Tính bão hòa nguyên tố của một số môđun đối đồng điều địa phương artin

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THU TÍNH BÃO HỊA NGUYÊN TỐ CỦA MỘT SỐ MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG ARTIN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên, tháng 05, năm 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THU TÍNH BÃO HỊA NGUN TỐ CỦA MỘT SỐ MƠĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG ARTIN Chuyên ngành : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS LÊ THỊ THANH NHÀN Thái Nguyên, tháng 05, năm 2014 Mục lục Lời cảm ơn ii Lời nói đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đầy đủ theo tôpô m-adic đối ngẫu Matlis 1.2 Biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin 1.3 Tính chất cở sở mơđun đối đồng điều địa phương 12 1.4 Tính catenary vành 15 Tính bão hịa ngun tố mơđun đối đồng điều địa phương Artin 18 2.1 Tính bão hịa ngun tố môđun Artin 18 2.2 Tính bão hịa ngun tố Hmd (M ) 26 2.3 Tính bão hịa ngun tố Hmi (M ) 35 2.4 Tính bão hịa ngun tố HId (M ) 37 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành bảo hướng dẫn tận tình PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn Cô dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến cô Tôi xin gửi tới thầy Viện Tốn học Hà Nội, Khoa Tốn, Khoa Sau đại học Trường Đại học Sư phạm-Đại học Thái Nguyên tận tình giảng dạy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập trường Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè người thân quan tâm, tạo điều kiện, động viên, cổ vũ để tơi hồn thành nhiệm vụ ii Lời nói đầu Cho (R, m) vành giao hoán Noether địa phương với iđêan tối đại m Cho M R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d Giả sử p ∈ Spec(R) cho p chứa AnnR M Khi p ∈ SuppR M , Mp = Theo Bổ đề Nakayama ta có Mp /pMp = Suy p ∈ SuppR (M/pM ) p ⊇ AnnR (M/pM ) Hiển nhiên p ⊆ AnnR (M/pM ) Vì ta ln có AnnR (M/pM ) = p với iđêan nguyên tố p ⊇ AnnR M Theo suy nghĩ đối ngẫu, N T Cường L T Nhàn [CN] xét tính chất sau R-môđun Artin A AnnR (0 :A p) = p với iđêan nguyên tố p ⊇ AnnR A (∗) Khi R vành đầy đủ theo tôpô m-adic, sử dụng đối ngẫu Matlis áp dụng tính chất mơđun hữu hạn sinh, ta thấy tính chất (*) cho R-môđun Artin A Tuy nhiên, Nguyễn Tự Cường Lê Thanh Nhàn [CN] xây dựng ví dụ tính chất (*) nhìn chung khơng cịn vành R khơng đầy đủ Định nghĩa Ta nói R-mơđun Artin A bão hịa nguyên tố A thỏa mãn tính chất (*) Tính bão hòa nguyên tố giới thiệu N T Cường L T Nhàn [CN] nhằm nghiên cứu chiều môđun Artin Chú ý môđun đối đồng điều địa phương Hmi (M ) R-môđun Artin với cấp i Năm 2007, N T Cường, N T Dung, L T Nhàn [CDN] đặc trưng tính bão hịa ngun tố mơđun đối đồng điều địa phương cấp cao với giá cực đại sau Định lí Hmd (M ) bão hịa ngun tố R/ AnnR Hmd (M ) vành catenary Với iđêan I R, kí hiệu Var(I) tập iđêan nguyên tố R chứa I Năm 2009, L T Nhàn T N An [NA] đặc trưng tính bão hịa ngun tố môđun đối đồng điều cấp i tùy ý với giá cực đại thông qua tập giả giá Theo Brodmann Sharp [BS1], giả giá thứ i M , kí hiệu PsuppiR (M ), định nghĩa sau: i−dim(R/p) PsuppiR (M ) = {p ∈ Spec(R) : HpRp (Mp ) = 0} Định