Tính ổn định tiệm cận của tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng đều địa phương

Tính ổn định tiệm cận của tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng đều địa phương

„I HÅC THI NGUY–NTR×ÍNG „I HÅC S× PH„M

NGUY™N TRUNG DÔNG

TNH ÊN ÀNH TI›M CŠN CÕA TŠP I–AN

NGUY–N TÈ LI–N K˜T CÕA MÆUN ÈI ÇNG I—UÀA PH×ÌNG

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

Th¡i Nguy¶n - 2010

„I HÅC THI NGUY–NTR×ÍNG „I HÅC S× PH„M

NGUY™N TRUNG DÔNG

TNH ÊN ÀNH TI›M CŠN CÕA TŠP I–AN

NGUY–N TÈ LI–N K˜T CÕA MÆUN ÈI ÇNG I—UÀA PH×ÌNG

Chuy¶n ng nh: ¤i sè v  Lþ thuy¸t sèM¢ sè: 60 46 05

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: TS Nguy¹n V«n Ho ng

Th¡i Nguy¶n - 2010

1.3 Mæun èi çng i·u àa ph÷ìng 10

1.4 Chi·u v  ë s¥u cõa mæun .11

2.3 Mët sè t½nh ch§t li¶n quan ¸n depthk 22

Ch÷ìng 3 T½nh ên ành ti»m cªn cõa tªp i¶an nguy¶n tèli¶n k¸t 27

Líi c£m ìn

Luªn v«n ÷ñc ho n th nh sau hai n«m håc t¤i Tr÷íng ¤i håc s÷ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n v  d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh v  nghi¶mkh­c cõa TS Nguy¹n V«n Ho ng Nh¥n dàp n y tæi xin b y tä lángbi¸t ìn s¥u s­c ¸n Th¦y v  gia ¼nh.

Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn tîi GS.TSKH Nguy¹n Tü C÷íng, PGS.TSNguy¹n Quèc Th­ng, PGS.TS L¶ Thanh Nh n v  TS Nguy¹n ThàDung; c¡c th¦y cæ ð Khoa To¡n v  Pháng  o t¤o Sau ¤i håc Tr÷íng¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ tªn t¼nh gi£ng d¤y v  giópï tæi trong suèt thíi gian håc tªp.

Cuèi còng tæi xin b y tä láng bi¸t ìn tîi ng÷íi th¥n, b¤n b± v  t§tc£ nhúng ng÷íi ¢ gióp ï, ëng vi¶n tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp.Th¡i Nguy¶n, th¡ng 8 n«m 2010

Håc vi¶n

Nguy¹n Trung Dông

Mð ¦u

i¶an cõa R v  M l  mët R−mæun húu h¤n sinh N«m 1979, M.

Nh n ¢ ành ngh¾a kh¡i ni»m M−d¢y tø chi·u > k nh÷ sau: cho

p ∈ AssR(M/(x1, , xi−1)M ) m  dim(R/p) > k Hå ¢ ch¿ ra r¬ng måi

I(M )) câ dim(R/p) > k.

l  ë s¥u depth(I, M) cõa M trong I l  ë d i cõa M−d¢y tèi ¤i

C¥u häi 1:

trð n¶n ên ành hay khæng khi n õ lîn? N«m 2008, trong mët b i b¡ocõa N T C÷íng, N V Ho ng v  P H Kh¡nh (xem [8]), hå ¢ tr£ líikh¯ng ành cho c¥u häi tr¶n, â công l  mët k¸t qu£ mð rëng cho mëtành lþ cõa Brodmann, cö thº l  ành lþ sau:

nguy¶n k ≥ −1, c¡c sè depthk(I, JnM/Jn+1M ) v  depthk(I, M/JnM )

M°t kh¡c, n«m 1990, C Huneke ¢ ÷a ra gi£ thuy¸t r¬ng tªp

ra bði Huneke-R.Y Sharp, G Lyubeznik cho c¡c v nh ch½nh quy àaph÷ìng chùa mët tr÷íng M°c dò, sau â A Singh, M Katzman ¢ch¿ ra c¡c ph£n v½ dö cho gi£ thuy¸t n y, nh÷ng gi£ thuy¸t â v¨ncán óng trong nhi·u tr÷íng hñp Ch¯ng h¤n, K Khashyarmanesh-Sh.

