Tập IĐêan nguyên tố liên kết và tính Cofinite của Môđun đối đồng điều địa phương (LV thạc sĩ)

Tập IĐêan nguyên tố liên kết và tính Cofinite của Môđun đối đồng điều địa phương (LV thạc sĩ)Tập IĐêan nguyên tố liên kết và tính Cofinite của Môđun đối đồng điều địa phương (LV thạc sĩ)Tập IĐêan nguyên tố liên kết và tính Cofinite của Môđun đối đồng điều địa phương (LV thạc sĩ)Tập IĐêan nguyên tố liên kết và tính Cofinite của Môđun đối đồng điều địa phương (LV thạc sĩ)Tập IĐêan nguyên tố liên kết và tính Cofinite của Môđun đối đồng điều địa phương (LV thạc sĩ)Tập IĐêan nguyên tố liên kết và tính Cofinite của Môđun đối đồng điều địa phương (LV thạc sĩ)Tập IĐêan nguyên tố liên kết và tính Cofinite của Môđun đối đồng điều địa phương (LV thạc sĩ)Tập IĐêan nguyên tố liên kết và tính Cofinite của Môđun đối đồng điều địa phương (LV thạc sĩ)Tập IĐêan nguyên tố liên kết và tính Cofinite của Môđun đối đồng điều địa phương (LV thạc sĩ)Tập IĐêan nguyên tố liên kết và tính Cofinite của Môđun đối đồng điều địa phương (LV thạc sĩ)Tập IĐêan nguyên tố liên kết và tính Cofinite của Môđun đối đồng điều địa phương (LV thạc sĩ)Tập IĐêan nguyên tố liên kết và tính Cofinite của Môđun đối đồng điều địa phương (LV thạc sĩ)

I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM H MAI LOAN TP IấAN NGUYấN T LIấN KT V TNH COFINITE CA MễUN I NG IU A PHNG LUN VN THC S TON HC THI NGUYấN - 2016 I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM H MAI LOAN TP IấAN NGUYấN T LIấN KT V TNH COFINITE CA MễUN I NG IU A PHNG Chuyờn ngnh: i s v Lý thuyt s Mó s: 60.46.01.04 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: TS NGUYN VN HONG THI NGUYấN - 2016 Li cam oan Tụi xin cam oan rng ni dung trỡnh by lun ny l trung thc v khụng trựng lp vi cỏc ti khỏc Tụi cng xin cam oan rng mi s giỳp cho vic thc hin lun ny ó c cm n v cỏc thụng tin trớch dn lun ó c ch rừ ngun gc Thỏi Nguyờn, ngy thỏng nm Ngi vit Lun H Mai Loan i Li cm n Lun c hon thnh di s hng dn khoa hc ca Tin s NGUYN VN HONG - Ging viờn Trng i hc S phm - i hc Thỏi Nguyờn Nhõn dp ny tụi xin by t lũng bit n sõu sc ti thy, ngi ó hng dn tụi phng phỏp nghiờn cu khoa hc ỳng n, tinh thn lm vic nghiờm tỳc v ó dnh nhiu thi gian, cụng sc giỳp tụi hon thnh lun ny Tụi cng xin by t lũng bit n sõu sc ti cỏc thy cụ giỏo ca Vin Toỏn hc v i hc Thỏi Nguyờn, nhng ngi ó tn tỡnh ging dy v khớch l, ng viờn tụi vt qua nhng khú khn hc Tụi xin cm n ban lónh o Trng i hc S phm - i hc Thỏi Nguyờn, Khoa Sau i hc ó to mi iu kin thun li, giỳp tụi sut thi gian hc Cui cựng tụi xin cm n bn bố, ngi thõn ó giỳp , ng viờn, ng h tụi tụi cú th hon thnh tt khúa hc ca mỡnh Thỏi Nguyờn, ngy thỏng nm 2016 Ngi vit lun H Mai Loan ii Mc lc Li cam oan i Li cm n ii Mc lc iii M u 1 