Về môđun đối đồng điều địa phương artin

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– LÊ THỊ PHƯƠNG NGA VỀ MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG ARTIN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, NĂM 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– LÊ THỊ PHƯƠNG NGA VỀ MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG ARTIN Ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRẦN ĐỖ MINH CHÂU THÁI NGUYÊN, NĂM 2018 Mục lục MỞ ĐẦU Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Vành catenary phổ dụng 1.2 Tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun Artin 1.3 Chiều, số bội tính bão hịa ngun tố mơđun Artin 1.4 Môđun đối đồng điều địa phương Artin 12 Chương Môđun đối đồng điều địa phương Artin trường hợp thương vành Cohen-Macaulay 17 2.1 Trường hợp thương vành Gorenstein địa phương 17 2.2 Trường hợp thương vành Cohen-Macaulay 2.3 Chuyển qua đồng cấu phẳng 21 26 Chương Môđun đối đồng điều địa phương Artin thỏa mãn tính bão hịa ngun tố 37 3.1 Trường hợp mơđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại 37 3.2 Trường hợp môđun đối đồng điều địa phương cấp cao với giá tùy ý 44 KẾT LUẬN 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 LỜI CẢM ƠN Luận văn "Về môđun đối đồng điều địa phương Artin" thực Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình, tận tụy TS Trần Đỗ Minh Châu Tác giả xin bảy tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học Đồng thời, tác giả xin trân trọng cảm ơn tới GS TS Lê Thị Thanh Nhàn với góp ý q báu để luận văn hồn thiện Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái nguyên, Ban chủ nhiệm Khoa Toán thầy khoa Tốn tham gia giảng dạy tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám đốc đồng nghiệp Trung tâm HN GDTX Tỉnh Quảng Ninh tạo điều kiện cho hồn thành nhiệm vụ học tập Nhân dịp này, tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình bạn bè động viên giúp đỡ nhiều trình học tập MỞ ĐẦU Lý thuyết đối đồng điều địa phương A Grothendieck giới thiệu vào năm 1960 Sau lý thuyết nhanh chóng phát triển thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học giới, trở thành cơng cụ nghiên cứu thiếu nhiều lĩnh vực khác toán học Đại số giao hoán, Hình học đại số, Đại số tổ hợp, Một tính chất quan trọng mơđun đối đồng điều địa phương tính Artin Cho (R, m) vành giáo hốn Noether địa phương, M R-mơđun hữu hạn sinh với chiều d I iđêan R Năm 1971, I G Macdonald R Y Sharp [16] chứng minh môđun đối dồng điều địa phương với giá cực đại Hmi (M ) Artin với i ≥ Sau R Y Sharp [28] phát lớp môđun đối đồng điều địa phương Artin thứ hai HId (M ) Nhiều thông tin hai lớp môđun đối đồng điều địa phương Artin phản ánh công trình R Y Sharp [27], M Brodmann-Sharp [3], N T Cường, L T Nhàn Theo I G Macdonald [15], tập iđêan nguyên tố gắn kết Rmôđun Artin, kí hiệu AttR A, có vai trị quan trọng tương tự tập iđêan nguyên tố liên kết mơđun hữu hạn sinh Mục đích luận văn trình bày lại số kết gần báo [3], [24], [20], [22] mô tả tập iđêan nguyên tố gắn kết, đặc trưng tính bão hịa ngun tố xây dựng cơng thức số bội Hmi (M ) HId (M ) R thương vành Cohen-Macaulay môđun thỏa mãn tính bão hịa ngun tố Nhắc lại R-mơđun Artin A gọi thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố AnnR (0 :A p) = p với iđêan nguyên tố p chứa AnnR A (xem [8]) Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn trình bày thành ba chương: Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị vành catenary phổ dụng, tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun Artin, chiều, số bội, tính bão hịa ngun tố mơđun Artin môđun đối đồng điều địa phương Artin Những kiến thức liên quan đến kết chứng minh chương Chương trình bày kết tập iđêan nguyên tố gắn kết số bội môđun đối đồng địa phương Hmi (M ) trường hợp vành sở thương vành Cohen-Macaulay Chương trình bày đặc trưng tính bão hịa ngun tố hai lớp mơđun đối đồng điều địa phương Artin thơng qua tính catenary vành, từ mơ tả tập iđêan ngun tố gắn kết xây dựng công thức bội liên kết cho hai lớp mơđun chúng thỏa mãn tính bão hịa ngun tố Thái Nguyên, tháng năm 2018 Chương Kiến thức chuẩn bị Trong suốt luận văn này, khơng nói thêm, ln giả thiết (R, m) vành giao hoán Noether địa phương, R vành đầy đủ m-adic R, I iđêan tùy ý R Ta ký hiệu A R-môđun Artin, M R-mơđun hữu hạn sinh có dim(M ) = d N, L môđun tùy ý R Mục tiêu chương giới thiệu khái niệm tính chất vành catenary phổ dụng, tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều, số bội, tính bão hịa ngun tố mơđun Artin môđun đối đồng điều địa phương Artin sử dụng luận văn 1.1 Vành catenary phổ dụng Trong tiết này, nhắc lại số khái niệm kết vành catenary phổ dụng Chú ý rằng, R vành Noether địa phương nên với cặp iđêan nguyên tố p ⊂ q R ln tồn dãy iđêan ngun tố bão hịa p q có độ dài n p = p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn ⊂ q Định nghĩa 1.1.1 Nếu với cặp iđêan nguyên tố p ⊂ q R, dãy iđêan ngun tố bão hịa p q có chung độ dài vành R gọi catenary Rõ ràng R catenary Rp catenary với p ∈ Spec(R) Ngoài vành catenary cịn có tính chất sau Mệnh đề 1.1.2 (Xem [30]) Các mệnh đề sau đúng: (i) Nếu R catenary vành thương R catenary (ii) R catenary dim(R/ q) = dim(R/ p) + ht(p / q) với iđêan nguyên tố p, q thỏa mãn q ⊆ p Một loại vành catenary đặc biệt có tính chất quan trọng vành catenary phổ dụng Định nghĩa 1.1.3 (Xem [17]) Vành R gọi vành catenary phổ dụng R-đại số hữu hạn sinh catenary Nếu depth(R) = dim(R) R gọi vành Cohen-Macaulay địa phương Theo định nghĩa M Nagata [19], vành R gọi tựa không trộn lẫn dim(R/P) = dim(R) với P ∈ min(Ass R) Định lý sau điều kiện để vành vành catenary phổ dụng thơng qua tính khơng trộn lẫn tính Cohen-Macaulay vành Định lý 1.1.4 (Xem [29, Định lý 17.9,31.6]) R vành catenary phổ dụng thỏa mãn điều kiện sau: (i) R tựa không trộn lẫn; (ii) R thương vành Cohen-Macaulay Định lý sau đưa số đặc trưng vành catenary phổ dụng Định lý 1.1.5 Các điều kiện sau tương đương: (i) R catenary phổ dụng; (ii) Vành đa thức biến R[x] catenary; (iii) R/ p tựa không trộn lẫn với p ∈ Spec(R) 1.2 Tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun Artin Lý thuyết biểu diễn thứ cấp cho môđun giới thiệu I G Macdonald [15] xem đối ngẫu lý thuyết phân tích nguyên sơ Từ biểu diễn thứ cấp, tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun định nghĩa Khái niệm theo nghĩa tương tự với khái niệm iđêan nguyên tố liên kết môđun hữu hạn sinh Định nghĩa 1.2.1 (i) Một R-môđun N gọi thứ cấp N = với r ∈ R ta có rN = N tồn n ∈ N cho rn N = Trong trường hợp này, tập hợp phần tử r ∈ R cho phép nhân r N lũy linh làm thành iđêan nguyên tố chẳng hạn p, ta gọi N p-thứ cấp (ii) Cho N R-môđun Biểu diễn N = N1 + + Nn , Ni mơđun pi -thứ cấp N, gọi biểu diễn thứ cấp N Nếu N = N có biểu diễn thứ cấp ta nói N biểu diễn Biểu diễn gọi tối tiểu iđêan nguyên tố pi đôi khác Ni không thừa với i = 1, , n Chú ý rằng, N1 , N2 môđun p-thứ cấp N N1 + N2 mơđun p-thứ cấp N Vì biểu diễn thứ cấp N đưa dạng tối tiểu cách bỏ thành phần thừa gộp lại thành phần chung iđêan nguyên tố Tập hợp p1 , , pn độc lập với việc chọn biểu diễn thứ cấp tối tiểu N gọi tập iđêan nguyên tố gắn kết N, kí hiệu AttR N Các hạng tử Ni , với i = 1, , n, gọi thành phần thứ cấp N Nếu pi tối tiểu tập AttR N pi gọi iđêan nguyên tố gắn kết cô lập N Ni gọi thành phần thứ cấp cô lập N Định lý sau cho ta lớp môđun biểu diễn Định lý 1.2.2 [15, Định lý 5.2] Mọi môđun Artin biểu diễn Mệnh đề 1.2.3 (Xem [16]) Giả sử A R-mơđun Artin Khi phát biểu sau đúng: (i) AttR A = ∅ A = (ii) AttR A = Var(AnnR A) Đặc biệt, dim(R/ AnnR A) = max dim(R/ p) | p ∈ AttR A (iii) AttR A = {m} A = R (A) < ∞ Cho A R-môđun Artin r ∈ R, x ∈ A Gọi (rn )n∈N dãy Cơsi R đại điện cho lớp r Vì Rx có độ dài hữu hạn nên tồn số tự nhiên k cho mk x = Chú ý tồn n0 cho rn − rm ∈ mk với m, n ≥ n0 Suy rn x = rn0 x với n ≥ n0 Khi A có cấu trúc tự nhiên R-mơđun với tích vơ hướng rx = rn0 x Do đó, mơđun A xét R-mơđun mơđun A xét R-mơđun Vì A R-mơđun Artin Ta xác định cấu trúc R-mơđun ban đầu A xem R-môđun A R-môđun xác định đồng cấu tự nhiên R → R Như vậy, tập iđêan nguyên tố gắn kết A R R ln xác định ta có mối liên hệ tập iđêan nguyên tố gắn kết sau Mệnh đề 1.2.4 [28, Bổ đề 2.1] AttR A = P ∩ R | P ∈ AttR A Tổng quát hơn, tính chất chuyển tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun Artin qua đồng cấu phẳng địa phương phát biểu mệnh đề sau Điều mâu thuẫn Vậy dim(R/ p) + dim(Mp ) < d Suy dim(Mp ) < d − dim(R/ p) d−dim(R/ p) Do Hp Rp (Mp ) = theo Định lý 1.4.5, nghĩa p ∈ / PsuppdR (M ) Lấy iđêan nguyên tố p1 ∈ Var(AnnR Hmd (M )) thỏa mãn p1 ⊆ p Khi p1 ∈ AttR (Hmd (M )) p1 ∈ Ass M dim(R/ p1 ) = d Áp dụng d−dim(R/ p1 ) Định lý 1.4.4, suy Hp1 Rp (Mp1 ) = 0, tức p1 ∈ PsuppdR (M ) Vì PsuppdR (M ) khơng đóng, mâu thuẫn với giả thiết (i) 3.2 Trường hợp môđun đối đồng điều địa phương cấp cao với giá tùy ý Phần dành để đặc trưng tính bão hịa ngun tố mơđun đối đồng điều địa phương cấp cao với giá tùy ý thơng qua tính catenary vành Kết cho thấy, mơđun thỏa mãn tính bão hịa nguyên tố, tập iđêan nguyên tố gắn kết số bội đẹp trường hợp vành sở đầy đủ Trước hết, ta có Bổ đề sau tập iđêan nguyên tố gắn kết M Bổ đề 3.2.1 Xem [1, Bổ đề 2.1.2]Cho R-môđun hữu hạn sinh M , đó: (i) AssR M = p∈Ass M AssR (R/ p R); (ii) AssR M = P ∩ R | P ∈ AssR M Trong suốt tiết này, ta sử dụng ký hiệu sau Ký hiệu 3.2.2 Cho = p∈AssR M N (p) phân tích ngun sơ thu gọn mơđun M Ta đặt AssR (I, M ) = p ∈ AssR M | dim(R/ p) = d, N = p∈AssR (I,M ) N (p) I +p=m Chú ý rằng, AssR (I, M ) ⊆ min(AssR M ) Vì N khơng phụ thuộc vào lựa chọn phân tích ngun sơ thu gọn mơđun 44 Định lý sau đặc trưng tính chất bão hịa ngun tố mơđun đối đồng điều địa phương cấp cao với giá Định lý 3.2.3 Cho R-mơđun N xác định Kí hiệu 3.2.2 Khi mệnh đề