Về linh hóa tử của môđun đối đồng điều địa phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ ÁNH HẰNG VỀ LINH HĨA TỬ CỦA MƠĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ ÁNH HẰNG VỀ LINH HĨA TỬ CỦA MƠĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Chun ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS PHẠM HÙNG QUÝ THÁI NGUYÊN - 2015 Mục lục MỞ ĐẦU Chương Môđun đối đồng điều địa phương cấp cao 1.1 Môđun đối đồng điều địa phương 1.2 Chiều đối đồng điều 1.3 Linh hóa tử 11 Chương Môđun đối đồng điều địa phương giá cực đại 18 2.1 Vành catenary catenary phổ dụng 18 2.2 Tính bão hịa ngun tố tập giả giá 19 2.3 Linh hóa tử 26 2.4 Linh hóa tử qua địa phương hóa đầy đủ hóa 29 KẾT LUẬN 34 Tài liệu tham khảo 34 i MỞ ĐẦU Lý thuyết đối đồng điều địa phương giới thiệu A Grothendieck vào năm 1960, sau quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học giới R Hartshorne, M Brodmann, J Rotman, C Huneke Lý thuyết đối đồng điều địa phương có ứng dụng to lớn nhiều lĩnh vực toán học Ngày trở thành cơng cụ khơng thể thiếu Đại số giao hốn, Hình học Giải tích, Hình học Đại số Trong nhiều ứng dụng môđun đối đồng điều địa phương, kết linh hóa tử mơđun chìa khóa cho việc chứng minh (xem [1], [3], [8], ) Năm 2014 báo đăng tạp chí Arch Math (xem [1]) tác giả A Atazadeh, M Sedghi R Naghipour trình bày kết nghiên cứu linh hóa tử mơđun đối đồng điều địa phương cấp cao với giá vành giao hoán Noether Kết mở rộng kết L.R Lynch năm 2012 (xem [12]) Mục đích thứ luận văn trình bày lại kết cách chi tiết Đối với mơđun đối đồng điều địa phương cấp bất kì, năm 2012 báo đăng tạp chí J Algebra (xem [3]), tác giả K Bahmanpour, J A’zami and G Ghasemi đưa cơng thức tính linh hóa tử mơđun đối đồng điều địa phương cấp với giá cực đại vành đầy đủ Mục đích thứ hai luận văn mở rộng kết đồng thời nghiên cứu giả thiết yếu vành Một số ví dụ đưa để chứng tỏ giả thiết vành định lý khơng thể bỏ Nghiên cứu linh hóa tử mơđun đối đồng điều địa phương chuyển qua địa phương hóa đầy đủ hóa mục đích luận văn Chúng đạt số kết trường hợp vành đặc biệt Các kết chúng tơi trình bày báo (xem [16]) Luận văn bố cục làm chương Chương 1, trước trình bày kết linh hóa tử mơđun đối đồng điều địa phương cấp cao với giá vành giao hoán, Noether theo báo [1] tác giả A Atazadeh, M Sedghi R Naghipour chúng tơi trình bày số kết mơđun đối đồng điều địa phương, chiều đối đồng điều Mục thứ thứ hai Chương kiến thức chuẩn bị vành catenary, catenary phổ dụng, vành có thớ hình thức Cohen-Macaulay, tập giả giá tính bão hịa ngun tố mơđun đối đồng điều địa phương Mục thứ ba thứ tư kết trình bày linh hóa tử môđun đối đồng điều địa phương liên hệ với tập giả giá linh hóa tử mơđun đối đồng điều địa phương chuyển qua địa phương hóa đầy đủ hóa Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình TS Phạm Hùng Q Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới cô giáo PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn Cô truyền cảm hứng từ học, buổi seminar chuyên môn, cô đặt nhiều vấn đề nghiên cứu cho luận văn giúp tơi tiếp thu thêm nhiều kiến thức bổ ích Cuối xin cảm ơn người thân, bạn bè cổ vũ động viên tơi để tơi hồn thành luận văn khóa học Chương Môđun đối đồng điều địa phương cấp cao Trong chương ta quy ước R vành giao hốn