Tính chất minimax cho môđun mở rộng của môđun đối đồng điều địa phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ ÁNH TÍNH CHẤT MINIMAX CHO MƠĐUN MỞ RỘNG CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ ÁNH TÍNH CHẤT MINIMAX CHO MƠĐUN MỞ RỘNG CỦA MƠĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Văn Hoàng THÁI NGUYÊN - 2019 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, ngày 16 tháng 04 năm 2019 Tác giả Nguyễn Thị Ánh Xác nhận trưởng khoa chuyên môn Xác nhận cán hướng dẫn khoa học i ii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành vào tháng 04/2018 hướng dẫn PGS TS Nguyễn Văn Hồng Tơi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy, học quý giá từ trang giấy học sống thầy dạy giúp tự tin trưởng thành nhiều Tôi xin cảm ơn Phòng Đào Tạo - Đại học Sư Phạm Thái ngun tạo điều kiện để tơi hồn thành sớm khóa học Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới tất thầy cô Đại học Thái Nguyên thầy Viện toán với giảng đầy nhiệt thành tâm huyết, xin cảm ơn thầy cô quan tâm giúp đỡ suốt trình học tập, tạo điều kiện cho tham gia buổi seminar lớp học ngồi chương trình Tơi xin cảm ơn tất anh, em bạn bè động viên giúp đỡ tơi nhiệt tình q trình học làm luận văn Tôi xin gửi cảm ơn tới tất thành viên gia đình tạo điều kiện cho tơi học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn iiiii Mục lục Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Môđun Noether môđun Artin 1.2 Iđêan nguyên tố liên kết 1.3 Môđun Ext môđun Tor 1.4 Môđun đối đồng điều địa phương 1.5 Phức Koszul, đồng điều đối đồng điều Koszul 10 Chương Tính chất minimax cho mơđun mở rộng môđun đối đồng điều địa phương 12 2.1 Điều kiện cho tính chất minimax mơđun 13 2.2 Tính chất a-minimax mơđun Ext Tor 18 2.3 Nguyên lý đổi vành sở cho tính chất a-minimax 22 28 Tài liệu tham khảo 29 Kết luận iiiiv Mở đầu Năm 1986, H Zoschinger (trong [6], [7]) giới thiệu lớp môđun minimax thú vị: Một R-môđun M gọi minimax tồn môđun hữu hạn sinh N M cho M/N R-môđun Artin; [6], ông đưa số điều kiện tương đương với tính chất minimax Các khái niệm môđun a-minimax môđun a-cominimax đưa R Naghipour đồng nghiệp báo [1] khái quát hóa môđun minimax môđun a-cofinite Một R-môđun M a-minimax chiều Goldie a-tương quan môđun thương M hữu hạn Nhắc lại R-môđun M gọi có chiều Goldie hữu hạn (Gdim M ≤ ∞) M không chứa tổng trực tiếp vô hạn môđun khác không M , hay nói cách khác, bao nội xạ E(M ) M phân tích thành tổng trực tiếp hữu hạn mơđun khơng phân tích Ngồi ra, R-mơđun M coi có chiều Goldie a-tương quan hữu hạn chiều Goldie môđun a-xoắn Γa (M ) hữu hạn Ta biết M mơđun a-xoắn, M a-minimax M minimax Ngoài ra, ta nói Rmơđun M a-cominimax giá M