Tính bão hòa nguyên tố của một số môđun đối đồng điều địa phương artin ( Luận án tiến sĩ)

Tính bão hòa nguyên tố của một số môđun đối đồng điều địa phương artin ( Luận án tiến sĩ)Tính bão hòa nguyên tố của một số môđun đối đồng điều địa phương artin ( Luận án tiến sĩ)Tính bão hòa nguyên tố của một số môđun đối đồng điều địa phương artin ( Luận án tiến sĩ)Tính bão hòa nguyên tố của một số môđun đối đồng điều địa phương artin ( Luận án tiến sĩ)Tính bão hòa nguyên tố của một số môđun đối đồng điều địa phương artin ( Luận án tiến sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THU TÍNH BÃO HỊA NGUN TỐ CỦA MỘT SỐ MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG ARTIN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên, tháng 05, năm 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THU TÍNH BÃO HỊA NGUN TỐ CỦA MỘT SỐ MƠĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG ARTIN Chuyên ngành : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS LÊ THỊ THANH NHÀN Thái Nguyên, tháng 05, năm 2014 Mục lục Lời cảm ơn ii Lời nói đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đầy đủ theo tôpô m-adic đối ngẫu Matlis 1.2 Biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin 1.3 Tính chất cở sở môđun đối đồng điều địa phương 12 1.4 Tính catenary vành 15 Tính bão hòa ngun tố mơđun đối đồng điều địa phương Artin 18 2.1 Tính bão hòa ngun tố mơđun Artin 18 2.2 Tính bão hòa ngun tố Hmd (M ) 26 2.3 Tính bão hòa ngun tố Hmi (M ) 35 2.4 Tính bão hòa ngun tố HId (M ) 37 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành bảo hướng dẫn tận tình PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn Cô dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô Tôi xin gửi tới thầy Viện Tốn học Hà Nội, Khoa Tốn, Khoa Sau đại học Trường Đại học Sư phạm-Đại học Thái Ngun tận tình giảng dạy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập trường Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè người thân quan tâm, tạo điều kiện, động viên, cổ vũ để tơi hồn thành nhiệm vụ ii Lời nói đầu Cho (R, m) vành giao hốn Noether địa phương với iđêan tối đại m Cho M R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d Giả sử p ∈ Spec(R) cho p chứa AnnR M Khi p ∈ SuppR M , Mp = Theo Bổ đề Nakayama ta có Mp /pMp = Suy p ∈ SuppR (M/pM ) p ⊇ AnnR (M/pM ) Hiển nhiên p ⊆ AnnR (M/pM ) Vì ta ln có AnnR (M/pM ) = p với iđêan nguyên tố p ⊇ AnnR M Theo suy nghĩ đối ngẫu, N T Cường L T Nhàn [CN] xét tính chất sau R-mơđun Artin A AnnR (0 :A p) = p với iđêan nguyên tố p ⊇ AnnR A (∗) Khi R vành đầy đủ theo tôpô m-adic, sử dụng đối ngẫu Matlis áp dụng tính chất mơđun hữu hạn sinh, ta thấy tính chất (*) cho R-môđun Artin A Tuy nhiên, Nguyễn Tự Cường Lê Thanh Nhàn [CN] xây dựng ví dụ tính chất (*) nhìn chung khơng vành R khơng đầy đủ Định nghĩa Ta nói R-mơđun Artin A bão hòa ngun tố A thỏa mãn tính chất (*) Tính bão hòa nguyên tố giới thiệu N T Cường L T Nhàn [CN] nhằm nghiên cứu chiều môđun Artin Chú ý môđun đối đồng điều địa phương Hmi (M ) R-môđun Artin với cấp i Năm 2007, N T Cường, N T Dung, L T Nhàn [CDN] đặc trưng tính bão hòa nguyên tố môđun đối đồng điều địa phương cấp cao với giá cực