iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Ngô Văn Bé Em IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Ngô Văn Bé Em IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Trần Tuấn Nam Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 i Mục lục Lời cảm ơn ii Lời nói đầu iii Bảng kí hiệu toán học thường dùng luận văn Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết .2 1.2 Iđêan nguyên tố gắn kết 1.3 Độ dài môđun 1.4 Độ cao iđêan 1.5 Chiều vành, môđun 1.6 Độ sâu môđun 1.7 Chiều nội xạ chiều xạ ảnh 1.8 Giới hạn thuận 10 1.9 Hàm tử xoắn 11 1.10 Môđun đối đồng điều địa phương .12 1.11 Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng 13 1.12 Vành phân bậc, môđun phân bậc 14 1.13 Môđun cofinite tương ứng với iđêan 16 Chương Iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc 17 2.1 Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc 17 2.2 Tính ổn định tiệm cận tập Ass R H Ri + ( M , N ) n 19 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 ii Lời cảm ơn Trước hết, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô khoa Toán – Tin học trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh, thầy cô khoa khác thầy cô phòng sau đại học tận tình giảng dạy giúp đỡ trình học tập thực luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy PGS TS Trần Tuấn Nam, người hết lòng hướng dẫn giúp đỡ suốt trình học tập, thực luận văn Cuối xin gửi lời tri ân gia đình, bạn bè đặc biệt bạn lớp Đại số Lý thuyết số khóa 21 trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh Tp HCM, ngày 12 tháng 12 năm 2012 Tác giả Ngô Văn Bé Em iii Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng nhà toán học J Herzog đưa tổng quát hóa M H Bijan-Zadeh Sau đó, môđun đối đồng điều địa phương suy rộng nghiên cứu phát triển ngày mạnh N Suzuki, N Zamani, J Asadollahi, K Khashyarmanesh, Sh Salarian, N T Cường, T T Nam,…Ngày nay, môđun đối đồng điều địa phương suy rộng xem đối tượng nghiên cứu mạnh mẽ đại số đại nói riêng toán học nói chung Cho R vành Noether giao hoán có đơn vị, I iđêan R C ( R ) phạm trù R-môđun Hàm tử đối đồng điều địa phương suy rộng thứ i với hỗ trợ iđêan I, H Ii ( •, • ) : C ( R )  →C ( R) i n H Ii ( M , N ) := lim  Ext R ( M / I M , N ) với n∈ M , N ∈ C ( R) xác định Với i∈ , H Ii ( M , N ) gọi môđun đối đồng điều địa phương suy rộng thứ i N, M tương ứng iđêan I Đến ngày nay, nhiều kết quan trọng tính triệt tiêu hữu hạn môđun đối đồng điều địa phương suy rộng tìm trường hợp phân bậc không phân bậc, song bên cạnh nhà toán học nghiên cứu tìm kết môđun đối đồng điều địa phương suy rộng Trong luận văn này, trình bày số tính chất môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc tính hữu hạn sinh, tính triệt tiêu thành phần phân bậc số tính chất tính Artin môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc Và quan trọng tính ổn định tiệm cận tập AssR0 ( H Ri + ( M , N )n ) , từ tính hữu hạn tập ( ) AssR H Ri + ( M , N ) iv Luận văn chia làm chương; Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong phần trình bày số khái niệm, định nghĩa số tính chất mệnh đề mà sử dụng chương Chương 2: Iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc Đầu tiên, trình bày số tính chất môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc Sau đó, trình bày tính hữu hạn sinh môđun đối đồng điều địa phương phân bậc mệnh đề 2.2.2 sau: Mệnh đề 2.2.2 Cho R vành phân bậc Noerther nhất, N R-môđun R+ -xoắn phân bậc hữu hạn sinh cho i ∈  Khi đó, với R-môđun M phân bậc hữu hạn sinh, H Ri + ( M , N )n R0 -môđun hữu hạn sinh có hữu hạn H Ri + ( M , N )n khác Và từ mệnh đề trên, tổng quát N R-môđun phân bậc hữu hạn sinh ta có H Ri + ( M , N )n R0 -môđun hữu hạn sinh với i ∈  H Ri + ( M , N )n bị