sau tương đương: (i) HId (M ) thỏa mãn tính bão hịa nguyên tố; √ (ii) R/ AnnR HId (M ) catenary với p ∈ AttR (HId (M ) ta có I + p = m; (iii) R/ AnnR HId (M ) vành catenary HId (M ) ∼ = Hmd (M/N ) Chứng minh Giả sử HId (M ) = AssR (I, M ) = ∅ Lấy p ∈ AssR (M ) √ cho I + p = m Theo Bổ đề 3.2.1, tồn P ∈ AssR M thỏa mãn dim(R/P) = d I R + P = mR Áp dụng Định lý 1.4.11 ta có P ∈ AttR (HId (M )) Do HId (M ) = Điều mâu thuẫn Suy AssR (I, M ) = ∅ Kéo theo N = M Suy Hmd (M/N ) = hiển nhiên ba mệnh đề Định lý Vì ta giả sử HId (M ) = (i)⇒(ii) Theo Mệnh đề 1.4.11, AttR HId (M ) ⊆ {P ∈ AssR (M ) | dim(R/P) = d} Vì thế, HId (M ) R-môđun Artin không trộn lẫn theo Mệnh đề 1.2.3 Chú ý rằng, HId (M ) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố nên theo Định lý ?? vành R/ AnnR HId (M ) catenary Vì I + AnnR HId (M ) ⊆ AnnR (0 :HId (M ) I) nên ta có AnnR (0 :HId (M ) I) ⊇ I + AnnR HId (M ) Lấy q ∈ Spec(R) cho q ⊇ I + AnnR HId (M ) Do HId (M ) thỏa mãn tính bão hịa ngun tố nên AnnR (0 :HId (M ) I) ⊆ AnnR (0 :HId (M ) q) = q Suy AnnR (0 :HId (M ) I) ⊆ q= I + AnnR HId (M ) q∈Spec(R) q⊇I+AnnR HId (M ) Vì AnnR (0 :HId (M ) I) = I + AnnR HId (M ) Do HId (M ) R-môđun Artin nên (0 :HId (M ) I) Artin Mặt khác, theo [10, Định lý 3], HId (M ) 45 I -cofinite Suy (0 :HId (M ) I) R-môđun hữu hạn sinh Điều dẫn đến lR (0 :HId (M ) I) < ∞ Vì AnnR (0 :HId (M ) I) iđêan m-nguyên sơ R I + AnnR HId (M ) m-nguyên sơ Lấy p ∈ AttR HId (M ) √ Khi p ⊇ AnnR HId (M ) theo Mệnh đề 1.2.3(ii) Suy I + p = m với p ∈ AttR (HId (M )) (ii)⇒(iii) Như Kí hiệu 3.2.2, giả sử = p∈AssR M N (p) phân tích nguyên sơ thu gọn môđun M ký hiệu N= p∈AssR (I,M ) N (p), AssR (I, M ) = p ∈ AssR M | dim(R/ p) = d, I +p=m Theo tính chất phân tích nguyên sơ ta có AssR (M/N ) = AssR (I, M ) Lấy q ∈ AssR M cho q ∈ / AssR (I, M ) Do phân tích nguyên sơ N thu gọn nên N +N (q)/N (q) = Hơn N +N (q)/N (q) ∼ = N/N ∩N (q) suy ∅ = AssR (N +N (q)/N (q)) ∼ = AssR (N/N ∩N (q)) ⊆ AssR (M/N (q)) = {q} Kéo theo AssR (N/N ∩ N (q)) = {q} N ∩ N (q) môđun nguyên sơ N Do thành phần N (q) khơng thừa phân tích ngun sơ môđun M nên N ∩ N (p) 0= p∈AssR M \AssR (I,M ) phân tích ngun sơ thu gọn mơđun N Điều dẫn đến AssR N = AssR M \ AssR (I, M ) Tác động hàm tử HId (•) vào dãy khớp → N → M → M/N → ta dãy khớp HId (N ) → HId (M ) → HId (M/N ) → Giả sử HId (M ) = Theo Định lý 1.4.5 ta có dim(N ) = d Theo Mệnh đề 1.2.3, tồn iđêan ngyên tố P ∈ AttR HId (N ) Kéo theo P ∈ AssR N , dim(R/P) = d I R + P = mR theo Mệnh đề 1.4.11 Hơn nữa, AssR N ⊆ AssR M nên P ∈ AssR M Vì P ∈ AttR HId (M ) theo Mệnh đề 1.4.11 Đặt p = P ∩ R Khi p ∈ AttR HId (M ) theo Mệnh đề 1.2.4 √ Từ giả thiết (ii), ta có I + p = m Vì P ∈ AssR (M ) dim(R/P) = d 46 nên theo Bổ đề 3.2.1(i) ta có p ∈ AssR M dim(R/ p) = d Suy p ∈ AssR (I, M ) Mặt khác, P ∈ AttR (HId (N )) nên p ∈ AssR N theo Bổ đề 3.2.1(i) p ∈ AssR M \ AssR (I, M ) theo chứng minh Điều dẫn đến mâu thuẫn Vì H d (N ) = suy H d (M ) ∼ = H d (M/N ) I I I Lấy q ∈ Spec(R) cho q ⊇ I + p Do AssR (I, M ) tập hữu √ hạn nên q ⊇ I q ⊇ p0 với p0 ∈ AssR (I, M ) Vì q ⊇ I + p0 = m p∈AssR (I,M ) ta có I+ p = m p∈AssR (I,M ) Do I + p m-nguyên sơ Vì AssR (M/N ) = AssR (I, M ) nên p∈AssR (I,M ) AnnR (M/N ) = p p∈AssR (I,M ) Suy I + AnnR (M/N ) m-nguyên