Về VEEDEAN nguyên tố liên kết và tính cofinite của module đối đồng điều địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm ðăng Minh VỀ IðÊAN NGUN TỐ LIÊN KẾT VÀ TÍNH COFINITE CỦA MƠðUN ðỐI ðỒNG ðIỀU ðỊA PHƯƠNG Chuyên ngành : Mã số : ðại số lý thuyết số 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm ðăng Minh VỀ IðÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT VÀ TÍNH COFINITE CỦA MÔðUN ðỐI ðỒNG ðIỀU ðỊA PHƯƠNG Chuyên ngành : Mã số : ðại số lý thuyết số 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 Lời Cảm Ơn Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy giáo TS Trần Tuấn Nam Nhân dịp tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy gia đình Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, lãnh đạo Khoa Tốn Tin, lãnh đạo chuyên viên Phòng KHCN - SĐH Trường tạo điều kiện thuận lợi cho hồn thành tốt nhiệm vụ học tập Tơi xin chân thành cảm ơn tận tâm nhiệt tình PGS.TS Mỵ Vinh Quang, PGS.TS Bùi Tường Trí, TS Trần Huyên, PGS.TS Bùi Xuân Hải quý thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp cao học chuyên ngành Đại số lý thuyết số khóa 19 Trường ĐHSP Tp Hồ Chí Minh Tơi biết ơn lãnh đạo đồng nghiệp Trường THPT Hịa Hội, Tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu nơi tơi cơng tác tất bạn khóa ủng hộ, giúp đỡ tạo điều kiện cho trình học tập làm luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn người thân yêu gia đình ln cho tơi niềm tin động lực để học tập công tác tốt Phạm Đăng Minh i Mở Đầu Cho R vành Noether, I iđêan R, M R−môđun Một vấn đề quan trọng đại số giao hoán xác định tập hợp iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương thứ i, HIi (M ) M hữu hạn Nếu R vành địa phương quy chứa trường HIi (R) hữu hạn với i ≥ Điều chứng minh nhà toán học Huneke Sharp (với i > 0) sau Lyubeznik chứng minh với i = Cho đến ngày vấn đề nhiều điều chưa biết, chẳn hạng tập iđêan nguyên tố liên kết HIi (R) có hữu hạn sinh với vành Noether tùy ý với iđêan hay khơng Trong trường hợp R vành Noether khơng địa phương Singh ví dụ với iđêan I HI3 (R) không hữu hạn sinh Khi nghiên cứu vấn đề Hartshorne, Huneke Koh đưa định nghĩa tính cofinite mơđun đối đồng điều địa phương Một R−môđun N gọi I − cof inite Supp(M ) ⊆ V (I) ExtiR (R/I, M ) hữu hạn sinh với i ≥ 0, V (I) hiểu tập iđêan nguyên tố chứa I Từ thu kết quan trọng: Nếu R vành quy địa phương đầy đủ M R−mơđun hữu hạn sinh ii iii HIi (M ) I − cof inite dim R/I ≤ 1, gần T Marley, K-I Kawasiki, K-I Yoshida, S Yassemi, Trần Tuấn Nam, tiếp tục nghiên cứu cho kết đẹp Nội dung luận văn gồm hai chương cụ thể sau: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại khái niệm số kết vành môđun, iđêan nguyên tố liên kết giá, số chiều - độ sâu - chiều cao, môđun đối đồng điều địa phương, đồng điều Koszul Chương 2: Về Iđêan Nguyên Tố Liên Kết Tính Cofinite Của Mơđun Đối Đồng Điều Địa Phương Đầu tiên chúng tơi trình bày khái niệm mơđun Cofinite, tìm hiểu