Tính minimax của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan

BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH —————————————– Nguyễn Thị Huyền My TÍNH MINIMAX CỦA MƠĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2016 BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH —————————————– Nguyễn Thị Huyền My TÍNH MINIMAX CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh - 2016 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các kết luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Mọi giúp đỡ cho việc thực hiên luận văn cám ơn thơng tin trích dẫn luận văn ghi rõ nguồn gốc Tác giả Nguyễn Thị Huyền My Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình PGS TS Trần Tuấn Nam Nhân dịp này, xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy gia đình Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới GS TSKH Nguyễn Tự Cường Viện Toán học Việt Nam, GS TS Bùi Xuân Hải, PGS TS Mỵ Vinh Quang, PGS TS Bùi Tường Trí, TS Trần Huyên, TS Phạm Thị Thu Thủy, tồn thể thầy khoa Tốn - Tin học Phịng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy trang bị cho tơi kiến thức Đại số, đặc biệt Đại số giao hốn Tơi chân thành cảm ơn cán bộ, giáo viên trường Trung học phổ thông chuyên Hùng Vương, tỉnh Bình Dương nơi tơi cơng tác tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành chương trình học tập Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, bố mẹ bạn học lớp Đại số lí thuyết số khóa 25 ln giúp đỡ động viên tơi q trình làm luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 31 tháng năm 2016 Nguyễn Thị Huyền My Mục lục Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục kí hiệu MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số kết đại số giao hoán 1.2 Bao nội xạ chiều môđun 1.3 Đối đồng điều địa phương theo iđêan 1.4 Tính minimax mơđun đối đồng điều địa phương theo iđêan 1.5 Tính cofinite mơđun đối đồng điều địa phương theo iđêan 10 1.6 Phạm trù Serre 10 Chương TÍNH MINIMAX CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN 11 2.1 Môđun đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan 11 2.2 Tính minimax mơđun đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan 19 2.3 Tính cofinite môđun đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan 28 2.4 Môđun (S, I, J)-cominimax 33 KẾT QUẢ VÀ BÀN LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 Danh mục kí hiệu Mp : địa phương hóa mơđun M theo iđêan ngun tố p Ann(x) linh hóa tử phần tử x ∈ M HomR (M, N ): tập đồng cấu R-môđun từ M vào N ExtiR (M, N ): tích mở rộng i-chiều vành R môđun M N E(M ): bao nội xạ môđun M µi (p, M ): số Bass thứ i môđun M iđêan p GdimM : chiều Goldie môđun M GdimI M : chiều Goldie môđun M iđêan I IdM : chiều nội xạ môđun M ΓI (M ): môđun I -xoắn môđun M ΓI (−): hàm tử I -xoắn HIi (−): hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo iđêan I HIi (M ): môđun đối đồng điều địa phương thứ i theo iđêan I TorR i (M, N ): tích xoắn i-chiều vành R môđun M N ΓI,J (M ): môđun (I, J)-xoắn môđun M ΓI,J (−): hàm tử (I, J)-xoắn i (−): HI,J hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo cặp iđêan (I, J) i (M ): HI,J môđun đối đồng điều địa phương thứ i theo cặp iđêan (I, J) Spec(R): tập iđêan nguyên tố vành R Supp(M ): giá môđun M Ass(M ): tập iđêan nguyên tố liên kết M Min(M ): tập iđêan tối tiểu Supp(M ) theo quan hệ bao hàm Max(R): tập iđêan nguyên tối đại vành R V (I): tập iđêan nguyên tố chứa I MỞ ĐẦU Trong suốt luận văn, giả thiết R vành Noether, giao hốn, có đơn vị I, J iđêan vành R Vào năm 1960, A Grothendieck giới thiệu lý thuyết đối đồng điều địa