sơ Vì thế, theo Định lý 1.4.3, ta có d HId (M/N ) ∼ (M/N ) ∼ = HI+Ann = Hmd (M/N ) R (M/N ) Vậy HId (M ) ∼ = Hmd (M/N ) (iii)⇒(i) Vì HId (M ) ∼ = Hmd (M/N ) nên ta có AnnR (HId (M )) = AnnR (Hmd (M/N )) Do vành R/ AnnR HId (M ) catenary nên vành R/ AnnR Hmd (M/N ) catenary Theo Định lý 1.4.13, Hmd (M/N ) thỏa mãn tính bảo hịa ngun tố HId (M ) thỏa mãn tính bão hịa ngun tố Hệ 3.2.4 Cho AssR (I, M ) Kí hiệu 3.2.2 Khi ta có (i) AssR (I, M ) ⊆ AttR HId (M ) Đặc biệt, AssR (I, M ) = ∅ HId (M ) = (ii) Giả sử AssR (I, M ) = ∅ Khi HId (M ) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố HId (M ) = Chứng minh (i) Lấy p ∈ AssR (I, M ) Khi p ∈ AssR M, dim(R/ p) = d √ I + p = m Giả sử P ∈ AssR (R/ p R) cho dim(R/P) = d Vì P ∩ R = p Vì AssR (R) = q∈AssR (M ) AssR (R/ q R) 47 nên theo [17, Định lý 23.3(ii)] ta có P ∈ AssR (M ) Chú ý √ I + p = m Kéo theo I R + P = mR Do P ∈ AttR (HId (M )) theo Mệnh đề 1.4.11 Vì p ∈ AttR (HId (M )) theo Mệnh đề 1.2.4 Điều dẫn đến AssR (I, M ) ⊆ AttR HId (M ) Đặc biệt, AssR (I, M ) = ∅ AttR HId (M ) = ∅ Kéo theo HId (M ) = theo Mệnh đề 1.2.3 (ii) Giả sử AssR (I, M ) = ∅ Rõ ràng, HId (M ) = thỏa mãn tính bão hịa nguyên tố Giả sử HId (M ) = Suy tồn iđêan p ∈ AttR (HId (M )) theo Mệnh đề 1.2.3 Điều dẫn đến p ∈ AssR (M ) dim(R/ p) = d theo Mệnh đề 1.2.4 1.4.11 Nếu HId (M ) thỏa mãn tính √ bão hịa ngun tố I + p = m theo Định lý 3.2.3 điều mâu thuẫn với giả thiết AssR (I, M ) = ∅ Hệ 3.2.5 Nếu HId (M ) thỏa mãn tính bão hịa ngun tố AttR HId (M ) = {p ∈ AssR M | dim(R/ p) = d, I + p = m} Chứng minh Giả sử AssR (I, M ) xác định Ký hiệu 3.2.2 Khi đó, phần tử Ass(I, M ) iđêan nguyên tố gắn kết HId (M ) theo Hệ 3.2.4(i) Lấy p ∈ AttR (HId (M )) Do p ∈ AssR (M ) dim(R/ p) = d Vì HId (M ) thỏa mãn tính bão hịa ngun tố nên √ I + p = m theo Định lý 3.2.3 Vì p ∈ Ass(I, M ) Điều dẫn đến AttR HId (M ) = AssR (I, M ) = {p ∈ AssR M | dim(R/ p) = d, I + p = m} Định nghĩa 3.2.6 Cho N xác định Kí hiệu 3.2.2 Tập đối giá HId (M ), kí hiệu CosR (HId (M )), cho công thức d−dim(R/ p) CosR (HId (M )) = p ∈ Spec(R) | Hp Rp (M/N )p = Bổ đề sau mối liên hệ tập đối giá CosR (HId (M )) tập Var(AnnR HId (M )) 48 Bổ đề 3.2.7 CosR (HId (M )) ⊆ Var(AnnR HId (M )) Chứng minh Giả sử AssR (I, M ) N xác định Kí hiệu 3.2.2 d−dim(R/ p) Lấy p ∈ CosR (HId (M )) Khi ta có Hp Rp d−dim(R/ p) đề 1.2.3(i), tồn q Rp ∈ AttRp (Hp Rp (M/N )p = Theo Mệnh (M/N )p ) Áp dụng Định lý 1.4.9 ta suy q ∈ AttR Hmd (M/N ) Vì q ∈ AssR (M/N ) theo Định lý 1.4.8 Chú ý AssR (M/N ) = AssR (I, M ) nên q ∈ AssR (I, M ) Suy q ∈ AttR HId (M ) theo Hệ 3.2.4(i) q ⊇ AnnR HId (M ) theo Mệnh đề 1.2.3(ii) Chú ý q ⊆ p Vậy p ∈ Var(AnnR HId (M )) Bổ đề suy từ Định nghĩa 3.2.6, cho ta mối liên hệ khái niệm đối giá với khái niệm tập giả giá M Brodmann R Y Sharp nhắc lại chương Bổ đề 3.2.8 Cho N xác định Kí hiệu 3.2.2 Đặt UM (0) mơđun lớn M có chiều nhỏ d Khi đó, ta có (i) CosR (HId (M )) = PsuppdR (M/N ) (ii) CosR (Hmd (M )) = PsuppdR (M/UM (0)) = PsuppdR (M ) Chứng minh (i) Theo định nghĩa tập đối giá ta có d−dim(R/ p) CosR (HId (M )) = p ∈ Spec(R) | Hp Rp (M/N )p = = PsuppdR (M/N ) (ii) Thay I = m, Kí hiệu 3.2.2, ta AssR (m, M ) = p ∈ AssR (M ) | dim(R/ p) = d = AssR M/UM (0) Suy N = UM (0) môđun lớn M có chiều