tính chất mơđun Cofinite điều kiện để môđun môđun Cofinite Môđun Cofinite Harshorne định nghĩa [31] sau: Định nghĩa 2.1.1 Cho R vành, I iđêan R M R−môđun, M gọi I−cofinite Supp(M ) ⊂ V (I) ExtiR (R/I, M ) hữu hạn sinh với i D Delfino thiết lập thay đổi vành cho tính cofinite ([5],Proposition 2) Mệnh đề 2.1.7 Cho đồng cấu ϕ : A → B, I iđêan R Một B−môđun M IB−cofinite (tương ứng với iđêan IB) M A−môđun I−cofinite (tương ứng với iđêan I) Sử dụng định lý trên, D Delfino tổng quát hóa kết trước Harshorne ([5], Theorem 1) Cụ thể: Vành R Neother địa phương, I iđêan nguyên tố R cho iv dim R/I = HIi (M ) I-cofinite với i với R-môđun hữu hạn sinh M Trong mục đưa tiêu chuẩn để môđun môđun cofinite, điều kiện tương đương: Mệnh đề 2.1.9 Cho I iđêan vành R, x ∈ I Supp(M ) ⊂ V (I) Nếu :M x M/xM I−cofinite M I−cofinite Mệnh đề 2.1.15 Cho (R, m) vành địa phương với iđêan tối đại m I iđêan R với số chiều iđêan Cho A R−môđun Artin M R−môđun hữu hạn sinh Thì ExtiR (A, HIj (M )) hữu hạn sinh với i ≥ j ≥ Mệnh đề 2.1.16 Nếu M mơđun I−cofinite M có chiều Goldie hữu hạn Mệnh đề 2.1.12 cho điều kiện tương đương môđun cofinite Tiếp theo chúng tơi trình bày khái niệm AF -mơđun F Amôđun Định nghĩa 2.2.1 R-môđun M gọi FA môđun tồn R-môđun hữu hạn sinh N M cho M/N Artin R-môđun M gọi AF môđun tồn R-môđun Artin A M cho M/A hữu hạn sinh Từ định nghĩa với bổ đề 2.2.2 chúng tơi chứng minh định lý 2.2.3, qua đưa tính hữu hạn tập ExtiR (K, HIj (M )) định lý 2.2.5 Định lí 2.2.5 v (i) Nếu M K FA mơđun SuppR (K) ⊆ V (I) ExtiR (K, HIj (M )) môđun hữu hạn sinh với i ≥ j > (ii) Nếu M K AF môđun SuppR (K) ⊆ V (I) ExtiR (K, HIj (M )) mơđun hữu hạn sinh với i ≥ j > Trong phần chúng tơi tìm hiểu Tính cofinite mơđun đối đồng điều địa phương Các mệnh đề 2.3.4, 2.3.7 cho điều kiện để HIs (M ) Icofinite Về mối liên hệ mơđun F A tính cofinite chúng tơi phát biểu chứng minh mệnh đề 2.3.10 sau Mệnh đề 2.3.10 Cho M R-môđun hữu hạn sinh I iđêan R, s số nguyên dương cho HIi (M ) F A với i < s Khi HIi (M ) I-cofinite với i < s HomR (R/I, HIs (M )) hữu hạn sinh Tiếp ta có mối liện hệ mơđun cofinite tính hữu hạn tập HomR (R/I, HIs (M )) phát biểu định lý 2.3.11 Định lí 2.3.11 Cho I iđêan vành Noether R Cho s số nguyên không âm M R-môđun cho ExtiR (R/I, M ) Rmôđun hữu hạn với i ≤ s, chẳn hạng M phải R-môđun hữu hạn Nếu HIi (M ) I-cofinite với i < s HomR (R/I, HIs (M )) hữu hạn Tiếp có mệnh đề 2.3.12 sau: Giả sử M R-môđun cho Ext1R (R/I, M ) Ext2R (R/I, ΓI (M )) môđun hữu hạn Khi HomR (R/I, HI1 (M )) hữu hạn Từ có hệ 2.3.14 nêu lên tính hữu hạn AssR (HIs (M )) Hệ 2.3.14 Giả sử M R-môđun hữu hạn Gọi s số nguyên vi không âm cho HIi (M ) hữu hạn với i < s Khi AssR (HIs (M )) tập hữu hạn Khi xem xét (R, m) vành Noether địa phương từ định nghĩa 2.3.15, định lý 2.3.16, hệ 2.3.17, 2.3.18 có định lý 2.3.19 sau Định lí 2.3.19 Cho M R-mơđun hữu hạn Khi phát biểu q(I, M ) = sup{q(I, R/p)|p ∈ SuppM } Cuối nội dung luận văn chúng