Kin thc chun b 1.1 Iờan nguyờn t liờn kt 1.2 Biu din th cp 1.3 Mụun Ext v mụun Tor 1.4 Mụun i ng iu a phng 10 Tớnh hu hn ca iờan nguyờn t liờn kt v tớnh cofinite ca mụun i ng iu a phng 2.1 13 Tớnh hu hn ca iờan nguyờn t liờn kt ca mụun i ng iu a phng iii 13 2.2 Tớnh cofinite ca mụun i ng iu a phng 25 Kt lun 41 Ti liu tham kho 42 iv M u Cho R l vnh Noether, a l mt iờan ca R, v M l Rmụun Mt quan trng i s giao hoỏn l xỏc nh no cỏc iờan nguyờn t liờn kt ca mụun i ng iu a phng th i, Hai (M ) ca M ng vi iờan a l hu hn Nu R l vnh a phng chớnh quy cha mt trng, ú Hai (R) ch cú hu hn cỏc iờan nguyờn t liờn kt vi mi i (trong [10] v [13]) Trong [20] Singh ó a mt vớ d ca mt vnh Noether R khụng a phng v mt iờan a cho Ha3 (R) cú vụ hn cỏc iờan nguyờn t liờn kt Cng [11] Katzman ó a mt vớ d ca mt vnh a phng Noether R vi c s dng v mt iờan a cho Ha2 (R) cú vụ hn cỏc iờan nguyờn t liờn kt Trong [2, nh lý 2.2] Brodmann v Lashgari ó ch rng mụun i ng iu a phng khụng hu hn sinh u tiờn Hai (M ) ca mt mụun hu hn sinh M ng vi mt iờan a ch cú hu hn cỏc iờan nguyờn t liờn kt Mt Rmụun M c gi l a-cofinite nu SuppR (M ) V(a) v ExtiR (R/a, M ) l hu hn sinh vi mi i Gn õy M T Dibaei v S Yassemi ó m rng kt qu ca Brodmann v Lashgari, c th l nh lý sau: nh Lý ([6, nh lý 2.1]) Cho a l mt iờan ca vnh Noether R Cho s l mt s nguyờn khụng õm Cho M l Rmụun cho ExtsR (R/a, M ) l Rmụun hu hn sinh Nu Hai (M ) l acofinite vi mi i < s, thỡ HomR (R/a, Has (M )) l hu hn sinh Mt khỏc, [12] Khashyarmanesh v Salarian ó ch rng mụun i ng iu a phng th t, Hat (M ) ca mt mụun hu hn sinh M ng vi mt iờan a cú hu hn cỏc iờan nguyờn t liờn kt nu SuppR (Hai (M )) l hu hn vi mi i < t Gn õy, P H Quý ó kt hp kt qu ca Brodmann-Lashgari v kt qu ca KhashyarmaneshSalarian, c th l nh lý sau: nh lý ([18, nh lý 3.2]) Cho a l mt iờan ca vnh Noether R, v cho M l mt Rmụun hu hn sinh Cho t N cho Hai (M ) l hu hn sinh hoc SuppR (Hai (M )) l hu hn vi mi i < t Khi ú AssR (Hat (M )) l hu hn Trong phn tip theo ta tỡm hiu mt s kin thc cn bn v tớnh cht cofinite ca mụun Cho (R, m) l vnh a phng Noether, cho M l Rmụun hu hn sinh v a l iờan ca R, [6] Dibaei v Yassemi ó nh ngha q(a, M ) l s nguyờn nh nht n cho cỏc mụun Hai (M ) l m-cofinite vi mi i > n, v a kt qu v s nguyờn q(a, M ), c th l nh lý sau: nh lý ([6, nh lý 3.9]) Cho a l iờan ca R v i l mt s nguyờn cho trc cho Hai (R/b) l mcofinite vi mi iờan b ca R Khi ú q(a, R/p) < i vi mi p Spec R c bit, q(a, M ) < i vi mi Rmụun hu hn sinh M Mc ớch ca lun ny l trỡnh by li chi tit cỏc chng minh ca cỏc nh lý 1, 2, nh ó nờu trờn, cỏc chng minh ny da trờn ba bi bỏo chớnh l [6], [17], [18] Lun c chia lm hai chng Chng dnh trỡnh by nhng kin thc chun b cn thit bao gm: iờan nguyờn t liờn kt, biu din th