Iđêan Nguyên Tố Liên Kết Của Các Thành Phần Phân Bậc Của Mô Đun Đối Đồng Điều Địa Phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH - Lê Đình Nghĩa IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA CÁC THÀNH PHẦN PHÂN BẬC CỦA MÔ ĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG CĨ ĐỐI CHIỀU BÉ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH - Lê Đình Nghĩa IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA CÁC THÀNH PHẦN PHÂN BẬC CỦA MƠ ĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG CĨ ĐỐI CHIỀU BÉ Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012 Mục Lục Lời cảm ơn Phần mở đầu Bảng kí hiệu Chương 1: Kiến thức sở 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết 1.2 Độ cao iđêan 10 1.3 Chiều iđêan 10 1.4 Độ sâu mô đun 11 1.5 Vành Cohen – Macaulay 13 1.6 Vành phân bậc 13 1.7 Hàm tử xoắn 14 1.8 Mô đun đối đồng điều địa phương 16 1.9 Tính khơng xoắn mơ đun đối đồng điều địa phương 18 Chương 2: Iđêan nguyên tố liên kết thành phần phân bậc mô đun đối đồng điều địa phương có đối chiều bé 20 2.1 Khái niệm ổn định tiệm cận 20 2.2 Sự ổn định tiệm cận iđêan nguyên tố liên kết thành phần phân bậc mô đun đối đồng điều địa phương 21 2.3 Iđêan nguyên tố liên kết thành phần phân bậc có đối chiều 21 2.4 Iđêan nguyên tố liên kết thành phần phân bậc mô đun đối đồng điều nửa địa phương có số chiều 28 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 Lời cảm ơn Sau hai năm học tập nghiên cứu Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh hướng dẫn hỗ trợ tận tình PGS TS Trần Tuấn Nam luận văn tốt nghiệp tơi hồn thành Nhân dịp tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ cho tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS Mỵ Vinh Quang, T.S Trần Huyên, PGS.TS Bùi Tường Trí, PGS.TS Bùi Xuân Hải, quý thầy Khoa Toán – Tin Trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập trường Cuối tơi xin gởi lời cám ơn đến người thân, bạn bè tất người giúp đỡ hỗ trợ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2012 Học viên Lê Đình Nghĩa Mở đầu Lý chọn đề tài Cho R = ⊕ Rn họ (R n )n ≥0 họ vành Noether, R + = n≥0 ⊕ R n iđêan R M R – mô đun phân bậc hữu hạn sinh n >0 HiR + (M) mô đun đối đồng điều địa phương thứ i M R + trang bị tính phân bậc tự nhiên Với n ∈ ta có HiR + (M)n thành phần ( ) phân bậc thứ n mô đun HiR + (M) , tập hợp AssR HiR + (M)n tập hợp iđêan nguyên tố liên kết HiR + (M n ) Trong trình nghiên cứu tìm hiểu mô đun đối đồng điều địa phương HiR + (M) nhà toán học thu nhiều kết thú vị đặc biệt mô đun HiR + (M) tính chất thú vị tính ổn định tiệm cận tập hợp ( (H ) (M) ) AssR HiR + (M)n Đi đầu việc nghiên cứu ổn định tiệm cận AssR i R+ n nhà toán học M Brodmann, M Brodmann chứng minh số kết quan trọng: (1) [2.2.1] “ Nếu R – mô đun H Rj + (M) hữu hạn sinh với j < i, ta có ( ) ổn định tiệm cận thứ i AssR HiR + (M)n ” (2) [2.2.2] “ Nếu R vành (nửa địa phương) địa phương có dim(R ) ≤ ( ) có tập hợp AssR HiR + (M)n ổn định tiệm cận i”, Vấn đề đặt kết (2) mở rộng thêm giả thiết ( ổn định tiệm cận AssR HiR + (M)n ) thay đổi nào? Trong trường hợp R không địa phương có ổn định tiệm cận hay không cần bổ sung điều kiện để tính ổn định tiệm cận cịn? Trong trường hợp khơng có điều kiện địa phương cần điều ( ) kiện R AssR HiR + (M)n ổn định tiệm cận? Năm 2003 báo M Bordmann, S Fumasoli, C.S Lim trả lời cho câu hỏi cách xác Kết thể định lý sau Để mở rộng (2) trường hợp bỏ tính địa phương R , cần thêm số điều kiện nhỏ thể kết sau: (3) [2.3.3] Giả sử R mở rộng nguyên hữu hạn miền nguyên A cho q0 ∩ A0 = với iđêan tối tiểu q0 R Thì với i∈ (i) Τi =Τi (M) :={p∈ AssR (HiR + (M)) | ht(p ∩ R) ≤ 1} hữu hạn (ii) Τin =Τin (M) :={p0 ∈ AssR (HiR + (M)n ) | ht(p0 ) ≤ 1} ổn định tiệm cận (4) [2.3.6] Giả sử R chủ yếu hữu hạn trường Thì với i∈ (i) Τi =Τi (M) :={p∈ AssR (HiR + (M)) | ht(p ∩ R) ≤ 1} hữu hạn (ii) Τin =Τin (M) :={p0 ∈ AssR (HiR + (M)n ) | ht(p0 ) ≤ 1} ổn định tiệm cận Trong trường hợp đặc biệt, dim(R ) ≤ ta có kết quả: (5) [2.3.9] Giả sử dim(R ) ≤ R vành đơn mở rộng miền nguyên loại chủ yếu hữu hạn trường Thì với i∈ (i) AssR (HiR + ( M )) hữu hạn (ii) AssR (HiR + ( M )n ) ổn định tiệm cận Ngồi cịn có hướng mở rộng (2) trường hợp dim ( R ) =2 giữ nguyên tính địa phương R , ta có kết yếu hơn: (6) [2.4.7] Giả sử R vành nửa địa phương với dim ( R ) = Với i∈ Thì HiR + (M) hóa Đặc biệt, thêm vài điều kiện nhỏ ta có kết quả: (7) [2.4.8] Giả sử R vành nửa địa phương với dimR ≤ Nếu R mở rộng nguyên hữu hạn miền nguyên loại chủ yếu hữu hạn ( ) trường Thì với i∈ tập hợp AssR HiR + (M)n ổn định tiệm cận Những vấn đề có vai quan trọng chuyên ngành đại số, đại số giao hoán đại số đồng điều, thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học Mục đích đề tài Mục đích luận văn hệ thống lại số kiến thức cần thiết đại số giao hoán, đại số đồng điều có liên quan đến vấn đề tìm hiểu nghiên cứu, sau trình bày lại chi tiết chứng minh cho kết (3), (4) Bên cạnh trình bày cách hệ thống bổ đề tính chất để đến kết (6), (7) Đối tượng phương pháp nghiên cứu Bài nghiên cứu trình bày vài khái niệm kiến thức hỗ trợ tập trung làm việc tập hợp iđêan nguyên tố liên kết thành phần phân bậc mô đun đối đồng điều địa phương ( ) AssR HiR + (M)n để thấy rõ tính chất ổn định tiệm cận tính chất khác