lí PsuppiR (M ) ⊆ Var(AnnR Hmi (M )) Dấu đẳng thức xảy Hmi (M ) bão hịa ngun tố Chúng ta biết mơđun đối đồng điều địa phương cấp cao với giá I tùy ý môđun Artin Năm 2012, L T Nhàn T Đ M Châu [NC] đặc trưng tính bão hịa ngun tố HId (M ) Theo I G Macdonald [Mac], với R-mơđun Artin A, kí hiệu AttR A tập iđêan nguyên tố gắn kết A Định lí HId (M ) bão hòa nguyên tố R/ AnnR HId (M ) vành catenary AttR HId (M ) = {p ∈ AssR M : dim(R/p) = d, p + I = m} Mục đích luận văn chứng minh lại chi tiết định lí nêu tính bão hịa ngun tố số môđun đối đồng điều địa phương Artin báo [CDN], [NA], [NC] Luận văn gồm chương Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị vành đầy đủ theo tôpô m-adic đối ngẫu Matlis, lí thuyết biểu diễn thứ cấp cho mơđun Artin, khái niệm tính chất sở mơđun đối đồng điều địa phương, tính catenary vành Chương đưa chứng minh chi tiết cho đặc trưng tính bão hịa ngun tố số mơđun đối đồng điều địa phương Artin Hmd (M ), Hmi (M ) HId (M ) Chương Kiến thức chuẩn bị Trong suốt luận văn này, giả thiết (R, m) vành giao hoán Noether, địa phương với iđêan tối đại m Cho A R-môđun Artin M R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d Mục đích Chương trình bày lại số kiến thức chuẩn bị vành đầy đủ theo tôpô m-adic đối ngẫu Matlis, lý thuyết biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin, tính chất sở mơđun đối đồng điều địa phương tính catenary vành 1.1 Đầy đủ theo tơpơ m-adic đối ngẫu Matlis Kí hiệu E(R/m) bao nội xạ trường thặng dư R/m, L R-môđun (không thiết hữu hạn sinh, khơng thiết Artin) Mục đích tiết nhắc lại khái niệm vành đầy đủ R R theo tôpô m-adic số kết hàm tử đối ngẫu Matlis D(−) := HomR (−, E(R/m)) Các thuật ngữ tham khảo chương 10 sách [BS] M Brodmann R Y Sharp Định nghĩa 1.1.1 Một dãy (xn ) ⊂ R gọi dãy Cauchy theo tôpô m-adic với k ∈ N cho trước, tồn n0 ∈ N cho xn − xm ∈ mk , với m, n ≥ n0 Dãy (xn ) ⊂ R gọi dãy không với k ∈ N cho trước tồn n0 ∈ N cho xn ∈ mk ,với n ≥ n0 Ta trang bị quan hệ tương đương tập dãy Cauchy sau : Hai dãy Cauchy (xn ), (yn ) gọi tương đương dãy (xn −yn ) dãy khơng Kí hiệu R tập lớp tương đương dãy Cauchy Chú ý tổng tích hai dãy Cauchy dãy Cauchy, quy tắc cộng (xn ) + (yn ) = (xn + yn ) quy tắc nhân (xn )(yn ) = (xn yn ) không phụ thuộc vào cách chọn đại diện lớp tương đương Vì phép tốn R với phép toán R làm thành vành Noether địa phương với iđêan tối đại mR Vành R vừa xây dựng gọi vành đầy đủ theo tôpô m-adic R Một dãy (zn ) ⊂ M gọi dãy Cauchy theo tôpô m-adic với k ∈ N cho trước, tồn n0 ∈ N cho zn − zm ∈ mk M , với m, n ≥ n0 Dãy (zn ) ⊂ M gọi dãy không với k ∈ N cho trước tồn n0 ∈ N cho zn ∈ mk , với n ≥ n0 Ta trang bị quan hệ tương đương tập dãy Cauchy sau: Hai dãy Cauchy (zn ), (tn ) gọi tương đương dãy (zn − tn ) dãy không Kí hiệu M tập lớp tương đương dãy Cauchy Chú ý tổng hai dãy Cauchy dãy Cauchy tích vơ hướng phần tử thuộc R với dãy Cauchy dãy Cauchy, quy tắc cộng (zn ) + (tn ) = (zn + tn ) quy tắc nhân vô hướng a(zn ) = (azn ) với a ∈ R, không phụ thuộc vào cách chọn đại diện lớp tương đương Vì phép toán M với phép toán M làm thành R-môđun gọi môđun đầy đủ theo tơpơ m-adic vành