Một vài kết quả về iđêan nguyên tố liên kết với môđun đối đồng điều địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Hồng Nga LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chi Minh – 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Hồng Nga Chuyên ngành : Đại Số Lý Thuyết Số Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 Mục lục Mục lục Lời nói đầu Kiến thức sở 1.1 Các khái niệm iđêan môđun 1.2 Dãy quy độ sâu 11 1.3 Môđun đối đồng điều địa phương 13 Iđêan nguyên tố liên kết với môđun đối đồng điều địa phương 19 2.1 Iđêan nguyên tố liên kết 19 2.2 Iđêan nguyên tố liên kết với môđun đối đồng điều địa phương 25 Kết Luận 46 Tài liệu tham khảo 47 Lời Nói Đầu Lý thuyết đối đồng điều địa phương A Grothendieck đóng vai trị quan trọng hình học đại số đại số giao hốn Cho R vành Noether, giao hốn có đơn vị, M R - mơđun, vấn đề nhiều nhà tốn học quan tâm giải quyết, là: "tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương Hai (M) có hữu hạn với iđêan a R khơng? Trong thời gian qua, nhà tốn học tiêu biểu Huneke, Sharp, Lyubenik, Hellus, Khashyarmanesh, Brodmann, Singh, Divaani Aazar, Mafi, Dibaei, Yassemi, Asadollahi, P Shenzel, Nguyễn Tự Cường, Trần Tuấn Nam, Lê Thanh Nhàn, nghiên cứu vấn đề thu nhiều kết quan trọng Họ chứng minh kết không trường hợp tổng quát số trường hợp đặc biệt Trong khuôn khổ luận văn, nghiên cứu lại số kết iđêan nguyên tố liên kết với môđun đối đồng điều địa phương nhằm giúp lĩnh hội toàn diện vấn đề làm sở cho nghiên cứu Luận văn chia làm hai chương: Chương I: Kiến thức sở Trong chương này, nhắc lại khái niệm số mệnh đề sử dụng chương II Chương II: Iđêan nguyên tố liên kết với môđun đối đồng điều địa phương Phần chương dành cho việc nghiên cứu tính chất iđêan nguyên tố liên kết phạm trù môđun Phần nghiên cứu điều kiện để tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương Hai (M) hữu hạn Cụ thể, nghiên cứu chứng minh lại kết sau: Ta biết, M R - môđun hữu hạn sinh Ass(Hai (M)) hữu hạn với i = Hơn nữa, M R - môđun khác khơng hữu hạn sinh có chiều n Han (M) mơđun Artin tập Ass(Han(M)) hữu hạn Từ đó, Huneke [14] đưa phán đốn: Nếu M R - mơđun hữu hạn sinh tập Ass(Han(M)) hữu hạn với iđêan a R i ∈ N Singh [29], Katzman [18] đưa phản ví dụ cho phán đoán Tuy nhiên, phán đoán chứng minh số trường hợp đặc biệt Khashyarmanesh Salarian [17] kết quả: Cho R vành Noether, giao hốn có đơn vị, M R - môđun hữu hạn sinh i ∈ N0 Khi Ass(Hai (M)) tập hữu hạn hai điều kiện sau xảy ra: i) SuppHat (M) vô hạn với t < i ii) môđun Hat (M) hữu hạn sinh với t < i Sau đó, Brodmann Lashgani [5] đưa kết tổng quát là: Cho R vành Noether, giao hốn có đơn vị, M R - môđun hữu hạn sinh Lấy i ∈ N0 cho Haj (M) R - môđun hữu hạn sinh với j < i Khi với mơđun hữu hạn sinh N Hai (M), tập Ass(Hai (M)/N ) hữu hạn Rồi Hellus [13 ] giảm thiểu vấn đề cho trường hợp iđêan a tạo hai ba yếu tố cho kết quả: Cho (R, m) vành địa phương M R - môđun hữu hạn sinh Giả sử M R - mơđun Cohen - macaulay Khi với iđêan a R, tập AssR(Haj (M)) hữu hạn với j ∈ N hai điều kiện sau thỏa mãn: i) AssR(H(x,y)R (M)) hữu hạn với x, y ∈ R ii)AssR(H(x,y,z)R (M)) hữu hạn với (x, y) ∈ R M - dãy quy lọc z ∈ R Kết chứng minh cho số trường hợp đặc biệt khác M chẳng hạn J.Asadollahi P Shenzel [2] với M R - môđun Cohen - macaulay suy rộng, Lê Thanh Nhàn [26] với M f −module suy rộng Đồng thời, từ ý HomR (R/a, Hat (M)) hữu hạn sinh Ass(HomR(R/a, Hat (M)) = AssHat (M) tập hữu hạn Để nghiên cứu điều kiện hữu hạn tập AssHat (M) nhà toán học chuyển sang nghiên cứu điều kiện hữu hạn sinh HomR (R/a, Hat (M)) Trong [1], J.Asadollahi, Khashyarmanesh Salarian chứng minh kết sau: Cho a iđêan R M R - môđun hữu hạn sinh Lấy n số nguyên dương cho Hai (M) hữu hạn sinh với i < n Khi HomR (R/a, Han (M)) hữu hạn sinh Sau đó, Harstonrne[12] trình bày định nghĩa môđun cofinite Một R - môđun M gọi a − cof inite Supp(M) ⊆ V ar(a) ExtiR (R/a, M) hữu hạn sinh với i Khái niệm trở thành công cụ hữu ích cho nghiên cứu gần Trong [8], Dibaei Yassemi chứng minh kết sau: Cho a iđêan R Lấy n ∈ N M R - môđun cho ExtiR (R/a, M) hữu hạn sinh với i n Nếu Hai (M) a - cofinite với i < n HomR (R/a, Han (M)) hữu hạn sinh Từ người ta lại bắt đầu nghiên cứu tiếp tính hữu hạn sinh ExtiR (R/a, Hat (M)) với i > để tìm điều kiện hữu hạn tập Ass(Hai (M)) Kết tiêu biểu đưa J.Asadollahi P Shenzel [2], là: Cho (R, m) vành địa phương M R - môđun Cohen - Macaulay suy rộng Với a iđêan R t = depth(a, M) hai điều kiện sau tương đương: i) HomR (R/a, Hat+1 (M)) hữu hạn sinh ii) Ext2R (R/a, Hat (M)) hữu hạn sinh Nếu hai điều với iđêan a R Ass(Hai (M)) tập hữu hạn với i ∈ N Gần đây, sử dụng đối ngẫu Matlis, nhiều tác giả có kết đẹp vấn đề Năm 1999 -2000, Nguyễn Tự Cường Trần Tuấn Nam phát triển lý thuyết đồng điều địa phương thu số kết môđun đối đồng điều địa phương Dù cố gắng với số lượng thời gian kiến thức có hạn nên khơng tránh khỏi thiếu sót, mong ý kiến đóng góp, phê bình bổ sung q Thầy cô bạn đồng nghiệp Luận văn hồn thành nhờ hướng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy giáo TS Trần Tuấn Nam Nhân dịp tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy gia đình Tơi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Sư phạm Thành phố Hố Chí Minh, lãnh đạo phịng Khoa học Công nghệ Sau đại học, lãnh đạo Khoa Toán - Tin học trường tạo điều kiện cho Khóa cao học 18 nói chung Cao học Đại số - Lý thuyết số nói riêng hồn thành tốt nhiêm vụ học tập Tơi xin chân thành cảm ơn tận tâm nhiệt tình PGS.TS Mỵ Vinh Quang, PGS.TS Bùi Tường Trí, TS Trần Huyên quý thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp cao học chuyên ngành Đại số lý thuyết số khóa 18 Tơi xin cảm ơn lãnh đạo đồng nghiệp Trường Trung học phổ thông Lương Thế Vinh nơi công tác tất bạn khóa ủng hộ, giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi q trình học tập làm luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn người thân u gia đình ln cho niềm tin động lực để học tập công tác tốt Nguyễn Thị Hồng Nga Chương Kiến thức sở Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm mệnh đề cần thiết sử dụng luận văn Chúng không chứng minh chi tiết mệnh đề Đọc giả tham khảo tài liệu [3], [4], [6], [7], [19], [20] 1.1 Các khái niệm iđêan mơđun Lý thuyết vành giao hốn gắn liền với vấn đề iđêan mơđun, cịn hàm tử Hom, hàm tử Ext kiến thức sở đại số đồng điều Vì thế, tìm hiểu lý thuyết đối đồng điều ta không nhắc đến vấn đề Phần trình bày số khái niệm mệnh đề iđêan môđun bao gồm: định lí tránh nguyên tố, định lí iđêan nguyên sơ, chiều độ cao iđêan, linh hóa tử môđun, chiều