tính artin của các môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRẦN THỊ HIẾU NGHĨA TÍNH ARTIN CỦA CÁC MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRẦN THỊ HIẾU NGHĨA TÍNH ARTIN CỦA CÁC MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC Chuyên ngành : Đại số Lí thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn PGS.TS Trần Tuấn Nam Thành phố Hồ Chí Minh 2012 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ VÀNH VÀ MÔĐUN 1.2 ĐỘ DÀI, DÃY CÁC PHẦN TỬ CHÍNH QUY CỦA MỘT MÔĐUN 11 1.3 GIỚI HẠN THUẬN 13 1.4 MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 15 1.5 MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG 17 1.7 DÃY PHỔ 23 CHƯƠNG 2: TÍNH ARTIN CỦA CÁC MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC 28 2.1 MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC 28 2.2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ TÍNH ARTIN CỦA CÁC MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC 29 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS.TS Trần Tuấn Nam Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy lựa chọn đề tài mà qua tác giả củng cố kiến thức đại số giao hoán, đại số đồng điều làm quen với kiến thức lí thuyết đối đồng điều địa phương Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy khoa Toán - Tin học trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh Đại học Khoa học Tự nhiên TP Hồ Chí Minh giúp đỡ tác giả nâng cao trình độ chuyên môn phương pháp làm việc hiệu trình học tập trường Xin cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn Nhân dịp này, tác giả muốn gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè động viên tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập suốt thời gian qua Và tỏ lòng biết ơn tới tác giả tài liệu mà tham khảo trình thực đề tài MỞ ĐẦU Năm 1974, J Herzog giới thiệu khái niệm đối đồng điều địa phương suy rộng lần tài liệu [7] Đây khái niệm mở rộng khái niệm đối đồng điều địa phương cổ điển Grothendieck Một cách tự nhiên, tính chất đối đồng điều địa phương cổ điển tổng quát hóa thành tính chất đối đồng điều địa phương suy rộng Chúng ta xét đến tính chất quan trọng tổng quát lên, tính Artin môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin môđun đối đồng điều địa phương nghiên cứu nhà toán học S.H.Tahamtan, H.Zakeri, Reza Sazeedeh, thu nhiều kết quan trọng Sau đó, nhiều nhà toán học mở rộng kết cho môđun đối đồng điều địa phương suy rộng Việc nghiên cứu tính Artin môđun đối đồng điều địa phương cổ điển suy rộng đến vấn đề mở Với mong muốn tiếp cận hướng nghiên cứu này, bắt đầu việc tìm hiểu kết tính Artin môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc báo: [1.] “On graded generalized local cohomology” Nazer Zamani (2006, Achiv der Mathematik, Birkhäuser Verlag, Basel) [2.]“Artinianess of graded generalized local cohomology modules” Tahamman S (2011, Mathematics Scientific Journal, Vol 7, No 1, 107 -117) [3.]