Một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Minh Đức MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MƠĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Minh Đức MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MƠĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN Chuyên ngành : Đại số Lý thuyết số Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 LỜI CẢM ƠN Để hồn thành chương trình cao học viết luận văn này, tơi nhận hướng dẫn nhiệt tình quý thầy cô trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, động viên giúp đỡ từ gia đình bạn bè Trước hết, Tơi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến PGS TS Trần Tuấn Nam Thầy quan tâm sâu sắc, dành nhiều thời gian công sức hướng dẫn để giúp hoàn thành luận văn thạc sĩ Thầy hướng dẫn tơi từ làm luận văn Đại học, nhiệt tình giúp đỡ hướng dẫn suốt thời gian học cao học hoàn thành luận văn Thạc sĩ Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô dạy bảo tơi suốt q trình học tập Tôi xin cảm ơn thầy Mỵ Vinh Quang, thầy Trần Huyên, thầy Bùi Tường Trí, thầy Bùi Xuân Hải tận tình dạy bảo cho tơi nhiều kiến thức Đại Số kiến thức học tập Xin cảm ơn bạn học lớp Đại số K21 bạn bè người thân động viên giúp đỡ tơi suốt q trình học tập làm luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình tơi Gia đình tơi ln nguồn động viên tinh thần to lớn giúp tơi hồn thành khóa học luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2012 TRẦN MINH ĐỨC MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU T 30T Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ T T 1.1 Một số bổ đề định nghĩa T T 1.2 Bao nội xạ phép giải nội xạ tối tiểu T T 1.3 Dãy quy – độ sâu T T 1.4 Số chiều – hệ tham số T 30T 1.5 Giới hạn thuận T 30T 1.6 Hàm tử dẫn xuất phải T 30T 1.7 Dãy phổ 10 T 30T 1.8 Môđun đối đồng điều địa phương 13 T T Chương 2: MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP T IĐÊAN 16 30T 2.1 Hàm tử đối đồng điều địa phương theo cặp Iđêan 16 T T 2.2 Môđun đối đồng điều địa phương theo cặp Iđêan phức Cech 27 T T 2.3 Liên hệ môđun đối đồng điều địa phương theo cặp Iđêan môđun T đối đồng điều địa phương 34 30T 2.4 Tính chất triệt tiêu không triệt tiêu môđun đối đồng điều địa phương T theo cặp Iđêan 38 30T KẾT LUẬN 43 T 30T TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 T 30T MỞ ĐẦU Đối đồng điều địa phương lý thuyết tối cần thiết công cụ quan trọng đại số giao hốn hình học đại số Trong luận văn này, tơi trình bày định nghĩa tính chất mơđun đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan (I, J), khái niệm tổng quát khái niệm môđun đối đồng điều địa phương theo iđêan I Trong luận văn này, ta giả thiết R vành Nơte giao hoán cho I, J hai → Mod R mở iđêan R Ta định nghĩa hàm tử (I, J)-xoắn Γ I , J : Mod R  rộng hàm tử I-xoắn Γ I Hơn tính khớp trái hàm tử Γ I , J (Bổ đề (2.1.3)), với số tự nhiên i ta lấy dãy hàm tử dẫn xuất phải thứ i Γ I , J H Ii , J - hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo cặp iđêan (I, J) Một khái niệm quan trọng xem xét luận văn tập: W( I , J ) = {p ∈ Spec( R) | I n ⊆ p+ J , n  1} tập hợp Spec( R) (xem định nghĩa (2.1.6)), mệnh đề (2.1.8) R-môđun M (I, J)-xoắn Supp M ⊆ W( I , J ) Ta lưu ý J = hàm tử H Ii , J lại trở thành