môđun, hàm tử Hom hàm tử Ext sử dụng luận văn Định nghĩa 1.1.1 Cho R vành giao hốn có đơn vị a iđêan √ R Radical a, kí hiệu a rad(a), tập phần tử x ∈ R cho tồn số nguyên dương n để xn ∈ a Gọi V ar(a) tập tất iđêan nguyên tố R chứa a Khi √ a= p p∈ V ar(a) Định lí 1.1.1 (định lý tránh nguyên tố) Cho R vành giao hốn có đơn vị p1 , p2 , , pn với n iđêan nguyên tố R Lấy a iđêan n R cho a ⊂ pi Khi a ⊂ pi với i i=1 Nhận xét: Từ định lý ta có kết sau: n Nếu a ⊂ pi với i = 1, 2, , n tồn y ∈ a\ pi i=1 Định nghĩa 1.1.2 Cho R vành giao hoán, S tập nhân R M R-mơđun Trên tập M × S ta định nghĩa quan hệ ∼ sau: Với (m, s); (m , s ) ∈ M × S: (m, s) ∼ (m , s ) ⇔ ∃t ∈ S : (ms − m s)t = Dễ thấy ∼ quan hệ tương đương M × S Tập thương M × S/∼ kí hiệu S −1 M; lớp tương đương (m, s) kí hiệu m/s Tập S −1 M S −1 R - mơđun với phép tốn sau: s m + sm m m + = , s s ss rm rm = ss ss gọi môđun thương M S Đặc biệt, p iđêan nguyên tố R, S = R\p mơđun S −1 M thường kí hiệu Mp Định nghĩa 1.1.3 Cho R vành giao hốn có đơn vị M R- mơđun Tập tất iđêan nguyên tố p R cho Mp = gọi giá M kí hiệu SuppR (M) đơn giản Supp(M) Nếu M R-môđun hữu hạn sinh vành giao hốn có đơn vị R, S tập nhân R p ∈ Spec(R) cho p ∩ S = φ pS −1 R ∈ Spec(R) (S −1 M)pS −1 R ∼ = Rp SuppS −1 R (S −1 M) = {pS −1 R : p ∈ SuppR M, p ∩ S = φ} = SuppR (M) ∩ Spec(S −1 R) Định nghĩa 1.1.4 Cho R vành giao hốn có đơn vị M R- mơđun Iđêan (0 :R M) : = {x ∈ R | xM = 0} gọi linh tử hóa M, kí hiệu AnnR M đơn giản Ann(M) Mệnh đề 1.1.1 Cho R vành giao hốn có đơn vị M R-môđun hữu hạn sinh Khi đó: i) Nếu N mơđun M SuppR M = SuppR M ∪ SuppR M/N ii) SuppR (M) = {p ∈ Spec(R) : (0 :R M) ⊆ p} = V (AnnR(M)) iii) Với a iđêan R SuppR (M) ⊂ V (a) ⇔ ∃ k ∈ N ∗ : ak M = SuppR (M/aM) = V (a) ∩ V (AnnM) = V (a + AnnM) iv) Nếu R vành Noether a iđêan R SuppR (R/a) = V (a) Định nghĩa 1.1.5 Cho R vành giao hoán có đơn vị Một dây chuyền iđêan nguyên tố R dãy tăng thực iđêan nguyên tố p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn−1 ⊂ pn R Số nguyên n gọi độ dài dây chuyền Cận tất độ dài dây chuyền iđêan nguyên tố R gọi chiều Krull R đơn giản gọi chiều R Chiều Krull R kí hiệu dimR Định nghĩa 1.1.6 Cho R vành giao hốn có đơn vị M R- mơđun khác khơng Khi chiều M, kí hiệu dimM, cận tất độ dài dây chuyền iđêan nguyên tố p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn−1 ⊂ pn = p SuppM Nếu M R-môđun hữu hạn sinh dimM xác định sau: + Nếu M khác mơđun khơng dimM = dim(R/AnnM) + Nếu M mơđun khơng dimM = −1 Định nghĩa 1.1.7 Cho R vành giao hốn có đơn vị p iđêan nguyên tố R Chiều cao p, kí hiệu heightR p đơn giản heightp, cận tất độ dài dây chuyền iđêan nguyên tố p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn−1 ⊂ pn = p R + Với j = Vì Ha0 (M) = Γa(M) ⊆ M M R-môđun hữu hạn sinh nên Ha0 (M) hữu hạn sinh Theo mệnh đề 2.1.6 suy tập Ass(Ha0(M)) hữu hạn Vậy j = định lý + Với j = Theo hệ 2.2.3 định lý + Vơi j = Theo mệnh đề 2.2.2 tồn x, y ∈ a M - dãy quy (M) lọc Theo mệnh đề 2.2.3 suy Ha2 (M) ∼ = Ha0 (H(x,y)R 2 Mà Ha0 (H(x,y)R (M) = Γa (H(x,y)R (M)) ⊆ H(x,y)R (M) nên 2 Ass(Ha0(H(x,y)R (M) ⊆ Ass(H(x,y)R (M)) 2 Theo giả thiết i) Ass(H(x,y)R (M)) hữu hạn nên Ass(Ha0(H(x,y)R (M) hữu hạn Do Ass(Ha2(M)) hữu hạn Vậy định lí với j = + Với j = * Nếu heightaM 3, rõ ràng có x, y ∈ a phận hệ tham số M z ∈ a cho x, y, z tạo thành M dãy quy lọc a (M)) Lý luận tương tự Theo mệnh đề 2.2.3 suy Ha3 (M) ∼ = Ha0 (H(x,y,z)R trường hợp j = áp dụng giả thiết ii) định lý * Nếu heightM a < Theo mệnh đề 2.2.4 tồn iđêan a ⊇ a cho heightM a = Ha3 (M) ∼ = Ha3 (M) Chọn x, y, z ∈ a cho x, y ∈ a phận hệ tham số M x, y, z tạo thành M dãy (M)) Lý quy lọc a Theo mệnh đề 2.2.3 suy Ha3 (M) ∼ = Ha0 (H(x,y,z)R luận tương tự trường hợp j = áp dụng giả thiết ii) ta có định lý + Nếu j Giả sử kết chứng minh với j − ta chứng minh kết với j Thật vậy: Theo mệnh đề 2.2.2 tồn x = x1 , x2 , , xj ∈ a M - dãy quy lọc j có độ dài j Theo mệnh đề 2.2.3 suy Haj (M) ∼ = H (H (M)) Vì để hoàn thành chứng minh ta cần Đặt q = max {i ∈ N : i a xR j Ass(HxR(M)) tập hữu hạn j/2} Xét dãy Mayer - Vietoris M với hai iđêan a1 = (x1 , x2 , , xq )R 35 a2 = (xq+1 , , xj )R Khi ta có dãy khớp sau: Haj−1 (M) ⊕ Haj−1 (M) → Haj−1 (M) → Haj (M) → Haj1 (M) ⊕ Haj2 (M) ∩a2 Vì số phần tử sinh a1 , a2 nhỏ j − a1 ⊕ a2 = nên Haj−1 (M) ∼ = Haj (M) ∩a2 j Vì theo giả thiết quy nạp suy AssHxR (M) tập hữu hạn Vậy ta có điều phải chứng minh Định lí 2.2.4 Cho M R-môđun hữu hạn sinh n ∈ N0 cho Hai (M) hữu hạn sinh với i < n Khi HomR (R/a, Han (M)) môđun hữu hạn sinh Chứng minh Dùng phương pháp quy nạp theo n + Với n = Ta có Ha0 (M) = Γa(M) HomR (R/a, Γa (M)) ∼ = HomR (R/a, M) Mà M hữu hạn sinh nên HomR (R/a, Ha0 (M)) hữu hạn sinh + Với n > 0, giả sử định lý với n − 1, ta chứng minh định lý với n Thật vậy: Xét dãy khớp → Γa (M) → M → M/Γa(M) → Đặt M := M/Γa(M) j Khi Ha0 (M) = Hai (M) ∼ = Hai (M) với i ∈ N Do Ha (M) hữu hạn sinh với j = 1, 2, , n − Vì ta thay M M giả sử Γa (M) = Do tìm M - phần tử quy r ∈ a r Ta có dãy khớp → M − → M → M/rM → cảm sinh dãy khớp f r Han−1 (M) → Han−1 (M/rM ) − → Han (M) − → Han (M) Ta lại có dãy khớp r → imf → Han (M) − → Han (M) 36 cảm sinh dãy khớp: r∗ → HomR (R/a, Imf ) → HomR (R/a, Han (M)) − → HomR (R/a, Han (M)) Để hoàn thành chứng minh ta cần HomR (R/a, Imf ) hữu hạn sinh Thật vây: Vì Han−1 (M)) hữu hạn sinh nên Kerf hữu hạn sinh Mà → Kerf → Han−1 (M/rM ) → Imf → dãy khớp nên dãy sau khớp: → HomR (R/a, Kerf ) → HomR (R/a, Han−1 (M/rM )) → → HomR (R/a, Imf ) → Theo giả thiết quy nạp ta có HomR (R/a, Han−1 (M/rM )) hữu hạn sinh nên HomR (R/a, Imf ) hữu hạn sinh.Vậy ta có điều phải chứng minh Định nghĩa 2.2.6 Một R-mơđun M gọi a−cof inite ExtiR (R/a, M) hữu hạn sinh với i Supp(M) ⊆ V ar(a) Định lí 2.2.5 Lấy n ∈ N M R-môđun cho ExtiR (R/a, M) hữu hạn sinh với i n Nếu Hai (M) a - cofinite với i < n HomR (R/a, Han (M)) hữu hạn sinh Chứng minh Dùng phương pháp quy nạp theo n + Với n = Ta có Ha0 (M) = Γa(M) HomR (R/a, Γa (M)) ∼ = HomR (R/a, M) Theo giả thiết ta có ExtiR (R/a, M) hữu hạn sinh với i n nên Ext0R (R/a, Ha0 (M)) hữu hạn sinh Mặt khác HomR (R/a, Ha0 (M)) = Ext0R (R/a, Ha0 (M), nên HomR (R/a, Ha0 (M)) hữu hạn sinh.Vậy mệnh đề với n = + Với n > 0, giả sử định lý với n − 1, ta chứng minh định lý với n 37 Đặt M := M/Γa(M) Từ dãy khớp → Γa (M) → M → M → ta nhận dãy khớp dài cảm sinh → ExtiR (R/a, M) → ExtiR (R/a, M/Γa (M) → Exti+1 R (R/a, Γa (M)) → Mà Γa (M) a - cofinite nên ExtiR (R/a, Γa(M)) hữu hạn sinh với i Mặt khác theo giả thiết ExtiR (R/a, M) hữu hạn sinh với i < n nên ExtiR (R/a, M) hữu hạn sinh với i < n Mặt khác, Ha0 (M) = Hai (M) ∼ = Hai (M) với i ∈ N nên ta giả sử Γa (M) = Gọi E bao đóng nội xạ M đặt N = E/M Khi Γa(E) = HomR (R/a, E) = Từ dãy khớp → M → E → N → (∗) ta nhận hai dãy khớp cảm sinh i+1 ExtiR (R/a, E) → ExtiR (R/a, N ) → Exti+1 R (R/a, M) → ExtR (R/a, E) Hai (E) → Hai (N ) → Hai+1 (M) → Hai+1 (E) Theo cách chọn E ta có ExtiR (R/a, E) = Hai (E) = với i i ∼ i+1 Do có ExtiR (R/a, N ) ∼ = Exti+1 R (R/a, M) Ha (N ) = Ha (M) với i Sử dụng giả thiết quy nạp ta có HomR (R/a, Han−1 (N )) hữu hạn sinh nên suy HomR (R/a, Han (M)) hữu hạn sinh Vậy ta có điều phải chứng minh Bổ đề 2.2.2 Nếu M R-môđun hữu hạn sinh ExtiR (R/a, M) hữu hạn sinh với i Chứng minh Vì R vành Noether nên R/a R-mơđun hữu hạn sinh Do có phép giải tự δ δ F∗ : −−→ Fn −−→ −−→ F0 −−→ A/I −−→ 38 với Fi hữu hạn sinh Mà Fi hữu hạn sinh nên Hom(Fi , M) hữu hạn sinh với i Xét phức: δ∗ → Hom(R/a, M) −−→ Hom(F0 , M) → → Hom(Fn , M) → ∗ Vì ExtiR (R/a, M) ∼ nên hữu hạn sinh với i = Kerδi∗ /Imδi−1 Bổ đề 2.2.3 Cho M R-môđun Nếu Hai (M) a − cof inite với i ExtiR (R/a, M) hữu hạn sinh với i Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo i + Với i = hiển nhiên + Với i > 0, giả sử mệnh đề dúng với i − 1, ta chứng minh mệnh đề với i Thật vậy: Đặt M = M/ΓI (M) Từ dãy khớp ngắn → ΓI (M) → M → M → Ta nhận dãy khớp dài : i−1 i−1 → Exti−1 R (R/a, Γa (M)) → ExtR (R/a, M) → ExtR (R/a, M) → Do Γa(M) = Ha0 (M) a - cofinite nên ExtiR (R/a, Γa(M) hữu hạn sinh với i Suy ExtiR (R/a, M) hữu hạn sinh với i ExtiR (R/a, M) hữu hạn sinh với i Mặt khác, Ha0 (M) = Hai (M) ∼ = Hai (M) với i nên giả sử Γa (M) = Gọi E bao nội xạ M đặt L = E/M Lý luận tương tự định lý 2.2.5 suy i ∼ i+1 ExtiR (R/a, L) ∼ = Exti+1 R (R/a, M) Ha (L) = Ha (M) với i Theo giả thiết Hai (M) a − cof inite với i nên Hai (L) a - cofinite với i Sử dụng giả thiết quy nạp suy Exti−1 a (R/a, L) hữu hạn sinh với i Do ExtiR (R/a, M) hữu hạn sinh với i 39 Mệnh đề 2.2.5 Cho M R-môđun cho ExtiR (R/a, M) hữu hạn sinh với i n số nguyên dương Nếu Hai (M) a - cofinite với i = n Han (M) a - cofinite Chứng minh Dùng phương pháp quy nạp theo n + Với n = Ta có Γp(M) = Hp0 (M) Đặt M = M/Γp(M) Vì Hpi (M) = với i nên Hpi (M) p - cofinite với i Do theo bổ đề 2.2.3 có ExtiR (R/p, M) hữu hạn sinh với i Từ dãy khớp ngắn → Γp (M) → M → M → ta nhận dãy khớp dài cảm sinh: i i → Exti−1 R (R/p, M) → ExtR (R/p, Γp (M)) → ExtR (R/p, M) → Mặt khác, M hữu hạn sinh nên theo bổ đề 2.2.2 suy ExtiR (R/p, M) hữu hạn sinh với i Do ExtiR (R/p, Γp (M)) hữu hạn sinh với i Vậy Γp(M) p - cofinite + Với n > 0, giả sử mệnh đề với n − ta chứng minh với n Thật vậy: Ta có Γp(M) p - cofinite nên ExtiR (R/p, Γp (M)) hữu hạn sinh với i Đặt M = M/Γp (M), lý luận tương tự bổ đề 2.2.3, khơng tính tổng quát ta giả sử Γp (M) = Gọi E bao nội xạ M đặt M1 = E/M Lý luận tương tự đinh lí 2.2.5 ta có: i ∼ i+1 ExtiR (R/a, M1 ) ∼ = Exti+1 R (R/a, M) Ha (M1 ) = Ha (M) với i Vì ExtiR (R/a, M) hữu hạn sinh với i nên ExtiR (R/a, M1 ) hữu hạn sinh với i Theo giả thiết quy nạp suy Hpn−1 (M1 ) p - cofinite với i = n − Do Hpn (M) p - cofinite Hệ 2.2.5 Cho M R-môđun hữu hạn sinh p iđêan R sinh M - dãy quy x1 , x2 , , xn Khi Hpn (M) p−cof inite 40 Chứng minh Do p sinh n phần tử nên theo mệnh đề 1.4.8 ta có Hpt (M) = với t > n Mặt khác x1 , x2 , , xn M - dãy quy nên theo