Về tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THÙY TRANG VỀ TÍNH HỮU HẠN CỦA TẬP CÁC IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THÙY TRANG VỀ TÍNH HỮU HẠN CỦA TẬP CÁC IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN Nghệ An - 2014 3 MỤC LỤC Mục lục 3 Mở đầu 4 1 Kiến thức chuẩn bị 7 1.1. Vành địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Môđun hữu hạn sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Giá của môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4. Iđêan nguyên tố liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5. Môđun xoắn, hàm tử xoắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6. Môđun đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.7. Hàm tử Tor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.8. Hàm tử Ext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Về tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương 18 2.1. Kết quả của Brodmann-Faghani và Khashyarmanesh-Salarian . . 19 2.2. Môđun FSF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3. Về chứng minh kết quả chính của Phạm Hùng Quý [10] . . . . . 25 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 4 MỞ ĐẦU Trong toàn bộ luận văn, vành R luôn được giả thiết là vành giao hoán Noether có đơn vị và M là một R-môđun. Lý thuyết môđun đối đồng điều địa phương được A. Grothendick đưa ra năm 1967. Từ đó đến nay, lý thuyết này đã được phát triển mạnh mẽ nhờ hàng loạt công trình của những nhà toán học nổi tiếng và trở thành công cụ quan trọng trong Đại số giao hoán và Hình học đại số. Nghiên cứu môđun đối đồng điều địa phương cho ta biết nhiều thông tin về môđun ban đầu cũng như tính chất của vành cơ sở. Như ta đã biết, môđun đối đồng điều địa phương thứ i với giá là iđêan a triệt tiêu (tức H i a (M) = 0) với mọi số nguyên i > dimM hoặc i < grade M (a) (grade M (a) là độ dài chung của các dãy chính qui cực đại trong a; khi (R, m) là vành địa phương thì grade M (m) = depth(M) là độ sâu của M). Năm 1992, C. Huneke [4] đã đặt ra câu hỏi: Nếu M là một môđun hữu hạn sinh, phải chăng tập các iđêan nguyên tố liên kết AssH i a (M) của môđun đối đồng điều địa phương H i a (M) là một tập hợp hữu hạn với mọi i ≥ 0? Khi vành cơ sở R là chính quy, các kết quả liên quan đến vấn đề này được đưa ra bởi C. Huneke-R. Y. Sharp [5], G. Lyubznik [9] và A. K. Singh-U. Walther [12]. Khi vành cơ sở R không là vành chính quy, A. K. Singh [11] và M. Katzman [6] đã đưa ra phản ví dụ cho câu hỏi trên của C. Huneke, cụ thể, tồn tại một vành địa phương Noether R và một iđêan a sao cho AssH 2 a (R) là tập hợp vô hạn. Tuy nhiên câu hỏi này vẫn có câu trả lời khẳng định với những điều kiện nhất định, chẳng hạn, M. Brodmann-A. L. Faghani [3] và K. Khashyarmanesh-Sh. 5 Salarian [7] đã chứng minh được rằng: AssH t a (M) là một tập hữu hạn nếu một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn: (i) H i a (M) là hữu hạn sinh với mọi i < t (xem [3] và [7]); (ii) Supp(H i a (M)) là tập hữu hạn với mọi i < t (xem [7] và [8]). Trong [10], Phạm Hùng Quý đã tổng hợp hai trường hợp nói trên như sau: Cho a là một iđêan của R, và M là một R-môđun hữu hạn sinh. Xét t là một số nguyên không âm sao cho H i a (M) là hữu hạn sinh hoặc Supp(H i a (M)) là một tập hữu hạn với mọi i < t. Khi đó AssH t a (M) là một tập hữu hạn. Như vậy, tập hợp AssH t a (M) là hữu hạn nếu H t a (M) là môđun đối đồng điều địa phương đầu tiên không hữu hạn sinh và Supp(H t a (M)) là không hữu hạn. Đây là kết quả chính trong bài báo [10] của Phạm Hùng Quý. Có thể nói, nó là một mở rộng của [3] và [7]. Mục đích chính của luận văn là trình bày lại các kết quả trong bài báo [10] của Phạm Hùng Quý. Để dễ theo dõi, trong luận văn này, chúng tôi cũng trình bày chứng minh kết quả nói trên của M. Brodmann-A. L. Faghani [3] và K. Khashyarmanesh-Sh. Salarian [7]. Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, nội dung luận văn được chia làm 2 chương. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở của Đại số giao hoán có sử dụng trong luận văn nhằm giúp cho người đọc dễ theo dõi nội dung chính của luận văn. Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã có nhằm phục vụ cho các chứng minh ở Chương 2. Chương 2: Về tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương. Phần đầu chương này, chúng tôi dành trình bày chứng minh kết quả chính của M. Brodmann-A. L. Faghani trong [3] và của K. Khashyarmanesh-Sh. Salarian trong [7]. Chú ý rằng K. B. Lorestani, P. Sahandi và T. Sharif [8] đã chứng minh lại kết quả của K. Khashyarmanesh-Sh. Salarian trong [7] một cách đơn giản hơn. Vì thế, chúng tôi trình bày chứng minh theo [3] và [8]. 6 Phần tiếp theo của chương, chúng tôi trình bày một cách chi tiết kết quả trong bài báo [10] của Phạm Hùng Quý. Luận văn được hoàn thành vào tháng 09 năm 2014 dưới sự hướng dẫn tận tình của Cô, TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Nhân dịp này chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Cô. Đồng thời, tác giả cũng xin được cảm ơn các thầy, cô trong khoa Toán, phòng Đào tạo Sau đại học của trường Đại học Vinh, trường Đại học Đồng Tháp; cảm ơn các bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Nghệ An, tháng 09 năm 2014 Tác giả 7 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức về Đại số giao hoán như: iđêan nguyên tố liên kết, vành địa phương, môđun hữu hạn sinh, giá của môđun, môđun xoắn, hàm tử xoắn, môđun đối đồng điều địa phương, hàm tử Tor, hàm tử Ext, nhằm mục đích làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của luận văn ở Chương 2. Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã có dưới dạng những mệnh đề nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau. 1.1 Vành địa phương 1.1.1 Định nghĩa. (i) Vành R được gọi là vành địa phương nếu trong R chỉ có duy nhất một iđêan cực đại m. Khi đó vành thương R/m là một trường và gọi là trường thặng dư của vành R. Ký hiệu vành địa phương là (R, m) hoặc (R, m, k) với (k = R/m). (ii) Vành R được gọi là vành nửa địa phương nếu R có hữu hạn iđêan cực đại. 1.1.2 Định lí. Cho R là một vành. (i) Giả sử m là một iđêan thực sự của vành R. Khi đó R là vành địa phương với iđêan cực đại duy nhất m khi và chỉ khi mọi phần tử x ∈ R\m đều khả nghịch trong vành R. 8 (ii) Giả sử m là một iđêan cực đại của R. Nếu mọi phần tử của tập hợp 1 + m = {1 + a | a ∈ m} đều khả nghịch trong vành R thì R là vành địa phương với iđêan cực đại duy nhất là m. 1.1.3 Định nghĩa. Cho R và S là các vành. Khi đó một đồng cấu vành f : R → S được gọi là đồng cấu địa phương nếu f(m R ) ⊆ m S , với mọi iđêan cực đại m R của vành R (m S là iđêan cực đại của vành S). 1.2 Môđun hữu hạn sinh 1.2.1 Định nghĩa. Cho M là một R-môđun. Một hệ các phần tử {x i } i∈I với x i ∈ M được gọi là hệ sinh của R-môđun M nếu mọi phần tử x ∈ M đều là tổ hợp tuyến tính trên R của hệ {x i } i∈I , nghĩa là, với mọi x ∈ M đều tồn tại tập con hữu hạn J ⊆ I sao cho x =  i∈J a i x i , a i ∈ R. Chú ý rằng mọi môđun đều có hệ sinh. Hệ sinh của mỗi môđun là không duy nhất. Giả sử S là một hệ sinh của R-môđun M. Khi đó ta nói S là hệ sinh tối thiểu của M nếu khi ta bớt đi bất kỳ một phần tử nào của S thì hệ còn lại không còn là hệ sinh của M. 1.2.2 Định nghĩa. Cho M là một R-môđun. Nếu M có hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì M được gọi là môđun hữu hạn sinh. 1.2.3 Mệnh đề. M là R-môđun hữu hạn sinh khi và chỉ khi M đẳng cấu với môđun thương của R-môđun tự do R n (n ∈ N ∗ ). 