chứa V (a) ExtiR (R/a, M ) môđun a-minimax với i ≥ Năm 2015, M Sedghi-L Abdi (trong báo [10]) chứng minh ExtiR (R/a, M ) a-minimax với i ≥ M/an M a-minimax với n ≥ Và nhiều áp dụng kết nghiên cứu đưa Một số chứng minh tương đương tính a-minimax R-mơđun ExtiR (R/a, M ), TorR i (R/a, M ) H i (x1 , , xt ; M ) với i ≥ với x1 , , xt hệ sinh iđêan a Sử dụng kết đó, họ b ⊇ a cho M b-minimax cd(b, M ) = 1, R-mơđun ExtjR (L, Hai (M )) b-minimax với i ≥ j ≥ (trong L R-mơđun hữu hạn sinh có giá nằm V (b)) Do Hai (M )/bn Hai (M ) b-minimax với i ≥ n ≥ Mục đích luận văn tìm hiểu trình bày chứng minh chi tiết lại kết báo [10] M Sedghi and L Abdi (2015), Minimaxness properties of extension functors of local cohomology modules, Inter Electronic J of Albegra, Vol 17, 94-104; phần báo [1] Azami J., Naghipour R and Vakili B (2009), Finiteness properties of local cohomology modules for a - minimax modules, Proc Amer Math Soc 137, 439-448 Các nói môđun minimax iđêan cho trước Luận văn có bố cục gồm hai chương Chương trình bày kiến thức chuẩn bị cần thiết tập Ass, tập Supp, môđun Ext, Tor, môđun đối đồng điều địa phương, phức Koszul Chương dành để trình bày kết luận văn tính chất minimax cho môđun mở rộng môđun đối đồng điều địa phương Cụ thể, Mục 2.1 trình bày số khái niệm minimax, cominimax, chiều Goldie, chiều Goldie tương quan, sau trình bày số bổ đề phụ trợ dẫn đến kết mục điều kiện cho tính chất minimax mơđun (xem Định lý 2.1.9) Mục 2.2 dành để trình bày áp dụng hiệu định lý mục trước, cụ thể ta chứng minh chi tiết Định lý 2.2.1 tương đương khảo sát tính chất a-minimax môđun ExtiR (R/a, M ), Tor(R/a, M ) môđun đối đồng điều Koszul H i (x1 , , xt ; M ) với i ≥ Tiếp đến ta trình bày kết mở rộng cho kết vừa nêu, cụ thể ta thu Định lý 2.2.2 Mục cuối trình bày kết nghiên cứu thay đổi tính chất a-cominimax mơđun ta chuyển vành sở, cụ thể ta chứng minh chi tiết nguyên lý chuyển vành sở tính chất minimax (xem Định lý 2.3.2) Sau ta trình bày nhiều hệ áp dụng tính chất Chương Kiến thức chuẩn bị Ở chương ta ln giả thiết R vành giao hốn Noether có đơn vị Các kiến thức chương trình bày dựa vào sách [9], [2], [12] 1.1 Môđun Noether môđun Artin Môđun Noether lớp môđun Đại số giao hoán Sau ta nhắc lại định nghĩa số tính chất Bổ đề 1.1.1 Cho R vành giao hốn M R-mơđun Khi mệnh đề sau tương đương i) (Điều kiện hữu hạn sinh) Mọi môđun M hữu hạn sinh ii) (Điều kiện dãy tăng) Nếu N1 ⊆ N2 ⊆ N3 ⊆ ⊆ Ni ⊆ dãy môđun M , tồn n ≥ cho Ni = Nn với i ≥ n; iii) (Điều kiện tối đại) Mọi tập khác rỗng môđun M có phần tử tối đại Định nghĩa 1.1.2 Một R-môđun M thỏa mãn điều kiện tương đương Bổ đề 1.1.1 gọi môđun Noether Một vành giao hoán R gọi vành Noether