“Some finiteness properties of generalized graded local cohomology modules” Ismael Akray, Adil Kadir Jabbar, Reza Sazeedeh (2012, International Journal of Algebra, Vol 6, no 11, 539 – 547) Từ báo này, chọn trình bày lại chi tiết số kết tính Artin môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc số trường hợp đặc biệt Và luận văn mang tên: "Tính Artin môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc" Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương nội dung phần kết luận Cụ thể: Phần mở đầu: Nêu xuất xứ vấn đề Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Giới thiệu khái niệm môđun đối đồng điều địa phương trình bày kiến thức vành môđun cần thiết cho chứng minh chương Chương 2: TÍNH ARTIN CỦA CÁC MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC Giới thiệu môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc H Ii ( M , N ) với R vành phân bậc, I iđêan phân bậc R M , N R -môđun phân bậc Sau đó, trình bày số điều kiện đủ để số môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc Artin Phần kết luận: Đưa nhận xét vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu Trong khuôn khổ luận văn cao học, cố gắng trình bày lại kết có hệ thống, với chứng minh chi tiết nêu tính chất mà tác giả sử dụng Một số kết phần kiến thức chuẩn bị không nêu chứng minh trình bày rõ tài liệu tham khảo Chúng trình bày số bổ đề liên quan trực tiếp đến kết chương hay số tập mà tác giả đưa tài liệu tham khảo Các kí hiệu dùng luận văn kí hiệu thông dụng giải thích sử dụng lần đầu (xem Danh mục kí hiệu) Để trích dẫn số kết quả, dùng cách trích dẫn quen thuộc Chẳng hạn, xem [[3], Theorem 2.3] nghĩa xem Định lí 2.3 tài liệu [3] Cuối cùng, có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì mong đóng góp ý kiến Thầy Cô bạn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2012 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU Ký hiệu Ý nghĩa  Tập hợp số tự nhiên Ab Phạm trù nhóm abel C ( R) Phạm trù R -môđun * C ( R) ( R, m ) HomR ( M , N ) Z R (M ) Spec( R) AssR ( M ) Supp ( M ) Phạm trù R -môđun phân bậc R vành địa phương với m iđêan tối đại Tập tất R -đồng cấu từ M đến N Tập tất ước của R -môđun M Tập tất iđêan nguyên tố vành R Tập tất iđêan nguyên tố liên kết R -môđun M Giá môđun M Chiều Krull R -môđun M dim R ( M ) Chiều xạ ảnh R -môđun M Pd R ( M ) Chiều nội xạ R -môđun M Id R ( M ) Các hàm tử mở rộng Ext Ri ( M , − ) Ext Ri ( −, N ) Tori R Tori R ( A, − ) ( −, B ) Các hàm tử xoắn CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong suốt luận văn này, không nói thêm, giả sử R vành giao hoán có đơn vị ≠ Chương trình bày số kết đề cập đại số đại cương, đại số giao hoán đại số đồng điều có liên quan đến chương luận văn 1.1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ VÀNH VÀ MÔĐUN Mệnh đề 1.1.1: n i Cho P1 , P2 , , Pn iđêan nguyên tố I iđêan R thỏa mãn I ⊂  Pi i =1 Khi tồn i ∈ {1, 2, , n} cho I ⊂ Pi ii Cho I1 , I , , I n iđêan P iđêan nguyên tố R thỏa mãn n I i ⊂P i =1 Khi tồn i ∈ {1, 2, , n} cho I i ⊂ P Bổ đề 1.1.2: (Bổ đề Nakayama) M R -môđun hữu hạn sinh, I iđêan R I Jacobson R Khi đó, IM = M M = Mệnh đề 1.1.3 Cho R vành, I iđêan R M R -môđun Ta có ( R /I ) ⊗ R M ≅ M / IM Mệnh đề 1.1.4 Cho R vành địa phương, M N R -môđun hữu hạn sinh Khi đó, M ⊗ R N = M = N = Mệnh đề 1.1.5 Cho dãy khớp ngắn R -môđun → M → N → P → Khi ta có N Artin M P Artin Từ điều ta suy dãy R -môđun M → N → P khớp N M , P môđun Artin N môđun Artin Mệnh đề 1.1.6 Vành R Artin R Noether dim R = Mệnh đề 1.1.7 Cho R vành, I iđêan R M R -môđun Khi đó, với số tự nhiên n tồn đẳng cấu: HomR ( R / I n , M ) ≅ ( :M I n ) Định nghĩa 1.1.8 Cho R vành, M R -môđun, iđêan nguyên tố P R gọi iđêan nguyên tố liên kết M tồn x ∈ M \ {0} cho P = Ann ( x ) Tập hợp tất iđêan nguyên tố liên kết R -môđun M kí hiệu AssR ( M ) Giá