môđun đối đồng điều địa phương
Trước hết ta nhắc lại khái niệm kiểu đa thức được giới thiệu bởi N. T. Cường [C1]. Cho x = (x1, . . . , xd) là một hệ tham số của M và n1, . . . , nd > 0 là các số nguyên dương. Xét I(xn1
1 , . . . , xndd ;M) đã được định nghĩa ở Mục 2.1 như là một hàm số theo n1, . . . , nd. Chú ý rằng trong trường hợp tổng quát, I(xn1
1 , . . . , xndd ;M) không nhất thiết là đa thức theo biến n1, . . . , nd, với n1, . . . , nd đủ lớn, nhưng nó luôn nhận giá trị không âm và bị chặn trên bởi các đa thức. Đặc biệt, bậc nhỏ nhất của các đa thức theo n1, . . . , nd chặn trên hàm I(xn1
1 , . . . , xndd ;M) là không phụ thuộc vào cách chọn hệ tham số
x và được gọi là kiểu đa thức của M, kí hiệu làp(M).
Bổ đề 2.2.1. (i) Nếu ta quy ước bậc của đa thức 0 là −∞ thì M là môđun Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếup(M) = −∞.Hơn nữa, M là môđun Cohen- Macaulay suy rộng nếu và chỉ nếu p(M) 6 0.
(ii) Cho Mc là bao đầy đủ theo tôpôm-adic của M. Khi đó p(M) = p(Mc).
Khi p(M) > 0, ta có thể tính toán p(M) theo chiều Noether của các môđun Artin là môđun đối đồng điều địa phương Hmi(M). Trước hết ta nhắc lại các khái niệm biểu diễn thứ cấp và chiều Noether cho một môđun tùy ý, (xem [MAC] và [K] ).
MộtR-môđunM được gọi là thứ cấp nếuM 6= 0và với mọix ∈ R,phép nhân bởi xtrênM là toàn cấu hoặc lũy linh. Khi đó Rad(AnnRM)là iđêan nguyên tố, chẳng hạn là p, và ta gọi M là p-thứ cấp.
Một biểu diễn thứ cấp của M là một phân tíchM = N1+. . .+Nn thành tổng hữu hạn các môđun con pi-thứ cấp Ni. Nếu M = 0 hoặc M có biểu diễn thứ cấp thì ta nóiM là biểu diễn được. Biểu diễn thứ cấp này được gọi là tối thiểu nếu các iđêan nguyên tố pi là đôi một khác nhau và không có hạng
tử Ni nào là thừa, với mọi i = 1, . . . , n. Dễ thấy rằng mọi biểu diễn thứ cấp của M đều có thể được đưa về dạng tối thiểu. Khi đó tập hợp {p1, . . . ,pn} là độc lập với việc chọn biểu diễn thứ cấp tối thiểu của M và được gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của M, ký hiệu bởi AttRM. Các hạng tử Ni,
với mọii = 1, . . . , n,được gọi là các thành phần thứ cấp của M. Chú ý rằng mọi môđun Artin đều có biểu diễn thứ cấp.
Chiều Noether của R-môđun Artin A, ký hiệu bởi N-dimRA được định nghĩa bằng quy nạp như sau. Nếu A = 0, ta đặt N-dimRA = −1. Khi
d > 0, ta đặt N-dimRA = d nếu N-dimRA < d là sai, và với mỗi dãy tăng A0 ⊆ A1 ⊆ . . . các môđun con của A thì tồn tại n0 sao cho N-dimR(An+1/An) < d, với mọi n > n0, (xem [K]).
Bổ đề 2.2.2. (i)N-dimRA = 0nếu và chỉ nếuA 6= 0và `R(A) < ∞.Trong trường hợp này AttRA = {m}. Hơn nữa, nếu
0−→ A0 −→A −→ A00 −→ 0 là dãy khớp các R-môđun Artin thì
N-dimRA= max{N-dimRA0,N-dimRA00}.
(ii) N-dimRA 6 dimR/AnnRA = max{dimR/p : p ∈ AttRA} và tồn tại môđun Artin A sao cho N-dimRA < dimR/AnnRA.
