một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP H CH MINH Trn Minh c MT S TNH CHT CA MễUN I NG IU A PHNG THEO MT CP IấAN LUN VN THC S TON HC Thnh ph H Chớ Minh - 2012 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP H CH MINH Trn Minh c MT S TNH CHT CA MễUN I NG IU A PHNG THEO MT CP IấAN Chuyờn ngnh : i s v Lý thuyt s Mó s : 60 46 05 LUN VN THC S TON HC NGI HNG DN KHOA HC: PGS.TS TRN TUN NAM Thnh ph H Chớ Minh - 2012 LI CM N hon thnh chng trỡnh cao hc v vit lun ny, tụi ó nhn c s hng dn nhit tỡnh ca quý thy cụ trng i hc S Phm Thnh ph H Chớ Minh, s ng viờn v giỳp t gia ỡnh v bn bố Trc ht, Tụi xin gi li bit n sõu sc n PGS TS Trn Tun Nam Thy ó quan tõm sõu sc, dnh nhiu thi gian v cụng sc hng dn giỳp tụi hon thnh lun thc s Thy ó hng dn tụi t lm lun i hc, nhit tỡnh giỳp v hng dn tụi sut thi gian hc cao hc v hon thnh lun Thc s ny Tụi xin chõn thnh cm n cỏc thy cụ ó dy bo tụi sut quỏ trỡnh hc Tụi xin cm n thy M Vinh Quang, thy Trn Huyờn, thy Bựi Tng Trớ, thy Bựi Xuõn Hi ó tn tỡnh dy bo v cho tụi nhiu kin thc v i S cng nh kin thc v hc Xin cm n cỏc bn hc lp i s K21 cng nh cỏc bn bố v ngi thõn ó ng viờn giỳp tụi sut quỏ trỡnh hc v lm lun Cui cựng, xin cm n gia ỡnh tụi Gia ỡnh tụi luụn l ngun ng viờn tinh thn to ln giỳp tụi hon thnh khúa hc v lun ny Thnh ph H Chớ Minh, thỏng nm 2012 TRN MINH C MC LC Trang ph bỡa Li cm n Mc lc M U Chng 1: KIN THC CHUN B 1.1 Mt s b v nh ngha 1.2 Bao ni x v phộp gii ni x ti tiu 1.3 Dóy chớnh quy sõu 1.4 S chiu h tham s 1.5 Gii hn thun 1.6 Hm t dn xut phi 1.7 Dóy ph 10 1.8 Mụun i ng iu a phng 13 Chng 2: MễUN I NG IU A PHNG THEO MT CP IấAN 16 2.1 Hm t i ng iu a phng theo mt cp Iờan 16 2.2 Mụun i ng iu a phng theo mt cp Iờan v phc Cech 27 2.3 Liờn h gia mụun i ng iu a phng theo mt cp Iờan v mụun i ng iu a phng 34 2.4 Tớnh cht trit tiờu v khụng trit tiờu ca mụun i ng iu a phng theo mt cp Iờan 38 KT LUN 43 TI LIU THAM KHO 44 M U i ng iu a phng l lý thuyt ti cn thit v l mt cụng c quan trng i s giao hoỏn v hỡnh hc i s Trong lun ny, tụi s trỡnh by nh ngha v cỏc tớnh cht ca mụun i ng iu a phng theo mt cp iờan (I, J), õy l mt khỏi nim tng quỏt hn khỏi nim mụun i ng iu a phng theo mt iờan I Trong c lun ny, ta gi thit R l vnh Nte giao hoỏn v cho I, J l hai Mod R l m iờan ca R Ta nh ngha c hm t (I, J)-xon I , J : Mod R rng ca hm t I-xon I Hn na vỡ tớnh khp trỏi ca hm t I , J (B (2.1.3)), vi mi s t nhiờn i ta ly dóy hm t dn xut phi th i ca I , J chớnh l H Ii , J - õy chớnh l hm t i ng iu a phng th i theo cp iờan (I, J) Mt khỏi nim quan trng c xem xột lun chớnh l tp: W( I , J ) = {p Spec( R) | I n p+ J , n 1} õy l hp ca Spec( R) (xem nh ngha (2.1.6)), mnh (2.1.8) ch rng mt R-mụun M l (I, J)-xon v ch Supp M W( I , J ) Ta cng lu ý rng J = thỡ hm t H Ii , J li tr thnh hm t i ng iu a phng H Ii v W( I , J ) li tr thnh V ( I ) , nờn cú th thy W( I , J ) l m rng ca V ( I ) tng ng theo mt cp iờan (I, J) Lun c trỡnh by thnh hai chng Trong chng mt tụi s trỡnh by m khụng chng minh mt s kin thc v i s giao hoỏn, i ng iu a phng theo mt iờan chun b cho c gi c chng hai c gi cú th b qua chng mt c thng chng hai, phn chớnh ca lun vn, trỡnh by tớnh cht ca mụun i ng iu a phng theo mt cp iờan C th nh sau: Trong phn (2.1) ca chng hai tụi s trỡnh by nh ngha mụun i ng iu a phng theo mt cp iờan, nh ngha W( I , J ) v a mt s tớnh cht ca mụun i ng iu a phng theo mt cp iờan Phn (2.2) trỡnh by phc Cech suy rng v a nh ngha tng ng ca mụun i ng iu a phng theo mt cp iờan qua phc Cech suy rng (nh lý (2.2.4)) T õy