Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 42 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
42
Dung lượng
544,22 KB
Nội dung
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM MAI LAN MÔĐUN ĐỐIĐỒNGĐIỀUĐỊAPHƯƠNG VÀ MỘTSỐPHẠMTRÙCONSERRE Chuyªn ngµnh: Đại sốvà lý thuyết số M· sè: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC GIÁO DỤC Ng-êi h-íng dÉn khoa häc: PGS TS LÊ THỊ THANH NHÀN Thái Nguyên, 2009 S C I S S S H i I (M) ∈ S i < n S S Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn R I R H i I (M) R M I M M M depth(I, M) M I i H i I (M) = 0; (R, m) dim M M i H i m (M) = 0. M r H r I (M) min{depth(M p ) + ht((I + p)/p) : p ⊇ I}. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn n H n I (M) depth(IR p , M p ) p ∈ Supp(M/IM) \ {m}. n f-depth(I, M) M I M I gdepth(I, M) gdepth(I, M) n Supp H n I (M) R 0 S H i I (M) ∈ S? n H n I (M) /∈ S S M R S S S R 0 S H i I (M) ∈ S? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn n H n I (M) /∈ S S M R S S S S S H i I (M) ∈ S? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn R M R S S R S R R 0 −→ M −→ M −→ M −→ 0 M ∈ S M , M ∈ S. S R S Ext i R (N, M) ∈ S R N M ∈ S. M ∈ S N Ext i R (N, M) ∈ S N R N . . . −→ F 2 −→ F 1 −→ F 0 −→ N −→ 0, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn F i Hom(−, M) N 0 −→ Hom(F 0 , M) f 0 −→ Hom(F 1 , M) f 1 −→ Hom(F 2 , M) f 2 −→ . . . . Ext i R (N, M) = Ker f i / Im f i−1 , ∀i = 0, 1, 2, . . . i, F i F i ∼ = R n i . Hom(F i , M) = Hom(R n i , M) = Hom(R, M) n i = M n i . n i 0 −→ M n i −1 −→ M n i −→ M −→ 0 M n i ∈ S. Hom(F i , M) ∈ S. Ker f i ∈ S. Ext i R (N, M) ∈ S. R M M Supp M Supp M = {p ∈ Spec R | M p = 0}. R 0. R R R M R 0 0 M N M. N M Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn N M/N M N M/N N M N M/N M 0 ⊇ M 1 ⊇ . . . M. M 0 ∩N ⊇ M 1 ∩N ⊇ . . . N (M 0 + N)/N ⊇ (M 1 + N)/N ⊇ . . . M/N. N M/N k M n ∩ N = M k ∩ N (M n + N)/N = (M k + N)/N n ≥ k. n ≥ k. M k ⊇ M n . m ∈ M k . m+N ∈ (M k +N)/N = (M n +N)/N. m+N = x+a+N = x+N x ∈ M n , a ∈ N. m−x ∈ N∩M k = N∩M n . m−x ∈ M n . m ∈ M n . M k = M n n ≥ k. M M R N M. Supp M = Supp N ∪ Supp(M/N). M Supp N Supp(M/N) Supp N Supp(M/N) Supp M M M N M N M/N (M) = (N) + (M/N) < ∞. R p 0 ⊂ p 1 ⊂ . . . ⊂ p n R p i = p i+1 i n Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn R dim R, R dim R = sup{n | R n}. I R Var(I) R I. R M dim Supp M = sup{dim R/p : p ∈ Supp M}. dim Supp M M M M dim M R/ Ann M. M Supp M = Var(Ann M) dim Supp M = sup{dim(R/p) | p ∈ Supp M} = dim(R/ Ann M). M M dim M dim Supp M. M = 0 R Supp M R dim Supp M = 0. s R M dim Supp M s R M R N M Supp M = Supp N ∪ Supp(M/N) dim Supp M = max{dim Supp N, dim Supp(M/N)}. dim Supp M s dim Supp N s dim Supp(M/N) s M dim Supp M s Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn [...]... các phạmtrùconSerre ở Ví dụ 1.1.3, 1.1.5, 1.1.6, 1.1.7, 1.1.8, phạmtrùcon nào thỏa mãn điều kiện (CI ) 1.2.4 Ví dụ Các phạmtrùconSerre của phạmtrù các thỏa mãn điều kiện R -môđun sau đây (CI ) i) PhạmtrùconSerre gồm mộtmôđun ii) PhạmtrùconSerre gồm các 0 R -môđun Artin iii) PhạmtrùconSerre gồm các R -môđun M có giá Supp M là tập hữu hạn iv) PhạmtrùconSerre gồm các sao cho R -môđun. .. phạmtrùmôđunconSerre của phạmtrù các R -môđun Nhắc lại rằng với mỗi R -môđun M ta định nghĩa I (M ) = (0 :M I n ), trong đó 0 :M I n = {m M | I n m = 0} n0 1.2.1 Định nghĩa Ta nói rằng Cho S là phạmtrùconSerre