cp, mụun Ext v Tor, mụun i ng iu a phng, bao y ca mụun Chng l chng chớnh ca lun dnh chng minh chi tit cỏc nh lý 1, nh lý 2, nh lý nh ó nờu trờn, bờn cnh ú mt s h qu ca cỏc nh lý v mt s kin thc cn bn v tớnh cht cofinite ca mụun cng c trỡnh by Chng Kin thc chun b Trong chng ny ta luụn gi thit R l vnh giao hoỏn Noether, M l Rmụun v a l iờan ca R 1.1 Iờan nguyờn t liờn kt Cỏc kin thc ca mc ny c trớch theo cun sỏch [14] nh ngha 1.1.1 (Iờan nguyờn t liờn kt) Mt iờan nguyờn t p ca R c gi l iờan nguyờn t liờn kt ca M nu cú mt phn t = x M cho AnnR (x) = p Tp tt c cỏc iờan nguyờn t liờn kt ca M c kớ hiu l AssR (M ) (hoc Ass(M )) nh ngha 1.1.2 (Tp giỏ ca mụun) t SuppR (M ) = {p Spec(R) | Mp = 0} Khi ú SuppR (M ) c gi l giỏ ca M Sau õy l mt s tớnh cht ca cỏc iờan nguyờn t liờn kt vi mi m, n n0 Do ú ta cú (xn xm )u = vi mi m, n n0 Suy xn u khụng i n n0 Do ú ta cú th nh ngha xu = xn u vi n n0 õy l mt tớch vụ hng trờn M Do ú M cú cu trỳc Rmụun nh lý 2.2.10 Cho M l mt mụun artin trờn vnh a phng (R, m) v cho a l mt iờan thc s ca R Khi ú cỏc iu kin sau õy l tng ng trờn M (i) M l acofinite, (ii) (0 :M a) cú di hu hn; v, R l y , (iii) vi mi p AttR M , iờan a + p l mnguyờn s Chng minh T M l Artin nờn nú cú cu trỳc t nhiờn ca mt mụun trờn y R ca R v cú mt ng cu t nhiờn M = M R R nh mụun trờn R Bi vy theo tớnh phng trung thnh ca ỏnh x t nhiờn R R, ta cú th gi s t u rng R l y Cho p1 , , pr l cỏc AnnR (M ) = ri=1 pi (xem [3, Mnh iờan nguyờn t gn kt ca M T 7.2.11]), nờn iờan a + pi l mnguyờn s vi mi i nu v ch nu cú mt s n, cho mn a + AnnR (M ) tht vy, t a + pi l mnguyờn s, suy m a + AnnR (M ) v ta cú m min(a + AnnR (M )), vỡ nu m / min(a + AnnR (M )) thỡ tn ti m q a + AnnR (M ), suy tn ti j r q a + pj , ú q a + pj = m, suy q = m, iu ny l mõu thun Vy m min(a + AnnR (M )), suy m= a + AnnR (M ) Do ú tn ti n > cho mn a + AnnR (M ) (i) (ii) Gi s M l acofinite, ú ta cú (0 :M a) = HomR (R/a, M ) 31 l hu hn sinh Suy (0 :M a) l Noether v vỡ M l Artin nờn (0 :M a) l Artin Do ú (0 :M a) cú di hu hn (ii) (iii) Gi s rng M tha iu kin (ii) Cho N = D(M ) l i ngu Matlis ca M T M l artin v R l y , ta cú N l mt Rmụun hu hn sinh v hn na AnnR (N ) = AnnR (M ) Ta cú D(0 :M a) = N/aN cú di hu hn, vỡ t gi thuyt (0 :M a) cú di hu hn Bi vy SuppR (N/aN ) {m} Bõy gi ta cú SuppR (N/aN ) = V(a + AnnR (N )) v ú cú s n cho mn a + AnnR (N ), suy a + p l mnguyờn s vi mi iờan nguyờn t gn kt p ca M (iii) (i) Gi s rng M tha iu kin (iii) Nu ta ly n cho mn a +AnnR (M ), ú vi mi j , mụun artin ExtjR (R/a, M ) b trit tiờu bi mn v bi vy nú cú di hu hn Do ú M l acofinite H qu 2.2.11 Mi mụun v thng ca mt mụun artin acofinite cng l acofinite Chng minh Theo [14, nh lý 6.10], mi iờan nguyờn t gn kt ca nh ca mụun artin M qua