R -môđun M , kí hiệu Supp ( M ) = {P ∈ Spec ( R ) : M P ≠ 0} M P địa phương hóa môđun M theo tập nhân R \ P Đặt V ( I ) = {P ∈ Spec ( R ) : I ⊂ P} Mệnh đề 1.1.9 Nếu M R -môđun hữu hạn sinh Supp ( M ) = V ( Ann ( M ) ) Mệnh đề 1.1.10 Nếu R vành Noether I iđêan R Supp( R / I ) = V ( I ) Mệnh đề 1.1.11 Cho R vành Noether, M R -môđun hữu hạn sinh, I iđêan R Khi Supp ( M ) ⊂ V ( I ) tồn số nguyên k cho I k M = Mệnh đề 1.1.12 Cho M , N R -môđun hữu hạn sinh Khi Supp ( M ⊗ R = N ) Supp ( M ) ∩ Supp ( N ) Từ mệnh đề Mệnh đề 1.1.3 ta suy kết sau: Hệ 1.1.13 Cho M R -môđun hữu hạn sinh, I iđêan R , Supp ( M / IM ) = V ( I ) ∩ V ( Ann ( M ) ) = V ( I + Ann ( M ) ) → R0 / m ⊗ R0 H Ri + ( M , Γ m0 R ( N ) → R0 / m ⊗ R0 H Ri + ( M , N ) → R0 / m ⊗ R0 B → Suy R0 / m ⊗ R H Ri ( M , N ) Artin  + Mệnh đề 2.2.6 Cho i ∈  H Ri ( M , N ) R+ -cofinite Khi ta có Γ m R ( H Ri ( M , N ) ) Artin + + Chứng minh: H Ri + ( M , N ) R+ -cofinite suy ra: ( ) ( HomR R / R+ , H Ri + ( M , N ) ≅ Ext R0 R /R+ , H Ri + ( M , N ) ) nên môđun hữu hạn sinh phân bậc R+ -xoắn (vì H Ri ( M , N ) R+ - xoắn) + Theo Mệnh đề 1.1.6 tồn đẳng cấu: ( ( Γ m0 R HomR R / R+ , H Ri + ( M , N ) Do  :Γ  m0R (H i R+ ( M , N )) )) ≅ Γ m0 R (0 : H Ri + ( M , N ) ) R+ ≅  :Γ H i ( M , N ) R+  )   m0R ( R+ R+  hữu hạn sinh, m -xoắn R+ -xoắn  Suy bị linh hóa số mũ m Vậy theo Mệnh đề 1.1.9 1.2.1 môđun Artin Mà Γ m R ( H Ri ( M , N ) ) R+ -xoắn nên Γ m R ( H Ri ( M , N ) ) Artin + + (theo Định lí Melkersson)  Ta nhắc lại vài kết cần dùng cho chứng minh mệnh đề Sup{i  : H Ri ( N ) ≠ 0} Khi ta có dimR ( N / m N ) = cR + ( N ) Kí hiệu cR + ( N ) :=∈ + Định lí 2.2.7 Cho ( R0 , m ) vành địa phương, n := dimR ( N / m N ) Ta có: H Rn ( N ) / m H Rn ( N ) + + Artin Mệnh đề 2.2.8 Cho M R -môđun hữu hạn sinh có số chiều xạ ảnh hữu hạn Pd R ( M ) = n c := cR + ( N ) Khi ta có H Rn++ c ( M , N ) / m H Rn++ c ( M , N ) Artin Chứng minh: Ta chứng minh quy nạp theo n n = : theo Định lí 2.2.8 ta có điều cần chứng minh Giả sử mệnh đề với giá trị nhỏ n > Ta cần chứng minh với n Vì Pd R ( M ) = n M hữu hạn sinh nên tồn số nguyên dương t dãy khớp R -môđun phân bậc → K → R t → M → mà Pd R ( K )= n − Áp dụng hàm tử H Rn++ c ( −, N ) vào dãy khớp ta có dãy khớp sau: ( ) H Rn++ c −1 ( K , N ) → H Rn++ c ( M , N ) → H Rn++ c R t , N cR ( N ) nên H Rn + c ( N ) = Do H Rn + c ( R t , N ) = Để ý n + c > c = + + + Áp dụng hàm tử R0 / m ⊗ R − vào dãy khớp ta có toàn cấu: H Rn++ c −1 ( K , N ) / m H Rn++ c −1 ( K , N ) → H Rn++ c ( M , N ) / m H Rn++ c ( M , N ) Sử dụng giả thiết quy nạp ta có môđun H Rn + c −1 ( K , N ) / m H Rn + c −1 ( K , N ) Artin + + Từ toàn cấu ta suy H Rn + c ( M , N ) / m H Rn + c ( M , N ) Artin  + + , N ) : Sup{i ∈  | H Ri ( M , N ) không Artin } Kí hiệu aR ( M = + + ( N ) : Sup{i ∈  | H Ri ( N ) không Artin } aR = + + Khi ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 2.2.9 Cho M R -môđun hữu hạn sinh có số chiều xạ ảnh n := pd R ( M ) hữu hạn Khi ta có: i aR ( M , N ) ≤ Pd R ( M ) + aR ( N ) ; + + ii H Ra + n ( M , N ) / m H Ra + n ( M , N ) Artin với a := aR ( N ) n := Pd R ( M ) + + Chứng minh: i Ta chứng minh quy nạp theo n n = : (i) + Giả sử kết cho giá trị nhỏ n > , ta chứng minh n M R -môđun hữu hạn sinh nên tồn số nguyên dương t cho M ≅ R t / M M có số chiều xạ ảnh n − Từ ta có dãy khớp ngắn → M → R t → M → Suy dãy khớp Ta cần chứng tỏ với i > a + n H Ri ( M , N ) Artin + n − aR ( N ) + Pd R ( M ) i > a + n > a Ta có i − > a += + Theo giả thiết quy nạp ta có H Ri −+1 ( M , N ) H Ri + ( N ) Artin Do từ dãy khớp (*) ta có H Ri + ( M , N ) Artin ii Ta tiếp tục chứng minh quy nạp theo n n = : (ii) theo [[13], Theorem 2.4] Giả sử kết cho giá trị nhỏ n > , ta chứng minh n Tương tự mục (i) ta có dãy khớp Đặt A = Imα B = Imβ Vì a + n > a nên H Ra + n ( N ) Artin Do B ⊂ H Ra + n ( N ) + Artin Suy B / m B Artin Tác động hàm tử R0 / m ⊗ R − vào dãy khớp ta có dãy khớp + t R0 / m ⊗ R0 Kerα → H Ra++ n −1 ( M , N ) / m H Ra++ n −1 ( M , N ) → Am / A → Mặt khác, theo giả thiết quy nạp H Ra++ n −1 ( M , N ) / m H Ra++ n −1 ( M , N ) Artin nên A /m A Artin Tác động hàm tử R0 / m ⊗ R − vào dãy khớp ta có dãy khớp A / m A → H Ra + n ( M , N ) / m H Ra + n ( M , N ) → B / m B với + + A / m A B /m B Artin nên H Ra++ n ( M , N ) /m H Ra++ n ( M , N ) Artin  Bổ đề 2.2.10 Cho M R -môđun minimax Nếu M R+ -xoắn R -môđun TormR00 ( R0 / m , M ) H mi ( M ) Artin với i ∈  Chứng minh: Vì M môđun minimax nên tồn môđun phân bậc hữu hạn sinh M ' M cho M /M ′ Artin Từ dãy khớp ngắn → M ′ → M → M / M ′ → suy dãy khớp M ' hữu hạn sinh R+ -xoắn nên ToriR0 ( R0 /m , M ′ ) H mi ( M ′ ) bị linh hóa lũy thừa m Do chúng môđun Artin M /M ′ Artin nên ToriR0 ( R0 / m , M / M ′ ) H mi ( M / M ′ ) Artin Do từ dãy khớp ta có điều cần chứng minh  Kí hiệu: { } { } sR+ ( M= , N ) sup i ≥ | H Ri + ( M , N ) không minimax , N ) inf i ≥ | H Ri + ( M , N ) không minimax t R+ ( M = Bổ đề 2.2.11 Với kí hiệu trên, ta có: Với i ∈  , R -môđun R0 / m ⊗ R H Ri ( M , N ) Artin ( + ) R0 / m ⊗ R0 H Ri + M , N / Γ m0 ( N ) Artin Chứng minh: Tác động hàm tử H Ri ( M , − ) vào dãy khớp ngắn + ta có dãy khớp = m m + R+ iđêan tối đại R nên H mi (M , Γ m0 ( N ) ) Artin Mặt khác, Γ m ( N ) m -xoắn nên ta có Từ dãy khớp ta có minimax H Ri ( M , N / Γ m ( N ) ) minimax Tức + ta có (i) Ta có Kerα Co ker α Artin Các dãy khớp → Kerα → H Ri ( M , N ) → Imα → + cho ta dãy khớp sau: R0 / m ⊗ R0 Kerα → R0 / m ⊗ R0 H Ri + ( M , N ) → R0 / m ⊗ R0 Imα → Các môđun R0 / m ⊗ R Kerα , Tor1R ( R0 /m , Cokerα ) R0 / m ⊗ R Cokerα Artin 0 Do R0 / m ⊗ R H Ri ( M , N ) Artin R0 / m ⊗ R Imα Artin; + R0 / m ⊗ R0 Imα Artin R0 / m ⊗ R0 H Ri + (M, N/Γ m0 ( N )) Artin Vậy ta có điều cần chứng minh  Mệnh đề 2.2.12 Đặt t = t R ( M , N ) Khi với i ≤ t ta có: + i R -môđun R /m ⊗ R H Ri ( M , N ) Artin; + ii H 0j ( H Ri ( M , N ) ) Artin với ≤ j ≤ + Chứng minh: i Theo Bổ đề 2.2.10, (i) i < t Ta phải chứng minh R0 / m ⊗ R H Rt ( M , N ) Artin Theo Bổ đề 2.2.11 ta có + Khi tồn phần tử a ∈ m không ước không thể giả sử Γ m ( N ) = N Ta có dãy khớp ngắn suy dãy khớp dài Theo dãy khớp ta có: Với i < t H Ri −1 ( M , N / aN ) minimax Do t R ( M , N / aN ) ≥ t − + Với i = t , từ dãy khớp suy dãy khớp + a ∈ m Trong đó, R0 / m ⊗ R aH Rt ( M , N ) = + Do R0 / m ⊗ R H Rt −1 ( M , N / aN ) Artin R0 / m ⊗ R H Rt ( M , N ) Artin + + Dùng nguyên lí quy nạp ta có điều cần chứng minh ii Theo Bổ đề 1.1.10 (ii) i < t Xét trường hợp i = t Xét dãy phổ = E2p ,q : H mp ( H Rq+ ( M , N )) ⇒ H mp + q ( M , N ) p quy ước E2p ,q = với p < Vì ≤ j ≤ với i ≥ dãy → Erj+,t1 → Erj ,t → Erj + r ,t − r +1 khớp Theo Bổ đề 2.2.10 môđun cuối dãy Artin t − r + < t Đặt {E∞p ,q } giới hạn dãy phổ r0 ≥ số nguyên mà Er0j ,+t 1= Er0j ,+t 2= = E∞j ,t E∞j ,t = Er0j ,+t Artin môđun môđun thương H mj +t ( M , N ) Ta có dãy → Erj ,+t → Erj ,t → Erj + r ,t − r +1 khớp Erj + r ,t − r +1 Artin nên Erj ,t Artin 0 0 0 0 Lặp lại suy luận ta có Erj ,−t , Erj ,−t , , E3j ,t E2j ,t := H mj ( H Rt ( M , N ) ) Artin  0 + Mệnh đề 2.2.13 Đặt s = sR ( M , N ) Khi R -môđun R0 / m ⊗ R H Ri ( M , N ) Artin với i ≥ s + + Chứng minh: Theo Bổ đề 2.2.10 mệnh đề với i > s Ta cần chứng minh R0 / m ⊗ R H Rs ( M , N ) Artin + Thực quy nạp theo n := dim R ( N ) Nếu n = N Artin Do ta có điều cần chứng minh Giả thiết mệnh đề với R -môđun phân bậc hữu hạn sinh N ' có số chiều n − với n > Do tồn phần tử a ∈ m không Từ Bổ đề 2.2.11 ta xem Γ m ( N ) = ước không N Ta có dãy khớp ngắn Từ suy dãy khớp Tor1R0 ( R0 / m , (0 :H s+1 ( M , N ) a )) → R0 / m ⊗ R0 H Rs + ( M , N ) / aH Rs + ( M , N ) → R+ → R0 / m ⊗ R0 H Rs + ( M , N / aN ) (0 :H s+1 ( M , N ) a ) môđun minimax H Rs ++1 ( M , N ) nên môđun minimax R+ Vì theo Bổ đề 2.2.11 Tor1R ( R0 / m , (0 :H s +1 R+ ( M , N ) a )) Artin Vì dim R ( N /aN )= n − sR ( M , N /aN ) ≤ s − nên theo giả thiết quy nạp + R0 / m ⊗ R0 H Rs + ( M , N / aN ) Artin Do R0 / m ⊗ R H Rs ( M , N ) ≅ R0 / m ⊗ R H Rs ( M , N ) / aH Rs ( M , N ) Artin  + + + Mệnh đề 2.2.14 Cho s = sR ( M , N ) d = dim ( R0 ) Khi ta có: + i H mj ( H Ri ( M , N ) ) Artin với d − ≤ j ≤ d i ≥ s ; + ii H md − ( H Rs ( M , N ) ) Artin H md ( H Rs −1 ( M , N ) ) Artin + + Chứng minh: i Xét dãy phổ E2p ,q : H mp ( H Rq+ ( M , N )) ⇒ H mp + q ( M , N ) = p Gọi {E∞p ,q } giới hạn dãy phổ Vì E∞p ,q môđun thương H mp + q ( M , N ) nên Artin với p , q • i > s : (i) (theo Bổ đề 2.2.11) • i = s : d −1 ≤ j ≤ d Xét đồng cấu α : Erj − r , s + r −1 → Erj , s Vì E2p ,q = với p > d nên ta có Erj+, s1 = Erj , s / Imα với r > Ta có s + r − > s nên Imα Artin (theo Bổ đề 2.2.11) Gọi r0 ≥ số tự nhiên thỏa Erj ,+s1= Erj ,+s2= = E∞j , s 0 Do E∞j , s Artin nên Erj ,+s1 suy Erj , s Artin 0 Lặp lại suy luận ta suy E2j , s := H mj ( H Rs ( M , N ) Artin + ii Tiếp tục sử dụng dãy phổ (i) ta suy dãy khớp: K = Kerd 2d − 2, s , E2d − 2, s = H md − ( H Rs ( M , N ) ) E2d , s −1 = H md ( H Rs −1 ( M , N ) ) + + Để chứng minh (ii), ta cần chứng minh K E3d , s −1 Artin Xét đồng cấu β : E2d − 4, s +1 → E2d − 2, s E3d − 2, s = K / Imβ E∞d − 2, s = E3d − 2, s / L , với L môđun Artin E3d − 2, s Ta có E∞d − 2, s , E2d − 4, s +1 Artin nên K Artin Tương tự, ta có E∞d , s −1 = E3d , s −1 / L′ với L ' mô đun Artin E3d , s −1 Từ ta có E3d , s −1 Artin  Mệnh đề 2.2.15 Cho dimR0 ≤ Khi ta có H Ri ( M , H m1 R ( N )) Artin với i ∈  + Chứng minh: Trường hợp dimR0 = : ta có H m1 R ( N ) = Do ta có H Ri ( M , H m1 R ( N )) Artin + 0 dãy phổ E2p ,q : H Rp ( M , H mq R ( N )) ⇒ H mp + q ( M , N ) Trường hợp dimR0 = : xét = + Vì dimR0 = nên H mq R ( N ) = với q > 0 p Suy E2p ,q = với q ≠ 0,1 Do ta áp dụng [[17], 5.2.2] trường hợp đối ngẫu để có dãy khớp: E2p +1,0 → H mp +1 ( M , N ) → E2p ,1 → E2p + 2,0 → H mp + ( M , N ) E2p + 2,0 = H mp + ( M , Γ m0 R ( N )) = H Rp++ ( M , Γ m0 R ( N )) Artin Do từ dãy khớp ta có E2p ,1 = H Rp ( M , H m1 R ( N )) Artin  + Ta nhắc lại kết dùng để chứng minh mệnh đề Định lí 2.2.16 (xem [[3], Theorem 2.5]) Cho dimR0 ≤ i ∈  Khi ta có: i R -môđun R0 / m ⊗ R H Ri ( M ) Artin + ii R -môđun Γ m ( H Ri ( M )) H m1 ( H Ri ( M )) Artin + 0 + Mệnh đề 2.2.17 (xem [[8], 2.11]) Cho dimR0 ≤ Khi ta có H mj R ( M , H