phương dựa cơng trình J P Serre năm 1955 bó đại số Ngay sau đó, lý thuyết nhanh chóng phát triển nhiều nhà tốn học giới quan tâm Đến nay, lý thuyết đối đồng điều địa phương trở thành công cụ thiếu nhiều lĩnh vực khác tốn học Đại số giao hốn, Hình học đại số, Tổ hợp, Đã có nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu môđun đối đồng điều địa phương iđêan I số tính chất tính hữu hạn sinh, triệt tiêu, Artin, đặc biệt tính cofinite minimax Vào năm 1986, H Zoschinger đưa khái niệm hồn tồn mới, mơđun minimax báo Minimax - Moduln (xem [18]) Cũng từ đó, ba nhà tốn học J Azami, R Naghipour B Vakili mở rộng khái niệm minimax thành môđun I minimax môđun I -cominimax báo Finiteness properies of local cohomology module for a-minimax modules vào năm 2009 (xem [3]) Từ khái niệm môđun I -cofinite đưa Hartshorne vào năm 1970, Donatella Defino Thomas Marley nghiên cứu lại mở rộng báo Cofinite modules and local cohomology (xem [10]) Khơng dừng lại đó, vào năm 2009, ba nhà Toán học người Nhật Bản gồm Ryo Takahashi, Yuji Yoshino Takeshi Yoshizawa xây dựng khái niệm môđun đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan (I, J) - mở rộng tự nhiên môđun đối đồng điều địa phương iđêan I , nhờ vào việc định nghĩa tập W (I, J) = {p ∈ Spec(R)|∃n ∈ N∗ : I n ⊆ p + J}, báo Local cohomology based on a nonclosed support defined by a pair of ideals năm 2009 (xem [16]) Từ đó, ta hồn tồn mở rộng khái niệm môđun I -xoắn, I -minimax, I cominimax I -cofinite lên thành môđun (I, J)-xoắn, (I, J)-minimax, (I, J)-cominimax (I, J)-cofinite thông qua hai báo Minimaxness of local cohomology modules defined by a pair of ideals A.Abbasi H Roshan Shekalgourabi vào năm 2012 (xem [2]) Cofiniteness of local cohomology based on a nonclosed support defined by a pair of ideals A.Tehranian A.Pour Eshmanan Talemi vào năm 2010 (xem [17]) Năm 2012, việc sử dụng khái niệm phạm trù Serre phạm trù R-môđun, Kh Ahmadi-Amoli M Y Sadeghi đưa định nghĩa môđun (S,I, J)- cominimax đăng tạp chí Journal of Mathematical Extension vào năm 2013 với báo On the local cohomology modules defined by a pair of ideals and serre subcategory (xem [5]) Chú ý rằng, lớp gồm môđun J -minimax môđun hữu hạn sinh vành Noether tạo thành phạm trù Serre Vì vậy, báo khái quát hai báo [2] [17] Luận văn chủ yếu trình bày lại kết tài liệu [2], [5], [16] [17] Chương Hệ thống lại số kiến thức cần nắm để hiểu nội dung luận văn Cụ thể, kết đại số giao hốn, mơđun đối đồng điều địa phương theo iđêan, tính Artin, minimax, cofinite theo iđêan phạm trù Serre dựa vào tài liệu [3], [4], [8], [9], [11], [12], [13], [15] , Chương Được chia làm phần Cụ thể, 2.1, tơi trình bày lại kết môđun đối đồng địa phương theo cặp iđêan dựa vào báo [16] Kết quan trọng đưa phần Bổ đề 2.1.15 " Với M Ri i−1 ∼ ∼ i mơđun Exti−1 R (R/I, L) = ExtR (R/I, M ) HI,J (L) = HI,J (M ) với i > 0", với M = M/ΓI,J (M ), E bao nội xạ M L = E/M Đây công cụ hữu ích chứng minh quy nạp phần sau Trong 2.2, trình bày khái niệm mơđun (I, J)-cominimax j nghiên cứu tính J -minimax mơđun ExtiR (R/I, HI,J (M )), với i = 0, 1, dựa vào tài liệu [2] Trong 2.3, đưa vào khái niệm mơđun (I, J)-cofinite nghiên cứu tính hữu j hạn sinh môđun ExtiR (R/I, HI,J (M )), với i = 0, 1, dựa vào tài liệu [17] Cuối cùng, 2.4, định nghĩa môđun (S, I, J)-cominimax, với S phạm trù Serre Từ đó, i (M ) để Exti (R/I, H n (M )) thuộc phạm trù S nghiên cứu điều kiện HI,J R I,J trường hợp i = 0, 1, dựa vào [5] Mặc dù có nhiều cố gắng trình làm luận văn, kiến thức hạn chế thời gian hạn hẹp nên không tránh khỏi sai sót Rất mong nhận xét góp ý từ thầy bạn, để luận văn hoàn