Tính minimax của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Nguyễn Thảo Nguyên TÍNH MINIMAX CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Nguyễn Thảo Ngun TÍNH MINIMAX CỦA MƠĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG Chuyên ngành Mã số : Đại số lí thuyết số :60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh – 2017 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn “Tính minimax môđun đối đồng điều địa phương suy rộng” cơng trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn khoa học PGS.TS Trần Tuấn Nam Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Học viên thực luận văn Lê Nguyễn Thảo Nguyên LỜI CẢM ƠN Luận văn hồn thành khóa 25 đào tạo Thạc sĩ Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh, hướng dẫn PGS.TS Trần Tuấn Nam, trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn, người tạo cho tinh thần làm việc nghiêm túc dành thời gian, cơng sức giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh, người tận tình giảng dạy giúp đỡ tơi vượt qua khó khăn học tập Tôi xin chân thành cảm ơn thầy phịng Sau Đại Học, Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin cảm ơn bạn bè, người thân ủng hộ mặt để hồn thành tốt khóa học Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2017 Lê Nguyễn Thảo Nguyên MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết giá 1.2 Số chiều – chiều cao – dãy phần tử quy – độ sâu 1.3 Môđun đối đồng điều địa phương 1.4 Biến đổi iđêan 1.5 Dãy phổ 1.6 Môđun Artin Chương TÍNH MINIMAX CỦA MƠĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG 10 2.1 Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng số tính chất 10 2.2 Tính minimax mơ đun đối đồng điều địa phương suy rộng 16 KẾT LUẬN 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO 24 MỞ ĐẦU Môđun đối đồng điều địa phương nhà toán học Herzog đưa vào năm 1974 Cho R vành Noether có đơn vị  , I iđêan R , M N R -môđun Khi với số tự nhiên i , H Ii  M , N   lim ExtRi  M / I n M , N  n gọi môđun đối đồng điều địa phương suy rộng môđun N tương ứng với M Đây tổng qt hóa mơđun đối đồng điều địa phương Grothendieck Sau đó, vấn đề mơđun đối đồng điều địa phương suy rộng môđun minimax nhà toán học nghiên cứu phát triển: Nguyễn Tự Cường, Trần Tuấn Nam, Yan Gu, Saremi Hero,… Hiện nay, trở thành đề tài hấp dẫn nhà tốn học Nhiều tính chất mơđun đối đồng điều địa phương suy rộng tìm cịn nhiều tính chất mà nhà tốn học chưa khám phá hết Trong đó, tính minimax môđun đối đồng điều địa phương suy rộng vấn đề hấp dẫn Luận văn giới thiệu số tính chất mơđun đối đồng điều địa phương suy rộng, phần sau giới thiệu tính minimax Luận văn chia thành hai chương Chương Trình bày số kiến thức cần nắm để hiểu nội dung luận văn, bao gồm kết đại số giao hốn, mơđun đối đồng điều địa phương, iđêan ngun tố liên kết, … Chương Được chia thành phần Phần 2.1 trình bày tính chất mơđun đối