hàm tử đối đồng điều địa phương H Ii tập W( I , J ) lại trở thành tập V ( I ) , nên thấy W( I , J ) mở rộng V ( I ) tương ứng theo cặp iđêan (I, J) Luận văn trình bày thành hai chương Trong chương tơi trình bày mà khơng chứng minh số kiến thức đại số giao hoán, đối đồng điều địa phương theo iđêan để chuẩn bị cho độc giả đọc chương hai Độc giả bỏ qua chương để đọc thẳng chương hai, phần luận văn, trình bày tính chất mơđun đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan Cụ thể sau: Trong phần (2.1) chương hai trình bày định nghĩa mơđun đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan, định nghĩa tập W( I , J ) đưa số tính chất môđun đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan Phần (2.2) trình bày phức Cech suy rộng đưa định nghĩa tương đương môđun đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan qua phức Cech suy rộng (định lý (2.2.4)) Từ suy số hệ tính chất quan trọng mơđun đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan Tới phần (2.3) liên hệ môđun đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan môđun đối đồng điều địa phương theo iđêan Định lý (2.3.2) cho ta thấy môđun đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan giới hạn thuận môđun đối đồng điều địa phương theo  I , J ) Còn ( R, m ) vành địa phương ta có iđêan tập W( Γ I (M )= lim  Γ m , J ( M )  (m,I ) J ∈W Và phần (2.4) phần trung tâm luận văn, trình bày định lý triệt tiêu không triệt tiêu môđun đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan Đặc biệt định lý (2.4.1) cho ta đẳng thức: i inf {i | H= inf {depth M p | p ∈ W( I , J )} I , J ( M ) ≠ 0} mở rộng định lý triệt tiêu không triệt tiêu Grothendieck trường hợp M môđun hữu hạn sinh Mặc dù có nhiều cố gắng q trình làm luận văn hạn hẹp kiến thức thời gian nên luận văn cịn nhiều sai sót, mong nhận xét phản hồi quý thầy cô bạn CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương tồn luận văn ta nói đến vành R R vành Nơte giao hốn có đơn vị 1.1 Một số bổ đề định nghĩa Bổ đề 1.1.1.(Nakayama) Cho R vành, M R-môđun hữu hạn sinh, I iđêan R Giả sử IM = M , tồn x ∈ I cho (1 + x) M = Nếu R vành địa phương I iđêan thực ta suy M = Bổ đề 1.1.2 (Artin-Rees) Cho R vành, M R-môđun hữu hạn sinh, I iđêan R N R-môđun M Khi tồn số tự nhiên n0 đủ = ∩ N I n − n0 ( I n0 M ∩ N ) với n ≥ n0 lớn cho: I n M Định nghĩa 1.1.3 Cho M R-môđun Ta định nghĩa tập hợp tập Spec( R) iđêan nguyên tố R sau: Supp M = {p ∈ Spec( R ) | M p ≠ 0} Ass M = {p ∈ Spec( R ) | ∃x ∈ M : p = Ann( x)} Min M = {p ∈ Spec( R ) | ∀q ∈ Supp M : q ⊆ p ⇒ q = p} Tập Supp M gọi giá M, tập Ass M gọi tập iđêan nguyên tố liên kết M Tập Min M tập hợp phần tử tối tiểu tập Supp M Mệnh đề 1.1.4 Với R-mơđun M ta có bao hàm thức sau: Min M ⊆ Ass M ⊆ Supp M Định nghĩa 1.1.5 Cho I iđêan R Ta đặt: V (I ) = {p ∈ Spec( R) | I ⊆ p} Mệnh đề 1.1.6 Nếu M, N R-môđun hữu hạn sinh ta có: Supp M = V ( Ann( M )) Supp M ⊗ = N Supp M ∩ Supp N Mệnh đề 1.1.7 Cho dãy khớp R-đồng cấu: → L → M → N → Thì ta có: Ass M ⊆ Ass L ∪ Ass N Supp = M Supp L ∪ Supp N 1.2 Bao nội xạ phép giải nội xạ tối tiểu Định nghĩa 1.2.1 Cho ≠ M ⊆ N R-môđun Môđun N gọi mở rộng thiết yếu M với môđun ≠ N ' ⊆ N ta có: N '∩ M ≠ Định lý-Định nghĩa 1.2.2 Cho M R-mơđun Khi tồn (sai khác đẳng