thiện Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số kết đại số giao hoán Định nghĩa 1.1.1 Cho M R-môđun Ta định nghĩa số tập sau: Spec(R) = {p R|p iđêan nguyên tố} Supp(M ) = {p ∈ Spec(R)|Mp = 0} gọi giá M Ass(M ) = {p ∈ Spec(R)|∃x ∈ M \ {0} : p = Ann(x)} gọi tập iđêan nguyên tố liên kết M Min(M ) = {p ∈ Supp(M )|p iđêan tối tiểu theo quan hệ bao hàm} Max(R) = {p R|p iđêan tối đại} V (I) = {p ∈ Spec(R)|I ⊆ p} Mệnh đề 1.1.2 Cho dãy khớp ngắn R-môđun / L f /M g / N / Khi đó, (i) Supp(M ) = Supp(L) ∪ Supp(N ) (ii) Ass(L) ⊆ Ass(M ) ⊆ Ass(L) ∪ Ass(N ) Mệnh đề 1.1.3 Một số kết giá môđun M (i) V (I) = Supp(R/I) (ii) Nếu M hữu hạn sinh Supp(HomR (M, N )) ⊆ Supp(M ) ∩ Supp(N ), với N R-môđun (iii) Supp(M/IM ) ⊆ Supp(M ) ∩ Supp(R/I) Dấu xảy M hữu hạn sinh Mệnh đề 1.1.4 Cho M R-mơđun Khi đó, (i) Min(M ) ⊆ Ass(M ) ⊆ Supp(M ) (ii) Ass(M ) = ∅ M = (iii) Supp(M ) = ∅ M = Mệnh đề 1.1.5 Cho M R-môđun hữu hạn sinh Khi đó, (i) Ass(M ) tập hữu hạn (ii) Ass(HomR (M, N )) = Supp(M ) ∩ Ass(N ), với N R-môđun Hơn nữa, tập Ass(HomR (M, N )) hữu hạn Bổ đề 1.1.6 (Bổ đề Artin - Ress) Cho R vành Noether, I iđêan R, M hữu hạn sinh N mơđun M Khi đó, tồn số tự nhiên k cho I n+1 M ∩ N = I(I n M ∩ N ) với n ≥ k Định nghĩa 1.1.7 Cho M R-mơđun M gọi có độ dài hữu hạn tồn dãy tăng môđun M : = M0 ⊆ M1 ⊆ ⊆ Mn = M cho Mi /Mi−1 môđun đơn với i > Mệnh đề 1.1.8 Cho M R-môđun hữu hạn sinh Các điều kiện sau tương đương (i) M có độ dài hữu hạn (ii) Supp(M ) ⊆ M ax(R) (iii) Ass(M ) ⊆ M ax(R) (iv) Supp(M ) = Ass(M ) Mệnh đề 1.1.9 Cho M R-mơđun Khi đó, M có độ dài hữu hạn M hữu hạn sinh Artin Mệnh đề 1.1.10 Cho dãy khớp ngắn R-môđun / N f / M g / L / (i) Nếu M hữu hạn sinh L hữu hạn sinh (ii) Nếu N L hữu hạn sinh M hữu hạn sinh (iii) Nếu R vành Noether M hữu hạn sinh N hữu hạn sinh 29 Chiều đảo Cho (0 :M I) hữu hạn sinh Ta chứng minh M (I, J)-cofinite Tức chứng minh ExtiR (R/I, M ) hữu hạn sinh với i ≥ Xét dãy khớp ngắn R-môđun / / JM M / / M/JM (∗) Tác động hàm tử HomR (R/I, −) ta khớp dài / ExtiR (R/I, JM ) ExtiR (R/I, M ) / ExtiR (R/I, M/JM ) Exti+1 R (R/I, JM ) hữu hạn sinh (do JM I -cofinite) Ta chứng minh M/JM I -cofinite Thật vậy, M J -minimax nên M/JM J -minimax (theo Hệ 1.4.5.) Mặt khác, Supp(M/JM ) ⊆ Supp(M ) ∩ V (J) ⊆ V (J) (theo 1.1.3.), suy M/JM J -xoắn Khi đó, theo 1.4.3 suy M/JM minimax (1) Hơn nữa, Supp(M ) ⊆ W (I, J) nên M (I, J)-xoắn, từ M/JM I -xoắn (theo 2.1.7.) (2) Do (∗) khớp ngắn nên ta có dãy khớp dài sau HomR (R/I, M ) / HomR (R/I, M/JM ) / Ext1R (R/I, JM ) HomR (R/I, M ) ∼ = (0 :M I) hữu hạn sinh Ext1R (R/I, JM ) hữu hạn sinh Từ (0 :M/JM I) ∼ = HomR (R/I, M/JM ) hữu hạn sinh (3) Từ (1), (2), (3) Mệnh đề 1.5.3 suy M/JM I -cofinite Suy ExtiR (R/I, M ) hữu hạn sinh Từ ta có điều phải chứng minh Định lí 2.3.3 Cho số tự nhiên n M R-môđun thỏa mãn i ExtnR (R/I, M ) R-môđun hữu hạn sinh i (M ) (I, J)-cofinite với i < n ii HI,J n (M ) cho Ext1 (R/I, N ) hữu hạn sinh Nếu N mơđun HI,J R n (M )/N ) R-môđun hữu hạn sinh HomR (R/I, HI,J Chứng minh Bước Ta chứng minh định lí với N = quy nạp theo n 30 Xét dãy khớp ngắn / ΓI,J (M ) / / M M / (∗) Với n = 0, ta chứng minh HomR (R/I, ΓI,J (M )) hữu hạn sinh Điều dễ thấy HomR (R/I, ΓI,J (M )) ∼ = HomR (R/I, M ) = Ext0R (R/I, M ) hữu hạn sinh (theo Hệ 2.1.9.) Với n > 0, giả sử định lí đến n − Giả sử M R-môđun thỏa n (M )) hữu hạn sinh Thật điều kiện định lí, ta chứng minh HomR (R/I, HI,J i (L) ∼ H i+1 (M ) (I, J)-cofinite với i < n − 1, vậy, theo bổ đề 2.1.15 ta có HI,J = I,J n n−1 (L)) ∼ Hom (R/I, H n (M )) ∼ Extn−1 = R R (R/I, L) = ExtR (R/I, M ) HomR (R/I, H Từ dãy khớp (∗), tác dụng hàm tử