Môđun đổi đồng điều địa phương và một số phạm trù con Serre

Môđun đổi đồng điều địa phương và một số phạm trù con Serre

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Lời cảm ơn 21 Phạm trù con Serre và một số chuẩn bị về môđun đối đồng

1.1 Phạm trù con Serre S 61.2 Điều kiện (CI) trên phạm trù con Serre S 111.3 Môđun đối đồng điều địa phương 152 Dãy S-chính quy và môđun đối đồng điều địa phương 192.1 Dãy S-chính quy 192.2 Điều kiện để Hi

I(M ) ∈ S với mọi cấp i < n 272.3 S-độ sâu và một số đặc trưng của S-độ sâu 35Tài liệu tham khảo 41

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêmkhắc của PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Nhân dịp này tôi xin chân thànhbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô và gia đình.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới GS TSKH Nguyễn Tự Cường, GS TSKHLê Tuấn Hoa, PGS TS Nguyễn Quốc Thắng ở Viện Toán học Hà Nội; TS.Nguyễn Thị Dung cùng toàn thể các thầy cô giáo khoa Toán và Phòng Đàotạo sau Đại học trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tậntình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập tại trường.

Tôi cũng rất biết ơn cán bộ, giáo viên trường PTTH Phục Hoà, SởGDĐT Cao Bằng, Tỉnh Cao Bằng nơi tôi đang công tác đã tạo mọi điềukiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành kế hoạch học tập của mình.

Tôi cũng xin bày tỏ sự quý mến của mình tới gia đình, bố mẹ, anh chịvà chồng tôi, các bạn tôi, những người đã luôn động viên, khuyến khíchtôi hoàn thành công việc.

Lời nói đầu

Trong suốt luận văn này luôn giả thiết R là một vành giao hoán,Noether, có đơn vị Cho I là iđêan của R Mặc dù đã có nhiều nhà toánhọc quan tâm nghiên cứu môđun đối đồng điều địa phương Hi

I(M ) củamột R-môđun M ứng với giá I, nhưng cho đến nay người ta vẫn biết rất ítthông tin về môđun này Ngay cả khi M là hữu hạn sinh, môđun đối đồngđiều địa phương vẫn không nhất thiết là hữu hạn sinh và cũng không nhấtthiết là Artin Thậm chí người ta còn không biết khi nào thì môđun nàytriệt tiêu, trừ một số trường hợp đặc biệt được chỉ ra.

Mặt khác, các tính chất cơ sở của môđun đối đồng điều địa phương nhưtính triệt tiêu, tính hữu hạn sinh, tính Artin, tính chất hữu hạn của giá lạiđược quan tâm đặc biệt vì những ứng dụng của nó trong nhiều lĩnh vực củatoán học như Đại số Giao hoán, Hình học Đại số, Đại số Tổ hợp Chẳnghạn, chiều và độ sâu của một môđun hữu hạn sinh M là những bất biếnquan trọng của M đều được đặc trưng qua tính triệt tiêu của môđun đốiđồng điều địa phương như sau: Độ sâu depth(I, M) của M trong iđêanI là cấp i bé nhất sao cho Hi

I(M ) = 0; Khi (R, m) là vành địa phươngthì chiều dim M của M là cấp i lớn nhất để Hi

m(M ) 6= 0 Vì lí do đó,người ta đặt ra những câu hỏi: Khi nào thì môđun đối đồng điều triệt tiêu?Môđun này hữu hạn sinh ở những cấp nào? Tìm điều kiện để nó là môđunArtin Khi nào nó có giá hữu hạn?

Các câu hỏi này đã được trả lời bộ phận bởi nhiều nhà toán học chotrường hợp M là hữu hạn sinh G Faltings 1978 đã chỉ ra rằng cấp r bénhất để Hr

I(M ) không hữu hạn sinh là

min{depth(Mp) + ht((I + p)/p) : p 6⊇ I}.