cấu) R-môđun nội xạ E mở rộng thiết yếu M Ta gọi E bao nội xạ M ký hiệu E = E ( M ) Định nghĩa 1.2.3 Một R-môđun M ≠ gọi mơđun khơng phân tích M không tổng trực tiếp hai môđun thực Định lý 1.2.4 (Matlis) Cho E R-mơđun nội xạ ta có: i Tồn cách phân tích: E = ⊕ Ei Ei mơđun nội i∈I xạ khơng phân tích ii Nếu E mơđun nội xạ khơng phân tích tồn p ∈ Spec( R) cho E = E ( R / p) Ngược lại E ( R / p) môđun nội xạ khơng phân tích với p ∈ Spec( R) Mệnh đề 1.2.5 Cho vành R, p iđêan nguyên tố R, M Rmơđun Khi ta có: i E ( R / p) hạng tử trực tiếp E ( M ) p ∈ Ass ( M ) ii Ass ( E ( R / p)) = {p} Định nghĩa 1.2.6 Cho M R-môđun, phép giải nội xạ tối tiểu M phép giải nội xạ M: ε d d → M  → E  → E1  → E  →  ( M ), E1 E (coker = = ε ), E E (coker d ), E E= Mỗi phép giải nội xạ tối tiểu (sai khác đẳng cấu) Theo định lý phân tích mơđun nội xạ ta có: i E= ⊕ p∈Spec ( R ) E ( R / p) µi ( p, M ) Trong µi (p, M ) số E ( R / p) tổng trực tiếp, ta gọi µi (p, M ) số Bass thứ i M theo p Định lý 1.2.7.(Bass) Cho p ∈ Spec( R) , k (p) = Rp pRp M R-mơđun Khi ta có: i = µi (p, M ) dim = dim k ( p) (Ext iR ( R / p, M )) p k ( p) Ext Rp ( k ( p), M p ) 1.3 Dãy quy – độ sâu Định nghĩa 1.3.1 Cho M R-môđun Dãy phần tử x1 , x2 , , xn R gọi dãy M- quy ( x1 , x2 , , xn ) M ≠ M xi không ước không M ( x , x , , x ) M với i = 1, 2, n i −1 Định nghĩa 1.3.2 Cho M R-môđun I iđêan Rthỏa mãn IM ≠ M Ta định nghĩa độ sâu M I là: depth R ( I , M ) = sup {n | ( x1 , , xn ) dãy M - quy I } Nếu ( R, m ) vành địa phương ta ký hiệu: depth R M := depth R ( m, M ) Định lý 1.3.3 Cho M R-môđun hữu hạn sinh I iđêan R thỏa mãn IM ≠ M Ta có: = depth R ( I , M ) inf{i | Ext iR ( R / I , M ) ≠ 0} = inf{depth Rp M p |p ∈ V ( I )} Mệnh đề 1.3.4 Cho M R-môđun hữu hạn sinh I iđêan R thỏa mãn IM ≠ M Ta có: depth R M p inf{i | µi (p, M ) ≠ 0} = p 1.4 Số chiều – hệ tham số Định nghĩa 1.4.1 Cho vành R Số chiều R, ký hiệu dim(R) supremum độ dài dây chuyền (nghiêm ngặt) iđêan nguyên tố R: dim = R sup{n | ∃p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn , pi ∈ Spec( R= ) ∀i 0,1, , n} Cho M R-mơđun số chiều M supremum độ dài dây chuyền (nghiêm ngặt) iđêan nguyên tố Supp(M): dim = M sup{n | ∃p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn , pi ∈ Supp(M), = ∀i 0,1, , n} Nếu M = ta đặt dim M= –1 Mệnh đề 1.4.2 Cho M, N R-môđun hữu hạn sinh.Ta có dim M = dim( R / Ann( M )) dim( = M ⊗ N ) dim R / (Ann( M ) + Ann( N )) Định nghĩa 1.4.3 Cho ( R, m ) vành địa phương, M R-môđun hữu hạn inf{n | ∃x1 , x2 , , xn ∈ m : Supp( M / ( x1 , , xn ) M ) = {m}}, dãy sinh Đặt d = 30 (⇒) Với x ∈ Γ I , J ( M ) tồn số tự nhiên n ≥ cho ain x ∈ Jx với ta ≤ i ≤ s Do với ≤ i ≤ s tồn bi ∈ J cho (ain − bi ) x =   s dễ thấy (ain − bi ) ∈ Sa , J Vậy ta suy x ∈ Ker  M → ∏ M a , J   i =1 i  s   (⇐) Với x ∈ Ker  M → ∏ M , J  Thì với i tồn a ni + bi ∈ Sa , J cho i =1   (a ni + bi ) x = từ suy ain x = −bx ∈ Jx Do tồn số n đủ lớn cho I n x ⊆ Jx ⇒ x ∈ Γ I , J ( M )  a ) (a1 , a2 , as ) iđêan I (= Định lý 2.2.4 Cho M R-môđun, = R Khi với i ≥ ta có đẳng cấu tự nhiên sau: H Ii , J ( M ) ≅ H i ( Ca•, J ⊗ R M ) Chứng minh Từ mệnh đề (2.2.3) phần (v) ta có đẳng cấu tự nhiên: H ( Ca•, J ⊗ M ) ≅ Γ I , J ( M ) Với dãy khớp R-môđun → L → M → N → Do phần tử phức Ca•,J R-mơđun