HomR (R/I, −) ta dãy khớp ExtnR (R/I, M ) / / ExtnR (R/I, M ) Extn+1 R (R/I, ΓI,J (M )) (M ) (I, J)-cofinite nên Exti (R/I, Γ Mặt khác, ΓI,J (M ) = HI,J I,J (M )) hữu hạn R ∼ sinh với i ≥ Extn (R/I, M ) hữu hạn sinh Từ suy Extn−1 R (R/I, L) = ExtnR (R/I, M ) hữu hạn sinh Áp dụng giả thiết quy nạp môđun L, ta n (M )) ∼ Hom (R/I, H n−1 (L)) hữu hạn sinh Bước Ta chứng HomR (R/I, HI,J = R I,J minh định lí với N = Ta xét dãy khớp sau / N / n (M ) HI,J / n (M )/N HI,J /0 Tác dụng hàm tử HomR (R/I, −) ta dãy khớp sau n (M )) HomR (R/I, HI,J / n (M )/N ) HomR (R/I, HI,J / Ext1 (R/I, N ) R n (M )) Ext1 (R/I, N ) hữu hạn sinh, suy Kết hợp với HomR (R/I, HI,J R n (M ))/N hữu hạn sinh HomR (R/I, HI,J i (M ) Hệ 2.3.4 Cho M R-môđun hữu hạn sinh số tự nhiên n thỏa mãn HI,J i (M ) hữu hạn sinh với i < n J -minimax với i < n Khi đó, JHI,J n (M )) hữu hạn sinh HomR (R/I, HI,J 31 Chứng minh Quy nạp theo n Với n = 0, chứng minh HomR (R/I, ΓI,J (M )) hữu hạn sinh Thật vậy, ΓI,JM (M ) môđun M hữu hạn sinh R vành (M )) hữu hạn sinh Noether nên ΓI,J (M ) hữu hạn sinh Từ HomR (R/I, HI,J n (M )) hữu Với n > 0, giả sử hệ đến n−1 Ta chứng minh HomR (R/I, HI,J i (M )) R-môđun hữu hạn sinh hạn sinh Theo giả thiết quy nạp HomR (R/I, HI,J i (M ) (I, J)-cofinite với i < n Do H i (M ) với i < n Ta chứng minh HI,J I,J i (M )) ⊆ W (I, J) Mặt khác, JH i (M ) môđun I (I, J)-xoắn nên Supp(HI,J I,J i ∼ i cofinite :HI,J (M ) I = HomR (R/I, HI,J (M )) hữu hạn sinh nên theo Bổ đề i (M ) (I, J)-cofinite với i < n Khi đó, mơđun M thỏa 2.3.2 suy HI,J điều kiện Định lí 2.3.3 Từ suy điều phải chứng minh i (M ) (I, J)-cofinite với Định lí 2.3.5 Cho số tự nhiên n R-môđun M thỏa HI,J i < n n i Nếu Extn+1 R (R/I, M ) hữu hạn sinh ExtR (R/I, HI,J (M )) hữu hạn sinh n+1 i Nếu ExtiR (R/I, M ) hữu hạn sinh với i ≥ HomR (R/I, HI,J (M )) hữu hạn sinh n (M )) hữu hạn sinh Ext2R (R/I, HI,J Chứng minh i Quy nạp theo n Xét dãy khớp ngắn sau / ΓI,J (M ) / M / M / (∗) Với n = 0, ta chứng minh Ext1R (R/I, ΓI,J (M )) hữu hạn sinh Thật vậy, tác động hàm tử HomR (R/I, −) vào dãy khớp ta dãy khớp HomR (R/I, M ) / Ext1R (R/I, ΓI,J (M )) / Ext1 (R/I, M ) R Trong HomR (R/I, M ) = (theo 2.1.9.), Ext1R (R/I, M ) hữu hạn sinh R (M )) = Ext1 (R/I, Γ vành Noether nên Ext1R (R/I, HI,J I,J (M )) hữu hạn sinh Với R n > 0, giả sử định lí đến n − Giả sử Extn+1 R (R/I, M ) hữu hạn sinh, ta chứng n (M )) hữu hạn sinh Từ Bổ đề 2.1.15 ta có Ext1 (R/I, H n (M )) ∼ minh Ext1R (R/I, HI,J = R I,J 32 n−1 i−1 i (M ) (I, J)-cofinite với i − < n − Ext1R (R/I, HI,J (L), HI,J (L) ∼ = HI,J ExtnR (R/I, L) ∼ = Extn+1 R (R/I, M ) Do (∗) dãy khớp nên dãy sau khớp Extn+1 R (R/I, M ) / / Extn+2 (R/I, Γ Extn+1 R (R/I, M ) I,J M ) R n+2 Extn+1 R (R/I, M ) hữu hạn sinh theo giả thiết ExtR (R/I, ΓI,J (M )) hữu (M ) (I, J)-cofinite) Từ suy Extn (R/I, L) ∼ hạn sinh (do ΓI,J (M ) = HI,J = R Extn+1 R (R/I, M ) hữu hạn sinh Áp dụng giả thiết quy nạp môđun L, ta n (M )) ∼ Ext1 (R/I, H n−1 (L)) hữu hạn sinh Ext1R (R/I, HI,J = R I,J (M )) hữu hạn ii Chiều thuận Quy nạp theo n Với n = 0, ta có HomR (R/I, HI,j sinh Ta chứng minh Ext2R (R/I, ΓI,J (M )) hữu hạn sinh Do (∗) dãy khớp nên dãy sau khớp / Ext1R (R/I, M ) / / Ext2R (R/I, ΓI,J (M )) Ext2R (R/I, M ) / Ext2R (R/I, M ) hữu hạn sinh (giả thiết), Ext1R (R/I, M ) ∼ = HomR (R/I, L) ∼ = (M ))) hữu hạn sinh Từ Ext2 (R/I, Γ HomR (R/I, ΓI,J (L) ∼ = HomR (R/I, HI,J I,J (M )) R hữu hạn sinh Với n > 0, giả sử định lí đến n − Giả sử môđun M thỏa n (M )) hữu hạn sinh Tác động điều kiện định lí, ta chứng minh Ext2R (R/I, HI,J hàm tử HomR (R/I, −) vào (∗) ta khớp dài / Exti R (R/I, M ) / Exti R (R/I, M ) / Exti+1 (R/I, Γ R I,J (M )) / ExtiR (R/I, M ) hữu hạn sinh theo giả thiết Exti+1 R (R/I, ΓI,J (M )) hữu (M ) (I, J)-cofinite) Từ suy Exti−1 (R/I, L) ∼ hạn sinh (do ΓI,J (M ) = HI,J = R ExtiR (R/I, M ) hữu hạn sinh (theo Bổ đề 2.1.15.) Áp dụng giả thiết quy nạp đối n (M )) ∼ Ext2 (R/I, H n−1 (L)) hữu hạn sinh với môđun L Ext2R (R/I, HI,J = R I,J Chiều đảo Quy nạp theo n Với n = 0, ta có Ext2R (R/I, ΓI,j (M )) ExtiR (R/I, M ) hữu hạn sinh với i ≥ Từ đó, dãy (∗) khớp nên Ext1R (R/I, M ) hữu (M )) ∼ Ext1 (R/I, M ) hữu hạn sinh Với n > 0, hạn sinh suy HomR (R/I, HI,J = R 33 giả sử định lí đến n − Giả sử mơđun M thỏa điều kiện định lí Ta n+1 chứng minh HomR (R/I, HI,J (M )) hữu hạn sinh Thật vậy, theo Bổ đề 2.1.15.ta i i−1 ∼ ∼ i có Exti−1 R (R/I, L) = ExtR (R/I, M ), HI,J (L) = HI,J (M ) (I, J)-cofinite với n−1 n (M )) hữu hạn sinh Từ dãy i − ≥ Ext2R (R/I, HI,J (L)) ∼ = Ext2R (R/I, HI,J (∗) khớp ta có dãy khớp sau ExtiR (R/I, M ) / Exti R (R/I, M ) / Exti+1 (R/I, Γ R I,J (M )) ExtiR (R/I, M ) hữu hạn sinh (giả thiết) Exti+1 R (R/I, ΓI,J (M )) hữu hạn (M ) (I, J)-cofinite) Từ Exti−1 (R/I, L) ∼ Exti (R/I, M ) sinh (do ΓI,J (M ) = HI,J = R R n+1 hữu hạn sinh Áp dụng giả thiết quy nạp môđun L HomR (R/I, HI,J (M )) ∼ = n (L)) hữu hạn sinh HomR (R/I, HI,J i (M ) = 0} Khi Hệ 2.3.6 Cho M R-môđun hữu hạn sinh t := inf {i ∈ N|HI,J đó, t (M )) hữu hạn sinh i Ext1R (R/I, HI,J t (M )) hữu hạn sinh Hom (R/I, H t+1 (M )) hữu hạn ii Ext2R (R/I, HI,J R I,J sinh i (M ) = suy H i (M ) (I, J)-cofinite Chứng minh Với i < t, ta có HI,J I,J i Do M hữu hạn sinh nên Extt+1 R (R/I, M ) ExtR (R/I, M ) hữu hạn sinh với i ≥ Từ đó, theo Định lí 2.3.5 suy điều phải chứng minh 2.4 Môđun (S, I, J)-cominimax Trong chương này, ta giả thiết S phạm trù Serre Từ đó, luận văn giới thiệu lớp môđun (S, I, J)-cominimax mở rộng tự nhiên khái niệm môđun (I, J)-cominimax Định nghĩa 2.4.1 Cho M R-môđun M gọi môđun (S, I, J)-cominimax thỏa điều kiện 34 i Supp(M ) ⊆ W (I, J) ii ExtiR (R/I, M ) ∈ S với i ≥ Ta kí hiệu C(S, I, J) tập tất mơđun (S, I, J)-cominimax Ví dụ 2.4.2 Với M R-môđun thuộc S thỏa Supp(M ) ⊆ W (I, J) M mơđun (S, I, J)-cominimax Thật vậy, M thuộc S nên ExtiR (R/I, M ) thuộc S với i ≥ (do Bổ đề 1.6.3.) Từ suy M thuộc C(S, I, J) Mệnh đề 2.4.3 Cho dãy khớp ngắn R-môđun / L f /M g / / N Nếu hai ba môđun L, M, N ∈ C(S, I, J) mơđun cịn lại thuộc C(S, I, J) Chứng minh Do dãy khớp ngắn nên ta có dãy khớp dài sau / ExtiR (R/I, M ) / ExtiR (R/I, L) / Exti+1 R (R/I, N ) / Ta chứng minh trường hợp N, M ∈ C(S, I, J) Khi đó, Exti+1 R (R/I, N ) ExtiR (R/I, M ) ∈ S với i ≥ Từ dãy khớp dài ta có dãy khớp ngắn sau / M / Exti R (R/I, L) / N /0 M N môđun môđun ExtiR (R/I, M ) Exti+1 R (R/I, N ) thuộc S , suy M , N thuộc S , từ ExtiR (R/I, L) thuộc S (theo Bổ đề 1.6.3.) Vì L thuộc C(S, I, J) Chứng minh tương tự cho trường hợp lại Hệ 2.4.4 Cho M, N thuộc C(S, I, J) f : M −→ N đồng cấu R-môđun Nếu ba mơđun Kerf, Imf, Cokerf thuộc C(S, I, J) hai mơđun cịn lại thuộc C(S, I, J) Chứng minh Tương tự Hệ 2.2.4 sử dụng Mệnh đề 2.2.3 35 i (M ) thuộc C(S,I, J) với Mệnh đề 2.4.5 Cho số tự nhiên n M R-môđun thỏa HI,J i ≤ n (tương ứng với i) Khi đó, ExtiR (R/I, M ) thuộc S với i ≤ n (tương ứng với i) Chứng minh Quy nạp theo n Với n = 0, ta chứng minh HomR (R/I, M ) thuộc S (M ) thuộc C(S,I, J) nên Thật vậy, ΓI,J (M ) = HI,J HomR (R/I, M ) ∼ = HomR (R/I, ΓI,J (M )) = Ext0R (R/I, ΓI,J (M )) thuộc S Với n > i thuộc C(S, I, J) với 0, giả sử mệnh đề đến n − Gọi M R-môđun thỏa HI,J i ≤ n Ta chứng minh ExtiR (R/I, M ) thuộc S với i ≤ n Theo Bổ đề 2.1.15 i−1 i (M ) thuộc