có đơn vị, M R-môđun a iđêan R 1.1 Môđun đối đồng điều địa phương Mục đích tiết nhắc lại khái niệm môđun đối đồng điều địa phương số kết tính triệt tiêu, tính Artin mơđun Các thuật ngữ tham khảo sách [7] M Brodman R.Y Sharp Định nghĩa 1.1.1 Cho a iđêan R M, N R-môđun Đặt Γa (M ) = (0 :M an ) Vì (0 :M a) ⊆ (0 :M a2 ) ⊆ dãy tăng n≥0 môđun M nên Γa (M ) môđun M Cho f : M −→ N đồng cấu R-mơđun Lấy x ∈ Γa (M ), tồn t ∈ N cho x ∈ (0 :M at ), tức at x = Vì = f (at x) = at f (x) Suy f (x) ∈ Γa (N ) Vậy ta có đồng cấu f ∗ : Γa (M ) −→ Γa (N ) cho f ∗ (x) = f (x) Đặt Γa (f ) = f ∗ Khi Γa (−) hàm tử hiệp biến, khớp trái từ phạm trù R-mơđun đến Γa (−) gọi hàm tử a-xoắn Môđun dẫn xuất phải thứ i hàm tử a-xoắn Γa (−) ứng với M gọi môđun đối đồng điều thứ i M với giá a, kí hiệu Hai (M ) Cụ thể, d α d 0→M → − E0 − → E1 − → E2 → giải nội xạ M , tác động hàm tử Γa (−) ta có đối phức d∗ d∗ → Γa (E0 ) − → Γa (E1 ) − → Γa (E2 ) → Khi Hai (M ) = Ker d∗i / Im d∗i−1 với i ≥ 0, môđun không phụ thuộc vào việc chọn giải nội xạ M Sau số tính chất sở mơđun đối đồng điều địa phương Mệnh đề 1.1.2 Các phát biểu sau (i) H (M ) ∼ = Γa (M ) a (ii)Nếu M nội xạ Hai (M ) = với i ≥ (iii) Hai (M ) môđun a-xoắn với i (iv) M a-xoắn Hai (M ) = với i > Đặc biệt với R-mơđun M , ta có Haj (Hai (M )) = với i ≥ với j ≥ (v) Cho → M → M → M → dãy khớp ngắn R-môđun Khi với i ∈ N, tồn đồng cấu δi : Hai (M ) → Hai+1 (M ) cho ta có dãy khớp dài δ 0 → Γa (M ) → Γa (M ) → Γa (M ) − → Ha1 (M ) δ → Ha1 (M ) → Ha1 (M ) − → Ha2 (M ) → Đồng cấu δi gọi đồng cấu nối thứ i (vi) Cho r ∈ R Khi r ∈ AnnR M r ∈ AnnR Hai (M ) với i Ví dụ 1.1.3 Cho R vành, a iđêan R Với iđêan nguyên tố p R Ta có Haj (ER (R/p)) = với j ≥ Ha0 (ER (R/p)) = ER (R/p), a ⊆ p, 0, a ⊆ p Định lý sau gọi Định lí chuyển phẳng Định lý 1.1.4 ([7],4.3.2) Cho R, R vành Noether, ánh xạ f : R −→ R đồng cấu phẳng, gọi aR iđêan mở rộng a R Khi đó, với i ∈ N0 tồn đẳng cấu tự nhiên Hai (M ) ⊗R R ∼ = HaiR (M ⊗R R ), R -môđun Nhận xét 1.1.5 (i) Xét S tập đóng nhân R, đồng cấu tự nhiên R −→ RS phẳng nên có đẳng cấu RS -môđun (Hai (M ))S ∼ = HaiRS (MS ) (nói ngắn gọn là: đối đồng điều địa phương giao hốn với địa phương hóa) Đặc biệt, với p ∈ Spec(R), ta có đẳng cấu Rp -mơđun (Hai (M ))p ∼ = HaiRp (Mp ) (ii) Xét (R, m) vành Noether địa phương, gọi R M đầy đủ theo tôpô m-adic R M Vì f : (R, m) −→ (R, m) hồn tồn phẳng nên ta có đẳng cấu R-mơđun (Hai (M )) ⊗R R ∼ = Hai (M ) Hơn nữa, f cịn hồn tồn phẳng nên cịn có Hai (M ) = Hai (M ) = Hai (M ) R-môđun hữu hạn sinh Hai (M ) R−mơđun hữu hạn sinh Tính Artin môđun đối đồng điều địa phương thể mệnh đề sau Mệnh đề 1.1.6 ([7], 7.1.3, 7.1.6) Cho (R, m) vành Noether địa phương, M hữu hạn sinh chiều d Khi (i) Hmi (M ) Artin với số nguyên i ≥ (ii) Had (M ) Artin với iđêan a R Để biết thông tin nhiều môđun đối đồng điều địa phương ta cần biết khái niệm tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương cấp cao Trước hết ta nhắc lại số khái niệm kết biểu diễn thứ cấp môđun Định nghĩa 1.1.7 (i) Một R-môđun N gọi thứ cấp N = với x ∈ R, phép nhân x N toàn cấu lũy linh Trong trường hợp này, Rad(AnnR N ) iđêan nguyên tố, chẳng hạn p, ta gọi N p-thứ cấp (ii) Cho N R-môđun Một biểu diễn thứ cấp N phân tích N = N1 + + Nn thành tổng hữu hạn môđun pi -thứ cấp Ni Nếu N = N có biểu diễn thứ cấp ta nói N biểu diễn Biểu diễn thứ cấp gọi tối thiểu iđêan nguyên tố pi đôi khác khơng có hạng tử Ni thừa, với i = 1, , n Dễ thấy N1 , N2 môđun p-thứ cấp N N1 + N2 mơđun p-thứ cấp N Vì biểu diễn thứ cấp N đưa dạng tối thiểu cách ghép chung thành phần thứ cấp ứng với iđêan nguyên tố bỏ thành phần thừa Tập hợp {p1 , , pn } độc lập với việc chọn biểu diễn thứ cấp tối thiểu N gọi tập iđêan nguyên tố gắn kết N , kí hiệu AttR N Các hạng tử Ni , i = 1, , n, gọi thành phần thứ cấp N Nếu pi tối thiểu tập AttR N pi gọi iđêan nguyên tố gắn kết cô lập N Ni gọi thành phần thứ cấp cô lập N Ví dụ 1.1.8 (i) Cho R miền ngun Khi trường thương R R-mơđun 0-thứ cấp (ii) Q Q/Z Z-môđun 0-thứ cấp (ii) Cho p số nguyên tố, n số tự nhiên Ta có Z/pn Z Z-môđun pZ-thứ cấp Mệnh đề 1.1.9 Cho R vành Noether, N R-môđun biểu diễn Khi khẳng định sau (i) Tập iđêan nguyên tố tối thiểu R chứa AnnR N tập phần tử tối thiểu AttR N (ii) AttR N = ∅ N = Định lý sau cho ta lớp môđun biểu diễn Định lý 1.1.10 Mọi môđun Artin biểu diễn Cho (R, m) vành Noether địa phương, A R-môđun Artin Khi A có cấu trúc tự nhiên R-mơđun Với cấu trúc này, môđun A xét R-mơđun mơđun A xét R-mơđun Do A R-mơđun Artin ta có mối liên hệ tập iđêan nguyên tố gắn kết sau Bổ đề 1.1.11 ( [7], 11.3.7) Cho (R, m) vành Noether địa phương, A R-mơđun Artin Khi AttR (A) = {p ∩ R | p ∈ AttR (A)} Kết sau đây, gọi tính chất dịch chuyển địa phương yếu Định lý 1.1.12 ( [7], 11.3.2) Cho (R, m) vành Noether địa phương Giả sử M = p ∈ SuppR (M ) cho dim R/p = t Giả sử i số nguyên q iđêan nguyên tố R cho q ⊆ p qRp ∈ AttRp (HpiRp (Mp )) Khi q ∈ AttR (Hmi+t (M )) Từ Định lý 1.1.12 ta có hệ sau Hệ 1.1.13 Cho (R, m) vành Noether địa phương Giả sử M = p ∈ AssR M với dim R/p = t Khi Hmt (M ) = p ∈ AttR Hmt (M ) Theo Mệnh đề 1.1.6, môđun đối đồng điều địa phương cấp cao với giá cực đại Artin, có biểu diễn thứ cấp Tập iđêan nguyên tố gắn kết Hmd (M ) cho công thức sau Mệnh đề 2.2.4 Các điều kiện sau tương đương: (i) A bão hòa nguyên tố (ii) Var(AnnR A) = {P ∩ R : P ∈ Var(AnnR A)} Chứng minh (i) ⇒ (ii) Cho P ∈ Var(AnnR A) Khi tồn iđêan nguyên tố Q ∈ Var(AnnR A) cho P ⊇ Q Theo Bổ đề 1.1.9, iđêan nguyên tố tối thiểu chứa AnnR A iđêan nguyên tố gắn kết R-môđun Artin A, Q ∈ AttR A Theo Bổ đề 1.1.11, AttR A = {P ∩ R : P ∈ AttR A} Vì Q ∩ R ∈ AttR A Suy Q ∩ R ∈ Var(AnnR A) ta suy P ∩ R ∈ Var(AnnR A) Do Var(AnnR A) ⊇ {P ∩ R : P ∈ Var(AnnR A)} Ngược lại, cho p ∈ Var(AnnR A) Theo giả thiết (i), A bão hòa nguyên tố nên AnnR (0 :A p) = p Rõ ràng iđêan nguyên tố chứa AnnR (0 :A p) phải chứa p, p iđêan bé chứa AnnR (0 :A p) Theo Bổ đề 1.1.9 ta suy p ∈ AttR (0 :A p) Lại AttR (0 :A p) = {P ∩ R : P ∈ AttR (0 :A p)} nên tồn iđêan nguyên tố P ∈ AttR (0 :A p) cho P ∩ R = p Vì P ∈ AttR (0 :A p) nên P ⊇ AnnR (0 :A p) Vì P ∈ Var(AnnR A) P ∩ R = p, tức Var(AnnR A) ⊆ {P ∩ R : P ∈ Var(AnnR A)} (ii) ⇒ (i) Cho p ∈ Var(AnnR A) Theo giả thiết (ii), tồn iđêan nguyên tố P ∈ Var(AnnR A) cho P ∩ R = p Do tính bão hịa ngun tố ln thỏa mãn môđun Artin vành đầy đủ R nên ta có AnnR (0 :A P ) = P Lại pR ⊆ P nên ta có p ⊆ AnnR (0 :A p) = AnnR (0 :A pR) ⊆ AnnR (0 :A P ) ∩ R = P ∩ R = p Suy AnnR (0 :A p) = p 22 Tiếp theo xét mối quan hệ tính bão hịa ngun tố mơđun Artin với chiều Noether