Luận văn: Tính ổn định tiệm cận của tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng đều địa phương pot

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ext M− > k depth k Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (R, m) R− Ass R (J n M/J n+1 M) Ass R (M/J n M) n depth(I, J n M/J n+1 M) depth(I, M/J n M) n M− > k k ≥ −1 x 1 , , x r m M− > k i ∈ {1, , r} x i /∈ p p ∈ Ass R (M/(x 1 , , x i−1 )M) dim(R/p) > k M− > k I i p ∈ Supp(H i I (M)) dim(R/p) > k depth k (I, M) depth −1 (I, M) depth(I, M) M I M− I depth 0 (I, M) f-depth(I, M) M I ¨u depth 1 (I, M) M I depth k (I, J n M/J n+1 M) depth k (I, M/J n M) n (R, m) I, J ⊆ R M R− Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn k ≥ −1 depth k (I, J n M/J n+1 M) depth k (I, M/J n M) r k s k n Ass R (H j I (M)) M I j Ass R (H j I (M)) j ≤ depth 1 (I, M) j ≤ r 1 = depth 1 (I, J n M/J n+1 M) i ≤ s 1 = depth 1 (I, M/J n M) Ass R (H j I (J n M/J n+1 M)) Ass R (H i I (M/J n M)) n j ≤ r 1 i ≤ s 1 Ass R (H j I (J n M/J n+1 M)) Ass R (H i I (M/J n M)) n (R, m) I, J ⊆ R M R− r k = depth k (I, J n M/J n+1 M) s k = depth k (I, M/J n M) n Ass R (H r −1 I (J n M/J n+1 M)) Ass R (H s −1 I (M/J n M)) n  j≤r 0 Ass R  H j I (J n M/J n+1 M))  i≤s 0 Ass R  H i I (M/J n M)) n Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn  t≤j Ass R  H t I (J n M/J n+1 M))∪{m}  t≤i Ass R  H t I (M/J n M))∪{m} j ≤ r 1 i ≤ s 1 n M− > k M− > k I M− > k Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (R, m) m; M R− p R M x ∈ M Ann(x) = p M Ass R (M) Ass(M) p R p ∈ Ass R (M) M R/p p Ann(x) 0 = x ∈ M p ∈ Ass R (M) M = 0 Ass R (M) = 0 ZD(M) M Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn M. 0 −→ M  −→ M −→ M  −→ 0 R− Ass R M  ⊆ Ass R M ⊆ Ass R M  ∪ Ass R M  . Ass R (M) ⊆ Supp R (M) Supp R (M) Ass R (M) M R− Ass R (M) Ass R (M) ⊆ V (Ann M) V (Ann M) Ass R (M) Ann(M) M N M Ass R (N) ⊆ Ass R (M) ⊆ Ass R (M/N) ∪ Ass R (N). Ass R p (M p ) = {qR p |q ∈ Ass R (M), q ⊆ p}. I R M Ass R (M/I n M) Ass R (I n−1 M/I n M) n n Ext M . . . −→ P 2 −→ P 1 −→ P 0 −→ M −→ 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn P i M Y M P 0 = ⊕ y∈Y R y R y = R R− ϕ : P 0 −→ M ϕ(a y ) y∈Y = Σ y∈Y a y y K 1 = Ker ϕ Y 1 K 1 P 1 R− Y 1 f 1 : P 1 −→ K 1 µ 1 = j 1 f 1 j 1 : K 1 → P 0 K 1 P 0 Im µ 1 = Ker ϕ K 2 = Ker µ 1 f 2 : P 2 −→ K 2 P 2 Im µ 2 = Ker µ 1 µ 2 = j 2 f 2 j 2 : K 2 → P 