Ri ( N )) Artin với i, j ∈  + Chứng minh: Trường hợp dimR0 = : N hữu hạn sinh nên m -xoắn Theo Mệnh 1.5.12 H Ri ( N ) Artin nên m -xoắn + Do đó, H mj R ( M , H Ri ( N )) ≅ Ext Rj ( M , H Ri ( N )) Suy Ext Rj ( M , H Ri ( N )) Artin + + + Trường hợp dimR0 = : Ta chứng minh quy nạp theo j • j = : Theo Mệnh đề 1.5.1, H m0 R ( M , H Ri + ( N )) ≅ HomR ( M , Γ m0 R ( H Ri + ( N ))) Theo [[3], Theorem 2.5] ta có Γ m R ( H Ri ( N )) Artin Vì theo kết suy từ Hệ + 1.2.2 ta có HomR ( M , Γ m R ( H Ri ( N ))) Artin + • j > : Giả sử mệnh đề với giá trị nhỏ j > Ta cần chứng minh mệnh đề với j M hữu hạn sinh nên tồn số nguyên dương t dãy khớp ngắn R -môđun sau: → K → R t → M → Áp dụng hàm tử H mj R (−, H Ri ( N )) vào dãy khớp ta có dãy khớp: + H mj −01R ( K , H Ri + ( N )) → H mj R ( M , H Ri + ( N )) → H mj R ( R t , H Ri + ( N )) Sử dụng giả thiết quy nạp ta có H mj −1R ( K , H Ri ( N )) Artin + Sử dụng Định lí 2.2.17 mục b) ta có H m1 R ( R t , H Ri ( N )) Artin + Ta có H mj R ( R t , H Ri ( N )) Artin với j > + Vậy từ dãy khớp ta có H mj R ( M , H Ri ( N )) Artin  + Mệnh đề 2.2.18 Cho dimR0 ≤ Khi đó, với số i ∈  , môđun H Ri ( M , N ) / m H Ri ( M , N ) Artin + + Chứng minh: dimR0 = : N m -xoắn Do H Ri + ( M , N ) Artin Trường hợp dimR0 = : Áp dụng hàm tử H Ri ( M , −) vào dãy khớp ngắn: + → Γ m0 R ( N ) → N → N / Γ m0 R ( N ) → ta dãy khớp: H Ri + ( M , Γ m0 R ( N )) → H Ri + ( M , N ) → H Ri + ( M , N / Γ m0 R ( N )) → H Ri ++1 ( M , Γ m0 R ( N )) Γ m0 R ( N ) m -xoắn nên với i ta có H Ri + ( M , Γ m0 R ( N )) Artin Do R0 / m ⊗ R H Ri ( M , N ) Artin R0 / m ⊗ R H Ri ( M , N / Γ m R ( N )) + 0 + Artin Vì ta giả sử Γ m R ( N ) = Khi đó, tồn phần tử a ∈ m không ước 0 N Áp dụng hàm tử H Ri ( M , −) vào dãy khớp ngắn: + ta dãy khớp dimR0 = nên N / aN m -xoắn Khi H Ri + ( M , N / aN ) Artin Ta có R0 / m ⊗ R H Ri ( M , N ) / aH Ri ( M , N ) Artin + + Áp dụng hàm tử R0 / m ⊗ R − vào dãy khớp ta có: R0 / m ⊗ R0 H Ri + ( M , N ) ≅ R0 / m ⊗ R0 H Ri + ( M , N ) / aH Ri + ( M , N ) Vậy ta có điều phải chứng minh  KẾT LUẬN Trong luận văn trình bày số vấn đề chủ yếu sau: Mệnh đề 2.2.2 tính triệt tiêu môđun H Ri ( M , N ) + Mệnh đề 2.2.3 tính Artin môđun R0 / m ⊗ R H Ri ( M , N ) + Mệnh đề 2.2.6 tính Artin H Ri ( M , N ) + Mệnh đề 2.2.7 tính Artin Γ m R ( H Ri ( M , N )) + Một số mệnh đề tính Artin môđun H Ri ( M , N ) / m H Ri ( M , N ) + + H Ri + ( M , H m1 R ( N )) , Các hướng mở cần tiếp tục nghiên cứu: Tìm ví dụ phản ví dụ minh họa cho kết trình bày Khái quát kết tính Artin môđun đối đồng điều địa phương phân bậc sang trường hợp suy rộng Tìm kiếm điều kiện đủ khác để môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc Artin Nghiên cứu tính chất môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc tổng quát với M , N R -môđun phân bậc I iđêan phân bậc tùy ý R Nghiên cứu tính chất khác môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc môđun đối đồng điều địa phương suy rộng tổng quát Tóm lại, luận văn tiếp cận lí thuyết môđun đối đồng điều địa phương cách tìm hiểu, phân tích tổng hợp kết có sẵn Để có kết mới, đòi hỏi tác giả phải tiếp tục sâu nghiên cứu Điều cần nhiều thời gian công sức Trong thời gian tới tiếp tục nghiên cứu vấn đề theo hướng nêu Chúng hi vọng đề tài thu hút quan tâm bạn học viên cao học khóa sau đề tài ngày hoàn thiện thu nhiều kết tốt TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Atiyah