Môđun đối đồng điều địa phương và một số phạm trù con serre

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  PHẠM MAI LAN MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG V MT S PHM TR CON SERRE Chuyên ngành: i số lý thuyết số M· sè: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC GIÁO DỤC Ng-êi h-íng dÉn khoa häc: PGS TS LÊ THỊ THANH NHÀN Thái Nguyên, 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ▼ô❝ ❧ô❝ ▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶ P❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡ ✈➭ ♠ét sè ❝❤✉➮♥ ❜Þ ✈Ị ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✻ ✶✳✶ P❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡ ✶✳✷ ✷ ✷ S ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✭CI ✮ tr➟♥ ♣❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡ ✻ S ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ✶✳✸ ▼➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺ S ✲❝❤Ý♥❤ q✉② ✈➭ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✶✾ ❉➲② ✷✳✶ ❉➲② S ✲❝❤Ý♥❤ q✉② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾ HIi (M ) ∈ S ✈í✐ ♠ä✐ ❝✃♣ i < n ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼ S ✲➤é s➞✉ ✈➭ ♠ét sè ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝ñ❛ S ✲➤é s➞✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✺ ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✶ ✷✳✷ ➜✐Ò✉ ❦✐Ư♥ ➤Ĩ ✷✳✸ ✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✷ ▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ t tì ủ P ị ❚❤❛♥❤ ◆❤➭♥✳ ◆❤➞♥ ❞Þ♣ ♥➭② t➠✐ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ ➤Õ♥ ❝➠ ✈➭ ❣✐❛ ì tỏ ò ết tớ ❚❙❑❍ ◆❣✉②Ô♥ ❚ù ❈➢ê♥❣✱ ●❙✳ ❚❙❑❍ ▲➟ ❚✉✃♥ ❍♦❛✱ P●❙✳ ❚❙ ◆❣✉②Ơ♥ ◗✉è❝ ❚❤➽♥❣ ë ❱✐Ư♥ ❚♦➳♥ ❤ä❝ ❍➭ ◆é✐❀ ❚❙✳ ◆❣✉②Ơ♥ ❚❤Þ ❉✉♥❣ ❝ï♥❣ t♦➭♥ t❤Ĩ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ ❣✐➳♦ ❦❤♦❛ ❚♦➳♥ ✈➭ P❤ß♥❣ ➜➭♦ t➵♦ s❛✉ ➜➵✐ ❤ä❝ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠ ✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ➤➲ t❐♥ t×♥❤ ❣✐➯♥❣ ❞➵② ✈➭ ❣✐ó♣ ➤ì t➠✐ tr♦♥❣ s✉èt t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❤ä❝ t❐♣ t➵✐ tr➢ê♥❣✳ ❚➠✐ ❝ò♥❣ r✃t ❜✐Õt ➡♥ ❝➳♥ ❜é✱ ❣✐➳♦ ✈✐➟♥ tr➢ê♥❣ P❚❚❍ P❤ô❝ ❍♦➭✱ ❙ë ●❉➜❚ ❈❛♦ ❇➺♥❣✱ ❚Ø♥❤ ❈❛♦ ❇➺♥❣ ♥➡✐ t➠✐ ➤❛♥❣ ❝➠♥❣ t➳❝ ➤➲ t➵♦ ♠ä✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ t❤✉❐♥ ❧ỵ✐ ♥❤✃t ➤Ĩ t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❦Õ ❤♦➵❝❤ ❤ä❝ t❐♣ ❝đ❛ ♠×♥❤✳ ❚➠✐ ❝ị♥❣ ①✐♥ ❜➭② tá sù q✉ý ♠Õ♥ ❝đ❛ ♠×♥❤ tớ ì ố ẹ ị t ❝➳❝ ❜➵♥ t➠✐✱ ♥❤÷♥❣ ♥❣➢ê✐ ➤➲ ❧✉➠♥ ➤é♥❣ ✈✐➟♥✱ ❦❤✉②Õ♥ ❦❤Ý❝❤ t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❝➠♥❣ ✈✐Ư❝✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✸ ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ❚r♦♥❣ s✉èt ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ❧✉➠♥ ❣✐➯ t❤✐Õt ◆♦❡t❤❡r✱ ❝ã ➤➡♥ ✈Þ✳ ❈❤♦ R ❧➭ ♠ét ✈➭♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥✱ I ❧➭ ✐➤➟❛♥ ❝ñ❛ R✳ ▼➷❝ ❞ï ➤➲ ❝ã ♥❤✐Ò✉ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ q✉❛♥ t➞♠ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ♠ét HIi (M ) ❝đ❛ R✲♠➠➤✉♥ M ø♥❣ ✈í✐ ❣✐➳ I ✱ ♥❤➢♥❣ ❝❤♦ ➤Õ♥ ♥❛② ♥❣➢ê✐ t❛ ✈➱♥ ❜✐Õt r✃t Ýt t❤➠♥❣ t✐♥ ✈Ò ♠➠➤✉♥ ♥➭②✳ ◆❣❛② ❝➯ ❦❤✐ M ❧➭ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤✱ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✈➱♥ ❦❤➠♥❣ ♥❤✃t t❤✐Õt ❧➭ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ✈➭ ❝ị♥❣ ❦❤➠♥❣ ♥❤✃t t❤✐Õt ❧➭ ❆rt✐♥✳ ❚❤❐♠ ❝❤Ý ♥❣➢ê✐ t❛ ❝ß♥ ❦❤➠♥❣ ❜✐Õt ❦❤✐ ♥➭♦ tì t trừ ột số trờ ợ ➤➷❝ ❜✐Ưt ➤➢ỵ❝ ❝❤Ø r❛✳ ▼➷t ❦❤➳❝✱ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ së ❝đ❛ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ♥❤➢ tÝ♥❤ tr✐Ưt t✐➟✉✱ tÝ♥❤ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤✱ tÝ♥❤ ❆rt✐♥✱ tÝ♥❤ t ữ ủ ợ q t ệt ì ữ ứ ụ ủ ó tr ề ĩ ✈ù❝ ❝đ❛ t♦➳♥ ❤ä❝ ♥❤➢ ➜➵✐ sè ●✐❛♦ ❤♦➳♥✱ ❍×♥❤ ❤ä❝ ➜➵✐ sè✱ ➜➵✐ sè ❚ỉ ❤ỵ♣✳ ❈❤➻♥❣ ❤➵♥✱ ❝❤✐Ị✉ ✈➭ ➤é s➞✉ ❝đ❛ ♠ét ♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ q✉❛♥ trọ ủ M ữ t ế M ề ợ ➤➷❝ tr➢♥❣ q✉❛ tÝ♥❤ tr✐Ưt t✐➟✉ ❝đ❛ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ♥❤➢ s❛✉✿ ➜é s➞✉ depth(I, M ) ❝ñ❛ M tr♦♥❣ ✐➤➟❛♥ I ❧➭ ❝✃♣ i ❜Ð ♥❤✃t s❛♦ ❝❤♦ HIi (M ) = 0; ❑❤✐ (R, m) ị tì ề dim M ủ M ❧➭ ❝✃♣ i ❧í♥ ♥❤✃t ➤Ĩ Hmi (M ) = ì í ó t t r ữ ❝➞✉ ❤á✐✿ ❑❤✐ ♥➭♦ t❤× ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ tr✐Ưt t✐➟✉❄ ▼➠➤✉♥ ♥➭② ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ë ♥❤÷♥❣ ❝✃♣ ♥➭♦❄ ❚×♠ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤Ĩ ♥ã ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥✳ ❑❤✐ ♥➭♦ ♥ã ❝ã ❣✐➳ ❤÷✉ ❤➵♥❄✳✳✳ ❈➳❝ ❝➞✉ ❤á✐ ♥➭② ➤➲ ➤➢ỵ❝ tr➯ ❧ê✐ ❜é ♣❤❐♥ ❜ë✐ ♥❤✐Ị✉ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ trờ ợ t ể M ữ s ●✳ ❋❛❧t✐♥❣s ✶✾✼✽ ➤➲ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ ❝✃♣ r ❜Ð HIr (M ) ❦❤➠♥❣ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ❧➭ min{depth(Mp ) + ht((I + p)/p) : p ⊇ I} ▲✳ ▼❡❧❦❡rss♦♥ ✶✾✾✺ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét ❦Õt q✉➯ t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ ❝đ❛ ❋❛❧t✐♥❣s✱ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✹ tr♦♥❣ ➤ã tÝ♥❤ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ➤➢ỵ❝ t❤❛② ❜➺♥❣ tÝ♥❤ ❆rt✐♥✳ ↕♥❣ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ ❝✃♣ n ❜Ð ♥❤✃t ➤Ó HIn (M ) ❦❤➠♥❣ ❆rt✐♥ ❧➭ sè depth(IRp , Mp ) ❜Ð ♥❤✃t ✈í✐ p ∈ Supp(M/IM ) \ {m} ❙❛✉ ➤ã ▲✉ ✲ ❚❛♥❣ ✷✵✵✷ ➤➲ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝✃♣ n ♥➭② ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ➤é s➞✉ ❧ä❝ f-depth(I, M ) ❝ñ❛ M tr♦♥❣ I ✳ ❚✐Õ♣ t❤❡♦✱ ▲➟ ❚❤❛♥❤ ◆❤➭♥ ✷✵✵✺ ➤➲ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ➤é s➞✉ s✉② ré♥❣ ❝đ❛ M tr♦♥❣ I ✱ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❧➭ gdepth(I, M )✱ ✈➭ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ gdepth(I, M ) ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ❝✃♣ n ❜Ð ♥❤✃t ➤Ó Supp HIn (M ) ✈➠ ❤➵♥ ✭①❡♠ ❈❤➢➡♥❣ ■■✮✳✳✳ ◆➝♠ ✷✵✵✽✱ ❜➺♥❣ ✈✐Ư❝ sư ❞ơ♥❣ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❵❵♣❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡ ❝ñ❛ ♣❤➵♠ trï ❝➳❝ R✲♠➠➤✉♥✧✱ ▼✳ ❆❣❤❛♣♦✉r♥❛❤r ✈➭ ▲✳ ▼❡❧❦❡rss♦♥ ➤➲ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♠ét ❝➳❝❤ ❝ã ❤Ö t❤è♥❣ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ së ❝đ❛ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✳ ❈❤ó ý r➺♥❣ ❧í♣ ❣å♠ ♠ét ♠➠➤✉♥ 0✱ ❧í♣ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤✱ ❧í♣ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥✱ ❧í♣ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❝ã ❣✐➳ ❤÷✉ ❤➵♥✱✳✳✳ ➤Ị✉ t➵♦ t❤➭♥❤ ♥❤÷♥❣ ♣❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡✳ ❱× t❤Õ ❝➳❝ ❝➞✉ ❤á✐ ♥➟✉ ë ♣❤➬♥ tr➟♥ ❝ã t❤Ĩ q✉② ✈Ị ♠ét ❝➞✉ ❤á✐ tỉ♥❣ q✉➳t✿ ❱í✐ S ❧➭ ♠ét ♣❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡ ❝❤♦ tr➢í❝✱ ❦❤✐ ♥➭♦ HIi (M ) ∈ S? ❑Õt q✉➯ ♠➭ ❤ä ➤➵t ➤➢ỵ❝ tr♦♥❣ ❜➭✐ ❜➳♦ ♥➭② ❧➭ ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝✃♣ n ❜Ð ♥❤✃t ➤Ó HIn (M ) ∈ / S ✈í✐ S ❧➭ ♠ét ♣❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡ ✈➭ M ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ ✭❦❤➠♥❣ ♥❤✃t t❤✐Õt ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤✮✱ ➤å♥❣ t❤ê✐ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ S ✲❞➲②✱ S ✲➤é s➞✉ ✈➭ ➤➷❝ tr➢♥❣ S ✲➤é s➞✉ ♥❤➢ ♠ét sù tỉ♥❣ q✉➳t ❤ã❛ ❝đ❛ ❝➳❝ ➤➷❝ tr➢♥❣ ➤➲ ❜✐Õt ✈Ò ➤é s➞✉✱ ➤é s➞✉ ❧ä❝✱ ➤é s➞✉ s✉② ré♥❣ ✳✳✳ ◆➝♠ ✷✵✵✽✱ ❜➺♥❣ ✈✐Ư❝ sư ❞ơ♥❣ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❵❵♣❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡ ❝ñ❛ ♣❤➵♠ trï ❝➳❝ R✲♠➠➤✉♥✧✱ ▼✳ ❆❣❤❛♣♦✉r♥❛❤r ✈➭ ▲✳ ▼❡❧❦❡rss♦♥ ➤➲ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♠ét ❝➳❝❤ ❝ã ❤Ư t❤è♥❣ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ së ❝đ❛ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✳ ❈❤ó ý r➺♥❣ ❧í♣ ❣å♠ ♠ét ♠➠➤✉♥ 0✱ ❧í♣ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤✱ ❧í♣ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥✱ ❧í♣ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❝ã ❣✐➳ ❤÷✉ ❤➵♥✱✳✳✳ ➤Ị✉ t t ữ trù rr ì tế ❝➞✉ ❤á✐ ♥➟✉ ë ♣❤➬♥ tr➟♥ ❝ã t❤Ĩ q✉② ✈Ị ♠ét ❝➞✉ ❤á✐ tỉ♥❣ q✉➳t✿ ❱í✐ ♥➭♦ S ❧➭ ♠ét ♣❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡ ❝❤♦ tr➢í❝✱ ❦❤✐ HIi (M ) ∈ S? ❑Õt q✉➯ ♠➭ ❤ä ➤➵t ➤➢ỵ❝ tr♦♥❣ ❜➭✐ ❜➳♦ ♥➭② ❧➭ ➤➷❝ tr➢♥❣ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✺ ❝✃♣ / S ✈í✐ S ❧➭ ♠ét ♣❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡ ✈➭ M ❧➭ n ❜Ð ♥❤✃t ➤Ó HIn (M ) ∈ R✲♠➠➤✉♥ ✭❦❤➠♥❣ ♥❤✃t t❤✐Õt ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤✮✱ ➤å♥❣ t❤ê✐ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ S ✲❞➲②✱ S ✲➤é s➞✉ ✈➭ ➤➷❝ tr➢♥❣ S ✲➤é s➞✉ ♥❤➢ ♠ét sù tæ♥❣ q✉➳t ❤ã❛ ❝đ❛ ❝➳❝ ➤➷❝ tr➢♥❣ ➤➲ ❜✐Õt ✈Ị ➤é s➞✉✱ ➤é s➞✉ ❧ä❝✱ ➤é s➞✉ s✉② ré♥❣ ✳✳✳ ▼ô❝ ➤Ý❝❤ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ❧➭ tr×♥❤ ❜➭② ❧➵✐ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ tr➟♥ ❝ñ❛ ❆❣❤❛♣♦✉r✲ ♥❛❤r ✲ ▼❡❧❦❡rss♦♥ tr♦♥❣ ❜➭✐ ❜➳♦ ▲♦❝❛❧ ❝♦❤♦♠♦❧♦❣② ♠♦❞✉❧❡s ❛♥❞ ❙❡rr❡ s✉❜❝❛t❡❣♦r✐❡s✱ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❆❧❣❡❜r❛ ✭✷✵✵✽✮✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ❝❤✐❛ ❧➭♠ ✷ ❝❤➢➡♥❣✳ ❈❤➢➡♥❣ ■ ♥ã✐ ✈Ị ♣❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡ ✈➭ ♠ét sè ❝❤✉➮♥ ❜Þ ề ố ề ị trì ❜➭② ✈Ò S ✲❞➲②✱ S ✲➤é s➞✉ ✈➭ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ✈Ị ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ♥❤➺♠ tr➯ ❧ê✐ ♠ét ♣❤➬♥ ❝❤♦ ❝➞✉ ❤á✐ ❦❤✐ ♥➭♦ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên HIi (M ) ∈ S?