tơi tiếp tục tìm hiểu điều kiện để AssR (HIs (M )) tập hữu hạn Trong phần xuất phát từ bổ đề 2.4.1 tập {x ∈ R|Mx Rx − môđun hữu hạn sinh} iđêan R, tiếp có bổ đề 2.4.6 phát biểu sau Bổ đề 2.4.6 Cho R vành địa phương ảnh đồng cấu vành Cohen − M acaulay, I iđêan R M R-môđun hữu hạn sinh Đặt n = dim M r = dim M/IM Giả sử (i) M đẳng chiều (ii) M thỏa điều kiện Serre s Sl với l ≤ n − r − Thì HIi (M ) hữu hạn sinh với i < l + Từ mệnh đề 2.4.9, 2.4.10, 2.4.11 nhận xét 2.4.3 có định lý sau 2.4.12 phát biểu sau Định lí 2.4.12 Cho R vành địa phương, I iđêan R M R-môđun hữu hạn sinh có số chiều n Đặt D := D(I, M ) vii giả sử điều kiện đúng: (i) dim M ≤ 3; (ii) dim R = R miền nguyên chính; (iii) R vành thương vành Cohen−M acaulay, dim M/IM ≤ dim M ≤ thỏa mãn điều kiện Serre s Sn−3 ; (iv) R vành địa phương không rẽ nhánh, dim R/I ≤ M thỏa Sd−3 d = dim R = dim M dim R/D ≤ Từ định lý xem xét (R, m) vành địa phương có định lý 2.4.15 phát biểu sau Định lí 2.4.15 Cho R vành địa phương, I iđêan R M R−môđun hữu hạn sinh n chiều Giả sử điều kiện thỏa mãn: (i) dim M ≤ 3; (ii) dim R = m − adic đầy đủ R U F D; (iii) R vành thương vành Cohen − M acaulay, dim R/I ≤ dim M ≤ M thỏa mãn điều kiện Sn−3 ; (iv) R vành quy địa phương khơng rẽ nhánh, dim R/I ≤ M thỏa điều kiện Sd−3 d = dim R = dim M Lúc với R−môđun hữu hạn sinh N cho SuppR N ⊆ V (I) Tập AssR ExtiR (N, HIj (M )) hữu hạn với i, j Đặc biệt AssR HIi (M ) tập hữu hạn với i viii Các kết cho thấy tính khơng hữu hạn sinh tập HomR (R/I, HId−1 (R)) Xin chân thành cảm ơn thầy, cô trường Đại Học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh tận tình giúp đỡ chúng tơi q trình học tập Đặc biệt, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn Tiến sĩ Trần Tuấn Nam, người trực tiếp đề tài hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Do thời gian khả hạn chế, thân vừa giảng dạy vừa nghiên cứu nên khó tránh khỏi thiếu sót, tơi xin ghi nhận chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp thầy cơ, bạn bè đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2011 Phạm Đăng Minh 67 Chứng minh: Chúng ta giả thiết R miền nguyên Cohen − M acaulay chuẩn đầy đủ Theo mệnh đề [2.4.18] giả sử dim R/Q ≥ với Q ∈ MinR R/I Do SuppR HId−1 ⊆ {m} Vì iđêan nguyên tố p có độ cao d − chứa I ta có dim(R/I)p > Rp bất khả quy Lại SpecR/I − {m/I} không rời rạc theo dãy M ayer − d (R) V ietoris ta thu toàn cấu HId−1 −→ Hm d (R) = có annR HId−1 (R) = Vì Từ annR Hm HomR (R/I, HId−1 (R)) không hữu hạn sinh theo bổ đề [2.4.17] Ví dụ: Cho k trường R = (k[x, y, u, v]/(xu − yv))(x,y,u,v) Đặt I = (x, y)R ∩ (u, v)R Khi HomR (R/I, HI2 (R)) không hữu hạn sinh Kết Luận Trong luận văn này, chúng tơi trình bày số kết chủ yếu sau: ♦ Định nghĩa số tính chất mơđun cofinite trình bày mệnh đề 2.1.2, 2.1.5, 2.1.7, 2.1.12, 2.1.16,2.1.17 ♦ Định nghĩa số tính chất F A AF mơđun trình bày định lý 2.2.3, 2.2.5 ♦ Một số đặc trưng tính cofinite mơđun đối đồng điều địa