nhỏ d Do CosR (Hmd (M )) = PsuppdR (M/UM (0)) Chuyển qua địa phương hóa dãy khớp → UM (0) → M → M/UM (0) → ta dãy khớp → (UM (0))p → Mp → (M/UM (0))p → 49 Theo chứng minh UM (0) mơđun có chiều nhỏ d nên dim(UM (0))p < d − dim(R/ p) Do ta có dãy d−dim(R/ p) → Hp Rp d−dim(R/ p) (Mp ) → Hp Rp d−dim(R/ p) Vì ta có Rp -đẳng cấu Hp Rp (M/UM (0))p → d−dim(R/ p) (M/UM (M ))p (Mp ) ∼ = Hp Rp Do PsuppdR (M/UM (0)) = PsuppdR (M ) Định lý 3.2.9 Các mệnh đề sau tương đương: (i) HId (M ) thỏa mãn tính bão hịa ngun tố; (ii) CosR (HId (M )) = Var(AnnR (HId (M ))) Chứng minh (i)⇒(ii) Giả sử AssR (I, M ) N xác định Kí hiệu 3.2.2 Vì HId (M ) thỏa mãn tính bão hịa ngun tố nên ta có đẳng cấu H d (M ) ∼ = H d (M/N ) theo Định lý 3.2.3 Suy H d (M/N ) thỏa m m I mãn tính bão hịa ngun tố Vì theo Định lý 3.1.1 Bổ đề 3.2.8 ta có Var AnnR Hmd (M/N ) = PsuppdR (M/N ) = CosR (HId (M )) Do Var AnnR HId (M ) = Var AnnR Hmd (M/N ) = CosR (HId (M )) (ii)⇒(i) Cho q ⊇ AnnR (HId (M )) Khi q ∈ CosR (HId (M )) theo d−dim(R/ q) giả thiết (ii) Hq Rq (M/N )q = Lấy Q ∈ Ass(R/ q R) cho dim(R/Q) = dim(R/ q) Khi Q ∩ R = q Q iđêan nguyên tố tối tiểu q R Vì ánh xạ cảm sinh Rq → RQ phẳng hồn tồn nên ta có d−dim(R/Q) HQR Q Giả sử = N = d−dim(R/ q) (M/N )Q ∼ (M/N )q ⊗ RQ = = Hq Rq (3) p∈AssR (M ) N(p) phân tích nguyên sơ thu gọn Khi p∈AssR (I,M ) N (p) Với p ∈ AssR M , Ass(M/N (p)) = {p} nên theo Bổ đề 3.2.1 ta có AssR (M /N (p)) = AssR (R/ p R) Vì N (p) có phân tích ngun sơ thu gọn N (p) = K(p, P), P∈AssR (R/ p R) K(p, P) mơđun P-ngun sơ M Vì R → R đồng 50 cấu phẳng hồn tồn N (p) mơđun M nên theo [17, Định lý 7.4] ta có N = p∈AssR (I,M ) N (p) = p∈AssR (I,M ) K(p, P) P∈Ass(R/ p R) N (p) ⊗R R = 0= p∈AssR M = N (p) ⊗R R p∈AssR M N (p) = K(p, P) p∈AssR M p∈AssR M P∈AssR (R/ p R) phân tích nguyên sơ thu gọn N Kí hiệu K1 giao tất thành phần nguyên sơ K(p, P) P ∈ AssR (R/ p R) cho dim(R/P) = d p ∈ AssR (I, M ) Rõ ràng K1 ⊇ N Kí hiệu UM /N (0) môđun lớn M /N có chiều nhỏ d Theo Bổ đề 3.2.1, AssR (I, M ) = AssR (M/N ) nên AssR M /N = {P ∈ AssR (R/ p R) | p ∈ AssR (I, M )} Kéo theo UM /N (0) = K(p, P)/N = K1 /N p∈AssR (I,M ) P∈AssR (R/ p R),dim(R/P)=d Vì dim(K1 /N )Q ≤ dim(K1 /N )−dim(R/Q) < d−dim(R/Q) Chuyển qua địa phương hóa dãy khớp → K1 /N → M /N → M /K1 → ta dãy khớp → (K1 /N )Q → (M /N )Q → (M /K1 )Q → Tác động hàm tử đối đồng điều địa phương vào dãy khớp ta đẳng cấu d−dim(R/Q) HQR Q d−dim(R/Q) (M/N )Q ∼ (M /K1 )Q = HQR Q Từ (3) ta suy d−dim(R/Q) HQR Q (M /K1 )Q = (4) Như Kí hiệu 3.2.2, đặt AssR (I R, M ) = {P ∈ AssR M | dim(R/P) = d, 51 I R + P = mR} Khi theo Bổ đề 3.2.1(ii) ta có AssR (I R, M ) = {P ∈ AssR (R/ p R) | p ∈ AssR M, dim(R/P) = d, Đặt K2 = K(p, P) Bởi I R + P = mR} I R + P = mR với iđêan P∈AssR (I R,M ) P∈ p∈AssR (I,M ) AssR (R/ p R) nên ta suy AssR (I R, M ) ⊇ {P ∈ AssR (R/ p R) | p ∈ AssR (I, M ), dim(R/P) = d} Do K2 ⊆ K1 Vì dim(K1 ) ≤ d nên ta có dim(K1 /K2 )Q ≤ dim(K1 /K2 ) − dim(R/Q) ≤ d − dim(R/Q) Chuyển qua địa phương hóa dãy khớp → K1 /K2 → M /K2 → M /K1 → ta dãy khớp → (K1 /K2 )Q → (M /K2 )Q → (M /K1 )Q → Tác động hàm tử đối đồng điều địa phương vào dãy khớp ta đẳng cấu d−dim(R/Q) HQR d−dim(R/Q) (M /K1 )Q (M /K2 )Q ∼ = HQR Q Q d−dim(R/Q) Do từ (4) ta suy HQR Q (M /K2 )Q = Điều dẫn đến Q ∈ CosR (HIdR (M )) Vì HIdR (M ) thỏa mãn tính bão hịa ngun tố nên CosR (HIdR (M )) = Var AnnR (HIdR (M )) theo chứng minh (i)⇒(ii) Kéo theo Q ⊇ Ann (H d (M )) Do H d (M ) ∼ = H d (M ) H d (M ) thỏa mãn R IR I IR IR tính bão hịa ngun tố nên ta có AnnR (0 :HId (M ) Q) = AnnR (0 :H d IR (M ) Q) = Q Do q ⊆ AnnR (0 :HId (M ) q) ⊆ AnnR (0 :HId (M ) Q) ∩ R = Q ∩ Q = q Suy AnnR (0 :HId (M ) q) = q Vậy HId (M ) thỏa mãn tính bão hịa ngun tố 52 Hệ 3.2.10 Giả sử q iđêan m-nguyên sơ Cho AssR (I, M ) N xác định Kí hiệu 3.2.2 Nếu HId (M ) thỏa mãn tính bão hịa ngun tố e (q, HId (M )) = Rp Hp0 Rp (M/N )p e(q, R/ p) p∈CosR (HId (M )) dim(R/ p)=d Trong trường hợp này, e (q, HId (M )) = e(q, M/N ) = Rp (Mp )e(q, R/ p) p∈AssR (I,M ) Chứng minh Vì HId (M ) thỏa mãn tính bão hịa ngun tố nên theo Định lý 3.2.3 ta có H d (M ) ∼ = H d (M/N ) Do H d (M/N ) thỏa mãn tính bão m m I hịa nguyên tố Chú ý CosR (HId (M )) = PsuppdR (M/N ) theo Bổ đề 3.2.8 Vì thế, theo Hệ 3.1.3 ta có e (q, HId (M )) = e (q, Hmd (M/N )) = Rp Hp0 Rp (M/N )p e(q, R/ p) p∈CosR (HId (M )) dim(R/ p)=d Lấy p ∈ CosR (HId (M )) cho dim(R/ p) = d Theo Định lý 3.2.9 ta có p ∈ Var(AnnR HId (M )) Vì p ∈ AttR HId (M ) theo Mệnh đề 1.2.3(ii) p ∈ AssR (I, M ) theo Hệ 3.2.5 Theo chứng minh ta có AssR (N ) = AssR (M ) \ AssR (I, M ) Vì p ∈ / AssR (N ) Do dim(R/ p) = d nên p ∈ / Supp N Vì H (Mp ) ∼ = H (M/N )p Chú R p Rp ý q iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu M nên p Rp Rp (Mp ) < ∞ Suy Hp0 Rp (Mp ) = Mp Kết hợp tính chất với ý AssR (M/N ) = AssR (I, M ) = {p ∈ CosR (HId (M )) | dim(R/ p) = d} khẳng định lại suy từ công thức bội liên kết e(q, M/N ) M/N tương ứng với q 53 KẾT LUẬN Luận văn trình bày lại số kết gần báo [3], [24], [20], [22] tập iđêan nguyên tố gắn kết, tính bão hịa ngun tố số bội mơđun đối đồng điều địa phương Artin Trong trường hợp vành sở R thương vành Cohen-Macaulay, luận văn trình bày cơng thức số bội mơđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại (Định lý 2.2.4) mối liên hệ tập iđêan nguyên tố gắn kết, số bội hai môđun đối đồng điều địa phương Artin Hpi Rp (Mp ) i+r HPR P (MP ) (Định lý 2.3.6) Trong chương 3, luận văn trình bày đặc P trưng tính chất bão hịa mơđun đối đồng điều địa phương Artin mô tả tập iđêan nguyên tố gắn kết, xây dựng công thức số bội môđun thỏa mãn tính bão hịa ngun tố (Hệ 3.1.3, 3.2.11, ) 54 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] T Đ M Châu (2014), Về tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương, Luận án tiến sĩ, Đại học Sư phạm Huế Tiếng Anh [2] M Brodmann and R Y Sharp (1998), Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press [3] M Brodmann and R Y Sharp (2002), On the dimension and multiplicity of local cohomology modules, Nagoya Math J., 167, 217-233 [4] M Brodmann and C Rotthaus (1983), A peculiar unmixed domain, Proc AMS., (4)87, 596-600 [5] W Bruns and J Herzog (1993), Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press [6] N T Cuong, D T Cuong and H L Truong (2010), On a new invariant of finitely generated modules over local rings, Journal of Algebra and Its Applications 9, 959-976 [7] N T Cuong, N T Dung, L T Nhan (2007), Top local cohomology and the catenaricity of the unmixed support of a finitely