Tính ổn định tiệm cận của tập IĐÊAN nguyên tố liên kết của mô đun đối đồng đều địa phương

Tính ổn định tiệm cận của tập IĐÊAN nguyên tố liên kết của mô đun đối đồng đều địa phương.

1 „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M  NGUY™N TRUNG DÔNG TNH ÊN ÀNH TI›M CŠN CÕA TP IAN NGUYN Tẩ LIN KT CếA MặUN ẩI ầNG I—U ÀA PH×ÌNG LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC Th¡i Nguy¶n - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M  NGUY™N TRUNG DƠNG TNH ÊN ÀNH TI›M CŠN CÕA TŠP I–AN NGUY–N TÈ LIN KT CếA MặUN ẩI ầNG IU A PHìèNG Chuyản ngnh: Ôi số v Lỵ thuyát số M số: 60 46 05 LUN VN THC S TON HC Ngữới hữợng dăn khoa hồc: TS Nguyạn Vôn Hong ThĂi Nguyản - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Möc löc Trang Möc löc Líi c£m ìn Mð ¦u Ch÷ìng Ki¸n thùc cð sð 1.1 I¶an nguy¶n tố liản kát 1.2 Mæun Ext 1.3 Mổun ối ỗng iÃu àa ph÷ìng 10 1.4 Chi·u v  ë s¥u cõa mỉun 11 1.5 Vnh v mổun phƠn bêc 14 Chữỡng Tẵnh ờn nh tiằm cên cừa mët sè mð rëng cõa ë s¥u .16 2.1 M dÂy tứ chiÃu >k v cĂc tẵnh ch§t 16 2.2 Chựng minh nh lỵ 0.0.1 21 2.3 Mởt số tẵnh chĐt liản quan án depthk 22 Chữỡng Tẵnh ờn nh tiằm cên cừa têp iảan nguyản tố liản kát 27 3.1 Chựng minh nh lỵ 0.0.2 (i) 27 3.1 Chùng minh nh lỵ 0.0.2 (ii) 30 3.1 Chùng minh ành lỵ 0.0.2 (iii) 36 Kát luên 41 T i li»u tham kh£o 42 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lới cÊm ỡn Luên vôn ữủc hon thnh sau hai nôm hồc tÔi Trữớng Ôi hồc sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản v dữợi sỹ hữợng dăn tên tẳnh v nghiảm khưc cừa TS Nguyạn Vôn Hong NhƠn dp ny tổi xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án ThƯy v gia ẳnh Tổi xin by tọ lỏng biát ỡn tợi GS.TSKH Nguyạn Tỹ Cữớng, PGS.TS Nguyạn Quốc Thưng, PGS.TS Lả Thanh Nhn v TS Nguyạn Thà Dung; c¡c th¦y cỉ ð Khoa To¡n v  Pháng o tÔo Sau Ôi hồc Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản  tên tẳnh giÊng dÔy v  gióp ï tỉi st thíi gian håc tªp Cuối tổi xin by tọ lỏng biát ỡn tợi ngữới thƠn, bÔn b v tĐt cÊ nhỳng ngữới  giúp ù, ởng viản tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2010 Hồc viản Nguyạn Trung Dơng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mð ¦u Cho (R, m) l  v nh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng, I, J l  hai i¶an cõa R v  M l  mët R−mỉun hỳu hÔn sinh Nôm 1979, M Brodmann  chựng minh ữủc rơng cĂc têp AssR (M/J n M ) l ên ành n n M −d¢y k ≥ 1, tứ chiÃu mởt dÂy >k nguyản i x1 , , xr m  Ta k½ hi»u ë d i chung