L Melkersson 1995 trình bày một kết quả tương tự như của Faltings,

trong đó tính hữu hạn sinh được thay bằng tính Artin Ông chỉ ra rằngcấp n bé nhất để Hn

I(M ) không Artin là số depth(IRp, Mp) bé nhất vớip ∈ Supp(M/IM ) \ {m} Sau đó Lu - Tang 2002 đã chứng minh cấp n này chính là độ sâu lọc f-depth(I, M) của M trong I Tiếp theo, LêThanh Nhàn 2005 đã định nghĩa khái niệm độ sâu suy rộng của M trongI, kí hiệu là gdepth(I, M), và chỉ ra rằng gdepth(I, M) chính là cấp nbé nhất để Supp Hn

I(M ) vô hạn (xem Chương II)

Năm 2008, bằng việc sử dụng khái niệm ``phạm trù con Serre củaphạm trù các R-môđun", M Aghapournahr và L Melkersson đã nghiêncứu một cách có hệ thống các tính chất cơ sở của môđun đối đồng điềuđịa phương Chú ý rằng lớp gồm một môđun 0, lớp các môđun hữu hạnsinh, lớp các môđun Artin, lớp các môđun có giá hữu hạn, đều tạo thànhnhững phạm trù con Serre Vì thế các câu hỏi nêu ở phần trên có thể quyvề một câu hỏi tổng quát: Với S là một phạm trù con Serre cho trước, khinào Hi

I(M ) ∈ S? Kết quả mà họ đạt được trong bài báo này là đặc trưngcấp n bé nhất để Hn

I(M ) /∈ S với S là một phạm trù con Serre và M làR-môđun (không nhất thiết hữu hạn sinh), đồng thời giới thiệu các kháiniệm S-dãy, S-độ sâu và đặc trưng S-độ sâu như một sự tổng quát hóacủa các đặc trưng đã biết về độ sâu, độ sâu lọc, độ sâu suy rộng

Năm 2008, bằng việc sử dụng khái niệm ``phạm trù con Serre củaphạm trù các R-môđun", M Aghapournahr và L Melkersson đã nghiêncứu một cách có hệ thống các tính chất cơ sở của môđun đối đồng điềuđịa phương Chú ý rằng lớp gồm một môđun 0, lớp các môđun hữu hạnsinh, lớp các môđun Artin, lớp các môđun có giá hữu hạn, đều tạo thànhnhững phạm trù con Serre Vì thế các câu hỏi nêu ở phần trên có thể quyvề một câu hỏi tổng quát: Với S là một phạm trù con Serre cho trước, khinào Hi

I(M ) ∈ S? Kết quả mà họ đạt được trong bài báo này là đặc trưng

cấp n bé nhất để Hn

I(M ) /∈ S với S là một phạm trù con Serre và M làR-môđun (không nhất thiết hữu hạn sinh), đồng thời giới thiệu các kháiniệm S-dãy, S-độ sâu và đặc trưng S-độ sâu như một sự tổng quát hóacủa các đặc trưng đã biết về độ sâu, độ sâu lọc, độ sâu suy rộng

Mục đích của luận văn này là trình bày lại các kết quả trên của nahr - Melkersson trong bài báo Local cohomology modules and Serresubcategories, Journal of Algebra (2008).

Aghapour-Luận văn chia làm 2 chương Chương I nói về phạm trù con Serre vàmột số chuẩn bị về môđun đối đồng điều địa phương Chương II trình bàyvề S-dãy, S-độ sâu và các kết quả về môđun đối đồng điều địa phươngnhằm trả lời một phần cho câu hỏi khi nào Hi

I(M ) ∈ S?.

Phạm trù con Serre và một số chuẩn bịvề môđun đối đồng điều địa phương

Trong suốt luận văn này, cho R là một vành giao hoán Noether và M làR-môđun.

1.1 Phạm trù con Serre S

1.1.1 Định nghĩa Cho S là lớp khác rỗng những R-môđun Ta gọi S làmột phạm trù con Serre của phạm trù các R-môđun nếu với mỗi dãy khớpcác R-môđun 0 −→ M0 −→ M −→ M00 −→ 0 ta có M ∈ S khi và chỉkhi M0, M00 ∈ S.

1.1.2 Bổ đề Giả sử S là một phạm trù con Serre của phạm trù các môđun Khi đó S đóng kín với phép lấy môđun con, môđun thương vàExtiR(N, M ) ∈ S với mọi R-môđun hữu hạn sinh N và mọi M ∈ S.Chứng minh Cho M ∈ S và N là hữu hạn sinh Ta chỉ cần chứng minhExtiR(N, M ) ∈ S Do N hữu hạn sinh và R là vành Noether nên N cómột giải tự do

R- R- R- −→ F2 −→ F1 −→ F0 −→ N −→ 0,

trong đó mỗi Fi là môđun tự do hữu hạn sinh Tác động hàm tử phản biếnHom(−, M ) vào giải tự do của N ở trên ta được đối phức

0 −→ Hom(F0, M ) −→ Hom(Ff0 1, M ) −→ Hom(Ff1 2, M ) −→ f2Theo định nghĩa của môđun mở rộng ta có

ExtiR(N, M ) = Ker fi/ Im fi−1, ∀i = 0, 1, 2, Với mỗi i, vì Fi là tự do, hữu hạn sinh nên Fi ∼= Rni Do đó

Hom(Fi, M ) = Hom(Rni, M ) = Hom(R, M )
ni

= Mni.