1 . . . µ 2 −→ P 1 µ 1 −→ P 0 ϕ −→ M −→ 0 P i M N R− Hom(−, N) M R− M . . . f 2 −→ P 2 f 1 −→ P 1 f 0 −→ P 0 µ −→ M −→ 0. Hom(−, N) 0 −→ Hom(P 0 , N) f ∗ 0 −→ Hom(P 1 , N) f ∗ 1 −→ Hom(P 2 , N) f ∗ 2 −→ . . . . Ext i R (M, N) = Ker f ∗ i / Im f ∗ i−1 M Ext Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... nguyản vợi dim(R/p) > k kẵ hiằu, I x1 , , xr l ở sƠu thổng thữớng i p Supp(HI (M )) M dÂy > k tối l mởt dÂy tứ chiãu x1 , , xr > k tối l mởt phƯn hằ tham số cừa depth(I, M ) cừa M I f-depth(I, M ) (xem [15]), v ãu cõ ở di nhữ tứ chiãu l ở di cừa mởt depthk (I, M ) dim(M ) dim(M/IM ) ở sƠu lồc I b nhĐt sao cho tỗn tÔi Hỡn nỳa, náu Ôi trong I, thẳ tối Ôi trong (xem [4, nh lỵ 2.4]) Trong trữớng hủp... x(1) , , x(l) mồi khổng l dÂy Suy ra, sao cho iãu ny mƠu thuăn vợi cĂch chồn Nn dÂy Tiáp theo ta chựng minh cừa (Nn )p b khổng l i < b, tỗn tÔi x(b) p Vẳ thá, vợi sao cho Cho x(1) /1, , x(i1) /1, x(i+1) /1, , x(b) /1, x(i) /1 khổng l dÂy chẵnh quy ựng vợi (Nn )p t J0 := {j N; j b; j = i} M p V (I), / õ, xl /1 = x(i) /1 vợi (x(j) /1)jJ0 l dÂy chẵnh quy ựng vợi khổng l chẵnh quy ựng vợi... õ i depth(I, M ) = inf{i | HI (M ) = 0} Ta gồi mởt dÂy cĂc iảan nguyản tố pi = pi+1 l l mởt dÂy nguyản tố p0 p1 pn , trong õ cõ ở di n Chiãu cừa vnh R, kẵ hiằu dim R, l cên trản cừa cĂc ở di cừa cĂc dÂy iảan nguyản tố trong R Chiãu cừa mổun M , kẵ hiằu l dim M cho cõ mởt dÂy nguyản tố cõ ở di hÔn sinh thẳ Supp M = V (AnnR M ), n l cên trản cừa cĂc số trong Supp M Khi M n sao l hỳu do... M dÂy M dÂy v M dÂy l số phƯn tỷ cừa dÂy khổng cõ phƯn tỷ cõ ở di 0 Lữu ỵ: (i) aR l phƯn tỷ M chẵnh quy náu a khổng l ữợc cừa 0 trong M a1 , , a n R (ii) M/(a1 , , an )M = 0 vợi M dÂy ữủc gồi l ai p / v vợi mồi R Cho l vnh giao hoĂn Noether v Rmổun hỳu hÔn sinh khĂc 0 LĐy I a1 , , a n M dÂy l M dÂy nh nghắa 1.4.3 l I M dÂy R Cho dÂy chẵnh quy tối Ôi trong I Ta nõi rơng chẵnh quy cõ ở... qua tẵnh khổng triằt tiảu cừa mổun Ext Mằnh ã 1.4.4 Cho R l vnh Noether, I l iảan cừa R v M l Rmổun hỳu hÔn sinh Khi õ depth(I, M ) = inf{i | Exti (R/I, M ) = 0} R ở sƠu cụng cõ th ữủc c trững qua tẵnh khổng triằt tiảu cừa mổun ối ỗng iãu a phữỡng Mằnh ã 1.4.5 GiÊ sỷ I l iảan cừa R v M l hỳu hÔn sinh Khi õ i depth(I, M ) = inf{i | HI (M ) = 0} Ta gồi mởt dÂy cĂc iảan nguyản tố pi = pi+1... ad M )) < Mởt hằ nhữ thá ữủc gồi l hằ tham sao cho số dim M = d