R-mơđun Noether Mệnh đề 1.1.3 i) Cho dãy khớp ngắn R-môđun → M → M → M ” → Khi M R-môđun Noether M M ” R-môđun Noether ii) Mỗi R-môđun hữu hạn sinh vành Noether R R-môđun Noether iii) Nếu M R-môđun Noether S tập đóng nhân R S −1 M S −1 R-môđun Noether Tiếp theo ta xét khái niệm mơđun Artin khái niệm đối ngẫu môđun Noether Bổ đề 1.1.4 Cho M R-mơđun Khi mệnh đề sau tương đương: i) (Điều kiện dãy giảm) Nếu N1 ⊇ N2 ⊇ N3 ⊇ ⊇ Ni ⊇ dãy mơđun M , tồn n ≥ cho Ni = Nn với i ≥ n; ii) (Điều kiện cực tiểu) Mọi tập khác rỗng môđun M có phần tử cực tiểu Định nghĩa 1.1.5 Một R-mơđun M thỏa mãn điều kiện tương đương Bổ đề 1.1.4 gọi môđun Artin Một vành giao hốn R gọi vành Artin R-mơđun Artin Ta xét số tính chất môđun Artin Mệnh đề 1.1.6 i) Cho dãy khớp ngắn R-môđun → M → M → M ” → Khi M R-mơđun Artin M M ” R-môđun Artin ii) Mỗi R-môđun hữu hạn sinh vành Artin R R-môđun Artin iii) Mỗi iđêan nguyên tố vành Artin R iđêan cực đại 1.2 Iđêan nguyên tố liên kết Định nghĩa 1.2.1 Cho M R-mơđun p ∈ Spec R Khi p gọi iđêan nguyên tố liên kết M tồn = x ∈ M cho (0 :R x) = p Tập tất iđêan nguyên tố liên kết M kí hiệu Ass M AssR M Cho a iđêan R, ta kí hiệu V (a) tập xác định V (a) = {p ∈ Spec R | a ⊆ p} Sau vài tính chất tập Ass Mệnh đề 1.2.2 Cho M R-môđun, N môđun M , p ∈ Spec R, a iđêan R Khi ta có i) Ass(0 :M a) = Ass M ∩ V (a) ii) Ass N ⊆ Ass M ⊆ Ass N ∪ Ass M/N iii) p ∈ Ass M R/ p đẳng cấu với mơđun M Định nghĩa 1.2.3 Cho M R-môđun Tập giá M , kí hiệu SuppR M Supp M , xác định SuppR M = {p ∈ Spec R | Mp = 0} Mệnh đề 1.2.4 i) Cho dãy khớp môđun → M → M → M ” → Khi Supp M = Supp M ∪ Supp M ” Theo [1, Hệ 2.4] giả thiết quy nạp, ta có (M/an−1 M )k a-minimax, với số nguyên k ≥ Xét dãy khớp f g (M/an−1 M )t → − M/an M → − M/aM → 0, a = (a1 , , at ) f (m1 + an−1 M, , mt + an−1 M ) = a1 m1 + + at mt + an M Do đó, áp dụng giả thiết quy nạp Bổ đề 2.1.6, ta suy M/an M R-môđun a-minimax Tiếp theo ta trình bày kết mục Định lý 2.1.9 Cho M R-môđun cho ExtiR (R/a, M ) Rmôđun a-minimax với i ≥ Khi M/an M a-minimax với n ≥ Chứng minh Theo Bổ đề 2.1.8, ta cần M/aM a-minimax Cho a = (x1 , , xn ) Khi đó, ta biết M/aM H n (x1 , , xn ; M ), H n (x1 , , xn ; M ) kí hiệu cho mơđun đối đồng điều Koszul thứ n Ta xét đối phức Koszul K • (x, M ) = HomR (K• (x), M ) sau: → HomR (K0 (x), M ) → HomR (K1 (x), M ) → → HomR (Kn (x), M ) → K• (x) : → Kn (x) → → K2 (x) → K1 (x) → K0 (x) → phức Koszul R ứng với dãy x = x1 , , xn Khi H i (x1 , , xn ; M ) = Z i /B i B i Z i kí hiệu cho mơđun đối bờ đối xích phức K • (x, M ) Đặt C = {N | ExtiR (R/a, N ) a-minimax với i ≥ 0} 16 Rõ ràng ta có M ∈ C theo giả thiết Bằng quy nạp ta B j ∈ C với j ≥ Ta có B = Im(0 → HomR (K0 (x), M )) = ∈ C Bây giờ, cho B t ∈ C với t ≥ Đặt C i = HomR (Ki (x), M )/B i Vì Kt (x) R-môđun tự hữu hạn sinh M ∈ C , nên ta suy từ Bổ đề 2.1.6 HomR (Kt (x), M ) ∈ C Bây giờ, B t ∈ C HomR (Kt (x), M ) ∈ C , nên ta có C t ∈ C theo Bổ đề 2.1.6 Do ExtiR (R/a, C t ) a-minimax với i ≥ 0; đặc biệt với i = ta suy (0 :C t a) ∼ = HomR (R/a, C t ) a-minimax Theo tính chất phức Koszul ta có aH t (x1 , , xn ; M ) = 0, H t (x1 , , xn ; M ) ⊆ (0 :C t a) Do H t (x1 , , xn ; M ) a-minimax Kết là, từ dãy khớp ngắn → H t (x1 , , xn ; M ) → C t → B t+1 → Bổ đề 2.1.6, ta suy B t+1 ∈ C Do ta chứng minh B j ∈ C với j ≥ Bây B n ∈ C HomR (Kn (x), M ) ∈ C , nên C n ∈ C theo Bổ đề 2.1.6 Do (0 :C n a) ∼ = HomR (R/a, C n ) = Ext0R (R/a, C n ) a−minimax Vì H n (x1 , , xn ; M ) a-minimax theo Bổ đề 2.1.6 (lưu ý H n (x1 , , xn ; M ) ⊆ (0 :C n a)) Mặt khác, M/aM = H n (x1 , , xn ; M ), nên ta suy M/aM R-môđun a-minimax Tiếp theo ta nhắc lại khái niệm môđun cominimax iđêan định nghĩa R Naghipour đồng nghiệp báo [1], tổng qt hóa mơđun minimax môđun cofinite Định nghĩa 2.1.10 Cho a iđêan vành giao hoán Noether R, 17 cho M R-mơđun Ta nói M R-mơđun a-cominimax SuppR M ⊆ V (a) ExtiR (R/a, M ) a-minimax với i ≥ Chú ý 2.1.11 Nếu dim R = 0, R-mơđun a-cominimax M aminimax Thật vậy, Supp M ⊆ V (a) R Artin, nên ta suy M = (0 :M an ), M a-minimax theo Bổ đề 2.1.7 Trường hợp tổng quát, ta có kết sau Hệ 2.1.12 Cho M R-mơđun a-cominimax Khi M/an M a-minimax với n ≥ Chứng minh Khẳng định suy từ định nghĩa Định lý 2.1.9 Hệ 2.1.13 Cho a iđêan R, M R-môđun cho Hai (M ) a-cominimax với i Khi M/an M a-minimax với n ≥ Chứng minh Vì Hai (M ) a-cominimax với i, nên theo [1, Mệnh đề 3.7] ta có R-mơđun ExtiR (R/a, M ) a-minimax với mọii Do kết hệ suy từ áp dụng Định lý 2.1.9 2.2 Tính chất a-minimax mơđun Ext Tor Như áp dụng hiệu Định lý 2.1.9 mục trước, mục ta chứng minh kết tương đương tính chất a-minimax i R-môđun ExtiR (R/a, M ), TorR i (R/a, M ) H (x1 , , xt ; M ), với i ≥ 0; cụ thể định lý sau Định lý 2.2.1 Cho a = (x1 , , xt ) iđêan R, cho M R-mơđun Khi khẳng định sau tương đương: i) ExtiR (R/a, M ) R-môđun a-minimax với i ≥ 18 ii) TorR i (R/a, M ) R-môđun a-minimax với i ≥ iii) Các môđun đối đồng điều Koszul H i (x1 , , xt ; M ) R-môđun a-minimax với i ≥ Chứng minh (i)⇒(ii) Cho d d d F• : − → F2 − → F1 − → F0 → R/a → dải tự gồm R-môđun hữu hạn sinh cho R-môđun R/a Ta xét phức sau đây: d∗ d∗ d∗ d∗ F• ⊗R M : − → F2 ⊗R M − → F1 ⊗R M − → F0 ⊗R M − → ∗ ∼ Khi TorR i (R/a) = Zi /Bi Zi = Ker(di ) mơđun xích, Bi = Im(d∗i+1 ) mơđun bờ phức F• ⊗R M Đặt C = {N | ExtiR (R/a, N ) a − minimax với i ≥ 0} Bằng quy nạp ta chứng minh Zj ∈ C với j ≥ Vì M ∈ C (theo giả thiết) F0 R-môđun