(iii) N-dimRA= N-dim b RA= dimR/b Ann b RA = max{dimR/b bp :bp ∈ Att b RA}.
Bổ đề sau cho ta mối liên hệ giữa kiểu đa thức và chiều Noether của môđun đối đồng điều địa phương.
Bổ đề 2.2.3. Giả sử rằng p(M) > 0. Khi đó ta có
p(M) = max
Hơn nữa, nếu x /∈ p, với mọi p ∈ Sd
i=1Att(Hmi(M))\ {m} thì
p(M/xM) = p(M)−1.
Chứng minh. Kí hiệu Rb và Mc là đầy đủ theo tôpô m-adic của R và M. Khi đó, theo Bổ đề 2.2.1, ta có p(M) =p(Mc) = max i=0,...,d−1{dimR/b Ann b R(Hi mRb(Mc))}.
Hơn nữa, với mọi i = 0, . . . , d−1, theo Bổ đề 2.2.2, (iii) ta có dim(R/b Ann b R(Hi mRb(Mc))) = N-dim b R(Hi mRb(Mc)) = N-dim(Hmi (M)). Vì thế, ta có p(M) = max i<d {N-dimR(Hmi (M))}.(∗) Tiếp theo, từ các dãy khớp
0−→ 0 :M x −→ M −→ M/0 :M x −→ 0 0 −→M/0 :M x−→x M −→M/xM −→ 0 và vì x /∈ p, với mọi p ∈ Sd i=1Att(Hmi(M))\ {m} nên `(0 :M x) < ∞, do đó ta có dãy khớp 0−→ Hmi(M)/xHmi(M) −→ Hmi(M/xM) −→ 0 :Hi+1 m (M) x −→ 0,(∗∗) với mọi i = 0, . . . , d − 1. Vì x /∈ p, với mọi p ∈ Att(Hmi(M)) nên
`(Hmi(M)/xHmi(M)) < ∞.Vì thế, nếu i < d−1và N-dimRHmi+1(M) > 0 áp dụng vào dãy khớp (*) ta có
N-dim(Hmi (M/xM)) = N-dimR(0 :Hi+1
m (M) x) = N-dimHmi+1(M)−1.
Trước khi chứng minh định lý chính của chương, ta cần nhắc lại một số kiến thức về hệ tham số chuẩn tắc và môđun Cohen-Macaulay suy rộng (xem [CST] và [T]). Cho hệ tham số x = (x1, . . . , xd) và bộ số nguyên dương
n1, . . . , nd > 0.
Bổ đề 2.2.4. (i) I(xn1
1 , . . . , xndd ;M) 6 n1. . . ndI(x1, . . . , xd;M).
(ii) Nếu ni 6 mi, với mọi i = 1, . . . , d thì
I(xn1
1 , . . . , xndd ;M) 6 I(xm1
1 , . . . , xmdd ;M).
(iii) M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng nếu và chỉ nếu tồn tại một hệ tham số thỏa mãn I(x1, . . . , xd;M) = I(x21, . . . , x2d;M).
(iv) Nếu I(x1, . . . , xd;M) = I(x21, . . . , x2d;M) thì với mỗi bộ số nguyên
n1, . . . , nd > 0, ta có I(x1, . . . , xd;M) = I(xn1 1 , . . . , xndd ;M) = d−1 X i=0 d−1 i ! `(Hmi(M)).
Hệ tham số thỏa mãn điều kiện (iii) và (iv) của bổ đề trên được gọi là chuẩn tắc [T]. Định lý sau đây là kết quả chính của chương, cho ta đặc trưng của
f-môđun suy rộng qua chiều Noether của môđun đối đồng điều địa phương
Hmi(M), kiểu đa thức p(M) và bội của M.
Định lý 2.2.5. (i) Các điều kiện sau là tương đương: (a) N-dimR(Hmi (M)) 6 1, với mọi i < d.
(b) p(M) 6 1.