c¡c tªp AssR(HIj(JnM/Jn+1M )) v  AssR(HIi(M/JnM )) l  húu h¤n vîi

AssR(HIj(JnM/Jn+1M )) v  AssR(HIi(M/JnM )) câ trð n¶n ên ành haykhæng khi n õ lîn? Công trong b i b¡o n¶u tr¶n cõa N T C÷íng, N.V Ho ng v  P H Kh¡nh (xem [8]), hå ¢ tr£ líi kh¯ng ành cho mëtc¥u häi y¸u hìn c¥u häi tr¶n, cö thº hå thu ÷ñc ành lþ sau:

trong ành lþ 0.0.1 Khi â c¡c m»nh · sau l  óng:(i) AssR(Hr−1

Nhúng v§n · n¶u tr¶n câ mët þ ngh¾a quan trång chuy¶n ng nh¤i sè, ¤i sè giao ho¡n v  ¤i sè çng i·u, v¼ th¸ nâ ¢ thu hót süquan t¥m cõa nhi·u nh  to¡n håc tr¶n th¸ giîi v  trong n÷îc Möc½ch cõa luªn v«n n y l  h» thèng mët sè ki¸n thùc c¦n thi¸t v· ¤isè giao ho¡n, ¤i sè çng i·u câ li¶n quan ¸n c¡c c¥u häi 1, 2; Sauâ tr¼nh b y l¤i mët c¡ch chi ti¸t chùng minh cho c¡c ành lþ 0.0.1 v ành lþ 0.0.2 v  mët sè h» qu£ cõa chóng.

Luªn v«n gçm 3 ch÷ìng Ch÷ìng 1 d nh º nh­c l¤i mët sè ki¸n thùccì sð v· ¤i sè giao ho¡n, èi çng i·u àa ph÷ìng, mæun ph¥n bªcnh¬m phöc cho vi»c chùng minh c¡c k¸t qu£ cõa c¡c ch÷ìng ti¸p sau.Trong ph¦n ¦u cõa ch÷ìng 2, chóng tæi giîi thi»u kh¡i ni»m M−d¢ytø chi·u > k, ë d i cõa M−d¢y tø chi·u > k trong I Ti¸p theo,chóng tæi chùng minh ành lþ 0.0.1 v  h» qu£ cõa nâ Ph¦n cuèi cõach÷ìng n y, chóng tæi x²t mët sè t½nh ch§t quan trång cõa M−d¢y tøchi·u > k v  mð rëng cõa ë s¥u Ch÷ìng cuèi còng, chóng tæi d nhto n bë cho vi»c chùng minh ành lþ 0.0.2 Trong â, tr÷îc méi ph¦nchùng minh chóng tæi ·u ÷a ra c¡c t½nh ch§t câ li¶n quan.

Ch֓ng 1

Ki¸n thùc cì sð

húu h¤n sinh.

1.1 I¶an nguy¶n tè li¶n k¸t

nguy¶n tè li¶n k¸t cõa M n¸u tçn t¤i mët ph¦n tû x ∈ M sao cho

Sau ¥y l  mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa tªp c¡c i¶an nguy¶n tè li¶nk¸t.

M»nh · 1.1.2.

l  hñp cõa c¡c i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa M.

Khi â

·u thuëc AssR(M ).

k¸t cõa M.

(f) N¸u N l  mæun con cõa M th¼

(h) AssRp(Mp) = {qRp|q ∈ AssR(M ),q ⊆ p}.

D÷îi ¥y l  mët k¸t qu£ r§t quan trång cõa M Brodmann v· t½nhên ành cõa tªp c¡c i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t.

ành lþ 1.1.3 Cho I l  mët i¶an cõa R v  M l  húu h¤n sinh Khi

1.2 Mæun Ext

º ti»n theo dãi, trong möc n y, ta nh­c ng­n gån c¡c kh¡i ni»m mæun

ành ngh¾a 1.2.1 Mët gi£i x¤ £nh cõa M l  mët d¢y khîp

trong â méi Pi l  mæun x¤ £nh.