của phạmtrù các R -môđun S thỏa mãn điều kiện (CI ) nếu M S với mọi R -môđun M thỏa mãn các tính chất M = I (M ) và 0 :M I S Trước khi đưa ra một tiêu chuẩn để mộtphạmtrùcon Serre. .. q và p Supp M thì 0 = Mp (Mq )pRq = Vì thế Mq = 0, tức là q Supp M Do đó theo Ví dụ 1.1.7 ta có phạmtrùconSerre sau đây 1.1.8 Ví dụ Nếu Z Spec R là đóng với phép đặc biệt hóa thì lớp các R -môđun M với Supp M Z là mộtphạmtrùconSerre 1.2 Cho Điều kiện (CI ) trên phạmtrùconSerre S I là một iđêan cố định của R và cho M là R -môđun Chúng ta sẽ xét mộtđiều kiện hữu ích sau đây trên các phạm. .. nếu và chỉ nếu nó là I -dãy lọc chính quy đối với M S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn 27 2.2 Điều kiện để i HI (M ) S với mọi cấp i 0 Khi đó môđun E = E(R/m) là môđun Artin thoả mãn các tính chất E = m (E) và 0 :E m có độ dài hữu hạn Tuy nhiên E có độ dài vô hạn Chú ý rằng phạmtrùSerre các vàphạmtrùconSerre các R -môđun Noether xét trong Ví dụ 1.2.5 R -môđun. .. trong một iđêan I thông qua tính không triệt tiêu của đối đồngđiềuđịa phương, độ sâu lọc cũng được đặc trưng thông qua tính Artin của môđun đốiđồngđiềuđịaphương như sau: i f-depth(I, M ) = inf{i | HI (M ) không Artin} i = inf{i | dim Supp HI (M ) > 0} 2.1.4 Ví dụ Cho M là một R -môđun hữu hạn sinh Cho S là phạmtrùconSerre gồm các chỉ khi R -môđun Artin Khi đó x m là S -chính quy khi và 0 :M... conSerre thoả mãn điều kiện (CI ), chúng ta cần nhắc lại mộtsố khái niệm liên quan đến môđun nội xạ Một R -môđun E được gọi là S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn môđun nội xạ nếu với mỗi http://www.Lrc-tnu.edu.vn 12 đơn cấu f : N M và mỗi đồng cấu g : N E , tồn tại mộtđồng cấu h : M E sao cho g = hf Cho E là một R -môđun và M là môđuncon của E Ta nói E là một mọi môđuncon mở rộng cốt yếu... trùconSerre gồm các sao cho R -môđun nửa Artin (các R -môđun M Supp M Max R) v) PhạmtrùconSerre gồm các trong đó R -môđun M với dim Supp M s, s 0 là mộtsố nguyên cho trước vi) PhạmtrùconSerre gồm các R -môđun M với Ass M Z, trong đó Z Spec R là một tập đóng dưới phép đặc biệt hoá Chứng minh (i) Vì bao nội xạ của môđun 0 là 0 nên phạmtrùcon này đóng với phép lấy bao nội xạ Vì thế theo Bổ đề... môđun có độ dài hữu hạn và tất nhiên cũng là môđun Noether, nhưng bao nội xạ của nó không là môđun Noether và vì thế nó có độ dài vô hạn 1.3 Môđun đốiđồngđiềuđịaphương Trong suốt tiết này luôn giả thiết là các R -môđun 1.3.1 Định nghĩa nghĩa R là vành giao hoán Noether và M, N Cho I là iđêan của R Với mỗi R -môđun N ta định (0 :N I n ) Nếu f : N N là đồng cấu các R- I (N ) = n0 môđun thì ta có đồng. .. conSerre của phạmtrù các R -môđun Khi đó S M thỏa mãn các tính chất thỏa mãn điều kiện đó trong (CI ) nếu và chỉ nếu M S M = I (M ) và 0 :M x S với mọi R -môđun với phần tử x nào I Chứng minh có tính chất Giả sử S thỏa mãn điều kiện (CI ) Cho M là một R -môđun M = I (M ) và 0 :M x S với x I Vì 0 :M I 0 :M x và S là phạmtrùconSerre nên theo Bổ đề 1.1.2 ta có 0 :M I S Do S thỏa mãn điều kiện (CI . PHẠM MAI LAN MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG VÀ MỘT SỐ PHẠM TRÙ CON SERRE Chuyªn ngµnh: Đại số và lý thuyết số M· sè: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC GIÁO DỤC . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM MAI LAN MÔĐUN ĐỐI. Thái Nguyên, 2009 S C I S S S H i I (M) ∈ S i < n S S Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn R I