Định nghĩa 2.2.5 Chiều Noether A, kí hiệu N-dimR A định nghĩa quy nạp sau: Khi A = 0, ta đặt N-dimR A = −1 Cho d > 0, d ∈ N Đặt N-dimR A = d N-dimR A < d sai với dãy tăng môđun A0 ⊆ A1 ⊆ A, tồn số tự nhiên n0 cho N-dimR (An /An−1 ) < d với n > n0 Từ định nghĩa chiều Noether ta thấy N-dimR A = A = R (A) < ∞ Hơn nữa, −→ A −→ A −→ A −→ dãy khớp R-mơđun Artin N-dimR A = max{N-dimR A , N-dimR A } Kí hiệu dimR A = dim(R/ AnnR A) Khi N-dimR A = dimR A = 0, A = có độ dài hữu hạn, R/ AnnR A vành Artin Trường hợp tổng quát ta có N-dimR A ≤ dimR A Hơn nữa, với môđun Artin A = Hm1 (R) Ví dụ 2.2.2 ta có dimR A = > = N-dimR A Mệnh đề sau tính bão hịa ngun tố đủ để đẳng thức chiều xảy Mệnh đề 2.2.6 (xem [10]) Các phát biểu sau (i) N-dimR A ≤ dimR A (ii) Nếu A bão hòa nguyên tố N-dimR A = dimR A Nhắc lại A có cấu trúc tự nhiên R-mơđun Artin dãy môđun A xét R-mơđun xét R-mơđun Vì từ định nghĩa chiều Noether ta có N-dimR A = N-dimR A Ta biết tính bão hịa ngun tố cho R-môđun nên theo Mệnh đề 2.2.6 ta có N-dimR A = dim(R/ AnnR A) Vì theo Bổ đề 1.1.9 ta có dim(R/ AnnR A) = max{dim(R/P ) : P ∈ AttR A} 23 Tương tự ta có dimR A = max{dim(R/p) : p ∈ AttR A} Do ta có quan hệ sau đây: Hệ 2.2.7 Chiều Noether A xác định N-dimR A = N-dimR A = dim(R/ AnnR A) = max{dim(R/P ) : P ∈ AttR A} ≤ dim(R/ AnnR A) = max{dim(R/p) : p ∈ AttR A} Khái niệm giả giá giới thiệu M Brodmann R Y Sharp đưa [6] công cụ hữu hiệu việc nghiên cứu môđun đối đồng điều địa phương Định nghĩa 2.2.8 Cho i ≥ số nguyên Giả giá thứ i (pseudosupport) M , kí hiệu PsuppiR M, cho công thức i−dim R/p PsuppiR (M ) = {p ∈ Spec R : HpRp (Mp ) = 0} Trước hết ta có mối liên hệ tập giả giá PsuppiR M tập Var AnnR (Hmi (M )) Bổ đề 2.2.9 Giả sử i ≥ số nguyên Khi PsuppiR M ⊆ Var AnnR (Hmi (M )) i−dim(R/p) Chứng minh Lấy p ∈ PsuppiR M Khi HpRp (Mp ) = Điều i−dim(R/p) kéo theo tồn iđêan nguyên tố gắn kết qRp ∈ AttRp HpRp (Mp ) với iđêan nguyên tố q ⊆ p Theo Định lý 1.1.12 ta có q ∈ AttR (Hmi (M )) Do ta có p ⊇ q ⊇ AnnR (Hmi (M )) Vì PsuppiR M ⊆ Var AnnR (Hmi (M )) Định lý 2.2.10 (xem [15]) Giả sử i ≥ số nguyên Khi điều kiện sau tương đương: (i) Hmi (M ) bão hòa nguyên tố; (ii) PsuppiR (M ) = Var(AnnR (Hmi (M ))) 24 Chứng minh (i) ⇒ (ii) Giả sử Hmi (M ) bão hòa nguyên tố, lấy iđêan p ∈ Var(AnnR (Hmi (M ))) Khi AnnR (0 :Hmi (M ) p) = p, điều kéo theo Var(AnnR (0 :Hmi (M ) p)) = {p} Cho q ⊇ AnnR (0 :Hmi (M ) p) Khi q ⊇ p Vì Hmi (M ) bão hịa ngun tố, nên ta có AnnR (0 :(0:H i (M ) p) q) = AnnR ((0 :Hmi (M ) q) = q m Do (0 :Hmi (M ) p) bão hịa ngun tố Vì theo Mệnh đề 2.2.6 Hệ 2.2.7 ta có dim(R/p) = dim(R/ AnnR (0 :Hmi (M ) p)) = N-dimR (0 :Hmi (M ) p) = dim(R/ AnnR (0 :Hmi (M ) p)) = Max{dim(R/P ) : P ∈ AttR (0 :Hmi (M ) p)} Vì tồn P ∈ AttR (0 :Hmi (M ) p) cho dim(R/P ) = dim(R/p) Mà P ∈ Var(AnnR (Hmi (M ))) P ∩ R ⊇ p Lại dim(R/P ) = dim(R/p), nên P iđêan nguyên tố tối thiểu pR Lấy iđêan P1 ∈ Spec R cho P1 ⊇ AnnR (Hmi R (M )) Khi tồn Q ∈ Var(AnnR (Hmi R (M ))) để P1 ⊇ Q Do Q ∈ AttR (Hmi R (M )) Theo Định lý 1.1.12, ta suy i−dim(R/P1 ) QRP1 ∈ AttRP (HP1 RP 1 i−dim(R/P1 ) HP1 RP i−dim(R/P1 ) (MP1 )), từ AttRP (HP1 RP 1 (MP1 )) = ∅, (MP1 ) = 0, nên P1 ∈ PsuppiR (M ) Vì PsuppiR (M ) = Var(AnnR (Hmi R (M ))) Vì Hmi (M ) ∼ = Hmi R (M ) coi R-mơđun, nên ta có PsuppiR (M ) = Var(AnnR (Hmi (M ))) i−dim(R/P ) Do P ∈ PsuppiR (M ) nên HP R P (MP ) = Vì P iđêan tối thiểu pR dim(R/P ) = dim(R/p), theo Định lí 1.1.4 ta có i−dim(R/p) HpRp i−dim(R/P ) i−dim(R/P ) (Mp ) ⊗ RP ∼ (Mp ⊗ RP ) ∼ (MP ) = = HpR = HP R P i−dim(R/p) Suy HpRp P (Mp ) = nên p ∈ PsuppiR (M ) Vì Var(AnnR (Hmi (M ))) ⊆ PsuppiR (M ) 25 (ii) ⇒ (i) Giả sử PsuppiR (M ) = Var(AnnR (Hmi (M ))) Lấy iđêan nguyên tố p cho p ⊇ AnnR (Hmi (M )) Khi ta có p ∈ PsuppiR (M ), suy i−dim(R/p) HpRp (Mp ) = Hơn dim(R/p) = dim(R/pR) nên tồn iđêan P ∈ AssR (R/pR) cho dim(R/P ) = dim(R/p) Do P ∩ R = p P iđêan nguyên tố tối thiểu pR Chú ý ánh xạ cảm sinh Rp −→ RP hoàn toàn phẳng nên theo Định lí 1.1.4 ta có i−dim(R/P ) HP R P i−dim(R/p) (Mp ) ⊗ RP = (MP ) ∼ = HpRp Do P ∈ PsuppiR (M ) = Var(AnnR (Hmi (M ))) Chú ý Hmi (M ) xét R-mơđun Artin nên bão hịa ngun tố Do AnnR (0 :Hmi (M ) P ) = P Vì p ⊆ AnnR (0 :Hmi (M ) p) ⊆ AnnR (0 :Hmi (M ) P ) ∩ R = P ∩ R = p Suy AnnR (0 :Hmi (M ) p) = p Vậy Hmi (M ) bão hòa nguyên tố Mệnh đề 2.2.11 ([6], Mệnh đề 2.5) Giả sử (R, m) vành địa phương Nếu R catenary phổ dụng thớ hình thức R CohenMacaulay Hmi (M ) bão hòa nguyên tố với i Chứng minh Theo [6], Mệnh đề 2.5 ta có PsuppiR (M ) = Var(AnnR Hmi (M )) Do theo Định lý 2.2.10 ta có điều phải chứng minh 2.3 Linh hóa tử Mục đích tiết trình bày mối quan hệ linh hóa tử Hmi (M ) với tính bão hịa ngun tố Hmi (M ) Kết mở rộng Định lý 2.4 báo [3] Ở với giả thiết R vành đầy đủ, dim M ≥ i ≥ số nguyên, tập i−dim R/p S = {p ∈ Spec(R) : HpRp tác giả [3] khẳng định 26 (Mp ) = 0, dim R/p = 1} (i) Nếu Hmi (M ) khơng hữu hạn sinh Rad(AnnR Hmi (M )) = ∩ p p∈S (ii) Nếu Hmi (M ) khác hữu hạn sinh Rad(AnnR Hmi (M )) = m Dưới định lý thứ chương, kết trình bày báo [16], R đầy đủ k = ta kết biết báo [3] Lưu ý Hmi (M ) không hữu hạn sinh AttR (Hmi (M )) = {m} suy m ∈ AttR (Hmi (M )) Do đặt ci = min{dim R/p | p ∈ Att Hmi (M )} ci ≥ Nội dung định lý sau Định lý 2.3.1 Giả sử i ≥ số nguyên cho Hmi (M ) không hữu hạn sinh Đặt ci = min{dim R/p | p ∈ Att Hmi (M )} Sk = {p ∈ Spec(R) | p ∈ PsuppiR (M ), dim R/p = k} với k ∈ {1, 2, , ci } Khi đó: (i) Rad(AnnR (Hmi (M ))) ⊆ p, với k ∈ {1, 2, , ci } p∈Sk (ii) Nếu Hmi (M ) bão hịa ngun tố với k ∈ {1, 2, , ci } ta có Rad(AnnR (Hmi (M ))) = p p∈Sk Chứng minh (i) Lấy số nguyên k ∈ {1, 2, , ci }, giả sử x phần tử Rad(AnnR (Hmi (M ))) p ∈ Sk Khi tồn n ∈ N cho xn ∈ AnnR (Hmi (M )) Ta có Sk ⊆ PsuppiR (M ) nên theo Mệnh đề 2.2.9 ta có PsuppiR (M ) ⊆ Var(AnnR (Hmi (M ))), suy p ∈ Var(AnnR (Hmi (M ))) Kéo theo xn ∈ p mà p iđêan nguyên tố nên x ∈ p Vậy x ∈ p p∈Sk (ii) Ta cần chứng minh chiều ngược lại bao hàm thức Giả sử tồn x ∈ p∈Sk p x ∈ Rad(AnnR (Hmi (M ))) Khi tồn iđêan nguyên tố q ∈ AttR (Hmi (M )) cho x ∈ q Mặt khác ta có AttR (Hmi (M )) = AnnR (Hmi (M )) suy q ∈ Var(AnnR (Hmi (M ))) 27 Vì q ∈ AttR (Hmi (M )) nên dim R/q ≥ ci ≥ Đặt dim R/q = t, ta có Ass R/q = {q} mà x ∈ q nên x phần tử tham số R/q Khi tồn hệ tham số x1 , x2 , , xt−1 R/ (q + xR) Kéo theo x, x1 , x2 , , xt−1 hệ tham số R/q x1 , x2 , , xt−k phần hệ tham số R/q Suy dim R/ (q + (x1 , x2 , , xt−k )R) = k, tồn p1 ∈ Ass R/ (q + (x1 , x2 , , xt−k )R) cho dim R/p1 = k Khi q ⊆ p1 mà q ∈ Var(AnnR (Hmi (M ))) nên p1 ∈ Var(AnnR (Hmi (M ))) Lại Hmi (M ) bão hòa