Bằng quy nạp theo ni, từ dãy khớp 0 −→ Mni−1 −→ Mni −→ M −→ 0ta suy ra Mni ∈ S Do đó Hom(Fi, M ) ∈ S Suy ra Ker fi ∈ S Suy raExtiR(N, M ) ∈ S.

Với mỗi R-môđun M, ta gọi giá của M, kí hiệu bởi Supp M, là tậpSupp M = {p ∈ Spec R | Mp 6= 0}.

1.1.3 Ví dụ Các lớp sau là những phạm trù con Serre của phạm trù cácR-môđun.

i) Lớp gồm một môđun 0.ii) Lớp các R-môđun Artin.iii) Lớp các R-môđun Noether.

iv) Lớp các R-môđun M có giá là tập hữu hạn.v) Lớp các R-môđun có độ dài hữu hạn.

Chứng minh (i) Vì môđun con và môđun thương của 0 là 0 nên khẳngđịnh (i) là hiển nhiên.

(ii) Giả sử M là Artin và N là môđun con của M Khi đó mỗi dãy giảmnhững môđun con của N cũng là dãy giảm những môđun con của M, do đó

nó phải dừng Vì thế N là Artin Vì mỗi dãy giảm những môđun con củaM/N tương ứng với một dãy giảm những môđun con của M chữa N, vì thếdãy này phải dừng Do đó M/N là Artin Ngược lại, cho N là môđun concủa M sao cho N và M/N là Artin Lấy M0 ⊇ M1 ⊇ là một dãy giảmnhững môđun con của M Khi đó ta có dãy giảm M0∩ N ⊇ M1∩ N ⊇ các môđun con của N và dãy giảm

(M0 + N )/N ⊇ (M1 + N )/N ⊇

các môđun con của M/N Vì N và M/N là Artin nên tồn tại số tự nhiênk sao cho Mn ∩ N = Mk ∩ N và (Mn + N )/N = (Mk + N )/N vớimọi n ≥ k Cho n ≥ k Khi đó Mk ⊇ Mn Lấy m ∈ Mk Khi đóm+N ∈ (Mk+N )/N = (Mn+N )/N.Suy ra m+N = x+a+N = x+Nvới x ∈ Mn, a ∈ N.Do đó m−x ∈ N∩Mk = N ∩Mn.Suy ra m−x ∈ Mn.Do đó m ∈ Mn Suy ra Mk = Mn với mọi n ≥ k Vì thế M là Artin Vậylớp các môđun Artin là một phạm trù con Serre.

(iii) Chứng minh tương tự như (ii).

(iv) Giả sử M là một R-môđun và N là môđun con của M Dễ dàngkiểm tra được Supp M = Supp N ∪ Supp(M/N) Vì thế nếu M có giáhữu hạn thì Supp N và Supp(M/N) là hữu hạn, và ngược lại, nếu Supp Nvà Supp(M/N) là hữu hạn thì Supp M là tập hữu hạn Vậy lớp các môđuncó giá hữu hạn là một phạm trù con Serre.

(v) Nếu M có độ dài hữu hạn thì mọi môđun con và mọi môđun thươngcủa M cũng có độ dài hữu hạn Ngược lại, nếu N là môđun con của Msao cho N và M/N có độ dài hữu hạn thì `(M) = `(N) + `(M/N) < ∞.Vì thế lớp các R-môđun có độ dài hữu hạn là một phạm trù con Serre.

Nhắc lại rằng một dãy iđêan nguyên tố p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn của R saocho pi 6= pi+1 với mọi i được gọi là một dãy iđêan nguyên tố độ dài n.

Ta gọi chiều Krull của R, kí hiệu là dim R, là cận trên của các độ dài củacác dãy iđêan nguyên tố của R, tức là

dim R = sup{n | tồn tại một dãy iđêan nguyên tố của R độ dài n}.Với mỗi iđêan I của R, ta kí hiệu Var(I) là tập các iđêan nguyên tố củaR chứa I Với mỗi R-môđun M, ta đặt

dim Supp M = sup{dim R/p : p ∈ Supp M }.Ta gọi dim Supp M là chiều của giá của M.