suy c mt s h qu v tớnh cht quan trng ca mụun i ng iu a phng theo mt cp iờan Ti phn (2.3) s l s liờn h gia mụun i ng iu a phng theo mt cp iờan v mụun i ng iu a phng theo mt iờan nh lý (2.3.2) cho ta thy mt mụun i ng iu a phng theo mt cp iờan chớnh l mt gii hn thun ca nhng mụun i ng iu a phng theo I , J ) Cũn nu ( R, m ) l vnh a phng thỡ ta cú mt iờan W( I (M )= lim m , J ( M ) (m,I ) J W V phn (2.4) chớnh l phn trung tõm ca lun vn, s trỡnh by cỏc nh lý v s trit tiờu v khụng trit tiờu ca mụun i ng iu a phng theo mt cp iờan c bit nh lý (2.4.1) cho ta ng thc: i inf {i | H= inf {depth M p | p W( I , J )} I , J ( M ) 0} õy chớnh l m rng ca nh lý trit tiờu v khụng trit tiờu ca Grothendieck trng hp M l mụun hu hn sinh Mc dự cú nhiu c gng quỏ trỡnh lm lun nhng s hn hp kin thc v thi gian nờn cú th lun cũn nhiu sai sút, rt mong c s nhn xột v phn hi ca quý thy cụ v cỏc bn CHNG 1: KIN THC CHUN B Trong chng ny cng nh l ton b lun ta núi n vnh R thỡ R chớnh l vnh Nte giao hoỏn cú n v 1.1 Mt s b v nh ngha B 1.1.1.(Nakayama) Cho R l mt vnh, M l mt R-mụun hu hn sinh, I l mt iờan ca R Gi s IM = M , ú tn ti x I cho (1 + x) M = Nu R l vnh a phng v I l iờan thc s thỡ ta suy M = B 1.1.2 (Artin-Rees) Cho R l mt vnh, M l mt R-mụun hu hn sinh, I l mt iờan ca R v N l R-mụun ca M Khi ú tn ti s t nhiờn n0 = N I n n0 ( I n0 M N ) vi mi n n0 ln cho: I n M nh ngha 1.1.3 Cho M l mt R-mụun Ta nh ngha cỏc hp ca Spec( R) cỏc iờan nguyờn t ca R sau: Supp M = {p Spec( R ) | M p 0} Ass M = {p Spec( R ) | x M : p = Ann( x)} Min M = {p Spec( R ) | q Supp M : q p q = p} Tp Supp M c gi l giỏ ca M, Ass M c gi l cỏc iờan nguyờn t liờn kt ca M Tp Min M chớnh l hp cỏc phn t ti tiu ca Supp M Mnh 1.1.4 Vi mi R-mụun M ta cú bao hm thc sau: Min M Ass M Supp M nh ngha 1.1.5 Cho I l mt iờan ca R Ta t: V (I ) = {p Spec( R) | I p} Mnh 1.1.6 Nu M, N l cỏc R-mụun hu hn sinh thỡ ta cú: Supp M = V ( Ann( M )) Supp M = N Supp M Supp N Mnh 1.1.7 Cho dóy khp cỏc R-ng cu: L M N Thỡ ta cú: Ass M Ass L Ass N Supp = M Supp L Supp N 1.2 Bao ni x v phộp gii ni x ti tiu nh ngha 1.2.1 Cho M N l cỏc R-mụun Mụun N c gi l m rng thit yu ca M nu vi mi mụun N ' N ta u cú: N ' M nh lý-nh ngha 1.2.2 Cho M l mt R-mụun Khi ú tn ti nht (sai khỏc mt ng cu) R-mụun ni x E l m rng thit yu ca M Ta gi E l bao ni x ca M v ký hiu E = E ( M ) nh ngha 1.2.3 Mt R-mụun M c gi l mụun khụng phõn tớch c nu M khụng l tng trc tip ca hai mụun thc s nh lý 1.2.4 (Matlis) Cho E l mt R-mụun ni x thỡ ta cú: i Tn ti nht mt cỏch phõn tớch: E = Ei ú mi Ei l mụun ni iI x khụng phõn tớch c ii Nu E l mụun ni x khụng phõn tớch c thỡ tn ti p Spec( R) cho E = E ( R / p) Ngc li E ( R / p) l mụun ni x khụng phõn tớch c vi mi p Spec( R) Mnh 1.2.5 Cho vnh R, p l mt iờan nguyờn t ca R, M l mt Rmụun Khi ú ta cú: i E ( R / p) l hng t trc tip ca E ( M ) v ch p Ass ( M ) ii Ass( E ( R / p)) = {p} nh ngha 1.2.6 Cho M l mt R-mụun, phộp gii ni x ti tiu ca M l mt phộp gii ni x ca M: d d M E E1 E = ( M ), E1 E (coker = ), E E (coker d ), ú E E= Mi phộp gii ni x ti tiu l nht (sai khỏc mt ng cu) Theo nh lý v phõn tớch mụun ni x ta cú: i E= pSpec ( R ) E ( R / p) ài ( p, M ) Trong ú ài (p, M ) l s bn ca E ( R / p) tng trc tip, ta gi ài (p, M ) l s Bass th i ca M theo p nh lý 1.2.7.