triệt tiêu n đủ lớn định lí 2.2.3 Nhờ áp dụng định lí chuyển vành sở, chứng minh tính ổn định tiệm cận tập iđêan nguyên tố liên kết thành phần phân bậc môđun đối đồng điều địa phương suy rộng định lí 2.2.6, định lí 2.2.9 Hơn nữa, từ tính Artin môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc xây dựng nên bổ đề 2.2.10 sau: v Bổ đề 2.2.10 Cho S ⊆  , R0 m0 vô hạn M, N R-môđun phân bậc Ti Artin với hữu hạn sinh Giả sử R-môđun R0 m0 ⊗ R0 H Ri + ( M , N ) = i ∈ S Khi đó, tồn n0 ∈ S {∞} phần tử N Γ R+ ( N ) -chính qui x ∈ R1 x → H Ri + ( M , N )n+1 toàn cấu với i ∈ S cho ánh xạ nhân H Ri + ( M , N )n  với n < n0 Dựa vào bổ đề trên, chứng minh vài trường hợp ổn định tiệm cận tập AssR0 ( H Ri + ( M , N )n ) sau: Định lí 2.2.14 Cho R vành phân bậc với vành sở địa phương ( R0 , m0 ) Đặt t = t R+ ( M , N ) với i ≤ t AssR0 ( H Ri + ( M , N )n ) ổn định tiệm cận n → −∞ Định lí 2.2.15 Cho M, N R-môđun phân bậc hữu hạn sinh, vành sở R0 địa phương với iđêan tối đại m0 Giả sử R = R0 [ R1 ] H Ri + ( M , N Γ R+ ( N ) ) Artin với i < r Khi AssR0 ( H Rr + ( M , N )n ) ổn định tiệm cận n  → −∞ Hệ 2.2.16 Cho R = R0 [ R1 ] , vành sở R0 địa phương với iđêan tối đại ( m0 H Ri + ( M , N ) Artin với i < r , AssR0 H Rr + ( M , N )n ) ổn định tiệm cận n  → −∞ Hệ 2.2.17 Cho R = R0 [ R1 ] vành sở R0 địa phương với iđêan tối đại ( m0 Nếu H Ri + ( N ) Artin với i < r , AssR0 H Rr + ( M , N )n cận n  → −∞ ) ổn định tiệm vi Hệ 2.2.20 Cho R = R [ R1 ] với vành sở địa phương ( R0 , m0 ) giả sử H Rj+ ( M , N ) m0 H Rj+ ( M , N ) Artin với j ≤ i Khi AssR ( H Ri ( M , N )n ) ổn + định tiệm cận n  → −∞ Trong phần lại luận văn, trình bày ổn định tiệm cận tập AssR0 ( H Ri + ( M , N )n ) vành sở R0 địa phương có dim R0 ≤ pd ( M ) < ∞ định lí 2.2.24 sau: Định lí 2.2.24 Giả sử R = R0 [ R1 ] , ( R0 , m0 ) địa phương với dim R0 ≤ ( pd ( M ) < ∞ Khi với i ∈  tập AssR0 H Ri + ( M , N )n cận với n  → −∞ ) ổn định tiệm Bảng kí hiệu toán học thường dùng luận văn  Tập hợp số nguyên dương 0 Tập hợp số nguyên không âm Spec ( R ) Tập iđêan nguyên tố vành R AssR ( M ) Tập iđêan nguyên tố liên kết R-môđun M Att ( M ) Tập iđêan nguyên tố gắn kết M Supp ( M ) Giá môđun M dim M Chiều Krull môđun M pd ( M ) Chiều xạ ảnh môđun M H Ii ( M ) Môđun đối đồng điều địa phương thứ i môđun M tương ứng với iđêan I H Ii ( M , N ) Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng thứ i môđun M, N tương ứng với iđêan I H Ii ( M , N )n Thành phần phân bậc thứ n môđun đối đồng điều địa phương suy rộng thứ i môđun M, N tương ứng với iđêan I C ( R) Phạm trù R-môđun *C ( R ) Phạm trù R-môđun phân bậc Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số khái niệm mệnh đề mà sử dụng để chứng minh mệnh đề, bổ đề, định lí hệ bày chương Tôi không đưa cách chứng minh chi tiết tính chất, mệnh đề, định lí mà chúng trích dẫn chủ yếu từ tài liệu [2],[3],[7],[11],[14],[21] Và đó, đọc giả tham khảo cách chứng minh tài liệu Iđêan nguyên tố liên kết 1.1 Định nghĩa 1.1.1 Cho R vành, M R–môđun, iđêan nguyên tố p R gọi iđêan nguyên tố liên kết M tồn x ∈ M ( x ≠ ) : p = Ann ( x ) Tập iđêan nguyên tố liên kết M kí hiệu AssR ( M ) { } Giá môđun M, kí hiệu Supp ( M ) = p ∈ Spec ( R ) M p ≠ Đặt V ( I ) = {p ∈ Spec ( R ) | I ⊂ p} Khi đó: i) Nếu M R-môđun hữu hạn sinh Supp ( M ) = V ( Ann ( M ) ) ii) Nếu R vành Noether I iđêan R Supp ( R / I ) = V ( I ) Tính chất 1.1.2 Cho R vành, M R – môđun Iđêan nguyên tố p R gọi iđêan nguyên tố liên kết M điều sau tương đương : i) Tồn x ∈ M ( x ≠ ) : p = Ann ( x ) 36 Chứng minh: Khi i < t ta có H Ri + ( M , N ) R-môđun minimax, H Ri + ( M , N ) R+ -xoắn Do đó, theo mệnh đề 1.12.12, ta có điều cần chứng minh Ta chứng minh R0 m0 ⊗ R0 H Rt + ( M , N ) Artin Theo mệnh đề 2.2.12, thay