ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHAN THỊ HIỀN DÃY CHÍNH QUY SUY RỘNG VÀ TÍNH HỮU HẠN CỦA TẬP CÁC IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN – 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHAN THỊ HIỀN DÃY CHÍNH QUY SUY RỘNG VÀ TÍNH HỮU HẠN CỦA TẬP CÁC IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THỊ DUNG THÁI NGUYÊN – 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn2 ✶ ▼ô❝ ❧ô❝ ❚r❛♥❣ ▼ô❝ ❧ô❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶ ▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷ ▼ë ➤➬✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ❈❤➢➡♥❣ ✶✳ ▼ét sè ♠ë ré♥❣ ❝ñ❛ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ✶✳✶✳ ❉➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈➭ ➤é s➞✉ ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ✶✳✶✳✶✳ ❍➭♠ tö ♠ë ré♥❣ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✻ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✻ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✻ ✶✳✶✳✷✳ ▼➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽ ✶✳✶✳✸✳ ❉➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈➭ ➤é s➞✉ ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ✶✳✷✳ ❉➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ❧ä❝ ✈➭ ➤é s➞✉ ❧ä❝ ✶✳✷✳✶✳ ❉➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ❧ä❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵ ✶✳✷✳✷✳ ➜é s➞✉ ❧ä❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷ ✶✳✸✳ ❉➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② s✉② ré♥❣ ✈➭ ➤é s➞✉ s✉② ré♥❣ ✶✳✸✳✶✳ ❉➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② s✉② ré♥❣ ✶✳✸✳✷✳ ➜é s➞✉ s✉② ré♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹ ❈❤➢➡♥❣ ✷✳ ▼ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❤÷✉ ❤➵♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾ ✷✳✶✳ ❚Ý♥❤ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝đ❛ t❐♣ n1 , ,nr ∈N Ass(M/(xn1 , , xnr r )M ) ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾ ✷✳✶✳✶✳ ❇✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ t❤ø ❝✃♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾ ✷✳✶✳✷✳ ❚Ý♥❤ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝đ❛ t❐♣ ✷✳✷✳ ❚Ý♥❤ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝đ❛ t❐♣ Ass(M/(xn1 , , xnr r )M ) ✸✶ n1 , ,nr ∈N i Ass(HI (M )) ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✺ ❑Õt ❧✉❐♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✷ ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✸ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn3 ✷ ▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ♥❤ê sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ♥❤✐Ưt t×♥❤ ✈➭ ♥❣❤✐➟♠ ❦❤➽❝ ❝đ❛ ❈➠ ❣✐➳♦ ❚❙✳ ◆❣✉②Ơ♥ ❚❤Þ ❉✉♥❣✳ ❈➠ ➤➲ ❣✐➭♥❤ ♥❤✐Ò✉ t❤ê✐ ❣✐❛♥✱ ❝➠♥❣ sø❝ ❝❤Ø ❜➯♦ t➠✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ t❤ù❝ ❤✐Ư♥ ➤Ị t➭✐ ✈➭ t➵♦ ♠ä✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝❤♦ t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✳ ◆❤➞♥ ❞Þ♣ ♥➭② t➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ ➤Õ♥ ❈➠ ❝ï♥❣ ❣✐❛ ➤×♥❤✳ ❚➠✐ ①✐♥ tr➞♥ trä♥❣ ❝➯♠ ➡♥ ❇❛♥ ❧➲♥❤ ➤➵♦ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ s➢ ♣❤➵♠ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❧➲♥❤ ➤➵♦ ❦❤♦❛ ❚♦➳♥✱ ❧➲♥❤ ➤➵♦ ❦❤♦❛ ❙❛✉ ➤➵✐ ❤ä❝ ❝đ❛ ❚r➢ê♥❣ ➤➲ t➵♦ ♠ä✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ t❤✉❐♥ ❧ỵ✐ ❝❤♦ t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ tèt ♥❤✐Ư♠ ✈ơ ❤ä❝ t❐♣ ❝đ❛ ♠×♥❤✳ ❚➠✐ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ sù t❐♥ t➞♠ ✈➭ ♥❤✐Ưt t×♥❤ ❝đ❛ ❝➳❝ q✉ý ❚❤➬② ❝➠ t❤❛♠ ❣✐❛ ❣✐➯♥❣ ❞➵② ❝❤♦ ❧í♣ ❈❛♦ ❤ä❝ ❝❤✉②➟♥ ♥❣➭♥❤ ❚♦➳♥ ❦❤ã❛ ✶✽✳ ❈✉è✐ ❝ï♥❣ t➠✐ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ❝➳❝ ❜➵♥ ❜❒✱ ữ t tr ì t➠✐ ♥✐Ị♠ t✐♥ ✈➭ ➤é♥❣ ❧ù❝ ➤Ĩ t➠✐ ❤ä❝ t❐♣ tèt✳ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ t❤➳♥❣ ✾ ♥➝♠ ✷✵✶✷ ❍ä❝ ✈✐➟♥ P❤❛♥ ❚❤Þ ❍✐Ị♥ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn4 ✸ ▼ë ➤➬✉ ❈❤♦ (R, m) m ❞✉② ♥❤✃t ❝❤Ý♥❤ q✉② ❧➭ ❈❤♦ ❧➭ ✈➭♥❤ M ♠ét ❣✐❛♦ R ❧➭ tr♦♥❣ ❤♦➳♥✱ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✱ s➞✉ ể ó ột ứ ữ trò ❞➲② ❝➡ ❜➯♥ ❝đ❛ tró❝ q✉❛♥ ❝đ❛ trä♥❣ ♠➠➤✉♥✳ tr♦♥❣ ➜➵✐ ♥✐Ö♠ ♥❣❤✐➟♥ ❣✐❛♦ ➤➵✐ ❤♦➳♥ ♠➭ t❤➠♥❣ ❜✃t ❜✐Õ♥ r✃t q✉❛♥ ❞➲② ❝ø✉ ❝ù❝ ✳ ➤é s➞✉✲♠ét ❑❤➳✐ ✈✐Ö❝ sè ✐➤➟❛♥ dim M = d ❉➲② ✲♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ✈í✐ ❝❤✐Ị✉ q✉❛ ➤ã ♥❣➢ê✐ t❛ ❝ã t❤Ĩ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ trä♥❣ ◆♦❡t❤❡r ❝❤Ý♥❤ ❝✃✉ q✉② tró❝ ✈➭ ➤é ✈➭♥❤ ✈➭ ♠➠➤✉♥✱ ❝❤➻♥❣ ❤➵♥ ♠ét ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ❧✉➠♥ ❧➭ ♠ét ♣❤➬♥ ❝đ❛ ❤Ư t❤❛♠ sè✱ ➤é s➞✉ depth M dim M ✈➭ ♥Õ✉ depth M = dim M ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②✳ ➜➷❝ ❜✐Ưt✱ ➤é s➞✉ r ❝đ❛ M ➜➲ ❝ã ♥❤✐Ị✉ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ ♥❣❤✐➟♥ ➤Ĩ ❝❤♦ t❛ ♥❤÷♥❣ ❧í♣ ♠➠➤✉♥ ♠í✐✳ P✳ ❙❝❤❡♥③❡❧ ❬✹❪ ➤➲ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ❝ø✉ ♥✐Ư♠ ♠➠➤✉♥ t❤á❛ ♠➲♥ ♠ä✐ ❤Ư t❤❛♠ sè ➤Ị✉ ❧➭ ✲❞❡♣t❤ M ❝❤Ý♥❤ ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ ♥❤á HIr (M ) ♠ë ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❦❤➠♥❣ tr✐Ưt t✐➟✉✳ ré♥❣ ❝➳❝ ◆✳ ❚✳ ❈➢ê♥❣✱ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ f ✲❞➲② ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ tr➟♥ ◆✳ ❱✳ ❚r✉♥❣ ✈➭ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ❧ä❝ ✭f ✲❞➲②✮✱ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ tr➟♥✱ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ f ✈➭ ❚r➢í❝ t✐➟♥✱ ❦❤➳✐ I tr♦♥❣ ♥❤✃t s❛♦ ❝❤♦ ố ề ị tì f ộ s➞✉ ❧ä❝ ✭f ✲➤é s➞✉✮✱ ✈➭ ❧í♣ ✳ ❙❛✉ ➤ã✱ ❦ý ❤✐Ư✉ ❧➭ (I, M ) ❞➭✐ ❝đ❛ ♠ét ✱ ➤➢ỵ❝ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ❜ë✐ ▲✉✲❚❛♥❣ ❬✶✵❪ ♥❤➢ ❧➭ ❝❐♥ tr➟♥ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➤é f ✲❞➲② ❝ù❝ ➤➵✐ ❝ñ❛ M tr♦♥❣ I s❛♦ ❝❤♦ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ Supp(M/IM ) ⊆ {m} ✳ r ✈➭ ➤ã ❝ò♥❣ ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ HIr (M ) ♥❤á ♥❤✃t ❦❤➠♥❣ ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥✱ ❦❤✐ ❚✐Õ♣ t❤❡♦✱ ▲✳ ❚✳ ◆❤➭♥ ❬✶✹❪ ➤➲ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② s✉② ré♥❣ ♥❤➢ ❧➭ ♠ét sù ♠ë ré♥❣ ❝ñ❛ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈➭ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ❧ä❝✿ ▼ét ❞➲② ❝➳❝ ♣❤➬♥ tö q✉② s✉② ré♥❣ ♥Õ✉ dim R/p > xi ∈ / p, ✱ ✈í✐ ♠ä✐ (x1 , , xr ) ✈í✐ ♠ä✐ m ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ M ✲❞➲② ❝❤Ý♥❤ p ∈ AssR (M/(x1 , , xi−1 )M ) i = 1, , r ✱ t❤á❛ ♠➲♥ ❈❤ó ý r➺♥❣ ❦❤✐ ❝➳❝ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② s✉② ré♥❣ ❝ù❝ ➤➵✐ ❝đ❛ ➤é ❞➭✐ ❝❤✉♥❣ ➤ã ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ tr♦♥❣ M tr♦♥❣ ➤é s➞✉ s✉② ré♥❣✱ I dim(M/IM ) > t✃t ❝➯ ➤Ò✉ ❝ã ❝❤✉♥❣ ➤é ❞➭✐ ✈➭ ❦ý ❤✐Ö✉ ❧➭ gdepth(I; M ) ✳ ❘â r➭♥❣✱ ♠ä✐ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ❧➭ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ❧ä❝✱ ✈➭ ♠ä✐ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ❧ä❝ ❧➭ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn5 ✹ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② s✉② ré♥❣✱ ♥❤➢♥❣ ➤✐Ị✉ ♥❣➢ỵ❝ ❧➵✐ ❦❤➠♥❣ ➤ó♥❣✳ ❉♦ ➤ã t❛ ❝ã depth(I, M ) f depth(I, M ) gdepth(I, M ) ✲ ◆❤✐Ò✉ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② s✉② ré♥❣ ✈➭ ➤é s➞✉ s✉② ré♥❣ t➢➡♥❣ tù ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈➭ ➤é s➞✉ ❝ị♥❣ ➤➢ỵ❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ gdepth(I; M ) s➞✉ s✉② ré♥❣ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❝❤Ý♥❤ ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ HIr (M ) r ➜➷❝ ❜✐Öt✱ ➤é ♥❤á ♥❤✃t s❛♦ ❝❤♦ ♠➠➤✉♥ ❝ã t❐♣ ❣✐➳ ✈➠ ❤➵♥✱ ❦❤✐ dim(M/IM ) > ❍➡♥ ♥÷❛✱ t❤➠♥❣ q✉❛ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② s✉② ré♥❣ ✈➭ ➤é s➞✉ s✉② ré♥❣✱ ♠ét sè t❤➠♥❣ t✐♥ ✈Ị tÝ♥❤ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝đ❛ t❐♣ Ass(M/(xn1 , , xnr r )M ) n1 , ,nr ∈N ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❤÷✉ ❤➵♥ ❝ñ❛ t❐♣ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❧✐➟♥ ❦Õt ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ề ị ũ ợ ứ ú ý r➺♥❣✱ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❤÷✉ ❤➵♥ ❝đ❛ t❐♣ Ass(HIi (M )) ➤➢ỵ❝ ♥❤✐Ị✉ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ q✉❛♥ t➞♠✳ t❐♣ Ass(HIi (M )) ❝❤Ø ❝ã ❤÷✉ ❤➵♥ ❝➳❝ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❧✐➟♥ ❦Õt✱ ✈í✐ ♠ä✐ ✐➤➟❛♥ I ❧➭ ❝đ❛ R ➤ó♥❣ ✈➭ ✈í✐ ♠ä✐ tr♦♥❣ ♠ét i sè ✳ ➜➲ ❝ã ❣✐➯ t❤✉②Õt r➺♥❣ ❚✉② ♥❤✐➟♥✱ ❣✐➯ t❤✉②Õt tr➟♥ ❝❤Ø ➤➢ỵ❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ➤➷❝ ❜✐Ưt ✈Ị ✈➭♥❤ ✭①❡♠ ❬✻❪✱ ❬✼❪✮ ✈➭ ➤➲ ❝ã ♥❤÷♥❣ ♣❤➯♥ ✈Ý ❞ơ ❝❤ø♥❣ tá r➺♥❣ ❣✐➯ t❤✉②Õt tr➟♥ ❧➭ s❛✐ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ✈➭♥❤ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✈➭ ❦❤➠♥❣ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✭①❡♠ ❬✽❪✱ ❬✶✻❪✮✳ ▼ơ❝ ➤Ý❝❤ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ❧➭ tr×♥❤ ❜➭② ✈➭ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❧➵✐ ❝❤✐ t✐Õt t♦➭♥ ❜é ♥é✐ ❞✉♥❣ ❜➭✐ ❜➳♦ ✧❖♥ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ r❡❣✉❧❛r s❡q✉❡♥❝❡s ❛♥❞ t❤❡ ❢✐♥✐t❡♥❡ss ❢♦r ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ♣r✐♠❡s ♦❢ ❧♦❝❛❧ ❝♦❤♦♠♦❧♦❣② ♠♦❞✉❧❡s✧ tr➟♥ t➵♣ ❝❤Ý ❈♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ✐♥ ❆❧❣❡❜r❛✱ f ✲❞❡♣t❤ ♦❢ ❛♥ ✐❞❡❛❧ ♦♥ ❛ ♠♦❞✉❧❡✧ ❝ñ❛ ▲➟ ❚❤❛♥❤ ◆❤➭♥ ➤➝♥❣ ♥➝♠ ✷✵✵✺ ✈➭ ♠ét ♣❤➬♥ ❜➭✐ ❜➳♦ ❝ñ❛ ▲✉✲❚❛♥❣ ➤➝♥❣ tr➟♥ t➵♣ ❝❤Ý ✧❚❤❡ Pr♦❝❡❡❞✐♥❣s ♦❢ t❤❡ ❆♠❡r✐❝❛♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❙♦❝✐❡t②✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢ỵ❝ ❝❤✐❛ t❤➭♥❤ ❤❛✐ ❝❤➢➡♥❣✱ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❝❤➢➡♥❣ ❝❤✉➮♥ ❜Þ✳ ❈➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ së ❞ï♥❣ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ sÏ ➤➢ỵ❝ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ①❡♥ ❦Ï tr♦♥❣ ❦❤✐ tr×♥❤ ❜➭② ♥é✐ ❞✉♥❣ ❤❛✐ ❜➭✐ ❜➳♦✳ ❈❤➢➡♥❣ ❞➭♥❤ ➤Ĩ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈Ị ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn6 ✺ ✈➭ ➤é s➞✉✱ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ❧ä❝ ✈➭ ➤é s➞✉ ❧ä❝✱ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② s✉② ré♥❣ ✈➭ ➤é s➞✉ s✉② ré♥❣ ❝ï♥❣ ♠ét sè ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝ñ❛ ❝❤ó♥❣✳ q✉➯ ❤÷✉ ❤➵♥✿ t❐♣ n1 , ,nr ∈N tè ❧✐➟♥ ❦Õt ◆Õ✉ (x1 , , xr ) ❧➭ ♠ét Ass(M/(xn1 , , xnr r )M ) Ass(HIi (M )) ❧➭ t❐♣ ❤÷✉ ❞➲② ❈❤➢➡♥❣ ❝❤Ý♥❤ q✉② tr×♥❤ ❜➭② ❤❛✐ ❦Õt s✉② rộ ủ M tì ữ t ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ ❤➵♥ ✈í✐ ♠ä✐ i gdepth(I, M ) ✳ ➜➷❝ ❜✐Ưt✱ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❝ị♥❣ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ s➡ ❝✃♣ ❝❤♦ tÝ♥❤ ❝❤✃t ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ➤➬✉ t✐➟♥ ❦❤➠♥❣ ❆rt✐♥ HIi (M ) ❝❤Ø ❝ã ❤÷✉ ❤➵♥ ❝➳❝ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❧✐➟♥ ❦Õt✳ ❑Õt q✉➯ ♥➭② t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❇r♦❞♠❛♥♥ ✈➭ ❋❛❣❤❛♥✐ ❬✷❪ ❝❤♦ tÝ♥❤ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝đ❛ t❐♣ Ass(HIi (M )) tí t ữ s ợ t❤❛② t❤Õ ❜ë✐ tÝ♥❤ ❆rt✐♥✳ P❤➬♥ ❦Õt ❧✉❐♥ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ tỉ♥❣ ❦Õt ❧➵✐ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ➤➲ tr×♥❤ ❜➭②✳ ❱í✐ ♠♦♥❣ ♠✉è♥ ❧➭ tr×♥❤ ❜➭② ❧➵✐ ♠ét sè ♥é✐ ❞✉♥❣ q✉❛♥ trä♥❣ ✈Ò ❝➳❝ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈➭ ø♥❣ ❞ơ♥❣ ❝đ❛ ♥ã tr♦♥❣ ✈✐Ư❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝ ❧í♣ ♠➠➤✉♥ q✉❛♥ trä♥❣ tr♦♥❣ ➜➵✐ sè ❣✐❛♦ ❤♦➳♥✱ ♥❤➢♥❣✱ ✈× ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ t❤ê✐ ❣✐❛♥✱ ♥➝♥❣ ❧ù❝ ✈➭ ❦✐♥❤ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➯♥ t❤➞♥ ❝ß♥ ❤➵♥ ❝❤Õ ♥➟♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❦❤➠♥❣ tr➳♥❤ ❦❤á✐ ữ tế sót ố ợ ữ sù ❣ã♣ ý q✉ý ❜➳✉ ❝ñ❛ ❝➳❝ q✉ý t❤➬② ❝➠ ❝ï♥❣ ➤é❝ ❣✐➯ q✉❛♥ t➞♠ ➤Ĩ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤✐Ư♥ ❤➡♥✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn7 ✻ ❈❤➢➡♥❣ ✶ ▼ét sè ♠ë ré♥❣ ❝ñ❛ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ❚r♦♥❣ t♦➭♥ ❜é ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ t❛ ❧✉➠♥ ❦ý ❤✐Ư✉ ♣❤➢➡♥❣✱ ◆♦❡t❤❡r✱ ❝❤✐Ị✉ ❑r✉❧❧ A ❧➭ R ✲♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ ✈➭ M (R, m) ❧➭ R ị ữ s dim M = d ✳ ❈❤➢➡♥❣ ♥➭② ➤Ó ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤✐ t✐Õt ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ✈Ò ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ❧ä❝ ➤➢ỵ❝ ➤➢❛ r❛ ❜ë✐ ❈➢ê♥❣✲❙❤❡♥③❡❧✲❚r✉♥❣ ❬✹❪ ✈➭ ➤é s➞✉ ❧ä❝ ➤➢ỵ❝ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ❜ë✐ ▲✉✲❚❛♥❣ ❬✶✵❪✱ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② s✉② ré♥❣ ✈➭ ➤é s➞✉ s✉② ré♥❣ ➤➢ỵ❝ ➤➢❛ r❛ ❜ë✐ ▲✳ ❚✳ ◆❤➭♥ ❬✶✹❪ ✈➭ ♠è✐ q✉❛♥ ❤Ư ❝đ❛ ❝❤ó♥❣ ✈í✐ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈➭ ➤é s➞✉ q✉❡♥ ❜✐Õt✳ ▼ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ➤➢ỵ❝ ❞ï♥❣ tr♦♥❣ ❝➳❝ ♥é✐ ❞✉♥❣ t✐Õ♣ t❤❡♦ ♥❤➢✿ ❍➭♠ tö ♠ë ré♥❣✱ ố ề ị ũ ợ ë ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✳ ✶✳✶ ❉➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈➭ ➤é s➞✉ ❝đ❛ ♠➠➤✉♥ ❉➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ❧➭ ♠ét tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ❞➲② ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ➤➵✐ sè ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ♠➭ t❤➠♥❣ q✉❛ ➤ã ♥❣➢ê✐ t❛ ❝ã t❤Ĩ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ➤é s➞✉ ✲ ♠ét ❜✃t ❜✐Õ♥ r✃t q✉❛♥ trä♥❣ ➤Ó ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝✃✉ tró❝ ❝đ❛ ♠➠➤✉♥ ✭①❡♠ ❬✶✷❪✮✳ ✶✳✶✳✶ ❍➭♠ tư ♠ë ré♥❣ ▼ơ❝ ♥➭② ❞➭♥❤ ➤Ĩ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈➭ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝đ❛ ♠➠➤✉♥ ❊①t t❤➢ê♥❣ ➤➢ỵ❝ ❞ï♥❣ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn8 ✼ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✳ ❈❤♦ M, N ▼➠➤✉♥ ❞➱♥ ①✉✃t ♣❤➯✐ t❤ø ♠➠➤✉♥ ♠ë ré♥❣ t❤ø ♥ ❝đ❛ ❈ơ t❤Ĩ✱ ➤Ĩ ①➞② ❞ù♥❣ n ❧➭ ❝➳❝ R ❝đ❛ ❤➭♠ tư M ✈➭ N Hom(−, N ) ❧➭ ♠ét sè tù ♥❤✐➟♥✳ ø♥❣ ✈í✐ ✈➭ ➤➢ỵ❝ ❦ý ❤✐Ư✉ ❧➭ ExtnR (M, N ) u n ✲♠➠➤✉♥ ✈➭ M ExtnR (M, N ) t❛ ❧✃② ♠ét ❣✐➯✐ ①➵ ➯♥❤ ❝đ❛ u ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ M ε → P2 →2 P1 →1 P0 → M → ❚➳❝ ➤é♥❣ ❤➭♠ tö Hom(−, N ) ✈➭♦ ❞➲② ❦❤í♣ tr➟♥ t❛ ❝ã ➤è✐ ♣❤ø❝ u∗ u∗ → Hom(P0 , N ) →1 Hom(P1 , N ) →2 Hom(P2 , N ) → ❑❤✐ ➤ã ➤è✐ M ExtnR (M, N ) = Ker u∗n+1 / Im u∗n ♣❤ø❝ tr➟♥ ✭♠➠➤✉♥ ♥➭② ❦❤➠♥❣ ♣❤ơ n ❝đ❛ ➯♥❤ ❝đ❛ ❧➭ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ t❤ø t❤✉é❝ ✈➭♦ ✈✐Ư❝ ❝❤ä♥ ❣✐➯✐ ①➵ ✮✳ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✶✳✷✳ Ext0R (M, N ) ∼ = Hom(M, N ) M ❧➭ ①➵ ➯♥❤ ❤♦➷❝ N ❧➭ ♥é✐ ①➵ t❤× ExtnR (M, N ) = ✈í✐ ♠ä✐ n ✭✐✐✮ ◆Õ✉ ✭✐✐✐✮ ◆Õ✉ ❝✃✉ ♥è✐ ✭✐✮ → N → N → N → ❧➭ ❞➲② ❦❤í♣ ♥❣➽♥ t❤× tå♥ t➵✐ ❝➳❝ ➤å♥❣ ExtnR (M, N ) → Extn+1 R (M, N ), ỗ n s ❝❤♦ t❛ ❝ã ❞➲② ❦❤í♣ ❞➭✐ → Hom(M, N ) → Hom(M, N ) → Hom(M, N ) → Ext1R (M, N ) → Ext1R (M, N ) → Ext1R (M, N ) → Ext2R (M, N ) → ✭✐✈✮ ◆Õ✉ ❝✃✉ ♥è✐ → M → M → M → ❧➭ ❞➲② ❦❤í♣ ♥❣➽♥ t❤× tå♥ t➵✐ ❝➳❝ ➤å♥❣ ExtnR (M , N ) Extn+1 R (M , N ), ỗ n s❛♦ ❝❤♦ t❛ ❝ã ❞➲② ❦❤í♣ ❞➭✐ → Hom(M , N ) → Hom(M, N ) → Hom(M , N ) → Ext1R (M , N ) → Ext1R (M, N ) → Ext1R (M , N ) → Ext2R (M , N ) → ❈➳❝ ❦Õt q✉➯ s❛✉ ❝❤♦ t❛ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ❝đ❛ ♠➠➤✉♥ ❊①t ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ❣✐÷❛ ♠➠➤✉♥ ❊①t ✈í✐ ❤➭♠ tư ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❤ã❛✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn9 ✽ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✶✳✸✳ s✐♥❤ ✈í✐ ♠ä✐ ✭✐✐✮ ◆Õ✉ M, N ữ s tì ExtnR (M, N ) ❧➭ ❤÷✉ ❤➵♥ ✭✐✮ ◆Õ✉ n S ❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣ ♥❤➞♥ ❝đ❛ R t❤× t❛ ❝ã ➤➻♥❣ ❝✃✉ S −1 (ExtnR (M, N )) ∼ = ExtnS −1 R (S −1 M, S −1 N ) tr♦♥❣ ➤ã S −1 ❧➭ ❤➭♠ tư ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❤ã❛✳ ➜➷❝ ❜✐Ưt✱ (ExtnR (M, N ))p ∼ = ExtnRp (Mp , Np ) ✶✳✶✳✷ ▼➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❚r➢í❝ ❤Õt✱ t❛ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❝đ❛ ♠ét ♠➠➤✉♥ tï② ý✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✹✳ ❈❤♦ I ❧➭ ♠ét ✐➤➟❛♥ ❝đ❛ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ t❤ø ✐ ❝đ❛ M R ✈➭ M ❧➭ ♠ét ø♥❣ ✈í✐ ✐➤➟❛♥ I, R ✲♠➠➤✉♥✳ ▼➠➤✉♥ ❦ý ❤✐Ö✉ ❧➭ HIi (M ), ợ ị ĩ HIi (M ) = Ri (ΓI (M )) tr♦♥❣ ➤ã ø♥❣ ✈í✐ ❈❤♦ Ri (ΓI (M )) ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❞➱♥ s✉✃t ♣❤➯✐ t❤ø i ❝ñ❛ ❤➭♠ tö I ✲①♦➽♥ ΓI (−) M I ❧➭ ♠ét ✐➤➟❛♥ ❝ñ❛ R ❙❛✉ ➤➞② ❧➭ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t δ ✲❤➭♠ tư✱ tÝ♥❤ ❝❤✃t tr✐Ưt t✐➟✉✱ ❦❤➠♥❣ tr✐Ưt t✐➟✉ ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❆rt✐♥ ❝đ❛ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✺✳ ✭✐✮ ❈❤♦ f g → L → M → N → ❧➭ ♠ét ❞➲② ❦❤í♣ ❝➳❝ R✲♠➠➤✉♥✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ✈í✐ ♠ä✐ i ∈ N t❛ ❝ã ❞➲② ❦❤í♣ ❞➭✐ H (f ) H (g) H (f ) H (g) H i (f ) H i (g) I I → HI0 (L) → HI0 (M ) → HI0 (N ) I I → HI1 (L) → HI1 (M ) → HI1 (N ) → I I → HIi (L) → HIi (M ) → HIi (N ) → HIi+1 (L) → ✭✐✐✮ HIi (M ) = ✈í✐ ♠ä✐ i > d ✈➭ Hmd (M ) = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn10 ✸✵ ✭✐✐✮ ❈❤♦ M R ❧➭ ✲♠➠➤✉♥✳ M = N1 + + Nn M =0 ❤♦➷❝ M ▼ét ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ t❤ø ❝✃♣ t❤➭♥❤ tỉ♥❣ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ã ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ t❤ø ❝✃♣ t❤× t❛ ♥ã✐ ❞✐Ơ♥ t❤ø ❝✃♣ ♥➭② ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ tè✐ t❤✐Ĩ✉ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ ✈➭ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❤➵♥❣ tư Ni tè✐ t❤✐Ĩ✉✳ ❑❤✐ ➤ã t❐♣ ❤ỵ♣ ❦ý ❤✐Ư✉ ❜ë✐ ❝đ❛ (R, m) ❈➳❝ ❤➵♥❣ tư ❧➭ pi t❤ø ❝✃♣ Ni ✲ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ➤➢ỵ❝✳ ♥➭♦ ❧➭ t❤õ❛✱ ✈í✐ ♠ä✐ {p1 , , pn } ✈➭ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ AttR M ♣❤➬♥ t❤ø ❝✃♣ ❈❤♦ M M ❧➭ ♠ét ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ♥Õ✉ ❝➳❝ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❉Ơ t❤✃② r➺♥❣ ♠ä✐ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ t❤ø ❝✃♣ ❝đ❛ ❝✃♣ tè✐ t❤✐Ĩ✉ ❝đ❛ M ❝đ❛ M pi ◆Õ✉ ❇✐Ó✉ ❧➭ ➤➠✐ ♠ét i = 1, , n ➤Ị✉ ❝ã t❤Ĩ ➤➢❛ ➤➢ỵ❝ ✈Ị ❞➵♥❣ ❧➭ ➤é❝ ❧❐♣ ✈í✐ ✈✐Ư❝ ❝❤ä♥ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ t❤ø t❐♣ ❝➳❝ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❣➽♥ ❦Õt Ni , i = 1, , n, ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❝đ❛ ❝➳❝ M, t❤➭♥❤ M ❧➭ ✈➭♥❤ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✱ ➤➬② ➤đ✳ ➜➷t ❝đ❛ tr➢ê♥❣ t❤➷♥❣ ❞➢ R/m ❑ý ❤✐Ư✉ E = E(R/m) D(−) = HomR (−, E) ❧➭ ❜❛♦ ♥é✐ ①➵ ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã ❦Õt q✉➯ s❛✉ ❝đ❛ ❊✳▼❛t❧✐s✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✷✳ ❞✉② ♥❤✃t af ✭✐✮ R✲♠➠➤✉♥ E ❧➭ ❆rt✐♥✳ ❱í✐ ỗ f HomR (E, E), tồ t R : f (x) = af x, ∀x ∈ E ✭✐✐✮ ◆Õ✉ N ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ ◆♦❡t❤❡r t❤× D(N ) ❧➭ ❆rt✐♥✳ ✭✐✐✐✮ ◆Õ✉ A ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ t❤× D(A) ❧➭ ◆♦❡t❤❡r✳ ✭✐✈✮ Ann M = Ann D(M ), ✈➭ ♥Õ✉ M ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ s❛♦ ❝❤♦ R (D(M )) = R (M ) < ∞ t❤× R (M ) ❚❛ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ✈Ò t❐♣ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❣➽♥ ❦Õt sÏ ➤➢ỵ❝ ❞ï♥❣ tr♦♥❣ ♣❤➬♥ t✐Õ♣ t❤❡♦ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✸✳ ✭✐✐✮ ❈❤♦ ✭✐✮ ▼ä✐ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ ➤Ị✉ ❝ã ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ t❤ø ❝✃♣✳ M ❧➭ ♠ét R✲♠➠➤✉♥ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ➤➢ỵ❝✳ ❑❤✐ ➤ã M = ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ AttR M = ∅ ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♥➭② t❐♣ ❝➳❝ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè tè✐ t❤✐Ĩ✉ ❝đ❛ R ❝❤ø❛ Ann(M ) ❝❤Ý♥❤ ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ ♣❤➬♥ tư tè✐ t❤✐Ĩ✉ ❝đ❛ AttR M Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn32 ✸✶ ✭✐✐✐✮ ❈❤♦ → M → M → M → ❧➭ ❞➲② ❦❤í♣ ❝➳❝ R✲♠➠➤✉♥ ❜✐Ĩ✉ ➤✐Ơ♥ ➤➢ỵ❝✳ ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã AttR M ⊆ AttR M ⊆ AttR M ∪ AttR M ✭✐✈✮ AttR M = {p ∩ R : p ∈ AttR M } ✭✈✮ ◆Õ✉ R ❧➭ ✈➭♥❤ ị ủ tì t ó ế N ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ ◆♦❡t❤❡r t❤× AttR (D(N )) = AssR (N ) ❜✮ ◆Õ✉ A ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ t❤× AssR (D(A)) = AttR (A) ✷✳✶✳✷ n1 nr n1 , ,nr ∈N Ass(M/(x1 , , xr )M ) ❚Ý♥❤ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝đ❛ t❐♣ ❚r➢í❝ ❦❤✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❦Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ ❝đ❛ ❝❤➢➡♥❣✱ t❛ ❝➬♥ ♠ét sè ❜ỉ ➤Ị s❛✉✳ ◆Õ✉ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✶✳✹✳ R ❧➭ ✈➭♥❤ ➤➬② ➤đ ø♥❣ ✈í✐ t➠♣➠ m✲❛❞✐❝✱ t❤× rad(Ann(0 :A I)) = rad(Ann A + I) ỗ R rt A ỗ I ❝ñ❛ R ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ t❤➷♥❣ ❞➢ ❈❤♦ R/m R = R ◆Õ✉ M ➜➷t E = E(R/m) ❧➭ ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ✈➭ I ❜❛♦ ♥é✐ ①➵ ❧➭ ✐➤➟❛♥ ❝ñ❛ rad(Ann(M/IM )) = rad(Ann M + IR) D(0 :A I) ∼ = D(A)/ID(A) ❝đ❛ R tr➢ê♥❣ t❤× t❛ ❝ã ✳ ❉♦ ➤ã ➳♣ ❞ơ♥❣ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤è✐ ♥❣➱✉ ▼❛t❧✐s ✷✳✶✳✷ ✈➭ ➤➻♥❣ ❝✃✉ t❛ ❝ã rad(Ann(0 :A I)) = rad(Ann(D(0 :A I))) = rad(Ann(D(A)/ID(A))) = rad(Ann D(A) + I) = rad(Ann A + I) ỗ R ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❝❤ø❛ Ann A ✳ A ✱ ❦ý ❤✐Ư✉ V (Ann A) ❱í✐ ♠ä✐ sè ♥❣✉②➟♥ t❐♣ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ♣❤➬♥ tư tè✐ t❤✐Ĩ✉ p i 0, ❧➭ ➤➷t t❐♣ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ✐➤➟❛♥ (min V (Ann A))i ❝ñ❛ ❱✭❆♥♥ ❆✮ t❤á❛ ♠➲♥ dim R/p = i ❧➭ ✈➭ (Att A)i = {p ∈ Att A| dim R/p = i} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn33 ✸✷ ❈❤ó ý r➺♥❣✱ t❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✸✱ ✭✐✐✮✱ t❛ ❝ã Att A ✈➭ V (Ann A) ❝ã ❝ï♥❣ ❝➳❝ ♣❤➬♥ tư ❝ù❝ t✐Ĩ✉✳ ❉♦ ➤ã t❛ ❝ã ♥❣❛② ❦Õt q✉➯ ❞➢í✐ ➤➞②✳ ❇ỉ ➤Ò ✷✳✶✳✺✳ ❈❤♦ dim R/ Ann A i ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã (Att A)i = (min V (Ann A))i ❇ỉ ➤Ị ✷✳✶✳✻✳ ❑Ý ❤✐Ư✉ M ❧➭ ➤➬② ➤đ m✲❛❞✐❝ ❝ñ❛ M ✳ ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã AssR M = {p ∩ R : p ∈ AssR M } ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ϕa ➜➷t ϕ(p) = p ∩ R, ✿ (R) → ❙♣❡❝ (R) ❙♣❡❝ ✈í✐ ♠ä✐ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè p ủ R ợ ị ❑❤✐ ➤ã✱ t❤❡♦ ❬✶✷✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✸✳✷✱ ✭✐✮❪ t❛ ❝ã {p ∩ R| p ∈ AssR M } = ϕa (AssR M ) = ϕa ( AssR M /pM ) p∈AssR M ϕa (AssR M /pM ) = = p∈AssR M {p} p∈AssR M = AssR M ➜Þ♥❤ ❧ý s❛✉ ➤➞② ❧➭ ❦Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ t❤ø ♥❤✃t ❝ñ❛ ❝❤➢➡♥❣✱ ❝❤♦ t❛ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❤÷✉ ❤➵♥ ❝đ❛ t❐♣ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❧✐➟♥ ❦Õt ø♥❣ ✈í✐ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② s✉② ré♥❣✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✼✳ ❈❤♦ (x1 , , xr ) ❧➭ ♠ét ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② s✉② ré♥❣ ❝ñ❛ M ❑❤✐ ➤ã Ass(M/(xn1 , , xnr r )M ) n1 , ,nr ∈N ❧➭ ♠ét t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ sè ❝đ❛ M ❈❤♦ r d1 ✲ ✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ✈× x1 , , xd−1 (M/(x1 , , xr )M ) ♥➟♥ ❞✐♠ ❉♦ ➤ã ❧➭ ♠ét ♣❤➬♥ ❝ñ❛ ❤Ö t❤❛♠ Supp(M/(x1 , , xr )M ) ột t ữ ì Ass(M/(xn1 , , xnr r )M ) ⊆ Supp(M/(x1 , , xr )M ) n1 , ,nr ∈N Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn34 ✸✸ ♥➟♥ ❦Õt q✉➯ ➤ó♥❣ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♥➭②✳ ●✐➯ sư ➤đ M m ✲❛❞✐❝ ❝đ❛ M ✳ ➜Ĩ ý r➺♥❣✱ x1 , , x r r ✳ ❑Ý ❤✐Ö✉ M ❧➭ ➤➬② ❝ị♥❣ ❧➭ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② s✉② ré♥❣ ❝đ❛ n1 , , nr , ✳ ❍➡♥ ♥÷❛✱ ✈í✐ ♠ä✐ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ d−2 t❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✶✳✻ t❛ ❝ã Ass(M/(xn1 , , xnr r )M ) = {p ∩ R| p ∈ Ass(M /(xn1 , , xnr r )M )} ❑❤✐ ➤ã t❛ ❣✐➯ sö q✉➯ ✶✶✳✸✳✸❪ ✱ R=R ✈➭ ❝❤♦ N ❧➭ R ✲♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤✳ ❱× t❤❡♦ ❬✶✱ ❍Ư (AssR N )i ⊆ AttR (Hmi (N )), ♥➟♥ t❛ ❝ã dim N (Att Hmi (N ))i Ass N i=0 ì tế ị ý sÏ ➤➢ỵ❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♥Õ✉ t❛ ❝ã t❤Ĩ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ (Att(Hmi (M/(xn1 , , xnr r )M )))i n1 , ,nr ∈N ❧➭ t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥✱ ✈í✐ ♠ä✐ ❈❤♦ r=1 ✈➭ n1 > ✈➭ ❇ỉ ➤Ị ✶✳✸✳✺ t❛ ❝ã i = 0, 1, , d ❚❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❜➺♥❣ q✉② ♥➵♣ t❤❡♦ r ❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ tï② ý✳ ❉♦ ➤ã✱ t❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✶✳✸✳✸✱ ✭✐✐✐✮✱ dim(0 :M xn1 ) ✳ ❚õ ❞➲② ❦❤í♣ → :M xn1 → M → M/0 :M xn1 → t❛ ❝ã ❞➲② ❦❤í♣ ❞➭✐ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ → Hmi (M ) → Hmi (M/0 :M xn1 ) → Hmi+1 (0 :M xn1 ) → , ✈× Hmi (0 :M xn1 ) = 0, ✈í✐ ♠ä✐ i ♥➟♥ Hmi (M ) ∼ = Hmi (M/0 :M xn1 ) ▲➵✐ tõ ❞➲② ❦❤í♣ n → M/(0 x1 :M xn1 ) → M → M/xn1 M → t❛ ❝ã ❞➲② ❦❤í♣ ❞➭✐ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ → Hmi (M ) → Hmi (M/xn1 M ) → Hmi+1 (M/(0 :M xn1 )) → Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn35 ✸✹ ➳ ♣ ❞ô♥❣ ➤➻♥❣ ❝✃✉ tr➟♥ t❛ ❝ã ❞➲② ❦❤í♣ Hmi (M ) → Hmi (M/xn1 M ) → :Hmi+1 (M ) xn1 → ✈í✐ ♠ä✐ i i ❉♦ ➤ã✱ t❤❡♦ ❙❝❤❡♥③❡❧ ❬✶✺❪✱ ✈í✐ ♠ä✐ dim(R/ Ann(0 :Hmi+1 (M ) xn1 )) (1) t❛ ❝ã dim(R/ Ann(Hmi (M/xn1 M ))) i ì t ị ý ✷✳✶✳✸✱ ✭✐✐✐✮✱ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✶✳✹ ✈➭ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✶✳✺ t❛ ❝ã (Att Hmi (M/xn1 M ))i ⊆ (Att(Hmi (M )/Ki ))i ∪ (min V (Ann(Hmi+1 (M )) + xn1 R))i ⊆ (Att Hmi (M ))i ∪ (min V (Ann(Hmi+1 (M )) + x1 R))i ✈í✐ ♠ä✐ i tr♦♥❣ ❞➲② ✭✶✮✳ i Ki ❧➭ ❤➵t ♥❤➞♥ ❝ñ❛ ➤å♥❣ ❝✃✉ Hmi (M ) → Hmi (M/xn1 M ) ❉♦ ➤ã (Att Hmi (M/xn1 M ))i ❧➭ ♠ét t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥ ✈í✐ ♠ä✐ ✈➭ n1 ∈N r>1 ❈❤♦ ✈➭ n1 , , nr ❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ tï② ý✳ ❑❤✐ ➤ã t❤❡♦ ❇æ ➤Ị ✶✳✸✳✸✱ ✭✐✐✐✮ ✈➭ ❇ỉ ➤Ị ✶✳✸✳✺ t❛ ❝ã nr dim(0 :M/(xn1 , , xnr−1 r−1 )M xr ) ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ r=1 t❛ ❝ã ❞➲② ❦❤í♣ n r−1 Hmi (M/(xn1 , , xr−1 )M ) → Hmi (M/(xn1 , , xnr r )M ) → nr → :Hmi+1 (M/(xn1 , , xnr−1 r−1 )M ) xr → ✈í✐ ♠ä✐ i (2) ▼➷t ❦❤➳❝✱ t❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✶✳✹ ✈➭ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✶✳✺ t❛ ❧➵✐ ❝ã nr nr−1 (Att(0 :Hmi+1 (M/(xn1 , , xr−1 )M ) xr ))i n r−1 = (min V (Ann Hmi+1 (M/(xn1 , , xr−1 )M ) + xnr r R))i n r−1 = (min V (Ann Hmi+1 (M/(xn1 , , xr−1 )M ) + xr R))i nr−1 = (Att(0 :Hmi+1 (M/(xn1 , , xr−1 )M ) xr ))i Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn36 ✸✺ ❱× t❤Õ tõ ❞➲② ❦❤í♣ ✭✷✮ t❛ ❝ã (Att(Hmi (M/(xn1 , , xnr r )M )))i n r−1 ⊆ (Att Hmi (M/(xn1 , , xr−1 )M ))i ∪ (Att(0 :Hmi+1 (M/(xn1 , , xnr−1 r−1 )M ) xr ))i ❈❤ó ý r➺♥❣✱ ✈í✐ ♠ä✐ i 1, t❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉② ♥➵♣ t❛ ❝ã n r−1 (Att Hmi (M/(xn1 , , xr−1 )M ))i n1 , , nr−1 ∈N ❧➭ ♠ét t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥✳ ❍➡♥ ♥÷❛✱ ❞ï♥❣ ❞➲② ❦❤í♣ ✭✷✮ ❝❤♦ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ nr = t❛ ❝ã n n1 i r−1 (Att(0 :Hmi+1 (M/(xn1 , , xnr−1 r−1 )M ) xr ))i ⊆ (Att Hm (M/(x1 , , xr−1 , xr )M ))i ✈í✐ ♠ä✐ i n ❈❤ó ý r➺♥❣✱ t❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✶✳✸✳✸✱ ✭✐✐✮✱ ✭✐✐✐✮ t❛ ❝ã ♠ét ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② s✉② ré♥❣ ❝ñ❛ M/xr M r−1 xn1 , , xr−1 ❧➭ ✳ ❉♦ ➤ã t❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉② ♥➵♣ t❛ ❝ã n r−1 (Att Hmi (M/(xn1 , , xr−1 , xr )M ))i n1 , ,nr−1 ∈N ❧➭ ♠ét t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥✱ ✈í✐ ♠ä✐ i ✳ ❑Ð♦ t❤❡♦ (Att Hmi (M/(xn1 , , xnr r )M ))i n1 , ,nr ∈N ❧➭ ♠ét t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥ ✈í✐ ♠ä✐ ✷✳✷ i ị ý ợ ứ Ass(HIi (M )) í ữ ❤➵♥ ❝đ❛ t❐♣ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✷✳✶✳ ❈❤♦ ❑ ❧➭ ♠ét (0 :K I n ) ❑❤✐ ➤ã R✲♠➠➤✉♥✳ ●✐➯ sö K = n Ass K = Ass(0 :K I) ✈➭ Supp K = Supp(0 :K I) ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt✱ ✈× (0 :K I n ) K= ♥➟♥ (0 :K I) ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ n ❝ñ❛ K ❉♦ ➤ã 0=a∈K ➤Ó Ass(0 :K I) ⊆ Ass K ▲✃② tï② ý p = Ann a (0 :K I n ) ❱× K= p ∈ Ass K ❑❤✐ ➤ã tå♥ t➵✐ ♥➟♥ tå♥ t➵✐ sè ♥❣✉②➟♥ n n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn37 ✸✻ I na = s❛♦ ❝❤♦ ❉♦ ✈× ➤ã I n−1 a = Ass K Ass(0 :K I) ỗ tể ủ tư ❝ù❝ t✐Ĩ✉ Supp(0 :K I) ❑❤✐ ➤ã Ass K = Ass(0 :K I) ❱❐② Supp K ❝ñ❛ t❤✉é❝ p ∈ Ass(I n−1 a) ⊆ Ass(0 :K I) t❤✉é❝ Ass(0 :K I) Ass K t ó ỗ ▼➷t ♣❤➬♥ t❤ø❝ ❦❤➳❝✱ tö ❝ù❝ t❤ø ❤❛✐ Supp K = Supp(0 :K I) ✳ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✷✳✷✳ gdepth(I; M ) = min{i | Supp HIi (M ) ❧➭ ♠ét t❐♣ ✈➠ ❤➵♥} ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤♦ Supp(HIr (M )) ❝ñ❛ M ✳ i1 ✈➭ x1 ❧➭ ♠ét ♣❤➬♥ tư ❝❤Ý♥❤ q✉② s✉② ré♥❣ ✳ ❑❤✐ ➤ã✱ t❤❡♦ ▼Ư♥❤ ➤Ò ✶✳✸✳✶✵ t❛ ❝ã i < r − 1 (0 :K I n )) = Supp(0 :M I) ✈➭ t❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉② ♥➵♣ t❤× ❧➵✐ ❝ã ✈í✐ ♠ä✐ dim(0 :M x1 ) gdepth(M/x1 M ) = r − Supp HIi (M/x1 M ) dim :M x1 ❧➭ ♠ét t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥ ♥➟♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ tr♦♥❣ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✼✱ tõ ❞➲② ❦❤í♣ → :M x1 → M → M/(0 :M x1 ) → t❛ ❝ã HIi (M ) ∼ = HIi (M/(0 :M x1 )), ✈í✐ ♠ä✐ i ✳ ❉♦ ➤ã ❧➵✐ tõ ❞➲② ❦❤í♣ x → M/(0 :M x1 ) →1 M → M/x1 M → t❛ ❝ã ❞➲② ❦❤í♣ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ x HIi−1 (M ) → HIi−1 (M/x1 M ) → HIi M →1 HIi (M ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn38 ✸✼ ✈í✐ ♠ä✐ i ✳ ❱× ✈❐② ♥Õ✉ ir t❤× HIi (M ) = http://www.lrc-tnu.edu.vn39 ✸✽ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✷✳✹✳ ❈❤♦ K ❧➭ ♠ét R✲♠➠➤✉♥ ✈➭ A ❧➭ ♠ét ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❆rt✐♥ ❝ñ❛ K ✳ ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã Ass(K/A) \ {m} = Ass K \ {m} ➜➷❝ ❜✐Ưt✱ Ass K ❧➭ t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥ ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ Ass(K/A) ❧➭ t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚õ ❞➲② ❦❤í♣ → A → K → K/A → 0, t❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✸✱ ✭✐✐✐✮✱ t❛ ❝ã Ass K ⊆ Ass(K/A) ∪ Ass A ⊆ Ass(K/A) ∪ {m} ◆❣➢ỵ❝ ❧➵✐✱ ❧✃② p ∈ Ass(K/A) p = AnnR a ¯ = A :R a ✈➭ ✈× ❝đ❛ A A ❧➭ ♥➟♥ ❆rt✐♥ pa ♥➟♥ pa ✱ ✈í✐ ❝ị♥❣ ✳ ❑❤✐ ➤ã✱ tå♥ ❧➭ ➯♥❤ ❝ñ❛ a a ¯ ❧➭ ❆rt✐♥✳ ❝ã ➤é ❞➭✐ ❤÷✉ ❤➵♥✳ pn−1 (pa) = ✳ ❱× t❤Õ pn ⊆ :R a ❱× t➵✐ tr♦♥❣ pa ❧➭ = a ∈ K K/A ♠➠➤✉♥ ✳ ❉♦ ❝♦♥ s❛♦ pa ⊆ A, ➤ã ❤÷✉ ❉♦ ➤ã tå♥ t➵✐ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ ❝❤♦ ❤➵♥ n s✐♥❤ s❛♦ ❝❤♦ ✈➭ p = rad(pn ) ⊆ rad(0 :R a) ⊆ rad(A :R a) = p ❈❤ø♥❣ tá r➺♥❣ ✈➭ ✈× ✈❐② p = rad(Ann a) ✳ ❉♦ ➤ã p ∈ Ass(Ra) ✱ ❦Ð♦ t❤❡♦ p ❧➭ ♣❤➬♥ tö tè✐ t❤✐Ĩ✉ ❝đ❛ p ∈ Ass K Supp(Ra) ✳ ▼Ư♥❤ ➤Ị ➤➢ỵ❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❇r♦❞♠❛♥♥ ✈➭ ❋❛❣❤❛♥✐ ❬✷❪ ➤➲ ❝❤ø♥❣ ợ ột ết q ẹ ề tí ữ ❝ñ❛ t❐♣ ❝➳❝ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❧✐➟♥ ❦Õt ❝ñ❛ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣✱ ♥Õ✉ ❧➭ ♠ét t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥✳ HIi (M ) HIi (M ) ♥❤➢ s❛✉✿ ❈❤♦ ❧➭ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ✈í✐ ♠ä✐ i ✳ ❦Õt ❚❤❡♦ http://www.lrc-tnu.edu.vn40 ✸✾ HI0 (M ) ❣✐➯ t❤✐Õt q✉② ♥➵♣✱ t❛ ❝ã ❱× ✈❐② I p, ❧➭ R ✲♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥✳ ✳ p ∈ Ass M \ {m} ✈í✐ ♠ä✐ ✳ ❉♦ ➤ã tå♥ t➵✐ ♠ét ♣❤➬♥ tö x∈ / p, p ∈ Ass M \ {m} i HIi (M ) ∼ = HIi (M/(0 :M x)), s❛♦ ❝❤♦ (0 :M I) < ∞ ❉♦ ➤ã ✈í✐ ♠ä✐ ✳ ✈í✐ ♠ä✐ (0 :M x) < ∞ ❙✉② r❛ ✳ x∈I ❱× ✈❐② ✳ ❉♦ ➤ã t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ tr♦♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝đ❛ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✷✳✷ t❛ ❝ã ❞➲② ❦❤í♣ x HIi−1 (M ) → HIi−1 (M/xM ) → HIi (M ) → HIi (M ) ✈í✐ ♠ä✐ i ❆rt✐♥ ✈í✐ ♠ä✐ ❱× HIi (M ) i < r−1 ♠ét t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥✳ ➜➷t i