Tính hữu hạn và tính ổn định tiệm cận của một số tập iđêan nguyên tố

I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM M C NGH TNH HU HN V TNH N NH TIM CN CA MT S TP IấAN NGUYấN T LUN VN THC S TON HC THI NGUYấN - 2015 I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM M C NGH TNH HU HN V TNH N NH TIM CN CA MT S TP IấAN NGUYấN T Chuyờn ngnh: i s v Lý thuyt s Mó s: 60.46.01.04 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: TS NGUYN VN HONG THI NGUYấN - 2015 Li cam oan Tụi xin cam oan rng ni dung trỡnh by lun ny l trung thc v khụng trựng lp vi cỏc ti khỏc Tụi cng xin cam oan rng mi s giỳp cho vic thc hin lun ny ó c cm n v cỏc thụng tin trớch dn lun ó c ch rừ ngun gc Thỏi Nguyờn, ngy 09 thỏng 10 nm 2015 Ngi vit Lun Mó c Ngh i Li cm n Lun c hon thnh di s hng dn khoa hc ca Tin s NGUYN VN HONG - Ging viờn Trng i hc S phm - i hc Thỏi Nguyờn Nhõn dp ny tụi xin by t lũng bit n sõu sc ti thy, ngi ó hng dn tụi cỏch c ti liu, nghiờn cu khoa hc ỳng n, tinh thn lm vic nghiờm tỳc v ó dnh nhiu thi gian, cụng sc hon thnh lun ny Tụi cng xin by t lũng bit n sõu sc ti cỏc thy cụ giỏo ca: Vin Toỏn hc v i hc Thỏi Nguyờn nhng ngi ó tn tỡnh ging dy v khớch l, ng viờn tụi vt qua nhng khú khn hc Tụi xin cm n ban lónh o Trng i hc S phm - i hc Thỏi Nguyờn, Khoa Sau i hc, S GD&T H Giang, Ban Giỏm hiu trng THPT Thụng Nguyờn, huyn Hong Su Phỡ, H Giang ó to mi iu kin thun li, giỳp tụi sut thi gian hc Cui cựng tụi xin cm n bn bố, ngi thõn ó giỳp , ng viờn, ng h tụi tụi cú th hon thnh tt khúa hc ca mỡnh Thỏi Nguyờn, ngy 09 thỏng 10 nm 2015 Ngi vit Lun Mó c Ngh ii Mc lc Li cm n ii Mc lc M u 1 Kin thc chun b 1.1 Iờan nguyờn t liờn kt 1.2 Mụun Ext 1.3 Mụun i ng iu a phng 1.4 Dóy chớnh quy v sõu ca mụun 1.5 Vnh v mụun phõn bc 11 Tớnh hu hn v n nh tim cn ca iờan nguyờn t liờn kt ca mt s mụun 13 2.1 Tớnh hu hn ca iờan nguyờn t liờn kt 13 2.2 Tớnh n nh tim cn ca iờan nguyờn t liờn kt 22 2.3 Tớnh n nh ca iờan nguyờn t liờn kt ca mụun i ng iu a phng ti bc d 27 Ti liu tham kho 33 M u Cho (R, m) l vnh giao hoỏn Noether a phng, I l iờan ca R, v N l Rmụun hu hn sinh Nm 1992, C Huneke [15] ó a gi thuyt Liu rng cỏc mụun HIj (N ) ch cú hu hn cỏc iờan nguyờn t liờn kt vi mi mụun hu hn sinh N v mi iờan I ? Mt s cõu tr li khng nh c a bi Huneke-R Y Sharp, v G Lyubeznik cho cỏc vnh chớnh quy a phng ng c trng Sau ú, A Singh [23] v M Katzman [16] ó xõy dng c cỏc vớ d v mụun hu hn sinh cú mt s mụun i ng iu a phng cú vụ hn cỏc iờan nguyờn t liờn kt Bờn cnh ú, gi thuyt ny ỳng nhiu trng hp, chng hn: Trong trng hp mụun N cú chiu nh hn 4, T Marley ó ch rng AssR (HIj (N )) l hu hn vi mi j M.Brodmann-A.Faghani chng minh rng AssR (HIt (N )) l hu hn nu HIj (N ) l hu hn sinh vi mi j < t Tip ú, K Khashyarmanesh - Sh Salarian [17] chng minh c rng nu Supp HIj (N ) l hu hn vi mi j < t thỡ Ass HIt (N ) l hu hn Nm 2005, L.T Nhn [22] ó nh ngha khỏi nim dóy chớnh quy suy rng, v c trng c s nguyờn t nh nht Supp HIt (N ) l vụ hn, s t ú l di ca dóy chớnh quy suy rng cc i ca N I v Ass(HIj (N ) l hu hn Gn õy N.T Cng - N.V Hong ó thu c kt qu mi v tớnh hu hn cho cỏc iờan nguyờn t liờn kt ca mt s mụun i ng iu a phng, c th l cỏc nh lý sau: nh lý (Cng - Hong [8, Theorem 1.1]) Cho (R, m) l vnh a phng Noether, I l mt iờan ca R v N l R-mụun hu hn sinh Cho k l mt s nguyờn v r = depthk (I, N ) Nu r < v x1 , , xr l mt N -dóy t chiu > k I , thỡ vi mi s nguyờn j r, hp AssR (HIj (N ))k l hu hn Hn na, vi mi l r ta cú AssR (HIj (N ))k = jl AssR (N/(x1 , , xj )N )k V (I) jl Mc tiờu th nht ca lun l trỡnh by li mt cỏch chi tit chng minh nh lý ca Cng - Hong nh ó nờu trờn v trỡnh by chi tit mt s h qu ca nú Mt khỏc ó c M Brodmann nghiờn cu nm 1979, ú l nghiờn cu tớnh n nh tim cn ca cỏc iờan nguyờn t liờn kt Ass(N/I n N ) n ln Tip ú bi toỏn ó c m rng v c nghiờn cu bi nhiu nh