1.1.4 Chú ý a) Giả sử M là hữu hạn sinh Chiều Krull của M, kí hiệulà dim M, là chiều Krull của vành R/ Ann M Vì M là hữu hạn sinh nênSupp M = Var(Ann M ) Do đó ta có

dim Supp M = sup{dim(R/p) | p ∈ Supp M } = dim(R/ Ann M ).Vì thế chiều của giá của M chính là chiều Krull của M Trong trường hợpnày ta viết dim M thay cho dim Supp M.

b) Khi M 6= 0 là R-môđun Artin thì Supp M là một tập hữu hạn gồmnhững iđêan tối đại của R Vì thế dim Supp M = 0.

Phần tiếp theo là một số ví dụ khác về phạm trù con Serre.

1.1.5 Ví dụ Với mỗi số tự nhiên s, lớp các R-môđun M sao cho dim Supp M 6s là một phạm trù con Serre của phạm trù các R-môđun.

Chứng minh Cho M là R-môđun và N là môđun con của M Vì Supp M =Supp N ∪ Supp(M/N ) nên

dim Supp M = max{dim Supp N, dim Supp(M/N )}.

Điều này chứng tỏ rằng dim Supp M 6 s nếu và chỉ nếu dim Supp N 6 svà dim Supp(M/N) 6 s Vậy lớp các môđun M thỏa mãn tính chấtdim Supp M 6 s làm thành một phạm trù con Serre.

Kí hiệu Max R là tập các iđêan tối đại của R Như đã nhắc ở trên, nếu Mlà Artin thì Supp M ⊆ Max R và Supp M là tập hữu hạn Tuy nhiên điềungược lại là không đúng, tức là có những môđun M với Supp M ⊆ Max Rvà Supp M là tập hữu hạn nhưng M không là môđun Artin Chẳng hạn,không gian véctơ vô hạn chiều xét như một môđun trên một trường khônglà Artin nhưng giá của nó gồm đúng một iđêan tối đại Sử dụng Ví dụ1.1.5 trong trường hợp s = 0 ta được phạm trù con Serre sau đây.

1.1.6 Ví dụ Lớp các R-môđun M với Supp M ⊆ Max R là một phạmtrù con Serre Phạm trù con Serre này chứa tất cả các R-môđun Artin, tagọi nó là phạm trù các R-môđun nửa Artin (semiartinian modules).

Nhắc lại rằng một iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan nguyêntố liên kết của R-môđun M nếu tồn tại m ∈ M sao cho

p = AnnRm = {r ∈ R | rm = 0}.

Tập các idean nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là Ass M Chúý rằng Ass M ⊆ Supp M Hơn nữa, vì R là vành Noether nên ta cómin Ass M = min Supp M.

Cho Z là một tập con của phổ nguyên tố Spec R của R Ta nói Z làđóng với phép đặc biệt hóa nếu p ∈ Z kéo theo q ∈ Z với mọi cặp iđêannguyên tố p, q ∈ Spec R sao cho p ⊆ q.

1.1.7 Ví dụ Giả sử Z ⊆ Spec R là đóng với phép đặc biệt hóa Khi đólớp các R-môđun M với Ass M ⊆ Z là một phạm trù con Serre.

Chứng minh Cho M là R-môđun và N là môđun con của M Vì R là vànhNoether nên Ass N ⊆ Ass M ⊆ Ass N ∪Ass(M/N) Vì thế, nếu Ass N ⊆Z và Ass(M/N) ⊆ Z thì Ass M ⊆ Z Ngược lại, cho Ass M ⊆ Z Khiđó Ass N ⊆ Z Ta cần chứng minh Ass(M/N) ⊆ Z Vì Ass M ⊆ Z và

min Ass M = min Supp M nên min Supp M ⊆ Z Do Z đóng với phépđặc biệt hóa nên ta có Supp M ⊆ Z Vì

Supp M = Supp N ∪ Supp(M/N )

nên Supp(M/N) ⊆ Z Suy ra Ass(M/N) ⊆ Supp(M/N) ⊆ Z.

Với mỗi môđun M, tập Supp M là đóng với phép đặc biệt hóa Thậtvậy, nếu p, q ∈ Spec R, p ⊆ q và p ∈ Supp M thì

0 6= Mp ∼= (Mq)pRq.