Đặc biệt nghiên cứu dừng mức độ số chiều R thấp 0,1,2 thêm vào R điều kiện nhỏ cần thiết Luận văn chia làm hai chương: Chương trình bày lại kiến thức sở đại số giao hoán, đại số đồng điều nhằm phục vụ việc chứng minh kết chương sau Chương gồm hai phần, phần phần luận văn, phần trình bày bổ đề liên quan sau trình bày chi tiết chứng minh kết (3), (4) với hệ liên quan Phần trình bày bổ đề liên quan sau dẫn đến kết (6), (7) Bảng kí hiệu  = {0,1,2 } - tập hợp số tự nhiên  = { ,-1,0,1,2 } - tập hợp số nguyên ⊕ R n - tổng trực tiếp họ vành R n n ≥0 R/p – vành thương R theo p Spec(R) - tập hợp iđêan nguyên tố R V(a ) - tập hợp iđêan nguyên tố chứa a S−1R - vành thương vành R theo tập nhân S R p - vành địa phương p SuppR ( M ) = {p ∈ Spec(R ) | M p ≠ 0} ( Var( m ) = Supp R m ) Ann(M) - linh hóa tử M dim ( R ) - số chiều vành R R [l1 ,l2 , ,lr ] - vành đa thức lấy hệ số R } - cận tập hợp inf{i ∈ sup{i ∈ } - cận tập hợp Hom ( A,B) - tập hợp tất đồng cấu từ A đến B Chương 1: Kiến thức sở 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết Định nghĩa 1.1.1 Cho R vành Noether M R – mô đun Một iđêan nguyên tố p R gọi iđêan nguyên tố liên kết M thỏa hai điều kiện tương đương sau: (i) Tồn phần tử x ∈ M cho Ann(x) = p (ii) M chứa mô đun đẳng cấu với R/ p Tập hợp iđêan nguyên tố liên kết M kí hiệu Ass R (M) Tính chất 1.1.2 Cho R vành, giả sử p phần tử tối đại {Ann(x) | x ∈ M, x ≠ 0} Thì p ∈ Ass R (M) Hệ 1.1.3 Ass R (M) = ⇔ M = Hệ 1.1.4 Giả sử S tập nhân R Đặt R ' = S−1R , M ' = S−1M Thì AssR (M ') =f (AssR ' (M ')) =AssR (M) ∩ {p | p ∩ S =∅} Trong f :Spec(R ') → Spec(R) đồng cấu Đặc biệt, AssR p ( M p ) = {qR p | q ∈ AssR (M), q ⊆ p} Định lý 1.1.5 Cho R vành Noether M R – mơ đun Thì Ass R (M) ⊆ Supp R (M), với phần tử tối tiểu Supp R (M) nằm Ass R (M) Hệ 1.1.6 Giả sử I iđêan vành R Thì iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu R- mô đun R/I iđêan nguyên tố tối tiểu I Mặt khác, ta có HiR + (M n ) p0 ≅ Hi   Rp  +  (M p0 )n Nên p0 ∈ Ass R ( HiR + (M n ) ) với n đủ nhỏ p0 ∉ Ass R ( HiR + (M n ) ) với n 0 đủ nhỏ Điều có nghĩa p0 ∈ Sn với n đủ nhỏ p0 ∉ Sn với n đủ nhỏ ~ Vì S hữu hạn nên Sn ổn định tiệm cận Ngược lại, Cho S n ổn định tiệm cận Nên S n hữu hạn với n nguyên dương Và S n = với n đủ lớn suy  Sn hữu hạn n∈Z Vậy S {p0 +R + |p0 ∈  Sn } hữu hạn = n∈Z Tính chất 2.3.3 Giả sử R mở rộng nguyên hữu hạn miền nguyên A cho q0 ∩ A = với iđêan tối tiểu q0 R với i∈ ta có: (i) Τi (M) hữu hạn (ii) Tni (M) ổn định tiệm cận Chứng minh Theo bổ đề 2.3.2 ta cần chứng minh (i) đủ Gọi l0 ,l1, lr ∈ R1 cho R = R 0[l0 ,l1, lr ] đặt A := A 0[l0 ,l1, lr ] Khi đó, A vành Noether R A + R = R + R mở rộng nguyên hữu hạn A Trong trường hợp M A – mô đun phân bậc hữu hạn sinh Ta có HiR + (M) ≅ HiA+ (M) Theo định lý 1.9.7 định lý 1.9.3 M hữu hạn sinh ta có s ∈ A \{0} cho τ ∩ A = s ∈τ ∩ A với τ∈ AssA (HiR + (M)) Vì q0 ∩ R = với q0 nguyên tố tối tiểu R Ta có height(sR ) ≥ Giả sử lấy p∈Τi (M) Thì p ∩ A ∈ AssA (HiR + (M)) p ∩ A0 = s ∈ p ∩ A0 Nếu p ∩ A = p ∩ R hữu hạn iđêan nguyên tố tối tiểu R Nếu s ∈ p ∩ A0 height(p ∩ R ) ≤ ≤ height(sR ) p ∩ R hữu hạn iđêan nguyên tố tối tiểu hữu hạn sR { } Vậy p ∩ R | p ∈Τi (M) hữu hạn nên Τi (M) tập hữu hạn Hệ 2.3.4 Giả sử R miền nguyên với i∈ kết luận tính chất  Bổ đề 2.3.5 Giả sử với i∈ , Τi (Γq0R ( M )) Τi  M Γ    tập q0 R ( M )  hữu hạn với ideal tối tiểu q0 R với q0 ⊇ (0 : M) Thì Τi (M) hữu hạn Chứng minh Giả sử q0(1) , q0(2) , , q0(t) = q0 iđêan nguyên tố tối tiểu khác R chứa (0:R M),(t ∈ ) Với p∈Τi (M) height(p ∩ R ) ≤ p ∩ R ⊇ (0 :R M) Đặt M := M Γ q0R (M) rõ ràng (0:R M) ⊄ q0 Theo giả thiết Τi (M) hữu hạn Ta cần chứng minh Τi (M) \ Τi (M) hữu hạn Lấy p∈Τi (M) \ Τi (M) giả sử p0= p ∩ R Xét dãy khớp δ → HiR + (Γq R (M)) → HiR + (M) → HiR + (M) HiR−+1 (M)   HiR (Γq R (M))   Ta có p∈ AssR  + imδ     Trong trường hợp đặc biệt, ta có p∈ Supp(Γq0R (M)) ⊆ Var(q0 R) q0 ⊆ p0 Trường hợp iđêan t −1 q0( j) ⊆ p0 Khi p  j=1 phải iđêan nguyên tố tối tiểu t −1 q0( j) + p0  j=1 Điều khẳng định ta chọn hữu hạn p0 p = p0 + R + Trường hợp t −1 q0( j) ⊄ p0  j=1 Nếu (0:R M) ⊆ p0 p0 chứa iđêan nguyên tố tối tiểu τ (0:R M) Khi τ0 ≠ q0( j) với mọi=j 1, t −1 τ0 ≠ q0 điều dẫn đến τ không tối tiểu R Do τ = p0 Lặp lại q trình ta có hữu hạn p = p0 + R + Nếu (0:R M) ⊄ p0 M p0 = Suy i −1 i i −1 i = H= H= ⇒ H= R + (M) p0 R + (M) p0 R + (M) H R + (M) δ → HiR + (Γq R (M)) → HiR + (M) → Khi  Suy HiR + (Γq0R (M)) ≅ HiR + (M) Nhưng p∈ AssR (HiR + (Γq0R (M))) p∈Τi (Γq0R ( M )) hữu hạn Định lý 2.3.6 Giả sử R loại chủ yếu hữu hạn trường với i∈ ta có: (i) Τi (M) hữu hạn (ii) Tni (M) ổn định tiệm cận Chứng minh Ta cần chứng minh (i) đủ Tồn vành A R tập nhân S A cho A hữu hạn trường Và R = S0−1A0 Giả sử l0 ,l1, lr ∈ R1 cho R = R 0[l0 ,l1, lr ] ta đặt A = A0[l0 ,l1, lr ] A vành Noether R cho R = S0−1A s Giả sử m1,m , ms ∈ M phần tử cho M = ∑ Rm j j=1 s ta đặt N = ∑ Am j N A – mô đun hữu hạn sinh thỏa S0−1N = M j=1 Ta= có HiR + (M) Hi(S−1A) (S0−1N) ≅ S0−1HiA+ (N) + i Nên Τ= (M) {S0−1q | q ∈Τi (N)} ta cần chứng minh Τi (N) hữu hạn Giả sử q0(1) , q0(2) , , q0(t) iđêan nguyên tố tối tiểu khác R chứa (0 :R M),(t ∈  ) Nếu t = ta có height(0 :R M) > height( p ∩ R ) ≤ (0:R M) ⊆ p ∩ R với p∈Τi (M) Nếu t > đặt q0 = q0(t) M := M Γ q0 R (M) Thì AssR (M) = AssR (M) \ Var(q0 R) Khi q0(1) , q0(2) , , q0(t −1) iđêan nguyên tố tối tiểu khác R chứa (0:R M) Do Τi (M) hữu hạn Theo bổ đề 2.3.5 ta cần chứng minh Τi (Γq0R (M)) hữu hạn Do ta thay M Γq0R (M) Ta có tồn n ∈ N cho q0n M = Do M trở thành mô đun phân bậc hữu hạn sinh R q0n R Ta có HiR + (M) ≅ Hi  R n   q0 R + (M) Do ta thay R R q0n R từ suy q0 iđêan nguyên tố tối tiểu R Theo bổ đề Noether R mở rộng nguyên hữu hạn miền Noether A ta có q0 iđêan nguyên tố tối tiểu R q0 ∩ A = Theo tính chất Τi (M) hữu hạn Chú ý 2.3.7 Giả sử R có chiều hữu hạn d Với i∈ ta đặt Si = Si (M) = {p∈ AssR (HiR + (M)) | dim( R0 p ∩ R ) ≥ d −1} Hơn với n ∈ ta đặt Sin = Sin (M)= {p0 ∈ AssR (HiR + (M)) | dim( R0 p0 ) ≥ d −1} Rõ ràng với kí hiệu = {p0 ∈Τin | p0 + R + ∈ Si } với n nguyên Si ⊆ Τi Sn i (M) Tính chất 2.3.8 Giả sử dim(R ) < ∞ R mở rộng nguyên hữu hạn miền ngun A với i∈ ta có: (i) Si (M) hữu hạn (ii) Sin (M) ổn định tiệm cận Chứng minh Theo ý 2.3.7 bổ đề 2.3.2 ta cần chứng minh (i) đủ cách chứng minh giống tính chất 2.3.3 Bằng cách thay bất đẳng thức dim   R0  sR  ≤ dim(R ) −1 cho height(sR ) ≥ Hệ 2.3.9 Giả sử dim(R ) ≤ R vành nửa địa phương mở rộng miền nguyên loại chủ yếu hữu hạn trường với i∈ ta có: (i) AssR (HiR + ( M )) hữu hạn (ii) AssR (HiR + ( M )n ) ổn định tiệm cận Chứng minh i Khi dim(R ) ≤ AssR (HiR + = (M)) S= (M) Ti (M) i i AssR (HiR + (M) = n ) S= n (M) Tn (M) Nếu R vành địa phương ta sử dụng định lý 2.2.3 kết hợp bổ đề 2.3.2 Nếu R mở rộng hữu hạn miền ngun ta sử dụng tính chất 2.3.8 Nếu R loại chủ yếu hữu hạn trường ta sử dụng định lý 2.3.6 Trong phần tìm hiểu hướng mở rộng số chiều R trường hợp dim R ≤ giữ nguyên tính địa phương R Tuy nhiên tìm hiểu số kết yếu hướng mở rộng trường hợp đặc biệt 2.4 Iđêan nguyên tố liên kết thành phần phân bậc mô đun đối đồng điều nửa địa phương có số chiều Bổ đề 2.4.1 Cho ( R ,m0 ) vành địa phương với số chiều nhỏ Giả sử x ∈m phần tử M Γ (M) - quy cho dim  R x R  ≤ với 0  m0R  Hi ( M )   mô đun i∈ ta có R – mơ đun phân bậc Γ m0R  R + i   x H M ( ) R +   artin Chứng minh Giả sử M = M / Γ m0R ( M ) x0 Xét dãy khớp ngắn → M  → M → M / x0 M → Lấy đối đồng điều dãy khớp ta x0 → H Ri + ( M )  → H Ri + ( M ) → H Ri + ( M / x0 M ) → Tác động hàm tử Γ m0R ( − ) ta dãy khớp → Γm 0R (H i R+ ( M ) / ) x0 H Ri + ( M )  → Γ m R ( H Ri ( M / x0 M ) ) + Mặt khác ta có H Ri + ( M / x0 M ) ≅ H (iR / x0 R )+ ( M / x0 M ) Vì ( R / x0 R0 )0 ≅ R0 / x0 R0 dim  R0 Nên theo định lý 1.8.9 ta có Γ m (H  Do Γ m 0R (H i R+ ( M ) / 0R  x R  ≤ i R+ ) ( M / x0 M ) R – mô đun Artin ) x0 H Ri + ( M ) mơ đun Artin Theo tính chất 1.8.8 ta lại có H Rj+ (Γ m R ( M )) mô đun Artin với j ∈ Chúng ta có hai dãy khớp R – mơ đun phân bậc → A → H Ri + ( M ) → U → 0 → U → H Ri + ( M ) → B → Trong A B mơ đun Artin Do ta xây dựng hai dãy khớp R – mô đun phân bậc → A → H Ri + ( M ) / x0 H Ri + ( M ) → U / x0U , → B → U / x0U → H Ri + ( M ) / x0 H Ri + ( M ) Trong A ảnh đồng cấu A, B ảnh đồng cấu R – mô đun Artin Tor1R ( B, R / x0 R ) Do A , B mơ đun Artin Tác động hàm tử Γ m0R ( − ) vào hai dãy khớp ta có điều phải chứng minh Bổ đề 2.4.2 Cho ( R , m ) vành địa phương với số chiều d > Giả sử x ∈ m phần tử tùy ý R i∈ Nếu với số nguyên n mà  Hi dimR    R+ ( M )n x HiR +   ≥ d −1 ( M )n  Thì tồn p0 ∈ Spec(R ) với dim   R0  i p0  ≥ d −1 p0 ∈ AssR0 (H R + (M)n ) với n vô nhỏ Chứng minh Theo giả thiết tồn q nguyên tố tối tiểu x R cho dim(R q )= d −1  Hi (M)n   q ∈ SuppR0  R + i  x H (M) n R +   với vô hạn số nguyên n Vì HiR + (M)n = 0, với n đủ lớn ( Ta có HiR (Mq )n ≅ HiR + (M)n ( q )+ ) q ≠ với n < Do ( Rq ) = ( R )q vành địa phương có số chiều bé Nên tồn s ∈ Spec ( (R q )0 ) cho s ∈ Ass R (HiR (Mq )n ) với n đủ nhỏ ( q )0 ( q )+ Đặt p0= s ∩ R Thì p0 thỏa tốn Bổ đề 2.4.3 Cho ( R ,m0 ) vành địa phương với dim R ≤ Giả sử i∈ HiR + ( M )n = với n < HiR + ( M )n = với n đủ nhỏ Chứng minh ⇔ AssR (HiR + ( M )n ) = ∅ Ta có HiR + ( M )n = Khi dim(R ) ≤ theo hệ 2.3.9 khẳng định Khi dim(R ) = Chọn x ∈ m cho x không thuộc iđêan nguyên tố tối tiểu R không thuộc phần tử tập AssR (M) \ Var( m R) Thì dim(R x R ) = x M Γ (M) - quy 0 m0R  Hi Theo 2.4.1 Γ m0R    Giả sử HiR + ( M )n ≠ R+ (M) x HiR +   vành Atin ( M )  với n < Thì theo Nakayama HiR + ( M ) x HiR + ( M ) ≠0 với n <  Hi Nếu dimR    R+ (M) x HiR +   ≥ với n < ( M )  Theo 2.4.2 HiR + ( M )n ≠ với n đủ nhỏ (Mâu thuẫn)  Hi ( M )  =0 Do dimR  R + i   x H M ( ) R +    HiR ( M )   HiR ( M )  + n Suy Γ m0R  Γ m0  + ≠ với n <  = i i x 0HR+ ( M )  x H R + ( M )n    n  Hi Vì Γm R  R +   (M) x 0HiR + ( M )   artin     Hi ( M )  n  ≠ với n đủ nhỏ Nên Γ m0  R + i   x H M ( ) R + n   ( )n ≠ với n đủ nhỏ ( Mâu thuẫn) Suy HiR M + Bổ đề 2.4.4 Cho ( R , m ) vành địa phương Giả sử i∈ , n ∈ m ∈ AssR0 ( HiR + (M)n ) Giả sử x ∈ m phần tử HiR + (M)n Γ m0 (HiR + (M)n ) - quy Thì Γm R (HiR (M))n = Γm (HiR (M)n ) ⊄ x 0HiR (M)n + 0 + + Chứng minh Đặt H = HiR + ( M )n Thì m ∈ AssR (H) có nghĩa Γ m0 (H) ≠ Ta có x0 phần tử H Γ (H) - quy m0 Ta có Γ m0 (H) = Γ x0R (H) Γ m0 (H) ∩ x H = Γ m0R (H) ∩ x H = x 0Γ m0R (H) = x 0Γ m0 (H) Theo Nakayama Γ m0 (H) ⊂ x 0Γ m0 (H) Γ m0 (H) ⊄ x H Bổ đề 2.4.5 Cho ( R , m ) vành địa phương với số chiều nhỏ Giả sử i∈ Si (M) hữu hạn với Thì m0 ∈ AssR  HiR + (M)n    với n < m0 ∈ AssR  HiR + (M)n  với n