n y l  depth(I, M ) I , depth0 (I, M ) cõa I > k c¡c ph¦n tû cõa i ∈ {1, , r} v  nh÷ sau: cho m ÷đc gåi l  xi ∈ p / ta câ vỵi måi Hồ  ch rơng mồi Ãu cõ ở di nhữ v bơng số i p Supp(HI (M )) depthk (I, M ) l  ë s¥u låc kẵ hiằu bi Lu v Tang v ă I M tứ chiÃu dim(R/p) > k tối Ôi b nhĐt cho tỗn tÔi l ở sƠu M dÂy náu vợi mội p AssR (M/(x1 , , xi1 )M ) M −d¢y tø chi·u > k depth(I, J n M/J n+1 M ) ừ lợn GƯn Ơy, M Brodmann v L.T Nhn  nh nghắa khĂi niằm số nguyản v ừ lợn  chựng minh kát quÊ trản,  dỹa vo tẵnh ờn nh cừa depth(I, M/J n M ) AssR (J n M/J n+1 M ) I câ dim(R/p) > k °c bi»t, depth−1 (I, M ) l  ë d i cõa f-depth(I, M ) cõa M dÂy tối Ôi M I depth1 (I, M ) l ở sƠu suy rởng cừa M ữủc ữủc nh nghắa bi L T Nhn Tứ õ ta câ mët c¥u häi mð °t l : C¥u häi 1: Li»u r¬ng c¡c sè depthk (I, J n M/J n+1 M ) v  depthk (I, M/J n M ) câ trð n¶n ên ành hay khỉng n õ lợn? Nôm 2008, mởt bi bĂo cừa N T C÷íng, N V Ho ng v  P H Kh¡nh (xem [8]), hồ  trÊ lới khng nh cho cƠu họi trản, â cơng l  mët k¸t qu£ mð rëng cho mët nh lỵ cừa Brodmann, cử th l nh lỵ sau: nh lỵ 0.0.1 [8, nh lỵ 1.1] Cho (R, m) l  v nh àa ph÷ìng, I, J ⊆ R l  c¡c iảan v M l Rmổun hỳu hÔn sinh Khi õ vỵi måi sè Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn nguy¶n k ≥ −1, c¡c sè depthk (I, J n M/J n+1 M ) v  depthk (I, M/J n M ) trð th nh cĂc hơng số rk v sk vợi n ừ lợn Mt khĂc, nôm 1990, C Huneke  ữa giÊ thuyát rơng têp j AssR (HI (M )) I, v mồi j l hỳu hÔn vợi mồi mổun hỳu hÔn sinh M, mồi iảan  CƠu trÊ lới khng nh cho cƠu giÊ thuyát õ ữủc ữa bi Huneke-R.Y Sharp, G Lyubeznik cho cĂc vnh chẵnh quy a phữỡng chùa mët tr÷íng M°c dị, sau â A Singh, M Katzman  ch cĂc phÊn vẵ dử cho giÊ thuyát ny, giÊ thuyát õ văn cỏn úng nhiÃu trữớng hủp Chng hÔn, K Khashyarmanesh-Sh Salarian, L.T Nhn  chựng minh rơng vợi mồi j depth1 (I, M ) Tứ õ v tứ nh lỵ 0.0.1 ta thĐy rơng j r1 = depth1 (I, J n M/J n+1 M ) c¡c tªp n j AssR (HI (M )) l têp hỳu hÔn v i s1 = depth1 (I, M/J n M ) th¼ j i AssR (HI (J n M/J n+1 M )) v  AssR (HI (M/J n M )) l hỳu hÔn vợi ừ lợn Vẳ thá nhữ mởt l tỹ nhiản, ngữới ta họi rơng CƠu họi Cho cĂc số nguyản j ≤ r1 v  i ≤ s1 , li»u r¬ng c¡c tªp j i AssR (HI (J n M/J n+1 M )) v  AssR (HI (M/J n M )) câ tr nản ờn nh hay khổng n ừ lợn? Cụng bi bĂo nảu trản cừa N T Cữớng, N V Ho ng v  P H Kh¡nh (xem [8]), hå  trÊ lới khng nh cho mởt cƠu họi yáu hỡn cƠu họi trản, cử th hồ thu ữủc nh lỵ sau: nh lỵ 0.0.2 [8, nh lỵ 1.2] Cho (R, m) l  v nh àa ph÷ìng, I, J ⊆ R l cĂc