N N Γ m0 ( N ) , ta giả sử N m0 -không xoắn Do đó, tồn phần tử x ∈ m0 cho không ước không N Chúng ta xét dãy khớp ngắn x  → N  → N  → N xN  →0 Từ ta đạt dãy khớp dài sau x H Ri −+1 ( M , N )  → H Ri −+1 ( M , N xN )  → H Ri + ( M , N )  → H Ri + ( M , N ) Nếu i < t theo dãy khớp H Ri −+1 ( M , N xN ) minimax Vì vậy, t R+ ( M , N xN ) ≥ t − Mặt khác, từ dãy khớp i = t ta có dãy khớp sau N   R0 m0 ⊗ R0 H Rt −+1  M , → R0 m0 ⊗ R0 H Rt + ( M , N )   xN   ( R0 m0 )  → R0 m0 ⊗ R0 H Rt + ( M , N ) ⊗x Vì x ∈ m0 , ánh xạ ( R0 m0 ) R0 m0 ⊗ R0 H Rt + ( M , N )  → R0 m0 ⊗ R0 H Rt + ( M , N ) ⊗x ánh xạ không Do đó, môđun R0 m0 ⊗ R0 H Rt + ( M , N ) ảnh đồng cấu R-môđun R0 m0 ⊗ R0 H Rt −+1 ( M , N xN ) Vì mệnh đề chứng minh dễ dàng cách qui nạp theo t  Định lí 2.2.14 Cho R vành phân bậc với vành sở địa phương ( R0 , m0 ) Đặt t = t R+ ( M , N ) với i ≤ t AssR0 ( H Ri + ( M , N )n ) ổn định tiệm cận n → −∞ 37 Chứng minh: Cho x phần tử xác định đặt R0' = R0 [ x ]m R[ x] Theo định lí 2.2.4, ta có ( ( AssR0 H Ri + ( M , N )n ) ổn định tiệm cận ) AssR' H Ri ' ( M ', N ')n ổn định tiệm cận Hơn nữa, R0' R0 -đại số dẹt trung 0 thành địa phương Noether với iđêan tối đại m0 R0' có trường thặng dư đẳng cấu với ( R0 m0 ) ( x ) vô hạn Do ta thay R, M, N tương ứng R ', M '.N ' ta giả sử R0 m0 vô hạn Từ dãy khớp sau  →Γ R+ ( N )  → N  → N Γ R+ ( N )  →0 ta đạt dãy khớp ( H Ri + M , Γ R+ ( N ) ) n (  → H Ri + ( M , N )n  → H Ri + M , N Γ R+ ( N ) ( ) n  → H Ri ++1 M , Γ R+ ( N ) ) n R0 -môđun với n ∈  Theo bổ đề 2.2.1, H Ri + ( M , Γ R+ ( N ) ) = với n  Do đó, từ dãy khớp n ta có H Ri + ( M , N )n ≅ H Ri + ( M , N Γ R+ ( N ) ) n  , nên theo mục đích bước n qui nạp này, thay N N Γ R+ ( N ) Vì ta giả sử N R+ -không xoắn Theo mệnh đề 2.2.13, ta có môđun R0 m0 ⊗ R0 H Ri + ( M , N ) Artin, với i ≤ t Do theo bổ đề 2.2.10, tồn phần tử a ∈ R1 không ước không N Từ dãy khớp ngắn a  → N ( −1)  → N  → N aN  →0 ta có dãy khớp sau 38 a H Ri −+1 ( M , N aN )n  → H Ri + ( M , N )n−1  → H Ri + ( M , N )n  → H Ri + ( M , N aN )n R0 -môđun Mặt khác, bổ đề 2.2.10 tồn n0 ∈ S  {∞} với S ⊆  , a → H Ri + ( M , N )n toàn cấu với i ≤ t cho ánh xạ nhân H Ri + ( M , N )n −1  với n ≤ n0 Vì vậy, trường hợp có dãy khớp sau a  → H Ri −+1 ( M , N aN )n  → H Ri + ( M , N )n−1  → H Ri + ( M , N )n  →0 Từ ta có ( ) ( ) ( H ( M , N aN ) )  Ass ( H ( M , N ) ) ( H ( M , N ) ) với n < n AssR0 H Ri −+1 ( M , N aN )n ⊆ AssR0 H Ri + ( M , N )n−1 ⊆ AssR0 i −1 R+ Suy Ass ( H Ri + ( M , N )n−1 ) ⊆ AssR0 R0 n i R+ i R+ n n Bằng cách qui nạp theo i ta có điều cần chứng minh  Tiếp theo, ta xét tính ổn định tiệm cận tập AssR0 ( H Ri + ( M , N )n ) vài trường hợp mà giả thiết cho liên quan tới tính Artin Định lí 2.2.15 Cho M, N R-môđun phân bậc hữu hạn sinh, vành sở R0 địa phương với iđêan tối đại m0 Giả sử R = R0 [ R1 ] H Ri + ( M , N Γ R+ ( N ) ) Artin với i < r Khi AssR0 ( H Rr + ( M , N )n ) ổn định tiệm cận n  → −∞ Chứng minh: Cho x phần tử xác định đặt R0' = R0 [ x ]m R[ x] Theo định lí 2.2.4, ta có ( ) {p  R AssR0 H Ri = ( M , N )n + ' 0 ( p0' ∈ AssR' H Ri , ( M ', N ')n ( + )} ) với n ∈  [11, 23.2(ii)] Và AssR0 H Ri + ( M , N )n ổn định tiệm cận ( ) AssR' H Ri ' ( M ', N ')n ổn định tiệm cận Hơn nữa, có R0' 0 R0 -đại số dẹt trung thành địa phương Noether với iđêan tối đại m0 R0' có trường thặng dư đẳng cấu với ( R0 m0 ) ( x ) vô hạn Do đó, thay 39 R, M, N tương ứng R ', M ', N ' giả sử R0 m0 vô hạn Chúng ta chứng minh định lí cách qui nạp theo r * Γ R+ ( Hom ( M , N ) )n = với Trường hợp r = , H R0+ ( M , N )n = n  , ta có điều cần chứng minh * Trường hợp r > giả sử định lí với j ≤ r − * Ta chứng minh định lí với r Thật vậy, từ dãy khớp  →Γ R+ ( N )  → N  → N Γ R+ ( N )  →0 ta có dãy khớp ( ) ( )  → H Ri + M , Γ R+ ( N )  → H Ri + ( M , N )  → H Ri + M , N Γ R+ ( N )  → R0 -môđun Theo bổ đề 2.2.1, ta có H Ri + ( M , Γ R+ ( N ) ) = với n  , nên từ dãy khớp n dài ta có H Ri + ( M , N )n ≅ H Ri + ( M , N Γ R+ ( N ) ) với n  Do đó, với mục đích n bước qui nạp này, thay N N Γ R+ ( N ) Vì giả sử Γ R+ ( N ) = Từ theo giả thiết ta có H Ri + ( M , N ) Artin, suy H Ri + ( M , N ) m0 H Ri + ( M , N ) Artin Do đó, theo bổ đề 2.2.10 tồn phần tử N-chính qui x có bậc Bây giờ, ta xét dãy khớp ngắn x  → N  → N (1)  → ( N xN )(1)  →0 suy dãy khớp x H Ri −+1 ( M , N )(1)  → H Ri −+1 ( M , N xN )(1)  → H Ri + ( M , N )  → H Ri + ( M , N )(1) Từ dãy khớp ta thấy H Ri + ( M , N xN ) Artin với i < r − Từ đó, theo giả thiết qui nạp, ta có n1 ∈  cho ( ) ( Ass H Rr +−1 ( M , N )n = Ass H Rr +−1 ( M , N )n ) 40 Mặt khác, theo bổ đề 2.2.10 ∃n0 < n1 cho ánh xạ nhân x H Ri + ( M , N )n  → H Ri + ( M , N )n+1 toàn cấu với i < r Vì vậy, từ dãy khớp dài ta có dãy khớp x  → H Rr +−1 ( M , N xN )n+1  → H Rr + ( M , N )n  → H Rr + ( M , N )n+1 với n ≤ n0 Vì ( ) ( ) xN ) )  Ass ( H ( M , N ) ) AssR0 H Rr +−1 ( M , N xN )n+1 ⊆ AssR0 H Rr + ( M , N )n ( ⊆ AssR0 H Rr +−1 ( M , N n +1 r R+ R0 n +1 Do ( ) ( ) ( AssR0 H Rr +−1 ( M , N xN )n +1 ⊆ AssR0 H Rr + ( M , N )n ⊆ AssR0 H Rr + ( M , N )n +1 ) với n < n0 Vì tập AssR0 ( H Rr +−1 ( M , N xN )n +1 ) AssR0 ( H Rr + ( M , N )n +1 ) hữu hạn, nên ta có AssR0 ( H Ri + ( M , N )n ) ổn định tiệm cận n  → −∞  Hệ 2.2.16 Cho R = R0 [ R1 ] , vành sở R0 địa phương với iđêan tối đại ( m0 H Ri + ( M , N ) Artin với i < r , AssR0 H Rr + ( M , N )n ) ổn định tiệm cận n  → −∞ Hệ 2.2.17 Cho R = R0 [ R1 ] vành sở R0 địa phương với iđêan tối đại ( m0 Nếu H Ri + ( N ) Artin với i < r , AssR0 H Rr + ( M , N )n ) ổn định tiệm cận n  → −∞ Chứng minh: Trước hết ta chứng minh H Ri + ( M , N ) Artin với i < r Thật vậy, ta chứng minh nhận xét qui nạp theo r * Khi r = , ta có H R0+ ( M , N ) ≅ Γ R+ ( HomR ( M , N ) ) nên H R0+ ( M , N ) Rmôđun R+ -xoắn hữu hạn sinh nên bị linh hóa môt lũy thừa R+ Vì H R0+ ( M , N ) có độ dài hữu hạn nên H R0+ ( M , N ) Artin 41 * Giả sử r > nhận xét với i < r − * Ta chứng minh nhận xét với r Thật vậy, theo [7, 2.1.7 (iii)] ta có ( H Ri + ( N ) ≅ H Ri + N Γ R+ ( N ) ) với i > Do đó, theo chứng minh ta thay N N Γ R+ ( N ) nên ta giả sử N R+ -không xoắn Từ đó, theo mệnh đề 1.9.4 R+ chứa phần tử không ước không N Vì từ [7, 15.1.4 (i)] tồn phần tử x ∈ R+ không ước không N Đặt deg ( x ) = t Từ dãy khớp ngắn x → N  → N ( t )  → ( N xN )( t )  →0  ta đạt dãy khớp dài sau x H Ri −+1 ( N )( t )  → H Ri −+1 ( N xN )( t )  → H Ri + ( N )  → H Ri + ( N )( t ) Do đó, theo giả thiết bước qui nạp ta có H Ri + ( N xN )( t ) Artin với i < r − Vì theo giả thiết qui nạp, ta có H Rr +− ( M , N xN )( t ) Artin Mặt khác, từ dãy khớp ngắn ta lại có dãy khớp x H Rr +−2 ( M , N xN )( t )  → H Rr +−1 ( M , N )  → H Rr +−1 ( M , N )( t ) ( ) nên từ dãy khớp ta có :H r −1 ( M , N ) x Artin Vì H Rr +−1 ( M , N ) R+ -xoắn R+ Rx -xoắn, nên theo bổ đề Melkerson ta có H Rr +−1 ( M , N ) Artin Bây giờ, theo hệ 2.2.16, ta có điều cần chứng minh  Chú ý 2.2.18 Chúng ta gọi N quan hệ Cohen-Macaulay tương ứng với R+ chiều xạ ảnh t H Ri + ( N ) = với i ≠ t Từ định nghĩa ta có hệ sau: Hệ 2.2.19 Cho N quan hệ Cohen-Macaulay tương ứng với R+ chiều xạ ảnh t Khi AssR0 H Rt + ( M , N )n ổn định tiệm cận 42 Sử dụng bổ đề 2.2.10 chứng minh tương tự định lí 2.2.15 ta có hệ sau: Hệ 2.2.20 Cho R = R [ R1 ] với vành sở địa phương ( R0 , m0 ) giả sử ( ) H Rj+ ( M , N ) m0 H Rj+ ( M , N ) Artin với j ≤ i Khi AssR0 H Ri + ( M , N )n ổn định tiệm cận n  → −∞ Sau đây, ta xét tính ổn định trường hợp dim R0 ≤ Để đến mục đích, trước hết ta xét trường hợp dim R0 = : Mệnh đề 2.2.21 Giả sử R = R0 [ R1 ] vành sở R0 Artin Cho M, N R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Khi H Ri + ( M , N ) Artin với i ∈  Chứng minh: Chúng ta chứng minh mệnh đề cách qui nạp theo i * Trường hợp i = , ta có H R0+ ( M , N ) ≅ Γ R+ ( HomR ( M , N ) ) Vì R0 Artin nên R R+ Artin Ta lại có HomR ( M , N ) hữu hạn sinh Do theo [7, 7.1.4], ta có H R0+ ( M , N ) Artin * Giả sử i > mệnh đề với j ≤ i − * Ta chứng minh mệnh đề với i Thật vậy, từ dãy khớp ngắn  →Γ R+ ( N )  → N  → N Γ R+ ( N )  →0 ta có dãy khớp dài ( ) ( H Ri + M , Γ R+ ( N )  → H Ri + ( M , N )  → H Ri + M , N Γ R+ ( N ) ) \của R-môđun phân bậc Mặt khác, theo bổ đề 2.2.1 ta có H Ri + ( M , Γ R+ ( N ) ) ≅ Ext R ( M , Γ R+ ( N ) ) R0 môđun Ext R ( M , Γ R+ ( N ) ) Artin Vì vậy, từ dãy khớp dài ta thấy H Ri + ( M , N ) Artin H Ri + ( M , N Γ R+ ( N ) ) Artin Do đó, ta thay N N Γ R+ ( N ) ta giả sử N R+ -không xoắn Từ đó, theo mệnh đề 43 1.9.4 (i) [7, 15.1.4 (ii)], tồn phần tử x không ước không N Gọi t bậc x Từ dãy khớp ngắn x  → N  → N ( t )  → ( N xN )( t )  →0 ta đạt dãy khớp dài sau x H Ri −+1 ( M , N xN )( t )  → H Ri + ( M , N )  → H Ri + ( M , N )( t ) Theo giả thiết qui nạp ta có H Ri −+1 ( M , N xN )( t ) Artin, nên từ dãy khớp ( ta có :H i R+ (M ,N ) ) x Artin Vì H Ri + ( M , N ) R+ -xoắn Rx -xoắn, nên theo bổ đề Melkerson ta có H Ri + ( M , N ) Artin Bổ đề 2.2.22  Giả sử ( R0 , m0 ) vành địa phương với dim R0 = Cho a ∈ R0 cho dim ( R0 aR0 ) = cho N ' R aR -môđun hữu hạn sinh Nếu pd ( M ) < ∞ với i ∈  R-môđun H Ri + ( M , N ') Artin Chứng minh: Chúng ta chứng minh bổ đề cách qui nạp theo p = pd ( M ) * Trường hợp p = , M R-môđun phân bậc xạ ảnh tồn số nguyên không âm n R -môđun phân bậc hữu hạn sinh M ' cho M ⊕M '= R n Do đó, ta có ( ) H Ri + ( M , N ') ⊕ H Ri + ( M , N ') ≅ H Ri + ( R n , N ') ≅ H Ri + ( R, N ') n Từ đó, theo [7, 13.1.6] ta có H Ri + ( R, N ') = H Ri + ( N ') ≅ H (iR aR ) ( N ') = H (iR aR ) ( R aR , N ') + + môđun sau Artin (theo mệnh đề 2.2.21) Vì H Ri + ( M , N ') Artin * Ta giả sử p > bổ đề với R-môđun L với pd ( L ) ≤ p − Ta chứng minh bổ đề với p Vì pd ( M ) = d nên tồn số nguyên không âm n, R-môđun phân bậc hữu hạn sinh L cho pd ( L )= p − dãy khớp  → L  → R n  → M  →0 44 Khi ta có dãy khớp H Ri −+1 ( L, N ')  → H Ri + ( M , N ')  → H Ri + ( R n , N ')  → H Ri + ( L, N ') với i > đơn cấu (  → H R0+ ( M , N ')  → H R0+ ( R n , N ') ≅ H R0+ ( N ') ) n với i = Đến đây, theo giả thiết qui nạp ta có H Ri −+1 ( L, N ') , H Ri + ( L, N ') lập ( ) luận H Ri + R n , N ' Artin nên H Ri + ( M , N ') Artin  Mệnh đề 2.2.23 Giả sử R = R0 [ R1 ] , ( R0 , m0 ) địa phương với dim R0 ≤ Khi đó, với i ∈  , pd ( M ) < ∞ R-môđun R0 m0 ⊗ R0 H Ri + ( M , N ) Artin Chứng minh: Từ dãy khớp ngắn →Γ m0 R ( N )  → N  → N Γ m0 R ( N )  →0  ta có dãy khớp dài ( ) → H Ri + ( M , N ) H Ri + M , Γ m0 R ( N )  ( ) (  → H Ri + M , N Γ m0 R ( N )  → H Ri ++1 M , Γ m0 R ( N ) ) Theo mệnh đề [21, 3.5] [21, 3.6] ta thấy R0 m0 ⊗ R0 H Ri + ( M , N ) Artin ( ) R0 m0 ⊗ R0 H Ri + M , N Γ m0 R ( N ) Artin Do ta giả sử Γ m0 R ( N ) = Nếu dim R0 = , từ mệnh đề 2.2.21 ta có điều phải chứng minh Vì giả sử dim R0 = , chọn a ∈ m0 N-chính qui không nằm tất iđêan nguyên tố tối tiểu R, từ dim ( R0 aR0 ) = a Ta xét dãy khớp  → N  → N  → N aN  → có dãy khớp a f H Ri −+1 ( M , N aN )  → H Ri + ( M , N )  → H Ri + ( M , N )  → H Ri + ( M , N aN ) Theo bổ đề 2.2.23 ta có R-môđun H Ri + ( M , N aN ) Artin Im ( f ) Artin Lấy tích Tenxơ dãy khớp R0 m0 , ta đạt 45 0 R0 R0 m0 ⊗ R0 H Ri + ( M , N ) → R0 m0 ⊗ R0 H Ri + ( M , N ) R m ⊗ a  → R0 m0 ⊗ R0 Im ( f )  →0 Vì a ∈ m0 nên ta có R0 m0 ⊗ R H Ri ( M , N ) → R0 m0 ⊗ R H Ri ( M , N ) R0 m0 ⊗ R0 a + 0 + ánh xạ không, từ ta