M F., Macdonald I G (1969), Introduction to commutative Algebra, Perseus Books Publishing [2] Brodmann M., Fumasoli S., Tajarod R (2002), “Local cohomology over homogeneous rings with one-dimensional local base ring”, Mathematics Subject Classification [3] Brodmann M P., Fumasoli S., Rohrer F (2007), First lectures on local cohomology, University of Zürich [4] Bruns W., Herzog J (1993), Cohen - Macaulay Rings, Cambridge [5] Brodmann M.P., Hellus M (2002), "Cohomological patterns of coherent sheaves over projective schemes", J Pure Appl Algebra 172(2002), 165 - 182 [6] Brodmann M P., Sharp R.Y (1998), Local Cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press [7] Herzog J (1970), Komplexe, Auflösungen und dualität in der lokalen Algeba, Habilitationsschrift, Universität Regensburg [8] Ismael Akray, Adil Kadir Jabbar, Reza Sazeedeh (2012), “Some finiteness properties of generalized graded local cohomology modules”, International Journal of Algebra, Vol 6, no 11, 539 – 547 [9] Matsumura H (1980), Commutative Algebra, Second Edition, Benjamin, Reading [10] Nazer Zamani (2006), “On graded generalized local cohomology”, Achiv der Mathematik, Birkhäuser Verlag, Basel [11] Rotman J (1979), Introduction to homology algebra, Academic Press [12] Rotthaus C., Sega L M (2005), “Some properties of graded local cohomology modules”, Journal of Algebra 283, pp 232 – 247 [13] Sazeedeh R (2007), “Artinianess of graded local cohomology modules”, AMS [14] Suzuki N (1978), “On the generalized local cohomology and its duality”, J Math Kyoto University, pp 71 – 85 [15] Tahamman S (2011), “Artinianess of graded generalized local cohomology modules”, Mathematics Scientific Journal, Vol 7, No 1, 107 -117 [16] Zamani N (2003), “On the homogeneous pieces of graded generalized local cohomology modules”, Colloquium Mathematicum, Vol 97, No [17] Weibel C.A (1994), An introduction to homological algebra, Camb.Univ.Press [...]... khớp dài CHƯƠNG 2: TÍNH ARTIN CỦA CÁC MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC 2.1 MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC Cho R là một vành phân bậc, I là một iđêan phân bậc của R , M là R -môđun phân bậc hữu hạn sinh và N là R -môđun bất kì Khi đó R -môđun H Ii ( M , N ) có cấu trúc phân bậc Ta sẽ sử dụng Mệnh đề 1.6.8 để chứng minh điều này Xét phép giải xạ ảnh của M /I n M trong... Noether phân bậc thuần nhất với vành cơ sở địa phương n∈ ( R0 , m 0 ) , M , N là các R -môđun phân bậc và kí hiệu R+ = ⊕ Rn n ≥1 Đặt = m m 0 + R+ Ta chứng minh được nó là iđêan phân bậc tối đại duy nhất của R Trong phần còn lại của chương 2, chúng tôi chọn trình bày một số kết quả về tính Artin của các môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc H Ri + ( M , N ) , H mi 0 ( M , N ) và một số môđun. .. vành phân bậc dương thì ta có thể mô tả các iđêan phân bậc tối đại của R qua mệnh đề sau: Mệnh đề 1.6.6 Cho R là vành phân bậc dương Khi đó iđêan phân bậc tối đại của R có dạng m 0 + R+ , với m 0 là iđêan tối đại của R0 Đặc biệt, iđêan phân bậc tối đại của R cũng là iđêan tối đại của R b Môđun phân bậc: Định nghĩa 1.6.7 Cho R là vành phân bậc và M là một R -môđun M được gọi là R -môđun phân bậc nếu... phức trên Lấy dãy đối đồng điều ta có môđun * ( ) Ext Ri M / I n M , N là một R -môđun phân bậc M hữu hạn sinh nên theo Mệnh đề 1.6.8 ta