iảan v M l Rmổun hỳu hÔn sinh L§y rk = depthk (I, J n M/J n+1 M ) v  sk = depthk (I, M/J n M ) n ừ lợn nhữ nh lỵ 0.0.1 Khi â c¡c m»nh · sau l  óng: r s (i) AssR (HI −1 (J n M/J n+1 M )) v  AssR (HI −1 (M/J n M )) l  c¡c tªp ên ành n õ lỵn (ii) j≤r0 j AssR HI (J n M/J n+1 M )) v  i≤s0 i AssR HI (M/J n M )) l  c¡c tªp ên ành n õ lỵn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (iii) t≤j t AssR HI (J n M/J n+1 M ))∪{m} v  t≤i t AssR HI (M/J n M ))∪{m} vỵi måi j ≤ r1 v  i ≤ s1 l  c¡c têp ờn nh n ừ lợn Nhỳng vĐn à nảu trản cõ mởt ỵ nghắa quan trồng chuyản ngnh Ôi số, Ôi số giao hoĂn v Ôi số ỗng iÃu, vẳ thá nõ  thu hút sỹ quan tƠm cừa nhiÃu nh toĂn hồc trản thá giợi v nữợc Mửc ẵch cừa luên vôn ny l hằ thống mởt số kián thực cƯn thiát và Ôi số giao hoĂn, Ôi số ỗng iÃu cõ liản quan án cĂc cƠu họi 1, 2; Sau õ trẳnh by lÔi mởt cĂch chi tiát chựng minh cho cĂc nh lỵ 0.0.1 v nh lỵ 0.0.2 v mởt số hằ quÊ cừa chúng Luên vôn gỗm chữỡng Chữỡng dnh  nhưc lÔi mởt số kián thực cỡ s và Ôi số giao hoĂn, ối ỗng iÃu a phữỡng, mổun phƠn bêc nhơm phửc cho viằc chựng minh cĂc kát quÊ cừa cĂc chữỡng tiáp sau Trong phƯn Ưu cừa chữỡng 2, chóng tỉi giỵi thi»u kh¡i ni»m tø chi·u > k, ë d i cõa M −d¢y tø chi·u > k I M dÂy Tiáp theo, chúng tổi chựng minh nh lỵ 0.0.1 v hằ quÊ cừa nõ PhƯn cuối cừa chữỡng ny, chúng tổi xt mởt số tẵnh chĐt quan trång cõa chi·u >k M −d¢y tø v  mð rởng cừa ở sƠu Chữỡng cuối cũng, chúng tổi dnh ton bở cho viằc chựng minh nh lỵ 0.0.2 Trong õ, trữợc mội phƯn chựng minh chúng tổi Ãu ữa cĂc tẵnh chĐt cõ liản quan S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chữỡng Kián thực cỡ s Trong suốt luên vôn ny, ta luổn kẵ hiằu (R, m) a phữỡng, Noether vợi iảan cỹc Ôi nhĐt l vnh giao hoĂn, m; v M l Rmổun hỳu hÔn sinh 1.1 Iảan nguyản tố liản kát nh nghắa 1.1.1 Mởt iảan nguyản tố nguyản tố liản kát cừa Ann(x) = p AssR (M ) M p cừa R náu tỗn tÔi mởt phƯn tỷ Têp cĂc iảan nguyản tố liản kát cừa hoc ữủc gồi l iảan M x M cho ữủc kẵ hiằu l Ass(M ) Sau Ơy l mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa têp cĂc iảan nguyản tố liản kát Mằnh à 1.1.2 (a) Cho p l  i¶an nguy¶n tè cõa R Khi â p ∈ AssR (M ) n¸u v  ch¿ n¸u M chùa mởt mổun ng cĐu vợi R/p (b) Cho p l phƯn tỷ tối Ôi cừa têp cĂc iảan cõ dÔng Ann(x) õ = x M Khi õ p AssR (M ) Vẳ thá, M = v  ch¿ AssR (M ) = Hỡn nỳa, têp ZD(M ) cĂc ữợc cừa khổng cõa M ch½nh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn l  hñp cõa cĂc iảan nguyản tố liản kát cừa M (c) Cho −→ M −→ M −→ M −→ l  dÂy khợp cĂc Rmổun Khi õ AssR M AssR M ⊆ AssR M ∪ AssR M (d) AssR (M ) ⊆ SuppR (M ) v  méi ph¦n tû tèi thiºu cõa SuppR (M ) ·u thuëc AssR (M ) (e) Náu M l Rmổun hỳu hÔn sinh thẳ AssR (M ) l têp hỳu hÔn Hỡn nỳa, AssR (M ) ⊆ V (Ann M ) v  méi ph¦n tû tèi thiºu cõa V (Ann M ) ·u thuëc AssR (M ) Vẳ thá Ann(M ) l giao cĂc iảan nguyản tố liản kát cừa M (f) Náu N l  mỉun cõa M th¼ AssR (N ) ⊆ AssR (M ) ⊆ AssR (M/N ) ∪ AssR (N ) (h) AssRp (Mp ) = {qRp |q ∈ AssR (M ), q p} Dữợi Ơy l mởt kát quÊ rĐt quan trồng cừa M Brodmann và tẵnh ờn nh cừa têp cĂc iảan nguyản tố liản kát nh lỵ 1.1.3 Cho I l mởt iảan cừa R v M l hỳu hÔn sinh Khi õ cĂc têp AssR (M/I n M ) v  AssR (I n−1 M/I n M ) khỉng phư thc v o n n õ lỵn 1.2 Mỉun Ext º ti»n theo dãi, mưc n y, ta nh­c ng­n gån c¡c kh¡i ni»m mỉun Ext v mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa nõ nh nghắa 1.2.1 Mởt giÊi xÔ Ênh cừa M l mởt dÂy khợp P2 P1 −→ P0 −→ M −→ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 õ mội Pi Chú ỵ 1.2.2 giÊ sỷ Y P1 M, gồi luổn tỗn tÔi Thêt vêy, P0 = yY Ry , tỹ trản têp Y Khi õ ta câ to n c§u ϕ(ay )y∈Y = Σy∈Y ay y l M GiÊi xÔ Ênh cừa mởt mổun l mởt hằ sinh cừa Rmổun bi l mổun xÔ Ênh t K1 = Ker LĐy Y1 vợi Ry = R, ϕ : P0 −→ M l  h» sinh cõa l  cho K1 v  R−mæun tü sinh bði Y1 Khi õ ta cõ mởt ton cĐu tỹ nhiản f1 : P1 −→ K1 tü nhi¶n tø K1 °t v o µ1 = j1 f1 , â j : K P0 P0 Dạ thĐy Im µ1 = Ker ϕ °t K2 = Ker µ1 Bơng cĂch lêp luên tữỡng tỹ, ta cõ mởt to n c§u l  mỉun tü v  l  ph²p nhóng f2 : P2 −→ K2 Im µ2 = Ker µ1 , õ à2 = j2 f2 vợi cho P2 j : K → P1 l  ph²p nhúng tỹ nhiản Cự tiáp tửc quĂ trẳnh trản ta thu ữủc mởt dÂy khợp à2 à1 −→ P1 −→ P0 −→ M −→ â méi Pi l  mỉun tü V¼ méi mỉun tỹ l xÔ Ênh nản dÂy khợp trản l giÊi xÔ Ênh cừa nh nghắa 1.2.3 Cho N phÊn bián, khợp trĂi Cho f2 l M M Rmổun l X²t h m tû R−mỉun f1 f0 Hom(−, N ) L§y giÊi xÔ Ênh cừa l M −→ P2 −→ P1 −→ P0 −→ M −→ TĂc ởng hm tỷ Hom(, N ) vo dÂy khợp tr¶n ta câ phùc f∗ f∗ f∗ −→ Hom(P0 , N ) −→ Hom(P1 , N ) −→ Hom(P2 , N ) −→ Khi â ∗ Exti (M, N ) = Ker fi∗ / Im fi−1 R v o vi»c chån gi£i xÔ Ênh cừa Mổun ny khổng phử thuởc M Sau Ơy l mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa mổun Ext M»nh · 1.2.4 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 vỵi måi n ≥ a ành vỵi n i·u â kh¯ng ành rơng ừ lợn, vẳ Trữớng hủp 3: r = s s AssR (HI (M/J n M )) s AssR (HI (M/J a M )) l têp ờn l hỳu hÔn bi Bờ à 3.1.1 Bi dÂy khợp di, ta cõ dÂy khợp sau: s1 s HI (M/J n M ) −→HI (J n M/J n+1 M ) s s −→ HI (M/J n+1 M ) −→ HI (M/J n M ) vỵi måi n ≥ a, â s−1 HI (M/J n M ) = s − < r Do vêy, ta cõ dÂy khợp sau s s s −→ HI (J n M/J n+1 M ) −→ HI (M/J n+1 M ) −→ HI (M/J n M ) vỵi måi n ≥ a Theo ành lỵ 3.1.2 tỗn tÔi số nguyản ba cho s s AssR (HI (J n M/J n+1 M )) = AssR (HI (J b M/J b+1 M )) vỵi måi n ≥ b °t s X := AssR (HI (J b M/J b+1 M )), õ theo dÂy khợp tr¶n ta câ s s X ⊆ AssR (HI (M/J n+1 M )) ⊆ AssR (HI (M/J n M )) ∪ X vỵi måi n ≥ b Do â, vỵi bĐt kẳ nb ta cõ s s AssR (HI (M/J n+2 M )) ⊆ AssR (HI (M/J n+1 M )) ∪ X s = AssR (HI (M/J n+1 M )) Tø â, v¼ s AssR (HI (M/J b+1 M )) s AssR (HI (M/J n M )) l hỳu hÔn bi theo Bờ à 3.1.1, nản l têp ờn nh vợi n ừ lợn 3.2 Chựng minh nh lỵ 0.0.2 (ii) Trữợc tiản ta nhưc lÔi mởt c trững cừa ở sƠu lồc thổng qua tẵnh Artin cừa mổun ối ỗng iÃu a phữỡng Bờ à 3.2.1 [19, nh lỵ 3.1] i f-depth(I, M ) = inf{i|HI (M ) khæng l  Artin } Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 B¥y gií, ta Ăp dửng nh lỵ 3.1.2 v 3.1.3  chựng minh nh lỵ 0.0.2(ii) Ta chựng minh iÃu ny hai nh lỵ dữợi Ơy tữỡng ựng vợi Nn = Mn trữớng hủp phƠn bêc M = n0 Mn , v Nn = M/J n M nh lỵ 3.2.2 Cho R = n0Rn l mởt Ôi số phƠn bêc chuân hỳu hÔn sinh trản vnh a phữỡng R0 = R v  M = ⊕n≥0 Mn l  mët R− mæun phƠn bêc hỳu hÔn sinh Cho I l mởt iảan cõa R v  r0 l  gi¡ trà ên ành cõa f-depth(I, Mn ) Khi â j≤r0 j AssR HI (Mn )) l têp ờn nh vợi n ừ lợn Chựng minh Vỵi r0 = ta câ j AssR HI (Mn )) = AssR (HI (Mn )) j≤r0 = AssR (ΓI (Mn )) = AssR (Mn ) ∩ V (I) Theo Bờ à 2.1.5 thẳ Vợi r0 = , AssR (ΓI (Mn )) l  ên ành vỵi i HI (Mn ) l Artin vợi mồi i nản ờn nh vỵi n õ lỵn theo Bê · 3.2.1 ta câ i f-depth(I, M ) = inf{i|HI (Mn ) n¶n n j≤r0 khæng l  Artin j AssR HI (Mn )) = {m} õ nõ ừ lợn Ta chựng minh phƯn cỏn lÔi, trữớng hủp r0 < theo nh lỵ 0.0.1, Bờ à 2.1.5 v 2.3.2 tỗn tÔi số nguyản mồi na (i) } a Khi õ cho vợi cĂc khng nh sau Ơy l úng: r0 = f-depth(I, Mn ); (ii) câ mët d¢y låc ch½nh quy cõa x1 , , xr0 Mn I cho nõ ỗng thới l mởt dÂy hoĂn v ữủc v l dÂy Ilồc chẵnh quy cõa Mn ho¡n ÷đc; Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 AssR (Mn /(x1 , , xr0 )Mn ) (iii) Trữợc hát ta chựng minh na nguyản n a Ta cõ l têp ởc lêp vợi r AssR HI (Mn )) n l têp hỳu hÔn LĐy sè r HI (Mn ) ∼ HI (H(x1 , ,xr ) (Mn )) = r0 theo Bê · 2.3.3, v  r0 H(x1 , ,xr ) (Mn ) ∼ lim(Mn /(xt , , xt )Mn ) =− r → t theo [5, nh lỵ 5.2.9] Nhữ vêy theo [4, Mằnh à 2.6] ta thu ÷đc r AssR (HI (Mn )) ⊆ AssR Mn /(xt , , xt )Mn ) r t>0 = AssR Mn /(x1 , , xr0 )Mn ) Do â tªp n≥a r AssR HI (Mn )) l  tªp húu hÔn bi cĂch chồn cừa Tứ Ơy khổng mĐt tẵnh tờng quĂt ta cõ th giÊ sỷ rơng vợi cho têp S= na p tố vợi r AssR HI (Mn )) r p ∈ AssR HI (Mn )) lợn Thêt vêy, vợi bĐt kẳ r p AssR HI (Mn )) N¶n r0 HIp (Mn )p = r AssR HI (Mn )) vỵi måi n nh rơng Gồi thẳ n T n T, n¶n cho r0 pRp ∈ AssRp HIp (Mn )p ) Suy M°t kh¡c, v¼ p ∈ Supp(Mn /IMn ) \ {m} depth(Ip (Mn )p ) ≥ r0 Vªy p ∈ Do â, depth(Ip (Mn )p ) = r0 n T M theo nh lỵ 0.0.1 thẳ depth(Ip (Mn )p ) l ờn nh vợi ừ lỵn Do â Do â r AssR HI (Mn ))\{m} l  ên ành vỵi n õ depth(Ip (Mn )p ) ≤ r0 vªy theo Bê · 2.1.3, ta câ n ≥ a p ∈ S, câ mët têp vổ hÔn số nguyản T vợi mồi vợi mồi a ừ lợn ch bao gỗm tĐt cÊ cĂc iảan nguyản vợi vổ hÔn Tiáp theo ta chựng minh r¬ng a depth(Ip (Mn )p ) = r0 r0 AssRp HIp (Mn )p ) vỵi måi l  ên ành vỵi r AssR HI (Mn )) \ {m} n l  ên ành vỵi n õ lỵn i·u â kh¯ng õ lợn theo nh lỵ 3.1.2 n ừ lợn r l gi¡ trà ên ành cõa depth(I, Mn ) Rã r ng r ≤ r0 N¸u r = r0 j HI (Mn ) = vỵi måi j < r0 â j r Ass(HI (Mn )) = AssR HI (Mn )) j≤r0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 n õ lỵn theo nh lỵ 3.1.2 Náu r < r0 , tỗn tÔi n ừ lợn l ờn nh vợi r = HI (Mn ) cho l  mæun Artin bði nh lỵ 3.2.1 Nõ khng nh rơng j Ass(HI (Mn )) = j≤r0 j Ass(HI (Mn )) j n ừ lợn Tứ dÂy khợp ngưn J n M/J n+1 M −→ M/J n+1 M −→ M/J n M ta cõ dÂy khợp di sau j−1 j −→ HI (M/J n M ) −→ HI (J n M/J n+1 M ) fj j j −→ HI (M/J n+1 M ) −→ HI (M/J n M ) −→ vỵi måi n > Tứ Ơy vợi bĐt kẳ jl v na ta cõ dÂy khợp sau j j Im fj −→ HI (M/J n+1 M ) −→ HI (M/J n M ) n¶n j j AssR (HI (M/J n+1 M )) ⊆ AssR (HI (M/J n M )) AssR (Im(fj )) Mt khĂc, theo nh lỵ ỗng c§u mỉun ta câ j Im(fj ) ∼ HI (J n M/J n+1 M )/ Ker fj = n¶n theo Bê · 3.2.3 th¼ j AssR (Im(fj )) = AssR (HI (J n M/J n+1 M ))/ Ker fj ) j ⊆ AssR (HI (J n M/J n+1 M )) ∪ SuppR (Ker fj ) V¼ j − < s1 n¶n j−1 SuppR (HI (M/J n M ) l  têp hỳu hÔn theo Bờ à 3.3.1, v vẳ thá ta câ j−1 SuppR (Ker fj ) ⊆ SuppR (HI (M/J n M )) j−1 ⊆ AssR (HI (M/J n M )) ∪ {m} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 Do â ta câ Xl (n + 1) ⊆ Xl (n) ∪ Sl (n) Mt khĂc, theo dÂy khợp di trản v Bê · 3.3.1, ta câ j AssR (HI (J n M/J n+1 M )) j j−1 ⊆ AssR (HI (M/J n+1 M )) ∪ SuppR (HI (M/J n M )) j j−1 ⊆ AssR (HI (M/J n+1 M )) ∪ AssR (HI (M/J n M )) ∪ {m} Do â Sl (n) ⊆ Xl (n + 1) ∪ Xl−1 (n) vợi mồi n a nguyản b a Theo nh lỵ 3.3.3 v theo giÊ thiát quy nÔp, tỗn tÔi số cho Sl (n) = S v Xl1 (n) = X