mt ng cu, cng l mt iờan nguyờn t gn kt ca ca M Do ú cỏc mụun v mụun thng ca mụun artin acofinite M cng l acofinite H qu 2.2.12 Cho M l acofinite Khi ú vi mi iờan ti i m ca R, m (M ) l artin v acofinite Chng minh t L = m (M ) Ta cú (0 :L a) l mt mụun ca (0 :M a), bi vy nú l mt mụun hu hn v ú nú cú 32 di hu hn vỡ SuppR (0 :L a) SuppR (L) V(m), mt khỏc SuppR (0 :L a) = V(AnnR (0 :L a)), suy V(AnnR (0 :L a)) V(m), ú m AnnR (0 :L a), suy tn ti n N cho mn (0 :L a) = 0, suy (0 :L a) l Artin Chỳ ý rng SuppR (0 :L a) {m} Khi ú theo [16, 1.3] ta cú L l artin, suy L = m (M ) l acofinite (theo nh lý 2.2.10) nh lý 2.2.13 Nu M l acofinite vi iờan a, thỡ tt c s Bass ài (p, M ) v tt c cỏc s Betti i (p, M ) ca M l hu hn; hay vi mi iờan nguyờn t p ca R v mi s nguyờn j , ExtjRp (k(p), Mp ) v R Torj p (k(p), Mp ) l khụng gian vect hu hn chiu trờn trng thng d k(p) ca vnh a phng Rp Chng minh Theo tớnh cht phng ca R Rp , nờn ta cú Mp l aRp cofinite vi mi iờan nguyờn t p ca R Do ú ta cú th gi s rng (R, m) l vnh a phng v ta phi ch rng ExtiR (k, M ) v TorR i (k, M ) l khụng gian vect hu hn chiu vi mi i trờn trng thng d k = R/m ca R Ta chng minh iu ú bng phng phỏp quy np trờn dim (SuppR (M )) Nu dim(SuppR (M )) = 0, thỡ SuppR (M ) V(m) Do ú vi x M bt kỡ, ta cú SuppR (Rx) V(m) Nờn tn ti n mn x = 0, tc l x (0 :M mn ) m (M ) Do ú m (M ) = M T ú theo h qu 2.2.12 ta suy M = m (M ) l Artin v acofinite Mt khỏc, ly F R/m l mt gii t ca R/m ( õy F gm cỏc Rmụun t hu hn sinh) Khi ú cỏc phc HomR (F , M ) v F R M ch gm cỏc mụun Artin (do M l Artin) T cỏch 33 tớnh cỏc mụun Ext v Tor ta c ExtiR (k, M ) v TorR i (k, M ) l mụun thng ca mụun ca mụun Artin, nờn ExtiR (k, M ) v i TorR i (k, M ) l mụun Artin Hn na rừ rng m ExtR (k, M )) = v i R m TorR i (k, M )) = Do ú ExtR (k, M ) v Tori (k, M ) l Noether Suy ài (m, M ) = dimk ExtiR (k, M ) < , i (m, M ) = dimk TorR i (k, M ) < vi mi i Trong trng hp dim(SuppR (M )) > 0, xột dóy khp L M M 0, ú L = m (M ) v M = M/L Theo h qu 2.2.12, mụun L l artin v acofinite Vỡ L v M u l acofinite, suy M cng l acofinite.T vic xột dóy khp di liờn quan n Ext v Tor cm sinh t dóy khp ngn trờn, ta cn ch iu khng nh ca chỳng ta vi M Mụun ú khụng cú m nh l iờan nguyờn t liờn kt (vỡ M = M/m (M ), ú m (M ) = 0, suy m / AssR M ) Do ú ta cú th gi s rng m khụng l iờan nguyờn t liờn kt vi Rmụun acofinite M T h qu 2.2.7, M ch cú hu hn cỏc iờan nguyờn t liờn kt T ú theo nh lý trỏnh nguyờn t ta cú phn t M chớnh quy x m T tớnh cht khp ca dóy x M M M/xM 0, u tiờn ta suy rng M/xM l acofinite Ta cng cú cỏc dóy khp x i1 ExtR (k, M/xM ) ExtiR (k, M ) ExtiR (k, M ), x R R TorR i+1 (k, M/xM ) Tori (k, M ) Tori (k, M ) 34 T x m m m (0 :R ExtiR (k, M )) v m (0 :R TorR i (k, M )) , ú vi mi i