(c) Tồn tại một hệ tham số x của M, số nguyên k ∈ {1, . . . , d} sao cho
I(x21, . . . , x2k−1, xk, x2k+1, . . . , x2d;M) = I(x1, . . . , xd;M).
(d) Tồn tại một hệ tham số x của M, số nguyên k ∈ {1, . . . , d} và hằng số Cx sao cho với mọi số nguyên dương n1, . . . , nd ta có,
I(xn1
(ii) Nếu một trong các điều kiện (a), (b), (c), (d) được thỏa mãn thì M là
f-môđun suy rộng.
(iii) Giả sử rằng R là vành thương của vành Cohen-Macaulay. Khi đó M là
f-môđun suy rộng nếu và chỉ nếu một trong những điều kiện (a), (b), (c), (d) thỏa mãn.
Chứng minh. Ta chứng minh (i). (a)⇔(b) được suy ra từ Bổ đề 2.2.3.
(a)⇒(c). Trường hợpd = 1là tầm thường. Chod > 1,lấyx1 ∈ msao cho
x1 ∈/ p,với mọip ∈ Sd
i=1Att(Hmi(M))\ {m}.Khi đóp(M/x1M) 6 0theo Bổ đề 2.2.3, tức là, M/x1M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng theo Bổ đề 2.2.1. Vì thế, theo Bổ đề 2.2.4 tồn tại một hệ tham số chuẩn tắc (x2, . . . , xd) của M/x1M. Theo [BS, 11.3.3], ta có (Ass
b
RM)i ⊆ Att(Hmi (M)). Từ cách chọn phần tửx1,vìx1 ∈/ p,với mọip ∈ Att(Hmi(M))\ {m}nên x1 ∈/ p,với mọip ∈ (Ass b RM)i\{m}.Do đó`(0 :M x1) < ∞,suy radim(0 :M x1) = 0. Vì thế I(x1, . . . , xd;M) =I(x2, . . . , xd;M/x1M) = I(x22, . . . , x2d;M/x1M) = I(x1, x22, . . . , x2d;M).
Vậy, (x1, . . . , xd) thỏa mãn tính chất của (c) với k = 1.
(c) ⇒(d). Trường hợp d=1 là tầm thường. Chod > 1và xlà một hệ tham số của M thỏa mãn tính chất như trong điều kiện (c). Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng k = d. Tức là I(x1, . . . , xd;M) = I(x21, . . . , x2d−1, xd;M). Khi đó I(x1, . . . , xd;M) =I(x1, . . . , xd−1;M/xdM) +e(x1, . . . , xd−1; 0 :M xd), I(x21, . . . , x2d−1, xd;M) =I(x21, . . . , x2d−1;M/xdM) + 2d−1e(x1, . . . , xd−1; 0 :M xd).
Chú ý rằng, theo Bổ đề 2.2.4
I(x1, . . . , xd−1;M/xdM) 6 I(x21, . . . , x2d−1;M/xdM).
Vì vậy, e(x1, . . . , xd−1; 0 :M xd) = 0 và do đó
I(x1, . . . , xd−1;M/xdM) =I(x21, . . . , x2d−1;M/xdM).
Theo Bổ đề 2.2.4 suy ra M/xdM là môđun Cohen-Macaulay suy rộng và (x1, . . . , xd−1) là một hệ tham số chuẩn tắc của M/xdM. Hơn nữa, vì
e(x1, . . . , xd−1; 0 :M xd) = 0, nên dim(0 :M xd) < d −1 theo Mệnh đề 1.2.5. Do đó, áp dụng Bổ đề 2.2.4, ta có I(xn1 1 , . . . , xnd d ;M) 6 ndI(xn1 1 , . . . , xnd−1 d−1, xd;M) = ndI(xn1 1 , . . . , xnd−1 d−1 ;M/xdM) = ndI(x1, . . . , xd−1;M/xdM) = ndI(x1, . . . , xd;M),
với mọi số nguyên dương n1, . . . , nd > 0.