nguyên tố nên PsuppiR (M ) = Var(AnnR (Hmi (M ))) Điều kéo theo p1 ∈ PsuppiR (M ) Do p1 ∈ Sk kéo theo x ∈ p1 Từ suy p1 ∈ Supp(R/ (q + (x, x1 , x2 , , xt−k )R)) Do ta có ≤ k = dim R/p1 ≤ dim(R/ (q + (x, x1 , x2 , , xt−k )R)) = k − 1, Điều vơ lí Vậy Rad(AnnR (Hmi (M ))) = p p∈Sk với k ∈ {1, 2, , ci } Hệ 2.3.2 Cho R catenary phổ dụng với thớ hình thức R Cohen-Macaulay, i ≥ số nguyên cho Hmi (M ) không hữu hạn sinh Đặt ci = min{dim R/p | p ∈ Att Hmi (M )}, Sk = {p ∈ Spec(R) | p ∈ PsuppiR (M ), dim R/p = k} với k ∈ {1, 2, , ci } Khi với k = 1, 2, , ci ta có Rad(AnnR (Hmi (M ))) = p p∈Sk Chứng minh Khẳng định suy từ Mệnh đề 2.2.11 Nhận xét 2.3.3 Nếu Hmi (M ) khác hữu hạn sinh Rad(AnnR (Hmi (M ))) = m 28 Với quy ước p = R Sau ta đưa ví dụ chứng tỏ giả thiết p∈∅ Hmi (M ) thỏa mãn tính chất (*) khơng bỏ Ví dụ 2.3.4 Theo Ví dụ 2.2.2, xét (R, m) miền nguyên Noether địa phương chiều xây dựng D Ferrand M Raynaud Khi ta có Hm1 (R) khơng thỏa mãn tính chất (*) Ta chứng minh Psupp1 (R) = {m} Thật vậy, R miền nguyên nên Ass R = {0} Lấy p ∈ Psupp1 (R) Khi dim R/p Nếu dim R/p = Hp0Rp (Rp ) = Do pRp ∈ Ass Rp kéo theo p ∈ Ass R Điều vô lý Suy dim R/p = kéo theo p = m Vì q ∈ Ass R dim R/q = nên Hm1 R (R) = Vì Hm1 (R) ∼ = Hm1 R (R) nên Hm1 (R) = Vậy m ∈ Psupp1 (R) Do Psupp1 (R) = {m} Ta có c1 = min{dim R/p | p ∈ Att Hm1 (R)} = ∈ Att Hm1 (R) Khi ta có S1 = ∅ S2 = ∅ Do với k ∈ {1, 2} ta có p∈Sk p = R Mà Rad(Ann Hm1 (R)) = Từ Rad(Ann Hm1 (R)) = p với k ∈ {1, 2} p∈Sk 2.4 Linh hóa tử qua địa phương hóa đầy đủ hóa Mục đích thứ hai chương tìm hiểu linh hóa tử mơđun đối đồng điều địa phương qua địa phương hóa đầy đủ hóa Kết thứ hai chương Định lý 2.4.3 Mệnh đề 2.4.5, kết trình bày [16] Trước trình bày định lý chính, ta cần bổ đề sau Bổ đề 2.4.1 Với p ∈ Spec(R) ta có AnnRp Mp = (AnnR M )p Chứng minh Đặt a = AnnR M Khi ta có a iđêan R (aM )p = aRp Mp Mà aM = aRp Mp = Từ kéo theo aRp ⊆ AnnRp Mp hay (AnnR M )p ⊆ AnnRp Mp 29 Ngược lại giả sử M sinh x1 , x2 , , xn Lấy r s ∈ AnnRp Mp r ∈ R s ∈ p Khi r xi = , với i ∈ {1, 2, , n} s1 Do với i ∈ {1, 2, , n} tồn si ∈ p cho rxi si = Đặt u = s1 s2 sn ta có u ∈ / p urxi = với i ∈ {1, 2, , n} Kéo theo ur ∈ AnnR M ur r = ∈ (AnnR M )p s us Vậy AnnRp Mp = (AnnR M )p Bổ đề 2.4.2 ([18],Mệnh đề 14) Ta có AnnR (M )R = AnnR M Trong trường hợp vành R vành thương vành Gorenstein, sử dụng bổ đề Định lý Đối ngẫu địa phương (xem Định lí 1.1.17), ta có mối liên hệ linh hóa tử môđun đối đồng điều địa phương linh hóa tử mơđun đối đồng điều địa phương qua địa phương hóa qua đầy đủ hóa sau Định lý 2.4.3 Giả sử R vành thương vành địa phương Gorenstein Khi (i) Với p ∈ Spec(R) ta có i−dim R/p AnnRp HpRp (Mp ) = (AnnR Hmi (M ))p (ii) Với i ≥ ta có AnnR Hmi (M ) = AnnR Hmi (M ) Chứng minh Giả sử R ảnh đồng cấu vành địa phương Gorenstein (R , m ) chiều n với toàn cấu f : R −→ R Với số nguyên i kí n −i hiệu mơđun ExtR (M, R ) KiM Khi theo Định lí 1.1.17 ta có H i (M ) ∼ = D(Ki ) với i ≥ m M (i) Lấy p ∈ Spec(R) đặt t = dim R/p p = f −1 (p) Khi Rp vành địa phương Gorenstein dim R /p = t Lại R vành 30 Gorenstein nên ta có dim Rp = dim R − dim R /p = n − t Với f : Rp −→ Rp toàn cấu vành cho f ( rs ) = f (r ) f (s ) với r ∈ R s ∈ / p Khi tồn Rp -đẳng cấu ExtnR −i (Mp , Rp ) ∼ = (ExtnR −i (M, R ))p = (KiM )p p Lại theo Định lý 1.1.17 ta có n −i ∼ Hpi−t Rp (Mp ) = HomRp (ExtRp (Mp , Rp ), ERp (Rp /pRp )) ∼ = HomR ((Ki )p , ER (Rp /pRp )), p M p i Rp -mơđun Từ Ann Hpi−t Rp (Mp ) = Ann(KM )p Theo Bổ đề 2.4.1 ta có Ann(KiM )p = (Ann(KiM ))p Do i i Ann Hpi−t Rp (Mp ) = (Ann(KM ))p = (AnnR Hm (M ))p Vậy ta có điều phải chứng minh (ii) Giả sử R = R /a Gọi R đầy đỷ theo tôpô m -adic R Ta có R Gorenstein R = R /aR Áp dụng Định lý 1.1.17 ta có Hmi (M ) = Hmi (M ) ∼ = D(ExtnR −i (M , R )) ( ) với i ≥ Mặt khác ta có n −i ExtR (M , R ) ∼ = KiM ⊗R R ( ) với i ≥ Theo Bổ đề 2.4.2 ta có AnnR ExtnR −i (M , R ) = AnnR KiM R Do AnnR ExtnR −i (M , R ) = AnnR KiM ) R Từ ( ) ( ) ta có điều phải chứng minh Trong trường hợp tổng quát đặt câu hỏi liệu khẳng định sau có tương đương hay không? 31 (i) R catenary phổ dụng thớ hình thức Cohen-Macaulay; i−dim R/p (ii) AnnRp HpRp (Mp ) = (AnnR Hmi (M ))p với R-môđun hữu hạn sinh M với p ∈ Supp(M ); (iii) AnnR Hmi (M ) = AnnR Hmi (M ) Tuy nhiên chúng tơi chưa tìm câu trả lời cho câu hỏi mà chứng minh trường hợp linh hóa tử Trước hết ta nhắc lại kết [17] Bổ đề 2.4.4 Các phát biểu sau tương đương: (i) R catenary phổ dụng thớ hình thức Cohen-Macaulay; i−dim R/p (ii) AttRp (HpRp (Mp )) = {qRp | q ∈ AttR (Hmi (M )), q ⊆ p}, với R-môđun hữu hạn sinh M , với i ≥ với iđêan p ∈ Spec(R) (iii) AttR Hmi (M ) = i (M ) p∈AttR Hm AssR R/pR với R-môđun hữu hạn sinh M , với i ≥ Mệnh đề 2.4.5 Giả sử R catenary phổ dụng thớ hình thức Cohen-Macaulay, M R-môđun hữu hạn sinh Khi i−dim R/p (i) Rad Ann HpRp (Mp ) = (Rad Ann Hmi (M ))p , ∀p ∈ Supp(M ) (ii) Rad AnnR Hmi (M ) = Rad (AnnR Hmi (M )R) với i ≥ Chứng minh (i) Ta có Rad(Ann Hmi (M )) = q i (M ) q∈Att Hm Theo Bổ đề 2.4.4 ta có i−dim R/p Att(HpRp (Mp )) = {qRp | q ∈ Att Hmi (M ), q ⊆ p} Do i−dim R/p Rad Ann HpRp (Mp ) = qRp i (M ),q⊆p q∈Att Hm =( = 32 q )Rp i (M ),q⊆p q∈Att Hm (Rad Ann Hmi (M ))p Vậy ta có điều phải chứng minh (ii) Ta có Rad AnnR Hmi (M ) = p, i (M ) p∈min AttR Hm Rad AnnR Hmi (M ) = P i (M ) P ∈min AttR Hm Vì R ảnh vành địa phương Cohen-Macaulay nên theo [9], Định lý 2.1.15 ta có AssR R/pR = AssR R/pR với p ∈ Spec(R) Do theo Bổ đề 2.4.4, (iii) ta có AssR R/pR = AttR Hmi (M ) i (M ) p∈min AttR Hm Từ P P = i (M ) p∈min AttR Hm i (M ) P ∈min AttR Hm P ∈AssR R/pR Rad(pR) = i (M ) p∈min AttR Hm pR) = Rad( i (M ) p∈min AttR Hm = Rad(AnnR Hmi (M )R) Vậy ta có điều phải chứng minh 33 KẾT LUẬN Mục đích luận văn trình bày kết nghiên cứu linh hóa tử mơđun đối đồng điều địa phương cấp cao với giá vành giao hốn Noether báo "On the annihilators and attached primes of top local cohomology modules", đăng tạp chí Arch Math năm 2014 tác giả A Atazadeh, M Sedghi R Naghipour; Mở rộng kết việc tính linh hóa tử mơđun đối đồng điều địa phương cấp với giá cực đại báo "On the annihilators of local cohomology modules" đăng tạp chí J Algebra năm 2012 tác giả K Bahmanpour, J A’zami and G Ghasemi nghiên cứu linh hóa tử mơđun đối đồng điều địa phương qua địa phương hóa đầy đủ hóa Kiến thức chuẩn bị luận văn chủ yếu tham khảo từ hai sách "Commutative ring theory" H Matsumura "Local cohomology: An algebraic introduction with geometric applications" M Brodmann and R Y Sharp Cụ thể luận văn thu số kết sau: - Trình bày hệ thống số kiến thức đối