tự hữu hạn sinh, nên ta có Z0 = F0 ⊗R M ∈ C Bây giả sử Zt ∈ C với t ≥ Xét dãy khớp sau → Ci+1 → Zi → TorR i (R/a) → 0, (2.1) Ci = (Fi ⊗R M )/Zi Do ta nhận dãy khớp Zi /aZi → TorR i (R/a, M ) → Do TorR t (R/a, M ) ảnh đồng cấu Zt /aZt Vì Zt ∈ C , nên từ Định lý 2.1.9 ta suy Zt /aZt a-minimax, TorR t (R/a, M ) a-minimax Do từ (2.1) ta suy Ct+1 ∈ C , Ct+1 ∈ C Theo quy nạp ta chứng minh Zj ∈ C với j ≥ Từ áp dụng Định lý 2.1.9 ta suy Zi /aZi a-minimax với i ≥ 0, TorR i (R/a, M ) a-minimax với i ≥ 19 (ii)⇒(iii) Vì H i (x1 , , xt ; M ) Hn−i (x1 , , xt ; M ), nên để chứng minh kết (iii), ta cần Hi (x1 , , xt ; M ) a-minimax với i ≥ Đặt x = x1 , , xn Xét dãy phức Koszul d dn−1 dn−1 d d n K• (x) : → Kn (x) −→ Kn−1 (x) −−→ −−→ K1 (x) − → K0 (x) − → Khi Hi (x1 , , xt ; M ) = Zi /Bi , với Bi Zi mơđun bờ xích phức K• (x) ⊗R M Đặt C = {N | ToriR (R/a, N ) a-minimax với i ≥ 0} Xét dãy khớp sau → Ci+1 → Zi → Hi (x1 , , xt ; M ) → 0, với Ci = (Ki (x) ⊗R M )/Zi Do ta nhận dãy khớp Zi /aZi → Hi (x1 , , xt ; M ) → Bây lập luận tương tự chứng minh (i)⇒(ii), ta suy Zi ∈ C với i ≥ Do Zi /aZi = TorR (R/a, Zi ) a-minimax với i ≥ 0, Hi (x1 , , xt ; M ) a-minimax với i ≥ (iii)⇒(i) Cho F• : → F2 → F1 → F0 → R/a → dải tự gồm R-môđun hữu hạn sinh cho R-mơđun R/a Khi ta suy ExtiR (R/a, M ) = Z i /B i , với B i Z i môđun đối bờ đối xích phức HomR (F• , M ) Đặt C = {N | H i (x1 , , xt ; N ) a-minimax với i ≥ 0} Xét dãy khớp ngắn → ExtiR (R/a, M ) → C i → B i+1 → 0, 20 với C i = HomR (Fi , M )/B i Thì theo chứng minh Định lý 2.1.9, ta có B i ∈ C với i ≥ Do C i ∈ C với i ≥ Bây giờ, ExtiR (R/a, M ) ⊆ (0 :C i a) ∼ = H (x1 , , xt ; C i ) = HomR (R/a, C i ) ∼ H (x1 , , xt ; C i ) a-minimax, nên ta thấy ExtiR (R/a, M ) aminimax với i ≥ Định lý sau mở rộng Định lý 2.1.9 Định lý 2.2.2 Cho M R-môđun cho ExtiR (R/a, M ) Rmôđun a-minimax với i ≥ Khi với R-mơđun hữu hạn sinh L có SuppR (L) ⊆ V (a), ta ln có ExtiR (L, M ) TorR i (L, M ) R-môđun a-minimax với i ≥ Chứng minh Vì V (AnnR L) ⊆ V (a), nên √ AnnR L ⊇ √ a ⊇ a; tồn n ∈ N cho aL = Do an ExtiR (L, M ) = an TorR i (L, M ) = với i ≥ Cho F• : → F → F → F → L → giải tự gồm R-mơđun hữu hạn sinh cho R-mơđun L Khi ExtiR (L, M ) = Z i /B i , với B i Z i mơđun đối bờ đối xích phức HomR (F• , M ) Đặt C = {N | ExtiR (R/a, N ) a-minimax với i ≥ 0}, xét dãy khớp ngắn → ExtiR (L, M ) → C i → B i+1 → 0, với C i = HomR (Fi , M )/B i Khi theo chứng minh Định lý 2.1.9 Bổ đề 2.1.7, ta có B i ∈ C với i ≥ (Chú ý ExtiR (L, M ) ⊆ (0 :C i an )) Do C i ∈ C với i ≥ Vì (0 :C i a) a-minimax với i ≥ 0, 21 từ kết hợp với Bổ đề 2.1.7 ta suy (0 :C i an ) a-minimax với i ≥ n ≥ Bây ExtiR (L, M ) ⊆ (0 :C i an ), suy ExtiR (L, M ) a-minimax với i ≥ Ta có TorR i (L, M ) = Zi /Bi , với Bi Zi môđun bờ xích phức F• ⊗R M Đặt C = {N | TorR i (R/a, N ) a-minimax với i ≥ 0} Theo Định lý 2.2.1 giả thiết, ta có M ∈ C Xét dãy khớp sau → Ci+1 → Zi → TorR i (L, M ) → 0, với Ci = (Fi ⊗R M/Zi ) Vì an TorR i (L, M ) = với i ≥ 0, nên ta có dãy khớp Zi /an Zi → TorR i (L, M ) → Bây giờ, ta sử dụng lập luận chứng minh Định lý 2.2.1 phần ((i)⇒(ii)) áp dụng Bổ đề 2.1.8, ta thu Zi ∈ C với i ≥ Do đó, từ Bổ đề 2.1.8, ta có Zi /an Zi a-minimax với i ≥ 0, TorR i (L, M ) a-minimax với i ≥ 2.3 Nguyên lý đổi vành sở cho tính chất a-minimax Mục trình bày nguyên lý thay đổi vành sở tính chất a-cominimax, trước hết ta cần thiết lập bổ đề sau Bổ đề 2.3.1 Cho vành giao hoán T ảnh đồng cấu R, cho M T -môđun Khi GdimaT M = Gdima M Đặc biệt, M T -môđun aT -minimax M R-môđun a-minimax 22 Chứng minh Giả sử T = R/I với iđêan I R Khi AssT M ∩ V (aT ) = {p/I | p ∈ AssR M ∩ V (a)} Mặt khác, với p ∈ AssR M ∩ V (a) ta có HomTp (k(p), Mp ) ∼ = HomRp (k(p), Mp ) k(p)-không gian véc tơ, p = p/I k(p) = Rp /pRp Do µ0 (p, M ) = µ0 (p/I, M ) điều hoàn thành chứng minh Bây ta sẵn sàng để phát biểu chứng minh nguyên lý chuyển vành sở cho tính chất cominimax môđun Định lý 2.3.2 Cho vành T ảnh đồng cấu R, cho M T -mơđun Khi M T -môđun aT -cominimax M R-môđun a-cominimax Chứng minh Giả sử T = R/I với iđêan I R Khi ta có SuppT M = {p/I | p ∈ SuppR M } Do SuppT M ⊆ V (aT ) SuppR M ⊆ V (a) Cho a = (x1 , , xt ) lấy ϕ : R → T toàn cấu tự nhiên Vì aT = (ϕ(x1 ), , ϕ(xt )), nên từ Định lý 2.2.1 ta suy ExtiT (T /aT, M ) T -môđun aT -minimax với i môđun đối đồng điều Koszul H i (ϕ(x1 ), , ϕ(xt ); M ) T -môđun aT -minimax với i Nhưng, theo Bổ đề 2.3.1, ta có H i (ϕ(x1 ), , ϕ(xt ); M ) aT -minimax H i (ϕ(x1 ), , ϕ(xt ); M ) a-minimax Bây kết suy từ đẳng cấu H i (ϕ(x1 ), , ϕ(xt ); M ) ∼ = H i (x1 , , xt ; M ) Định lý 2.2.1 23 Định lý 2.3.3 Cho f : M → N R-đồng cấu cho ExtiR (R/a, Ker f ) ExtiR (R/a, Coker f ) R-môđun a-minimax với i ≥ Khi Ker ExtiR (idR/a , f ) Coker ExtiR (idR/a , f ) R-môđun a-minimax với i ≥ Chứng minh Các dãy khớp g ι → Ker f → M → − Im f → → Im f → − → N → Coker f → 0, (với ι ◦ g = f ) cho ta hai dãy khớp sau → ExtiR (R/a, Ker f ) → ExtiR (R/a, M ) → ExtiR (R/a, Im f ) → (2.2) → ExtiR (R/a, Im f ) → ExtiR (R/a, N ) → ExtiR (R/a, Coker f ) → (2.3) Bây Exti+1 R (R/a, Ker f ) a-minimax, nên từ dãy khớp (2.2) ta suy Coker ExtiR (idR/a , g) Ker Exti+1 R (id R/a, g) a-minimax với i ≥ Ngoài ra, ExtiR (R/a, Coker f ) a-minimax, nên từ dãy khớp (2.3) ta suy R-môđun Coker ExtiR (idR/a , ι) Ker Exti+1 R (idR/a , ι) a-minimax với i ≥ Bây điều khẳng định định lý suy từ dãy khớp sau → Ker ExtiR (idR/a , g) → Ker ExtiR (idR/a , f ) → Ker ExtiR (idR/a , ι) Coker ExtiR (idR/a , g) → Coker ExtiR (idR/a , f ) → Coker ExtiR (idR/a , ι) → 24 Hệ 2.3.4 Cho M R-môđun với SuppR M ⊆ V (a) Giả sử x ∈ a cho (0 :M x) M/xM a-cominimax Khi M a-cominimax Chứng minh Đặt f = x1M Thì Ker f = (0 :M x) Coker f = M/xM Do theo Định lý 2.3.3, ta có R-môđun Ker ExtiR (1R/a , f ) a-minimax Bây giờ, ExtiR (1R/a , f ) = nên ta có Ker ExtiR (1R/a , f ) = ExtiR (R/a, M ) Hệ chứng minh Hệ 2.3.5 Cho M R-môđun Giả sử x ∈ √ a cho (0 :M x) M/xM a-minimax Khi ExtiR (R/a, ΓRx (M )) a-minimax với i ≥ Chứng minh Ta có xn ∈ a với số n Đặt f = xn 1ΓRx (M ) Khi ta có Ker f = (0 :ΓRx (M ) xn ) = (0 :M xn ), Coker f = Γx (M )/xn Γx (M ) Bây giờ, từ dãy khớp → Coker f → M/xn M, Bổ đề 2.1.8 ta suy M/xn M a-minimax Do vậy, Coker f a-minimax Vì theo [1, Hệ 2.5] Định lý 2.3.3, ta thu √ Ker ExtiR (1R/a , f ) a-minimax Nhưng x ∈ a kéo theo ExtiR (1R/a , f ) = 0, nên Ker ExtiR (1R/a , f ) = ExtiR (R/a, ΓRx (M )), chứng minh hoàn thành Hệ 2.3.6 Cho M R-mơđun có SuppR M ⊆ V (a) Giả sử x ∈ cho (0 :M x) M/xM a-minimax Khi M a-cominimax 25 √ a Chứng minh Kết suy từ Hệ 2.3.5 Trước làm rõ kết tiếp theo, ta cần nhắc lại rằng, với Rmôđun M , chiều đối đồng điều M iđêean a định nghĩa cd(a, M ) = sup{i ∈ Z | Hai (M ) = 0} Bổ đề 2.3.7 Cho cd(a, R) = 1, cho M R-môđun a-minimax Khi Hai (M ) a-cominimax với i ≥ Chứng minh Vì Ha0 (M ) môđun M , nên ta suy Ha0 (M ) acominimax Ngồi ra, cd(a, R) = kéo theo Hai (M ) = với i > Do đó, kết suy từ [1, Hệ 3.9] Bổ đề 2.3.8 Cho b iđêan R với b ⊇ a, cd(b, R) = 1, cho M R-môđun với Γa (M ) = Khi       Hb1 (M ) j = 0, i = j Hb (Hai (M )) ∼ =      trường hợp lại Chứng minh Khẳng định suy từ chứng minh [5, Mệnh đề 3.15] Hệ 2.3.9 Cho b iđêan R với b ⊇ a, cd(b, R) = 1, M R-môđun b-minimax Khi Hbj (Hai (M )) b-cominimax với i ≥ j ≥ Chứng minh Vì cd(b, R) = 1, nên từ Bổ đề 2.3.7 ta có Hbj (Γa (M )) bcominimax với j ≥ Bây cho i > Vì Hai (M ) ∼ = Hai (M/Γa (M )), nên ta giả sử Γa (M ) = Vì thế, kết suy từ Bổ đề 2.3.7 2.3.8 26 Hệ 2.3.10 Cho b iđêan R với b ⊇ a, cd(b, R) = 1, M R-mơđun b-minimax Khi với R-môđun hữu hạn sinh L với SuppR L ⊆ V (b), ta có R-mơđun ExtjR (L, Hai (M )) b-minimax với i ≥ j ≥ Đặc biệt là, R-môđun Hai (M )/bn Hai (M ) b-minimax với i ≥ n ≥ Chứng minh Từ Hệ 2.3.9, ta có Hbj (Hai (M )) b-cominimax với i ≥ j ≥ Do từ [1, Mệnh đề 3.7] ta suy ExtjR (R/b, Hai (M )) b-minimax với i ≥ j ≥ Do đó, kết suy từ Định lý 2.2.1 2.1.9 27 Kết luận Luận văn trình bày chứng minh chi tiết kết sau đây: Nhắc lại kiến thức có liên quan đến luận văn: Mơđun Nother, môđun Artin, tập giá, tập iđêan nguyên tố liên kết, môđun nội xạ, môđun xạ ảnh, môđun