(d)⇒ (b). Do I(xn1
1 , . . . , xndd ;M) 6 nkCx với mọi bộ số nguyên
n1, . . . , nd nên theo định nghĩa kiểu đa thức p(M), ta có ngay điều phải chứng minh.
(ii). Giả sử rằng tính chất (a) được thỏa mãn. Đặt mˆ = mR.b Khi đó có một đẳng cấu Hmiˆ(Mc) ∼= Hi
m(M) các Rb-môđun, với mọi i > 0. Vì thế, N-dim
b
R(Hmkˆ(Mc)) = N-dimR(Hmi(M)), với mọi i < d, theo [CN, 2.3]. Suy ra N-dim
b
R(Hmiˆ(Mc)) 6 1, với mọi i < d. Ta khẳng định rằng Mc là
f-môđun suy rộng. Thật vậy, cho (x1, . . . , xd) là một hệ tham số của M ,c
ta chứng minh bằng quy nạp theo d rằng (x1, . . . , xd) là một dãy chính quy suy rộng của Mc. Trường hợp d 6 2 là hiển nhiên. Cho d > 2. Lấy ˆ
p ∈ AssM .c Đặt dimR/b ˆp = k. Theo [BS, 11,3.3] ta có ˆp ∈ Att b R(Hmkˆ(Mc)). Đặt ˆak = Ann b R(Hmkˆ(Mc)). Khi đó ˆp ⊇ ˆak. Do đó theo Bổ đề 2.2.2, ta có N-dim b R(Hmkˆ(Mc)) = dim(R/b ˆak) > dim(R/b ˆp) = k.
Nếu k < d thì k 6 1 vì N-dim b
R(Hmkˆ(Mc)) 6 1. Do đó dim(R/b ˆp) = d hoặc dim(R/b ˆp) 6 1,với mọi ˆp ∈ AssM .c Suy ra x1 là một phần tử chính quy suy rộng của Mc. Do đó dim(0 : c M x1) 6 1, suy ra Hi b m(0 : c M x1) = 0, với mọi
i > 1 theo Mệnh đề 1.3.2. Vì thế theo tính chất δ-hàm tử đồng điều, từ dãy khớp 0−→ 0 : c M x1 −→ Mc−→M /c (0 : c M x1) −→ 0 ta thu được dãy khớp dài
. . . −→ Hmiˆ(0 : c M x1) −→ Hmiˆ(Mc) −→ Hmiˆ(M /c (0 : c M x1)) −→ Hmiˆ+1(0 : c M x1) −→. . . Do đó ta có các đẳng cấu Hmiˆ(Mc) ∼= Hi ˆ m(M /c (0 : c M x1)),
với mọi i > 2. Hơn nữa, từ dãy khớp 0−→ M /c (0 :
c
M x1) −→x1 Mc−→ M /xc 1Mc−→0,
lại theo tính chất δ-hàm tử đồng điều, ta thu được dãy khớp
. . . −→ Hmiˆ(M /c (0 : c M x1)) −→x1 Hmiˆ(Mc) −→Hmiˆ(M /xc 1Mc) −→Hmiˆ+1(M /c (0 : c M x1)) −→. . . .
Kết hợp với các đẳng cấu ở trên, ta thu được dãy khớp
Hmiˆ(Mc) −→ Hmiˆ(M /xc 1Mc) −→Hmiˆ+1(Mc),
với mọi i > 1. Vì N-dim b
R(Hmiˆ(Mc)) 6 1,với mọi i < d, nên N-dim
b
R(Hmiˆ(M /xc 1Mc) 6 1,
với mọi i < d −1. Do đó áp dụng giả thiết quy nạp cho M /xc 1M ,c ta thu được x2, . . . , xd là dãy chính quy suy rộng của M /xc 1M .c Suy ra, x1, . . . , xd
là dãy chính quy suy rộng củaM .c Vì thế khẳng định được chứng minh và do đó M là f-môđun suy rộng theo Mệnh đề 2.1.6, (i).