mệnh đề 1.4.9 ta có Hpt (M) = với t < n Do Hpt (M) = với t = n Vì Hpt (M) p − cof inite với t = n Theo mệnh đề 2.2.5 ta có điều phải chứng minh Định nghĩa 2.2.7 Cho hàm tử hiệp biến, R tuyến tính Da := lim HomR (an, −) → − t từ phạm trù R - mơđun vào Ta gọi Da hàm tử a - biến đổi hay biến đổi iđêan theo a Với R - môđun M, ta gọi Da(M) = lim HomR (an , M) biến đổi iđêan → − t M tương ứng với a hay a - biến đổi M Với i ∈ N0 , Ri Da(−) kí hiệu hàm tử dẫn xuất phải thứ i hàm tử Da(−), ta có tương đương tự nhiên hàm tử: Ri Da(−) ∼ = lim ExtiR (an , −) → − t Chú ý: Theo ([4], 2.1.7) ta có kết sau: ξ η ξ0 M M M i) → Γa (M) −→ M −→ Da (M) −→ Ha1 (M) → dãy khớp ii) Cho i ∈ N R - mơđun M Với n ∈ N, ta có đẳng cấu: ∼ = i n βM : lim ExtiR (an , M) − → lim Exti+1 R (R/a , M) −−→ −−→ n∈N n∈N ∼ = Do có tương đương tự nhiên hàm tử γ i : Ri Da − → Hai+1 iii) Với R - môđun M, lấy phần tử a ∈ R Khi mơđun thương M tập nhân đóng S := {ai : i ∈ N0 } kí hiệu Ma DRa (M) ∼ = Ma 41 Bổ đề 2.2.4 Cho M R-môđun hữu hạn sinh x1 , x2 , , xt M n dãy quy lọc a Khi ExtiR (R/a, Da (H(x (M))) = với ,x2 , ,xt) n i ∈ N Từ suy ExtiR (R/a, (H(x (M))a) = với a ∈ R ,x2 , ,xt) với i ∈ N Chứng minh Gọi E R-môđun nội xạ Theo mệnh đề 1.3.3ii): Ha1 (M) = Do kết i) dãy sau khớp: → Γa(E) → E → Da (E) → Theo mệnh đề 1.3.2 có Γa(E) R-mơđun nội xạ nên dãy khớp chẻ Vì Da(E) R-mơđun nội xạ n (M) gọi L∗ phép giải nội xạ N Khi Da (L∗) Đặt N = H(x ,x2, ,xt) phức nội xạ có thành phần R-mơđun a khơng xoắn Theo kết ii) ta có Ri Da(N ) ∼ = H i+1 (N ) = với i > Da(−) a hàm tử khớp trái Vì Da(L∗) phép giải nội xạ Da (N ) Vì ExtiR (R/a, Da (N )) = với i ∈ N Đồng thời, theo mệnh đề 1.3.14 ta n (M))a) = với a ∈ R với suy ExtiR (R/a, (H(x ,x2 , ,xt) i ∈ N Do ta có điều phải chứng minh Định lí 2.2.6 Cho (R, m) vành địa phương M R-môđun Cohen - Macaulay suy rộng Với a iđêan R t = depth(a, M) hai điều kiện sau tương đương: a) HomR (R/a, Hat+1 (M)) hữu hạn sinh b) Ext2R (R/a, Hat (M)) hữu hạn sinh Nếu hai điều với iđêan a R Ass(Hai (M)) tập hữu hạn với i ∈ N Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh a) ⇔ b) Lấy a iđêan R đặt t = depth(a, M) 42 Gọi x = x1 , x2 , , xt M - dãy quy a t Theo hệ 2.2.4 HxR (M) xR − cof inite t (M)) R-môđun hữu Vì SuppR R/a ⊆ SuppR R/xR nên ExtiR (R/a, HxR hạn sinh với i ∈ Z Chọn phần tử y ∈ a cho x, y ∈ a tạo thành M - dãy quy lọc a t Theo kết i) iii) với iđêan yR R-mơđun HxR (M) ta có dãy sau khớp: t t t t → HyR (HxR (M)) → HxR (M) → (HxR (M))yR → HyR (HxR (M)) → Bởi x, y ∈ a M - dãy quy lọc nên theo mệnh đề 2.2.3 ta có: t t t HyR (HxR (M)) ∼ (HxR (M)) ∼ (M) ∼ = H(x,y)R = H(x,y)R = HIt (M); (t+1) t HyR (HxR (M)) ∼ = H(x,y)R (M) Mặt khác x M - dãy quy lọc (x, y)R Vì ta có dãy khớp sau: t t t+1 → Hat (M) → HxR (M) → (HxR (M))yR → H(x,y)R (M) → (1) t t t Gọi N ảnh HxR (M) qua đồng cấu HxR (M) → (HxR (M))yR Khi ta có hai dãy khớp ngắn sau: t → Hat (M) → HxR (M) → N → (2) t t+1 → N → (HxR (M))yR → H(x,y)R (M) → (3) Dãy khớp (2) cảm sinh hai dãy khớp: t → HomR (R/a, Hat (M)) → HomR (R/a, HxR (M)) → HomR (R/a, N ) → (4) dãy khớp t → HomR (R/a, Hat (M)) → HomR (R/a, HxR (M)) → HomR (R/a, N ) → 43 t → Ext1R (R/a, Hat (M)) → Ext1R (R/a, HxR (M)) → Ext1R (R/a, N ) → t → Ext2R (R/a, Hat (M)) → Ext2R (R/a, HxR (M)) → (5) Theo cách