phẳng ( S −1M phẳng M mơđun phẳng) nên ta có dãy khớp phức → Ca•, J ⊗ L → Ca•, J ⊗ M → Ca•, J ⊗ N → Từ ta có dãy khớp dài: → H ( Ca•, J ⊗ L ) → H ( Ca•, J ⊗ M ) → H ( Ca•, J ⊗ N ) → H ( Ca•, J ⊗ L ) → → H i −1 ( Ca•, J ⊗ N ) → H i ( Ca•, J ⊗ L ) → H i ( Ca•, J ⊗ M ) → H i ( Ca•, J ⊗ N ) → H i +1 ( Ca•, J ⊗ L ) → Vậy ta cần chứng minh H i ( Ca•, J ⊗ E ) = với R-môđun nội xạ E với i > Do phân tích thành tổng trực tiếp môđun nội xạ nên ta 31 cần chứng minh H i ( Ca , J ⊗ E ( R / p) ) = với p iđêan nguyên tố R Ta chứng minh quy nạp theo s độ dài a Nếu s = , ta có: ( Ca•, J ⊗ E = → ER ( R / p) → ER ( R / p) a1 , J → ) ER ( R / p) a , J đẳng cấu với ER ( R / p) p ∉ W((a1 ), J ) p ∈ W((a1 ), J ) Trong hai trường hợp ta có H ( Ca , J ⊗ E ( R / p) ) = Bây ta giả sử s > , đặt a ' = a2 , a3 , , as Khi ta có đẳng thức • C= Ca•1 , J ⊗ Ca'• , J Do theo định lý (1.7.12) ta có dãy phổ góc phần tư thứ ba: a,J ( ) E2p ,q = H p Ca•1 , J ⊗ H q ( Ca'• , J ⊗ E ( R / p) ) ⇒ H p + q ( Ca•, J ⊗ E ( R / p) ) Theo giả thiết quy nạp ta có H q ( Ca'• , J ⊗ E ( R / p) ) = với q > Do dãy phổ suy biến theo trục p, ta có đẳng cấu: ( H n ( Ca•, J ⊗ E ( R / p) ) = H n Ca•1 , J ⊗ H ( Ca'• , J ⊗ E ( R / p) ) ( = H n Ca•1 , J ⊗ Γ a' , J ( E ( R / p)) ( ) ) = H n → Γ a' , J ( E ( R / p)) → ( Γ a' , J ( E ( R / p)) )a , J → ) Từ ta thấy H n ( Ca•, J ⊗ E ( R / p) ) = với n ≥ Theo mệnh đề (2.1.12) Γ a' , J ( E ( R / p)) là E ( R / p) Vậy ta ( ) điều ta cần chứng minh H → E ( R / p) → ( E ( R / p) )a , J → = chứng minh trường hợp s = Vậy ta có điều phải chứng minh  32 Hệ 2.2.5 Cho M R-môđun J-xoắn, a = a1 , a2 , a3 , , as dãy phần tử R iđêan I = (a ) Khi ta có đẳng cấu tự nhiên Ca•,J ⊗ R M ≅ Ca• ⊗ R M Từ suy H Ii , J ( M ) ≅ H Ii ( M ) với số tự nhiên i Chứng minh.Với a ∈ I , ta có đồng cấu tự nhiên ϕ : M a → M a , J xác định sau ϕ ( z / a n ) = z / a n Đầu tiên chứng minh ϕ đẳng cấu Giả sử ϕ ( z / a n )= ∈ M a , J Khi tồn m ∈ , b ∈ J cho ( a m − b) z = Vì (a m − b ) chia hết cho l l ( a m − b) với l ∈ nên (a m − b ) z = Mặt khác M môđun J-xoắn nên tồn số tự nhiênl đủ lớn l l b z = Từ ta suy a m z = nên z / a n = ∈ M a Vậy ta chứng minh l l ϕ đơn cấu w z / (a n − b) ∈ M a , J với z ∈ M b ∈ J Để chứng minh ϕ tồn cấu ta lấy = Vì Mlà J-xoắn nên tồn tạil đủ lớn cho (a m − b ) = c.(a m − b) l l với c∈R , m z c ( a m − b) z a= l b z = Ta viết l M Vậy m = ϕ (cz / a m ) nên ϕ toàn cấu w z / (a n − b= ) cz / a 2= l l Do ϕ đẳng cấu nên ta có M a ≅ M a , J với a ∈ I Từ ta có Ca•, J ⊗ R M ≅ Ca• ⊗ R M với a ∈ I Và ta có đẳng cấu phức: Ca•, J ⊗ R M= Ca•1 , J ⊗ Ca•2 , J ⊗ ⊗ Ca•s , J ⊗ M ≅ Ca•1 ⊗ Ca•2 ⊗ ⊗ Ca•s ⊗ M = Ca• ⊗ R M Áp dụng định lý (2.2.4) định lý (1.8.5) ta được: 33 H Ii , J ( M= ) H i (Ca•, J ⊗ R M ) ≅ H i (Ca• ⊗ R M= ) H Ii ( M )  Mệnh đề 2.2.6 Hàm tử H Ii , J (i ≥ 0) giao hoán với giới hạn thuận Tức là: {M λ | λ ∈ I } hệ thuận ta có đẳng cấu tự nhiên: i H Ii , J (lim  M λ ) ≅ lim(  H I , J ( M λ )) λ λ Chứng minh Gọi a = a1 , a2 , as dãy phần tử R sinh I Theo định lý (2.2.4) tính giao hốn tích tenxơ hàm tử đối đồng điều với giới hạn thuận, ta có: • i • i   H Ii , J (lim  M λ ) ≅ H  Ca , J ⊗ R lim  M λ  ≅ H  lim(  Ca , J ⊗ R M λ )  λ λ    λ  • i i ≅ lim  ( H (Ca , J ⊗ R M λ ) ) ≅ lim(  H I , J ( M λ )) λ λ  Định lý 2.2.7 Cho I J hai iđêan R, M’ R-môđun, ϕ : R → R ' đồng cấu vành thỏa mãn tính chất ϕ ( J ) = J R ' Ta có đẳng cấu tự nhiên hai R’-môđun sau: H Ii , J ( M ') ≅ H IRi ', JR ' ( M ') với số tự nhiên i Chứng minh Đặt a = a1 , a2 , as dãy phần tử vành R sinh iđêan I, đặt ϕ (a ) = ϕ (a1 ), ϕ (a2 ), ϕ (as ) Từ giả thiết ta có đẳng thức hai tập nhân R’: ϕ ( Sa , J ) = Sϕ ( a ), JR ' với ≤ i ≤ s Do ta có: i i H Ii , J ( M ') ≅ H i (Ca•, J ⊗ R M ') ≅ H i (Cϕ• ( a ), J ⊗ R ' M ') ≅ H IRi ', JR ' ( M ') Ta điều phải chứng minh  34 2.3 Liên hệ môđun đối đồng điều địa phương theo cặp Iđêan môđun đối đồng điều địa phương  I , J ) tập iđêan a R cho tồn Định nghĩa 2.3.1 Ta định nghĩa W(  I , J ) quan hệ thứ tự phận ≤ n ≥ : I n ⊆ a + J Sau ta trang bị cho W( sau: a ≤ b ⇔ a ⊇ b Khi với R-mơđun M ta có Γa ( M ) ⊆ Γb ( M )  I , J ), ≤ ) đồng cấu nhúng từ Γa ( M ) → Γb ( M ) Như ( W( a ≤ b tạo thành hệ thống thuận (direct system): {Γa ( M )}a∈W ( I , J ) Định lý 2.3.2 Cho M R-môđun, I J hai iđêan vành R Ta có đẳng cấu tự nhiên sau đây: i H Ii , J ( M ) ≅ lim   Ha (M )  a∈W ( I , J ) Chứng minh: Trước tiên ta chứng minh cho i = 0, hay: Γ I , J ( M ) ≅ lim   Γa ( M )  a∈W ( I , J ) Theo mệnh đề (1.5.4) ta có: minh Γ I , J ( M )=   (I ,J ) a∈W   (I ,J ) a∈W Γa ( M ) ≅ lim   Γa ( M ) nên ta cần chứng  a∈W ( I , J ) Γa ( M ) (⊆) Với x ∈ Γ I , J ( M ) tồn n ≥ cho I n ⊆ Ann( x) + J Đặt a = Ann( x) , ta  I , J ) x ∈ Γ ( M ) nên x ∈ có: a ∈ W( a∈W ( I , J ) Γa (M ) a ( ⊇ ) Với  I , J ) x ∈ Γ ( M ) Do tồn x ∈  a∈W ( I , J ) Γa ( M ) ta có a ∈ W( a m, n ≥ cho I m ⊆ a + J a n x = Vì I m.n ⊆ ( a + J ) ⊆ a n + J nên suy n I m.n x ⊆ Jx ⇒ x ∈ Γ I , J ( M ) Với → L → M → N → dãy khớp R-môđun Ta có dãy khớp dài  I, J) : sau với a ∈ W( 35 → Γa ( L) → Γa ( M ) → Γa ( N ) → H a1 ( L) → H a1 ( M ) → H a1 ( N ) → Vì giới hạn thuận hàm tử khớp, ta có dãy khớp dài sau: Γa ( L) → lim Γa ( M ) → lim Γa ( N ) → lim H a1 ( L) → lim             a∈W ( I , J ) a∈W ( I , J ) a∈W ( I , J ) a∈W ( I , J ) → lim   H ( M ) → lim   H ( N ) → (**)   a∈W ( I , J ) a a∈W ( I , J ) a Mặt khác với E R-môđun nội xạ i > ta có H ( E ) = với a Do đó: i lim   H a ( E ) = (***)  a∈W( I , J )  a∈W ( I , J )   Từ (*), (**) (***) ta chứng minh  lim H / i = 0,1, 2,3     hệ thống hàm tử dẫn xuất phải Γ I , J nên ta suy điều phải chứng minh  Hệ 2.3.3 Cho E R-môđun nội xạ; I, J hai iđêan R Khi ta có: i Γ I , J ( E ) R-môđun nội xạ ii H Ii , J ( E ) = với i ≥ Chứng minh Ta thấy (ii) dễ dàng có H Ii , J (−) hàm tử dẫn xuất phải hàm tử Γ I , J (−) Vậy ta cần chứng minh (i) Theo định lý (2.3.2) ta có đẳng cấu sau: Γ I , J ( E ) ≅ lim   Γa ( E )  a∈W ( I , J ) 36 Theo tính chất hàm tử đối đồng điều địa phương ta có Γa ( E ) Rmôđun nội xạ với iđêan a R Do theo mệnh đề (1.5.7) ta suy điều phải chứng minh  Bổ đề 2.3.4 Cho R vành địa phương với iđêan tối đại m ,ta có: = V (J ) W( m , I )  =  (m,J ) I ∈W p∈W ( m , J ) W( m , p) Chứng minh  m, J ) tồn n ≥ cho m n ⊆ I + J ⊆ I + p suy Với p ∈ V ( J ) , I ∈ W( p ∈ W( m, I ) Do ta  m, J ) ⊇ W( m, J ) nên ta có W( có  Vậy ta cần chứng minh V ( J ) ⊆  I ∈W ( m , J ) W( m , I )  (m,J ) I ∈W  Mặt khác W( m , I ) ⊆  p∈W ( m , J ) W( m , p) p∈W ( m , J ) W( m , p) ⊆ V ( J ) Ta chứng minh phản