đồng điều địa phương suy rộng Phần 2.2 trình bày tính minimax mơđun đối đồng điều địa phương suy rộng Mặc dù cố gắng trình làm luận văn kiến thức thân thời gian cịn hạn hẹp nên khơng thể tránh khỏi sai sót Rất mong nhận đánh giá nhận xét thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết giá Định nghĩa 1.1.1 Cho R vành, M R -môđun, iđêan nguyên tố P gọi iđêan nguyên tố liên kết M tồn x  M , x  : P  ann  x  Tập iđêan nguyên tố liên kết M kí hiệu Ass  M    Giá môđun M kí hiệu Supp  M   P  Spec  R  M p    Đặt V  I   P  Spec  R  I  P  Nếu M R -mơđun hữu hạn sinh Supp  M   V  ann  M   Nếu R vành Noether I iđêan R Supp  R / I   V  I  Mệnh đề 1.1.2 Cho R vành Noether, M R -môđun hữu hạn sinh, I iđêan R Khi Supp  M   V  I  tồn số nguyên k cho I kM  Mệnh đề 1.1.3 Cho M , N R -môđun hữu hạn sinh Khi đó: Supp  M R N   Supp  M   Supp  N  Hệ 1.1.4 Cho M R -môđun hữu hạn sinh, I iđêan R Khi đó: Supp  M / IM   V  I   V  ann  M    V  I  ann  M   Mệnh đề 1.1.5 Cho R vành Noether, M R -môđun khác 0:   i) Phần tử tối đại F  ann  x  x  M iđêan nguyên tố liên kết M hay Ass  M  khác rỗng ii) Tập ước không M hợp iđêan nguyên tố liên kết M Mệnh đề 1.1.6 Cho R vành Noether, M R -môđun hữu hạn sinh, N R mơđun Khi đó: Ass  HomR  M , N    Ass  N   Supp  M  Mệnh đề 1.1.7 Cho M , N, P  M  N  P  khớp thì: R -mơđun Nếu ta có dãy i) AssR  M   AssR  N   AssR  M   AssR  P  ii) Supp  N   Supp  M   Supp  P  Mệnh đề 1.1.8 Cho R vành Noether, M R -mơđun hữu hạn sinh Khi đó, ta có: i) Ass  M  tập hữu hạn ii) Ass  M   Supp  M  iii) Phần tử tối tiểu Ass  M  Supp  M  giống 1.2 Số chiều – chiều cao – dãy phần tử quy – độ sâu Một chuỗi môđun môđun M dãy  M i 0i n môđun M thỏa mãn  M  M1   M n  M Chiều dài chuỗi n Một chuỗi hợp thành M chuỗi tối đại môđun M tức thêm vào môđun Điều tương đương với việc môđun thương M i / M i 1 đơn Độ dài chuỗi hợp thành M đại lượng khơng đổi kí hiệu l  M  gọi độ dài môđun M Mệnh đề 1.2.1 Cho R vành Noether, M R -môđun hữu hạn sinh Khi điều sau tương đương: i) l  M    ii) Mọi iđêan nguyên tố thuộc Ass  M  iđêan tối đại R iii) Mọi iđêan nguyên tố thuộc Supp  M  iđêan tối đại R Hệ 1.2.2 Cho R vành Noether, M R -môđun hữu hạn sinh, N R -   mơđun Nếu l  N    l HomR  M , N    Do đó, N R -mơđun Artin HomR  M , N  R -môđun Artin Mệnh đề 1.2.3 Giả sử môđun M có chuỗi hợp thành độ dài n Khi dãy mơđun M mở rộng thành chuỗi hợp thành Mệnh đề 1.2.4 M có chuỗi hợp thành M vừa thỏa điều kiện tăng vừa thỏa điều kiện giảm Mệnh đề 1.2.5 Cho dãy khớp ngắn  M   M  M   , ta có: l  M   l  M   l  M    Định nghĩa 1.2.6 Cho R vành khác 0, P iđêan nguyên tố R Chiều cao iđêan nguyên tố P độ dài lớn dãy iđêan nguyên tố P0  P1   Pn  P , kí hiệu htP Từ định nghĩa ta thấy htP  P iđêan nguyên tố tối tiểu vành R Nếu I iđêan R , ta định nghĩa chiều cao I sau   htI  inf htP P V  I  Cận tất độ dài dãy iđêan nguyên tố R gọi chiều Krull R Kí