Chó þ 1.2.2 Gi£i x¤ £nh cõa mët mæun M luæn tçn t¤i Thªt vªy,

bði ϕ(ay)y∈Y = Σy∈Yayy °t K1 = Ker ϕ L§y Y1 l  h» sinh cõa K1 v 

f1 : P1 −→ K1 °t µ1 = j1f1, trong â j1 : K1 ,→ P0 l  ph²p nhóng

l  mæun tü do v  Im µ2 = Ker µ1, trong â µ2 = j2f2 vîi j2 : K2 ,→ P1

l  ph²p nhóng tü nhi¶n Cù ti¸p töc qu¡ tr¼nh tr¶n ta thu ÷ñc mëtd¢y khîp

−→ Pµ2 1 µ1

d¢y khîp tr¶n l  gi£i x¤ £nh cõa M.

ành ngh¾a 1.2.3 Cho N l  R−mæun X²t h m tû Hom(−, N) l ph£n bi¸n, khîp tr¡i Cho M l  R−mæun L§y gi£i x¤ £nh cõa M.

−→

v o vi»c chån gi£i x¤ £nh cõa M.

Sau ¥y l  mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa mæun Ext.M»nh · 1.2.4.

(a) N¸u M l  x¤ £nh th¼ Exti

(b) Ext0

cho ta câ d¢y khîp d i

−→ Ext1R(M, N ) −→ Ext1R(M, N00) −→ Ext2R(M, N0) −→

R(N0, M ) −→ Extn+1R (N00, M ) vîi måi n ≥ 0 saocho ta câ d¢y khîp d i

−→ Ext1R(N, M ) −→ Ext1R(N0, M ) −→ Ext2R(N00, M ) −→ Tø Chó þ 1.2.2 v  tø ành ngh¾a Ext ta câ ngay k¸t qu£ sau.

l  húu h¤n sinh vîi måi n.

K¸t qu£ sau ¥y cho ta t½nh ch§t giao ho¡n giúa Ext v  h m tû àaph÷ìng hâa.

M»nh · 1.2.6 N¸u S l  tªp âng nh¥n cõa R th¼S−1(ExtnR(M, N )) ∼= ExtnS−1R(S−1M, S−1N )

(ExtnR(M, N ))p ∼= Extn

Rp(Mp, Np)

1.3 Mæun èi çng i·u àa ph÷ìng

ành ngh¾a 1.3.1 Cho I l  i¶an cõa R Vîi méi R−mæun M, ta

h m tû I−xo­n.

Bê · 1.3.2 Cho I l  i¶an cõa v nh Noether R Gi£ sû M l  húuh¤n sinh C¡c ph¡t biºu sau l  óng.

ành ngh¾a 1.3.3 Mët gi£i nëi x¤ cõa M l  mët d¢y khîp

−→

Chó þ 1.3.4 Gi£i nëi x¤ cõa mët mæun M luæn tçn t¤i.

ành ngh¾a 1.3.5 Cho M l  R−mæun v  I l  i¶an cõa R Cho gi£inëi x¤ cõa M

−→ T¡c ëng h m tû I−xo­n v o d¢y khîp tr¶n ta ÷ñc phùc

0 −→ ΓI(E0) f

−→ ΓI(E1) f

−→ ΓI(E2) f

−→

Khi â Hi

phùc v  ÷ñc gåi l  mæun èi çng i·u àa ph÷ìng thù i cõa M èivîi i¶an I.

Sau ¥y l  mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa mæun èi çng i·u àaph÷ìng.

K¸t qu£ sau ¥y cho ta t½nh ch§t giao ho¡n giúa èi çng i·u àaph÷ìng v  h m tû àa ph÷ìng hâa.

àa ph÷ìng hâa th¼ S−1HIn(M ) ∼= HSn−1I(S−1M ) °c bi»t, (Hn

I(M ))p ∼=HIRn

Tø m»nh · tr¶n ta câ k¸t qu£ sau.

I(M )

1.4 Chi·u v  ë s¥u cõa mæun

ành ngh¾a 1.4.1 Cho R l  v nh giao ho¡n Noether v  M l 

gåi l  M−d¢y ch½nh quy n¸u:

(i) M/(a1, , an)M 6= 0, v 

(ii) ai l  ph¦n tû M/(a1, , ai−1)M −ch½nh quy, vîi måi i = 1, , n.ë d i cõa M−d¢y l  sè ph¦n tû cõa d¢y M−d¢y khæng câ ph¦n tûn o gåi l  M−d¢y câ ë d i 0.

* L÷u þ:

(i) a ∈ R l  ph¦n tû M−ch½nh quy n¸u a khæng l  ÷îc cõa 0 trong

M/(a1, , an)M 6= 0 v  ai ∈/ p vîi måi p ∈ AssRM/(a1, , ai−1)Mvîi i = 1, , n.

ành ngh¾a 1.4.2 Cho R l  v nh giao ho¡n Noether v  M l 

v  a1, , an l  M−d¢y ch½nh quy trong I Ta nâi r¬ng a1, , an l 

sao cho a1, , an, an+1 l  M−d¢y ch½nh quy câ ë d i n + 1.

ành ngh¾a 1.4.3 Cho R l  v nh giao ho¡n Noether v  M l 

Khi â måi d¢y ch½nh quy cõa M trong I ·u câ thº mð rëng th nhd¢y ch½nh quy tèi ¤i trong I v  c¡c d¢y ch½nh quy tèi ¤i cõa M trong

hi»u l  depth(I, M).

Do â d¢y c¡c ph¦n tû cõa R l  M−d¢y ch½nh quy khi v  ch¿ khi nâ

K¸t qu£ sau ¥y l  °c tr÷ng qua t½nh khæng tri»t ti¶u cõa mæunExt

M»nh · 1.4.4 Cho R l  v nh Noether, I l  i¶an cõa R v  M l 

depth(I, M ) = inf{i | ExtiR(R/I, M ) 6= 0}.

ë s¥u công câ thº ÷ñc °c tr÷ng qua t½nh khæng tri»t ti¶u cõamæun èi çng i·u àa ph÷ìng.

M»nh · 1.4.5 Gi£ sû I l  i¶an cõa R v  M l  húu h¤n sinh Khiâ

depth(I, M ) = inf{i | HIi(M ) 6= 0}.

l  dim R, l  cªn tr¶n cõa c¡c ë d i cõa c¡c d¢y i¶an nguy¶n tè trong

cho câ mët d¢y nguy¶n tè câ ë d i n trong Supp M Khi M l  húu

p∈Ass M

Khi R l  v nh Noether àa ph÷ìng th¼ måi R−mæun húu h¤n sinh·u câ chi·u húu h¤n °c bi»t, ta câ k¸t qu£ sau ¥y.

= inf{t : ∃a1, , atº `(M/(a1, , atM )) < ∞}.

Gi£ sû dim M = d Theo m»nh · tr¶n, câ c¡c ph¦n tû a1, , ad ∈ m

sao cho `(M/(a1, , adM )) < ∞ Mët h» nh÷ th¸ ÷ñc gåi l  h» thamsè cõa M.

K¸t qu£ sau ¥y ch¿ ra r¬ng chi·u cõa mët mæun câ thº °c tr÷ngthæng qua t½nh tri»t ti¶u v  khæng tri»t ti¶u cõa mæun èi çng i·uàa ph÷ìng.

M»nh · 1.4.7 Cho I l  i¶an cõa R v  M l  R−mæun húu h¤nsinh kh¡c 0 Khi â

I(M ) = 0 vîi måi i > dim M.

m(M ) 6= 0}.

1.5 V nh v  mæun ph¥n bªc

ành ngh¾a 1.5.1 (i) Mët v nh ph¥n bªc A l  mët v nh giao ho¡n

l  ph¦n tû thu¦n nh§t bªc n.

l  mët A0 ¤i sè N¸u tçn t¤i húu h¤n ph¦n tû a1, , an ∈ A1 sao choA = A0[a1, , an] th¼ ta nâi A l  A0−¤i sè ph¥n bªc chu©n húu h¤nsinh, trong tr÷íng hñp n y A l  £nh çng c§u cõa v nh a thùc n bi¸n