ta cú cỏc ton cu i1 ExtR (k, M/xM ) ExtiR (k, M ) 0, R TorR i+1 (k, M/xM ) Tori (k, M ) Bõy gi chỳ ý rng dim (SuppR (M/xM )) < dim (SuppR (M )) Theo gi thuyt quy np ta cú dimk (Exti1 R (k, M/xM )) < v i dimk (TorR i+1 (k, M/xM )) < , ú dimk (ExtR (k, M )) < v i dimk (TorR i (k, M )) < Suy (m, M ) < v i (m, M ) < vi mi i H qu 2.2.14 Cho a l mt iờan ca mt vnh Noether R, cho dim R/a = Khi ú vi mi Rmụun hu hn sinh M , cỏc s Betti ca Hai (M ) l hu hn vi mi i Chng minh Theo mnh 2.2.8 ta cú th gi s rng R l a phng Khi ú mi mụun Hai (M ) l acofinite trng hp ny (theo [5, nh lý 1]) Suy cỏc s Betti ca Hai (M ) l hu hn vi mi i (theo nh lý 2.2.13) Tip theo ta trỡnh by mt s kt qu gn õy v tớnh cht cofinite ca mụun i ng iu a phng ca Dibaei v Yassemi [6] Trong phn ny ta luụn gi thit rng (R, m) l vnh a phng Noether, a l iờan ca R v M l Rmụun Trong [9] Hartshorne ó nh ngha q(a, R) l s nguyờn nh nht n cho Hai (M ) l Artin vi mi 35 i n v mi Rmụun hu hn sinh M nh ngha sau õy c sinh t nh ngha ca Hartshorne nh ngha 2.2.15 Cho M l Rmụun hu hn sinh v a l mt iờan ca R Ta nh ngha q(a, M ) l cn trờn ỳng ca s nguyờn i cho mụun Hai (M ) khụng l mcofinite Chỳ ý rng Rmụun M l mcofinite nu v ch nu SuppR (M ) V(m) v HomR (R/m, M ) l khụng gian vect hu hn chiu (tht vy t SuppR (M ) V(m), suy M = m (M ), ú M l mxon Mt khỏc t HomR (R/m, M ) = (0 :M m) l hu hn sinh, suy (0 :M m) l Artin T õy suy M l Artin, ú mụun ExtiR (R/m, M ) l hu hn sinh vi mi i) Tp cỏc mụun mcofinite l mt phm trự abel, tc l nú n nh di tỏc ng mụun con, mụun thng v ly mụun m rng ca nú, vi dóy khp T1 T T2 ca cỏc Rmụun, T l mcofinite nu T1 v T2 l mcofinite Do i ng iu a phng cp cao nht Hadim M (M ) l Artin, nờn ta cú q(a, M ) < dim M Trong nh lý sau õy ó ch rng bt bin q(a, M ) ch ph thuc vo giỏ ca M nh lý 2.2.16 Cho a l iờan thc s ca R, M v N l cỏc Rmụun hu hn sinh cho SuppR (N ) SuppR (M ) Khi ú q(a, N ) q(a, M ) Chng minh Ta ch cn ch rng Hai (N ) l mcofinite vi mi i > q(a, M ) Ta chng minh bng phng phỏp quy np lựi theo i vi q(a, M ) < i dim(M ) + Vi i = dim(M ) + ta khụng cú gỡ chng minh (vỡ dim(N ) 36 dim(M ) suy i = dim(M ) + > dim(N ) nờn Hai (N ) = 0) Bõy gi gi s q(a, M ) < i dim(M ) Theo nh lý ca Gruson [21], cú mt xớch = N0 N1 ã ã ã Nt = N cho mi thng liờn tip Nj /Nj1 l mt nh ng cu ca mt tng trc tip ca hu hn cỏc bn ca M Bng cỏch s dng dóy khp ngn, ta cú th gim xung trng hp t = Bi vy tn ti s nguyờn dng n v Rmụun hu hn sinh L cú dóy khp L M n N Do ú ta cú dóy khp di sau õy ã ã ã Hai (L) Hai (M n ) Hai (N ) Hai+1 (L) Theo gi thuyt quy np Hai+1 (L) l mcofinite v t Hai (M n ) l mcofinite, ta cú Hai (N ) cng l mcofinite H qu tip theo a mt cụng thc cho q(a, ) mt dóy khp ngn H qu 2.2.17 Cho L M N l mt dóy khp ca cỏc Rmụun hu