hiệu dimR Ta có dim R  suphtP P  SpecR   Số chiều R -mơđun M , kí hiệu dim M  dim R / ann  M  M  ta kí hiệu dim M  1 M  Cho M R -môđun Một phần tử r  R gọi M -chính quy rx  với x  M , x  Định nghĩa 1.2.7 Một dãy phần tử a1 , a2 , , an R M -dãy (hay M dãy quy) thỏa hai điều kiện sau: (i) a1 M -chính quy, a2 M / a1M -chính quy,…, an M /  a1a2 an1  M -chính quy (ii) M /  a1a2 an  M  Định nghĩa 1.2.8 Cho M môđun hữu hạn sinh khác vành Noether địa phương ( R, m ) , chiều sâu M R độ dài lớn M -dãy m, kí hiệu depthR M hay depthM 1.3 Môđun đối đồng điều địa phương Trong phần này, vành R xem vành giao hoán có đơn vị I iđêan khác khơng R Định nghĩa 1.3.1 Với R -môđun M , tập I  M   n 0 : M I n   x  M : n  , I n x  0 gọi tập phần tử M bị linh hóa lũy thừa iđêan I Chú ý  I  M  môđun M   Với đồng cấu R -mơđun f : M  N ta có f  I  M    I  N  , có ánh xạ cảm sinh  I  f  :  I  M    I  N  thu hẹp f  I  M  Nếu g : M  N f : N  L đồng cấu R  môđun r  R , I  f g   I  f  I  g  , I  f  g   I  f    I  g   I  rf   r I  f  ,  I  Id M   IdI  M  Do  I trở thành hàm tử hiệp biến cộng tính từ phạm trù R -mơđun vào  I cịn gọi hàm tử I -xoắn Mệnh đề 1.3.2 Cho I , J hai iđêan vành R , I  J  I   J Mệnh đề 1.3.3 Hàm tử I -xoắn  I : M  R   M  R  hàm tử khớp trái Định nghĩa 1.3.4 Với i  * , hàm tử dẫn xuất phải thứ i  I kí hiệu H Ii xem hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i tương ứng với I Ta nói M I -xoắn tự  I  M   I -xoắn  I  M   M Mệnh đề 1.3.5 Cho M R -môđun i) Nếu I chứa phần tử không ước M , M I -xoắn tự tức  I  M   ii) Giả sử M hữu hạn sinh Khi M I -xoắn tự I chứa phần tử không ước không M Mệnh đề 1.3.6 Với R -môđun M , môđun M /  I  M  I -xoắn tự Định nghĩa 1.3.7 Cho M R -môđun nội xạ dãy khớp tắc sau chẻ:  I  M   M  M / I  M   Định nghĩa 1.3.8 Cho M R -môđun Xét phép giải nội xạ M 10 Chương TÍNH MINIMAX CỦA MƠĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG 2.1 Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng số tính chất Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng Herzog đưa năm 1974 Đó mở rộng mơđun đối đồng điều địa phương Grothendieck Nó có số tính chất tính triệt tiêu, tính hữu hạn,… Cho R vành Noether có đơn vị  , I iđêan R , M N R -mơđun Khi với số tự nhiên i , H Ii  M , N   lim ExtRi  M / I n M , N  n gọi môđun đối đồng điều địa phương suy rộng môđun N tương ứng với M Ta có H Ii  N   H Ii  R, N  với N R -mơđun Một số tính chất mơđun đối đồng điều điều địa phương suy rộng: Mệnh đề 2.1.1 H I0  M , N   H I0  Hom  M , N    Hom  M , H I0  N   Chứng minh: H I0  M , N   lim Ext R0  M / I n M , N   lim Hom  M / I n M , N  n n   lim Hom M , Hom  R / I n , N  n     Hom M ,lim Hom  R / I n , N   Hom  M , H I0  N   n H I0  M , N   lim Hom  M / I n M , N   lim Hom  R / I n , Hom  M , N   n n  H I0 Hom  M ,  N   Nếu I , J iđêan R  I   J  M     I  J  M  với R -môđun M Tiếp theo, ta khái