(ii) Cho A l  v nh ph¥n bªc v  M l  A−mæun th¼ M gåi l  A−mæun

c¡c ph¦n tû thu¦n nh§t (ph¥n bªc) câ bªc l  n Cho N l  mæun con

cõa mæun ph¥n bªc M, N ÷ñc gåi l  mæun con thu¦n nh§t (ph¥n

n=0(Mn∩ N ).

i ∈ {1, , r} ta câ xi ∈/ p vîi måi p ∈ AssR(M/(x1, , xi−1)M ) m dim(R/p) > k.

chi·u > 0 n¸u v  ch¿ n¸u nâ l  mët d¢y låc ch½nh quy cõa M ÷ñc giîithi»u bði N T C÷íng, P Schenzel v  N V Trung (xem [9]) Hìn núa,

ch½nh quy suy rëng cõa M ÷ñc ành ngh¾a bði L T Nh n (xem [21]).Chó þ 2.1.2 (i) Cho k l  mët sè nguy¶n Gi£ sû dim(M/IM) > k.Khi â b§t k¼ M−d¢y tø chi·u > k trong I câ ë d i húu h¤n, v 

t§t c£ c¡c M−d¢y tø chi·u > k tèi ¤i trong I ·u câ ë d i nh÷

I(M ))

ë s¥u låc f-depth(I, M) cõa M trong I ÷ñc k½ hi»u bði L¨u v  Tang

ành ngh¾a bði L T Nh n (xem [21]).

(ii) N¸u dim(M/IM) ≤ k th¼ ta câ thº chån mët M−d¢y tø chi·u > ktrong I câ ë d i r nguy¶n d÷ìng b§t k¼, v  trong tr÷íng hñp n y ta

depthk(I, M ) = inf{j | dim(ExtjR(R/I, M )) > k}

= inf{depthk−i(Ip, Mp)|p ∈ Supp(M/IM )≥i}vîi måi 0 ≤ i ≤ k + 1, ð ¥y ta quy ÷îc r¬ng inf(∅) = ∞.

r = depthk(I, M ) l  mët sè nguy¶n khæng ¥m Theo [ 4, Bê · 2.4 ],ta câ

r = inf{i|∃p ∈ Supp(HIi(M )), dim(R/p) > k}.Hìn núa, theo [ 7, Bê · 2.8 ], ta ÷ñc

vîi måi l ≥ 0 Do â

r = inf{j|∃p ∈ Supp(ExtjR(R/I, (M )), dim(R/p) > k}hay

r = inf{j| dim(ExtjR(R/I, M )) > k}.

mët M−d¢y tø chi·u > k trong I v  i ∈ {0, , k + 1} Vîi méi

p ∈ Supp(M/IM )≥i, ta th§y x1/1, , xr/1 l  mët Mp−d¢y tø chi·u> k −i trong Ip Thªt vªy, xi/1 ∈ Ip do xi ∈ I v  1 /∈p Gi£ sû, tçn t¤i isao cho xi/1 ∈ qRp vîi qRp ∈ (AssR(Mp/(x1, , xi−1)Mp))>k−i, khi âtçn t¤i mët x½ch nguy¶n tèpRp ⊃ ⊃ qRp câ ë d i > k−i, do â tçn

Nh÷ vªy, xi ∈ q vîi q ∈ Ass(M/(x1, , xi−1)M ) v  dim(R/q) > k,

q ⊂ q0 ⊂ q1 ⊂ ⊂ qk ⊂ qk+1 ⊂ ⊂ m

nguy¶n tè p0 sao cho p0 ⊃ q m  dim(R/p0) = i v  dim(Rp0/qRp0) >

p0(ExtrR(R/I, M ))p0)>k−i hay qRp0 ∈

p0(Rp0/Ip0, Mp0))>k−i Suy ra r ≥ depthk−i(Ip0, Mp0) V¼ vªyr = inf{depthk−i(Ip, Mp)|p ∈ Supp(M/IM )≥i}.

Theo ành lþ cõa Brodmann v· sü ên ành ti»m cªn cõa tªp i¶annguy¶n tè li¶n k¸t [1] (xem c£ [18, ành lþ 3.1]), ta câ bê · sau.