(Bass) Cho p Spec( R) , k (p) = Rp pRp v M l mt R-mụun Khi ú ta cú: i = ài (p, M ) dim = dim k ( p) (Ext iR ( R / p, M )) p k ( p) Ext Rp ( k ( p), M p ) 1.3 Dóy chớnh quy sõu nh ngha 1.3.1 Cho M l mt R-mụun Dóy cỏc phn t x1 , x2 , , xn R c gi l dóy M- chớnh quy nu ( x1 , x2 , , xn ) M M v xi khụng l c ca khụng M ( x , x , , x ) M vi mi i = 1, 2, n i nh ngha 1.3.2 Cho M l mt R-mụun v I l mt iờan ca Rtha IM M Ta nh ngha sõu ca M I l: depth R ( I , M ) = sup {n | ( x1 , , xn ) laứ daừy M - chớnh quy I } Nu ( R, m ) l vnh a phng thỡ ta ký hiu: depth R M := depth R ( m, M ) nh lý 1.3.3 Cho M l mt R-mụun hu hn sinh v I l mt iờan ca R tha IM M Ta cú: = depth R ( I , M ) inf{i | Ext iR ( R / I , M ) 0} = inf{depth Rp M p |p V ( I )} Mnh 1.3.4 Cho M l mt R-mụun hu hn sinh v I l mt iờan ca R tha IM M Ta cú: = depth R M p inf{i | ài (p, M ) 0} p 1.4 S chiu h tham s nh ngha 1.4.1 Cho vnh R S chiu ca R, ký hiu dim(R) chớnh l supremum ca di nhng dõy chuyn (nghiờm ngt) cỏc iờan nguyờn t R: dim ) i 0,1, , n} = R sup{n | p0 p1 pn , pi Spec( R= Cho M l mt R-mụun thỡ s chiu ca M chớnh l supremum ca di nhng dõy chuyn (nghiờm ngt) cỏc iờan nguyờn t Supp(M): dim = M sup{n | p0 p1 pn , pi Supp(M), = i 0,1, , n} Nu M = ta t dim M= Mnh 1.4.2 Cho M, N l cỏc R-mụun hu hn sinh.Ta cú dim M = dim( R / Ann( M )) dim( = M N ) dim R / (Ann( M ) + Ann( N )) nh ngha 1.4.3 Cho ( R, m ) l vnh a phng, M l mt R-mụun hu hn inf{n | x1 , x2 , , xn m : Supp( M / ( x1 , , xn ) M ) = {m}}, dóy sinh t d = 30 () Vi x I , J ( M ) thỡ tn ti s t nhiờn n cho ain x Jx vi mi v ta cng i s Do ú vi mi i s thỡ tn ti bi J cho (ain bi ) x = s d thy rng (ain bi ) Sa , J Vy ta suy x Ker M M a , J i =1 i s () Vi x Ker M M , J Thỡ vi mi i u tn ti a ni + bi Sa , J cho i =1 (a ni + bi ) x = t õy suy ain x = bx Jx Do ú tn ti s n ln cho I n x Jx x I , J ( M ) I (= a ) (a1 , a2 , as ) l mt iờan ca nh lý 2.2.4 Cho M l mt R-mụun, v = R Khi ú vi mi i ta cú ng cu t nhiờn sau: H Ii , J ( M ) H i ( Ca, J R M ) Chng minh T mnh (2.2.3) phn (v) ta ó cú ng cu t nhiờn: H ( Ca, J M ) I , J ( M ) Vi mt dóy khp bt k cỏc R-mụun L M N Do mi phn t phc Ca,J u l R-mụun phng ( vỡ S 1M l phng nu M l mụun phng) nờn ta cú dóy khp ca cỏc phc Ca, J L Ca, J M Ca, J N T õy ta cú c dóy khp di: H ( Ca, J L ) H ( Ca, J M ) H ( Ca, J N ) H ( Ca, J L ) H i ( Ca, J N ) H i ( Ca, J L ) H i ( Ca, J M ) H i ( Ca, J N ) H i +1 ( Ca, J L ) Vy ta ch cn chng minh H i ( Ca, J E ) = vi mi R-mụun ni x E v vi mi i > Do s phõn tớch thnh tng trc tip ca mụun ni x nờn ta ch 31 cn chng minh H i ( Ca , J E ( R / p) ) = vi mi p l iờan nguyờn t ca R Ta s chng minh bng quy np theo s l di ca a Nu s = , ta cú: ( Ca, J E = ER ( R / p) ER ( R / p) a1 , J ) ú ER ( R / p) a , J ng cu vi ER ( R / p) nu p W((a1 ), J ) v bng nu p W((a1 ), J ) Trong c hai trng hp ny thỡ ta u cú H ( Ca , J E ( R / p) ) = Bõy gi ta gi s s > , v t a ' = a2 , a3 , , as Khi ú ta cú ng thc C= Ca1 , J Ca' , J Do ú theo nh lý (1.7.12) ta cú dóy ph gúc phn t th ba: a,J ( ) E2p ,q = H p Ca1 , J H q ( Ca' , J E ( R / p) ) H p + q ( Ca, J E ( R / p) ) Theo gi thit quy np thỡ ta cú H q ( Ca' , J E ( R / p) ) = vi mi q > Do ú dóy ph l suy bin theo trc p, v ta cú ng cu: ( H n ( Ca, J E ( R / p) ) = H n Ca1 , J H ( Ca' , J E ( R / p) ) ( = H n Ca1 , J a' , J ( E ( R / p)) ( ) ) = H n a' , J ( E ( R / p)) ( a' , J ( E ( R / p)) )a , J ) T õy ta thy rng H n ( Ca, J E ( R / p) ) = vi mi n Theo mnh (2.1.12) thỡ a' , J ( E ( R / p)) hoc l bng hoc l bng E ( R / p) Vy ta ch cũn ( ) nhng iu ny ta cn chng minh rng H E ( R / p) ( E ( R / p) )a , J = ó chng minh trng hp s = Vy ta cú iu phi chng minh 32 H qu 2.2.5 Cho M l mt R-mụun J-xon, a = a1 , a2 , a3 , , as l mt dóy cỏc phn t ca R v iờan I = (a ) Khi ú ta cú ng