(iii). Giả sử rằng M là f-môđun suy rộng. Ta đi chứng minh điều kiện (a). Theo Bổ đề 2.2.2 ta chỉ cần chứng minh dim(R/b Ann
b
R(Hmiˆ(Mc))) 6 1,
với mọi i < d. Thật vậy, cho i < d và bp ∈ Att b
R(Hi
b
m(Mc)). Khi đó dim(R/b bp) := k 6 i < d theo [BS, 11.3.5] vàbp ∈ Ass
b
RMctheo [BS, 11.3.3]. Giả sử k > 1. Vì k < d nên tồn tại một hệ tham số (x1, . . . , xd) của Mc sao cho x1 ∈ bp. Vì thế (x1, . . . , xd) không là dãy chính quy suy rộng của Mc, nhưng vì R là vành thương của vành Cohen-Macaulay nên Mc là f-môđun suy rộng theo Mệnh đề 2.1.6, (ii), điều này suy ra mâu thuẫn. Vậy, k 6 1. Do đó dim b R(R/b Ann b R(Hi b m(Mc))) = max b p∈Att b RHi b m(Mc) dim(R/b bp) 6 1.
Suy ra dim(R/b Ann b
R(Hmiˆ(Mc))) 6 1, với mọi i < d.
Từ Định lý 2.2.5, ta có đặc trưng của f-môđun suy rộng qua tập quỹ tích không Cohen-Macaulay của M. Nhắc lại rằng quỹ tích không Cohen- Macaulay của M là
NC(M)= {p ∈ SpecR : Mp là không Cohen-Macaulay}.
Chú ý rằng nếu R chứa phức đối ngẫu, thì NC(M) là tập con đóng trong SpecR với tôpô Zariski. Vì vậy dim(N C(M)) được xác định. Đặt
a(M) = a0. . .ad−1(M), trong đó ai(M) = AnnR(Hmi(M)), với mọi
i 6 d−1.
Hệ quả 2.2.6. Giả sử rằng R có phức đối ngẫu. Khi đó các phát biểu sau là tương đương:
(i) M là f-môđun suy rộng. (ii) dimR/a(M) 6 1.
(iii) Tồn tại một hệ tham số x = (x1, . . . , xd) của M, số nguyên 1 6 k 6 d
và hằng số Cx, Dx sao cho I(xn1
1 , . . . , xnd
d ;M) = nkCx + Dx, với mọi số nguyên n1, . . . , nd > 1.
(iv) dimN C(M) 6 1 và dimR/p = d, với mọi p ∈ min(SuppM) thỏa mãn dimR/p 6= 1.
Chứng minh.
(i) ⇒ (ii). Ta có p(M) 6 1 theo Định lí 2.2.5, (iii). Hơn nữa, theo chứng minh trong N. T. Cường [C2] ta có dimR/a(M) =p(M). Do đó ta có điều phải chứng minh.
(ii) ⇒ (iii). Tồn tại một hệ tham số (x1, . . . , xd) của M thỏa mãn tính chất
xi ∈ a(M/(xi+1, . . . , xd)M),với mọi i = 1, . . . , d. Theo [C2], một hệ tham số như vậy được gọi là p-chuẩn tắc của M, và khi p(M) 6 1 mọi hệ tham số p-chuẩn tắc của M đều thỏa mãn điều kiện (iii).
(iii) ⇒ (i) Theo giả thiết, vì I(xn1
1 , . . . , xndd ;M) = nkCx + Dx, trong đó
Cx, Dx là các hằng số nên ta có p(M) 6 1. Khi đó kết quả suy ra từ Định lí 2.2.5, (ii).
(i) ⇔ (iv) Vì R là vành có phức đối ngẫu nên SuppM là catenary. Theo Hệ quả 2.1.5, M là f-môđun suy rộng khi và chỉ khi tất cả các iđêan
p ∈ SuppM sao cho Mp là Cohen-Macaulay đều có chiều dimR/p > 1.
Do đó dim(N C(M)) 6 1.
Chú ý rằng tồn tại R môđun M với dim(N C(M)) 6 1,nhưng M không là f-môđun suy rộng.