C(S, I, J) Exti−1 (R/I, L) ∼ Exti (R/I, M ) với ta có HI,J (L) ∼ = HI,J = R R i ≤ n Áp dụng giả thiết quy nạp môđun L, ta ExtiR (R/I, M ) ∼ = Exti−1 R (R/I, L) thuộc S Xét dãy khớp ngắn / / ΓI,J (M ) /M M / Tác động hàm tử HomR (R/I, −) ta dãy khớp ExtiR (ΓI,J (M )) / ExtiR (R/I, M ) / ExtiR (R/I, M ) (M ) ExtiR (R/I, M ) ExtiR (R/I, ΓI,J (M )) thuộc S (do ΓI,J (M ) = HI,J thuộc C(S,I, J) Từ suy ExtiR (R/I, M ) thuộc S Mệnh đề 2.4.6 Cho số tự nhiên n M R-môđun thỏa ExtiR (R/I, M ) thuộc S với i (M ) thuộc C(S,I, J) với i = n Khi đó, H n (M ) thuộc C(S,I, J) i ≥ HI,J I,J Chứng minh Quy nạp theo n tương tự Mệnh đề 2.2.6 Xét dãy khớp ngắn / ΓI,J (M ) / M / M / (∗) i (M ) ∈ C(S,I, J) với Với n = 0, ta có ExtiR (R/I, M ) ∈ S với i ≥ HI,J i > Ta chứng minh ΓI,J (M ) ∈ S Thật vậy, ΓI,J (M ) (I, J)-xoắn nên 36 Supp(ΓI,J (M )) ⊆ W (I, J) Do dãy (∗) khớp nên ta có dãy khớp dài sau / Exti−1 R (R/I, M ) / ExtiR (R/I, ΓI,J (M )) ExtiR (R/I, M ) i−2 i−1 ExtiR (R/I, M ) ∈ S Mặt khác, theo Bổ đề 2.1.15 ta có HI,J (L) ∼ (M ) ∈ = HI,J i−2 ∼ C(S, I, J) suy Exti−1 R (R/I, M ) = ExtR (R/I, L) ∈ S (theo Mệnh đề 2.4.5.) Từ ExtiR (R/I, ΓI,J (M ) ∈ S Với n > Giả sử mệnh đề đến n − Giả sử M thỏa n (M ) ∈ C(S, I, J) Theo Bổ đề 2.1.15 ta có điều kiện định lí Ta chứng minh HI,J i−1 i (M ) ∈ C(S, I, J) với i = n Exti−1 (R/I, L) ∼ Exti (R/I, M ) HI,J (L) ∼ = HI,J = R R với i > Do dãy (∗) khớp ngắn nên ta có dãy khớp sau / ExtiR (R/I, M ) / ExtiR (R/I, M ) Exti+1 R (R/I, ΓI,J (M )) ExtiR (M ) ∈ S (giả thiết) Exti+1 R (R/I, ΓI,J (M )) ∈ S (do ΓI,J (M ) = (M ) ∈ C(S, I, J)) Từ đó, Exti−1 (R/I, L) ∼ Exti (R/I, M ) ∈ S Áp dụng giả HI,J = R R n (M ) ∼ H n−1 (L) ∈ C(S, I, J) thiết quy nạp cho môđun L, ta HI,J = I,J i (M ) ∈ C(S, I, J) với Hệ 2.4.7 Cho số tự nhiên n R-môđun M ∈ S thỏa HI,J n (M ) ∈ C(S, I, J) i = n Khi đó, HI,J Chứng minh Sử dụng Bổ đề 1.6.3 Mệnh đề 2.4.6 Mệnh đề 2.4.8 Cho số tự nhiên n R-môđun M thỏa mãn i ExtnR (R/I, M ) ∈ S i (M )) ∈ S với i < n j ≥ ii ExtjR (R/I, HI,J n (M ) cho Ext1 (R/I, N ) ∈ S Khi đó, với N môđun HI,J R n (M )/N ) ∈ S HomR (R/I, HI,J Chứng minh Bước Ta chứng minh định lí với N = quy nạp theo n Xét dãy khớp ngắn / ΓI,J (M ) / M / M / (∗) 37 Với n = 0, HomR (R/I, M ) ∈ S Ta chứng minh HomR (R/I, ΓI,J (M )) ∈ S Điều dễ thấy HomR (R/I, ΓI,J (M )) ∼ = HomR (R/I, M ) Với n > 0, giả sử định lí n (M )) ∈ đến n−1 Giả sử M thỏa điều kiện i ii., ta chứng minh HomR (R/I, HI,J j n−1 i−1 S Theo Bổ đề 2.1.15 ExtR (R/I, L) ∼ (L)) ∼ = ExtnR (R/I, M ), ExtR (R/I, HI,J = i (M )) thuộc S với i < t, j ≥ 0, Hom (R/I, H n−1 (L)) ∼ ExtjR (R/I, HI,J = R I,J n (M )) Do dãy (∗) khớp ngắn nên ta có dãy khớp dài sau HomR (R/I, HI,J / ExtnR (R/I, M ) / ExtnR (R/I, M ) Extn+1 R (R/I, ΓI,J (M )) ExtnR (R/I, M ) ∈ S (do i.) Extn+1 R (R/I, ΓI,J (M )) ∈ S (do ΓI,J (M ) ∈ n ∼ C(S, I, J) theo ii.) Từ Extn−1 R (R/I, L) = ExtR (R/I, M ) ∈ S Áp dụng giả thiết n (M )) ∼ Hom (R/I, H n−1 (L)) quy nạp môđun L, suy HomR (R/I, HI,J = R I,J thuộc S Bước Ta chứng minh định lí với N = Xét dãy khớp ngắn / / N n (M ) HI,J / /0 n (M )/N HI,J Tác động hàm tử HomR (R/I, −) ta dãy khớp n (M )) HomR (R/I, HI,J / n (M )/N )) HomR (R/I, HI,J / Ext1R (R/I, N ) n (M )) ∈ S (bước 1.) Ext1 (R/I, N ) ∈ S Từ suy HomR (R/I, HI,J R n (M )/N ) ∈ S HomR (R/I, HI,J i (M ) ∈ C(S,I, J) với i < n Định lí 2.4.9 Cho số tự nhiên n R-mơđun M thỏa HI,J n (M )) ∈ S i Nếu ExtnR (R/I, M ) ∈ S HomR (R/I, HI,J n ii Nếu Extn+1 R (R/I, M ) ∈ S ExtR (R/I, HI,J (M )) ∈ S n+1 iii Nếu ExtiR (R/I, M ) ∈ S với i ≥ HomR (R/I, HI,J (M )) ∈ S n (M )) ∈ S Ext2R (R/I, HI,J i (M ) ∈ C(S, I, J) với i < n nên Extj (R/I, H i (M )) ∈ Chứng minh i Do HI,J I,J R 38 S Từ đó, theo Mệnh đề 2.4.8 ta có điều phải chứng minh ii Xét dãy khớp ngắn sau / ΓI,J (M ) / M / / M (∗) Chứng minh quy nạp theo n Với n = 0, ta có Ext1R (R/I, M ) ∈ S Tác dụng hàm tử HomR (R/I, −) vào dãy khớp ta dãy khớp sau / HomR (R/I, M ) / Ext1 (R/I, M ) Ext1R (R/I, ΓI,J (M )) R Trong HomR (R/I, M ) = Từ Ext1R (R/I, ΓI,J (M )) ∈ S (do Bổ đề 1.6.3.) Với n > 0, giả sử định lí đến n − Giả sử Extn+1 R (R/I, M ) ∈ S , ta chứng minh n (M )) ∈ S Do (∗) dãy khớp nên dãy sau khớp Ext1R (R/I, HI,J Extn+1 R (R/I, M ) / Extn+1 R (R/I, M ) / Extn+2 R (R/I, ΓI,J (M )) n+2 Extn+1 R (R/I, M ) ∈ S , ExtR (R/I, ΓI,J (M )) ∈ S (do ΓI,J (M ) = HI,J (M ) thuộc C(S, I, J)) ExtnR (R/I, L) ∼ = Extn+1 R (R/I, M ) ∈ S (theo Bổ đề 2.1.14.) Áp n−1 dụng giả thiết quy nạp môđun L, ta Ext1R (R/I, HI,J (L)) ∈ S Tiếp tục sử dụng Bổ đề 2.1.15 suy điều phải chứng minh (M )) ∈ S Ta chứng iii Chiều thuận Quy nạp theo n Với n = 0, HomR (R/I, HI,j minh Ext2R (R/I, ΓI,J (M )) ∈ S Do (∗) dãy khớp nên dãy sau khớp Ext1R (R/I, M ) / Ext2R (R/I, ΓI,J (M )) / Ext2R (R/I, M ) (M ) với Ext1R (R/I, M ) ∼ = HomR (R/I, L) ∼ = HomR (R/I, ΓI,J (L) ∼ = HomR (R/I, HI,J thuộc S Ext2R (R/I, M ) ∈ S (giả thiết) Từ Ext2R (R/I, ΓI,J (M )) ∈ S Với n > 0, giả sử định lí đến n − Gọi M thỏa điều kiện định lí, ta chứng n (M )) ∈ S Từ Bổ đề 2.1.15 ta có H i−1 (L) ∼ H i (M ) ∈ S minh Ext2R (R/I, HI,J = I,J I,J i−1 với i − < n − 1, ExtR (R/I, L) ∼ = ExtiR (R/I, M ) với i − ≥ n (L)) ∼ Hom (R/I, H n+1 (M )) ∈ S Từ đó, dãy (∗) khớp ta HomR (R/I, HI,J = R I,J 39 có ExtiR (R/I, M ) ∈ S Exti+1 R (R/I, ΓI,J (M )) ∈ S (do ΓI,J (M ) = HI,J (M ) ∈ i ∼ C(S,I, J)) nên Exti−1 R (R/I, L) = ExtR (R/I, M ) ∈ S Áp dụng giả thiết quy nạp đối n (M )) ∼ Ext2 (R/I, H n−1 (L)) ∈ S với môđun L Ext2R (R/I, HI,J = R I,J Chiều đảo Quy nạp theo n tương tự chiều thuận 40 KẾT QUẢ VÀ BÀN LUẬN Tóm lại, luận văn tơi trình bày chứng minh lại cách chi tiết kết báo [2] "Minimaxness of local cohomology modules defined by a pair of ideals", đăng tạp chí Honam Mathematical Joural A Abbasi H Roshan Shekalgourabi năm 2012 phần báo [5], [16] [17] Cụ thể, luận văn đề cập làm rõ vấn đề sau: Xậy dựng khái niệm môđun đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan (I, J) dựa hàm tử (I, J)-xoắn Từ chứng minh mối liên hệ mơđun đối đồng điều ∼ địa phương tích mở rộng i-chiều thông qua Bổ đề 2.1.15 " Exti−1 R (R/I, L) = i−1 i (M ) với i > 0, M = M/Γ ExtiR (R/I, M ) HI,J (L) ∼ = HI,J I,J (M ), E bao nội xạ M L = E/M " Khảo sát nghiên cứu tính chất lớp môđun (I, J)-cominimax, (I, J)-cofinite (S, I, J)-cominimax Trong lớp môđun (I, J)-cominimax, luận văn nghiên cứu tính J -minimax tích mở n (M )) trường hợp j = 0, 1, với điều kiện môđun đối đồng rộng ExtjR (R/I, HI,J i (M ) (I, J)-cominimax với i < n, n ∈ N chứng minh điều địa phương HI,J kết sau: n (M )) J -minimax (Định lí - Nếu ExtnR (R/I, M ) J -minimax HomR (R/I, HI,J 2.2.7.) n - Nếu Extn+1 R (R/I, M ) J -minimax ExtR (R/I, HI,J (M )) J -minimax (Định lí 2.2.10.) n+1 - Nếu ExtiR (R/I, M )) J -minimax với i ≥ HomR (R/I, HI,J (M )) J n (M )) J -minimax (Định lí 2.2.12.) minimax Ext2R (R/I, HI,J Trong lớp môđun (I, J)-cofinite, luận văn nghiên cứu tính hữu hạn sinh tích mở rộng n (M )) trường hợp j = 0, 1, với điều kiện môđun đối đồng điều ExtjR (R/I, HI,J i (M ) (I, J)-cofinite với i < n, n ∈ N chứng minh kết địa phương HI,J n (M )) hữu hạn sinh (Định lí - Nếu ExtnR (R/I, M ) hữu hạn sinh HomR (R/I, HI,J 41 2.3.3.) n - Nếu Extn+1 R (R/I, M ) hữu hạn sinh ExtR (R/I, HI,J (M )) hữu hạn sinh (Định lí 