R Ví dụ 1.1.2 Cho k trường, k[x] vành đa thức biến k Vành S = k[x] không vành địa phương Chọn P = (x)S iđêan cực đại S Do vành địa phương hóa R = SP vành địa phương với iđêan tối đại m = (x)R Ta kiểm tra vành đầy đủ m-adic R k[[x]] Định nghĩa 1.1.3 Cho L = R-môđun, R-môđun E gọi mở rộng cốt yếu môđun L L ⊆ E với mơđun khác khơng N E ln có N ∩ L = Một R-môđun E gọi bao nội xạ L E R-môđun nội xạ mở rộng cốt yếu L Mỗi R-mơđun L ln có bao nội xạ Hơn nữa, E E bao nội xạ L, tồn đẳng cấu f : E → E cho f (x) = x, với x ∈ L Ta kí hiệu bao nội xạ môđun L E(L) Một giải nội xạ L dãy khớp −→ L −→ E0 −→ E1 −→ E2 −→ Ei R-môđun nội xạ Chú ý môđun có giải nội xạ Dãy = L0 L1 L2 Lt = L (*) Li môđun của L gọi dãy môđun độ dài t Ta nói L có dãy hợp thành tồn dãy (*) mà Li Li+1 thêm môđun khác, với i = 0, , t − Nếu L có dãy hợp thành dãy mơđun khơng có mắt lặp lại L mở rộng thành dãy hợp thành dãy hợp thành L có chung độ dài Trong trường hợp ta nói L có độ dài hữu hạn độ dài L, kí hiệu R (L), độ dài dãy hợp thành Nếu L khơng có dãy hợp thành ta nói L có độ dài vơ hạn, ta kí hiệu R (L) = ∞ Định nghĩa 1.1.4 Đặt E := E(R/m) bao nội xạ trường thặng dư R/m R Xét hàm tử D(−) = Hom(−, E) từ phạm trù R5 mơđun đến Ta thấy D(−) hàm tử phản biến, tuyến tính khớp trái Vì E môđun nội xạ nên D(−) hàm tử khớp Với R-môđun L, ta gọi D(L) đối ngẫu Matlis L Xét µL : L → DD(L) = HomR (HomR (L, E), E) R-đồng cấu cho (µL (x))(f ) = f (x), với x ∈ L, với f ∈ HomR (L, E) Ta có µL đơn cấu Thật vậy, với x ∈ L, f ∈ HomR (L, E) mà (µL (x))(f ) = f (x) = 0, suy f = Đặt AnnR L = {a ∈ R | aL = 0} Chú ý AnnR L iđêan R Bổ đề 1.1.5 Giả sử (R, m) vành địa phương Với kí hiệu trên, phát biểu sau (i) AnnR L = AnnR D(L) (ii) Nếu R (L) < ∞ D(L) ∼ = L (iii) Nếu L mơđun Noether D(L) môđun Artin (iv) (R, m) vành đầy đủ L mơđun Artin D(L) mơđun Noether 1.2 Biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin Mục tiêu tiết trình bày khái niệm tính chất biểu diễn thứ cấp cho mơđun Artin, đặc biệt tập iđêan nguyên tố gắn kết nhằm phục vụ chứng minh kết Chương Các kiến thức tiết tham khảo báo [Mac] I G Macdonald Trong suốt tiết giả thiết A R-môđun Artin Định nghĩa 1.2.1 (i) Cho x ∈ R Nếu tồn số tự nhiên n cho Do AnnR (0 :Hmd (M ) p) = p Bổ đề 2.2.12 Giả sử N môđun R-môđun hữu hạn sinh M cho dim(M/N ) = dim M = d Khi phần hệ tham số M phần hệ tham số M/N Chứng minh Giả sử (x1 , , xr ) phần hệ tham số M Khi tồn phần tử xr+1 , , xd ∈ m cho (x1 , , xd ) hệ tham số M Suy R (M/(x1 , , xr )M ) < ∞, R (M/(N +(x1 , , xd )M )) < ∞ Vì dim(M/N ) = d, ta suy (x1 , , xd ) hệ tham số M/N Vì (x1 , , xr ) phần hệ tham số M/N Trong Chương có khái niệm vành catenary Rất tự nhiên, ta định nghĩa tính catenary cho giá SuppR M sau Định nghĩa 2.2.13 Ta nói SuppR M catenary với cặp iđêan nguyên tố q ⊂ p ∈ SuppR M tồn dãy nguyên tố bão hòa q p tất dãy ngun tố bão hịa có chung độ dài Từ định nghĩa tính catenary SuppR M , ta thấy SuppR M catenary R/ AnnR M catenary, M R-mơđun hữu hạn sinh nên SuppR M = Var(AnnR M ) dãy iđêan nguyên tố bão hòa hai iđêan ¯q ⊂ p¯ R/ AnnR M tương ứng với dãy iđêan nguyên tố bão hòa hai iđêan nguyên tố q ⊂ p R chứa AnnR M , ¯q, p¯ ảnh q, p R/ AnnR M Do đó, từ kết Ratliff nhắc Chương 1, ta suy SuppR M catenary dim R/p = d với iđêan nguyên tố p ∈ AssR M dim(R/p) + dim Mp = d với p ∈ SuppR M Sử dụng nhận xét tính chất catenary áp dụng cho giá không trộn lẫn 32 UsuppR M = SuppR (M/UM (0)) với ý dim R/p = d với p ∈ AssR (M/UM (0)), ta có kết sau Bổ đề 2.2.14 Giá không trộn lẫn UsuppR M M catenary dim R/p + dim Mp = d với p ∈ UsuppR M Định lí sau kết tiết này, tính catenary R/ AnnR (Hmd (M )) tương đương với tính bão hịa ngun tố mơđun đối đồng điều địa phương Hmd (M ) Định lý 2.2.15 Các phát biểu sau tương đương: (i) R/ AnnR (Hmd (M )) catenary (ii) Hmd (M ) bão hòa nguyên tố Chứng minh (i) ⇒ (ii) Cho p ∈ Var(AnnR (Hmd (M ))) Theo Hệ 2.2.7 ta có UsuppR M = Var(AnnR (Hmd (M ))) nên ta có UsuppR M catenary Vì dim Mp + dim R/p = d Do theo Bổ đề 2.2.11 ta có AnnR (0 :Hmd (M ) p) = p Vì Hmd (M ) bão hòa nguyên tố (ii) ⇒ (i) Để chứng minh R/ AnnR (Hmd (M )) catenary ta chứng minh UsuppR M catenary, theo Bổ đề 2.2.14 ta cần chứng minh dim R/p + dim Mp = d với p ∈ UsuppR M Nếu p = m rõ ràng dim R/m + dim Mm = + dim M = d Do ta giả thiết p = m Đặt dim R/p = d − r Ta cần chứng minh dim Mp = r Vì p ⊇ AnnR (M/UM (0)) nên Rad(AnnR (M/UM (0)/p(M/UM (0)))) = Rad(AnnR (M/UM (0)) + p) = p Do ta có dim(M/UM (0)/p(M/UM (0))) = dim R/p = d − r 33 Vì tồn phần hệ tham số (x1 , , xr ) M/UM (0) p Rõ ràng phần hệ tham số tối đại p, tức không tồn phần tử y ∈ p để (x1 , , xr , y) phần hệ tham số M/UM (0) Vì p ∈ UsuppR M nên theo Mệnh đề 2.2.8, tồn iđêan nguyên tố P ∈ UsuppR M cho P ∩ R = p Đặt M1 = M /UM (0) Vì (x1 , , xr ) phần hệ tham số M/UM (0) nên phần hệ tham số mơđun đầy đủ m-adic M/UM (0) M/UM (0) Vì M1 môđun thương môđun M/UM (0) dim M1 = dim M/UM (0) nên theo Bổ đề 2.2.12, (x1 , , xr ) phần hệ tham số M1 Chú ý P ∈ SuppR (M1 /(x1 , , xr−1 )M1 ) Vì P ⊇ P1 với iđêan nguyên tố tối thiểu P1 ∈ SuppR (M1 /(x1 , , xr−1 )M1 ) Vì xr phần tử tham số M1 /(x1 , , xr−1 )M1 nên xr tránh tất iđêan nguyên tố liên kết có chiều cao M1 /(x1 , , xr−1 )M1 Vì theo Bổ đề 2.2.9, ta suy xr ∈ / P1 Đặt p1 = P1 ∩ R Khi xr ∈ / p1 Vì xr ∈ p nên ta có p ⊃ p1 p = p1 Lập luận tương tự, tồn iđêan nguyên tố tối thiểu P2 ∈ SuppR (M1 /(x1 , , xr−2 )M1 ) cho P1 ⊇ P2 Đặt p2 = P2 ∩R Khi theo Bổ đề 2.2.9, xr−1 ∈ P1 \P2 Do p1 ⊃ p2 p1 = p2 Tiếp tục trình trên, sau r bước ta nhận dãy iđêan nguyên tố chứa AnnR M p ⊃ p1 ⊃ p2 ⊃ ⊃ pr cho pi = pi+1 với i = 1, , r − Vì dim Mp = r 34 2.3 Tính bão hịa ngun tố Hmi (M ) Mục tiêu tiết đặc trưng tính bão hịa nguyên tố môđun đối đồng điều địa phương cấp tùy ý với giá cực đại thông qua tập giả giá Định nghĩa 2.3.1 Theo Brodmann Sharp [BS1], tập i−dim(R/p) {p ∈ Spec(R) : HpRp (Mp ) = 0} gọi giả giá thứ i M , kí hiệu PsuppiR (M ) i−dim(R/p) Bổ đề 2.3.2 [BS] Cho p ∈ Spec(R) Nếu qRp ∈ AttRp HpRp (Mp ) q ∈ AttR Hmi (M ) Bổ đề 2.3.3 [BS] Cho p ∈ Spec(R) Nếu R đầy đủ i−dim(R/p) AttRp HpRp (Mp ) = {qRp : q ⊆ p, q ∈ AttR Hmi (M )} Định lý 2.3.4 PsuppiR (M ) ⊆ Var(AnnR (Hmi (M ))) Dấu đẳng thức xảy Hmi (M ) bão hòa nguyên tố i−dim(R/p) Chứng minh Cho p ∈ PsuppiR (M ) Khi HpRp (Mp ) = 0, nên