Ví dụ 2.2.7. Cho R = K[[x, y, z, t, s]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức trên trường K. Đặt M = R/(x, y, z)⊕R/(t, s). Khi đó,
AssM = {p = (x, y, z)R,q = (t, s)R},min(SuppM) = {q,p} và dimM = dimR/q = 3,dimR/p = 2 < dimM. Vì thế, theo Định lí 2.1.4, M không là f-môđun suy rộng. Tuy nhiên, rõ ràng rằng dimN C(M) = 0.
Ví dụ sau đây về f-vành suy rộng không catenary cho ta thấy rằng giả thiết R là vành thương của vành Cohen- Macaulay trong Mệnh đề 2.1.6 và Định lý 2.2.5 là thực sự cần thiết.
Ví dụ 2.2.8. Tồn tại miền Noether địa phương (R,m) sao cho (i) dimR = 3 và R là không catenary.
(ii) R là f-vành suy rộng, nhưng Rb không làf-vành suy rộng.
(iii) N-dimR(Hm2(R)) = 3,dimR/AnnR(Hm2(R)) = 3 và p(R) = 2.
(iv) dimR/a(R) = 3 và dimR/b a(Rb) = 2.
Chứng minh. Cho S là miền nguyên Noether chính quy hoàn hảo chiều 3 được xây dựng bởi Brodmann [B] sao choS là Q-đại số và chứa đúng2iđêan cực đại m1,m2 thỏa mãn ba điều kiện sau.
(i) htm1 = 2 và htm2 = 3.
(ii) Các ánh xạ tự nhiên Q −→ S/m1 và Q −→ S/m2 là các đẳng cấu. (iii) m1 ∩m2 không các chứa iđêan nguyên tố khác không nào của S.
Đặt R = Q + (m1 ∩ m2). Khi đó R là miền Noether địa phương với dimR = 3, và m = m1 ∩m2 là iđêan tối đại duy nhất của R (xem [B]). Vì thế, theo Ví dụ 2.1.2, (iii) ta có R là f-vành suy rộng. Theo cách xây dựng trên, tồn tại một iđêan nguyên tố p ∈ SuppR sao cho dimR/p+ htp = 2.
Vì vậy R là không catenary. Theo [CDN] ta có N-dimR(Hm2(R)) = 2 và dim(R/AnnR(Hm2(M))) = 3. Suy ra dimR/a(R) = 3. Hơn nữa, vì N-dimR(Hm1(R)) 6 1 theo [CN] nên theo Bổ đề 2.2.3 ta có p(M) = 2. Do đó dimR/b a(Rb) = p(Rb) = p(R) = 2. Vì thế Rb không là f-vành suy rộng, theo Định lí 2.2.5.
Giả sử rằng vành R có phức đối ngẫu. Khi đó tồn tại một phức bị chặn
Hi(D•R), i ∈ Z là các R-môđun hữu hạn sinh. Với mỗi R-môđun hữu hạn sinh M có chiều dimM = d, môđun đồng điều
Ki(M) ∼= H−i(Hom(M, DR•))
cũng là R-môđun hữu hạn sinh, với mọi i = 0, . . . , d. Khi đó Kd(M) được gọi là môđun chính tắc và Ki(M) được gọi là môđun khuyết thứ i của M, (xem S). Hơn nữa, theo đối ngẫu địa phương [S, 1.1], tồn tại các đẳng cấu
Hmi (M) ∼= Hom(Ki
(M), E),
với mọi i, trong đó E là bao nội xạ của trường thặng dư R/m.
Hệ quả 2.2.9. Giả sử rằngR có phức đối ngẫu. Cho K(M) là môđun chính tắc của M. Các phát biểu sau đây là đúng,
(i) Nếu M là f-môđun suy rộng, thì K(M) cũng là f-môđun suy rộng. (ii) Cho dimM 6 4. Khi đó K(M) là f-môđun suy rộng. Hơn nữa, nếu M
là không trộn lẫn thìM có thể được nhúng vào trong một f-môđun suy rộng. (iii) NếuMi làf-môđun suy rộng có chiềudhoặc chiều không quá 1 với mọi