đại sau Định lí Hmd (M ) bão hòa nguyên tố R/ AnnR Hmd (M ) vành catenary Với iđêan I R, kí hiệu Var(I) tập iđêan nguyên tố R chứa I Năm 2009, L T Nhàn T N An [NA] đặc trưng tính bão hòa ngun tố môđun đối đồng điều cấp i tùy ý với giá cực đại thông qua tập giả giá Theo Brodmann Sharp [BS1], giả giá thứ i M , kí hiệu PsuppiR (M ), định nghĩa sau: i−dim(R/p) PsuppiR (M ) = {p ∈ Spec(R) : HpRp (Mp ) = 0} Định lí PsuppiR (M ) ⊆ Var(AnnR Hmi (M )) Dấu đẳng thức xảy Hmi (M ) bão hòa ngun tố Chúng ta biết mơđun đối đồng điều địa phương cấp cao với giá I tùy ý môđun Artin Năm 2012, L T Nhàn T Đ M Châu [NC] đặc trưng tính bão hòa nguyên tố HId (M ) Theo I G Macdonald [Mac], với R-mơđun Artin A, kí hiệu AttR A tập iđêan nguyên tố gắn kết A Định lí HId (M ) bão hòa nguyên tố R/ AnnR HId (M ) vành catenary AttR HId (M ) = {p ∈ AssR M : dim(R/p) = d, p + I = m} Mục đích luận văn chứng minh lại chi tiết định lí nêu tính bão hòa ngun tố số môđun đối đồng điều địa phương Artin báo [CDN], [NA], [NC] Luận văn gồm chương Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị vành đầy đủ theo tôpô m-adic đối ngẫu Matlis, lí thuyết biểu diễn thứ cấp cho mơđun Artin, khái niệm tính chất sở mơđun đối đồng điều địa phương, tính catenary vành Chương đưa chứng minh chi tiết cho đặc trưng tính bão hòa ngun tố số mơđun đối đồng điều địa phương Artin Hmd (M ), Hmi (M ) HId (M ) Chương Kiến thức chuẩn bị Trong suốt luận văn này, giả thiết (R, m) vành giao hoán Noether, địa phương với iđêan tối đại m Cho A R-môđun Artin M R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d Mục đích Chương trình bày lại số kiến thức chuẩn bị vành đầy đủ theo tôpô m-adic đối ngẫu Matlis, lý thuyết biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin, tính chất sở mơđun đối đồng điều địa phương tính catenary vành 1.1 Đầy đủ theo tơpơ m-adic đối ngẫu Matlis Kí hiệu E(R/m) bao nội xạ trường thặng dư R/m, L R-môđun (không thiết hữu hạn sinh, không thiết Artin) Mục đích tiết nhắc lại khái niệm vành đầy đủ R R theo tôpô m-adic số kết hàm tử đối ngẫu Matlis D(−) := HomR (−, E(R/m)) Các thuật ngữ tham khảo chương 10 sách [BS] M Brodmann R Y Sharp Định nghĩa 1.1.1 Một dãy (xn ) ⊂ R gọi dãy Cauchy theo tôpô m-adic với k ∈ N cho trước, tồn n0 ∈ N cho xn − xm ∈ mk , với m, n ≥ n0 Dãy (xn ) ⊂ R gọi dãy không với k ∈ N cho trước tồn n0 ∈ N cho xn ∈ mk ,với n ≥ n0 Ta trang bị quan hệ tương đương tập dãy Cauchy sau : Hai dãy Cauchy (xn ), (yn ) gọi tương đương dãy (xn −yn ) dãy khơng Kí hiệu R tập lớp tương đương dãy Cauchy Chú ý tổng tích hai dãy Cauchy dãy Cauchy, quy tắc cộng (xn ) + (yn ) = (xn + yn ) quy tắc nhân (xn )(yn ) = (xn yn ) không phụ thuộc vào cách chọn đại diện lớp tương đương Vì phép tốn R với phép toán R làm thành vành Noether địa phương với iđêan tối đại mR Vành R vừa xây dựng gọi vành đầy đủ theo tôpô m-adic R Một dãy (zn ) ⊂ M gọi dãy Cauchy theo tôpô m-adic với k ∈ N cho trước, tồn n0 ∈ N cho zn − zm ∈ mk M , với m, n ≥ n0 Dãy (zn ) ⊂ M gọi dãy không với k ∈ N cho trước tồn n0 ∈ N cho zn ∈ mk , với n ≥ n0 Ta trang bị quan hệ tương đương tập dãy Cauchy sau: Hai dãy Cauchy (zn ), (tn ) gọi tương đương dãy (zn − tn ) dãy khơng