Vì thế Mq 6= 0, tức là q ∈ Supp M Do đó theo Ví dụ 1.1.7 ta có phạmtrù con Serre sau đây.

1.1.8 Ví dụ Nếu Z ⊆ Spec R là đóng với phép đặc biệt hóa thì lớp cácR-môđun M với Supp M ⊆ Z là một phạm trù con Serre.

Cho I là một iđêan cố định của R và cho M là R-môđun Chúng ta sẽxét một điều kiện hữu ích sau đây trên các phạm trù môđun con Serre củaphạm trù các R-môđun Nhắc lại rằng với mỗi R-môđun M ta định nghĩaΓI(M ) = [

(0 :M In), trong đó 0 :M In = {m ∈ M | Inm = 0}.

1.2.1 Định nghĩa Cho S là phạm trù con Serre của phạm trù các R-môđun.Ta nói rằng S thỏa mãn điều kiện (CI) nếu M ∈ S với mọi R-môđun Mthỏa mãn các tính chất M = ΓI(M ) và 0 :M I ∈ S.

Trước khi đưa ra một tiêu chuẩn để một phạm trù con Serre thoả mãnđiều kiện (CI), chúng ta cần nhắc lại một số khái niệm liên quan đếnmôđun nội xạ Một R-môđun E được gọi là môđun nội xạ nếu với mỗi

đơn cấu f : N −→ M và mỗi đồng cấu g : N −→ E, tồn tại một đồng cấuh : M −→ E sao cho g = hf Cho E là một R-môđun và M là môđuncon của E Ta nói E là một mở rộng cốt yếu của M nếu M ∩ L 6= 0 vớimọi môđun con L 6= 0 của E Ta nói E là bao nội xạ của M nếu E là mộtmở rộng cốt yếu của M và E là môđun nội xạ Chú ý rằng mỗi R-môđunM đều có bao nội xạ và bao nội xạ của M là xác định duy nhất sai khácmột đẳng cấu Vì thế ta kí hiệu bao nội xạ của M là ER(M ) hay E(M).1.2.2 Bổ đề Cho S là phạm trù con Serre của phạm trù các R-môđun.Nếu S là đóng với phép lấy bao nội xạ thì S thỏa mãn điều kiện (CI).Chứng minh Giả sử M là một R-môđun có tính chất M = ΓI(M ) và0 :M I ∈ S Ta cần chứng minh M ∈ S Vì M = ΓI(M ) nên bao nội xạE(M )của M chính là bao nội xạ E(0 :M I)của 0 :M I.Vì 0 :M I ∈ S vàS là đóng với phép lấy bao nội xạ nên E(0 :M I) ∈ S Suy ra E(M) ∈ S.Chú ý rằng M ⊆ E(M) Hơn nữa, S là phạm trù Serre Do đó theo Bổ đề1.1.2 ta có M ∈ S.

Sau đây là một tiêu chuẩn để một phạm trù con Serre thỏa mãn điềukiện (CI).

1.2.3 Bổ đề Cho S là phạm trù con Serre của phạm trù các R-môđun Khiđó S thỏa mãn điều kiện (CI) nếu và chỉ nếu M ∈ S với mọi R-môđunM thỏa mãn các tính chất M = ΓI(M ) và 0 :M x ∈ S với phần tử x nàođó trong I.

Chứng minh Giả sử S thỏa mãn điều kiện (CI) Cho M là một R-môđuncó tính chất M = ΓI(M ) và 0 :M x ∈ S với x ∈ I Vì 0 :M I ⊆ 0 :M xvà S là phạm trù con Serre nên theo Bổ đề 1.1.2 ta có 0 :M I ∈ S.Do S thỏa mãn điều kiện (CI) nên M ∈ S Ngược lại, cho M là R-môđun sao cho M = ΓI(M ) và 0 :M I ∈ S Viết I = (x1, , xn). Đặt

M0 = M và Mi = 0 :M (x1, , xi)R với i = 1, , n Ta chứng minhbằng quy nạp lùi theo i rằng Mi ∈ S với mọi i = n, , 1, 0 Theo giảthiết Mn = 0 :M I ∈ S, kết quả đúng cho i = n Với i < n, giả thiếtquy nạp rằng Mi+1 ∈ S Vì Mi+1 = 0 :Mi xi+1 ∈ S và xi+1 ∈ I nêntheo giả thiết ta suy ra Mi ∈ S Vậy Mi ∈ S với mọi i Chọn i = 0 ta cóM ∈ S.