generated module, Comm Algebra 35, 1691-1701 55 [8] N T Cuong, L T Nhan (2002), On the Noetherian dimension of Artinian modules, Vietnam J Math 30 (2) 121-130 [9] N T Cuong, L T Nhan, N T K Nga (2010), On psuedo supports an non Cohen-Macaulay locus of a finitely generated module, J Algebra 323, 3029-3038 [10] D Delfino, T Marley (1997), Cofinite modules and local cohomology, J Pure Appl Algebra, 121, 45-52 [11] K Divaani-Aazar and P Schenzel (2001), Ideal topology, local cohomology and connectedness, Math Proc Camb Phil Soc., 131, 211226 [12] N S Gopalakrishnan (1984), Commutative Algebra, Oxonian Press Pvt Ltd [13] T Kawasaki (2001), On arthmetic Macaulayfication of Noetherian rings, Trans Amer Math Soc., 354, 123-149 [14] D Kirby (1990), Artinian modules and Hilbert polynomials, Quart J Math Oxford., (2)24, 47-57 [15] I G Macdonald (1973), Secondary representation of modules over a commutative ring, Symposia Mathematica, 11, 23-43 [16] I G Macdonald and R Y Sharp (1972), An elementary proof of the non-vanishing of certawin local cohomology modules, Quart J Math Oxford, (2)23, 197-204 [17] H Matsumura (1986), Commutative ring theory, Cambridge University Press 56 [18] S McAdam, L J Ratliff (1977), Semi-local taut rings, Indiana Univ Math J 26,73-79 [19] M Nagata (1962), Local ring, Interscience New York [20] L T Nhan, T N An (2009), On the unmixedness an the universal catenaricity of local rings and local cohomology modules, J Algebra 321, 303-311 [21] L T Nhan, T N An (2010), On the catenaricity of Noetherian local rings and quasi unmixed Artinian modules, Comm Algebra 38, 37283726 [22] L T Nhan, T D M Chau (2012), On the top local cohomology modules, J Algebra 349, 342-352 [23] L T Nhan, P H Quy (2014), Attached primes of local cohomology modules under localization and completion, J Algebra 420, 475-485 [24] L T Nhan, T N An, L P Thao (2018), Local cohomology modules via certain flat extension rings, J Algebra 503, 340-355 [25] R N Roberts (1975), Krull dimension for Artinian modules over quasi local commutative rings, Quart J Math Oxford, 26, 269-273 [26] R Y Sharp (1990), Steps in Commutative Algebra, Cambridge University Press [27] R Y Sharp (1975), Some results on the vanishing of local cohomology modules, Proc London Math Soc., 30, 177-195 [28] R Y Sharp (1981), On the attacked prime ideal of certain Artinian local cohomology modules, Proc Endinburgh Math Soc., 24, 9-14 57 [29] Shiro Goto (2016), Homological methods in commutative Algebra, Vietnam Academy of Sience and Technoloy Institute of Mathematics [30] L J Ratliff (1971), Characterizations of catenary rings, Amer J Math., 93, 1070-1108 58 ... tố gắn kết môđun Artin 1.3 Chiều, số bội tính bão hịa ngun tố mơđun Artin 1.4 Môđun đối đồng điều địa phương Artin 12 Chương Môđun đối đồng điều địa phương Artin trường... dồng điều địa phương với giá cực đại Hmi (M ) Artin với i ≥ Sau R Y Sharp [28] phát lớp môđun đối đồng điều địa phương Artin thứ hai HId (M ) Nhiều thông tin hai lớp môđun đối đồng điều địa phương. .. P)) > Chú ý môđun đối đồng điều địa phương môđun hữu hạn sinh nhìn chung khơng hữu hạn sinh khơng Artin (xem [8, Hệ 7.3.3]) Vì thế, hai kết sau tính Artin mơđun đối đồng điều địa phương chứng