vỵi måi n ≥ b Do â, v¼ X = Xl−1 (n + 1) ⊆ Xl (n + 1) n¶n S ⊆ Xl (n + 1) ∪ X = Xl (n + 1) vỵi måi n ≥ b Ci cịng, ta thu ÷đc c¡c bao h m sau Xl (n + 2) ⊆ Xl (n + 1) ∪ S ⊆ Xl (n + 1) vỵi måi n ≥ b Do õ X(n) l têp ờn nh vợi n ừ lợn, vẳ Xl (b + 1) hỳu hÔn theo nh lỵ 3.3.3 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn l 43 Kát luên Tõm lÔi, ton bở luên vôn ny, chúng tổi  trẳnh by lÔi v chựng minh chi tiát cĂc k¸t qu£ b i b¡o: "Asymptotic stability of center sets of associated prime ideals of local cohomology modules" cõa N T Cữớng, N V Hong v P H KhĂnh Kát quÊ chẵnh cừa luên vôn gỗm cĂc nởi dung sau Hằ thống lÔi mởt số kián thực cỡ s cừa iảan nguyản tố liản kát, mổun Ext, mổun ối ỗng iÃu a phữỡng, chiÃu v ở sƠu cừa mổun, mổun v vnh phƠn bêc Giợi thiằu khĂi niằm M dÂy tứ chiÃu > k v cĂc tẵnh chĐt Chựng minh kát quÊ bi bĂo trản và tẵnh ờn nh tiằm cên cừa mởt số m rởng cừa ở sƠu Chựng minh lÔi kát quÊ cừa bi bĂo trản và sỹ ờn nh tiằm cên cừa têp iảan nguyản tố liản kát S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 T i li»u tham kh£o [1] M Brodmann, Asymptotic stability Math Soc., (1) [2] M Brodmann, 74 of AssR (M/I n M ), Proc Amer (1979), 16 - 18 The asymptotic nature of the analytic spread, Math Proc Camb Phil Soc., 86 (1979), 35 - 39 [3] M Brodmann and A.L Faghani, A finiteness result for associated primes of local cohomology modules, 128 Proc Amer Math Soc., (10) (2000), 2851 - 2853 [4] M Brodmann and L.T Nhan, primes of certain Ext-modules, A finiteness result for associated to appear in Comm Algebra [5] M Brodmann and R.Y Sharp, "Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications ", Cambridge University Press, 1998 [6] N T Cuong and N V Hoang, local cohomology modules, Some finite properties of generalized East-West J Math., (2) (2005), 107 - 115 [7] N T Cuong and N V Hoang, On the vanishing and the finiteness of supports of generalized local cohomology modules, Math., (1) 126 Manuscripta (2008), 59 - 72 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 [8] N T Cuong and N V Hoang and P H Khanh, "Asymptotic sta- bility of certain sets of associated prime ideals of local cohomology modules", to appear in Comm Algebra [9] N T Cuong, P Schenzel and N V Trung, Cohen-Macaulay Moduln, [10] C Huneke, Math Nachr., 85 Verallgemeinerte (1978), 57 - 73 Problems on local cohomology, Free resolutions in commutative algebra and algebraic geometry (Sundance, Utah, 1990), Res Notes