quát môđun đối đồng điều địa phương suy rộng sau: Mệnh đề 2.1.2 Cho I , J iđêan R Khi ta có: I  J  M , N   I  M , J  N    J  M , I  N  11 với R -môđun M , N Chứng minh: Từ mệnh đề 2.1.1 ta có  I  M , N   HomR  M ,  J  N   Do    I  J  M , N   HomR  M ,  I  J  N    HomR M ,  I   J  N     I  M ,  J  N   Tương tự ta có  I  J  M , N    J  M ,  I  N   Bổ đề 2.1.3 Cho R vành Noether giao hoán, M , N R -mơđun hữu hạn sinh Khi Ext n  M , N  hữu hạn sinh với n  Chứng minh: Giả sử M  x1 , x2 , , xk , F0   R, d0 : F0  M , d0  ei   xi , K  ker d (với ei k phần tử sở F0 ) nên ta có dãy khớp  K0  F0  M  Mà K0  F0 nên K hữu hạn sinh (do R vành Noether) Vì ta có dãy khớp  K1  F1  K0  Trong F1 R -mơđun tự với sở có hữu hạn phần tử Tiếp tục trình, ta xây dựng phép giải tự M  Fn  Fn1   F1  F0  M  Fn R -mơđun tự với sở có hữu hạn phần tử Áp dụng Hom  , N  vào phép giải tự phía  Hom  F0 , N   Hom  F1 , N   Vì Fn tự có sở hữu hạn nên Hom  Fn , N    N (tổng hữu hạn) với n  Do ta có Ext n  M , N  hữu hạn sinh với n  12 Hệ 2.1.4 Nếu M , N R -môđun hữu hạn sinh N I -xoắn Khi Ass  H Ii  M , N   hữu hạn Thêm H Ii  M , N  I -cofinite với i  Chứng minh: Do N I -xoắn nên H Ii  M , N   ExtRi  M , N  với i  Vậy H Ii  M , N  hữu hạn sinh với i  Do ta có điều cần chứng minh Mệnh đề 2.1.5 Cho M , N R -môđun t số tự nhiên Nếu H Ii  N  Artin với i  t H Ii  M , N  Artin với i  t Chứng minh: Ta có dãy phổ Grothendieck E2p ,q  Ext p  M , H Iq  N    H Ip q  M , N  p Tồn lọc hữu hạn   t 1H t   t H t    1H t   H t  H It  M , N  Sao cho Ep ,q   p H pq /  p 1H p q , Ei ,t i   i H t /  i 1H t , với i  t Vì ta có dãy khớp   i 1H t   i H t  Ei ,t i  Nhưng Ep ,q  E2p ,q Ep ,q Artin  t i H t Artin với i  t Vì   1H i  H Ii  M , N   E0,i  khớp nên H Ii  M , N  Artin với i  t Mệnh đề 2.1.6 Cho M , N R -môđun hữu hạn sinh Nếu H It  M , R / P  R môđun hữu hạn sinh với P  Supp  N  H It  M , N  R -môđun hữu hạn sinh Chứng minh: Ta có lọc hữu hạn môđun N  N0  N1   Nk  N thỏa điều kiện với  i  k ta có Ni / Ni 1  R / Pi với Pi  Supp  N  Do ta có dãy khớp ngắn 13  Ni 1  Ni  R / Pi  cảm sinh dãy khớp  H It  M , Ni 1   H It  M , Ni   H It  M , R / Pi   Theo giả thiết quy nạp theo i ta có H It  M , Ni  hữu hạn sinh H It  M , N  R -môđun hữu hạn sinh Mệnh đề 2.1.7 Cho M , N R -môđun hữu hạn sinh Nếu H It  M , R / P  R môđun Artin với P  Supp  N  H It  M , N  R -môđun Artin Chứng minh: Ta có lọc hữu hạn mơđun N  N0  N1   Nk  N thỏa điều kiện với  i  k ta có Ni / Ni 1  R / Pi với Pi  Supp  N  Do ta có dãy khớp ngắn  Ni 1  Ni  R / Pi  cảm sinh dãy khớp  H It  M , Ni 1   H It  M , Ni   H It  M , R / Pi   Theo giả thiết quy nạp theo i ta có H It  M , Ni  Artin H It  M , N  R  môđun Artin Hệ 2.1.8 Cho M , N , L R -môđun hữu hạn sinh, Supp  L   Supp  N  Nếu H It  M , R / P  R -môđun Artin với P  Supp  N  H It  M , L  R -môđun Artin Mệnh đề 2.1.9 Cho t số nguyên không âm cho