hn sinh Khi ú q(a, M ) = max{q(a, L), q(a, N )} Chng minh T dóy khp trờn ta cú SuppR (M ) = SuppR (L) SuppR (N ), 37 ú SuppR (L) SuppR (M ) v SuppR (N ) SuppR (M ) Khi ú theo nh lý 2.2.16, ta cú q(a, L) q(a, M ) v q(a, N ) q(a, M ) Suy q(a, M ) max{q(a, L), q(a, N )} Ngc li, t vic cỏc mụun mcofinite thuc phm trự abel v t dóy khp di chng minh ca nh lý 2.2.16 (vi n = 1) ã ã ã Hai (L) Hai (M ) Hai (N ) Hai+1 (L) Hai+1 (M ) , suy nu Hai (M ) khụng l mcofinite thỡ Hai (N ) khụng l mcofinite hoc Hai (L) khụng l mcofinite Suy q(a, M ) max{q(a, L), q(a, N )} H qu 2.2.18 Vi mi iờan a ca R, ta cú q(a, R) = sup{q(a, N ) | N l Rmụun hu hn} Chng minh iu ny c suy trc tip t nh lý 2.2.16 nh lý 2.2.19 Cho M l Rmụun hu hn sinh Khi ú q(a, M ) = sup{q(a, R/p) | p SuppR M } Chng minh Ta cú SuppR (R/p) SuppR (M ), suy q(a, R/p) q(a, M ) vi mi p SuppR (M ) (theo nh lý 2.2.16) Bõy gi gi s rng du bng khụng xy vi mi p SuppR (M ) Cú mt lc nguyờn t = M0 M1 ã ã ã Mn = M cỏc mụun ca M, cho vi mi i, Mi /Mi1 = R/pi ú pi SuppR (M ) t t = q(a, M ) Khi ú Hat (R/pi ) l mcofinite vi mi i n T dóy khp Mi1 Mi R/pi 38 Ta cú dóy khp Hat1 (R/pi ) Hat (Mi1 ) Hat (Mi ) Hat (R/pi ) Hat+1 (Mi1 ), vi mi i = 1, 2, , n, ú ta cú Hat (Mn ) l mcofinite, iu ny l mõu thun Chỳ ý 2.2.20 Trong kt qu 2.2.16 - 2.2.19 vnh R c gi nh l a phng Noether Bõy gi gi s R l mt vnh Noether (khụng nht thit l a phng) cú chiu hu hn, a l mt iờan ca R, v M l mt Rmụun hu hn sinh Vi mi p SuppR M , cú th xột bt bit q(aRp , Mp ) v nh ngha q(a, M ) = sup{q(aRp , Mp ) | p SuppR M } Cú th kim tra tt c cỏc kt qu 2.2.16 - 2.2.19 ỳng Chỳ ý 2.2.21 Cho a v b l hai iờan ca R Ta cú th nh ngha q(a, b, M ) nh l cn trờn ỳng ca cỏc s nguyờn i cho mụun Hai (M ) khụng l bcofinite Mt khỏc ta bit rng phm trự ca cỏc mụun bcofinite l mt phm trự Abel ca phm trự ca cỏc Rmụun nu mt cỏc iu sau l ỳng: (1) R l mt vnh Noether v b l mt iờan chiu bng mt (theo [1]) (2) R l vnh Noether cú chiu khụng vt quỏ hai (theo [15, nh lý 7.4]) Bi vy, vi cựng chng minh, ta cú th thy cỏc kt qu 2.2.16 - 2.2.19 l ỳng vi q(a, b, M ) thay cho q(a, M ) vi iu kin (1) hoc (2) ỳng 39 Chỳ ý 2.2.22 Cho R l mt vnh na a phng vi cỏc iờan ti i m1 , m2 , , mn t J = mi Khi ú phm trự ca cỏc mụun Jcofinite l mt phm trự abel ca phm trự ca cỏc Rmụun v cỏc kt qu 2.2.16 - 2.2.20 l ỳng vi q(a, J, M ) thay cho q(a, M ) Kt qu chớnh th ba ca lun l nh lý sau õy ca DibaeiYassemi [6, nh lý 3.9] nh lý 2.2.23 (nh lý 3) Cho a l iờan ca R v i l s nguyờn cho trc cho Hai (R/b) l mcofinite vi mi iờan b ca R Khi ú q(a, R/p) < i vi mi p Spec R c bit, q(a, M ) < i vi mi Rmụun hu hn sinh M Chng minh Ta chng minh bng phng phỏp quy np theo j i + rng Haj (R/p) l mcofinite, vi mi p Spec R Ta ch cn xột trng hp j = i + Gi