địa phương
Trong mục này, ta chứng minh một kết quả về tính hữu hạn của tập iđêan nguyên tố liên kết của các môđun đối đồng điều địa phương của mộtf- môđun suy rộng. Chú ý rằng kết quả tương tự đã được Hellus [H] chứng minh cho trường hợp vành R là Cohen-Macaulay. Tiếp theo, bằng cách sử dụng dãy chính quy lọc thay cho dãy chính quy trong chứng minh của Hellus, Asadollahi và Schenzel [AS] đã cải tiến kết quả này cho trường hợp M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng. ở đây, việc chứng minh các đẳng cấu giữa các môđun đối đồng điều phương của Asadollahi và Schenzel [AS] được thay bằng chứng minh các đẳng thức giữa các tập iđêan nguyên tố liên kết. Chú ý rằng phương pháp này chỉ đúng trong trường hợp M là f-môđun suy rộng.
Định lý 2.3.1. Giả sử rằng M là f-môđun suy rộng. Khi đó Ass(HIj(M)) là tập hữu hạn với mỗi iđêan I và với mỗi j ∈ N nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau đây thỏa mãn:
(i) Ass(H(2x,y)R(M)) là hữu hạn với mỗi phần tử tham số x của M và mỗi
y ∈ R.
(ii) Ass(H(3x,y,z)R(M)) là tập hữu hạn với mỗi phần của hệ tham số (x, y) của M và mỗi z ∈ R.
Để chứng minh định lí trên ta cần chứng minh một số bổ đề sau. Trước hết ta nhắc lại khái niệm I-dãy lọc chính quy. Cho I là một iđêan của R. Một dãy x1, . . . , xn ∈ I được gọi là I-dãy lọc chính quy củaM nếu với mọi
i = 1, . . . , n, xi ∈/ p, với mỗip ∈ AssM/(x1, . . . , xi−1)M thỏa mãn p + I.
Chú ý rằng với mỗi số nguyên nluôn tồn tại mộtI-dãy lọc chính quy của M
thì luôn tồn tại các đẳng cấu tự nhiên sau (xem [AS]) HIi(M) = ( H(ix 1,...,xn)R(M), nếu 06 i < n HIi−n(H(nx 1,...,xn)R(M)), nếu i > n.
Bổ đề 2.3.2. Cho I là một iđêan của R và x1, . . . , xn ∈ I là một dãy chính quy suy rộng của M. Khi đó sẽ tồn tại một phần tử y ∈ I sao cho
AssHIn+1(M) ⊆ AssH(nx+1
1,...,xn,y)R(M)∪ {m}.
Chứng minh. Cho p ∈ AssHIn+1(M)\ {m}. Lấy qRp ∈ SuppMp \ {pRp} sao cho x1, . . . , xn ∈ q. Vì dimR/p > 2 nên x1/1, . . . , xn/1 là dãy chính quy của Mq theo Chú ý 1.4.2. Chú ý rằng Mq ∼= (M
p)qRp Vì thế,
x1/1, . . . xn/1 là một dãy lọc chính quy của Mp. Lấy y ∈ I là một phần tử của I-dãy lọc chính quy củaM/(x1, . . . , xn)Mp. Khi đó,y/1là một phần tử củaIRp-lọc chính quy củaMp(x1, . . . , xn)Mp.Do đóx1/1, . . . , xn/1, y/1 ∈
IRp là IRp-dãy lọc chính quy của Mp. Vì vậy ta có
HIRn+1
p(Mp) ∼= H0
IRp(H(nx+1
1,...,xn,y)Rp(Mp)).
Vì p ∈ AssHIn+1(M), ta thu được pRp ∈ Ass(HIRn+1
p (Mp)). Điều này kéo theo pRp ∈ AssHIR0 p(H(nx+1 1,...,xn,y)Rp(Mp)) ⊆ Ass(H(nx+1 1,...,xn,y)Rp(Mp). Do đó, p ∈ Ass(H(nx+1 1,...,xn,y)R(M).
Bổ đề 2.3.3. ChoI là một iđêan của Rvà(x1, . . . , xn) ∈ I là một dãy chính quy suy rộng của M. Khi đó ta có,
AssHIj(M)\ {m} = ( Ass(H(jx 1,...,xn)R(M))\ {m}, nếu j < n Ass(HIj−n(H(nx 1,...,xn)R(M)))\ {m}, nếu j > n.
Chứng minh. Lấy p ∈ SuppM \ {m} chứa I. Theo như chứng minh trong Bổ đề 2.3.2, x1/1, . . . , xn/1∈ IRp là một dãy lọc chính quy của Mp vì thế
HIRj p(Mp) ∼= ( H(jx 1,...,xn)Rp(Mp), nếu j < n HIRj−n p(H(nx 1,...,xn)Rp(Mp)), nếu j > n.
Choj > n.Lấy p 6= mlà một iđêan nguyên tố. Ta thấy rằngp ∈ AssHIj(M) nếu và chỉ nếu pRp ∈ AssHIRj
p(Mp). Vì vậy, theo đẳng cấu trên, p ∈ AssHIj(M) nếu và chỉ nếu pRp ∈ Ass(HIRj−n
p(H(nx
1,...,xn)Rp(M)p)). Vì vậy
p ∈ AssHIj(M) nếu và chỉ nếu p ∈ Ass(HIj−n(H(nx
1,...,xn)R(M))). Trường hợp j < n chứng minh tương tự.
Bổ đề 2.3.4. ChoM làf-môđun suy rộng. I là một iđêan củaR và j là một số nguyên dương sao cho HIj(M) 6= 0 vàj > d−dim(M/IM). Khi đó tồn tại một iđêan J ⊇ I sao cho j −1 = d−dim(M/J M) và
AssHIj(M)\ {m} = AssHJj(M)\ {m}.
Chứng minh. Lấy dim(M/IM) = d − n. Khi đó, tồn tại một phần hệ tham số (x1, . . . , xn) của M trong I. Chú ý rằng n < j theo giả thiết. Nếu n = j − 1 thì ta chọn J = I. Vì vậy ta có thể giả sử rằng
j − 1 > n. Đặt Ass(M/(x1, . . . , xn)M) = {p1, . . . ,pt}. Khi đó ta có
I ⊆ Tr
i=1pi và I * St
i=r+1pi. Chú ý rằng r < t vì nếu không thì
I ⊆ rad((x1, . . . , xn)R + AnnM) và do đó HIj = 0, là mâu thuẫn. Vì vậy St
i=r+1pi là một iđêan của R. Đặt
P = {p : p = pi với mỗi i = 1, . . . , r,dimR/pi = d−n}.
Khi đó với mọi p ∈ P và pi * p, với mọi i = r + 1, . . . , t. Vì vậy, tồn tại một phần tử y sao cho y ∈ Tt
i=r+1pi \ S
p∈P p. Lấy J = I + yR.
Theo cách chọn phần tử y thì I ∩ yR ⊆ rad((x1, . . . , xn)R + AnnM).
Vìj−n> 2nên ta có HIk∩yR(H(nx 1,...xn)R(M)) = 0,vớik = j−1−n, j−n vàHyRj−n(H(nx 1,...xn)R(M)) = 0.Do đó bằng cách sử dụng dãy Mayer-Vietoris ([BS]) áp dụng cho môđun H(nx 1,...xn)R(M) và iđêan I, yR ta có, HJj−n(H(nx1,...xn)R(M)) ∼= Hj−n I (H(nx1,...xn)R(M)).
Vì (x1, . . . , xn) là một phần hệ tham số của M trong I nên theo giả thiết (x1, . . . , xn) là một dãy chính quy suy rộng của M. Do đó, theo Bổ đề 2.3.3
ta có,
AssHIj(M)\ {m} = Ass(HIj−n(H(nx
1,...,xn)R(M)))\ {m} = Ass(HJj−n(H(nx1,...,xn)R(M)))\ {m} = AssHJj(M)\ {m}.
Vì HIj(M) 6= 0 nên ta có dim(M/IM) > 0. Do đó y là một phần tử tham số của M/IM. Vì vậy d −dim(M/J M) = d −dim(M/IM) + 1.
Nếu d −dim(M/J M) = j − 1 thì J là một iđêan thỏa mãn bổ đề. Nếu
d−dim(M/J M) 6= j −1, ta có thể lập lại quá trình trên cho đến khi nhận được một iđêan J như yêu cầu.
Chứng minh. Định lí 2.3.1
Giả sử rằng các điều kiện (i) và (ii) của Định lí 2.3.1 được thỏa mãn. Theo [Z, Hệ quả 2.2], ta chỉ cần chứng minh AssH(2x,y)R(M) là tập hữu hạn với mỗi x, y ∈ m, và AssH(3x,y,z)R(M) là tập hữu hạn với mỗi x, y, z ∈ m. Thật vậy, lấy x, y ∈ m. Đặt I = (x, y)R. Khi đó dim(M/IM) > d− 2.
Nếu dim(M/IM) = d − 2 thì x, y là một phần hệ tham số của M. Do đó, AssHI2(M) là tập hữu hạn theo giả thiết (i). Xét trường hợp dim(M/IM) > d − 2. Khi đó, theo Bổ đề 2.3.4 tồn tại một iđêan J ⊇ I
sao cho 1 = d−dim(M/J M) và AssHI2(M)\ {m} = HJ2(M)\ {m}. Vì dim(M/J M) =d−1nên tồn tại một phần tử tham sốx0 củaM trongJ.Khi đó x0 là phần tử chính quy suy rộng của M. Theo Bổ đề 2.3.2 tồn tại phần tử
y0 ∈ J sao cho AssHJ2(M) ⊆ AssH(2x0,y0)R(M)∪ {m}. Vì thế AssHJ2(M) là tập hữu hạn theo giả thiết (i). Do đó AssHI2(M) cũng là tập hữu hạn.