toỏn hc khỏc, chng hn: L Melkersson [20], Melkersson - P Schenzel [21], Cng - Hong - P.H Khỏnh [9] V gn õy Cng - Hong [8] v Hong - Khỏnh [14] ó chng minh c mt s kt qu mi v tớnh n nh ca iờan nguyờn t liờn kt ca mụun i ng iu a phng mt s iu kin nht nh, ú l cỏc nh lý sau: nh lý (Cng - Hong [8, Theorem 1.2]) Cho (R, m) l vnh a phng Noether v I l mt iờan ca R Ly R = n0 Rn l mt i s phõn bc chun hu hn sinh trờn R0 = R v N = n0 Nn l mt R-mụun phõn bc hu hn sinh Vi mi s nguyờn k 1, gi r l giỏ tr n nh ca depthk (I, Nn ) Khi ú vi mi s nguyờn l r hp jl AssR (HIj (Nn ))k l n inh vi n ln nh lý (Hong - Khỏnh [14]) Cho (R, m) l vnh a phng Noether, I, J l hai iờan ca R v M l Rmụun hu hn sinh Cho R = n0 Rn mt i s phõn bc chun hu hn sinh trờn R0 = R v N = n0 Nn l mt mụun phõn bc hu hn sinh Ly Ln kớ hiu cho Rmụun Nn hoc Rmụun M/J n M Khi ú vi mi s nguyờn khụng õm l hp jl SuppR (HIj (Ln )) l n nh vi n ln c bit, hp AssR (HId1 (Ln )) {m} l n nh vi n ln, ú d l giỏ tr n nh ca dim Ln Mc tiờu th hai ca lun l trỡnh by li chi tit chng minh cho nh lý v nh lý nờu trờn Lun c chia lm hai chng Chng dnh trỡnh by nhng kin thc chun b cn thit bao gm: iờan nguyờn t liờn kt, mụun Ext, mụun i ng iu a phng, dóy chớnh quy v sõu ca mụun, vnh v mụun phõn bc Chng l chng chớnh ca lun gm ba mc tng ng dnh chng minh chi tit cho cỏc nh lý: nh lý 1, nh lý 2, v nh lý 3 Chng Kin thc chun b Chng ny nhm gii thiu mt s kin thc chun b phc v cho chng minh cỏc kt qu nhng chng sau Trong chng ny ta luụn gi thit R l vnh giao hoỏn Noether v M l Rmụun 1.1 Iờan nguyờn t liờn kt nh ngha 1.1.1 (Iờan nguyờn t liờn kt) Mt iờan nguyờn t p ca R c gi l iờan nguyờn t liờn kt ca M nu cú mt phn t = x M cho Ann(x) = p Tp tt c cỏc iờan nguyờn t liờn kt ca M c kớ hiu l AssR (M ) hoc Ass(M ) Sau õy l mt s tớnh cht ca cỏc iờan nguyờn t liờn kt Mnh 1.1.2 (i) Cho p Spec(R) Khi ú p AssR (M ) nu v ch nu M cú mt mụun ng cu vi R/p (ii) Nu p l phn t ti i ca ca tt c cỏc iờan ca R cú dng Ann(x) (vi = x M ), thỡ p AssR (M ) Vỡ R l vnh Noether nờn M = v ch AssR (M ) = Hn na, ZD(M ) tt c cỏc c ca khụng ca M l hp ca tt c cỏc iờan nguyờn t liờn kt ca M (iii) Cho M M M l dóy khp cỏc Rmụun Khi ú AssR M AssR M AssR M AssR M (iv) AssR (M ) SuppR (M ) v mi phn t ti thiu ca SuppR (M ) u thuc vo AssR (M ) (v) Nu M l Rmụun hu hn sinh thỡ AssR (M ) l hu hn Hn na AssR (M ) V (Ann M ) v mi phn t ti thiu ca V (Ann M ) u thuc AssR (M ) Vỡ th Ann(M ) l giao cỏc iờan nguyờn t liờn kt ca M (vi) AssRp (Mp ) = {qRp | q AssR (M ), q p} 1.2 Mụun Ext nh ngha 1.2.1 Mt gii x nh ca Rmụun M l mt dóy khp P2 P1 P0 M ca cỏc Rmụun, ú Pi l Rmụun x nh vi mi i Chỳ ý 1.2.2 Gii x nh ca mt Rmụun M luụn tn ti Tht vy, gi s Y l mt h sinh ca M , gi P0 = yY Ry , vi Ry = R l Rmụun t trờn Y Khi ú ta cú ton cu : P0 M cho bi (ay )yY = yY ay y t K1 = Ker Ly Y1 l h sinh ca K1 v P1 l Rmụun t sinh bi Y1 Khi ú ta cú mt ton cu t nhiờn f1 : P1 K1 t à1 = j1 f1 , ú j1 : K1 P0 l phộp nhỳng t nhiờn t K1 vo P0 D thy Im à1 = Ker t K2 = Ker à1 Bng lp lun tng t ta cú mt ton cu f2 : P2 K2 cho K2 l mụun t v Im à2 = Ker à1 ú à2 = j2 f2 vi j2 : K2 P1 l phộp nhỳng t nhiờn C tip tc quỏ trỡnh ny ta thu c mt dóy khp à2 à1 P1 P0 M ú Pi l mụun t Vỡ mi mụun t l x nh nờn mi dóy khp trờn l x nh ca M nh ngha 1.2.3 Cho N l Rmụun Xột hm t Hom(, N ) l phn bin, khp trỏi Cho M l Rmụun, ly gii x nh ca M f2 f1 f0 P2 P1 P0 M Tỏc ng hm t Hom(, N ) vo dóy khp trờn ta cú phc f0 f1 f2 Hom(P0 , N ) Hom(P1 , N ) Hom(P2 , N ) Mụun ny khụng ph thuc vo vic Khi ú ExtiR (M, N ) = Ker fi / Im fi1 chn gii x nh ca M Sau õy l mt s tớnh cht c bn ca mụun Ext Mnh 1.2.4 (i) Nu M l x nh thỡ ExtiR (M, N ) = vi mi i (ii) Ext0R (M, N ) = Hom(M, N ) (iii) Nu N N N l dóy khp ngn thỡ tn ti cỏc ng cu ni ExtnR (M, N ) Extn+1 R (M, N ) vi mi n cho ta cú dóy khp di Hom(M, N ) Hom(M, N ) Hom(M, N ) Ext1R (M, N ) Ext1R (M, N ) Ext1R (M, N ) Ext2R (M, N ) (iv) Nu N N N l dóy khp ngn thỡ tn ti cỏc ng cu ni ExtnR (N , M ) Extn+1 R (N , M ) vi mi n cho ta cú dóy khp di Hom(N , M ) Hom(N, M ) Hom(N , M ) Ext1r (N , M ) Ext1R (N, M ) Ext1R (N , M ) Ext2R (N , M ) T Chỳ ý 1.2.2 v t nh ngha mụun Ext ta cú kt qu sau H qu 1.2.5 Nu M, N l mụun hu hn sinh trờn R thỡ ExtiR (M, N ) cng l hu hn sinh vi mi i Kt qu sau õy cho ta tớnh cht giao hoỏn gia mụun Ext v hm t a phng húa Mnh 1.2.6 Nu S l úng nhõn ca R thỡ S (ExtnR (M, N )) = ExtnS R (S M, S N ) c bit, ta cú (ExtnR (M, N ))p = ExtnRp (Mp , Np ) vi mi p Spec R Mt khỏc rừ rng x1 , , xr l mt N -dóy t chiu > k IM Hn na, j theo B 2.1.9, ta cú ExtjR (M, N ) = HAnn(M ) (M, N ); ú j j HAnn(M (M, N ) = H ) Ann(M ) (M, N ) = HIj (M, N ) j Suy ExtjR (M, N ) = HI (M, N ) Do ú h qu c suy t nh lý 2.1.10 Chỳ ý 2.1.15 Ly cỏc s nguyờn j v t > Ly a = (a1 , , as ) kớ hiu cho dóy cỏc phn t ca R v t = (t1 , , ts ) l b s s nguyờn dng Vi mi iờan I ca R ta t T j (I t , N ) = AssR (ExtjR (R/I t , N )), v T j (at , N ) = AssR (ExtjR (R/(at11 , , atss ), N )) Khi ú ta thu c cỏc quan h sau õy gia cỏc hp nờu trờn H qu 2.1.16 Cho k l s nguyờn, I l mt iờan ca R v r = depthk (I, N ) Nu r < v x1 , , xr l mt N -dóy t chiu > k iờan I , thỡ vi bt kỡ h cỏc phn t sinh a1 , , as ca I v bt kỡ s nguyờn l r, ta luụn cú T j (I t , N )k = jl T j (at , N )k AssR (N/(x1 , , xj )N )k V (I) = jl jl vi mi t Z+ v mi t (Z+ )s c bit, vi mi s nguyờn j r, ta suy rng cỏc hp tZ+ T j (I t , N )k v t(Z+ )s T j (at , N )k c cha hu hn AssR (N/(x1 , , xi )N )k V (I) ij Chng minh Vỡ It = I = (at11 , , atss ) vi mi s nguyờn dng t, t1 , , ts , nờn ỏp dng H qu 2.1.14 (khi M = R/I t v M = R/(at11 , , atss )) ta thu c rng AssR (ExtjR (R/I t , N ))k = jl AssR (N/(x1 , , xj )N )k V (I) v jl AssR (ExtjR (R/(at11 , , atss ), N ))k = jl AssR (N/(x1 , , xj )N )k V (I) jl vi mi l r, v ú h qu c chng minh 20 Chỳ ý 2.1.17 Kt qu chớnh ca M Brodmann - L.T Nhn [4, Theorems 1.1 v 1.2] núi rng vi s nguyờn khụng õm r ó cho, nu dim Supp(HIi (N )) k vi mi i < r, thỡ cỏc T j (at , N )k T j (I t , N )k v tZ+ cha hu hn t(Z+ )s ij AssR (ExtiR (R/I, N )) vi mi j r Hn na, nu x1 , , xr l mt N -dóy t chiu > k hoỏn v c v ng thi l mt dóy I -lc chớnh quy I hoỏn v c, thỡ cỏc ny c cha hu hn sau AssR (N/(x1 , , xj )N )k+1 AssR (N/(x1 , , xi )N )k , (*) ij ú AssR (N/(x1 , , xi )N )k = {p AssR (N/(x1 , , xi )N ) | dim R/p = k} j j j Thc vy, vỡ H (N ) = HI (N ) nờn dim Supp(HI (N )) k vi mi j < r Do I ú depthk ( I, N ) r, ú tn ti N dóy t chiu > k l x1 , , xr iờan I Vỡ th ta ỏp dng c H qu 2.1.16 vo tỡnh gi thit ca [4, Theorem 1.1] Ta thy rng ng thc H qu 2.1.16 khụng ph thuc vo t v t, nờn vi bt kỡ j r ta thy cỏc t(Z+ )s tZ+ T j (I t , N )k v T j (at , N )k c cha hp hu hn sau AssR (ExtiR (R/I, N ))k T i (I, N )k = ij ij iu ny chng t rng H qu 2.1.16 cha ng c kt qu nh lý 1.1 ca [4] Hn na, ly p T j (I t , N )k T j (at , N )k vi t Z+ , t (Z+ )s v j r no ú Nu dim(R/p) = k thỡ p thuc vo () theo H qu 2.1.16 Nu dim(R/p) k + thỡ depth(Ip , Np ) = r Vỡ th trng hp ny ta cú j = r, v ú p T r (I, N ) Vỡ Extr (R/I, N ) = H r (R/I, N ) theo B 2.1.9, nờn R I ta thu c t B 2.1.8 rng p Ass(N/(x1 , , xr )N )k+1 Vỡ vy H qu 2.1.16 cng bao trựm c nhl ý 1.2 ca [4] cho cỏc vnh a phng m khụng cn gi thit rng x1 , , xr ng thi l N -dóy t chiu > k hoỏn v c v l dóy I -lc chớnh quy hoỏn v c I 21 2.2 Tớnh n nh tim cn ca iờan nguyờn t liờn kt Cho R = n0 Rn l mt i s phõn bc chun hu hn sinh trờn vnh R0 = (R, m), v ly N = n0 Nn l R-mụun phõn bc hu hn sinh thun li trỡnh by, ta dựng Ln kớ hiu cho Rmụun Nn hoc Rmụun M/J n M (vi M l Rmụun hu hn sinh v J l iờan ca R) Lu ý rng mt nh lý ca M Brodmann nm 1979 v tớnh n nh ca iờan nguyờn t liờn kt [2] (cú th xem [20, Theorem 3.1]) phỏt biu