phương trình bày mệnh đề 2.3.4, 2.3.7, 2.3.10, 2.3.12 định lý 2.3.11, 2.3.19 ♦ Xét iđêan nguyên tố liên kết tính cofinite mơđun đối đồng điều địa phương trình bày định lý 2.4.12 2.4.15 ♦ Luận văn số trường hợp tập HomR (R/I, HId−1 (R)) không hữu hạn sinh Vì thời gian khả có hạn nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong ý kiến đóng góp, phê bình bổ sung quý Thầy cô bạn để luận văn hoàn chỉnh 68 Tài liệu tham khảo [1] Bourbaki, Commutative Algebra, Hermann, Publishers in Arts and Science, 1972 [2] R Belshoff, S -P Slattery and C.Wickham, The local cohomology modules of Matlis reflexive modules are almost cofinite, Proc Amer Math Soc., 124 (1996), 2649Ọ2654 [3] C Huneke, J Koh, Cofiniteness and vanishing of local cohomology modules, Math Proc Cambridge Philos Soc 110 (1991) 421-429 [4] C U Jensen, Les functeurs Dérivés de lim et leurs Applications en Théories des Modules, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 1972 [5] D Delfino, T Marley, Cofinite modules and local cohomology, J.Pure Appl.Algebra 121 (1997) 45-52 [6] D G Northcott, Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 1966 [7] D G Northcott, Homological Algebra, Cambridge University Press, 1973 69 70 [8] D G Northcott, Multilinear algebra, Cambridge University Press, 1984 [9] E Matlis, Injective modules over Noertherian rings, Pac J Math 8, 511-528 (1958) [10] H Cartan, S Eilenberg, Homological Algebra, Princeton University Press, Princeton, 1956 [11] H Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge University Press 1986 [12] H Matsumura, Commutative Algebra-Second Edition, The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc 1980 [13] J Rotman, An introduction to Homological Algebra, Academic Press, San Diego, 1979 [14] Jan R Strooker, Homological Questions in Local Algebra, Cambridge University Press, 1990 [15] K-I Kawasaki, Cofiniteness of local cohomology modules for principal ideals, Bull London Math Soc 30 (1998) 241-246 [16] K-I Yoshida, Cofiniteness of local cohomology modules for ideals of dimension one, Nagoya Math J 147 (1997) 179-191 [17] K Bahmanpour, R Naghipour, On the cofiniteness of local cohomology modules, Proc Amer Math Soc 136 (2008) 23592363 71 [18] K Bahmanpour, R Naghipour, Cofiniteness of local cohomology modules for ideals of small dimension, Journal of Algebra 321 (2009) 1997Ọ2011 [19] L Melkersson, P Schenzel The co-localization of artinian modules, Proceedings of Edinburgh Mathematical Society (1995) 38, 121-131 [20] L Melkersson, On asymptotic stability for sets of prime ideals connected with the powers of an ideal, Math Proc Cambridge Philos Soc 107 (1990) 267-271 [21] L Melkersson, Some applications of a criterion for artinianess of a modules, J Pure Appl Algebra 101 (1995) 291-303 [22] L Melkersson, Properties of cofinite modules and applications to local cohomology, Math Proc Cambridge Philos Soc 125 (1999) 417-423 [23] L Melkersson, Modules cofinite with respect to an ideal, J Algebra 285 (2005) 649-668 [24] M.T Dibaei, S Yassemi, Associated primes and cofiniteness of local cohomology modules, arXiv:math.AC/0405499 v3 31 May 2004 [25] T.Marley and J.C Vassilev, Cofiniteness and Associ- ated primes and cofiniteness of local cohomology modules, arXiv:math.AC/0209216 v1 17 Sep 2002 72 [26] M Brodmann, R Y Sharp, Local cohomoly: An introduction with Geometric Applications, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1998 [27] M F Atiyah, I G Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley Publishing Company, Inc 1969 [28] Nguyen Tu Cuong, Tran Tuan Nam, The I -adic completion and local homology for Artinian modules, Math Proc Camb Phil Soc (2001), 131, 61 [29] Nguyen Tu Cuong, Tran Tuan Nam, A local homology theory for linearly compact modules, Journal of Algebra 319 (2008) 4712Ọ4737 [30] R Hartshorne, Cohomological dimension of algebra varieties, Ann of Math 88 ( 1996) 403-450 [31] R Hartshorne, Affine duality and cofiniteness, Invent Math (1970) 145-164 [32] R Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer-Verlag New York Inc, 1977 [33] R Y Sharp, On the attached prime ideals of certain artinian local cohomology modules [34] S D Mac Lane, Homology, Academic Press, New York 1963 [35] S Greco, P Salmon, Topics in m-adic Topologies, SpringerVerlag Berlin Heidelberg New York, Inc 1971 [36] S Lang, Algebra, Springer-Verlag New York, Inc 2002 73 [37] S T Hu, Homology theory, Holden-Day, San Francissco, 1964 [38] S Yassemi, Coassociated primes, Comm Algebra 23 (4) (1995) 1473-1498 [39] S Yassemi, Cofinite modules, Comm Algebra 29 (6) (2001) 2333-2340 [40] T Marley, The associated primes of local cohomology modules over rings of small dimension, Manuscripta Math 104, 519-525 (2001) [41] T Marley, J Vassilev, Cofiniteness and associated primes of local cohomology modules, J Algebra 256 (2002) 180-193 [42] Tran Tuan Nam, Ideal co-transforms of linearly compact modules, East-West J of Mathematics: Vol 6, No (2004) pp.173183 [43] Tran Tuan Nam, On the finiteness of co-associated primes of local cohomology modules, J Math Kyoto Univ (JMKYAZ) 00-0 (2008), 000-000 [44] Tran Tuan Nam, Co-support and Coartinian Modules, Algebra Colloquium 15 : (2008) 83Ọ96 [45] W Vasconcelos, Divisor Theory in Module Categories, NothHolland, Amsterdam, 1974 ... số kết vành môđun, iđêan nguyên tố liên kết giá, số chiều - độ sâu - chiều cao, môđun đối đồng điều địa phương, đồng điều Koszul Chương 2: Về Iđêan Nguyên Tố Liên Kết Tính Cofinite Của Mơđun Đối. .. 37 2.3 Tính cofinite mơđun đối đồng điều địa phương 40 2.4 Về Iđêan Nguyên Tố Liên Kết Tính Cofinite Của Mơđun Đối Đồng Điều Địa Phương 51 ix x Kết Luận 68 Tài Liệu Tham... 1.4 Môđun đối đồng điều địa phương 12 1.5 Đồng điều Koszul 16 Về Iđêan Ngun Tố Liên Kết Tính Cofinite Của Mơđun Đối Đồng Điều Địa Phương 19 2.1 Môđun Cofinite