H Ii  M , N  R -môđun hữu hạn sinh với i  t Khi đó, HomR  R / I , H It  M , N   R -môđun hữu hạn sinh Chứng minh:  Nếu t  , ta có H I0  M , N    I  HomR  M , N   hữu hạn sinh HomR  R / I , H It  M , N   R -môđun hữu hạn sinh 14  Nếu t  Dãy khớp  I  N   N  N / I  N   cảm sinh dãy khớp  H It  M ,  I  N    H It  M , N   H It  M , N /  I  N    f g Do  I  N  I -xoắn hữu hạn sinh nên theo bổ đề 2.1.3, ta có H Ii  M ,  I  N   hữu hạn sinh H It  M ,  I  N   imf hữu hạn sinh Như ta có hai dãy khớp sau:  Imf  H It  M , N   Img   Img  H It  M , N /  I  N   Áp dụng hàm tử HomR  R / I ,   vào hai dãy khớp Để chứng minh HomR  R / I , H It  M , N   hữu hạn sinh ta cần chứng minh HomR  R / I , Img  hữu hạn sinh, để HomR  R / I , Img  hữu hạn sinh ta cần   chứng minh HomR R / I , H It  M , N /  I  N   hữu hạn sinh Do ta giả sử N I -xoắn, tồn x  I không ước N Đặt N  N / xN Dãy khớp sau: x  N N  N  cảm sinh dãy khớp  H It 1  M , N   H It 1  M , N   H It  M , N   H It  M , N   k x Theo giả thiết H It 1  M , N  hữu hạn sinh Imk hữu hạn sinh Xét dãy khớp sau:  Imk  H It 1  M , N   Imh  Ta có H It  M , N  hữu hạn sinh với i  t theo giả thiết quy nạp   HomR R / I , H It 1  m, N  hữu hạn sinh Như từ dãy khớp phía ta có 15 HomR  R / I , Imh  hữu hạn sinh Cuối ta xét dãy khớp:  Imh  H It  M , N   H It  M , N  x Áp dụng hàm tử HomR  R / I ,   vào dãy khớp Vì x  I nên ta có HomR  R / I , H It  M , N    HomR  R / I , Imh  R -môđun hữu hạn sinh Mệnh đề 2.1.10 Cho i số tự nhiên cho H It  M , N  hữu hạn sinh với i  t   Khi Ass HomR  R / I , H It  M , N   tập có hữu hạn phần tử Chứng minh: Ta có HomR  R / I , H It  M , N    HomR  R / I , imh  R -mơđun hữu hạn sinh   Ass HomR  R / I , H It  M , N   tập có hữu hạn phần tử Từ mệnh đề 1.1.6 ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 2.1.11 Cho M , N R -môđun hữu hạn sinh, m iđêan tối đại R Khi Hmi  M , N  môđun Artin với i Chứng minh: Xét  N  E  phép giải nội xạ môđun N    Khi ta có Hmi  M , N   H i HomR M , m  E   Thành phần thứ k phép giải nội xạ kí hiệu E k Vì mơđun thương môđun Artin môđun Artin nên cần chứng minh   HomR M , m  E k  Artin với k  Với P  Spec  R  , ta có  0,m  HomR M , m  E  R / P     HomR M , m  E  R / m      (vì E  R / m  m -xoắn)    16  Do HomR M , m  E k    tổng trực tiếp  k m , N   HomR M , m  E  R / m   Với  k m , N   dimR /m  ExtRk  R / m , N  m số Bass N tương ứng với iđêan m số hữu hạn   Do E  R / m  R -môđun Artin nên HomR M , m  E  R / m   R -mơđun Artin Vậy ta có điều phải chứng minh 2.2 Tính minimax mơ đun đối đồng điều địa phương suy rộng Định nghĩa 2.2.1 Môđun M gọi mơđun minimax có mơđun hữu hạn sinh N cho môđun thương M / N môđun Artin Rõ ràng môđun hữu hạn sinh môđun Artin minimax Chúng ta M , N R -môđun hữu hạn sinh môđun đối đồng điều địa phương H Ii  N  minimax với i  t H Ii  M , N  minimax Bổ đề 2.2.2 i) Cho  L  M  N  dãy khớp R -mơđun