Phần cuối của tiết này, chúng ta xem xét xem trong các phạm trù conSerre ở Ví dụ 1.1.3, 1.1.5, 1.1.6, 1.1.7, 1.1.8, phạm trù con nào thỏa mãnđiều kiện (CI).

1.2.4 Ví dụ Các phạm trù con Serre của phạm trù các R-môđun sau đâythỏa mãn điều kiện (CI).

i) Phạm trù con Serre gồm một môđun 0.

ii) Phạm trù con Serre gồm các R-môđun Artin.

iii) Phạm trù con Serre gồm các R-môđun M có giá Supp M là tập hữuhạn.

iv) Phạm trù con Serre gồm các R-môđun nửa Artin (các R-môđun Msao cho Supp M ⊆ Max R).

v) Phạm trù con Serre gồm các R-môđun M với dim Supp M 6 s,trong đó s ≥ 0 là một số nguyên cho trước.

vi) Phạm trù con Serre gồm các R-môđun M với Ass M ⊆ Z, trong đóZ ⊆ Spec R là một tập đóng dưới phép đặc biệt hoá.

Chứng minh (i) Vì bao nội xạ của môđun 0 là 0 nên phạm trù con nàyđóng với phép lấy bao nội xạ Vì thế theo Bổ đề 1.2.2 ta có kết quả.

(ii) Theo Bổ đề 1.2.2, ta chỉ cần chứng minh bao nội xạ của mỗi môđunArtin là Artin Giả sử M là R-môđun Artin Khi đó Ass M ⊆ Max R vàAss M là tập hữu hạn Viết Ass M = {m1, , mt}.Kí hiệu E(M) là baonội xạ của M và Ei = E(R/mi) là bao nội xạ của trường thặng dư R/mi.

Khi đó tồn tại các số tự nhiên n1, , nt sao cho ta có phân tích tổng trựctiếp

E(M ) = En1

1 ⊕ En2

2 ⊕ ⊕ Ent

t ,trong đó Eni

i được hiểu là tổng trực tiếp của ni môđun, mỗi môđun đềuđẳng cấu với Ei Chú ý rằng mỗi Ei đều là môđun Artin Do đó E(M) làArtin Vì thế phạm trù các môđun Artin là một phạm trù con Serre thỏamãn điều kiện (CI).

(iii), (iv), (v), (vi) Giả sử M là một R-môđun Kí hiệu E(M) là baonội xạ của M Khi đó theo [SV] ta có

E(M ) ∼= Mp∈Ass M

1.2.5 Ví dụ Nếu dim R > 0 thì tồn tại iđêan I của R sao cho phạm trùcon Serre các R-môđun Noether không thoả mãn điều kiện (CI) Thật vậy,chọn m là iđêan tối đại của R sao cho ht m > 0 Chon E = E(R/m) làbao nội xạ của R/m Vì R là vành Noether nên E là R-môđun Artin Dođó E là m-xoắn, tức là E = Γm(E) Vì E là Artin và m là cực đại nên0 :E mcó độ dài hữu hạn, vì thế nó là Noether Do ht m > 0 nên E khônglà môđun Noether.

1.2.6 Ví dụ Nếu dim R > 0 thì tồn tại iđêan I của của một vành NoetherR sao cho phạm trù con Serre các R-môđun có độ dài hữu hạn khôngthoả mãn điều kiện (CI) Thật vậy, chọn m là iđêan tối đại của R sao choht m > 0 Khi đó môđun E = E(R/m) là môđun Artin thoả mãn các tínhchất E = Γm(E) và 0 :E m có độ dài hữu hạn Tuy nhiên E có độ dài vôhạn.

Chú ý rằng phạm trù Serre các R-môđun Noether xét trong Ví dụ 1.2.5và phạm trù con Serre các R-môđun có độ dài hữu hạn xét trong Ví dụ1.2.6 đều không đóng với phép lấy bao nội xạ Cụ thể là với m là iđêancực đại của R sao cho ht m > 0 thì R/m là môđun có độ dài hữu hạnvà tất nhiên cũng là môđun Noether, nhưng bao nội xạ của nó không làmôđun Noether và vì thế nó có độ dài vô hạn.

1.3 Môđun đối đồng điều địa phương

Trong suốt tiết này luôn giả thiết R là vành giao hoán Noether và M, Nlà các R-môđun.