Bê · 2.1.6 Cho k ≥ −1 v  r ≥ 1 l  nhúng sè nguy¶n N¸u

t¤i r ph¦n tû x1, xr l  Nn−d¢y tø chi·u > k trong I vîi måi n õlîn.

Chùng minh Gi£ sû

T := {n ∈ Z| dim(ExtiR(R/I, Nn)) ≤ k, ∀i < r}.Ta chùng minh bê · b¬ng ph÷ìng ph¡p quy n¤p theo r.

I 6⊆ p vîi måi p ∈ AssR(Nn)>k Thªt vªy, gi£ sû ng÷ñc l¤i r¬ng tçn t¤i

p ∈ AssR(Nn)>k sao cho I ⊆ p V¼

AssR(Hom(R/I, Nn)) = AssR(Nn) ∩ V (I)

ành vîi n õ lîn theo Bê · 2.1.5, n¶n tçn t¤i sè nguy¶n a ∈ T sao

Gi£ sû r > 1 v  m»nh · óng vîi r−1 Ta chùng minh m»nh · óng

R(R/I, Nn/x1Nn)) ≤ k vîi måi

Gi£ sû dim(0 :Nn x1) > k th¼ sup{dim(R/p)|p ∈ AssR(0 :Nn x1)} > k,

v  dim(R/p) > k M°t kh¡c, v¼ x1 l  Nn− d¢y tø chi·u > k n¶n x1 ∈/ p,vîi måi p ∈ AssR(Nn) v  dim(R/p) > k, l¤i do 0 6= m ∈ (0 :Nn x1)

Nn−d¢y tø chi·u > k th¼ dim(0 :Nn x1) ≤ kv  dim(Exti

R(R/I, Nn)) ≤ kmåi n ∈ T vîi n ≥ a v  måi i < r Tø d¢y khîp ng­n

0 −→ (0 :Nn x1) −→ Nn −→ Nn/(0 :Nn x1) −→ 0ta câ d¢y khîp

ExtiR(R/I, Nn) −→ ExtiR(R/I, Nn/(0 :Nn x1))

−→ Exti+1R (R/I, (0 :Nn x1)).

I(0 :Nn x1))) ≤ k vîi måi i ≥ 0,l¤i do

ta câ d¢y khîp sau

Exti−1R (R/I, Nn) −→ Exti−1R (R/I, Nn/x1Nn)

−→ ExtiR(R/I, Nn/(0 :Nn x1)).

R(R/I, Nn/(0 :Nn x1))) ≤ k ta suy radim(ExtiR(R/I, Nn/x1Nn)) ≤ k

vîi måi i < r−1, måi n ∈ T v  måi n ≥ a Do â, theo gi£ thi¸t quy n¤p,tçn t¤i mët Nn/x1Nn−d¢y tø chi·u > k ch¯ng h¤n l  x2, , xr ∈ Ivîi måi n ≥ a (vîi a n o â thuëc T ).

v  mët sè nguy¶n r ∈ {0, , d − d0} sao cho

r = inf{i | dim(ExtiR(R/I, Nn)) > k}

â kh¯ng ành r¬ng depthk(I, Nn) = 0 vîi n ≥ a N¸u r ≥ 1 th¼ tçn t¤i

R(R/I, Nn)) > k

minh ành lþ 0.0.1, ta câ h» qu£ ti¸p theo.

H» qu£ 2.2.1 Cho k ≥ −1 l  mët sè nguy¶n v  r l  gi¡ trà ên ànhcõa depthk(I, Nn) Khi â

r = inf{i | dim(ExtiR(R/I, Nn)) > k vîi væ h¤n n}.

2.3 Mët sè t½nh ch§t li¶n quan ¸n depthk

depthk(I, M/JnM ).

Bê · 2.3.1 Cho k ≥ −1 l  mët sè nguy¶n Gi£ sû r¬ng r v 

ta câ d¢y khîp d i sau

−→ Extj−1R (R/I, M/JnM ) −→ ExtjR(R/I, JnM/Jn+1M )

p ∈ AssR(M/(x1, , xi−1)M ) \ V (I) trong â V (I) l  tªp t§t c£ c¡ci¶an nguy¶n tè cõa R chùa I.