Khi M minimax N L minimax Khi thương mơđun minimax tổng trực tiếp hữu hạn môđun minimax minimax ii) Cho M , N R -môđun Nếu M minimax N hữu hạn sinh ExtRi  N , M  ToriR  N , M  minimax, với i  Chứng minh: i) ) Chúng ta xem chứng minh L môđun M N  M / L Nếu M minimax, từ định nghĩa ta dễ dàng suy L M / L minimax 17 ) Theo giả sử L M / L minimax Khi tồn mơđun hữu hạn sinh T L , cho L / T Artin Đặt M   L / T M   M / T Ta có dãy khớp  M   M   M  / M   với M  Artin M  / M  minimax (chú ý M  / M   M / L ) Bây giờ, M  / M  minimax nên từ định nghĩa ta suy tồn môđun hữu hạn sinh Q / M  M  / M  cho M  / Q Artin Vì Q / M  hữu hạn sinh nên suy Q  M   K với số môđun hữu hạn sinh K Q Khi từ Q / K  M  / K  M  ta có Q / K R  mơđun Artin Vì dãy khớp  Q / K  M  / K  M  / Q  suy M  / K Artin Hệ quả: M  môđun minimax Từ M   M / T ta có K  S / T với một vài môđun S M Với T K hữu hạn sinh, ta suy S hữu hạn sinh Bởi M / S   M / T  /  S / T   M  / K Artin, từ định nghĩa ta có M minimax ii) Ta cần chứng minh cho mơđun Ext , cịn mơđun Tor tương tự Vì R vành Noether N hữu hạn sinh, nên suy N có phép giải tự dn dn 1 d1 F :  Fn  Fn1   F1  F0  bao gồm môđun hữu hạn sinh tự Nếu Fi  n R với số nguyên n ExtRi  N , M   H i  HomR  F , M   thương n M Vì suy từ i) ta có ExtRi  N , M  minimax, với i  Định lí 2.2.3 Cho M , N R -môđun hữu hạn sinh H Ij  N  minimax, với j  t Khi H Ij  M , N  minimax, với j  t Chứng minh: Ta xét dãy phổ Grothendieck: 18 E2p ,q : ExtRp  M , H Iq  N    H Ip  q  M , N  p Từ Eip ,q thương E2p ,q , i  , từ 2.2.2 ta kết luận Eip ,q minimax i  2, p  0, q  t Ta có lọc hữu hạn:   j 1H j   j H j    1H j   H j  H Ij  M , N  cho Ei , j i   i H j /  i 1H j với  i  j Từ Eip ,q  Ep ,q với i đủ lớn, ta có Ep ,q minimax với q  t Từ sử dụng dãy khớp   i 1H j   i H j  Ei , j i  ta có H Ij  M , N  minimax, với j  t Hệ 2.2.4 Cho M , N R -môđun hữu hạn sinh H Ij  N  Artin, với j  t Khi H Ij  M , N  minimax, với j  t Chứng minh: Áp dụng 2.2.3 vào lớp môđun minimax bao gồm tất mơđun Artin Định lí 2.2.5 Cho M , N R -môđun hữu hạn sinh I iđêan R Cho t số nguyên không âm cho H Ii  M , N  R -môđun minimax, với i  t Khi HomR  R / I , H It  M , N   hữu hạn sinh Đặc biệt AssR  H It  M , N   hữu hạn Chứng minh: Ta chứng minh quy nạp theo t  t  (đúng H I0  M , N   HomR  M ,  I  N   hữu hạn sinh HomR  R / I , H I0  M , N    Giả sử giả thiết quy nạp với t  kết chứng minh i  t Dãy khớp   I  N   N  N /  I  N   cảm sinh dãy khớp dài:    H Ii  M ,  I  N    H Ii  M , N   H Ii  M , N/  I  N    19 H Ii  M ,  I  N   hữu hạn sinh Im   Bằng cách sử dụng tính khớp trái hàm tử HomR  R / I ,   dãy khớp sau:  Im    H Ii  M , N   Im      Im     H Ii  M , N/  I  N     Từ ta HomR R / I , H It  M , N /  I  N   hữu hạn sinh Từ đó, ta giả sử N R -mơđun I -xoắn tự tồn x  I cho N quy x Bây giờ, dãy khớp  N  N  N / xN  cảm sinh dãy khớp dài:  H Ii  M , N   H Ii  