f-môđun suy rộng và tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐOÀN THỊ THU THẢO F-MÔĐUN SUY RỘNG VÀ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ [...]... quy suy rộng được giới thiệu bởi L T Nhàn và M Morales [NM] Các đặc trưng của lớp môđun này qua đầy đủ m-adic của M , qua địa phương hóa Mp của M , qua tính chất catenary của tập Supp M , qua số bội và kiểu đa thức của M, tính hữu hạn của tập iđêan nguyên tố liên kết của một số môđun đối đồng điều địa phương đã được chứng minh lại một cách chi tiết trong chương này 2.1 Tính chất của f -môđun suy rộng. .. bội của M Khi đó e(x1 , , xt ; M ) = 0 khi và chỉ khi (iv) Cho t > dim M (n1 , , nt ) là bộ gồm t số nguyên dương Khi đó e(xn1 , , xnt ; M ) = n1 nt e(x1 , , xt ; M ) t 1 8 1.3 Môđun đối đồng điều địa phương Trước hết, ta nhắc lại khái niệm môđun đối đồng điều địa phương của một môđun tùy ý, (xem [BS]) Định nghĩa 1.3.1 R -môđun là Cho là một iđêan của vành Noether I Môđun đối đồng điều địa. .. quy suy rộng của R, hay R là f -vành suy rộng Để chứng minh các kết quả chính của chương, trước hết ta nhắc lại một số kiến thức sau Vành R được gọi là đẳng chiều nếu với mọi iđêan nguyên tố tối thiểu là đẳng chiều nếu dim R/q = dim R, q min(Ass R) và môđun M được gọi dim R/p = dim M với mọi iđêan nguyên tố tối thiểu p min(Ass M ) Cho p q là các iđêan nguyên tố của R Một dãy các iđêan nguyên tố i,... dãy nguyên tố bão hoà giữa tại một iđêan nguyên tố nào chen giữa với mỗi cặp iđêan nguyên tố iđêan nguyên tố bắt đầu từ Supp M cho tại p và q nếu với mọi i, không tồn pi và pi+1 Vành R là catenary nếu p, q của R sao cho p q, mọi dãy bão hoà các p và kết thúc tại q đều có cùng độ dài Ta nói rằng là catenary nếu với mỗi cặp iđêan nguyên tố p, q Supp M sao p q, thì mọi dãy bão hoà các iđêan nguyên tố. .. một kết quả đẹp về tính triệt tiêu và tính không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương Mệnh đề 1.3.2 (i) Cho M là R -môđun, I là một iđêan của R Khi đó i HI (M ) = 0, với mọi i > dim M (ii) Giả sử (R, m) là vành địa phương và 0 = M là R -môđun hữu hạn sinh với chiều Krull với mọi d i dim M = d Khi đó Hm (M ) = 0 và các Hm (M ) là Artin, i N0 (iii) Giả sử (R, m) là vành địa phương, I là một iđêan. .. quy suy rộng của x1 , , x r sao cho M là một dãy chính quy suy rộng của một dãy chính quy suy rộng của M M thì xn1 , , xnr r 1 là M , với mọi số nguyên dương n1 , , nr Kết quả sau cho ta điều kiện để tồn tại dãy chính quy suy rộng, (xem [N, Bổ đề 2.3, Bổ đề 4.1]) Mệnh đề 1.4.15 của (i) Cho x m Khi đó x là một phần tử chính quy suy rộng M nếu và chỉ nếu dim(0 :M x) (ii) Cho 1 r là một số nguyên. .. là iđêan của R sao cho dim(M/IM ) > 1 Khi đó theo Mục 1.4.3, mỗi phần tử chính quy suy rộng đều là phần tử tham số, do đó mỗi dãy chính quy suy rộng đều là một phần hệ tham số của M Tuy nhiên điều ngược lại nhìn chung không đúng và điều này cho phép ta đi đến khái niệm sau Định nghĩa 2.1.1 M là M được gọi là f -môđun suy rộng nếu mọi hệ tham số của là dãy chính quy suy rộng Một vành được gọi là f -môđun. .. quy suy rộng Một vành được gọi là f -môđun suy rộng trên chính nó f -vành suy rộng nếu nó 17 Ví dụ 2.1.2 (i) Mọi f -môđun là f -môđun suy rộng vì mọi f -dãy đều là dãy chính quy suy rộng (ii) Mọi môđun chiều hệ tham số của Vì thế 2 đều là f -môđun suy rộng Thật vậy, lấy (x, y) là một M Khi đó x p, với mọi p Ass M / x p, với mọi p Ass M / chính quy suy rộng Tiếp theo, vì với mọi sao cho sao cho... thì đều là vành catenary (iii) Vành thương của vành catenary cũng là vành catenary Định lý sau cho ta đặc trưng của f -môđun thông qua hệ tham số của M , địa phương hóa và tính catenary, tính đẳng chiều tới các thành phần nguyên sơ có chiều > 1 của tập support của M Định lý 2.1.4 Cho dim M > 1 Đặt T (M ) = {p Supp M : dim R/p > 1} Các phát biểu sau là tương đương (i) M là f -môđun suy rộng (ii) Với... quả 2.1.5 M là f -môđun suy rộng Khái niệm độ sâu suy rộng đã được đưa ra bởi [N, Định nghĩa 4.2] Mệnh đề sau cho ta đặc trưng của Mệnh đề 2.1.7 nếu và chỉ nếu mãn f -môđun suy rộng thông qua độ sâu suy rộng Giả sử rằng dim M > 1 Khi đó M là f -môđun suy rộng gdepth(p; M ) = d dim R/p, với mọi p Supp M thỏa dim R/p > 1 Chứng minh Giả sử là M dim R/p = d r > 1 f -môđun Khi đó quy suy rộng độ dài không . ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐOÀN THỊ THU THẢO F-MÔĐUN SUY RỘNG VÀ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT