Dãy chính quy suy rộng và tính hữu hạn của tập các Iđêan nguyên tố liên kết của Môđun đối đồng điều địa phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHAN THỊ HIỀN DÃY CHÍNH QUY SUY RỘNG VÀ TÍNH HỮU HẠN CỦA TẬP CÁC IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHAN THỊ HIỀN DÃY CHÍNH QUY SUY RỘNG VÀ TÍNH HỮU HẠN CỦA TẬP CÁC IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THỊ DUNG THÁI NGUYÊN – 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn2  n 1 , ,n r ∈N Ass(M/(x n 1 1 , . . . , x n r r )M)  n 1 , ,n r ∈N Ass(M/(x n 1 1 , . . . , x n r r )M) Ass(H i I (M)) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn4 (R, m) m. M R dim M = d depth M  dim M depth M = dim M M r M I H r I (M) f f f f f (I, M) f M I r H r I (M) Supp(M/IM) ⊆ {m} (x 1 , . . . , x r ) m M x i /∈ p, p ∈ Ass R (M/(x 1 , . . . , x i−1 )M) dim R/p > 1 i = 1, . . . , r. dim(M/IM) > 1 M I gdepth(I; M) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn5 depth(I, M)  f depth(I, M)  gdepth(I, M). gdepth(I; M) r H r I (M) dim(M/IM) > 1.  n 1 , ,n r ∈N Ass(M/(x n 1 1 , . . . , x n r r )M) Ass(H i I (M)) Ass(H i I (M)) I R i  0 f 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn6 2 (x 1 , . . . , x r ) M  n 1 , ,n r ∈N Ass(M/(x n 1 1 , . . . , x n r r )M) Ass(H i I (M)) i  gdepth(I, M) H i I (M) Ass(H i I (M)) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn7 (R, m) A R M R dim M = d Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn8 M, N R n  0 n Hom(−, N) M M N Ext n R (M, N). Ext n R (M, N) M . . . → P 2 .u 2 → P 1 u 1 → P 0 ε → M → 0. Hom(−, N) 0 → Hom(P 0 , N) u ∗ 1 → Hom(P 1 , N) u ∗ 2 → Hom(P 2 , N) → . . . Ext n R (M, N) = Ker u ∗ n+1 / Im u ∗ n n M Ext 0 R (M, N) ∼ = Hom(M, N). M N Ext n R (M, N) = 0 n  1. 0 → N  → N → N  → 0 Ext n R (M, N  ) → Ext n+1 R (M, N  ), n  0 0 → Hom(M, N  ) → Hom(M, N) → Hom(M, N  ) → Ext 1 R (M, N  ) → Ext 1 R (M, N) → Ext 1 R (M, N  ) → Ext 2 R (M, N  ) → . . . 0 → M  → M → M  → 0 Ext n R (M  , N) → Ext n+1 R (M  , N), n  0 0 → Hom(M  , N) → Hom(M, N) → Hom(M  , N) → Ext 1 R (M  , N) → Ext 1 R (M, N) → Ext 1 R (M  , N) → Ext 2 R (M  , N) → . . . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn9 M, N Ext n R (M, N) n. S R S −1 (Ext n R (M, N)) ∼ = Ext n S −1 R (S −1 M, S −1 N) S −1 (Ext n R (M, N)) p ∼ = Ext n R p (M p , N p ). I R M R M I, H i I (M), H i I (M) = R i (Γ I (M)) R i (Γ I (M)) i I Γ I (−) M. I R. δ 0 → L f → M g → N → 0 R i ∈ N 0 → H 0 I (L) H 0 I (f) → H 0 I (M) H 0 I (g) → H 0 I (N) → H 1 I (L) H 1 I (f) → H 1 I (M) H 1 I (g) → H 1 I (N) → . . . → H i I (L) H i I (f) → H i I (M) H i I (g) → H i I (N) → H i+1 I (L) → . . . H i I (M) = 0 i > d H d m (M) = 0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn10 [...]... Một số tính chất hữu hạn Vẫn giả thiết (R, m) hạn sinh với chiều Krull là vành địa phương, dim M = d và A là Noether R M là R -môđun hữu -môđun Artin Trong chương này, thông qua dãy chính quy suy rộng và độ sâu suy rộng, ta có thể chứng n1 nr n1 , ,nr N Ass(M/(x1 , , xr )M ) minh được tính hữu hạn của tập và tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương 2.1 Tính hữu hạn của n1... 