✳ http://www.Lrc-tnu.edu.vn ❈❤➢➡♥❣ ✶ P❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡ ✈➭ ♠ét sè ❝❤✉➮♥ ❜Þ ✈Ị ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❚r♦♥❣ s✉èt ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✱ ❝❤♦ R ❧➭ ♠ét ✈➭♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ◆♦❡t❤❡r ✈➭ M ❧➭ R✲♠➠➤✉♥✳ ✶✳✶ P❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡ ✶✳✶✳✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❈❤♦ S S rỗ ữ R ọ S ❧➭ ♠ét ♣❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡ ❝ñ❛ ♣❤➵♠ trï R ế ỗ R −→ M −→ M −→ M −→ t❛ ❝ã M ∈ S ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ M , M ∈ S ✶✳✶✳✷ ❇ỉ ➤Ị✳ ●✐➯ sư ♠➠➤✉♥✳ ❑❤✐ ➤ã S ExtiR (N, M ) ∈ S ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤♦ S ❧➭ ♠ét ♣❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡ ❝ñ❛ ♣❤➵♠ trï ❝➳❝ R✲ ➤ã♥❣ ❦Ý♥ ✈í✐ ♣❤Ð♣ ❧✃② ♠➠➤✉♥ ❝♦♥✱ ♠➠➤✉♥ t❤➢➡♥❣ ✈➭ ✈í✐ ♠ä✐ R✲♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ N ✈➭ ♠ä✐ M ∈ S M ∈ S ✈➭ N ❧➭ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤✳ ❚❛ ❝❤Ø ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ExtiR (N, M ) ∈ S ✳ ❉♦ N ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ✈➭ R ❧➭ ✈➭♥❤ ◆♦❡t❤❡r ♥➟♥ N ❝ã ♠ét ❣✐➯✐ tù ❞♦ −→ F2 −→ F1 −→ F0 −→ N −→ 0, ✻ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✼ tr ó ỗ Fi tự ữ s✐♥❤✳ ❚➳❝ ➤é♥❣ ❤➭♠ tö ♣❤➯♥ ❜✐Õ♥ Hom(−, M ) ✈➭♦ ❣✐➯✐ tù ❞♦ ❝đ❛ N ë tr➟♥ t❛ ➤➢ỵ❝ ➤è✐ ♣❤ø❝ f0 f1 f2 −→ Hom(F0 , M ) −→ Hom(F1 , M ) −→ Hom(F2 , M ) −→ ❚❤❡♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝đ❛ ♠➠➤✉♥ ♠ë ré♥❣ t❛ ❝ã ExtiR (N, M ) = Ker fi / Im fi−1 , ∀i = 0, 1, 2, ỗ i, ì Fi tù ❞♦✱ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ♥➟♥ Fi ∼ = Rni ❉♦ ➤ã Hom(Fi , M ) = Hom(Rni , M ) = Hom(R, M ) ❇➺♥❣ q✉② ♥➵♣ t❤❡♦ t❛ s✉② r❛ ni = M ni ni ✱ tõ ❞➲② ❦❤í♣ −→ M ni −1 −→ M ni −→ M −→ M ni ∈ S ❉♦ ➤ã Hom(Fi , M ) ∈ S ❙✉② r❛ Ker fi ∈ S ❙✉② r❛ ExtiR (N, M ) ∈ S ỗ R M t ọ ủ M ✱ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❜ë✐ Supp M ✱ ❧➭ t❐♣ Supp M = {p ∈ Spec R | Mp = 0} ✶✳✶✳✸ ❱Ý ❞ơ✳ ❈➳❝ ❧í♣ s❛✉ ❧➭ ♥❤÷♥❣ ♣❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡ ❝đ❛ ♣❤➵♠ trï ❝➳❝ R✲♠➠➤✉♥✳ ✐✮ ▲í♣ ❣å♠ ♠ét ♠➠➤✉♥ ✐✐✮ ▲í♣ ❝➳❝ R✲♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥✳ ✐✐✐✮ ▲í♣ ❝➳❝ R✲♠➠➤✉♥ ◆♦❡t❤❡r✳ ✐✈✮ ▲í♣ ❝➳❝ R✲♠➠➤✉♥ M ❝ã ❣✐➳ ❧➭ t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥✳ ✈✮ ▲í♣ ❝➳❝ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ R ó ộ ữ ì ✈➭ ♠➠➤✉♥ t❤➢➡♥❣ ❝đ❛ ❧➭ ♥➟♥ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ ✭✐✮ ❧➭ ❤✐Ĩ♥ ♥❤✐➟♥✳ ✭✐✐✮✳ ●✐➯ sư M ❧➭ ❆rt✐♥ N ủ M ó ỗ ❞➲② ❣✐➯♠ ♥❤÷♥❣ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝đ❛ N ❝ị♥❣ ❧➭ ❞➲② ❣✐➯♠ ♥❤÷♥❣ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝đ❛ M ✱ ❞♦ ➤ã Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✽ ♥ã ♣❤➯✐ ❞õ♥❣✳ ❱× t❤Õ N ❧➭ rt ì ỗ ữ ủ M/N t➢➡♥❣ ø♥❣ ✈í✐ ♠ét ❞➲② ❣✐➯♠ ♥❤÷♥❣ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝đ❛ M ữ N ì tế ❉♦ ➤ã ❝đ❛ M/N ❧➭ ❆rt✐♥✳ ◆❣➢ỵ❝ ❧➵✐✱ ❝❤♦ N ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ M s❛♦ ❝❤♦ N ✈➭ M/N ❧➭ ❆rt✐♥✳ ▲✃② M0 ⊇ M1 ⊇ ❧➭ ♠ét ❞➲② ❣✐➯♠ ♥❤÷♥❣ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝đ❛ M ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã ❞➲② ❣✐➯♠ M0 ∩ N ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ ⊇ M1 ∩ N ⊇ N ✈➭ ❞➲② ❣✐➯♠ (M0 + N )/N ⊇ (M1 + N )/N ⊇ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ M/N ❱× N ✈➭ M/N ❧➭ ❆rt✐♥ ♥➟♥ tå♥ t➵✐ sè tù ♥❤✐➟♥ k s❛♦ ❝❤♦ Mn ∩ N = Mk ∩ N ✈➭ (Mn + N )/N = (Mk + N )/N ✈í✐ ♠ä✐ n ≥ k ❈❤♦ n ≥ k ❑❤✐ ➤ã Mk ⊇ Mn ▲✃② m ∈ Mk ❑❤✐ ➤ã m+N ∈ (Mk +N )/N = (Mn +N )/N ❙✉② r❛ m+N = x+a+N = x+N ✈í✐ x ∈ Mn , a ∈ N ❉♦ ➤ã m−x ∈ N ∩Mk = N ∩Mn ❙✉② r❛ m−x ∈ Mn ❉♦ ➤ã m ∈ Mn ❙✉② r❛ Mk = Mn ✈í✐ ♠ä✐ n ≥ k ❱× t❤Õ M ❧➭ ❆rt✐♥✳ ❱❐② ❧í♣ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ ❧➭ ♠ét ♣❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡✳ ✭✐✐✐✮ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ ✭✐✐✮✳ ✭✐✈✮✳ ●✐➯ sö M ❧➭ ♠ét R✲♠➠➤✉♥ ✈➭ N ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝đ❛ M ❉Ơ ❞➭♥❣ ❦✐Ĩ♠ tr❛ ➤➢ỵ❝ Supp M = Supp N ∪ Supp(M/N ) ì tế ế M ó ữ tì Supp N Supp(M/N ) ữ ợ ❧➵✐✱ ♥Õ✉ Supp N ✈➭ Supp(M/N ) ❧➭ ❤÷✉ ❤➵♥ tì Supp M t ữ ♠➠➤✉♥ ❝ã ❣✐➳ ❤÷✉ ❤➵♥ ❧➭ ♠ét ♣❤➵♠ trï ❝♦♥ rr ế M ó ộ ữ tì ♠ä✐ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ✈➭ ♠ä✐ ♠➠➤✉♥ t❤➢➡♥❣ ❝đ❛ M ❝ị♥❣ ó ộ ữ ợ ế N ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ M s❛♦ ❝❤♦ N ✈➭ M/N ❝ã ộ ữ tì (M ) = (N ) + (M/N ) < ∞ ❱× t❤Õ ❧í♣ ❝➳❝ R✲♠➠➤✉♥ ❝ã ➤é ❞➭✐ ❤÷✉ ❤➵♥ ❧➭ ♠ét ♣❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡✳ ◆❤➽❝ ❧➵✐ r➺♥❣ ♠ét ❞➲② ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè p0 ❝❤♦ pi = pi+1 ✈í✐ ♠ä✐ i ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn ❝ñ❛ R s❛♦ ♠ét ❞➲② ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ➤é ❞➭✐ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn n✳ ✾ ❚❛ ❣ä✐ ❝❤✐Ị✉ ❑r✉❧❧ ❝đ❛ R✱ ❦Ý ❤✐Ư✉ ❧➭ dim R, ❧➭ ❝❐♥ tr➟♥ ❝đ❛ ❝➳❝ ➤é ❞➭✐ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❞➲② ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❝ñ❛ R✱ tø❝ ❧➭ dim R = sup{n | tå♥ t➵✐ ♠ét ❞➲② tố ủ R ộ n} ỗ ✐➤➟❛♥ I ❝đ❛ R✱ t❛ ❦Ý ❤✐Ư✉ Var(I) ❧➭ t❐♣ tố ủ R ứ I ỗ R✲♠➠➤✉♥ M ✱ t❛ ➤➷t dim Supp M = sup{dim R/p : p ∈ Supp M } ❚❛ ❣ä✐ dim Supp M ❧➭ ❝❤✐Ị✉ ❝đ❛ ❣✐➳ ❝đ❛ M ✳ ✶✳✶✳✹ ❈❤ó ý✳ ❧➭ ❛✮ ●✐➯ sư M ❧➭ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤✳ ❈❤✐Ị✉ ❑r✉❧❧ ❝đ❛ M ✱ ❦Ý ❤✐Ư✉ dim M ✱ ❧➭ ❝❤✐Ị✉ ❑r✉❧❧ ❝đ❛ ✈➭♥❤ R/ Ann M ❱× M ❧➭ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ♥➟♥ Supp M = Var(Ann M )✳ ❉♦ ➤ã t❛ ❝ã dim Supp M = sup{dim(R/p) | p ∈ Supp M } = dim(R/ Ann M ) ❱× t❤Õ ❝❤✐Ị✉ ❝đ❛ ❣✐➳ ❝đ❛ ♥➭② t❛ ✈✐Õt ❜✮ ❑❤✐ M ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ❝❤✐Ị✉ ❑r✉❧❧ ❝đ❛ M ✳ ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ dim M t❤❛② ❝❤♦ dim Supp M M = ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ t❤× Supp M ❧➭ ♠ét t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥ ❣å♠ ♥❤÷♥❣ ✐➤➟❛♥ tè✐ ➤➵✐ ❝đ❛ R✳ ❱× t❤Õ dim Supp M = P❤➬♥ t✐Õ♣ t❤❡♦ ❧➭ ♠ét sè ✈Ý ❞ơ ❦❤➳❝ ✈Ị ♣❤➵♠ trù rr í ụ ỗ số tự ♥❤✐➟♥ s✱ ❧í♣ ❝➳❝ R✲♠➠➤✉♥ M s❛♦ ❝❤♦ dim Supp M s ❧➭ ♠ét ♣❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡ ❝ñ❛ ♣❤➵♠ trï ❝➳❝ R✲♠➠➤✉♥✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤♦ M ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ ✈➭ N ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝đ❛ M ✳ ❱× Supp M = Supp N ∪ Supp(M/N ) ♥➟♥ dim Supp M = max{dim Supp N, dim Supp(M/N )} ➜✐Ò✉ ♥➭② ❝❤ø♥❣ tá r➺♥❣ dim Supp M ✈➭ dim Supp(M/N ) dim Supp M s ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ dim Supp N s s✳ ❱❐② ❧í♣ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ M t❤á❛ ♠➲♥ tÝ♥❤ ❝❤✃t s ❧➭♠ t❤➭♥❤ ♠ét ♣❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✷✼ ✷✳✷ ➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤Ĩ HIi (M ) ∈ S ✈í✐ ♠ä✐ ❝✃♣ i ❉♦ ➤ã H (M ) ∈ S ♥Õ✉ I j ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ HI (M/ΓI (M )) I I r➺♥❣ t❛ ❝ã t❤Ĩ t❤❛② ✲ ❇➢í❝ ✷✳ ●ä✐ ∈ S ✈í✐ ♠ä✐ j ❚✃t ❝➯ ❝➳❝ ❧❐♣ ❧✉❐♥ tr➟♥ ❝❤Ø r❛ M ❜ë✐ M/ΓI (M ), tø❝ ❧➭ ❝ã t❤Ó ❣✐➯ t❤✐Õt ΓI (M ) = E = E(M ) ❧➭ ❜❛♦ ♥é✐ ①➵ ❝ñ❛ M ❚❛ sÏ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ HIj (E) = 0✱ ExtjR (R/I, E) = ✈➭ ExtjR (N, E) = ✈í✐ ♠ä✐ j ✈➭ ♠ä✐ R✲♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ N s❛♦ ❝❤♦ Supp N ⊆ Var(I)✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ t❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✷✳✺✱ t❛ ❝ã ♣❤➞♥ tÝ❝❤ E = E(M ) ∼ = Ei (R/p), p∈Ass M i∈Λp tr♦♥❣ ➤ã Λp ❧➭ ♥❤÷♥❣ t❐♣ ❝❤Ø sè ✈➭ Ei (R/p) ❧➭ ❜❛♦ ♥é✐ ①➵ ❝ñ❛ R/p ❈❤♦ p ∈ Ass M ❑❤✐ ➤ã p = Ann m ✈í✐ = m ∈ M ◆Õ✉ p ⊇ I t❤× Im = ✈➭ ❞♦ ➤ã m ∈ :M I ⊆ ΓI (M ), ➤✐Ò✉ ♥➭② ❧➭ ✈➠ ❧Ý✳ ❱× t❤Õ I ⊆ p ✈í✐ ♠ä✐ p ∈ Ass M ▲✃② a ∈ I \ p✳ ❚❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✷✳✺✱ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ ❜ë✐ a tr➟♥ E(R/p) ❧➭ ♠ét ➤➻♥❣ ❝✃✉✳ ❉♦ ➤ã ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ ❜ë✐ a tr➟♥ HIj (E(R/p)) ❝ị♥❣ ❧➭ ♠ét ➤➻♥❣ ❝✃✉ ✈í✐ ♠ä✐ j ▲✃② m ∈ HIj (E(R/p)) ❱× HIj (E(R/p)) ❧➭ I ✲①♦➽♥ t❤❡♦ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✸✳✸✭✐✈✮✱ t❛ ❝ã I k m = ✈í✐ k ♥➭♦ ➤ã✳ ❙✉② r❛ ak m = ❉♦ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ ❜ë✐ a tr➟♥ HIj (E(R/p)) ❧➭ ➤➡♥ ❝✃✉ ♥➟♥ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ ❜ë✐ t❤Õ m = ❱❐② HIj (E(R/p)) = ✈í✐ ♠ä✐ p ∈ Ass M ❚õ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ t❤➭♥❤ tỉ♥❣ trù❝ t✐Õ♣ ❝đ❛ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ ❜ë✐ tr➟♥ ak tr➟♥ HIj (E(R/p)) ❝ị♥❣ ❧➭ ➤➡♥ ❝✃✉✱ ✈× E ë tr➟♥ t❛ s✉② r❛ HIj (E) = ✈í✐ ♠ä✐ j ❱× a tr➟♥ E(R/p) ❧➭ ♠ét ➤➻♥❣ ❝✃✉ ♥➟♥ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ ❜ë✐ a ExtjR (R/I, E(R/p)) ❝ị♥❣ ❧➭ ♠ét ➤➻♥❣ ❝✃✉ ✈í✐ ♠ä✐ j ❈❤ó ý r➺♥❣ I ExtjR (R/I, E(R/p)) = ❉♦ a ∈ I \ p ♥➟♥ a ExtjR (R/I, E(R/p)) = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✸✸ ❱× ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ ❜ë✐ a tr➟♥ ExtjR (R/I, E(R/p)) ❧➭ t♦➭♥ ❝✃✉ ♥➟♥ t❛ s✉② r❛ ExtjR (R/I, E(R/p)) = ✈í✐ ♠ä✐ j ❱× t❤Õ ExtjR (R/I, E) = ✈í✐ ♠ä✐ j ●✐➯ sư N ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ✈í✐ Supp N ⊆ Var(I) ❚➢➡♥❣ tù ♥❤➢ tr➟♥✱ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ ❜ë✐ a tr➟♥ ExtjR (N, E(R/p)) ❧➭ ➤➻♥❣ ❝✃✉ ✈í✐ ♠ä✐ j a ∈ I \ p ▲✃② m ∈ ExtjR (N, E(R/p)) ❉♦ Supp N ⊆ Var(I) ♥➟♥ √ Supp ExtjR (N, E(R/p)) ⊆ Var(I) ✈í✐ ♠ä✐ j ❱× t❤Õ I ⊆ Ann m ❙✉② ✈➭ ♠ä✐ r❛ I t ⊆ Ann m ✈í✐ t ♥➭♦ ➤ã✳ ❱× t❤Õ I t m = ❙✉② r❛ at m = 0✳ ❱× ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ ❜ë✐ ✈❐②✱ a tr➟♥ ExtjR (N, E(R/p)) ❧➭ ➤➻♥❣ ❝✃✉ ♥➟♥ t❛ s✉② r❛ m = ❱× ExtjR (N, E(R/p)) = ✈➭ ❞♦ ➤ã ExtjR (N, E) = ✈í✐ ♠ä✐ j ✈➭ ♠ä✐ ✲ ❇➢í❝ ✸✳ ❳Ðt ❞➲② ❦❤í♣ −→ M −→ E −→ E/M −→ ❉♦ HIj (E) = 0✱ ExtjR (R/I, E) = 0✱ ExtjR (N, E) = ✈í✐ ♠ä✐ j ✈➭ ♠ä✐ R✲♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ N ✈í✐ Supp N ⊆ Var(I) ♥➟♥ t❛ ❝ã ❝➳❝ ➤➻♥❣ j−1 j j−1 j ❝✃✉ H (E/M ) ∼ = H (M )✱ Ext (R/I, E/M ) ∼ = Ext (R/I, M ) ✈➭ I j−1 ExtR (N, E/M ) I R R j ∼ = ExtR (N, M ) ✈í✐ ♠ä✐ j ✈➭ ♠ä✐ R✲♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ N ✈í✐ Supp N ⊆ Var(I) ❆♣ ❞ơ♥❣ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉② ♥➵♣ ❝❤♦ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ n − t❛ s✉② r❛ HIj−1 (E/M ) ∈ S ✈í✐ ♠ä✐ j < n ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ j−1 Extj−1 R (R/I, E/M ) ∈ S ✈í✐ ♠ä✐ j < n✱ ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ ExtR (N, E/M ) ∈ S ✈í✐ ♠ä✐ j < n ✈➭ ♠ä✐ ♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ N s❛♦ ❝❤♦ Supp N ⊆ Var(I)✱ ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ N ✈í✐ Supp N = Var(I) ➤Ĩ Extj−1 R (N, E/M ) ∈ S ✈í✐ ♠ä✐ j < n ❚õ ❝➳❝ ➤➻♥❣ ❝✃✉ tr➟♥ t❛ s✉② r❛ ➤✐Ị✉ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤♦ M ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤✳ ❚❛ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ✭✈✮ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✭✐✮✲✭✐✈✮✳ ❚❛ ❝❤Ø ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ✭✈✮ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ✭✐✮ ❧➭ ➤đ✳ ❚❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤✐Ị✉ ♥➭② ❜➺♥❣ q✉② ♥➵♣ t❤❡♦ ♣❤➬♥ tö y1 n ❈❤♦ n = ●✐➯ sö tå♥ t➵✐ ♠ét ∈ I ❧➭ S ✲❝❤Ý♥❤ q✉② ➤è✐ ✈í✐ M ❑❤✐ ➤ã :M y1 ∈ S ❉♦ y1 ∈ I ✈➭ S t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ (CI ) ♥➟♥ t❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✶✳✷✳✸ t❛ ❝ã ΓI (M ) ∈ S, tø❝ ❧➭ HI0 (M ) ∈ S ◆❣➢ỵ❝ ❧➵✐✱ ❝❤♦ HI0 (M ) S ì M ữ s t S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✸✹ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✷✳✻ t❛ ❝ã Ass(M/ΓI (M )) = Ass M \ Var(I) ❧➭ ♠ét t❐♣ ❤÷✉ ì tế t ị í tr tố tồ t➵✐ ♣❤➬♥ tư y1 ✈í✐ ♠ä✐ ∈ I s❛♦ ❝❤♦ y1 ∈ /p p ∈ Ass(M/ΓI (M )) ➜➷t J = (y1 ) ❧➭ ✐➤➟❛♥ ❝❤Ý♥❤ s✐♥❤ ❜ë✐ y1 ❚õ ❞➲② ❦❤í♣ −→ ΓI (M ) −→ M −→ M/ΓI (M ) −→ ✈➭ tÝ♥❤ ❦❤í♣ tr➳✐ ❝đ❛ ❤➭♠ tư J ✲①♦➽♥ t❛ ❝ã ❞➲② ❦❤í♣ −→ ΓJ (ΓI (M )) −→ ΓJ (M ) −→ ΓJ (M/ΓI (M )) ❚❤❡♦ ❝➳❝❤ ❝❤ä♥ y1 , t❛ ❞Ơ ❦✐Ĩ♠ tr❛ ➤➢ỵ❝ ΓJ (M/ΓI (M )) = ữ ì y1 I t ễ ể tr❛ ➤➢ỵ❝ ΓJ (ΓI (M )) = ΓI (M ) ❱× t❤Õ tõ ❞➲② ❦❤í♣ tr➟♥ t❛ ❝ã ➤➻♥❣ ❝✃✉ ΓI (M ) ∼ = ΓJ (M ) ❱× H (M ) = ΓI (M ) ∈ S I ♥➟♥ ΓJ (M ) ∈ S ❉♦ :M y1 ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ ΓJ (M ) ♥➟♥ :M y1 ∈ S, tø❝ ❧➭ ❈❤♦ y1 ❧➭ S ✲❝❤Ý♥❤ q✉② ➤è✐ ✈í✐ M ❱❐② ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ ➤ó♥❣ ✈í✐ n = n > ✈➭ ❣✐➯ sư ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ ➤➲ ➤ó♥❣ ✈í✐ n − ●✐➯ sư y1 , , yn ❧➭ ♠ét ❞➲② S ✲❝❤Ý♥❤ q✉② ❝ñ❛ M tr♦♥❣ I ❑❤✐ ➤ã :M y1 ∈ S ❚❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ExtiR (R/I, :M y1 ) ∈ S ✈í✐ ♠ä✐ i ❱× t❤Õ✱ t❤❡♦ sù t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✶✳✶✳✷✱ ❣✐÷❛ ✭✐✮ ✈➭ ✭✐✐✮ ✈õ❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ë tr➟♥ t❛ s✉② r❛ HIi (0 :M y1 ) ∈ S ✈í✐ ♠ä✐ i ❱× y2 , , yn ❧➭ ♠ét ❞➲② S ✲❝❤Ý♥❤ q✉② ❝ñ❛ M/y1 M tr♦♥❣ I ♥➟♥ t❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉② ♥➵♣ t❛ ❝ã ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ ❜ë✐ HIi (M/y1 M ) ∈ S ✈í✐ ♠ä✐ i < n − ●ä✐ f ❧➭ y1 tr➟♥ M ✱ tø❝ ❧➭ f (m) = y1 m ✈í✐ ♠ä✐ m ∈ M ❑❤✐ ➤ã Ker f = :M y1 ✈➭ Coker f = M/y1 M ❱× t❤Õ t❛ ❝ã HIi (Ker f ) ∈ S ✈í✐ ♠ä✐ i ✈➭ HIi−1 (Coker f ) ∈ S ✈í✐ ♠ä✐ i < n ❱× t❤Õ t❤❡♦ ❇ỉ ➤Ò ✷✳✷✳✼ t❛ s✉② r❛ :HIi (M ) y1 ∈ S ✈í✐ ♠ä✐ i < n ❉♦ y1 ∈ I ✈➭ S t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ (CI ) ♥➟♥ t❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✶✳✷✳✸ t❛ ❝ã HIi (M ) ∈ S ✈í✐ ♠ä✐ i < n ◆❣➢ỵ❝ ❧➵✐✱ ❝❤♦ HIi (M ) ∈ S ✈í✐ ♠ä✐ i < n ❚❤❡♦ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤♦ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ n = 1, tå♥ t➵✐ y1 ❤ỵ♣ ∈ I ❧➭ S ✲❝❤Ý♥❤ q✉② ➤è✐ ✈í✐ M ❈ò♥❣ t❤❡♦ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤♦ tr➢ê♥❣ n = 1✱ t❛ ❝ã t❤Ĩ ❣✐➯ t❤✐Õt ♣❤➬♥ tư y1 ❧➭ M ✲❝❤Ý♥❤ q✉②✳ ❱× t❤Õ t❛ ❝ã ❞➲② ❦❤í♣ y1 −→ M −→ M −→ M/y1 M −→ ❉➲② ❦❤í♣ ♥➭② ❝➯♠ s✐♥❤ ❞➲② Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✸✺ ❦❤í♣ y1 y1 HIi−1 (M ) −→ HIi−1 (M ) −→ HIi−1 (M/y1 M ) −→ HIi (M ) −→ HIi (M ) ❉➲② ❦❤í♣ s✐♥❤ r❛ ❞➲② ❦❤í♣ ♥❣➽♥ −→ HIi−1 (M )/y1 HIi−1 (M ) −→ HIi−1 (M/y1 M ) −→ :HIi (M ) y1 ❱× HIi (M ) ∈ S ✈í✐ ♠ä✐ i < n✱ t❛ s✉② r❛ HIi (M/y1 M ) ∈ S ✈í✐ ♠ä✐ i < n − ❆♣ ❞ô♥❣ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉② ♥➵♣ ❝❤♦ M/y1 M, tå♥ t➵✐ ♠ét ❞➲② y2 , , yn ❧➭ S ✲❝❤Ý♥❤ q✉② tr♦♥❣ I ➤è✐ ✈í✐ M/y1 M ❱× t❤Õ✱ t❤❡♦ ▼Ư♥❤ ➤Ò ✷✳✶✳✷✭✐✮✱ ❞➲② y1 , , yn ❧➭ S ✲❝❤Ý♥❤ q✉② tr♦♥❣ I ➤è✐ ✈í✐ M ➜Þ♥❤ ❧Ý ➤➢ỵ❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❤♦➭♥ t♦➭♥✳ S ✲➤é s➞✉ ✈➭ ♠ét sè ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝ñ❛ S ✲➤é s➞✉ ✷✳✸ ❚r♦♥❣ s✉èt t✐Õt ♥➭②✱ ❧✉➠♥ ❣✐➯ t❤✐Õt tr×♥❤ ❜➭② ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✷✳✸✳✶ ❇ỉ ➤Ị✳ ❈❤♦ s❛♦ ❝❤♦ S ✐✮ ◆Õ✉ S S ✲➤é s➞✉✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝➬♥ ❜ỉ ➤Ị s❛✉ ➤➞②✳ R✲♠➠➤✉♥ ❧➭ ♠ét ♣❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡ ❝ñ❛ ♣❤➵♠ trï ❝➳❝ t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ M/IM ∈ /S (CI )✳ t ể s ú tì ỗ S ❝❤Ý♥❤ q✉② tr♦♥❣ I ➤è✐ ✈í✐ S ✲❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② tè✐ ➤➵✐ tr♦♥❣ I t❤Ó ♠ë ré♥❣ t❤➭♥❤ ♠ét ❝➯ ❝➳❝ M ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤✳ ❚r➢í❝ ❦❤✐ S ✲❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② tè✐ ➤➵✐ tr♦♥❣ I ❝❤✉♥❣ ♥➭② ❝❤Ý♥❤ ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ ➤è✐ ✈í✐ M M ➤è✐ ✈í✐ ➤Ò✉ ❝ã M✳ ❚✃t ❝ã ❝ï♥❣ ➤é ❞➭✐✳ ➜é ❞➭✐ n ❜Ð ♥❤✃t s❛♦ ❝❤♦ ExtnR (R/I, M ) ∈ / S ✐✐✮ ♠ét M/IM ∈ S ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ế ỗ số tự S í q ➤é ❞➭✐ n tr♦♥❣ I ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ➤è✐ ✈í✐ ➤è✐ ✈í✐ ✭✐✮✳ ●✐➯ sư y1 , , yk ❧➭ ♠ét n tï② ý✱ ❧✉➠♥ tå♥ t➵✐ M S ✲❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② tè✐ ➤➵✐ tr♦♥❣ I M ❚❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✷✳✷✳✶ ✭✈✮⇒ ✭✐✐✮ t❛ ❝ã ExtiR (R/I, M ) ∈ S ✈í✐ ♠ä✐ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✸✻ i < k ◆Õ✉ ExtkR (R/I, M ) ∈ S t❤× ExtiR (R/I, M ) ∈ S ✈í✐ ♠ä✐ i < k +1 ❉♦ ➤ã t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✷✳✷✳✶✱ tå♥ t➵✐ ♠ét ♣❤➬♥ tö s❛♦ ❝❤♦ y1 , , yk , z ❧➭ ♠ét S ✲❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ❝đ❛ M tr♦♥❣ I, ➤✐Ị✉ ♥➭② ♠➞✉ t❤✉➱♥ ✈í✐ ❣✐➯ t❤✐Õt ❞➲② y1 , , yk tè✐ ➤➵✐✳ ❱❐② ➤Ó z∈I k ❧➭ ❝❤Ø sè n ❜Ð ♥❤✃t ExtnR (R/I, M ) ∈ / S ❚➢➡♥❣ tù✱ ♥Õ✉ x1 , , xt ❧➭ ♠ét S ✲❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② tè✐ ➤➵✐ tr♦♥❣ ❙✉② r❛ I ➤è✐ ✈í✐ M t❤× t ❧➭ ❝❤Ø sè n ❜Ð ♥❤✃t ➤Ó ExtnR (R/I, M ) ∈ / S k = t ✈➭ ♥ã ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ❝❤Ø sè n ❜Ð ♥❤✃t ➤Ó ExtnR (R/I, M ) ∈ / S ✭✐✐✮✳ ●✐➯ sö M/IM ∈ S ❈❤♦ n ❧➭ ♠ét sè tù ♥❤✐➟♥✳ ❱× M/IM ∈ S ♥➟♥ ExtiR (R/I, M/IM ) ∈ S ✈í✐ ♠ä✐ i < n ❈❤ó ý r➺♥❣ ExtiR (R/I, M/IM ) ∼ = ExtiR (R/I, M ) ✈í✐ ♠ä✐ i ❉♦ ➤ã ExtiR (R/I, M ) ∈ t❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✶✳✶✳✷ t❛ ❝ã S ✈í✐ ♠ä✐ i < n ❆♣ ❞ơ♥❣ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✷✳✷✳✶✭✐✐✮⇒ (v) t❛ s✉② r❛ tå♥ t➵✐ ♠ét S ✲❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ➤é ❞➭✐ n tr♦♥❣ I ➤è✐ ✈í✐ M ợ sử ỗ n tå♥ t➵✐ ♠ét S ✲❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② tr♦♥❣ I ➤é ❞➭✐ n ➤è✐ ✈í✐ M ✳ ❚❛ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ỗ M/IM S sử ợ tứ M/IM ∈ / S ❚❤❡♦ ✭✐✮✱ S ✲❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② tr♦♥❣ I ➤Ị✉ ♠ë ré♥❣ ➤➢ỵ❝ t❤➭♥❤ ♠ét S ✲❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② tè✐ ➤➵✐ ✈➭ ❝➳❝ S ✲❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② tè✐ ➤➵✐ tr♦♥❣ I ❝ã ❝❤✉♥❣ ➤é ❞➭✐✳ ●ä✐ ➤é ❞➭✐ ❝❤✉♥❣ ➤ã ❧➭ r ❚❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt✱ ✈í✐ sè tù ♥❤✐➟♥ r + ❧✉➠♥ tå♥ t➵✐ ♠ét S ✲❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② tr♦♥❣ I ➤é ❞➭✐ r + 1✱ ➤✐Ị✉ ♥➭② ❧➭ ✈➠ ❧Ý✳ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✸✳✶ ➤➢❛ ❝❤ó♥❣ t❛ ➤Õ♥ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✷✳✸✳✷ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❈❤♦ S ✲➤é s➞✉ ♥❤➢ s❛✉✳ M ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤✳ ❈❤♦ I ❧➭ ✐➤➟❛♥ ❝ñ❛ R s❛♦ ❝❤♦ M/IM ∈ / S, tr♦♥❣ ➤ã S ❧➭ ♣❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡ ❝ñ❛ ♣❤➵♠ trï ❝➳❝ R✲♠➠➤✉♥ t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ (CI )✳ ❑❤✐ ➤ã ➤é ❞➭✐ ❝ñ❛ ♠ét S ✲❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② tè✐ ➤➵✐ tr♦♥❣ I ➤è✐ ✈í✐ M ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ S ✲➤é s➞✉ ❝đ❛ M tr♦♥❣ I ✈➭ ➤➢ỵ❝ ❦Ý ❤✐Ư✉ ❧➭ S ✲depthI (M ) ❇➞② ❣✐ê ❝❤ó♥❣ t❛ ➤➢❛ r❛ ♠ét sè ✈Ý ❞ơ ✈Ị S ✲➤é s➞✉ t➢➡♥❣ ø♥❣ ✈í✐ ❝➳❝ ♣❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡ ➤➲ ①Ðt ë ❈❤➢➡♥❣ ■✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✸✼ ✷✳✸✳✸ ❱Ý ❞ô✳ ọ ụ ỗ ế S trù rr ❣å♠ ➤ó♥❣ ♠ét ♠➠➤✉♥ ❚❤❡♦ ❱Ý S ✲❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ♠ét M ✲❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ♥❣❤❒♦✳ M/IM ∈ / S ✱ tø❝ ❧➭ M/IM = t❤× ỗ S í q ột M í q✉②✳ ❱× t❤Õ S ✲➤é s➞✉ ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ➤é s➞✉ t❤➠♥❣ t❤➢ê♥❣✱ tø❝ ❧➭ S ✲depthI (M ) = depth(I, M ) ✷✳✸✳✹ ❱Ý ❞ơ✳ ●✐➯ sư ❙❡rr❡ ❣å♠ ❝➳❝ ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ♠ét ♥Õ✉ (R, m) ❧➭ ✈➭♥❤ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✳ ●ä✐ S ❧➭ ♣❤➵♠ trï R✲♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥✳ ❚❤❡♦ ❱Ý ❞ô ỗ S í q M ọ í q✉②✳ ❍➡♥ ♥÷❛ M/IM ∈ / S ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø M/IM ❦❤➠♥❣ ❆rt✐♥✱ ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ dim(M/IM ) > 0✳ ❱× t❤Õ S ✲➤é s➞✉ ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ➤é s➞✉ ❧ä❝ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❝ñ❛ ▲⑧ ✉✲❚❛♥❣ ❬▲❚❪✱ tø❝ ❧➭ S ✲ depthI (M ) = f-depth(I, M ) ✷✳✸✳✺ ❱Ý ụ ỗ sử (R, m) ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✳ ●ä✐ S ❧➭ ♣❤➵♠ trï ❙❡rr❡ R✲♠➠➤✉♥ ❝ã ❣✐➳ ❤÷✉ ❤➵♥ ✭❝ã Supp ❤÷✉ ❤➵♥✮✳ ❚❤❡♦ ❱Ý ❞ơ ✷✳✶✳✺✱ S ✲❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ♠ét M ✲❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② s✉② ré♥❣✳ ❍➡♥ ♥÷❛ M/IM ∈ / S ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ Supp(M/IM ) ❧➭ t❐♣ ✈➠ ❤➵♥✱ ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ dim(M/IM ) > 1✳ ❱× t❤Õ S ✲➤é s➞✉ ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ➤é s➞✉ s✉② ré♥❣ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❝ñ❛ ▲➟ ❚❤❛♥❤ ◆❤➭♥ ❬◆❤❪✱ tø❝ ❧➭ S ✲depthI (M ) = gdepth(I, M ) ❈❤ó♥❣ t❛ ❦Õt t❤ó❝ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ❜➺♥❣ ✈✐Ö❝ ➤➢❛ r❛ ♠ét sè ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝đ❛ S ✲➤é s➞✉✳ ◆ã ➤➢ỵ❝ t❤Ĩ ❤✐Ư♥ tr♦♥❣ ➤Þ♥❤ ❧Ý s❛✉ ➤➞② ✲ ❧➭ ♠ét tr♦♥❣ ❤❛✐ ❦Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ✷✳✸✳✻ ➜Þ♥❤ ❧ý✳ ❈❤♦ S t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ (CI )✳ ✐➤➟❛♥ ❝đ❛ ❧➭ ♣❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡ ❝ñ❛ ♣❤➵♠ trï ❝➳❝ ❈❤♦ M ❧➭ ♠ét R✲♠➠➤✉♥ R✲♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ✈➭ n = min{i | HIi (M ) ∈ / S} ✐✐✮ ✐✐✐✮ ❧➭ R s❛♦ ❝❤♦ M/IM ∈ / S ❈❤♦ n = S ✲depthI (M ) ❈➳❝ ♣❤➳t ❜✐Ĩ✉ s❛✉ ❧➭ ➤ó♥❣✳ ✐✮ I n = min{i | ExtiR (R/I, M ) ∈ / S} n = min{depthIRp (Mp ) | p ∈ Supp(M/IM ), R/p ∈ / S} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✸✽ ❚r➢í❝ ❦❤✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✷✳✸✳✻ t❛ ❝➬♥ ❝➳❝ ❜ỉ ➤Ị s❛✉✳ ✷✳✸✳✼ ❇ỉ ➤Ị✳ ❈❤♦ M ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤✳ ❑❤✐ ➤ã tå♥ t➵✐ ♠ét ❧ä❝ ⊂ M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt = M M ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝đ❛ ✈í✐ ♠ä✐ s❛♦ ❝❤♦ Mi /Mi−1 ∼ = R/pi ✱ tr♦♥❣ ➤ã pi ∈ Supp M i = 1, , t ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ M = ❧➭ ❤✐Ó♥ ♥❤✐➟♥✳ ●✐➯ t❤✐Õt M = 0✳ ❑❤✐ ➤ã Ass M = ∅ ❱× t❤Õ tå♥ t➵✐ p0 ∈ Ass M ❱× t❤Õ M ❝❤ø❛ ♠ét ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ M0 ➤➻♥❣ ❝✃✉ ✈í✐ R/p0 ◆Õ✉ M = M0 t❤× ❧ä❝ ♣❤➯✐ t×♠ ❧➭ ⊂ M0 = M ◆Õ✉ M0 = M t❤× M/M0 = ❉♦ ➤ã Ass(M/M0 ) = ∅ ❉♦ ➤ã tå♥ t➵✐ p1 ∈ Ass(M/M0 ) ❱× t❤Õ M/M0 ❝❤ø❛ ♠ét ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ M1 /M0 ➤➻♥❣ ❝✃✉ ✈í✐ R/p1 ❈❤ó ý r➺♥❣ M1 ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ M ❝❤ø❛ M0 ◆Õ✉ M1 = M t❤× ❧ä❝ ♣❤➯✐ t×♠ ❧➭ ⊂ M0 ⊂ M1 = M ◆Õ✉ M1 = M t❤× ❧➵✐ ❧➷♣ ❧➵✐ tr t tì ợ M2 ❝ñ❛ M ❝❤ø❛ M1 s❛♦ ❝❤♦ M2 /M1 ∼ = R/p2 ✈í✐ p2 ∈ Ass(M/M1 ) ❈ø t✐Õ♣ tơ❝ q✉➳ trì tr t ợ t ủ ý r➺♥❣ M ❧➭ M0 ⊂ M1 ⊂ ✈í✐ Mi = Mi+1 ❈❤ó M ❧➭ ♠➠➤✉♥ tr ì M ữ s R ✈➭♥❤ ◆♦❡t❤❡r✳ ❉♦ ➤ã ❞➲② t➝♥❣ ♥➭② ♣❤➯✐ ❞õ♥❣✱ tø❝ ❧➭ s❛✉ ♠ét sè ❤÷✉ ❤➵♥ ❜➢í❝ t❛ ❝ã ❧ä❝ ♥❤➢ ②➟✉ ❝➬✉✳ ✷✳✸✳✽ ❇ỉ ➤Ị✳ ❈❤♦ ✈➭ M ❝đ❛ ❧➭ ♠ét R S ❧➭ ♠ét ♣❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡ ❝đ❛ ♣❤➵♠ trï ❝➳❝ R✲♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤✳ ●ä✐ Z s❛♦ ❝❤♦ R/p ∈ S ❑❤✐ ➤ã Z R✲♠➠➤✉♥ ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❧➭ ➤ã♥❣ ✈í✐ ♣❤Ð♣ ➤➷❝ ❜✐Ưt ❤ã❛ ✈➭ ❝➳❝ ♣❤➳t ❜✐Ĩ✉ s❛✉ ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✐✮ M ∈ S ✐✐✮ Supp M ⊆ Z ✳ ✐✐✐✮ Ass M ⊆ Z ✳ ✐✈✮ Ass M ⊆ Z p Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✸✾ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤♦ p ⊆ q ❧➭ ❝➳❝ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❝ñ❛ R s❛♦ ❝❤♦ p ∈ Z ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã t♦➭♥ ❝✃✉ tù ♥❤✐➟♥ ♠➠➤✉♥ t❤➢➡♥❣ ❝ñ❛ R/p −→ R/q, ♥ã✐ ❝➳❝❤ ❦❤➳❝✱ R/q ❧➭ ♠ét R/p ❱× R/p ∈ S ✈➭ S ❧➭ ♣❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡ ♥➟♥ R/q ∈ S, tø❝ ❧➭ q ∈ Z ❱❐② Z ➤ã♥❣ ✈í✐ ♣❤Ð♣ ➤➷❝ ❜✐Öt ❤ã❛✳ ✭✐✮⇒✭✐✐✮✳ ❈❤♦ p ∈ Supp M ❑❤✐ ➤ã p ⊇ p1 ✈í✐ p1 ∈ Ass M ❱× t❤Õ M ❝❤ø❛ ♠ét ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ➤ã K ➤➻♥❣ ❝✃✉ ✈í✐ R/p1 ❉♦ M ∈ S ♥➟♥ K ∈ S ❉♦ R/p1 ∈ S ❱× t❤Õ p1 ∈ Z t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝đ❛ Z ✳ ❉♦ Z ➤ã♥❣ ✈í✐ ♣❤Ð♣ ➤➷❝ ❜✐Ưt ❤ã❛ ♥➟♥ p ∈ Z ❱❐②✱ Supp M ⊆ Z ✳ ✭✐✐✮⇒✭✐✐✐✮✳ ❉♦ Ass M ⊆ Supp M ♥➟♥ Ass M ⊆ Z ✭✐✐✐✮⇒✭✐✈✮✳ ❉♦ Ass M ⊆ Ass M ♥➟♥ Ass M ⊆ Z ì M ữ s t ❇ỉ ➤Ị ✷✳✸✳✼✱ tå♥ t➵✐ ♠ét ❧ä❝ = M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt = M ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝đ❛ ✈í✐ ♠ä✐ M s❛♦ ❝❤♦ Mi /Mi−1 ∼ = R/pi ✱ tr♦♥❣ ➤ã pi ∈ Supp