có: * ( ) ( ) Ext Ri M /I n M , N = Ext Ri M / I n M , N Do đó i n H Ii ( M , N ) = lim  Ext R ( M / I M , N ) có cấu trúc của một R -môđun phân bậc n∈N Trong mục 2.2 của chương này, ta sẽ xét các môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc được giới hạn... đó là bậc của x , kí hiệu deg ( x) = n Iđêan I của vành phân bậc R được gọi là iđêan phân bậc nếu nó được sinh bởi các phần tử thuần nhất Định nghĩa 1.6.5 Iđêan phân bậc tối đại của vành phân bậc R là iđêan m thỏa mãn các điều kiện sau: i m là iđêan phân bậc thực sự của R ii Nếu iđêan phân bậc thực sự a thỏa mãn m ⊆ a thì m = a Chú ý: Một iđêan phân bậc tối đại thì không chắc là iđêan tối đại của. .. }n∈ các nhóm con của M (đối với phép toán cộng) sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn: i M = ⊕ n∈ M n ii Rn M m ⊆ M n + m với mọi m , n thuộc  Mỗi nhóm con M n là R0 -môđun con của M và ta gọi nó là \textit{thành phần phân bậc thứ n } của M Bậc của phần tử thuộc môđun phân bậc được định nghĩa tương tự như bậc của phần tử trong vành Cho M = ⊕ n∈ M n , N = ⊕ n∈ N n là các R -môđun phân bậc, một đồng. .. 2.2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ TÍNH ARTIN CỦA CÁC MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC Bổ đề 2.2.1 Cho R = ⊕ Rn là vành phân bậc và I là một iđêan sinh bởi các phần tử bậc dương n∈ Cho p1 , p2 , , pn là các iđêan nguyên tố (khác nhau) thỏa mãn I ⊂/ pi , ∀i ∈ {1, 2, , n} Khi đó, tồn tại phần tử thuần nhất x ∈ I và x ∉ p1 ∪ p2 ∪ ∪ pn Chứng minh: Ta chứng minh quy nạp theo n là số các iđêan nguyên... VÀ MÔĐUN PHÂN BẬC a Vành phân bậc: Định nghĩa 1.6.1 Một vành R được gọi là phân bậc (cụ thể là  -phân bậc) nếu tồn tại một họ các nhóm con (đối với phép toán cộng) {Rn }n∈ của R thỏa mãn các điều kiện sau: i R = ⊕ n∈ Rn ii Rn Rm ⊆ Rn + m với mọi m , n thuộc  Từ định nghĩa trên ta suy ra được: Phần tử đơn vị 1∈ R0 R0 là vành con của R Với mọi số nguyên n , Rn là R0 -môđun con của R Nếu vành phân bậc. .. vành, N là một R -môđun và {( M i ; µ ij )i ; j∈Λ } là một hệ thống thuận các R -môđun Khi đó ta có: lim(  M i ⊗ R N ) ≅ (lim  M i ) ⊗ R N i∈Λ i∈Λ 1.4 MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Trong mục này ta giả sử R là vành Noether, giao hoán, có đơn vị khác 0, M , N là các R -môđun và I là một iđêan của R Chúng tôi sẽ trình bày khái niệm và một số tính chất về môđun đối đồng điều địa phương cần sử... M ) − 1 c Môđun cofinite tương ứng với một iđêan - Môđun minimax: Định nghĩa 1.6.14 Cho R là vành phân bậc, I là iđêan phân bậc của R và M là R -môđun phân bậc Ta nói M là I -cofinite nếu Supp ( M ) ⊂ V ( I ) và Ext Ri ( R /I , M ) phân bậc hữu hạn sinh với mọi i ∈  Định nghĩa 1.6.15 Một R -môđun phân bậc M là minimax nếu tồn tại một R môđun con phân bậc hữu hạn sinh M ' sao cho M / M ′ Artin Ta có ... Im Artin (theo B 2.2.11) Gi r0 l s t nhiờn tha Erj ,+s1= Erj ,+s2= = Ej , s 0 Do Ej , s Artin nờn Erj ,+s1 v suy Erj , s Artin 0 Lp li suy lun ny ta suy E2j , s := H mj ( H Rs ( M , N ) Artin. .. M N P Khi ú ta cú N Artin v ch M v P Artin T iu ny ta suy nu dóy cỏc R -mụun M N P khp ti N v M , P l cỏc mụun Artin thỡ N cng l mụun Artin Mnh 1.1.6 Vnh R Artin v ch R Noether v dim... l Artin + + T ton cu trờn ta suy H Rn + c ( M , N ) / m H Rn + c ( M , N ) Artin + + , N ) : Sup{i | H Ri ( M , N ) khụng Artin } Kớ hiu aR ( M = + + ( N ) : Sup{i | H Ri ( N ) khụng Artin