chứng, giả sử tồn q ∈  p∈W ( m , J ) W( m, p) mà q ∉ V ( J ) ⇒ J ⊄ q Lấy x ∈ J \ q ta đặt r = dim R / q Do x phần tử R / q -chính quy nên suy dim R = r − Do tồn y1 , y2 , y3 , yr −1 ∈ m cho y1 , y2 , y3 , yr −1 q + ( x) hệ tham số của R q + ( x) Theo tính chất hệ tham số ta suy q + ( x, y1 , y2 , yr −1 ) m -nguyên sơ q + ( y1 , y2 , yr −1 ) khơng phải iđêan m -ngun sơ Do ta tìm p ∈ Spec( R) cho: q + ( y1 , y2 , yr −1 ) ⊆ p ⊂ m (*) Mặt khác q + ( x, y1 , y2 , yr −1 ) ⊆ ( x) + p ⊂ J + p nên J + p iđêan m nguyên sơ Từ ta suy p ∈ W( m, J ) mà q ∈  p∈W ( m , J ) W( m, p) nên suy q ∈ W( m, p) , suy p = p+ q iđêan m -nguyên sơ! Mâu thuẫn với (*), nên ta 37 có điều phải chứng minh   I , J ) tập thứ tự phận, a ≤ b ⇔ a ⊇ b , Nhớ lại tập W( để ý a ≤ b ta suy Γ I ,a ( M ) ⊇ Γ I ,b ( M ) , từ ta có hệ thống nghịch {Γ I ,a ( M )}a∈W(  I ,J ) Mệnh đề 2.3.5 Cho vành địa phương ( R, m ) , M R-mơđun.Ta có đẳng cấu tự Γ I (M )= nhiên sau : lim  Γ m , J ( M )  (m,I ) J ∈W Chứng minh Ta cần chứng minh Γ I ( M= ) ( ⊆ ) Lấy   (m,I ) J ∈W Γm,J (M )  m, I ) tồn m, n ≥ cho I m x = x ∈ Γ I ( M ) , J ∈ W( mn ⊆ I + J Từ ta suy m m.n x ⊆ Jx ⇒ x ∈ Γ m , J ( M ) Vậy Γ I ( M ) ⊆  J ∈W ( m , I ) Γ m , J ( M ) ( ⊇ ) Lấy x ∈  J∈W ( m , I ) Γ m , J ( M ) Với  m, I ) , J ∈ W( tồn n ≥ cho  m, Ann( x)) Vậy ta có W(  m, I ) ⊆ W(  m, Ann( x)) Bây m n ⊆ Ann( x) + J ⇒ J ∈ W( giờ, áp dụng bổ đề (2.3.4) ta có: = V ( Ann( x))   ( m , Ann ( x )) J ∈W W( m , J ) ⊆   (m,I ) J ∈W W( m , J= ) V (I ) Từ suy I ⊆ Ann( x) ⇒ x ∈ Γ I ( M ) , ta có điều phải chứng minh  38 2.4 Tính chất triệt tiêu khơng triệt tiêu môđun đối đồng điều địa phương theo cặp Iđêan Định lý 2.4.1 Cho M R-môđun hữu hạn sinh, đặt = n inf {depth M p | p ∈ W( I , J )} ta có: i H Ii , J ( M ) = với ≤ i < n ii H In, J ( M ) ≠ Chứng minh Lấy ) E i (M = E • ( M ) phép giải nội xạ tối tiểu M Thì ⊕ E ( R / p)µi ( p, M ) với ≤ i µi (p, M ) số Bass thứ i p∈Spec ( R ) M theo p Áp dụng mệnh đề (2.1.12) ta có: Γ I , J ( E i ( M )) = ΓI ,J ( ⊕ p∈Spec ( R ) E ( R / p)µi ( p, M ) ) = ΓI ,J ( ⊕ E ( R / p)µi ( p, M ) ) ⊕ Γ I , J ( ⊕ = ΓI ,J ( ⊕ E ( R / p)µi ( p, M ) ) p∈W ( I , J ) p∈W ( I , J ) = ⊕ p∈W ( I , J ) p∉W ( I , J ) E ( R / p)µi ( p, M ) ) E ( R / p)µi ( p, M ) (*) M p inf {i | µi (p, M ) ≠ 0} nên ta Mặt khác p ∈ W( I , J ) ta có n ≤ depth= Γ I , J ( E i ( M )) = ⇒ H Ii , J ( M ) = 0, ∀0 ≤ i < n Bây ta cần chứng minh H In, J ( M ) ≠ Từ (*) ta thấy Γ I , J ( E n ( M )) ≠ , phức Γ I , J ( E • ( M ) ) xuất phát từ phần tử thứ n Ta có biểu đồ giao hoán sau: → H In, J ( M )  → Γ I , J ( E n ( M ))  → Γ I , J ( E n +1 ( M ))  n−1 d  → E n (M ) E n −1 ( M )  d  → n E n +1 ( M ) hai dịng khớp, hai mũi tên cột phép nhúng tự nhiên er d n Im d n −1 ⊆ E n ( M ) mở rộng thiết yếu, nên ta có: Vì K= H In, J ( M ) = ΓiI , J ( E n ( M )) ∩ Ker d n −1 ≠ 39 Vậy ta điều phải chứng minh  Nhận thấy định lý (2.4.1) mở rộng định lý (1.8.8) quen thuộc đối đồng điều địa phương Hệ 2.4.2 Cho ( R, m) vành địa phương, M R-môđun hữu hạn sinh Khi mệnh đề sau tương đương i M môđun (I,J)-xoắn ii H Ii , J ( M ) = với i>0 Chứng minh ( i ) ⇒ ( ii ) chứng minh phần (i) mệnh đề (2.1.14) ( ii ) ⇒ ( i ) Vì Γ I , J ( M ) ⊆ M nên ta đặt N = M Γ I ,J (M ) ta cần chứng minh N = Giả sử N ≠ Theo