i−dim(R/p) tồn iđêan nguyên tố gắn kết qRp ∈ AttR (HpRp (Mp )) với iđêan nguyên tố q ⊆ p Theo Bổ đề 2.3.2, q ∈ AttR (Hmi (M )) Do p ⊇ q ⊇ AnnR (Hmi (M )) Vì PsuppiR (M ) ⊆ Var(AnnR (Hmi (M ))) Giả sử Hmi (M ) bão hòa nguyên tố, lấy p ∈ Var(AnnR (Hmi (M ))) Khi AnnR (0 :Hmi (M ) p) = p, nên Var(AnnR (0 :Hmi (M ) p)) = {p} Cho q ⊇ AnnR (0 :Hmi (M ) p) Khi q ⊇ p Vì Hmi (M ) bão hịa ngun tố, nên ta có AnnR (0 :(0:H i (M ) p) q) = AnnR ((0 :Hmi (M ) q) = q m 35 Do (0 :Hmi (M ) p) bão hịa ngun tố Vì theo Mệnh đề 2.1.13 Hệ 2.1.14 ta có dim(R/p) = dim(R/ AnnR (0 :Hmi (M ) p)) = N-dimR (0 :Hmi (M ) p) = dim(R/ AnnR (0 :Hmi (M ) p)) = max{dim(R/P ) : P ∈ AttR (0 :Hmi (M ) p)} Vì tồn P ∈ AttR (0 :Hmi (M ) p) cho dim(R/P ) = dim(R/p) Chú ý P ∈ Var(AnnR (Hmi (M ))) P ∩ R ⊇ p Do dim(R/P ) = dim(R/p), nên P iđêan nguyên tố tối thiểu pR Lấy P1 ∈ Spec R P1 ⊇ AnnR (Hmi R (M )) Khi tồn Q ∈ Var(AnnR (Hmi R (M ))) để P1 ⊇ Q Do Q ∈ AttR (Hmi R (M )) Theo Bổ đề 2.3.3, ta có QRP1 ∈ i−dim(R/P1 ) AttRP (HP1 RP 1 i−dim(R/P1 ) HP1 RP i−dim(R/P1 ) (MP1 )), AttRP (HP1 RP 1 (MP1 )) = ∅, (MP1 ) = 0, nên P1 ∈ PsuppiR (M ) Vì PsuppiR (M ) = Var(AnnR (Hmi R (M ))) Vì Hmi (M ) ∼ = Hmi R (M ) coi R-mơđun, nên ta có PsuppiR (M ) = Var(AnnR (Hmi (M ))) i−dim(R/P ) Do P ∈ PsuppiR (M ) nên HP R P (MP ) = Vì P iđêan tối thiểu pR dim(R/P ) = dim(R/p), theo Định lí [BS, 4.3.2], ta có i−dim(R/p) HpRp i−dim(R/P ) i−dim(R/P ) (Mp ) ⊗ RP ∼ (Mp ⊗ RP ) ∼ (MP ) = = HpR = HP R P i−dim(R/p) Suy HpRp P (Mp ) = nên p ∈ PsuppiR (M ) Vì Var(AnnR (Hmi (M ))) ⊆ PsuppiR (M ) Giả sử, PsuppiR (M ) = Var(AnnR (Hmi (M ))) Lấy p ⊇ AnnR (Hmi (M )) i−dim(R/p) Khi p ∈ PsuppiR (M ), suy HpRp 36 (Mp ) = Vì dim(R/p) = dim(R/pR) nên tồn iđêan P ∈ AssR (R/pR) cho dim(R/P ) = dim(R/p) Do P ∩ R = p P iđêan nguyên tố tối thiểu pR Chú ý ánh xạ cảm sinh Rp −→ RP hồn tồn phẳng nên theo Định lí [BS, 4.3.2] ta có i−dim(R/P ) HP R P i−dim(R/p) (MP ) ∼ (Mp ) ⊗ RP = = HpRp i Do P ∈ PsuppR (M ) = Var(AnnR (Hmi (M ))) Chú ý Hmi (M ) xét R-mơđun Artin nên bão hịa ngun tố Do AnnR (0 :Hmi (M ) P ) = P Vì p ⊆ AnnR (0 :Hmi (M ) p) ⊆ AnnR (0 :Hmi (M ) P ) ∩ R = P ∩ R = p Suy AnnR (0 :Hmi (M ) p) = p Vậy Hmi (M ) bão hịa ngun tố 2.4 Tính bão hòa nguyên tố HId(M ) Mục tiêu tiết trình bày đặc trưng tính bão hịa ngun tố môđun đối đồng điều địa phương cấp cao với giá tùy ý HId (M ) Trong Chương ta có khái niệm mơđun Noether đẳng chiều tựa không trộn lẫn Theo suy nghĩ đối ngẫu, ta định nghĩa khái niệm đẳng chiều tựa không trộn lẫn cho môđun Artin sau Định nghĩa 2.4.1 Nếu dim(R/p) = dim(R/ AnnR A) với iđêan nguyên tố gắn kết p ∈ AttR A ta nói A đẳng chiều Mơđun Artin A gọi tựa không trộn lẫn R-môđun A đẳng chiều, tức dim(R/P ) = dim(R/ AnnR A) với P ∈ AttR A Bổ đề 2.4.2 Nếu A tựa khơng trộn lẫn (0 :A (x1 , , xr )R) tựa không trộn lẫn với phần hệ tham số (x1 , , xr ) A 37 Chứng minh Cho N-dim A = s (x1 , , xr ) phần hệ tham số A Theo Hệ 2.1.14 ta có dim(R/ AnnR A) = s dim(R/ AnnR (0 :A (x1 , , xr )R)) = N-dim(0 :A (x1 , , xr )R) = s − r Lấy P ∈ AttR (0 :A (x1 , , xr )R) Khi theo Hệ 2.1.14 ta suy dim(R/P ) ≤ s − r Chú ý P ⊇ AnnR A Do P1 ⊆ P