Bê · 2.3.2 Cho k ≥ −1 l  mët sè nguy¶n v  r l  gi¡ trà ên ành cõadepthk(I, Nn) Gi£ sû 1 ≤ r < ∞ Khi â tçn t¤i mët d¢y x1, , xr

Chùng minh Cho l l  sè nguy¶n thäa m¢n 1 ≤ l ≤ r Ta chùng minhb¬ng ph÷ìng ph¡p quy n¤p theo l v· sü tçn t¤i cõa mët d¢y gçm lph¦n tû trong I thäa m¢n Bê ·.

Vîi l = 1, theo Bê · 2.1.5, ta câ thº gi£ sû r¬ng tçn t¤i sè nguy¶nt > 0 sao cho AssR(Nn)l  ên ành vîi måi n ≥ t V¼ r ≥ 1 n¶n I 6⊆ pvîi

m¥u thu¨n vîi r ≥ 1) Tø ¥y, theo ành lþ tr¡nh nguy¶n tè ta câI 6⊆ p vîi måi p ∈ AssR(Nn)>k ∪ (AssR(Nn) \ V (I)) v  vîi måi n ≥ t.

trong tr÷íng hñp l = 1.

Gi£ sû, vîi 1 < l ≤ r v  m»nh · ÷ñc chùng minh cho l − 1 Khi â

Ta chùng minh m»nh · óng vîi l Méi tªp con J cõa {1, , l −1}

trong I câ ë d i l Do â, méi tªp con J cõa {1, , l − 1}, tçn t¤i

j∈J xjNn−ch½nh quy tø chi·u > k trong I Tø â,

j∈J xjNn)>k v  måi tªp con J cõa {1, , l − 1}

ng÷ñc l¤i r¬ng, xδ(1), , xδ(l) khæng l  Nn−d¢y tø chi·u > k Choa ∈ {1, , l} l  sè nguy¶n b² nh§t sao cho xδ(1), , xδ(a) khæng

p ∈ (AssR(Nn)/(xδ(1), , xδ(a−1))Nn)>k sao cho xδ(a) ∈ p V¼ th¸,xδ(1), , xδ(a) ∈ p v  xδ(1)/1, , xδ(i−1)/1, xδ(i+1)/1, , xδ(a)/1, xδ(i)/1

khæng l  (Nn)p−d¢y ch½nh quy °t

J := {j ∈N|j ≤ a; j 6= i}.

M  dim(R/p) > k, vîi (xδ(j)/1)j∈J l  d¢y ch½nh quy ùng vîi (Nn)p.

(Nn)p/Σj∈Jxδ(j)(Nn)p V¼ th¸, tçn t¤i q ∈ Spec R,q ⊆ p, sao choxl/1 ∈ qRp ∈ AssRp((Nn)p/Σj∈Jxδ(j)(Nn)p) Suy ra, xl ∈ q ∈AssR(Nn/Σj∈Jxδ(j)Nn)>k ⊆ T i·u n y m¥u thu¨n vîi c¡ch chån xl.Suy ra, xδ(1), , xδ(l) l  Nn−d¢y tø chi·u> k.

p ∈ AssR(Nn)/((xδ(1), , xδ(b−1))Nn)\V (I) sao cho xδ(b) ∈ p V¼ th¸,xδ(1), , xδ(b) ∈ p v  xδ(1)/1, , xδ(i−1)/1, xδ(i+1)/1, , xδ(b)/1, xδ(i)/1

J0 := {j ∈ N; j ≤ b; j 6= i}.

M  p ∈ V (I)/ , vîi (xδ(j)/1)j∈J0 l  d¢y ch½nh quy ùng vîi (Nn)p Doâ, xl/1 = xδ(i)/1 khæng l  ch½nh quy ùng vîi (Nn)p/Σj∈J0xδ(j)(Nn)p.

AssRp(Nn)p/Σj∈J0xδ(j)(Nn)p Vªy câ xl ∈ q ∈ AssR(Nn)/Σj∈J0xδ(j)(Nn)\V (I) ⊆ T i·u n y m¥u thu¨n vîi c¡ch chån xl Vªy, xδ(1), , xδ(l) l 

Cuèi còng, ta nh­c l¤i mët t½nh ch§t ÷ñc sû döng trong ph¦n ti¸ptheo.