1.3.1 Định nghĩa Cho I là iđêan của R Với mỗi R-môđun N ta địnhnghĩa ΓI(N ) = S

(0 :N In) Nếu f : N −→ N0 là đồng cấu các môđun thì ta có đồng cấu f∗ : ΓI(N ) −→ ΓI(N0) cho bởi f∗(x) = f (x).Khi đó ΓI(−) là hàm tử khớp trái, hiệp biến từ phạm trù các R-môđunđến phạm trù các R-môđun ΓI(−) được gọi là hàm tử I-xoắn.

R-Một giải nội xạ của N là một dãy khớp

0 −→ N −→ E0 −→ E1 −→ E2 −→

trong đó mỗi Ei là môđun nội xạ Chú ý rằng với mỗi môđun đều nhúngđược vào một môđun nội xạ, vì thế, mỗi môđun đều có giải nội xạ.

1.3.2 Định nghĩa Cho N là R-môđun và I là iđêan của R Môđun dẫnsuất phải thứ n của hàm tử I-xoắn ΓI(−) ứng với N được gọi là môđunđối đồng điều thứ n của N với giá I, kí hiệu là Hn

I(N ) Cụ thể, nếu0 −→ N −→ E0 −→ Eu0 1 u1

−→ E2 −→ là giải nội xạ của N, tác động hàm tử ΓI(−) ta có đối phức

0 −→ Γ(E0) u

−→ Γ(E1) u

−→ Γ(E2) −→ Khi đó Hn

I(N ) = Ker u∗n/ Im u∗n−1 là môđun đối đồng điều thứ n của đốiphức trên, môđun này không phụ thuộc vào việc chọn giải nội xạ của N.

Cho I là iđêan của R Nhắc lại rằng R-môđun N được gọi là I-xoắnnếu N = ΓI(N ) Sau đây là tính chất cơ bản của môđun đối đồng điềuđịa phương.

1.3.3 Mệnh đề Cho N là một R-môđun Các phát biểu sau là đúng.(i) H0

I(N ) ∼= ΓI(N ).

(ii) Nếu N là nội xạ thì Hi

I(N ) = 0 với mọi i ≥ 1.(iii) Nếu N là I-xoắn thì Hi

I(N ) = 0 với mọi i ≥ 1.(iv) Hi

I(M ) là môđun I-xoắn với mọi i Đặc biệt, Hj

I(HIi(M )) = 0 vớimọi j > 0.

1.3.4 Mệnh đề Cho 0 −→ N0 −→ N −→ N00 −→ 0 là dãy khớpngắn các R-môđun Khi đó tồn tại với mỗi số tự nhiên n một đồng cấuδn : HIn(N00) −→ HIn+1(N0) sao cho ta có dãy khớp dài

0 −→ ΓI(N0) −→ ΓI(N ) −→ ΓI(N00) −→ Hδ0 I1(N0)−→ HI1(N ) −→ HI1(N00) δ1

−→ HI2(N0) −→ Các đồng cấu δn trong Mệnh đề 1.3.4 được gọi là các đồng cấu nối.

1.3.5 Mệnh đề Đặt M = M/ΓI(M ) Khi đó với mọi số tự nhiên n ≥ 1ta có Hn

I(M ) ∼= HIn(M ).

Tính chất trên liên quan đến khái niệm phần tử chính quy.

1.3.6 Định nghĩa Một phần tử 0 6= a ∈ R được gọi là phần tử M-chínhquy nếu am = 0 kéo theo m = 0 với mọi m ∈ M Một dãy các phầntử a1, , an của R được gọi là M-dãy chính quy nghèo nếu ai là phầntử chính quy của M/(a1, , ai−1)M với mọi i = 1, , n Một dãy cácphần tử a1, , an ∈ R được gọi là M-dãy chính quy nếu a1, , an làmột M-dãy chính quy nghèo và M/(a1, , an)M 6= 0.

Việc sử dụng Mệnh đề 1.3.5 để chứng minh các tính chất của môđunđối đồng điều địa phương là một kĩ thuật quen thuộc Cụ thể, để chỉ ramột tính chất trên môđun Hi

I(M ) khi M là hữu hạn sinh và M không cóphần tử chính quy trong I, người ta áp dụng mệnh đề này để chuyển vềtính toán trên môđun Hi

I(M ) Khi M không là I-xoắn thì M luôn có phầntử chính quy x ∈ I.