cu t nhiờn Ca,J R M Ca R M T ú suy H Ii , J ( M ) H Ii ( M ) vi mi s t nhiờn i Chng minh.Vi a I , ta cú ng cu t nhiờn : M a M a , J xỏc nh nh sau ( z / a n ) = z / a n u tiờn chỳng ta s chng minh l mt ng cu Gi s rng ( z / a n )= M a , J Khi ú tn ti m , b J cho ( a m b) z = Vỡ (a m b ) chia ht cho l l ( a m b) vi mi l nờn (a m b ) z = Mt khỏc M l mụun J-xon nờn tn ti s t nhiờnl ln l l thỡ b z = T õy ta suy a m z = nờn z / a n = M a Vy ta chng minh l l c l n cu w z / (a n b) M a , J vi z M v b J chng minh l ton cu ta ly = Vỡ Ml J-xon nờn tn til ln cho (a m b ) = c.(a m b) l l vi cR , m z c ( a m b) z thỡ a= l b z = Ta vit l M Vy m = w z / (a n b= ) cz / a 2= (cz / a m ) nờn l ton cu l l Do l mt ng cu nờn ta cú M a M a , J vi mi a I T õy ta cú Ca, J R M Ca R M vi mi a I V ú ta cú c ng cu gia cỏc phc: Ca, J R M= Ca1 , J Ca2 , J Cas , J M Ca1 Ca2 Cas M = Ca R M p dng nh lý (2.2.4) v nh lý (1.8.5) ta c: 33 H Ii , J ( M= ) H i (Ca, J R M ) H i (Ca R M= ) H Ii ( M ) Mnh 2.2.6 Hm t H Ii , J (i 0) l giao hoỏn vi gii hn thun Tc l: nu {M | I } l mt h thun thỡ ta s cú ng cu t nhiờn: i H Ii , J (lim M ) lim( H I , J ( M )) Chng minh Gi a = a1 , a2 , as l mt dóy cỏc phn t R sinh I Theo nh lý (2.2.4) v tớnh giao hoỏn ca tớch tenx v hm t i ng iu vi gii hn thun, ta cú: i i H Ii , J (lim M ) H Ca , J R lim M H lim( Ca , J R M ) i i lim ( H (Ca , J R M ) ) lim( H I , J ( M )) nh lý 2.2.7 Cho I v J l hai iờan ca R, M l mt R-mụun, : R R ' l mt ng cu vnh tha tớnh cht ( J ) = J R ' Ta cú ng cu t nhiờn gia hai R-mụun sau: H Ii , J ( M ') H IRi ', JR ' ( M ') vi mi s t nhiờn i Chng minh t a = a1 , a2 , as l dóy cỏc phn t vnh R sinh iờan I, t (a ) = (a1 ), (a2 ), (as ) T gi thit ta cú ng thc ca hai nhõn R: ( Sa , J ) = S ( a ), JR ' vi mi i s Do ú ta cú: i i H Ii , J ( M ') H i (Ca, J R M ') H i (C ( a ), J R ' M ') H IRi ', JR ' ( M ') Ta c iu phi chng minh 34 2.3 Liờn h gia mụun i ng iu a phng theo mt cp Iờan v mụun i ng iu a phng I , J ) l cỏc iờan a ca R cho tn ti nh ngha 2.3.1 Ta nh ngha W( I , J ) mt quan h th t b phn n : I n a + J Sau ú ta trang b cho W( nh sau: a b a b Khi ú vi mi R-mụun M ta cú a ( M ) b ( M ) I , J ), ) v cỏc ng cu nhỳng i t a ( M ) b ( M ) nu Nh vy ( W( a b to thnh mt h thng thun (direct system): {a ( M )}aW ( I , J ) nh lý 2.3.2 Cho M l mt R-mụun, I v J l hai iờan ca vnh R Ta cú ng cu t nhiờn sau õy: i H Ii , J ( M ) lim Ha (M ) aW ( I , J ) Chng minh: Trc tiờn ta chng minh cho i = 0, hay: I , J ( M ) lim a ( M ) aW ( I , J ) Theo mnh (1.5.4) ta cú: minh I , J ( M )= (I ,J ) aW (I ,J ) aW a ( M ) lim a ( M ) nờn ta ch cn chng aW ( I , J ) a ( M ) () Vi x I , J ( M ) thỡ tn ti n cho I n Ann( x) + J t a = Ann( x) , ta I , J ) v x ( M ) nờn x cú: a W( aW ( I , J ) a (M ) a ( ) Vi I , J ) v x ( M ) Do ú tn ti x aW ( I , J ) a ( M ) thỡ ta cú a W( a m, n cho I m a + J v a n x = Vỡ I m.n ( a + J ) a n + J nờn suy n I m.n x Jx x I , J ( M ) Vi L M N l mt dóy khp cỏc R-mụun Ta cú dóy khp di I, J) : sau vi mi a W( 35 a ( L) a ( M ) a ( N ) H a1 ( L) H a1 ( M ) H a1 ( N ) Vỡ gii hn thun l hm t khp, ta cú dóy khp di sau: a ( L) lim a ( M ) lim a ( N ) lim H a1 ( L) lim aW ( I , J ) aW ( I , J ) aW ( I , J ) aW ( I , J ) lim H ( M ) lim H ( N ) (**) aW ( I , J ) a aW ( I , J ) a Mt khỏc vi E l mt R-mụun ni x v i > ta cú H ( E ) = vi mi a Do ú: i lim H a ( E ) = (***) aW( I , J ) aW ( I , J ) T (*), (**) v (***) ta chng minh c lim H / i = 0,1, 2,3 l mt h thng cỏc hm t dn xut phi ca I , J nờn ta suy iu phi chng