rng B 2.2.1 Tp AssR (Ln ) l n nh n ln Da vo kt qu ny, [3, Theorem v Proposition 12], M Brodmann cng ó chng minh rng s nguyờn depth(I, Nn ) ly giỏ tr l mt hng s n ln Sau ú [9], N.T Cng-N.V Hong-P.H Khỏnh ó chng minh tng quỏt húa kt qu th hai ca M Brodmann thnh kt qu sau õy B 2.2.2 ([9, Theorem 1.1]) Cho k l s nguyờn Khi ú i lng depthk (I, Nn ) tr thnh s khụng ph thuc vo n n ln Do cú tớnh cht B 2.2.2, bõy gi ta cú th t rk l giỏ tr hng n nh ca depthk (I, Nn ) n ln Khi ú, [9], h cng chng minh c rng hp jr1 AssR (HIj (Nn )) {m} l hp n nh n ln (trong ú r1 l giỏ tr n nh ca depth1 (I, Nn ) n ln) Sau ú, nm 2014, Cng-Hong [8, Theorem 1.2] ó chng minh c kt qu tng quỏt sau õy nh lý 2.2.3 (nh lý 2) Cho (R, m) l vnh a phng Noether v I l iờan ca R Ly R = n0 Rn l l i s phõn bc chun hu hn sinh trờn R0 = R v N = n0 Nn l R-mụun phõn bc hu hn sinh Vi mi s nguyờn k 1, ly r l giỏ tr n nh ca depthk (I, Nn ) Khi ú vi mi s nguyờn l r ta luụn cú hp j jl AssR (HI (Nn ))k l n nh n ln chng minh nh lý trờn ta cn thit lp b sau B 2.2.4 Cho s nguyờn k v r l giỏ tr n nh ca depthk (I, Nn ) 22 n ln Gi s rng r < Khi ú tn ti mt dóy x1 , , xr iờan I m nú l mt Nn -dóy t chiu > k vi mi n ln Chng minh Ly r l giỏ tr n nh ca depthk (I, Nn ) Theo B 2.2.1 ta cú th chn x1 I cho x1 / p vi mi p AssR (Nn )>k v mi n ln Khi ú depthk (I, Nn /x1 Nn ) = r vi mi n ln Theo gi thit quy np, tn ti mt dóy x2 , , xn I l mt Nn /x1 Nn -dóy t chiu > k vi mi n ln Vỡ vy x1 , , xr l dóy tha nh yờu cu ca b Chỳ ý 2.2.5 Ta cng cn nhc li rng: dóy x1 , , xr l mt N -dóy t chiu > nu v ch nu nú l N dóy chớnh quy v x1 , , xr l mt N -dóy t chiu > nu v ch nu nú l mt dóy lc chớnh quy ca N (nh ngha bi N T Cng, N V Trung, v P Schenzel [11]) Hn na, x1 , , xr l mt N -dóy t chiu > nu v ch nu nú l mt dóy chớnh quy suy rng ca N (nh ngha bi L.T Nhn [22]) Chng minh nh lý 2.2.3 nh lý ny c suy tc khc t nh lý sau õy M = R nh lý 2.2.6 (Cng-Hong [8, Theorem 4.4]) Cho (R, m) l vnh a phng Noether, I l mt iờan R v M l Rmụun hu hn sinh Ly R = n0 Rn l l i s phõn bc chun hu hn sinh trờn R0 = (R, m) v N = n0 Nn l R-mụun phõn bc hu hn sinh Vi mi s nguyờn k 1, ta ly r l giỏ tr n nh ca depthk (IM , Nn ) n ln Khi ú vi mi s nguyờn l r, ta thu c hp j jl AssR (HI (M, Nn ))k l hu hn v n nh n ln Chng minh Ly r l giỏ tr n nh ca depthk (IM , Nn ) Ta ch cn chng t rng vi bt kỡ s nguyờn l r thỡ hp j jl AssR (HI (M, Nn ))k l hu hn v n nh n ln Theo B 2.2.1 v 2.2.2, ta cú th tỡm c mt s nguyờn t ln cho AssR (Nn /IM Nn ) l n nh v r = depthk (IM , Nn ) vi mi n t t d = dim(Nt /IM Nt ) Ta xột ba trng hp sau õy Trng hp Nu d < k , thỡ r = v ú ta cú iu nh mong mun bi 23 vỡ AssR (HIj (M, Nn ))k = jl vi mi n t Trng hp Nu d = k , thỡ r = T ú vi mi s nguyờn dng n t ta cú AssR (HIj (M, Nn ))d SuppR (Nn /IM Nn )d = AssR (Nn /IM Nn )d , jl vỡ AssR (Nn /IM Nn )d ch cha cỏc phn t p cc tiu m dim(R/p) = d Do vy AssR (HIj (M, Nn ))d X= nt jl AssR (Nn /IM Nn ), nt vỡ th X l hu hn theo B 2.2.1 Nh vy ta cú th ly t ln cho vi mi p X thỡ AssR (HIj (M, Nn ))d p jl vi vụ hn n t Bõy gi vi mi p X ta t s l giỏ tr n nh ca depth((IM )p , (Nn )p ), ú ta cú th vit s = depth((IM )p , (Nn )p ) vi mi n n(p) (trong ú n(p) l s nguyờn no ú tha n(p) t) Suy HIs (M, Nn )p = vi mi n n(p) Hn na, theo nh ngha ca X , dn ti bt ng thc s l Do ú p l mt phn t cc tiu ca SuppR (HIs (M, Nn )), v vỡ th AssR (HIj (M, Nn ))d p AssR (HIs (M, Nn ))d jl vi mi n n(p) T ú ta thy hp AssR (HIj (M, Nn ))d jl l hu hn v n nh vi mi n max{n(p) | p X} Trng hp Gi s rng d > k Khi ú r < Nu l = 0, thỡ ta cú AssR (HI0 (M, Nn ))k = AssR (Nn )k V (IM ) 24 l hu hn v n nh vi n ln theo B 2.2.1 Gi s rng l r Trong trng hp ny, theo B 2.2.4, thỡ tn ti mt dóy x1 , , xr iờan IM m nú l mt Nn dóy t chiu > k vi mi n u (trong ú u l s nguyờn no ú tha u t) Theo nh lý 2.1.10, ta nhn c ng thc sau õy AssR (HIj (M, Nn ))k = jl AssR (Nn /(x1 , , xj )Nn )k V (IM ) jl vi mi n u Khi ú ta thu c theo B 2.2.1 rng hp v bờn phi l hu hn v n nh n ln V ú hp sau õy AssR (HIj (M, Nn ))k jl l hu hn v n nh vi n ln, ú l iu phi chng minh Phn cũn li ca mc ny ta xột cỏc h qu ca nh lý 2.2.6 Bng cỏch thay th k = 1, 0, nh lý 2.2.6, ta nhn c kt qu sau õy ú l mt m rng ca kt qu [9, Theorem 1.2] cho cỏc mụun i ng iu a phng suy rng H qu 2.2.7 Cho r, r0 v r1 l cỏc giỏ tr n nh ca depth(IM , Nn ), f-depth(IM , Nn ) v gdepth(IM , Nn ), tng ng Khi ú cỏc phỏt biu sau õy l ỳng (i) Tp hp AssR HIr (M, Nn ) l hu hn v n nh vi n ln (ii) Vi mi s nguyờn l0 r0 ta cú hp jl0 AssR (HIj (M, Nn )) l hu hn v n nh vi n ln (iii) Vi mi s nguyờn l1 r1 ta cú hp jl1 AssR (HIj (M, Nn )) {m} l hu hn v n nh vi n ln Chng minh (i) Vỡ HIj (M, Nn ) = vi mi j < r v mi n ln, ú AssR (HIj (M, Nn ))1 = AssR HIr (M, Nn ) jr 25 l hu hn v n nh vi n ln (theo nh lý 2.2.6) (ii) Kt lun ca bi toỏn c suy t nh lý 2.2.6 v ng thc AssR (HIj (M, Nn ))0 = jl0 AssR (HIj (M, Nn )) jl0 vi mi l0 r0 v mi n ln (iii) Vi mi l1 r1 ta cú AssR (HIj (M, Nn ))1 {m} = jl1 AssR (HIj (M, Nn )) {m} jl1 vi mi n ln Do ú kt qu c suy t nh lý 2.2.6 Chỳ ý rng nu I = ann(M ) thỡ HIj (M, Nn ) = ExtjR (M, Nn ) vi mi j theo B 2.1.9 Hn na, trng hp ny, theo lp lun tng t phn chng minh ca H qu 2.1.14, ta cú IM = IM = I Do ú nh lý 2.2.6 dn n h qu sau õy lp tc H qu 2.2.8 Cho k l s nguyờn vi k v r l giỏ tr n nh ca depthk (ann(M ), Nn ) Khi ú vi bt kỡ l r hp j jl AssR (ExtR (M, Nn ))k l n nh vi n ln Vi mi s nguyờn j 0, mi iờan I ca R, mi h a = (a1 , , as ) cỏc phn t ca R, v mi b s s nguyờn khụng õm t = (t1 , , ts ) Ns , nh mc trc ta ó t T j (I t , Nn ) = AssR (ExtjR (R/I t , Nn )), T j (at , Nn ) = AssR (ExtjR (R/(at11 , , atss ), Nn )) Khi ú ta cú h qu sau H qu 2.2.9 Ly k l s nguyờn, I l mt iờan ca R v r l giỏ tr n nh ca depthk (I, Nn ) Ly a1 , , as l mt h cỏc phn t sinh ca I v ly s nguyờn l r Khi ú vi mi s nguyờn dng t, t1 , , ts , ta cú cỏc hp sau õy T j (I t , Nn )k v jl T j (at , Nn )k jl 26 l n nh vi n ln Hn na, nu r < thỡ T j (I t , Nn )k = jl T j (at , Nn )k jl l n nh vi mi n ln Chng minh Theo B 2.2.2, ta tỡm mt s nguyờn u ln cho r = depthk (I, Nn ) vi mi n u Ly t, t1 , , ts l cỏc s nguyờn dng Vỡ I t = I = (at11 , , atss ), nờn ta cú r = depthk ( I, Nn ) = depthk (I t , Nn ) = depthk ((at11 , , atss ), Nn ) vi mi n u iu ú cựng vi H qu 2.2.8 dn n (bng cỏch t M = R/I t v M = R/(at11 , , atss )) rng cỏc jl T j (I t , N ) n k v jl T j (at , N ) n k l n nh vi n ln Bõy gi ta gi s rng r < Khi ú, vi bt kỡ n u, ta thu c t H qu 2.1.16 rng jl T j (I t , N ) n k = jl T j (at , N ) n k vi mi s nguyờn dng t, t1 , , ts Nh vy chỳng l n nh vi mi n ln 2.3 Tớnh n nh ca iờan nguyờn t liờn kt ca mụun i ng iu a phng ti bc d Trong mc ny ta gi thit (R, m) l vnh Noether a phng, I, J l hai iờan ca R v M l Rmụun hu hn sinh Ly R = n0 Rn l i s phõn bc chun hu hn sinh trờn R0 = (R, m) v N = n0 Nn l Rmụun phõn bc hu hn sinh Nh mc trc thun tin ta kớ hiu Ln kớ hiu cho Rmụun Nn hoc Rmụun M/J n M Theo B 2.2.1, ta thy dim Ln ly giỏ tr hng l d n ln Ta gi d l giỏ tr n nh ca dim Ln n ln Kt qu chớnh ca mc ny l nh lý sau õy ca N.V Hong - P.H Khỏnh bi bỏo [14] nh lý 2.3.1 (nh lý 3) Cho Ln nh ó gii thiu trờn Vi mi s nguyờn j jl SuppR (HI (Ln )) l n nh n ln c bit, AssR (HId1 (Ln )) {m} l n nh vi n ln, ú d l khụng õm l, ta cú hp ta suy rng giỏ tr n nh ca dim Ln 27 chng minh nh lý 2.3.1, ta cn mt s b sau B 2.3.2 Cho M, N l cỏc Rmụun hu hn sinh v I l mt iờan ca R Nu SuppR (M ) SuppR (N ) thỡ vi bt kỡ s nguyờn khụng õm l ta cú SuppR (HIj (N )) SuppR (HIl (M )) jl Chng minh Ta chng minh bng quy np gim dn theo l B l hin nhiờn i vi l > dim M theo nh lý trit tiờu Grothendieck Gi s rng l dim M v b ó ỳng vi l + Vỡ SuppR (M ) SuppR (N ), nờn ta nhn c