chọn N HomR (R/a, N ) = nên từ dãy khớp (4) suy ra: t HomR (R/a, Hat (M)) ∼ (M)) = HomR (R/a, HxR Mặt khác dãy khớp (4) cảm sinh dãy khớp t i−1 t+1 → Exti−1 R (R/a, (HxR (M))yR ) → ExtR (R/a, H(x,y)R (M)) → t → ExtiR (R/a, N ) → ExtiR (R/a, (HxR (M))yR ) → t Theo bổ đề 2.2.4 ExtiR (R/a, (HxR (M))yR ) = với i ∈ Z Do t+1 i ∼ Exti−1 R (R/a, H(x,y)R (M)) = ExtR (R/a, N ); ∀i ∈ Z Từ suy t+1 t+1 Ext1R (R/a, N ) ∼ (M)) ∼ (M)) = Ext0R (R/a, H(x,y)R = HomR (R/a, H(x,y)R Do dãy khớp (5) trở thành t → Ext1R (R/a, Hat (M)) → Ext1R (R/a, HxR (M)) → t+1 t → HomR (R/a, H(x,y)R (M)) → Ext2R (R/a, Hat (M)) → Ext2R (R/a, HxR (M)) t Mà ExtiR (R/a, HxR (M)) hữu hạn sinh với i ∈ Z nên Ext1R (R/a, Hat (M)) t hữu hạn sinh Ext2R (R/a, HxR (M)) hữu hạn sinh t+1 HomR (R/a, H(x,y)R (M)) hữu hạn sinh Ta lại có đẳng cấu t+1 t+1 Ha0 (HomR (R/a, H(x,y)R (M))) ∼ (M))) = HomR (R/a, Ha0 (H(x,y)R t+1 Theo mệnh đề 2.2.3 ta có H(x,y)R (M) ∼ = Hat+1 (M) Do t+1 Ha0 (HomR (R/a, H(x,y)R (M)) ∼ = Ha0 (HomR (R/a, Hat+1 (M)) 44 t+1 Suy HomR (R/a, H(x,y)R (M)) ∼ = HomR (R/a, Hat+1 (M)) Tiếp theo, giả sử a) với iđêan a R ta chứng minh Ass(Hai (M)) tập hữu hạn với i ∈ N Thật vậy: Giả sử tồn j ∈ N cho Haj (M) = Vì M mơđun Cohen -Macaulay suy rộng nên heightM a = depth(a, M) + Nếu j = heightM a kết mệnh đề 2.2.2 + Nếu j > heightM a theo hệ 2.2.4 tồn iđêan a ⊇ a cho j heightM a = j − H j (M) ∼ = Ha (M) a Vì giả sử depth(a, M) = j − Do a) nên HomR (R/a, Haj (M)) hữu hạn sinh Vì Ass(Haj (M)) tập hữu hạn Vậy ta có điều phải chứng minh 45 Kết Luận Trong luận văn này, chúng tơi trình bày số kết chủ yếu sau: • Một số tính chất iđêan nguyên tố liên kết trình bày mệnh đề 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4, 2.1.5, 2.1.6, 2.1.7 • Một số điều kiện để tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương Hai (M) hữu hạn trình bày định lý 2.2.1, 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5, 2.2.6 Vì thời gian khả có hạn nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong ý kiến đóng góp, phê bình bổ sung q Thầy bạn để luận văn hồn chỉnh 46 Tài liệu tham khảo [1] J Asadollahi, K.Khashyarmanesh and SH Salarian, A generalization of the cofiniteness problem in local cohomology, J Aust Math Soc 75 (2003), 313 - 324 [2] J Asadollahi and P Schenzel, Some results on associated primes of local cohomology modules, Japan J Math., 29 (2003), 285-296 [3] M F Atiyah, I G Macdonald: Introduction to Commutative Algebra, Addison - Wesley Plublising Company, Inc 1969 [4] M Brodmann, R.Y Sharp, Local cohomology: An Algebraic Introduc- tion with geometric applications, Cambridge University Press, 1998 [5] M P Brodmann, A Lashgari Faghani, A fniteness result for associat- ed primes of local cohomology modules, Proc Amer Math Soc., 128 (2000), 2851-2853 [6] M.P Brodmann, S Fumasoli, F Rohrer, First lectures on local coho mology, University of Zruich, 2007 UNIVERSITY OF Ză URICH [7] W Bruns, J Herzog: Cohen - Macaulay Rings, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39 Cambridge University Press, 1993 [8] M T Dibaei, S Yassemi, Associated primes of the local cohomology modules, Abelian groups, rings, modules, and homological algebra, 4956, Chapman and Hall/CRC, 2006 47 [9] M T Dibaei, S Yassemi, Finiteness of extension functors