M i = 1, , t ❉♦ pi ∈ Supp M, tå♥ t➵✐ qi ∈ Ass M s❛♦ ❝❤♦ qi ⊆ pi ✈í✐ ♠ä✐ i ❚❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt ✭✐✈✮ t❛ ❝ã qi ∈ Z ✈í✐ ♠ä✐ i✳ ❱× Z ❧➭ ➤ã♥❣ ✈í✐ ♣❤Ð♣ ➤➷❝ ❜✐Ưt ❤ã❛ ♥➟♥ ❙✉② r❛ pi ∈ Z ✈í✐ ♠ä✐ i✳ ❱× t❤Õ R/pi ∈ S ✈í✐ ♠ä✐ i Mi /Mi−1 ∈ S ✈í✐ ♠ä✐ i✳ ❚õ ❞➲② ❦❤í♣ −→ Mt−1 −→ Mt −→ Mt /Mt−1 −→ ✈í✐ ❝❤ó ý r➺♥❣ M/Mt−1 = Mt /Mi−1 ∈ S ✱ t❛ s✉② r❛ M ∈ S ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ Mt−1 ∈ S ✳ ▲❐♣ ❧✉❐♥ t➢➡♥❣ tù ➤è✐ ✈í✐ ❞➲② ❦❤í♣ −→ Mt−2 −→ Mt−1 −→ Mt−1 /Mt−2 −→ ✈➭ ❝❤ó ý r➺♥❣ Mt−1 /Mt−2 ∈ S t❛ s✉② r❛ M ∈ S ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ s✉② r❛ Mt−1 ∈ S ✱ ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ Mt−2 ∈ S ✳ ❈ø t✐Õ♣ tơ❝ q✉➳ tr×♥❤ tr➟♥ t❛ M ∈ S ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ ∈ S ✳ ❱× ❧✉➠♥ t❤✉é❝ S ♥➟♥ M ∈ S ❈❤ø♥❣ ị í ị ợ s r ♥❣❛② tõ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✸✳✶✱✭✐✮✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✹✵ ✭✐✮✳ ❚❤❡♦ ✭✐✐✮✱ ExtiR (R/I, M ) ∈ S ✈í✐ ♠ä✐ i < n ✈➭ ExtnR (R/I, M ) ∈ / S ì tế t ị í t s r HIi (M ) ∈ S ✈í✐ ♠ä✐ i < n ✈➭ / S} / S ❉♦ ➤ã n = min{i | HIi (M ) ∈ HIn (M ) ∈ ✭✐✐✐✮✳ ❈❤♦ p ∈ Supp(M/IM s❛♦ ❝❤♦ R/p ∈ / S ➜➷t Mi = ExtiR (R/I, M ) ❚❤❡♦ ✭✐✐✮ t❛ ❝ã t❛ ❝ã Mi ∈ S ✈í✐ ♠ä✐ i < n ✈➭ Mn ∈ / S ❚❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✸✳✽ Supp(Mi ) ⊆ Z ✈í✐ ♠ä✐ i < n ✈➭ Supp Mn ⊆ Z, tr♦♥❣ ➤ã Z ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè p ❝ñ❛ R s❛♦ ❝❤♦ R/p ∈ S ❱í✐ ♠ä✐ i < n, ♥Õ✉ p ∈ Supp Mi t❤× p ∈ Z ✈➭ ❞♦ ➤ã R/p ∈ S ✱ ➤✐Ị✉ ♥➭② ❧➭ ❦❤➠♥❣ ①➯② r❛✳ ❱× t❤Õ p∈ / Supp Mi ✈í✐ ♠ä✐ i < n, tø❝ ❧➭ (Mi )p = ExtiRp (Rp /IRp , Mp ) = ✈í✐ ♠ä✐ i < n ❈❤ó ý r➺♥❣ depth(IRp , Mp ) = inf{i | ExtiRp (Rp /IRp , Mp ) = 0} ❉♦ ➤ã depth(IRp , Mp ) ≥ n ▼➷t ❦❤➳❝✱ ✈× Supp Mn ⊆ Z ♥➟♥ tå♥ t➵✐ q ∈ Supp Mn s❛♦ ❝❤♦ q ∈ / Z ✳ ❱× t❤Õ R/q ∈ / S ✈➭ (Mn )q = ExtiRq (Rq /IRq , Mq ) = ❱× q ∈ Supp(M/IM ) ✈➭ R/q ∈ / S ♥➟♥ t❤❡♦ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ tr➟♥✱ depth(IRq , Mq ) ≥ n ❉♦ ➤ã depth(IRq , Mq ) = n ❱❐② n = min{depthIRp (Mp ) | p ∈ Supp(M/IM ), R/p ∈ / S} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ❬❆▼❪ ▼✳ ❆t✐②❛❤ ❛♥❞ ■✳ ●✳ ▼❛❝❞♦♥❛❧❞✱ ❵❵■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❈♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❆❧❣❡❜r❛✧✱ ❆❞❞✐s♦♥✲❲❡s❧❡②✱ ❘❡❛❞✐♥❣✱ ▼❛ss✳✱ ✶✾✻✾✳ ❬❆▼❪ ▼✳ ❆❣❤❛♣♦✉r♥❛❤r ❛♥❞ ▲✳ ▼❡❧❦❡rss♦♥✱ ▲♦❝❛❧ ❝♦❤♦♠♦❧♦❣② ♠♦❞✉❧❡s ❛♥❞ ❙❡rr❡ s✉❜❝❛t❡❣♦r✐❡s✱ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❆❧❣❡❜r❛✱ ✸✷✵ ✭✷✵✵✽✮✱ ✶✷✼✺✲✶✷✽✼✳ ❬❇◆❪ ▼✳ ❇r♦❞♠❛♥♥ ❛♥❞ ▲✳ ❚✳ ◆❤❛♥✱ ❆ ❢✐♥✐t❡♥❡ss r❡s✉❧t ❢♦r ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ♣r✐♠❡s ♦❢ ❝❡rt❛✐♥ Ext✲ ✱ ❈♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥s ✐♥ ❆❧❣❡❜r❛✱ ✸✻ ✭✷✵✵✽✮✱ ✶✺✷✼✲✶✺✸✻✳ ♠♦❞✉❧❡s ❬❇❙❪ ▼✳ ❇r♦❞♠❛♥♥ ❛♥❞ ❘✳ ❨✳ ❙❤❛r♣✱ ❵❵▲♦❝❛❧ ❝♦❤♦♠♦❧♦❣②✿ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✐♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ✇✐t❤ ❣❡♦✲ ♠❡tr✐❝ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✧✱ ❈❛♠❜r✐❞❣❡ ❯♥✐✈❡rs✐t② Pr❡ss✱ ✶✾✾✽✳ ❬❈❙❚❪ ◆✳ ❚✳ ❈✉♦♥❣✱ P✳ ❙❝❤❡♥③❡❧ ❛♥❞ ◆✳ ❱✳ ❚r✉♥❣✱ ❱❡r❛❧❧❣❡♠❡✐♥❡rt❡ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ▼♦❞✉❧♥✱ ▼❛t❤✳ ◆❛❝❤r✱ ✽✺ ✭✶✾✼✽✮✱ ✺✼✲✼✸✳ ❬▲❚❪ ❘✳ ▲✉ ❛♥❞ ❩✳ ❚❛♥❣✱ ❚❤❡ ❢✲❞❡♣t❤ ♦❢ ❛♥ ✐❞❡❛❧ ♦♥ ❛ ♠♦❞✉❧❡✱ Pr♦❝✳ ❆▼❙✳✱ ✶✸✵ ✭✷✵✵✷✮✱ ✶✾✵✺✲ ✶✾✶✷✳ ❬▼❛t❪ ❍✳ ▼❛ts✉♠✉r❛✱ ❬▼❡✶❪ ▲✳ ▼❡❧❦❡rss♦♥✱ ✉❧❡s ❈♦♠♠✉t❛t✐✈❡ r✐♥❣ t❤❡♦r②✱ ❈❛♠❜r✐❞❣❡ ❯♥✐✈❡rs✐t② Pr❡ss✱ ✶✾✽✻✳ ❙♦♠❡ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ♦❢ ❛ ❝r✐t❡r✐♦♥ ♦❢ ❆rt✐♥✐❛♥❡ss t♦ ❧♦❝❛❧ ❝♦❤♦♠♦❧♦❣② ♠♦❞✲ ✱ ❏✳ P✉r❡ ❆♣♣❧✳ ❆❧❣❡❜r❛✱ ✭✹✮ ✶✶✼ ✭✶✾✾✾✮✱ ✾✸✺✲✾✸✽✳ ❬▼❡✷❪ ▲✳ ▼❡❧❦❡rss♦♥✱ ▼♦❞✉❧❡s ❝♦❢✐♥✐t❡ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ❛♥ ✐❞❡❛❧✱ ❏✳ ❆❧❣❡❜r❛✱ ✷✽✺ ✭✷✵✵✺✮✱ ✻✹✾✲✻✻✽✳ ❬◆❤❪ ▲✳ ❚✳ ◆❤❛♥✱ ❖♥ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ r❡❣✉❧❛r s❡q✉❡♥❝❡s ❛♥❞ t❤❡ ❢✐♥✐t❡♥❡ss ❢♦r ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ♣r✐♠❡s ♦❢ ❧♦❝❛❧ ❝♦❤♦♠♦❧♦❣② ♠♦❞✉❧❡s✱ ❈♦♠♠✳ ❆❧❣❡❜r❛✱ ✸✸ ✭✷✵✵✺✮✱ ✼✾✸✲✽✵✻✳ ❬❙❱❪ ❉✳ ❲✳ ❙❤❛r♣❡ ❛♥❞ P✳ ❱❛♠♦s✱ ❬❱❛❪ ❲✳ ❱❛s❝♦♥❝❡❧♦s✱ ■♥❥❡❝t✐✈❡ ♠♦❞✉❧❡s✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② Pr❡❡s ❈❛♠❜r✐❞❣❡ ✶✾✼✷✳ ❉✐✈✐s♦r ❚❤❡♦r② ✐♥ ♠♦❞✉❧❡s ❝❛t❡❣♦r✐❡s✱ ◆♦rt❤ ✲ ❍♦❧❧❛♥❞✱ ❆♠st❡r❞❛♠s✱ ✶✾✼✹✳ ✹✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ... tr➢ê♥❣ t❤➷♥❣ ❞➢ R/mi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✶✹ ❑❤✐ ➤ã tå♥ t➵✐ ❝➳❝ sè tù ♥❤✐➟♥ n1 , , nt s❛♦ ❝❤♦ t❛ ❝ã ♣❤➞♥ tÝ❝❤ tæ♥❣ trù? ?? t✐Õ♣ E(M ) = E1n1... = 0} ❑Õt q✉➯ s❛✉ ➤➞② ♥ã✐ r➺♥❣ ❝❤✐Ò✉ ❝đ❛ ♠ét ♠➠➤✉♥ ❝ã ❧✐➟♥ q✉❛♥ trù? ?? t✐Õ♣ tí✐ tÝ♥❤ tr✐Ưt t✐➟✉ ❝đ❛ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.Lrc-tnu.edu.vn... ❝ñ❛ S ✲❞➲②✳ ✶✾ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✷✵ ✷✳✶✳✷ ▼Ư♥❤ ➤Ị✳ ❈❤♦ ♠ét x1 , , xn R M ❧➭ ❧➭ ♠ét S✲ ✈➭ R✲♠➠➤✉♥✳ ❈➳❝ ♣❤➳t ❜✐Ó✉ s ú ỗ số tự ❝❤Ý♥❤ q✉②