M , N   H Ii  M , N / xN   H Ii 1  M , N   H Ii 1  M , N   x x Vì ta kết luận dãy khớp  H Ii 1  M , N  / xH Ii 1  M , N   H Ii 1  M , N / xN   :H i  M , N  x  I Từ i) 2.2.2 giả thiết H Ii 1  M , N / xN  minimax với i  t Vì giả thiết quy nạp HomR  R / I , H It 1  M , N / xN   hữu hạn sinh Mặt khác, dãy khớp  H It 1  M , N  / xH It 1  M , N   H It 1  M , N / xN   :H t  M , N  x  I cảm sinh dãy khớp dài:  HomR  R / I , H It 1  M , N  / xH It 1  M , N    HomR  R / I , H It 1  M , N / xN      HomR R / I ,0 :H t  M , N  x  Ext R1  R / I , H It 1  M , N  / xH It 1  M , N   I HomR  R / I , H It 1  M , N  / xH It 1  M , N   hữu hạn sinh, từ HomR  R / I , H It 1  M , N / xN   hữu hạn sinh Cũng vậy, từ mệnh đề 1.6.2 ta có Ext1R  R / I , H It 1  M , N  / xH It 1  M , N   hữu   hạn sinh Vì HomR R / I ,0 :H t  M , N  x hữu hạn sinh I Bây giờ, với x  I ta có kết sau: 20 Hệ 2.2.6 Cho N R -môđun hữu hạn sinh t số nguyên không âm cho H Ii  N  minimax, với i  t Khi H Ii  N  I -cofinite, với i  t Nghĩa ExtRj  R / I , H Ii  N   hữu hạn sinh, với j với i  t Chứng minh: Ta chứng minh quy nạp theo i  i  (đúng H I0  N  hữu hạn sinh)  Cho i  kết chứng minh với giá trị nhỏ i Bằng giả thiết quy nạp H Ij  N  I  cofinite với j  0, , i  Từ định lí 2.2.5, HomR  R / I , H Ii  N   hữu hạn sinh từ mệnh đề 1.6.2, ta thu kết Hệ 2.2.7 Cho M N hai R -môđun hữu hạn sinh cho t  số nguyên cho H Ii  M , N  minimax với i  t Khi H Ii  M , N  I -cofinite với i  t Hay  inf i H Ii  M , N  không minimax   inf i H  M , N  i I khơng I -cofinite Định lí 2.2.8 Cho R vành Noether, M , N R -môđun hữu hạn sinh I iđêan R Cho t số nguyên không âm cho H Ii  M , N  minimax, với i  t L môđun minimax H Ii  M , N  Khi HomR  R / I , H It  M , N  / L  hữu hạn sinh Đặc biệt, tập Ass  H It  M , N  / L  hữu hạn Chứng minh: Từ định lí 2.2.5, HomR  R / I , H It  M , N   hữu hạn sinh Mặt khác, theo mệnh đề 1.6.2 L I -cofinite Bây giờ, dãy khớp  L  H It  M , N   H It  M , N  / L  cảm sinh dãy khớp sau: HomR  R / I , H It  M , N    HomR  R / I , H It  M , N  / L   Ext R1  R / I , L  Hệ HomR  R / I , H It  M , N  / L  hữu hạn sinh 21 Mệnh đề 2.2.9 Cho M R -môđun Khi khẳng định sau tương đương với i) M R -môđun minimax ii) M m Rm -môđun minimax với m  MaxR M R -môđun Lasker yếu Chứng minh: Ở ta chứng minh ii)  i) Ta SuppR  M / N   MaxR M / N Artin Bằng giả thiết AssR  M / N  tập hữu hạn chứa iđêan cực đại, với iđêan cực đại m, Rm môđun  M / N m môđun minimax với giá nằm iđêan cực đại Rm Vì M / N mơđun Artin N mơđun M ,  M / N m Rm -môđun Artin với m  MaxR Từ bổ đề 1.6.3 M / N R -mơđun Artin Định lí 2.2.10 Cho M N R -môđun hữu hạn sinh I iđêan R , với t  số ngun khơng âm Khi khẳng định sau tương đương: i) H Ii  M , N  minimax với i  t ii) H Ii  M , N  I -cofinite minimax với i  t iii) H Ii  M , N m Rm -môđun minimax với i  t với m  MaxR iv) H Ii  M , N  p R p -môđun minimax