of local co- homology modules, rXiv:math/0509340v1 [math.AC], 2005 [10] K Divaani - Aazar, A Mafi, Associated primes of local cohomology modules, Proc Amer Math Soc., to appear [11] K Divaani - Aazar, A Mafi, Associated primes of local cohomology modules of weakly Laskerian modules, Comm Algebra, 34 (2006), 681690 [12] R Hartshorne, Affine duality and cofiniteness, Invent Math, (1970), 145 - 164 [13] M Hellus, On the set of associated primes of local cohomology module, J Algebra, 237 (2001), 406 - 419 [14] C Huneke, Problems on local cohomology, in: Free Resolutions in Com- mutative Algebra and Algebraic Geometry (Sundance, Utah, 1990), Research Notes in Mathematics 2, Boston, MA, 1992, pp 93 - 108 [15] C Huneke and J Koh,Cofiniteness and vanishing of local cohomology modules, Math Proc Cambridge Philos Soc, 110, (1991), 421 - 429 [16] C Huneke and R Y Sharp, Bass numbers of local cohomology modules, Trans Amer Math Soc, 339 (1993), 765 - 779 [17] K Khashyarmanesh, Sh Salarian, On the associated primes of local cohomology modules, Comm Algebra, 27(12) (1999), 6191- 6198 [18] M Katzman, An example of an infinite set of associated primes of a local cohomology module, J Algebra, 252 (2002), 161 - 166 [19] H Matsumura: Commutative Ring Theory Cambridge University Press, 1986 MR 88h:1301 48 [20] H Matsumura: Commutative Ring Theory - second Edition, The Ben - jamin/ Cummings Plublising Company, Inc 1980 [21] U Nagel, P Schenzel: Cohomological annihiltors and Castelnuovo Mumford regularity In: Commutative Algebra: syzygies, multiplici- ties, and birational algebra(South Hadley, 1992) Contemp Math., 159 Amer Math Soc., pp 307 -328 [22] T T Nam, Local homology for linearly compact modules, Vietnam J Math 28 (2000), no 1, 87-91 (with N.T.Cuong) [23] T T Nam, On the finiteness of co-associated primes of local homology modules, J Math Kyoto U Vol 8, No (2008) [24] T T Nam, The finiteness of associated primes of local homology mod- ules, Kodai Math J 29 (2006), no 3, 383–390 [25] L T Nhan, On generalized regular sequences and the finiteness for associated primes of local cohomology modules, Comm Algebra 33 (3) (2005), 793 - 806 [26] L T Nhan and M Morales, Generalized f - modules and the associated primes of local cohomology modules Comm Algebra 34 (2006), 863 878 [27] J St ckrad and W Vogel: Buchsbaum Rings and Applications, Spinger - Verlag, Berlin - Heidelberg- New York, 1986 [28] P Schenzel: On the use of local cohomology in algebra and geometry, Lectures at the Summer School of Commutative Algebra and Algebraic Geometry, Ballaterra, 1996, Birkhauser Verlag, 1998, pp 241 - 292 [29] A Singh, p-torsion elements in local cohomology modules, Math Res Lett, (2000), 165- 176 49 ... Iđêan nguyên tố liên kết 19 2.2 Iđêan nguyên tố liên kết với môđun đối đồng điều địa phương 25 Kết Luận 46 Tài liệu tham khảo 47 Lời Nói Đầu Lý thuyết đối đồng điều địa phương. .. niệm iđêan môđun 1.2 Dãy quy độ sâu 11 1.3 Môđun đối đồng điều địa phương 13 Iđêan nguyên tố liên kết với môđun đối đồng điều địa phương 19 2.1 Iđêan. .. II: Iđêan nguyên tố liên kết với môđun đối đồng điều địa phương Phần chương dành cho việc nghiên cứu tính chất iđêan nguyên tố liên kết phạm trù môđun Phần nghiên cứu điều kiện để tập iđêan nguyên