minh H qu 2.3.3 Cho E l mt R-mụun ni x; I, J l hai iờan ca R Khi ú ta cú: i I , J ( E ) l R-mụun ni x ii H Ii , J ( E ) = vi mi i Chng minh Ta thy rng (ii) l d dng cú c H Ii , J () l hm t dn xut phi ca hm t I , J () Vy ta ch cn chng minh (i) Theo nh lý (2.3.2) ta cú ng cu sau: I , J ( E ) lim a ( E ) aW ( I , J ) 36 Theo tớnh cht ca hm t i ng iu a phng thỡ ta cú a ( E ) l Rmụun ni x vi mi iờan a ca R Do ú theo mnh (1.5.7) ta suy iu phi chng minh B 2.3.4 Cho R l vnh a phng vi iờan ti i m ,ta cú: = V (J ) W( m, I ) = (m,J ) I W pW ( m , J ) W( m, p) Chng minh m, J ) thỡ tn ti n cho m n I + J I + p suy Vi p V ( J ) , I W( p W( m, I ) Do ú ta m, J ) W( m, J ) nờn ta cú W( cú Vy ta ch cn chng minh V ( J ) I W ( m , J ) W( m , I ) (m,J ) I W Mt khỏc W( m , I ) pW ( m , J ) W( m , p) pW ( m , J ) W( m , p) V ( J ) Ta chng minh phn chng, gi s tn ti q pW ( m , J ) W( m, p) m q V ( J ) J q Ly x J \ q v ta t r = dim R / q Do x l phn t R / q -chớnh quy nờn suy dim R = r Do ú tn ti y1 , y2 , y3 , yr m cho y1 , y2 , y3 , yr l q + ( x) mt h tham s ca ca R q + ( x) Theo tớnh cht ca h tham s thỡ ta suy q + ( x, y1 , y2 , yr ) l m -nguyờn s cũn q + ( y1 , y2 , yr ) thỡ khụng phi l iờan m -nguyờn s Do ú ta tỡm c p Spec( R) cho: q + ( y1 , y2 , yr ) p m (*) Mt khỏc vỡ q + ( x, y1 , y2 , yr ) ( x) + p J + p nờn J + p cng l iờan m nguyờn s T ú ta suy p W( m, J ) m q pW ( m , J ) W( m, p) nờn suy q W( m, p) , suy p = p+ q l iờan m -nguyờn s! Mõu thun vi (*), nờn ta 37 cú iu phi chng minh I , J ) l sp th t b phn, ú a b a b , Nh li rng W( ý rng nu a b thỡ ta suy I ,a ( M ) I ,b ( M ) , t õy ta cú c mt h thng nghch { I ,a ( M )}aW( I ,J ) Mnh 2.3.5 Cho vnh a phng ( R, m ) , M l R-mụun.Ta cú ng cu t I (M )= nhiờn sau : lim m , J ( M ) (m,I ) J W Chng minh Ta ch cn chng minh rng I ( M= ) ( ) Ly (m,I ) J W m,J (M ) m, I ) thỡ tn ti m, n cho I m x = v x I ( M ) , J W( mn I + J T õy ta suy m m.n x Jx x m , J ( M ) Vy I ( M ) J W ( m , I ) m , J ( M ) ( ) Ly x J W ( m , I ) m , J ( M ) Vi m, I ) , mi J W( tn ti n cho m, Ann( x)) Vy ta cú W( m, I ) W( m, Ann( x)) Bõy m n Ann( x) + J J W( gi, ỏp dng b (2.3.4) ta cú: V ( Ann( x)) = ( m , Ann ( x )) J W W( m , J ) (m,I ) J W W( m , J= ) V (I ) T õy suy I Ann( x) x I ( M ) , ta cú iu phi chng minh 38 2.4 Tớnh cht trit tiờu v khụng trit tiờu ca mụun i ng iu a phng theo mt cp Iờan nh lý 2.4.1 Cho M l R-mụun hu hn sinh, t = n inf {depth M p | p W( I , J )} thỡ ta cú: i H Ii , J ( M ) = vi mi i < n ii H In, J ( M ) Chng minh Ly E i (M = ) E ( M ) l phộp gii ni x ti tiu ca M Thỡ E ( R / p)ài ( p, M ) vi mi i ú ài (p, M ) l s Bass th i ca pSpec ( R ) M theo p p dng mnh (2.1.12) ta cú: I , J ( E i ( M )) = I ,J ( pSpec ( R ) E ( R / p)ài ( p, M ) ) = I ,J ( E ( R / p)ài ( p, M ) ) I , J ( = I ,J ( E ( R / p)ài ( p, M ) ) pW ( I , J ) pW ( I , J ) = pW ( I , J ) pW ( I , J ) E ( R / p)ài ( p, M ) ) E ( R / p)ài ( p, M ) (*) M p inf {i | ài (p, M ) 0} nờn ta Mt khỏc nu p W( I , J ) thỡ ta cú n depth= c I , J ( E i ( M )) = H Ii , J ( M ) = 0, i < n Bõy gi ta cn chng minh H In, J ( M ) T (*) ta thy rng I , J ( E n ( M )) , ú phc I , J ( E ( M ) ) ch xut phỏt t phn t th n Ta cú biu giao hoỏn sau: H In, J ( M ) I , J ( E n ( M )) I , J ( E n +1 ( M )) n1 d E n ( M ) E n (M ) d n E n +1 ( M ) ú hai dũng l khp, hai mi tờn ct l phộp nhỳng t nhiờn er d n Im d n E n ( M ) l m rng thit yu, nờn ta cú: Vỡ K= H In, J ( M ) = iI , J ( E n ( M )) Ker d n 39 Vy ta c iu phi chng minh Nhn thy rng nh lý (2.4.1) ny