1.3 không là Artin } Dãy chính quy suy rộng và độ sâu suy rộng 1.3.1 Dãy chính quy suy rộng Dãy chính quy suy rộng được giới thiệu bởi L T Nhàn [14] như là một sự mở rộng của dãy chính quy và Định nghĩa 1.3.1 một Một dãy dãy chính quy suy rộng f -dãy các của phần M tử nếu S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn (x1 , , xr ) xi p, / với trong mọi m được iđêan gọi là nguyên tố http://www.lrc-tnu.edu.vn22... ảnh của xi trong Rp (ii) Nếu r có độ dài d 2, thì mỗi hoán vị của một dãy chính quy suy rộng của M r lại là một dãy chính quy suy rộng của M n (iii) Nếu (x1 , , xr ) là một dãy chính quy suy rộng của M thì (x1 1 , , xnr ) r là một dãy chính quy suy rộng của Chứng minh nhất trong (i) vành dim R/q > 1 với x/1 là (ii) Cho r rộng của Mp M Tương địa như phương đối Rp , tương đương với với nên f -dãy, ... dài của một dãy chính độ sâu suy rộng của quy M suy trong I rộng và cực được đại ký của hiệu là (I; M ) dim(M/IM ) > 1 bày ở Mục 1.2 nên theo các kết quả của Lu-Tang [10] được trình , luôn tồn tại dãy chính quy lọc và độ sâu lọc f dãy chính quy đều là -dãy và mọi f f -depth Vì mọi -dãy đều là dãy chính quy suy rộng nên ta có depth(I; M ) f- depth(I; M ) gdepth(I; M ) Tương tự như các kết quả của độ... xt và với giả thiết quy nạp, ta suy ra điều phải chứng minh 1.3.2 Độ sâu suy rộng Cho nếu I I là chứa nguyên n một một 1 ideal dãy của chính Trong R , ta quy trường suy hợp các dãy chính quy suy rộng của dim(M/IM ) > 1 biết M rằng rộng này, dim của cận trong I (M/IM ) M trên có độ đúng là vô hạn 1 dài của n, các nếu với độ và chỉ mọi dài số của Do đó ta luôn giả sử Khi đó mỗi dãy chính quy suy rộng của. .. Định lý sau đây là kết quả chính thứ nhất của chương, cho ta tính chất hữu hạn của tập iđêan nguyên tố liên kết ứng với dãy chính quy suy rộng Định lý 2.1.7 Cho (x1 , , xr ) là một dãy chính quy suy rộng của M Khi đó Ass(M/(xn1 , , xnr )M ) r 1 n1 , ,nr N là một tập hữu hạn Chứng minh số của M Cho r d1 - Khi đó, vì x1 , , xd1 (M/(x1 , , xr )M ) nên dim 1 Do đó là một phần của hệ tham Supp(M/(x1... R 1.2 Dãy chính quy lọc và độ sâu lọc 1.2.1 Dãy chính quy lọc Khái niệm dãy chính quy lọc được giới thiệu bởi Cuong-Schenzel-Trung [4] như là một sự mở rộng của dãy chính quy Ngày nay dãy chính quy lọc đã trở thành một khái niệm quen biết và là một công cụ hữu ích để nghiên cứu cấu trúc vành và môđun được gọi là lọc (xem f -môđun [4]), dãy Chẳng hạn, thông qua khái niệm này, lớp môđun thỏa mãn tính chất... M và M không là dãy chính quy suy rộng của Kết quả sau cho ta điều kiện cần và đủ để một phần tử trong là M là phần tử chính quy suy rộng, Bổ đề 1.3.5 Cho x m Khi đó x là một phần tử chính quy suy rộng của M nếu và chỉ nếu dim(0 :M x) Chứng minh Cho x dim(0 :M x) > 1 Do đó của xp M M phần tử chính dim(0 :M x) Khi đó tồn tại p Ass M 1 kéo theo và giả sử p Ass M nên tồn tại dim(0 :M x) x rộng x của. .. T -dãy, với mọi là một Mp (xn1 , , xnr ) r 1 Theo (i) ta Do đó, theo Chú ý 1.1.7 -dãy, với mọi p T M là một dãy chính quy suy rộng của Khi đó, rõ ràng rằng T = , Vì thế theo (i), Cho d 1 r là một dãy chính quy suy rộng nếu và chỉ n nếu d2 (xn1 , , xd2 ) 1 là một dãy chính quy suy rộng Do đó ta có điều phải chứng minh Nhắc lại rằng trong trường hợp tổng quát, hoán vị của một dãy chính quy lại... độ dài của một dãy chính quy cực đại của cho tính không triệt tiêu thì kết quả sau đây của f -dãy không Artin của môđun đối đồng điều địa phương của Định lý 1.2.14 Cho M M trong đặc I đặc trưng trưng cho ứng với iđêan tính I I là iđêan thực sự của R, r f - depth(I, M ) = min{r|HI (M ) không là Artin} S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn21 20 Chứng minh của môđun dim(M/IM . HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHAN THỊ HIỀN DÃY CHÍNH QUY SUY RỘNG VÀ TÍNH HỮU HẠN CỦA TẬP CÁC IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG. THỊ HIỀN DÃY CHÍNH QUY SUY RỘNG VÀ TÍNH HỮU HẠN CỦA TẬP CÁC IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05. NGUYÊN – 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHAN THỊ HIỀN DÃY CHÍNH QUY