với i  t với iđêan nguyên tố p R Chứng minh:  i)  ii) Ta chứng minh quy nạp theo t Với t  , điều phải chứng minh suy từ H I0  M , N   H I0  Hom  M , N   Cho t  giả sử giả thiết với t  Bây ta chứng minh H It 1  M , N  I -cofinite Ta thấy Supp  H It 1  M , N    V  I  từ định lí 2.2.5 ta có Hom  R / I , H It 1  M , N   hữu hạn sinh Từ đó, theo mệnh đề 1.6.2 H It 1  M , N  I -cofinite  ii)  iii) Suy từ mệnh đề 2.2.9 22  iii)  ii) Từ dãy khớp ngắn  H I0  N   N  N / H I0  N   ta có dãy khớp dài  H Ii  M , H I0  N    H Ii  M , N   H Ii  M , N / H I0  N    H Ii 1  M , H I0  N    với i  Ta thấy H Ii  M , N / H I0  N   I -cofinite minimax H Ii  M , N  I -cofinite minimax với i  Tương tự, ta có dãy khớp H Ii  M , N m  H Ii  M , N / H I0  N  m  H Ii 1  M , H I0  N  m với i  với m  MaxR Ta kết luận H Ii  M , N / H I0  N  m minimax với i  t với m  MaxR Vậy nên ta giả sử H I0  N   Từ tồn phần tử quy x  I N Từ dãy khớp ngắn x  N  N  N / xN  ta có dãy khớp H Ii 1  M , N / xN   H Ii  M , N   H Ii  M , N  x H Ii  M , N m  H Ii  M , N / xN m  H Ii 1  M , N m với i với m  MaxR Bây H Ii  M , N / xN m minimax với i  t  với m  MaxR Bằng giả thiết quy nạp ta có H Ii  M , N / xN  I cofinite minimax với i  t  Vậy :H i  M , N  x I -cofinite minimax với I i  t Kết suy từ [2, 2.6]  i)  iv) iv)  iii) hiển nhiên 23 KẾT LUẬN Tóm lại, luận văn chúng tơi trình bày số kết  Một số tính chất mơđun đối đồng điều địa phương suy rộng: tính hữu hạn, tính Artin,…  Một số kết tính minimax mơđun đối đồng điều địa phương suy rộng 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2006), Đại số đồng điều, Nxb Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Tiếng Anh Aghapournahr M and Melkersson L., Finiteness properties of minimax and coatomic local cohomology modules, Arch Math 94 (2010) no 6, pp.519-528 Bahrnanpour K and Naghipour R., On the cofiniteness of local cohomology modules, to appear in Proc Amer Math Soc Melkersson L., Modules cofinite with respect to an ideal, J Alg 285 (2) (2005), pp.649-668 Saremi Hero, (2009) On minimax and generalized local cohomology modules Acta Math VietNam 34, No.2, pp.269-273 Yan Gu, (2013) On the weak Artiness and minimax generalized cohomology modules, Bull Korean Math Soc 50 No.6, pp.1855-1861 ... gọi môđun đối đồng điều địa phương suy rộng môđun N tương ứng với M Đây tổng qt hóa mơđun đối đồng điều địa phương Grothendieck Sau đó, vấn đề môđun đối đồng điều địa phương suy rộng mơđun minimax. .. -môđun Artin ii) M m Rm -môđun Artin với m  MaxR Ass R  M  tập hữu hạn 10 Chương TÍNH MINIMAX CỦA MƠĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG 2.1 Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng số tính. .. N  n gọi môđun đối đồng điều địa phương suy rộng môđun N tương ứng với M Ta có H Ii  N   H Ii  R, N  với N R -môđun Một số tính chất mơđun đối đồng điều điều địa phương suy rộng: Mệnh