chớnh l m rng ca nh lý (1.8.8) quen thuc i ng iu a phng H qu 2.4.2 Cho ( R, m) l vnh a phng, M l R-mụun hu hn sinh Khi ú cỏc mnh sau l tng ng i M l mụun (I,J)-xon ii H Ii , J ( M ) = vi mi i>0 Chng minh ( i ) ( ii ) ó chng minh phn (i) mnh (2.1.14) ( ii ) ( i ) Vỡ I , J ( M ) M nờn ta t N = M I ,J (M ) v ta cn chng minh N = Gi s N Theo phn (iv) ca mnh (2.1.15) ta cú: I ,J ( N ) = I ,J M = ( ) M I ,J i = H Ii , J ( N ) H Ii , J M H I , J ( M ), i > M ( ) I ,J Mt khỏc m W( I , J ) nờn inf {depth N p / p W( I , J )} depth N m depth N < Theo nh lý (2.4.1) thỡ vi s i inf {depth N p / p W( I , J )} ta cú H Ii , J ( N ) = (vụ lý) Vy ta cú iu phi chng minh nh lý 2.4.3 Cho ( R, m) l vnh a phng, M l R-mụun hu hn sinh Gi s J R ú ta cú: H Ii , J ( M )= 0, i > dim M JM Chng minh Ta chng minh bng quy np theo r = dim M JM 40 Vi r = , ú M JM = nờn theo b Nakayama ta c M = suy H Ii , J ( M ) = vi mi s t nhiờn i Gi s r , ta cú mt lc hu hn sau = M M M s = M cho M j / M j R / p j , vi p j Supp ( M ) v j = 0,1, s Do ú ta cú dóy khp sau vi mi j = 0,1, s : M j M j R / p j T õy ta suy dóy khp vi mi j = 0,1, , s : H Ii , J ( M j ) H Ii , J ( M j ) H Ii , J ( R / p j ) Lu ý rng: dim R / (p j + J ) dim R / ( Ann( M ) + J ) dim = = M / JM r Do ú ta cú th gi s M = R / p vi p Spec( R) Theo nh lý (2.2.7) ta cú H Ii , J ( R / p) H Ii ( R / p), J ( R / p) ( R / p) Do ú nu thay R bi ( R / p) , ta cú th gi s rng R l mt nguyờn v M = R Bõy gi ta gi s rng tn li l > r cho H Il , J ( R) , ta cn ch iu vụ lý ý rng lỳc ny ta cú Ass ( H Il , J ( R)) u tiờn ta gi s rng Ass( H Il , J ( R)) cha mt iờan nguyờn t q (0) Khi ú chn mt phn t x thuc vo q Dóy khp x R R R ( x) H Il , J1 ( R , cho ta thu c dóy khp: ( x) x ) H Il , J ( R) H Il , J ( R) Lu ý rng dim R J + ( x) = r < l nờn theo gi thit quy np ta suy c H Il , J1 ( R ( x) ) = iu ny chng t rngx l H Il , J ( R) -chớnh quy Nhng x li nm iờan nguyờn t liờn kt q ca H Il , J ( R) , nờn x l c ca khụng H Il , J ( R) (!) iu vụ lý trờn dn n Ass( H Il , J ( R)) = {(0)} Da theo mnh (2.1.8) v (2.1.14) phn (v) ta cú rng Ass( H Il , J ( R)) W( I , J ) , suy (0) W( I , J ) Do ú tn ti n : I n J , suy rng vi mi x thuc R ta u cú 41 I n Ann( x) + J x I , J ( R) iu ny suy R l mt R-mụun (I,J)-xon ú H Il , J ( R) = (mõu thun!) Vy ta cú iu phi chng minh H qu 2.4.4 Cho R l mt vnh a phng v M l mt R-mụun (khụng cn thit phi hu hn sinh) Thỡ ta cú H Ii , J ( M ) = vi mi i > dim R / J Chng minh Do mt R-mụun l gii hn thun ca nhng mụun hu hn sinh, ta cú th vit M = lim M ú mi M l mt R-mụun hu hn sinh ý rng M Do = dim ( J + Ann( M )) JM M thỡ theo mnh (2.2.6), ta cú: i > dim R / J dim JM ú dim R / J dim R vi i H Ii , J ( M ) lim = = H I ,J (M ) nh lý 2.4.5 Cho M l mt mụun hu hn sinh trờn vnh a phng ( R, m ) Gi s I + J l iờan m -nguyờn s Khi ú ta cú ng thc: sup {i | H Ii , J ( M ) 0} = dim M / JM Chng minh Nh nh lý (2.4.3) ta ch cn chng minh rng H Ir, J ( M ) vi r = dim M / JM Vỡ I + J l iờan m -nguyờn s nờn theo mnh (2.1.5)thỡ H Ii , J ( M ) = H mi , J ( M ) vi mi s t nhiờn i Do ú ta cú th gi s I = m T dóy khp JM M M JM ta suy c dóy khp: H mr , J ( M ) H mr , J ( M JM ) H mr +,1J ( JM ) (*) Theo nh lý (2.4.3) ta cú H mr +,1J ( JM ) = vỡ dim( JM J 2M ) dim( M J 2M ) M = dim( = ) r Hn na, theo mnh (2.2.5) v nh lý khụng trit tiờu ca JM Grothendieck (1.8.7) ta cú: 42 r M ) H mr ( M )0 H m= ,J ( JM JM Do ú t dóy khp (*) ta suy c H Ir, J ( M ) (iu phi chng minh) nh lý 2.4.6 Cho M l mt R-mụun hu hn sinh, ta cú: i H Ii , J ( M ) = vi