s tn ti p Spec R cho Hai+1 (R/p) khụng l mcofinite Khi ú rừ rng a p (vỡ nu a p thỡ R/p l axon, nờn Hai+1 (R/p) = 0) u tiờn ta ch rng SuppR (Hai+1 (R/p)) V(m) Gi s ngc li rng SuppR (Hai+1 (R/p)) V(m) Khi ú cú q SuppR (Hai+1 (R/p)) m q = m Suy ra, cú x = 0, tc l, sx = vi mi s R \ q x Hai+1 (R/p) cho Do ú (0 :R x) q, vỡ th q SuppR (Rx) \ {m} Do x b trit tiờu bi mt ly tha no ú ca a, nờn tn ti b a \ p cho bx = Bõy gi ta xột dóy khp b R/p R/p R/(p + bR) 40 Nú cm sinh dóy khp sau õy b Hai (R/(p + bR)) Hai+1 (R/p) Hai+1 (R/p), nờn ta cú dóy khp Hai (R/(p + bR)) (0 :Hai+1 (R/p) b) Do bx = nờn x (0 :Hai+1 (R/p) b), suy Rx (0 :Hai+1 (R/p) b) Khi ú q SuppR (Rx) SuppR (Hai (R/p + bR)) iu ny ch rng Hai (R/p + bR) cú giỏ khụng cha V(m), nờn Hai (R/p + bR) khụng l mcofinite, iu ny l mõu thun vi gi thit Do ú SuppR (Hai+1 (R/p)) V(m) Vỡ th bt kỡ y Hai+1 (R/p) u cú tớnh cht SuppR (Ry) V(m), suy cú ly tha ca m trit tiờu y , tc l Hai+1 (R/p) l mụun mxon ch Hai+1 (R/p) l mcofinite, ta ch cn chng t rng HomR (R/m, Hai+1 (R/p)) cú di hu hn (ta ỏp dng tiờu chun Melkersson s suy Hai+1 (R/p) l Artin, v s dng nh lý 2.2.10, s c Hai+1 (R/p) l mcofinite) t K = (0 :Hai+1 (R/p) b) v xột dóy khp b K Hai+1 (R/p) Hai+1 (R/p) T b m, ta thy HomR (R/m, K) = HomR (R/m, Hai+1 (R/p)) (vỡ t b m v t dóy khp trờn ta cú dóy khp HomR (R/m, K) HomR (R/m, Hai+1 (R/p)) Lu ý rng K l thng ca Hai (R/p + bR) (nú l mcofinite theo gi thit), vỡ vy K cng l mcofinite theo H qu 2.2.11 Cú ngha l HomR (R/m, Hai+1 (R/p)) l mụun cú di hu hn 41 Kt lun Trong lun ny chỳng tụi ó trỡnh by li v chng minh chi tit cỏc kt qu chớnh sau õy: Nhc li mt s kin thc cú liờn quan n lun vn: Iờan nguyờn t liờn kt, biu din th cp, mụun Ext v Tor, mụun i ng iu a phng, mt s chun b v tớnh cofinite ca mụun Chng minh c: Cho a l mt iờan ca vnh Noether R Cho s l mt s nguyờn khụng õm Cho M l Rmụun cho ExtsR (R/a, M ) l Rmụun hu hn sinh Nu Hai (M ) l acofinite vi mi i < s, thỡ HomR (R/a, Has (M )) l hu hn Chng minh c: Cho a l mt iờan ca vnh Noether R, v cho M l mt Rmụun hu hn sinh Cho t N cho Hai (M ) l hu hn sinh hoc SuppR (Hai (M )) l hu hn vi mi i < t Khi ú AssR (Hat (M )) l hu hn Chng minh c: Cho a l iờan ca R v i l mt s nguyờn cho trc cho Hai (R/b) l mcofinite vi mi iờan b ca R Khi ú q(a, R/p) < i vi mi p Spec R c bit, q(a, M ) < i vi mi Rmụun hu hn sinh M 42 Ti liu tham kho [1] K Bahmanpour, R Naghipour (2009), "Cofiniteness of local cohomology modules for ideals of small dimension", J Algebra 321, 19972011 [2] M Brodmann, A Lashgari Faghani (2000), "A finiteness result for associated primes of local cohomology modules", Proc Amer Math Soc 128, 2851-2853 [3] M Brodmann, R Y Sharp, "Local Cohomology: An algebraic introduction with geometric