Kí hiệu M tập lớp tương đương dãy Cauchy Chú ý tổng hai dãy Cauchy dãy Cauchy tích vơ hướng phần tử thuộc R với dãy Cauchy dãy Cauchy, quy tắc cộng (zn ) + (tn ) = (zn + tn ) quy tắc nhân vô hướng a(zn ) = (azn ) với a ∈ R, không phụ thuộc vào cách chọn đại diện lớp tương đương Vì phép tốn M với phép toán M làm thành R-môđun gọi môđun đầy đủ theo tơpơ m-adic vành R Ví dụ 1.1.2 Cho k trường, k[x] vành đa thức biến k Vành S = k[x] không vành địa phương Chọn P = (x)S iđêan cực đại S Do vành địa phương hóa R = SP vành địa phương với iđêan tối đại m = (x)R Ta kiểm tra vành đầy đủ m-adic R k[[x]] Định nghĩa 1.1.3 Cho L = R-môđun, R-môđun E gọi mở rộng cốt yếu môđun L L ⊆ E với môđun khác khơng N E ln có N ∩ L = Một R-môđun E gọi bao nội xạ L E R-môđun nội xạ mở rộng cốt yếu L Mỗi R-môđun L ln có bao nội xạ Hơn nữa, E E bao nội xạ L, tồn đẳng cấu f : E → E cho f (x) = x, với x ∈ L Ta kí hiệu bao nội xạ môđun L E(L) Một giải nội xạ L dãy khớp −→ L −→ E0 −→ E1 −→ E2 −→ Ei R-mơđun nội xạ Chú ý mơđun có giải nội xạ Dãy = L0 L1 L2 Lt = L (*) Li mơđun của L gọi dãy môđun độ dài t Ta nói L có dãy hợp thành tồn dãy (*) mà Li Li+1 thêm môđun khác, với i = 0, , t − Nếu L có dãy hợp thành dãy mơđun khơng có mắt lặp lại L mở rộng thành dãy hợp thành dãy hợp thành L có chung độ dài Trong trường hợp ta nói L có độ dài hữu hạn độ dài L, kí hiệu R (L), độ dài dãy hợp thành Nếu L dãy hợp thành ta nói L có độ dài vơ hạn, ta kí hiệu R (L) = ∞ Định nghĩa 1.1.4 Đặt E := E(R/m) bao nội xạ trường thặng dư R/m R Xét hàm tử D(−) = Hom(−, E) từ phạm trù R5 mơđun đến Ta thấy D(−) hàm tử phản biến, tuyến tính khớp trái Vì E môđun nội xạ nên D(−) hàm tử khớp Với R-môđun L, ta gọi D(L) đối ngẫu Matlis L Xét µL : L → DD(L) = HomR (HomR (L, E), E) R-đồng cấu cho (µL (x))(f ) = f (x), với x ∈ L, với f ∈ HomR (L, E) Ta có µL đơn cấu Thật vậy, với x ∈ L, f ∈ HomR (L, E) mà (µL (x))(f ) = f (x) = 0, suy f = Đặt AnnR L = {a ∈ R | aL = 0} Chú ý AnnR L iđêan R Bổ đề 1.1.5 Giả sử (R, m) vành địa phương Với kí hiệu trên, phát biểu sau (i) AnnR L = AnnR D(L) (ii) Nếu R (L) < ∞ D(L) ∼ = L (iii) Nếu L mơđun Noether D(L) mơđun Artin (iv) (R, m) vành đầy đủ L mơđun Artin D(L) mơđun Noether 1.2 Biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin Mục tiêu tiết trình bày khái niệm tính chất biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin, đặc biệt tập iđêan nguyên tố gắn kết nhằm phục vụ chứng minh kết Chương Các kiến thức tiết tham khảo báo [Mac] I G Macdonald Trong suốt tiết giả thiết A R-môđun Artin Định nghĩa 1.2.1 (i) Cho x ∈ R Nếu tồn số tự nhiên n cho ... môđun đối đồng điều địa phương Artin 18 2.1 Tính bão hòa ngun tố mơđun Artin 18 2.2 Tính bão hòa nguyên tố Hmd (M ) 26 2.3 Tính bão hòa ngun tố Hmi (M ) 35 2.4 Tính. .. cho môđun Artin, khái niệm tính chất sở mơđun đối đồng điều địa phương, tính catenary vành Chương đưa chứng minh chi tiết cho đặc trưng tính bão hòa nguyên tố số môđun đối đồng điều địa phương Artin. .. R-mơđun Artin A bão hòa ngun tố A thỏa mãn tính chất (* ) Tính bão hòa ngun tố giới thiệu N T Cường L T Nhàn [CN] nhằm nghiên cứu chiều môđun Artin Chú ý môđun đối đồng điều địa phương Hmi (M ) R-môđun