mi i > dim M ii H Ii , J ( M ) = vi mi i > dim M JM + Chng minh i Theo nh lý (2.3.2) v nh lý trit tiờu ca Grothendieck (1.8.6) ta cú: i H Ii , J ( M ) lim vi mi i > dim M Ha (M ) = aW ( I , J ) ii Ta chng minh bng quy np theo r = dim( M JM ) Do ú Khi r = thỡ theo b Nakayama ta cú a J cho (1 + a) M = vi mi x M thỡ x = ax Jx nờn Rx = Jx T õy ta suy Ml R-mụun (I,J)xon Mnh (2.1.14) cho chỳng ta H Ii , J ( M ) = 0, i > = r + Khi r s dng k thut chng minh tng t nh nh lý (2.4.3) ta s cú iu phi chng minh 43 KT LUN Trong lun ny tụi ó lm c nhng iu sau õy: a nh ngha mụun I , J ( M ) , mụun H Ii , J ( M ) v mt s tớnh cht c bn (trong phn 2.1), v W( I , J ) cú mt vai trũ quan trng vic nghiờn cu cỏc tớnh cht ny a nh ngha phc Cech suy rng tng ng vi mụun i ng iu a phng theo mt cp iờan, v nh lý (2.2.4) ch ng cu t nhiờn ca mụun i ng iu a phng theo mt cp iờan v phc Cech suy rng Mụun H Ii , J ( M ) l gii hn thun ca mt h thun cỏc mụun i ng I (M )= iu a phng, v mnh (2.3.5) ta cú lim m , J ( M ) trng hp (R, m ) l vnh a phng (m,I ) J W Mt s nh lý v tớnh trit tiờu v khụng trit tiờu phn (2.4) i ng iu a phng theo mt cp iờan l mt khỏ mi m v cũn nhiu bi toỏn m nghiờn cu Chng hn nh v tớnh Artin ca mụun i ng iu a phng theo mt cp iờan, cỏc iờan nguyờn t liờn kt, i ngu Matlis hoc bin i iờan 44 TI LIU THAM KHO [1] M P Brodman and R Y Sharp, Local cohomology: An Algebraic Introduction with Geometric Application, Cambridge University Press, Cambridge, 1998 [2] R Takahashi, Y Yoshino and T Yoshizawa, Local cohomology based on a nonclosed support define by a pair of ideals, J Pure Appl Algebra 213 (2009), 582-600 [3] L Chu and Q Wang, Some results on local cohomology modules define by a pair of ideals, J Math Kyoto Univ 49 (2009), no 1, 59-72 [4] H Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge University Press, 1986 [5] A Grothendieck, Local cohomology, Lecture Notes in Mathematics 41, Springer, 1967 [6] L Chu, Top local cohomology modules with respect to a pair of ideals, Proc Amer Math Soc, 139: 777-782, 2011 [7] J R Strooker, Homological question in Local Algebra, Cambridge University Press, Cambridge, 1990 [8] D G Northcott, An introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, Cambridge, 1960 [9] J J Rotman, An introduction to Homological Algebra, Springer Press, 2009 [10] D Eisenbud, Comutative Algebra with a view toward Algebraic Geometry, Springer Press, 1995 [...]... gi l suy bin theo trc p nu E p2,q = {0} vi mi q 0 Dóy ph ( E r , d r ) r 1 c gi l suy bin theo trc q nu E p2,q = {0} vi mi p 0 nh ngha 1.7.9: Dóy ph ( Er , d r ) r 1 c gi l dóy ph gúc phn t th ba nu Erp ,q = {0} vi mi p > 0 hoc q > 0 Mnh 1.7.10.Cho dóy ph ( Er , d r ) r 1 gúc phn t th ba hi t E2p ,q H p + q i Nu dóy ph suy bin theo trc p, ta cú: H n E2n ,0 ii Nu dóy ph suy bin theo trc q,... phi ca hm t khp trỏi I vi mi i 0 v ta gi õy l hm t i ng iu a phng th i theo iờan I: H Ii=: R i I 14 Mụun H Ii ( M ) c gi l mụun i ng iu a phng th i theo iờan I M Supp(M ) V ( I ) Mnh 1.8.2 Cho M l mt R-mụun Ta cú I (M ) = i ng iu a phng cú nhiu cỏch nh ngha tng ng Sau õy l nh ngha theo gii hn thun ca hm t Ext v nh ngha theo phc Cech nh lý 1.8.3 Cho M l mt R-mụun, I l mt iờan ca R Ta cú ng cu... I , J l hm t H Ii , J : hm t i ng iu a phng th i theo cp iờan I,J Vi M l mt R-mụun ta nh ngha H Ii , J ( M ) l mụun i ng iu a phng th i ca M theo (I,J) Nhn xột rng nu J = 0 thỡ I ,0 I nờn suy ra H Ii ,0 H Ii , hm t i ng iu a phng theo mt cp iờan chớnh l m rng ca hm t