phần (iv) mệnh đề (2.1.15) ta có:   ΓI ,J ( N ) = ΓI ,J  M = Γ M ( ) I ,J     i = H Ii , J ( N ) H Ii , J  M  ≅ H I , J ( M ), ∀i > Γ M ( ) I ,J   Mặt khác m ∈ W( I , J ) nên inf {depth N p / p ∈ W( I , J )} ≤ depth N m ≤ depth N < ∞ Theo định lý (2.4.1) với số i inf {depth N p / p ∈ W( I , J )} ta có H Ii , J ( N ) ≠ = (vơ lý) Vậy ta có điều phải chứng minh Định lý 2.4.3 Cho ( R, m) vành địa phương, M R-môđun hữu hạn sinh Giả sử J ≠ R ta có: H Ii , J ( M )= 0, ∀i > dim M JM Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo r = dim M JM 40 Với r = −1 , M JM = nên theo bổ đề Nakayama ta M = suy H Ii , J ( M ) = với số tự nhiên i Giả sử r ≥ , ta có lọc hữu hạn sau = M ⊂ M ⊂ ⊂ M s = M cho M j / M j −1 ≅ R / p j , với p j ∈ Supp ( M ) j = 0,1, s Do ta có dãy khớp sau với j = 0,1, s : → M j −1 → M j → R / p j → Từ ta suy dãy khớp với j = 0,1, , s : H Ii , J ( M j −1 ) → H Ii , J ( M j ) → H Ii , J ( R / p j ) Lưu ý rằng: dim R / (p j + J ) ≤ dim R / ( Ann( M = M / JM r ) + J ) dim = Do ta giả sử M = R / p với p ∈ Spec( R) Theo định lý (2.2.7) ta có H Ii , J ( R / p) ≅ H Ii ( R / p), J ( R / p) ( R / p) Do thay R ( R / p) , ta giả sử R miền nguyên M = R Bây ta giả sử tồn lại l > r cho H Il , J ( R) ≠ , ta cần điều vô lý Để ý lúc ta có Ass ( H Il , J ( R)) ≠ ∅ Đầu tiên ta giả sử Ass ( H Il , J ( R)) chứa iđêan nguyên tố q ≠ (0) Khi chọn phần tử x ≠ thuộc vào q Dãy khớp x → R  → R  →R  ( x) H Il −, J1 ( R  → , cho ta thu dãy khớp: ( x) x )  → H Il , J ( R)  → H Il , J ( R) Lưu ý dim R J + ( x) = r − < l − nên theo giả thiết quy nạp ta suy H Il −, J1 ( R ( x) ) = Điều chứng tỏ rằngx H Il , J ( R) -chính quy Nhưng x lại nằm iđêan nguyên tố liên kết q H Il , J ( R) , nên x ước không H Il , J ( R) (!) Điều vô lý dẫn đến Ass ( H Il , J ( R)) = {(0)} Dựa theo mệnh đề (2.1.8) (2.1.14) phần (v) ta có Ass ( H Il , J ( R)) ⊆ W( I , J ) , suy (0) ∈ W( I , J ) Do tồn n ≥ : I n ⊆ J , suy với x thuộc R ta có 41 I n ⊆ Ann( x) + J ⇒ x ∈ Γ I , J ( R) Điều suy R R-môđun (I,J)-xoắn H Il , J ( R) = (mâu thuẫn!) Vậy ta có điều phải chứng minh  Hệ 2.4.4 Cho R vành địa phương M R-môđun (không cần thiết phải hữu hạn sinh) Thì ta có H Ii , J ( M ) = với i > dim R / J Chứng minh Do R-môđun giới hạn thuận môđun hữu hạn sinh, ta viết M = lim  M λ M λ R-mơđun hữu hạn sinh Để ý λ M Do = dim λ ( J + Ann( M λ )) JM λ M theo mệnh đề (2.2.6), ta có: i > dim R / J ≥ dim λ JM λ dim R / J ≥ dim R với i H Ii , J ( M ) lim = =   H I ,J (M λ ) λ  Định lý 2.4.5 Cho M môđun hữu hạn sinh vành địa phương ( R, m ) Giả sử I + J iđêan m -nguyên sơ Khi ta có đẳng thức: sup {i | H Ii , J ( M ) ≠ 0} = dim M / JM Chứng minh Nhờ định lý (2.4.3) ta cần chứng minh H Ir, J ( M ) ≠ với r = dim M / JM Vì I + J iđêan m -nguyên sơ nên theo mệnh đề (2.1.5)thì H Ii , J ( M ) = H mi , J ( M ) với số tự nhiên i Do ta giả sử I = m Từ dãy khớp → JM → M → M JM → ta suy dãy khớp: H mr , J ( M ) → H mr , J ( M JM ) → H mr +,1J ( JM ) (*) Theo định lý (2.4.3) ta có H mr +,1J ( JM ) = dim( JM J 2M ) ≤ dim( M J 2M ) M = dim( = ) r Hơn nữa, theo mệnh đề (2.2.5) định lý khơng triệt tiêu JM Grothendieck (1.8.7) ta có: 42 r M H m= ) H mr ( M )≠0 ,J ( JM JM Do từ dãy khớp (*) ta suy H Ir, J ( M ) ≠ (điều phải chứng minh)  Định lý 2.4.6 Cho