applications", Cambridge University Press [4] M P Brodmann, Ch Rotthaus, R Y Sharp (2000), "On annihilators and associated primes of local cohomology modules", J Pure Appl Algebra 153, 197-227 [5] D Delfino, T Marley (1997), "Cofinite modules and local cohomology", J Pure and Applied Algebra 121, 45-52 [6] M T Dibaei, S Yassemi (2005), "Associated primes and cofiniteness of local cohomology mdules", Manuscripta math 117, 199-205 43 [7] K Divaani-Aazar, A.Mafi (2005), "Associated primes of local cohomology modules", Proc Amer Math Soc 133, 655-660 [8] R Hartshorne (1970), "Affine duality and cofiniteness", Invent Math 9, 145-164 [9] R Hartshorne (1968), "Cohomological dimension of algebraic varieties", Ann Math 88, 403-450 [10] C Huneke, R Sharp (1993), "Bass numbers of local cohomology modules", Trans Amer Math Soc 339, 765-779 [11] M Katzman (2002), "An example of an infinite set of associated primes of a local cohomology module", J Algebra 252, 161-166 [12] K Khashyarmanesh, Sh Salarian (1999), "On the associated primes of local modules", Comm Algebra 27, 6191-6198 [13] G Lyubeznik (1993), "Finiteness properties of local cohomology modules (an application of Dmodules to commutative algebra)", Invent Math 113, 41-55 [14] H Matsumura (1986), "Commutative ring theory", Cambridge University Press [15] L Melkersson (2005), "Modules cofinite with respect to an ideal", Journal of Algebra 285, 649-668 [16] L Melkersson (1990), "On asymptotic stability for sets of prime ideals connected with the powers of an ideal", Math Proc Cambridge Philos Soc 107, 267-271 44 [17] L Melkersson (1999), "Properties of cofinite modules and applications to local cohomology", Math Proc Cambridge Philos Soc 125, 417-423 [18] P H Quy (2010), "On the finiteness of associated primes of local cohomology modules", Proc Amer Math Soc 138, 1965-1968 [19] J Rotman (1979), "An introduction to homological algebra", (Academic press, INC) [20] A K Singh (2000), "p-torsion elements in local cohomology modules", Math Res Lett 7, 165-176 [21] W Vasconcelos (1997), "Divisor theory in module categories", North-Holland, Amsterdam 45 ... iờan ca R v M l Rmụun Trc ht ta nhc li khỏi nim mụun acofinite Hartshorne [8] nh ngha nh ngha 2.1.1 (Mụun a -cofinite) Mt Rmụun M c gi l mụun acofinite nu tha cỏc iu kin SuppR (M ) V(a) v ExtiR... a phng u tiờn khụng l acofinite ca M ng vi a ch cú hu hn cỏc iờan nguyờn t liờn kt Chng minh Gi s s l s nguyờn khụng õm cho Has (M ) khụng l a -cofinite v Hai (M ) l a -cofinite vi mi i < s Khi... iờan nguyờn t liờn kt v tớnh cofinite ca mụun i ng iu a phng 2.1 13 Tớnh hu hn ca iờan nguyờn t liờn kt ca mụun i ng iu a phng iii 13 2.2 Tớnh cofinite ca mụun i ng iu a phng