Theo mằnh ã trản, cõ cĂc phƯn tỷ a1 , , ad m M cừa Kát quÊ sau Ơy ch ra rơng chiãu cừa mởt mổun cõ th c trững thổng qua tẵnh triằt tiảu v khổng triằt tiảu cừa mổun ối ỗng iãu a phữỡng Mằnh ã 1.4.7 Cho I l iảan cừa R v M l Rmổun hỳu hÔn sinh khĂc 0 Khi õ i (a) HI (M ) = 0 vợi mồi i > dim M i (b) Náu (R, m) l vnh a phữỡng... ã 1.3.7 Náu S l têp õng nhƠn cừa R v S 1 l hm tỷ n n a phữỡng hõa thẳ S 1 HI (M ) HS 1 I (S 1 M ) c biằt, (HI (M ))p = = n n HIRp (Mp ) vợi mồi iảan nguyản tố p cừa R Tứ mằnh ã trản ta cõ kát quÊ sau Bờ ã 1.3.8 Vợi mội iảan nguyản tố p cừa R ta cõ p Ass HIn(M ) n náu v ch náu pRp Ass HIRp (Mp ) 1.4 Chiãu v ở sƠu cừa mổun nh nghắa 1.4.1 Rmổun gồi l Cho R l vnh giao hoĂn Noether v hỳu hÔn... > k} R Ta chựng minh dĐu bơng thự hai trong bờ ã Cho mởt M dÂy tứ chiãu p Supp(M/IM )i , > k trong I v ta thĐy xi /1 qRp Vợi mội Mp dÂy tứ chiãu x1 /1, , xr /1 tỗn tÔi mởt xẵch nguyản tố tÔi mởt xẵch nguyản tố Nhữ vêy, xi q vợi v 1 p GiÊ sỷ, tỗn tÔi i / khi õ pRp qRp cõ ở di > k i, do õ tỗn m p q cõ ở di > k i + i = k q Ass(M/(x1 , , xi1 )M ) iãu ny mƠu thuăn vợi giÊ... + 1} > k i trong Ip Thêt vêy, xi /1 Ip do xi I sao cho x1 , , x r v dim(R/q) > k , r depthki (Ip , Mp ) Mt q Supp(Extr (R/I, M )) R vợi Do õ, tỗn tÔi dÂy nguyản tố q q0 q1 qk qk+1 m vợi qi Supp(M/IM ) nguyản tố k i p sao cho Do õ, qRp Tứ õ, ta cõ th chồn ữủc mởt iảan p q m dim(R/p ) = i v dim(Rp /qRp ) > SuppRp (Extr (R/I, M ))p )>ki R S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi... Rmổun Rmổun Mn l M/J n M Theo nh lỵ cừa Brodmann vã sỹ ờn nh tiằm cên cừa têp iảan nguyản tố liản kát [1] (xem cÊ [18, nh lỵ 3.1]), ta cõ bờ ã sau Bờ ã 2.1.5 Têp AssR(Nn) l ờn nh vợi n ừ lợn Bờ ã 2.1.6 Cho k 1 v r 1 l nhỳng số nguyản Náu dim(Exti (R/I, Nn )) k vợi vổ hÔn n v mồi i < r Thẳ luổn tỗn R tÔi r phƯn tỷ x1 , xr l Nn dÂy tứ chiãu > k trong I vợi mồi n ừ lợn Chựng minh GiÊ . học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ext M− > k depth k Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên. N Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn M N N =  ∞ n=0 (M n ∩ N). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn M− > k M−. J n M/J n+1 M) depth k (I, M/J n M) n (R, m) I, J ⊆ R M R− Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn k ≥ −1 depth k (I, J n M/J n+1 M) depth k (I, M/J n M) r k s k n Ass R (H j I (M))