Math., (1992), 93 - 108 [11] C Huneke and R Y Sharp, modules, Bass numbers of local cohomology Trans Amer Math Soc., [12] M Katzman, 339 (1993), 765 - 779 An example of an infinite set of associated primes of local cohomology module, J Algebra, 252 [13] K Khashyarmanesh and Sh Salarian, (2002), 161 - 166 Filter regular sequences and the finiteness of local cohomology modules, Comm Algebra, (8) 26 (1998), 2483 - 2490 [14] K Khashyarmanesh and Sh Salarian, On the associated primes of local cohomology modules, Comm Algebra, [15] R Lu and Z Tang, ă (1999), 6191 - 6198 The f-depth of an ideal on a module, Amer Math Soc., (7) [16] G Lyubeznik, 27 130 (2001), 1905 - 1912 Finiteness properties of local cohomoly modules (an application of D-modules to commutative algebra), 113 Proc Invent Math., (1993), 41 - 55 [17] T Marley, Associated primes of local cohomology module over rings of small dimensio n, Manuscripta Math., (4) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 104 (2001), 519 - 525 http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 On asymptotic stability for sets of primes ideals [18] L Melkersson, connected with the powers of an ideal, Soc., 107 (1990), 267 - 271 [19] L Melkersson, module, [20] U Math Proc Camb Phil Some applications of a criterion for artinianness of J Pure Appl Algebra, Nagel and P Schenzel, 10 (1995), 291 - 303 Cohomological annihilators and Castelnuovo-Mumford regularity, In: Commutative Algebra: Syzy- gies, Multiplicities, and Birational Algebra (South Hadly, 1992) Contemp Math., [21] L.T Nhan, 159 Math Soc., (1994), 307 - 328 On generalized regular sequences and the finiteness for associated primes of local cohomology modules, 33 Comm Algebra, (2005), 793 - 806 [22] A Singh, p-torsion elements in local cohomology modules, Res Lett., Math (2000), 165 - 176 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... ta luổn kẵ hiằu (R, m) a phữỡng, Noether vợi iảan cỹc Ôi nh§t l  v nh giao ho¡n, m; v  M l  R−mỉun hỳu hÔn sinh 1.1 Iảan nguyản tố liản kát nh nghắa 1.1.1 Mởt iảan nguyản tố nguyản tố liản... nguyản tố p0 p1 ⊂ pn , â câ ë d i n Chi·u cừa vnh R, kẵ hiằu dim R, l cên trản cừa cĂc ở di cừa cĂc dÂy iảan nguyản tố R Chi·u cõa mỉun M , k½ hi»u l  dim M cho cõ mởt dÂy nguyản tố cõ... vợi R/p (b) Cho p l phƯn tỷ tối Ôi cừa têp cĂc iảan cõ dÔng Ann(x) õ = x ∈ M Khi â p ∈ AssR (M ) Vẳ thá, M = v ch AssR (M ) = Hìn núa, tªp ZD(M ) cĂc ữợc cừa khổng cừa M chẵnh S húa bi Trung