Lấy x, y, z ∈ m. Tương tự như trên ta cũng cóAssH(3x,y,z)R(M)là tập hữu hạn.
Kết luận
Tóm lại, luận văn này đã trình bày và chứng minh chi tiết về các kết quả trong bài báo "Generalized F-modules and the associated primes of local cohomology modules" của L. T. Nhàn và Marcel Morales đăng trên tạp chí Communication in Algebra, năm 2005. Kết quả chính của luận văn gồm các nội dung sau:
1. Nhắc lại một số kiến thức cơ sở có liên quan đến nội dung của luận văn: Tập iđêan nguyên tố liên kết, hệ tham số, số bội, môđun đối đồng điều địa phương...
2. Nhắc lại khái niệm dãy chính quy, dãy chính quy lọc, dãy chính quy suy rộng và tướng ứng là các lớp môđun Môđun Cohen-Macaulay,f-môđun,
f-môđun suy rộng và một số tính chất của chúng.
3. Giới thiệu khái niệm f-môđun suy rộng và chứng minh một số tính chất đặc trưng của nó qua đầy đủ m-adic, địa phương hóa và tính catenary, tính đẳng chiều tới các thành phần nguyên sơ có chiều > 1 của tập support của
M.
4. Chứng minh đặc trưng của f-môđun suy rộng thông qua số bội, kiểu đa thức và chiều Noether của môđun đối đồng điều địa phương.
5. Chứng minh một số kết quả về tính hữu hạn của tập iđêan nguyên tố liên kết của một số môđun đối đồng điều địa phương của một f-môđun suy rộng.
Tài liệu tham khảo
[AS] Asadollahi, J., Schenzel, P. (2003), Some result on associated primes of local homology modules. Japanenes J. Math. 29:285-296.
[B] Brodmann, M. (1978). A particular class of regular domains. J. Algebra 54:366 - 373.
[BS] Brodmann, M. and Sharp, R. Y. (1998). Local Cohomology: An Alge- bra Introduction with Geometry Applications. Cambridge: Cambridge University press.
[BH] Bruns, W., Herzog, J. (1993). Cohen - Macaulay Rings. Cambridge: Cambridge University press.
[C1] Cuong, N. T. (1992). On the least degree of polynomials bounding above the diffferences between lenghts a multiplicities of certain systems of parameters in local rings. Nagoya Math. J. 125: 105 - 114.
[C2] Cuong, N. T. (1995). p-standard systems of parameters and p-standard ideals in local rings. Acta Math. Vietnam 20:145-161.
[CN] Cuong, N. T., Nhan, L. T. (2002). On Noetherian dimension of Artinian modules. Vietnam J. Math. 30:121-130.
[CST] Cuong, N. T., Schenzel, P., Trung, N. V. (1978). Verallgemeinerte Cohen-Macaulay moduln.Math. Nachr 85: 57-73.
[CDN] N. T. Cuong, N. T. Dung and L. T. Nhan (2007), "Top local cohomol- ogy and the catenaricity of the unmixed support of a finitely generated module", Communication in Algebra, 35(5), pp. 1691-1701.
[CMN] Cuong, N. T.,Morales, M., Nhan, L. T. (2003). On the lenght of generalized fractions.J. Algebra 265:100-113.
[H] Hellus, M. (2001). On the set of associated primes of local cohomology modules. J. Algebra 273;406-419.
[K] Kirby, D. (1990). Dimension and lenght of Artinian modules. Quart. J. Math. Oxford 41:419-429.
[MAC] I. G. Macdonald, Secondary representation of modules over a com- mutative ring, Symposia Mathermatica, 11 (1973), 23-43.
[MAT] Matsumura, H. (1986) Commutative Ring Theory. Cambridge Uni- versity Press.
[N] Nhan, L. T. (2005). On generalized regular sequences and the finiteness for associated primes of local cohomology modules. Comm. Algebra 33:793-806.
[NM] Nhan, L. T., Morales. M. (2006). Generalized F-Modules and the as- sociated primes of local cohomology modules. Comm. Algebra 34:863- 878.
[S] Schenzel, P. (1982). Dualisierende Komplexe in der lokalen Algebra und Buchsbaum Ringe. Lecture Notes in Mathematics 907. Berlin, Heidel- berg, New York: Springer.
[SV] Stuăckrad, J., Vogel. W.(1986)." Buchsbaum Rings and Applications". Berlin: WEB Deutsecher Verlag der Wissenschaften.
[T] Trung, N. V. (1986). Toward a theory of generalized Cohen-Macaulay modules. Nagoya Math. J. 102:1-49.
[Z] Zamani, N. (2003). A note on the set of associated primesmof local cohomology modules. Comm. Algebra 31:1203-1206.