2.3.5.) n+1 - Nếu ExtiR (R/I, M ) hữu hạn sinh với i ≥ HomR (R/I, HI,J (M )) hữu hạn n (M )) hữu hạn sinh (Định lí 2.3.5.) sinh Ext2R (R/I, HI,J Trong lớp môđun (S, I, J)-cominimax, với S phạm trù Serre, luận văn chứng n (M )) thuộc phạm trù S minh điều kiện để tích mở rộng ExtjR (R/I, HI,J i (M ) ∈ trường hợp j = 0, 1, thơng qua Định lí 2.4.9 " Với R-môđun M thỏa HI,J C(S,I, J) với i < n n (M )) ∈ S i Nếu ExtnR (R/I, M ) ∈ S HomR (R/I, HI,J n ii Nếu Extn+1 R (R/I, M ) ∈ S ExtR (R/I, HI,J (M )) ∈ S n+1 iii Nếu ExtiR (R/I, M ) ∈ S với i ≥ HomR (R/I, HI,J (M )) ∈ S n (M )) ∈ S " Ext2R (R/I, HI,J 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2006), Đại số đồng điều, NXB Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Tiếng Anh A Abbasi and H Roshan Shekalgourabi (2012), "Minimaxness of local cohomology modules defined by a pair of ideals, Honam Mathematical Journal, 34(2), pp.161-169 Jafar Azami, Reza Naghipour and Bahram Vakili (2009), "Finiteness properties of local cohomology modules for a− minimax modules", Proceedings of the American Mathematical society, 137(2), pp.439-448 Mohsen Asgharzadeh and Massoud Tousi (2008), A unified approach to local cohomology modules using Serre classes Kh Ahmadi - Amoli and M.Y Sadeghi (2013), "On the local cohomology modules defined by a pair of ideals and serre subcategory", Journal of Mathematical Extension, 7(4), pp.47-62 M Aghapournahr, A J Taherizadeh and A Vahidi (2011), "Extension functors of local cohomology modules", Bull Iranian Math Soc, 37(3), pp.117-134 M H Bijan - Zadeh (1980), "A common generalization of local cohomology theories", Glasgow Math J., 21, pp.173-181 M P Brodmann and R Y Sharp (2013), Local Cohomology, Cambridge University Press, Cambridge Winfried Bruns and Jurgen Herzog (1997), Cohen - Macaulay rings, Cambridge University Press, Cambridge 10 Donatella Delfino and Thomas Marley (1997), "Cofinite modules and local cohomology", Journal of Pure and Applied Algebra, 121, pp.45-52 43 11 Brian Johson (2009), A theorem of Gruson, Cambridge University Press, Cambridge 12 Leif Melkersson (2005), "Modules cofinite with respect to an ideal", Journal of Algebra, 285, pp.649-668 13 H A Nielsen (2005), Elementary commutative algebra, University of Aarhus 14 Sh Payrovi and M Lotfi Parsa (2012), "Artinianness of local cohomology modules defined by a pair of ideals", Bull Malays Math Sci Soc, 35(4), pp.877-883 15 Balwant Singh (2011), Basic commutative algebra, Indian Institute of Technology Bombay, India 16 Ryo Takahashi, Yuji Yoshino, Takeshi Yoshizawa (2009), "Local cohomology based on a nonclosed support defined by a pair of ideals", Journal of Pure and Applied Algebra, 213, pp.582-600 17 A Tehranian and A Pour Eshmanan Talemi (2010), "Cofiniteness of local cohomology based on a non - closed support defined by a pair of ideals", Bull Iranian Math Soc, 36(2), pp.145-155 18 Helmut Zoschinger (1986), "Minimax - Moduln", J Algebra, 102, pp.1-32 ... ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN 11 2.1 Môđun đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan 11 2.2 Tính minimax mơđun đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan. .. tử đối đồng điều địa phương thứ i theo cặp iđêan (I, J) i (M ) môđun đối đồng điều thứ i theo cặp iđêan (I, J) ii Với M R -môđun, ta gọi HI,J i ≡ H i Điều cho thấy hàm tử đối đồng điều địa phương. .. HI,J hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo cặp iđêan (I, J) i (M ): HI,J môđun đối đồng điều địa phương thứ i theo cặp iđêan (I, J) Spec(R): tập iđêan nguyên tố vành R Supp(M ): giá môđun M