theo nh lý ca Gruson [24, Theorem 4.1] rng tn ti mt dóy = L0 L1 Lt = M (**) gm cỏc mụun ca M , ú mi thng Li /Li1 l nh ng cu ca tng trc tip ca hu hn phiờn bn ca N Vi mi i = 1, , t, t dóy khp Li1 Li Li /Li1 ta cú dóy khp sau õy HIl (Li1 ) HIl (Li ) HIl (Li /Li1 ) Do ú SuppR (HIl (Li )) SuppR (HIl (Li1 )) SuppR (HIl (Li /Li1 )) Dn n SuppR (HIl (M )) SuppR (HIl (Lt1 )) SuppR (HIl (Lt /Lt1 )) SuppR (HIl (Lt2 )) SuppR (HIl (Lt1 /Lt2 )) SuppR (HIl (Lt /Lt1 )) SuppR (HIl (Li /Li1 )) 1it Theo tớnh cht ca dóy (**), vi mi i {1, , t} ta cú dóy khp ngn si Ki N Li /Li1 k=1 (trong ú Ki l Rmụun hu hn sinh no ú, v si l s nguyờn dng no ú) iu ny kộo theo dóy khp sau õy si N ) HIl (Li /Li1 ) HIl+1 (Ki ) HIl ( k=1 28 Do ú si SuppR (HIl (Li /Li1 )) SuppR (HIl+1 (Ki )) SuppR (HIl ( N )) k=1 = SuppR (HIl+1 (Ki )) SuppR (HIl (N )) Chỳ ý rng si SuppR (Ki ) SuppR ( N ) = SuppR (N ) k=1 Vỡ vy ta nhn c theo gi thit quy np rng SuppR (HIj (N )) SuppR (HIl+1 (Ki )) jl+1 Do ú SuppR (HIj (N )), SuppR (HIl (Li /Li1 )) jl v vỡ th SuppR (HIj (N )) SuppR (HIl (M )) jl iu ny kt thỳc chng minh ca b B 2.3.3 Ly dim N = d Khi ú SuppR (HId1 (N )) {m} = AssR (HId1 (N )) {m} Chng minh Rừ rng rng SuppR (HId1 (N )) {m} AssR (HId1 (N )) {m} Theo [7, Lemma 2.6], ta suy hp SuppR (HId1 (N )) l hu hn Do ú dim(R/p) vi mi p Supp(HId1 (N )) theo Ratliff [19, Theorem 31.2] Khi ú vi bt kỡ p Supp(HId1 (N )) ta nhn c p l phn t cc tiu ca Supp(HId1 (N )) hoc p = m T ú dn n SuppR (HId1 (N )) AssR (HId1 (N )) {m} Vỡ th b c chng minh 29 Chng minh nh lý 2.3.1 Theo B 2.2.1, tn ti s nguyờn n0 cho SuppR (Ln ) = SuppR (Ln0 ) vi mi n n0 T ú kt hp vi B 2.3.2 dn n SuppR (HIj (Ln )) = jl SuppR (HIj (Ln0 )) jl vi mi n n0 Do ú yờu cu th nht ca nh lý c chng minh i vi yờu cu th hai, ta nhn c t B 2.3.3 rng {m} AssR (HId1 (Ln )) = {m} SuppR (HId1 (Ln )) SuppR (HIj (Ln )) , = {m} jd1 rừ rng nú l n nh n ln theo yờu cu th nht Vy nh lý c chng minh Nhỡn chung hp AssR (HI1 (M/J n M )) khụng n nh n ln (xem [10, Theorem 3.3, (ii)]) Tuy nhiờn, [10, Theorem 3.3, (i)], bng cỏch ỏp dng [9, Theorem 1.1], Cng-Khỏnh ó chng minh c rng AssR (HI1 (Nn )) l n nh n ln, ú Nn l thnh phn phõn bc th n ca Rmụun phõn bc hu hn sinh N = n0 Nn Phn cui ca mc ny, ta xột thờm mt s h qu ca nh lý 2.3.1 cho Nn Trc ht ta nhc li rng chiu i ng iu ca M i vi I c nh ngha bi cd(I, M ) = sup{i Z|HIi (M ) = 0} Ta d thy rng cd(I, M ) dim M Trong [12, Theorem 1.4], T Dibaei v S Yassemi ó chng minh rng nu M v N l cỏc Rmụun hu hn sinh cho SuppR (M ) SuppR (N ) thỡ cd(I, M ) cd(I, N ) T õy v B 2.2.1, ta cú b sau õy B 2.3.4 cd(I, Nn ) ly giỏ tr hng s n ln Ly d l giỏ tr n nh ca dim Nn Rừ rng rng AssR (HIi (Nn )) l n nh n ln, vi i = hoc i > d Theo [10, Theorem 3.3], ta cú AssR (HI1 (Nn )) l 30 n nh n ln Chỳ ý rng HId (Nn ) l Artin iu ny cựng vi B 2.3.4 dn n AssR (HId (Nn )) l n nh n ln Hn na AssR (HId1 (Nn )) {m} l n nh n ln theo nh lý 2.3.1 c bit, trng hp R l vnh cú chiu nh thỡ ta cú kt qu sau õy H qu 2.3.5 Nu dim R thỡ AssR (HIi (Nn )) l n nh vi mi n ln v mi i H qu 2.3.6 Nu dim R thỡ AssR (HIi (Nn )) {m} l n nh vi mi n ln v mi i 31 Kt lun Trong lun ny chỳng tụi thu c cỏc kt qu chớnh sau õy: Trỡnh by li chi tit chng minh ca kt qu 1: Cho (R, m) l vnh Noether a phng, I l iờan ca R v N l Rmụun hu hn sinh Ly s nguyờn k v r = depthk (I, N ) Nu r < v x1 , , xr l mt N dóy t chiu > k I , thỡ vi mi s nguyờn j r ta cú hp AssR (HIj (N ))k l hu hn Hn na, ta cú ng thc AssR (HIj (N ))k = jl AssR (N/(x1 , , xj )N )k V (I) jl vi mi l r Trỡnh by li chi tit chng minh ca kt qu 2: Cho (R, m) l vnh a phng Noether v I l iờan ca R Ly R = n0 Rn l i s phõn bc chun hu hn sinh trờn R0 = (R, m) v N = n0 Nn l R-mụun phõn bc hu hn sinh Vi mi s nguyờn k 1, ta ly r l giỏ tr n nh ca depthk (I, Nn ) Khi ú vi mi s nguyờn l r, ta cú hp j jl AssR (HI (Nn ))k l n nh n ln Trỡnh by li chi tit chng minh kt qu 3: Ly Ln l Rmụun Nn hoc Rmụun M/J n M Khi ú vi mi s nguyờn khụng õm l, ta cú j jl SuppR (HI (Ln )) l n nh n ln AssR (HId1 (Ln )) {m} l n nh vi n ln ca dim Ln ) 32 c bit, ta suy rng (trong ú d l giỏ tr n nh Ti liu tham kho [1] M H Bijan-Zadeh, A common generalization of local cohomology theories, Glasgow Math J., 21 (1980), 173-181 [2] M Brodmann, Asymptotic stability of AssR (M/I n M ), Proc Amer Math Soc., 74 (1979), 16-18 [3] M Brodmann, The asymptotic nature of the analytic spread, Math Proc Camb Phil Soc., 86 (1979), 35-39 [4] M Brodmann and L T Nhan, A finiteness result for associated primes of certain Ext-modules, Comm Algebra, 36 (2008), 1527-1536 [5] M Brodmann and R.Y Sharp, Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications," Cambridge University Press, (1998) [6] N T Cuong and N V Hoang, Some finite properties of generalized local cohomology modules, East-West J Math (2) (2005), 107-115 [7] N T Cuong and N V Hoang, On the vanishing and the finiteness of supports of generalized local cohomology modules, Manuscripta Math., (1) 126 (2008), 59-72 [8] N T Cuong and N V Hoang, On the finiteness and stability of certain set of associated prime ideals of local cohomology modules, Communications in Algebra 42 (2014), 1757-1768 [9] N T Cuong, N.V Hoang and P H Khanh, Asymptotic stability of certain sets of associated prime ideals of local cohomology modules, Comm Algebra, 38 (2010), 4416-4429 [10] N T Cuong and P H Khanh, Some asymptotic properties of graded module, Acta Math Vietnamica (2) 36 (2011), 183-192 [11] N T Cuong, Schenzel P., N V Trung (1978), "Verallgemeinerte CohenMacaulay moduln", Math Nachr., 85, pp 57-73 33 [12] M T Dibaei and S Yassemi, Cohomological Dimension of Complexes, Comm Algebra, 32 (2004), 4375-4386 [13] J Herzog, Komplexe, Aufloăsungen und Dualitaăt in der Lokalen Algebra, Habilitationsschrift, Universitaăt Regensburg, 1970 [14] N V Hoang and P H Khanh, On the asymptotic stability of certain sets of prime ideals, East-West J of Mathematics, Vol 14, No 1(2012) pp 20-27 [15] C Huneke, Problems on local cohomology, Free resolutions in commutative algebra and algebraic geometry (Sundance, Utah, 1990), Res Notes Math., (1992), 93-108 [16] M Katzman, An example of an infinite set of associated primes of a local cohomology module, J Algebra, 252 (2002), 161-166 [17] K Khashyarmanesh and Sh Salarian, On the associated primes of local cohomology modules, Comm Algebra, 27 (1999), 6191 - 6198 [18] R Luă and Z Tang, The f-depth of an ideal on a module, Math Proc Camb Phil Soc., (7) 130 (2001), 1905-1912 [19] H Matsumura, "Commutative ring theory", Cambridge Univ Press, Cambridge, 1986 [20] L Melkersson, On asymptotic stability for sets of prime ideals connected with the powers of an ideal, Math Proc Camb Phil Soc., 107 (1990), 267-271 [21] L Melkersson and P Schenzel, Asymptotic prime ideals related to derived functions, Proc Amer Math Soc., (4) 117 (1993), 935-938 [22] L T Nhan, On generalized regular sequences and the finiteness for associated primes of local cohomology modules, Comm Algebra, 33 (2005), 793-806 [23] A Singh, ptorsion elements in local cohomology modules, Math Res Lett., (2000), 165-176 [24] W.V Vasconcelos, Divisor theory in module categories, in: North-Holland Mathematics Studies, Vol 14 (1974) 34 [...]