 2.1.19 Giả sử họ {W (k, s)} k>s>k0 là họ ma trận tiến hoá sinh bởi ma trận hàm không suy biến A(k) Khi đó W (k, k0)đ-ợc gọi là ma trận nghiệm cơ bản chuẩn tắc của hệ (2.1.1).

3 Nghiệm u(k) := u(k, k0, u0) của bài toán Cauchy có thể viết d-ới dạng:

u(k) = W (k, k0).u0 với mọi k > k0.

2.1.4 Hệ ph-ơng trình sai phân tuyến tính không thuần nhất

và công thức biến thiên hằng số Lagrăng

u1(k + 1) = a11(k)u1(k) + a12(k)u2(k) + + a 1n (k)u n (k) + b1(k),

u2(k + 1) = a21(k)u1(k) + a22(k)u2(k) + + a 2n (k)u n (k) + b2(k),

Khi đó bài toán Cauchy của hệ trên đ-ợc viết d-ới dạng







u(k + 1) = A(k)u(k) + b(k) k > k0, u(k0) = u0,