với P1 ∈ AttR A Mặt khác A tựa không trộn lẫn nên dim(R/P1 ) = s Lại có P ∈ Var(P1 + (x1 , , xr )R) nên theo [Mat, Định lý 13.5] có ht(P/P1 ) ≤ r Do dim(R/P ) = s − ht(P/P1 ) ≥ s − r Vì dim(R/P ) = s − r Bổ đề 2.4.3 Giả sử dim(R/ AnnR A) = N-dimR A Nếu A tựa khơng trộn lẫn A đẳng chiều với iđêan I R ta có dim(R/ AnnR (0 :A I)) = N-dimR (0 :A I) Chứng minh Giả sử dim(R/ AnnR A) = N-dimR A = s Khi theo Hệ 2.1.14 ta có dim(R/ AnnR A) = s Lấy p ∈ AttR A Theo Hệ 2.1.14, dim R/p ≤ s Do tồn P ∈ AttR A cho P ∩ R = p Khi P ⊇ Q với Q ∈ AttR A Do Q ∩ R ∈ AttR A Vì p tối thiểu AttR A nên Q ∩ R = p Do A tựa khơng trộn lẫn nên dim(R/Q) = s Do dim(R/p) ≥ s Bởi dim(R/p) = s Vì A đẳng chiều Trước tiên, cho phần hệ tham số (x1 , , xr ) A, ta chứng minh đẳng thức dim(R/ AnnR (0 :A (x1 , , xr )R)) = N-dim(0 :A (x1 , , xr )R) = s − r quy nạp theo r Cho r = đặt x = x1 Lấy p ∈ Var(AnnR A) cho dim(R/p) = s Khi p ∈ AttR A Do tồn P ∈ AttR A 38 cho p = P ∩ R Vì A tựa khơng trộn lẫn nên dim(R/P ) = s Do dim(R/ AnnR (0 :A x)) = N-dimR (0 :A x) = s − nên ta suy P Rad(AnnR (0 :A x)) = Rad(AnnR A + xR) Do x ∈ / P , x ∈ / p Suy x phần tử tham số vành địa phương R/ AnnR A, tức dim(R/(AnnR A + xR)) = s − Vậy, dim(R/ AnnR (0 :A x)) ≤ s − Theo Mệnh đề 2.1.13, dim(R/ AnnR (0 :A x)) ≥ N-dim(0 :A x) = s − Do đẳng thức với r = Cho r > Đặt B = (0 :A (x1 , , xr )R) Theo giả thiết quy nạp ta có N-dim B = dim(R/ AnnR B) = s − r + Vì B tựa khơng trộn lẫn theo Bổ đề 2.4.2 xr phần tử tham số B nên áp dụng kết cho trường hợp r = ta nhận N-dim(0 :B xr ) = dim(R/ AnnR (0 :B xr )) = s − r Vậy đẳng thức chứng minh Bây xét I iđêan R Đặt N-dim(0 :A I) = s − r Khi đó, theo Mệnh đề 2.1.12, tồn phần hệ tham số (x1 , , xr ) A I Vì theo đẳng thức theo Mệnh đề 2.1.13 ta có s − r = N-dim(0 :A (x1 , , xr )R) = dim(R/ AnnR (0 :A (x1 , , xr )R)) ≥ dim(R/ AnnR (0 :A I)) ≥ N-dim(0 :A I) = s − r định lý chứng minh 39 Mệnh đề 2.4.4 Giả sử A tựa khơng trộn lẫn Nếu A bão hịa ngun tố vành R/ AnnR A catenary Chứng minh Cho N-dim A = s Do A bão hòa nguyên tố nên theo Mệnh đề 2.1.13 Hệ 2.1.14 ta có dim(R/ AnnR A) = N-dim A = dim(R/ AnnR A) = s Mặt khác A tựa không trộn lẫn dim(R/ AnnR A) = N-dim A nên theo Bổ đề 2.4.3 ta có A đẳng chiều Theo Hệ 2.1.14 ta suy vành R/ AnnR A đẳng chiều Vì theo Mệnh đề 1.4.6, để chứng minh vành R/ AnnR A catenary ta cần dim(R/p) + ht(p/ AnnR A) = s với iđêan nguyên tố p ⊇ AnnR A Lấy p ∈ Var(AnnR A) Đặt N-dim(0 :A p) = s − k Theo Mệnh đề 2.1.12 tồn phần hệ tham số (x1 , , xk ) A chứa p Đặt J0 = Ji = (x1 , , xi )R với i = 1, , k Với i cho trước, (0 :A Ji ) tựa không trộn lẫn theo Bổ đề 2.4.2 Hơn nữa,theo Bổ đề 2.4.3 dim(R/ AnnR (0 :A Ji )) = N-dim(0 :A Ji ) = s − i Vì , theo Bổ đề 2.4.3, (0 :A Ji ) đẳng chiều Vì A bão hịa ngun tố nên p = AnnR (0 :A p) Suy p ⊇ AnnR (0 :A Jk ) Theo Bổ đề 1.2.10 (i) ta có p ⊇ pk với pk ∈ AttR (0 :A Jk ) Tiếp tục lập luận trên, ta nhận dãy iđêan nguyên tố p ⊇ pk ⊇ pk−1 ⊇ ⊇ p0 ⊇ AnnR A pi ∈ AttR (0 :A Ji ) với i = 0, , k Vì (0 :A Ji ) đẳng chiều nên dim(R/pi ) = s − i Vì pi = pi+1 với i Suy ht(p/ AnnR A) ≥ k, dim(R/p) + ht(p/ AnnR A) = s 40 Kí hiệu 2.4.5 Cho = N (p) phân tích nguyên sơ thu gọn p∈AssR M môđun M Đặt AssR (I, M ) = {p ∈ AssR M : dim(R/p) = d, N = I + p = m} N (p) p∈AssR (I,M ) Chú ý N không phụ thuộc vào cách chọn phân tích nguyên sơ thu gọn mơđun M AssR (I, M ) ⊆ AssR M Bổ đề 2.4.6 [DSc, Hệ 3.3] Ta ln có AttR HId (M ) = {P ∈ AssR M : dim(R/P ) = d, I R + P = m} Định lý sau kết tiết Định lý 2.4.7 HId (M ) bão hòa nguyên tố vành R/ AnnR HId (M ) catenary AttR HId (M ) = {p ∈ AssR M : dim(R/p) = d, p + I = m} Chứng minh Nếu HId (M ) = kết hiển nhiên nên ta giả thiết HId (M ) = Giả sử HId (M ) bão hòa nguyên tố Theo Bổ đề 1.2.10 Bổ đề 2.4.6 ta có dim(R/ AnnR HId (M )) = d Suy HId (M ) khơng trộn lẫn Vì HId (M ) bão hòa nguyên tố nên theo Mệnh đề 2.4.4, vành R/ AnnR HId (M ) catenary Hiển nhiên ta có Rad(AnnR (0 :HId (M ) I)) ⊇ Rad(I + AnnR HId (M )) Cho q ∈ Spec(R) cho q ⊇ I + AnnR HId (M ) Vì HId (M ) bão hịa ngun tố nên ta có AnnR (0 :HId (M ) I) ⊆ AnnR (0 :HId (M ) q) = q 41 Suy q = Rad(I + AnnR HId (M )) Rad(AnnR (0 :HId (M ) I)) ⊆ q∈Spec(R) q⊇I+AnnR HId (M ) Do Rad(AnnR (0 :HId (M ) I)) = Rad(I + AnnR HId (M )) Vì HId (M ) Artin nên môđun (0 :HId (M ) I) Artin Theo [DM, Định lý 3], mơđun đối đồng điều địa phương cấp cao HId (M ) ln I-cofinite Do (0 :HId (M ) I) R-mơđun hữu hạn sinh Vì (0 :HId (M ) I) vừa môđun Artin, vừa môđun Noether Suy (0 :HId (M ) I) có độ dài hữu hạn, AnnR (0 :HId (M ) I) iđêan m-nguyên sơ R Theo đẳng thức ta suy I + AnnR HId (M ) m-nguyên sơ Cho p ∈ AttR HId (M ), suy p ⊇ AnnR HId (M ) Do I + p m-nguyên sơ √ Lấy p1 ∈ AssR (I, M ) Khi p1 ∈ AssR M, dim(R/p1 ) = d I + p1 = m Lấy P1 ∈ AssR (R/ p1 R) cho dim(R/P1 ) = d Khi P1 ∩ R = p1 Theo [Mat, Định lý 23.2(ii)] ta có AssR M = AssR (R/qR) q∈AssR M Vì P1 ∈ AssR M Bởi √ I + p1 = m nên I R + P1 = m Theo Bổ đề 2.4.6 ta có P1 ∈ AttR HId (M ) Do p1 ∈ AttR HId (M ) Vì AssR (I, M ) ⊆ AttR HId (M ) Từ p ∈ AttR HId (M ) ta suy p ∈ √ AssR M, dim(R/p) = d I + p = m Do p ∈ AssR (I, M ) Suy AttR HId (M ) = AssR (I, M ) Do AttR HId (M ) = {p ∈ AssR M : dim(R/p) = d, p + I = m} Ngược lại, cho Kí hiệu 2.4.5 Khi dễ dàng kiểm tra AssR (M/N ) = AssR (I, M ) AssR (N ) = AssR (M )\ AssR (I, M ) 42 Từ dãy khớp → N → M → M/N → ta có dãy khớp HId (N ) → HId (M ) → HId (M/N ) → Ta chứng minh HId (N ) = Giả sử HId (N ) = 0, suy AttR HId (N ) = ∅ Do tồn p ∈ AttR HId (N ) Khi tồn P ∈ AttR HId (N ) cho P ∩ R = p Theo Bổ đề 2.4.6 P ∈ AssR N , dim(R/P ) = d I R + P = m Ta có AssR N ⊆ AssR M nên P ∈ AssR M Theo Bổ đề 2.4.6 suy P ∈ AssR HId (M ) Vì p = P ∩ R nên p ∈ AttR HId (M ) Theo √ giả thiết ta có I + p = m Từ P ∈ AssR M dim(R/P ) = d, ta có p ∈ AssR M dim(R/p) = d Do p ∈ AssR (I, M ) Mặt khác, P ∈ AttR HId (N ) nên theo Bổ đề 2.4.6 ta có P ∈ AssR N Suy p ∈ AssR N p ∈ AssR (M )\ AssR (I, M ), điều mâu thuẫn Vậy HId (N ) = Theo dãy khớp ta suy HId (M ) ∼ = HId (M/N ) Vì AssR (I, M ) √ hữu hạn I + p = m với p ∈ AssR (I, M ) nên ta kiểm tra I + p m-nguyên sơ Bởi AssR (M/N ) = AssR (I, M ) p∈AssR (I,M ) nên ta có Rad(AnnR (M/N )) = p Do I + AnnR (M/N ) p∈AssR (I,M ) m-nguyên sơ Vì theo định lý độc lập với sở [BS Định lý 4.2.1] d HId (M/N ) ∼ (M/N ) ∼ = HI+Rad(Ann = Hmd (M/N ) R (M/N )) Do HId (M ) ∼ = Hmd (M/N ) Vì AnnR HId (M ) = AnnR Hmd (M/N ) Do R/ AnnR HId (M ) catenary nên R/ AnnR Hmd (M/N ) catenary Theo Định lý 2.2.15 Hmd (M/N ) bão hịa ngun tố HId (M ) bão hồ ngun tố 43 Kết luận Luận văn trình bày đặc trưng tính bão hịa ngun tố cho số môđun đối đồng điều địa phương Artin Hmd (M ), Hmi (M ), HId (M ) Cụ thể +) Hmd (M ) bão hòa nguyên tố R/ AnnR Hmd (M ) vành catenary +) PsuppiR (M ) ⊆ Var(AnnR Hmi (M )) Dấu đẳng thức xảy Hmi (M ) bão hòa nguyên tố +) HId (M ) bão hòa nguyên tố R/ AnnR HId (M ) vành catenary AttR HId (M ) = {p ∈ AssR M : dim(R/p) = d, p + I = m} Để dễ theo dõi, luận văn chuẩn bị số vấn đề đầy đủ theo tôpô m-adic, đối ngẫu Matlis, biểu diễn thứ cấp cho mơđun Artin, tính chất sở mơđun đối đồng điều địa phương tính catenary vành để phục vụ chứng minh định lý 44 Tài liệu tham khảo [BS] M Brodmann and R Y Sharp, "Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications", Cambridge University Press, 1998 [BS1] M Brodmann and R Y Sharp, On the dimension and multiplicity of local cohomology modules, Nagoya Math J., 167 (2002), 217-233 [CN] N T Cuong and L T Nhan, On Noetherian dimension of Artinian modules, Vietnam J Math., 30 (2002), 121-130 [CDN] N T Cuong, N T Dung, L T Nhan, Top local cohomology and the catenarycity of the unmixed support of a finitely generated module, Comm Algebra, 35 (2007), 1691-1701 [DM] D Delfino and T Marley, Cofinite modules and local cohomology, J Pure Appl Algebra, 121 (1997), 45-52 [DSc] K Divaani-Aazar and P Schenzel, Ideal topology, local cohomology and connectedness, Math Proc, Camb Phil Soc., 131 (2001), 211226 [FR] D Ferrand and M Raynaud, Fibres formelles d’un anneau local Noetherian, Ann Sci E’cole Norm Sup., (4)3 (1970), 295-311 45 [Mac] I G Macdonald, Secondary representation of modules over a commutative ring, Symposia Mathermatica, 11 (1973), 23-43 [Mat] H Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge University Press, 1986 [NA] L T Nhan and T N An, On the unmixedness and the universal catenaricity of local rings and local cohomology modules, Journal of Algebra, 321 (2009), 303-311 [NA1] L T Nhan and T N An, On the catenaricity of Noether local rings and quasi unmixed Artinnian modules, Comm Algebra, 38 (2010), 3728-3736 [NC] L T Nhan and T D M Chau, On the top local cohomology modules, Journal of Algebra, 349 (2012), 342-352 [TZ] Z Tang and H Zakeri, Co-Cohen-Macaulay modules and modules of generalized fractions, Comn Algebra, (6) 22 (1994), 2173-2204 46 ... cho môđun Artin 1.3 Tính chất cở sở môđun đối đồng điều địa phương 12 1.4 Tính catenary vành 15 Tính bão hịa ngun tố môđun đối đồng điều địa phương Artin 18 2.1 Tính. .. cho môđun Artin, khái niệm tính chất sở mơđun đối đồng điều địa phương, tính catenary vành Chương đưa chứng minh chi tiết cho đặc trưng tính bão hịa nguyên tố số môđun đối đồng điều địa phương Artin. .. Noether địa phương, I iđêan R i số nguyên không âm Cho A R -môđun Artin M R -môđun hữu hạn sinh với dim M = d Mục đích chương đặc trưng tính bão hịa nguyên tố số môđun đối đồng điều địa phương Artin