Cho I là một iđêan của R Giả sử M là hữu hạn sinh Khi đó mỗi dãychính quy của M trong I có thể mở rộng thành một dãy chính quy tối đại,và các dãy chính quy tối đại của M trong I có chung độ dài Độ dài chungnày được gọi là độ sâu của M trong I và được kí hiệu là depth(I, M).Độ sâu của các môđun hữu hạn sinh có thể được đặc trưng qua tính khôngtriệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương như sau:

1.3.7 Mệnh đề Nếu M là hữu hạn sinh và I là iđêan của R thìdepth(I, M ) = inf{i : HIi(M ) 6= 0}.

Kết quả sau đây nói rằng chiều của một môđun có liên quan trực tiếptới tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương.

1.3.8 Mệnh đề Cho I là iđêan của R Khi đó Hi

I(M ) = 0 với mọii > dim Supp M Hơn nữa, nếu M là hữu hạn sinh và (R, m) là vành địaphương với iđêan cực đại duy nhất m thì

dim M = sup{i : Hmi (M ) 6= 0}.

Dãy S-chính quy và môđun đối đồngđiều địa phương

Trong suốt chương này luôn giả thiết R là vành giao hoán Noether vàM, N là các R-môđun.

2.1 Dãy S-chính quy

Trong tiết này chúng ta sẽ trình bày khái niệm dãy S-chính quy và các tínhchất của dãy này Khái niệm dãy S-chính quy thực chất là một sự tổngquát hoá của các khái niệm đã biết: Khái niệm dãy chính quy (xem Địnhnghĩa 1.3.6), khái niệm dãy lọc chính quy định nghĩa bởi N.T Cường,P Schenzel, N V Trung [CST], khái niệm dãy chính quy suy rộng địnhnghĩa bởi Lê Thanh Nhàn [Nh], khái niệm dãy chính quy theo chiều > sđịnh nghĩa bởi Lê Thanh Nhàn và M Brodmann [BN].

2.1.1 Định nghĩa Cho S là một phạm trù con Serre của phạm trù cácR-môđun và M là một R-môđun Một phần tử x ∈ R được gọi là phầntử S-chính quy trên M nếu 0 :M x ∈ S Một dãy x1, , xn các phầntử của R được gọi là một S-dãy chính quy trên M nếu xj là S-dãy trênM/(x1, , xj−1)M với mọi j = 1, , n.

Sau đây là một số tính chất cơ sở của S-dãy.

2.1.2 Mệnh đề Cho x1, , xn là một dãy các phần tử của R và M làmột R-môđun Các phát biểu sau là đúng.

i) Với mỗi số tự nhiên s sao cho 1 6 s 6 n, dãy x1, , xn là một dãy chính quy trên M nếu và chỉ nếu x1, , xs−1 là một S-dãy chính quytrên M và xs, , xn là một S-dãy chính quy trên M/(x1, , xs−1)M.

S-ii) Cho L là một môđun con của M sao cho L ∈ S Khi đó dãyx1, , xn là một S-dãy chính quy của M nếu và chỉ nếu x1, , xn làS-dãy chính quy của M/L.

iii) Cho x, y là S-dãy chính quy của M Khi đó x là S-chính quy củaM/yM.

Chứng minh (i) Cho x1, , xn là một S-dãy chính quy trên M Theođịnh nghĩa dãy S-chính quy ta có ngay x1, , xs−1 là một S-dãy chínhquy trên M Đặt Ms = M/(x1, , xs−1)M Với j bất kì sao cho j ≥ s,theo giả thiết xj là S-chính quy trên M/(x1, , xj−1)M Vì

M/(x1, , xj−1)M ∼= Ms/(xs, , xj−1)Ms

nên xj là S-chính quy trên Ms/(xs, , xj−1)Ms Do đó xs, , xn làS-dãy chính quy trên Ms.

Ngược lại, cho x1, , xs−1là một S-dãy chính quy trên M và xs, , xnlà một S-dãy chính quy trên Ms = M/(x1, , xs−1)M Với mỗi j ≥ s,vì Ms/(xs, , xj−1)Ms ∼= M/(x1, , x

j−1)M nên xj là S-chính quytrên M/(x1, , xj−1)M Vì vậy x1, , xn là một S-dãy chính quy trênM.

(ii) Đặt N = M/L Xét biểu đồ giao hoán

0 −−→ L −−→ M −−→ N −−→ 0

0 −−→ L −−→ M −−→ N −−→ 0.