có đẳng cấu R0 m0 ⊗ R0 H Ri + ( M , N ) ≅ R0 m0 ⊗ R0 Im ( f ) Bởi R0 m0 ⊗ R Im ( f ) Artin nên R0 m0 ⊗ R H Ri ( M , N ) Artin +  Định lí 2.2.24 Giả sử R = R0 [ R1 ] , ( R0 , m0 ) địa phương với dim R0 ≤ ( pd ( M ) < ∞ Khi với i ∈  tập AssR0 H Ri + ( M , N )n ) ổn định tiệm cận với n  → −∞ Chứng minh: Cho x phần tử xác định đặt R0' := R0 [ x]m R[ x ] Khi đó, theo định lí 2.2.4 ta có ( ) {p  R AssR0 H Ri = ( M , N )n + ' 0 ( ( p0' ∈ AssR' H Ri , ( M ', N ')n + )} ) với n ∈  [11, 23.2(ii)] Vì AssR0 H Ri + ( M , N )n ổn định tiệm cận ( AssR' H Ri ' ( M ', N ')n 0 ) ổn định tiệm cận Ta lại có R ' R0 -đại số dẹt trung thành địa phương Noether với iđêan tối đại m0 R0' có trường thặng dư đẳng cấu với ( R0 m0 ) ( x ) vô hạn Hơn dim R0 = dim R0' , thay R, M, N tương ứng R ', M ', N ' giả sử R0 m0 vô hạn Bây chứng minh định lí cách qui nạp theo i ≥ * Trường hợp i = , H R0 + ( M , N )n ≅ Γ R+ ( HomR ( M , N ) )n =0 với n  có điều cần chứng minh * Bây giả sử i > định lí với j ≤ i − * Ta chứng minh định lí với i Thật vậy, ta xét dãy khớp sau  →Γ R+ ( N )  → N  → N Γ R+ ( N )  →0 46 ta đạt dãy khớp ( H Ri + M , Γ R+ ( N ) ) n (  → H Ri + ( M , N )n  → H Ri + M , N Γ R+ ( N ) ) n R0 -môđun với n ∈  Theo bổ đề 2.2.1, H Ri + ( M , Γ R+ ( N ) ) = với n  Do đó, từ dãy khớp n ta có H Ri + ( M , N )n ≅ H Ri + ( M , N Γ R+ ( N ) ) n  , nên theo mục đích bước n qui nạp này, thay N N Γ R+ ( N ) Vì ta giả sử N R+ -không xoắn Do theo bổ đề 2.2.10, phần tử N-chính qui a1 ∈ R1 Từ dãy khớp ngắn a → N  → N (1)  → ( N aN )(1)  →0  có dãy khớp H Ri −+1 ( M , N )(1)  → H Ri −+1 ( M , N aN )(1)  → H Ri + ( M , N )  → H Ri + ( M , N )(1) Theo giả thiết qui nạp, suy ∃n0 ∈  cho ( ( ) ) i −1 = AssR0 H Ri −+1 ( M , N )n Ass = : B R0 H R+ ( M , N ) n với n ≤ n0 Hơn nữa, theo bổ đề 2.2.24 bổ đề 2.2.10 tồn n1 ≤ n0 a → H Rj+ ( M , N )n+1 toàn cấu với j = i − ,i n < n1 cho H Rj+ ( M , N )n  Do từ dãy khớp dài trên, ta có dãy khớp ngắn  → H Ri −+1 ( M , N aN )n+1  → H Ri + ( M , N )n  → H Ri + ( M , N )n+1  →0 R -môđun với n < n1 Từ dãy khớp với n < n1 có ( ) ( B ⊆ AssR0 H Ri + ( M , N )n ⊆ B  AssR0 H Ri + ( M , N )n +1 ) Suy B ⊆ AssR0 ( H Ri + ( M , N )n ) ⊆ AssR0 ( H Ri + ( M , N )n +1 ) với n < n1 − Vì B AssR0 ( H Ri + ( M , N )n ) hữu hạn nên ta có AssR0 ( H Ri + ( M , N )n ) ổn định tiệm cận với n   47 Với giả thiết định lí 2.2.24, ta có tập hợp Hệ 2.2.25 ( ) AssR H Ri + ( M , N ) hữu hạn Chứng minh: Vì H Ri + ( M , N ) môđun R+ -xoắn nên AssR ( H Ri + ( M , N ) ) ( ⊆ V ( R+ ) Do đó, ta có song ánh tập AssR H Ri + ( M , N ) ( ) )  n∈ AssR0 H Ri + ( M , N ) (bởi p  p  R0 ) Theo định lí 2.2.24 định lí 2.2.3 ta có điều cần chứng minh  tập 48 Kết luận Trong luận văn này, trình bày kết chủ yếu sau: • Tính hữu hạn sinh môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc bổ đề 2.2.1 Tính hữu hạn sinh, triệt tiêu thành phần phân bậc R0 môđun đối đồng điều suy rộng phân bậc mệnh đề 2.2.2, định lí 2.2.3 • Tính ổn định tiệm cận tập AssR0 ( H Ri + ( M , N )n ) i = f R+ ( M , N ) định lí 2.2.6, i = g ( M , N ) định lí 2.2.9 i ≤ t R+ ( M , N ) định lí 2.2.14 • Tính ổn định tiệm cận tập AssR0 ( H Ri + ( M , N )n ) trường hợp giả thiết cho liên quan đến tính Artin định lí 2.2.15 hệ 2.2.16, 2.2.17, 2.2.19, 2.2.20 • Tính ổn định tiệm cận tập AssR0 ( H Ri + ( M , N )n ) dim ( R0 ) ≤ định lí 2.2.24 Tính hữu hạn tập AssR ( H Ri + ( M , N ) ) hệ 2.2.25 • Một số mệnh đề tính Artin môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc bổ đề 2.2.8 mệnh đề 2.2.12, 2.2.13, 2.2.21, 2.2.22 nhằm phục vụ cho việc chứng minh kết trình bày Vì thời gian khả thân có hạn chế trình thực luận văn nên không tránh khỏi sai sót Kính mong quí thầy cô bạn đồng nghiệp góp ý dẫn thêm 49 Tài liệu tham