M R-môđun hữu hạn sinh, ta có: i H Ii , J ( M ) = với i > dim M ii H Ii , J ( M ) = với i > dim M JM + Chứng minh i Theo định lý (2.3.2) định lý triệt tiêu Grothendieck (1.8.6) ta có: i H Ii , J ( M ) ≅ lim với i > dim M   Ha (M ) =  a∈W ( I , J ) ii Ta chứng minh quy nạp theo r = dim( M JM ) Do Khi r = −1 theo bổ đề Nakayama ta có a ∈ J cho (1 + a) M = với x ∈ M x = − ax ∈ Jx nên Rx = Jx Từ ta suy Mlà R-môđun (I,J)xoắn Mệnh đề(2.1.14) cho H Ii , J ( M ) = 0, ∀i > = r + Khi r ≥ sử dụng kỹ thuật chứng minh tương tự định lý (2.4.3) ta có điều phải chứng minh  43 KẾT LUẬN Trong luận văn làm điều sau đây: • Đưa định nghĩa mơđun Γ I , J ( M ) , môđun H Ii , J ( M ) số tính chất (trong phần 2.1), tập W( I , J ) có vai trị quan trọng việc nghiên cứu tính chất • Đưa định nghĩa phức Cech suy rộng tương ứng với môđun đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan, định lý (2.2.4) đẳng cấu tự nhiên môđun đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan phức Cech suy rộng • Mơđun H Ii , J ( M ) giới hạn thuận hệ thuận môđun đối đồng Γ I (M )= điều địa phương, mệnh đề (2.3.5) ta có lim  Γ m , J ( M ) trường hợp (R, m ) vành địa phương  (m,I ) J ∈W • Một số định lý tính triệt tiêu không triệt tiêu phần (2.4) Đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan vấn đề mẻ cịn nhiều tốn mở để nghiên cứu Chẳng hạn tính Artin mơđun đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan, tập iđêan nguyên tố liên kết, đối ngẫu Matlis biến đối iđêan… 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M P Brodman and R Y Sharp, Local cohomology: An Algebraic Introduction with Geometric Application, Cambridge University Press, Cambridge, 1998 [2] R Takahashi, Y Yoshino and T Yoshizawa, Local cohomology based on a nonclosed support define by a pair of ideals, J Pure Appl Algebra 213 (2009), 582-600 [3] L Chu and Q Wang, Some results on local cohomology modules define by a pair of ideals, J Math Kyoto Univ 49 (2009), no 1, 59-72 [4] H Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge University Press, 1986 [5] A Grothendieck, Local cohomology, Lecture Notes in Mathematics 41, Springer, 1967 [6] L Chu, Top local cohomology modules with respect to a pair of ideals, Proc Amer Math Soc, 139: 777-782, 2011 [7] J R Strooker, Homological question in Local Algebra, Cambridge University Press, Cambridge, 1990 [8] D G Northcott, An introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, Cambridge, 1960 [9] J J Rotman, An introduction to Homological Algebra, Springer Press, 2009 [10] D Eisenbud, Comutative Algebra with a view toward Algebraic Geometry, Springer Press, 1995 ... Từ suy số hệ tính chất quan trọng môđun đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan Tới phần (2.3) liên hệ môđun đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan môđun đối đồng điều địa phương theo iđêan Định... 2.2 Môđun đối đồng điều địa phương theo cặp Iđêan phức Cech 27 T T 2.3 Liên hệ môđun đối đồng điều địa phương theo cặp Iđêan môđun T đối đồng điều địa phương 34 30T 2.4 Tính chất. .. 30T 1.8 Môđun đối đồng điều địa phương 13 T T Chương 2: MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP T IĐÊAN 16 30T 2.1 Hàm tử đối đồng điều địa phương theo cặp Iđêan