i ng iu a phng quen thuc 18 Sau õy l mt s tớnh cht c bn ca mụun i ng iu a phng theo cp iờan (I, J) Mnh 2.1.5.Cho I, I, J, J l cỏc... tn ti n0 sao cho I n Ann( x= ) + J Ann( Rx) + J , do ú I , J ( Rx) = Rx nờn theo mnh (2.1.8) ta cú Supp( Rx) W( I , J ) (ii ) (i ) Nu Supp( Rx) W( I , J ) thỡ theo mnh (2.1.8) ta cú I , J ( Rx) = Rx nờn suy ra x I , J ( Rx) I , J ( M ) = ( M ) Supp ( N ) Supp ( L) 2 Do (*) l dóy khp nờn ta cú ng thc Supp Do ú theo mnh (2.1.8) ta cú: ( M ) Supp ( M ) W( I , J ) I ,J (M ) = ( Supp... J)-xon Vỡ As W( I , J ) nờn theo mnh (2.1.8) thỡ E 0 l R-mụun (I, J)-xon 25 Do vy, mt R-mụun (I, J)-xon cú th nhỳng vo mt R-mụun (I, J)-xon ni x E 0 Ta chng minh quy np, gi s cú dóy khp cỏc R-mụun: n1 d 0 M E 0 E n 1 En vi E 0 , E1 , E n l cỏc R-mụun (I, J)-xon v ni x d n 1 E n / Im d n 1 , do ú theo mnh (2.1.9) phn (2) thỡ C l = = t C Coker R-mụun (I, J)-xon Theo phn u ca chng minh ta... ) v Ly mt phộp gii ni x ca M: d 0 E 0 E1 E i E i +1 i Ker I , J (d i ) / Im I , J (d i 1 ) Vi mi i 0 theo nh ngha ta cú: H Ii , J ( M ) = m Ker I , J (d i ) I , J ( E i ) l R-mụun (I, J)-xon nờn theo mnh (2.1.9) phn (2) ta cú iu phi chng minh 2.2 Mụun i ng iu a phng theo mt cp Iờan v phc Cech nh ngha 2.2.1.Cho R l vnh, J l mt iờan ca R, vi mi phn t a R ta nh ngha Sa , J l tp con... J E ( R / p) ) Theo gi thit quy np thỡ ta cú H q ( Ca' , J E ( R / p) ) = 0 vi mi q > 0 Do ú dóy ph l suy bin theo trc p, v ta cú ng cu: ( H n ( Ca, J E ( R / p) ) = H n Ca1 , J H 0 ( Ca' , J E ( R / p) ) ( = H n Ca1 , J a' , J ( E ( R / p)) ( ) ) = H n 0 a' , J ( E ( R / p)) ( a' , J ( E ( R / p)) )a , J 0 1 ) T õy ta thy rng H n ( Ca, J E ( R / p) ) = 0 vi mi n 2 Theo mnh (2.1.12)... , J ) Supp ( N ) W( I , J ) Supp ( L) W( I , J ) N I , J ( N ) = L I , J ( L) = Ta cú iu phi chng minh Mnh tip theo s ch ra mi liờn h gia mụun (I,J)-xon v mụun Ixon Mnh 2.1.10 Nu M l R-mụun (I,J)-xon thỡ M/JM l I-xon Ta cú chiu ngc li nu M l mụun hu hn sinh Chng minh Theo mnh (2.1.8) ta cú M l mụun (I,J)-xon khi v ch khi Supp( M ) W( I , J ) 23 p dng mnh (1.8.2) thỡ ta cú M/JM l mụun... Ta nh ngha: = S a {a n |n } Ta thy Sa l mt tp con nhõn ca R Do ú vi mi R-mụun M ta nh ngha mụun cỏc thng ca M: M a = S a1M Ta nh ngha phc Cech theo mt phn t a thuc R l: 1 Sa R 0) C= Ra (0 a Vi a = a1 , , an l mt dóy cỏc phn t trong R Ta nh ngha phc Cech theo a = a1 , , an l: s Ca = Cai i =1 s = (0 R Rai ( Rai ) a j ) =i 1 i< j 15 Do vnh ta ang xột l vnh Nte, nờn mi iờan I ca R l hu hn sinh... minh i Theo mnh (2.1.13) ta cú phộp gii ni x ca M m cỏc phn t u l Rmụun (I, J)-xon v ni x d 0 E 0 E i E i +1 i d i , i 0 T õy suy ra: Do ú ta cú I , J (d i ) = H Ii , J ( M ) = Ker I , J (d i ) / Im I , J (d i 1 ) = Ker(d i ) / Im(d i 1 ) = 0 , i > 0 Chiu ngc li ca mnh ny l ỳng nu nh M l R-mụun hu hn sinh Ta s chng minh trong h qu (2.4.2) ii Do I , J M l R-mụun (I, J)-xon nờn theo (i) ... Từ suy số hệ tính chất quan trọng mơđun đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan Tới phần (2.3) liên hệ mơđun đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan mơđun đối đồng điều địa phương theo iđêan Định... Mơđun đối đồng điều địa phương 13 Chương 2: MƠĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN 16 2.1 Hàm tử đối đồng điều địa phương theo cặp Iđêan 16 2.2 Mơđun đối đồng. .. 2.2 Mơđun đối đồng điều địa phương theo cặp Iđêan phức Cech 27 2.3 Liên hệ mơđun đối đồng điều địa phương theo cặp Iđêan mơđun đối đồng điều địa phương 34 2.4 Tính chất triệt tiêu khơng