... A0 −đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh, trong trường hợp này A là ảnh đồng cấu của vành đa thức n biến trên A0 Do đó nếu A0 là vành Noether thì theo Định lí cơ sở Hilbert, ta suy ra vành đa thức trên A0 là vành Noether Vì thế A là vành Noether 12 Chương 2 Tính hữu hạn và ổn định tiệm cận của tập iđêan nguyên tố liên kết của một số môđun Chương này nhằm chứng minh chi tiết các kết quả chính của luận... M là R−môđun hữu hạn sinh và J là iđêan của R) Lưu ý rằng một định lý của M Brodmann năm 1979 về tính ổn định của tập iđêan nguyên tố liên kết [2] (có thể xem [20, Theorem 3.1]) phát biểu rằng Bổ đề 2.2.1 Tập AssR (Ln ) là ổn định khi n đủ lớn Dựa vào kết quả này, trong [3, Theorem 2 và Proposition 12], M Brodmann cũng đã chứng minh rằng số nguyên depth(I, Nn ) lấy giá trị là một hằng số khi n đủ lớn... hạn và ổn định với n lớn (ii) Với mỗi số nguyên l0 ≤ r0 ta có tập hợp j≤l0 AssR (HIj (M, Nn )) là hữu hạn và ổn định với n lớn (iii) Với mỗi số nguyên l1 ≤ r1 ta có tập hợp j≤l1 AssR (HIj (M, Nn )) ∪ {m} là hữu hạn và ổn định với n lớn Chứng minh (i) Vì HIj (M, Nn ) = 0 với mọi j < r và mọi n lớn, do đó AssR (HIj (M, Nn ))≥−1 = AssR HIr (M, Nn ) j≤r 25 là hữu hạn và ổn định với n lớn (theo Định lý 2.2.6)... được tập hợp j j≤l AssR (HI (M, Nn ))≥k là hữu hạn và ổn định khi n đủ lớn Chứng minh Lấy r là giá trị ổn định của depthk (IM , Nn ) Ta chỉ cần chứng tỏ rằng với bất kì số nguyên l ≤ r thì tập hợp j j≤l AssR (HI (M, Nn ))≥k là hữu hạn và ổn định khi n lớn Theo Bổ đề 2.2.1 và 2.2.2, ta có thể tìm được một số nguyên t đủ lớn sao cho AssR (Nn /IM Nn ) là ổn định và r = depthk (IM , Nn ) với mọi n ≥ t Đặt... với mọi i ta có pi = pi+1 ) là một dãy các iđêan nguyên tố có độ dài là n Ta nói chiều (Krull) của vành R, kí kiệu là dim R, là cận trên của các độ dài của các dãy iđêan nguyên tố trong R Khi M là R−môđun, ta nói chiều môđun M , kí hiệu là dim M , là cận trên của các số n sao cho có một dãy các iđêan nguyên tố có độ dài n trong tập Supp M Trong trường hợp M là R−môđun hữu hạn sinh thì Supp M = V (AnnR... [8] và một phần bài báo [14] 2.1 Tính hữu hạn của tập iđêan nguyên tố liên kết Với S là tập con của Spec(R) và với số nguyên k ≥ −1, ta đặt S≥k = {p ∈ S | dim(R/p) ≥ k} và S>k = {p ∈ S | dim(R/p) > k} 13 Năm 2008, M Brodmann-L.T Nhàn đã định nghĩa khái niệm N −dãy từ chiều > k trong bài báo [4] như sau Định nghĩa 2.1.1 (xem [4]) Cho số nguyên k ≥ −1 Một dãy các phần tử x1 , , xr ∈ m được gọi là một. .. cũng bao trùm cả Địnhl ý 1.2 của [4] cho các vành địa phương mà không cần giả thiết rằng x1 , , xr đồng thời là N -dãy từ chiều > k hoán vị được và là dãy I -lọc chính quy hoán vị được trong I 21 2.2 Tính ổn định tiệm cận của tập iđêan nguyên tố liên kết Cho R = ⊕n≥0 Rn là một đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên vành R0 = (R, m), và lấy N = ⊕n≥0 Nn là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Để thuận... 2.2.9 Lấy k ≥ −1 là số nguyên, I là một iđêan của R và r là giá trị ổn định của depthk (I, Nn ) Lấy a1 , , as là một hệ các phần tử sinh của I và lấy số nguyên l ≤ r Khi đó với mọi số nguyên dương t, t1 , , ts , ta có các tập hợp sau đây T j (I t , Nn )≥k và j≤l T j (at , Nn )≥k j≤l 26 là ổn định với n lớn Hơn nữa, nếu r < ∞ thì T j (I t , Nn )≥k = j≤l T j (at , Nn )≥k j≤l là ổn định với mọi n lớn... khi M = R Định lý 2.2.6 (Cường-Hoàng [8, Theorem 4.4]) Cho (R, m) là vành địa phương Noether, I là một iđêan R và M là R−môđun hữu hạn sinh Lấy R = ⊕n≥0 Rn là là đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên R0 = (R, m) và N = ⊕n≥0 Nn là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Với mỗi số nguyên k ≥ −1, ta lấy r là giá trị ổn định của depthk (IM , Nn ) khi n đủ lớn Khi đó với mỗi số nguyên l ≤ r, ta thu được tập hợp... Với mỗi số nguyên k ≥ −1, lấy r là giá trị ổn định của depthk (I, Nn ) Khi đó với mỗi số nguyên l ≤ r ta luôn có tập hợp j j≤l AssR (HI (Nn ))≥k là ổn định khi n đủ lớn Để chứng minh định lý trên ta cần thiết lập bổ đề sau Bổ đề 2.2.4 Cho số nguyên k ≥ −1 và r là giá trị ổn định của depthk (I, Nn ) 22 khi n đủ lớn Giả sử rằng 1 ≤ r < ∞ Khi đó tồn tại một dãy x1 , , xr trong iđêan I mà nó là một Nn