khảo Asadollahi J., Khashyarmanesh K., Salarian S (2002), “On the finiteness properties of the generalized local cohomology modules”, Communication in Algebra, 30(2), pp 859 – 867 Atiyah M F., Macdonal I G (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addison Wesley Brodmann M P., Fumasoli S., Rohrer F  cohomology, University of Zurich (2007), First lectures on local Brodmann M P., Fumasoli S., Tajarod R (2003), “Local cohomology over homogeneous rings with one-dimensional local base ring”, Proc Amer Math Soc, 131, pp 2977 – 2985 Brodmann M P., Hellus M (2002), “Cohomological patterns of cohenrent sheaves over projective schemes”, J Pure Apple Algebra, 172, pp 165 – 182 Brodmann M P., Rohrer S., Sazeedeh R (2005), “Multiplicities of graded components of local cohomology modules”, J Pure Appl Algebra, 197, pp 249 – 278 Brodmann M P., Sharp R Y (1998), Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambrigde University Press Burns W., Herzog J (1993), Cohen – Macaulay rings, Cambrigde University Press Khashyarmanesh K (2005), “Associated primes of graded components of generalized local cohomology modules”, Communication in Algebra, 33, pp 3081 – 3090 10 Marley T., Vassilev J (2002), “Cofiniteness and associated primes of local cohomology modules”, J Algebra, 256, pp 180-193 11 Matsumura H (1980), Commutative algel, Second Edition, Cambrigde University Press 12 Matsumura H (1989), Commutative ring theory, Cambrigde University Press 50 13 Melkersson L (1999), “Properties of cofinite modules and applications to local cohomlogy”, Math Proc Cambrigde Philos Soc, 125, pp 417 – 423 14 Rotman J J (2009), An Itroduction to homological Algebra, Second Editon, Springer 15 Tahamtan Sh (2011), “Artinianess of Graded Generalized Local Cohomology Modules”, Mathematics Scientific Journal, 7(1), pp 107-117 16 Zadeh F D (2011), “Asymptotic Behaviour and Cofiniteness of Generalized Local Cohomology Modules”, International Journal of Algebra, 5(15), pp 727 – 734 17 Zadeh F D (2011), “On the asymptotic behaviour of graded generalized local cohomology modules”, Mathematical Sciences, 5(1), pp 13 – 24 18 Zadeh F D (2011), “On the finiteness properties of generalized local cohomology modules”, International Electronic Journal Algebra, 10, pp 113 – 122 19 Zadeh F D., Zakeri H (2010), “Some Result on Graded Generalized Local cohomology modules”, Journal of Mathematical Extension, 5(1), pp 59 – 73 20 Zamani N (2003), “On the homogeneous pieces of graded generalized local cohomology modules”, Colloquium Mathematicum, 97(2), pp 181 – 188 21 Zamani N (2006), “On graded generalized locol cohomology”, Archive of Math, 86, pp 321 – 330 [...]... niệm liên quan về môđun đối đồng điều địa phương phân bậc Sau đó, tôi sẽ đưa ra một số tính chất ( ) về sự ổn định tiệm cận của tập AssR0 H Ri + ( M , N )n trong một vài trường hợp đặc biệt 2.1 Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc Định nghĩa 2.1.1 Cho R = ⊕ Ri là một vành giao hoán Noether phân bậc 1 ≠ 0 , M i ≥0 và N là hai R -môđun  -phân bậc hữu hạn sinh Cho R+ = ⊕ Ri là iđêan phân bậc. .. (Bổ đề Melkersson) Cho M là một R -môđun I-xoắn và ( 0 :M I ) là Artin Khi đó M là Artin 1.10 Môđun đối đồng điều địa phương Định nghĩa 1.10.1 Với mỗi i ∈  , hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử Γ I , kí hiệu là H Ii , được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i của iđêan I Với mỗi R -môđun M, ta gọi H Ii ( M ) là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M ứng với iđêan I Tính chất 1.10.2 i) Ta... nhất của y Mệnh đề 1.12.4 Cho R là một vành phân bậc và cho M là một R -môđun phân bậc Khi đó: i) Với mọi môđun con N của M, thì N 1à một R -môđun phân bậc với N = ⊕ n∈ N n , ở đây N n = N  M n với mọi n ∈  ii) Với mọi môđun con N của M, thì M N là một R -môđun phân bậc với M N = ⊕ n∈ ( M N )n , ở đây ( M N = )n (N + Mn ) N với mọi n ∈  iii) Một iđêan phân bậc của R là iđêan I ⊆ R , được phân bậc. .. i >0 thực sự của R Khi đó với mọi i ∈  thì môđun H Ri + ( M , N ) := lim Ext Ri ( M / R+n M , N )  n∈ 0 là một R -môđun phân bậc H Ri + ( M , N ) được gọi là môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc của M, N tương ứng với I Ta có H Ri + ( M , N ) = ⊕ H Ri + ( M , N )n n∈ Tính chất 2.1.2 Cho R = ⊕ Ri là một vành giao hoán Noether phân bậc, M và N là i ≥0 các R -môđun phân bậc hữu hạn... mọi j ∈  0 1.13 Môđun cofinite tương ứng với một iđêan Một R -môđun M được gọi là I-cofinite nếu Supp ( M ) ⊂ V ( I ) và Ext Ri ( R I , M ) là hữu hạn sinh với i ≥ 0 Dễ thấy nếu R là một vành Noether giao hoán và M là một R -môđun hữu hạn sinh sao cho Supp ( M ) ⊆ V ( I ) thì khi đó M là I-cofinite 17 Chương 2 Iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc Trong chương... dãy điều kiện giảm Tính chất 1.3.6 Cho dãy khớp ngắn 0 → M → N → P → 0 các R -môđun, khi đó ta có l (M ) − l ( N ) + l ( P) = 0 1.4 Độ cao của một iđêan Định nghĩa 1.4.1 Cho R là một vành khác 0, p là một iđêan nguyên tố của R Độ cao của một iđêan nguyên tố p là độ dài lớn nhất của dãy gồm n+1 iđêan nguyên tố p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn −1 ⊂ pn = p , kí hiệu htp Nhận xét: i) Nếu htp = 0 thì p là iđêan nguyên tố tối... một môđun con của R Định nghĩa 1.12.5 Cho R là một vành phân bậc, M là một R -môđun phân bậc và r ∈  Với mọi n ∈  đặt M ( r )n = M n+ r Khi đó, M ( r ) = ⊕ n∈ M ( r )n là một Rmôđun phân bậc R -môđun M ( r ) được gọi là sự xê dịch thứ r của M Nếu N ⊆ M là một môđun con phân bậc của M, thì N ( r ) là một môđun con của M ( r ) và ( M N )( r ) = M ( r ) N ( r ) Mệnh đề 1.12.6 Cho R là một vành phân bậc. .. phạm trù các R -môđun vào chính nó iii) Nếu 0  → M  → N  → L  → 0 là một dãy khớp ngắn của các Rmôđun và các R -đồng cấu, khi đó ta có một dãy khớp dài sau 0  →Γ I ( M )  →Γ I ( N )  →Γ I ( L )  → H I1 ( M )  → H I1 ( N )  → 13 Mệnh đề 1.10.3 Cho i ∈  , M là một R -môđun Khi đó môđun đối đồng điều địa phương H Ii ( M ) là I-xoắn 1.11 Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng Định nghĩa... nguyên tố tối tiểu của vành R 7 ii) Nếu I là một iđêan của R Độ cao I là độ cao thấp nhất của iđêan nguyên tố ht ( I ) inf {ht ( p) | I ⊂ p, p ⊂ Spec ( R )} chứa I Tức là= 1.5 Chiều của một vành, môđun Định nghĩa 1.5.1 Cho R là vành, chiều của R, kí hiệu là dimR, là chiều dài lớn nhất của dãy các iđêan nguyên tố p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn −1 ⊂ pn = p của R Nếu có một dãy các iđêan nguyên tố như trên có độ dài... +1 là môđun đơn 6 Độ dài các chuỗi hợp thành của M là một đại lượng không thay đổi, được kí hiệu là l ( M ) và được gọi là độ dài của môđun M Tính chất 1.3.2 Cho R là vành Noether và M là R -môđun hữu hạn sinh Khi đó ta có các điều sau là tương đương: i) l ( M ) < ∞ ii) Mọi iđêan nguyên tố thuộc Ass ( M ) đều là iđêan tối đại của R iii) Mọi iđêan nguyên tố thuộc Supp ( M ) đều là iđêan tối đại của R ... với iđêan 16 Chương Iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc 17 2.1 Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc 17 2.2 Tính ổn định... dụng chương Chương 2: Iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc Đầu tiên, trình bày số tính chất môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc Sau đó, trình bày... tập iđêan nguyên tố liên kết thành phần phân bậc môđun đối đồng điều địa phương suy rộng định lí 2.2.6, định lí 2.2.9 Hơn nữa, từ tính Artin môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc xây