Ext, môđun Tor, môđun đối đồng điều địa phương, phức Koszul Chứng minh được: Nếu a iđêan vành giao hốn Noether R M mơđun a-cominimax R, R-mơđun M/aM a-minimax với n ∈ N Chứng minh được: Cho a = (x1 , , xt ) iđêan R, cho M R-mơđun Khi khẳng định sau tương đương: • i) ExtiR (R/a, M ) R-môđun a-minimax với i ≥ • ii) TorRi (R/a, M ) R-mơđun a-minimax với i ≥ • iii) Các môđun đối đồng điều Koszul H i (x1 , , xt ; M ) R-môđun aminimax với i ≥ Chứng minh được: Cho f : M → N R-đồng cấu cho ExtiR (R/a, Ker f ) ExtiR (R/a, Coker f ) R-môđun a-minimax với i ≥ Khi Ker ExtiR (idR/a , f ) Coker ExtiR (idR/a , f ) R-môđun a-minimax với i ≥ 28 Tài liệu tham khảo [1] Azami J., Naghipour R and Vakili B (2009), "Finiteness properties of local cohomology modules for a - minimax modules", Proc Amer Math Soc 137, 439-448 [2] Brodman M P and Sharp R Y (1998), Local cohomology ; an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press [3] K Divaani-Aazar and M A Esmkhani (2005), "Artinianness of local cohomology modules of ZD-modules", Comm Algebra, 33(8) (2005), 2857-2863 [4] Grothendieck A (1967), Local cohomology, Lecture Notes in Mathematics, Springer, Berlin [5] Melkersson L (2005), "Modules cofinite with respect to an ideal", J Algebra, 285, 649-668 [6] Zoăschinger H (1986), "Minimax modules", J Algebra, 102,1-32 [7] Zoăschinger H (1988), "Uber die Maximalbedingung fur radikalvolle Untermoduln", Hokkaido Math J., 17(1), 101-116 [8] Abazari R and Bahmanour K (2011), "Cofiniteness of extension functors of cofinite modules", J Algebra 330, 507-516 [9] H Matsumura (1986), Commutative ring theory, Cambridge University Press [10] M Sedghi and L Abdi (2015), "Minimaxness properties of extension functors of local cohomology modules”, Inter Electronic J of Albegra, Vol 17, 94-104 29 [11] S Goto, “Introduction to homological methods in commutative algebra”, The note for the lectures at Thai Nguyen Uni from March 17 till March 19, 2016 [12] W Bruns and J Herzog, “Cohen-Macaulay Rings”, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Vol 39, Cambridge Univ Press, Cambridge, UK, 1998 30 ... chúng môđun đối bờ thứ i mơđun đối xích thứ i đối phức T Môđun H i = Z i /B i gọi môđun đối đồng điều thứ i phức T 11 Chương Tính chất minimax cho mơđun mở rộng môđun đối đồng điều địa phương. .. Tor, môđun đối đồng điều địa phương, phức Koszul Chương dành để trình bày kết luận văn tính chất minimax cho môđun mở rộng môđun đối đồng điều địa phương Cụ thể, Mục 2.1 trình bày số khái niệm minimax, ... Môđun Ext môđun Tor 1.4 Môđun đối đồng điều địa phương 1.5 Phức Koszul, đồng điều đối đồng điều Koszul 10 Chương Tính chất minimax cho môđun mở