đồng điều địa phương, tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều đối đồng điều, lọc chiều đối đồng điều - Trình bày linh hóa tử mơđun đối đồng điều địa phương cấp cao thông qua môđun thương môđun ban đầu - Trình bày hệ thống số kiến thức tính bão hịa ngun tố tập giả giá - Sử dụng khái niệm tập giả giá để đưa cơng thức tính linh hóa tử môđun đối đồng điều địa phương với cấp - Nghiên cứu số trường hợp đặc biệt linh hóa tử mơđun đối đồng điều địa phương qua địa phương hóa đầy đủ hóa 34 Tài liệu tham khảo [1] A Atazadeh, M Sedghi and R Naghipour (2014), "On the annihilators and attached primes of top local cohomology modules", Arch Math., 102, 225–236 [2] A Atazadeh, M Sedghi and R Naghipour, "Cohomological dimension filtration and annihilators of top local cohomology", preprint [3] K Bahmanpour, J A’zami and G Ghasemi (2012), "On the annihilators of local cohomology modules", J Algebra, 363, 8–13 [4] M Brodmann (1978), "A particular class of regular domains", J Algebra, 54, pp 366–373 [5] M Brodmann and C Rotthaus (1983), "A peculiar unmixed domain", Proc AMS., (4)87, pp 596–600 [6] M Brodmann and R Y Sharp (2002), "On the dimension and multiplicity of local cohomology modules", Nagoya Math J., 167, pp 217–233 [7] M Brodmann and R Y Sharp (1998), Local cohomology: An algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press [8] M Brodmann and R Y Sharp (2002), "On the dimension and multiplicity of local cohomology modules", Nagoya Math J., 167, 217– 233 [9] W Bruns and J Herzog, Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press 35 [10] N T Cuong and L T Nhan (2002), "On Noetherian dimension of Artinian modules”, Vietnam J Math., 30, 121–130 [11] D Ferrand and M Raynaud (1970), "Fibres formelles d’un anneau local Noetherian", Ann Sci E’cole Norm Sup., (4)3, 295–311 [12] L R Lynch (2012), "Annihilators of top local cohomolgy", Comm Algebra, 40, 542–551 [13] H Matsumura (1986), Commutative ring theory, Cambridge University Press [14] M Nagata (1962), Local rings, Interscience, New York [15] L T Nhan and T N An (2009), "On the unmixedness and the universal catenaricity of local rings and local cohomology modules", J Algebra, 321, 303–311 [16] L T Nhan, P H Quy and N T A Hang , "Some results on the annihilators of local cohomology modules", preprint [17] L T Nhan and P H Quy (2014), "Attached primes of local cohomology modules under localization and completion", J Algebra, 420, 475–485 [18] D G Northcott, Lession on rings and modules, Cambridge University Press [19] W Vasconcelos (1974), Divisor theory in modules category, NorthHolland, Amsterdam 36 ... tố môđun đối đồng điều địa phương Mục thứ ba thứ tư kết trình bày linh hóa tử mơđun đối đồng điều địa phương liên hệ với tập giả giá linh hóa tử môđun đối đồng điều địa phương chuyển qua địa phương. .. Định lý Đối ngẫu địa phương (xem Định lí 1.1.17), ta có mối liên hệ linh hóa tử mơđun đối đồng điều địa phương linh hóa tử môđun đối đồng điều địa phương qua địa phương hóa qua đầy đủ hóa sau... thức đối đồng điều địa phương, tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều đối đồng điều, lọc chiều đối đồng điều - Trình bày linh hóa tử môđun đối đồng điều địa phương cấp cao thông qua môđun thương môđun