1.2.4 Định lí. (Định lí đặc trưng của môđun Noether) Cho M là một R- môđun. Các điều kiện sau là tương đương: (i) M là R-môđun Noether; 9 (ii) Mọi tập hợp khác rỗng các môđun con của M đều có phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm; (iii) Mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh. Chú ý rằng, nếu R là vành Noether và M là một R-môđun hữu hạn sinh thì M là R-môđun Noether. 1.3 Giá của môđun 1.3.1 Định nghĩa. Iđêan p của R được gọi là iđêan nguyên tố nếu p = R và với mọi a, b ∈ R mà ab ∈ p thì a ∈ p hoặc b ∈ p. Kí hiệu SpecR là tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành R. Với mỗi iđêan I của R ta kí hiệu V (I) = {p ∈ SpecR | p ⊇ I}. 1.3.2 Định nghĩa. Tập con SuppM = {p ∈ SpecR | M p = 0} của SpecR được gọi là giá của môđun M. Với mỗi x ∈ M ta kí hiệu Ann R (x) = {a ∈ R | ax = 0}, Ann R (M) = {a ∈ R | ax = 0, ∀x ∈ M}. Ta có Ann R (x) và Ann R (M) là những iđêan của R; Ann R (M) được gọi là linh hóa tử của môđun M. Hơn nữa SuppM = V (Ann R M) nếu M là môđun hữu hạn sinh. 1.4 Iđêan nguyên tố liên kết 1.4.1 Định nghĩa. Giả sử M là một R-môđun. Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại phần tử x ∈ M, x = 0 sao cho p = (0: R x) = Ann R (x). 10 Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được ký hiệu là Ass R (M), hoặc Ass(M) nếu không cần thiết phải nhấn mạnh vào vành R. Vậy Ass R (M) = {p ∈ SpecR | ∃x ∈ M, x = 0 và p = Ann R (x)}. Sau đây là một số tính chất cơ bản của tập các iđêan nguyên tố liên kết. 1.4.2 Mệnh đề. Cho M là một R-môđun và p là một iđêan nguyên tố của vành R. Khi đó p ∈ Ass R (M) khi và chỉ khi tồn tại một môđun con N của M sao cho N ∼ = R/p. 1.4.3 Mệnh đề. Giả sử R là vành Noether và M là một R-môđun. (i) Ký hiệu  = {Ann R (x)/x ∈ M}. Khi đó, nếu p là phần tử cực đại của  theo quan hệ bao hàm thì p ∈ Ass R (M). (ii) Ass R (M) = ∅ khi và chỉ khi M = 0. (iii) Ký hiệu tập các ước của không của M là ZD(M) = {a ∈ R | ∃x ∈ M, x = 0, ax = 0}. Khi đó ZD(M) =  p∈Ass R (M) p. (iv) Nếu N là một môđun con của M thì Ass R (N) ⊆ Ass R (M) . (v) Cho 0 // M  // M // M  // 0 là một dãy khớp ngắn các R-môđun. Ta có Ass R (M  ) ⊆ Ass R (M) ⊆ Ass R (M  ) ∪ Ass R (M  ) Supp R (M) = Supp R (M  ) ∪ Supp R (M  ). [...]... n∈N 18 CHƯƠNG 2 VỀ TÍNH HỮU HẠN CỦA TẬP CÁC IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Trong chương này vẫn giả thiết vành R là vành giao hoán Noether có đơn vị; a là một iđêan của R và M là một R -môđun Môđun đối đồng điều địa i phương Ha (M ) không phải luôn hữu hạn sinh ngay cả khi M là môđun hữu i hạn sinh Nếu (R, m) là vành địa phương thì lớp môđun M mà Hm (M ) hữu hạn sinh với mọi... được gọi là môđun Cohen-Macaulay suy rộng Chú ý rằng, một môđun không hữu hạn sinh nhưng tập các iđêan nguyên tố liên kết của nó có thể vẫn hữu hạn Một vấn đề được nhiều người quan tâm trong Đại số giao hoán là xác i định xem khi nào thì tập các iđêan nguyên tố liên kết AssHa (M ) của môđun i đối đồng điều địa phương Ha (M ) là một tập hợp hữu hạn? Khi vành cơ sở R là chính quy, các kết quả liên quan... 1.6 Môđun đối đồng điều địa phương 1.6.1 Định nghĩa Cho a là một iđêan của vành R Với mỗi số tự nhiên i, i hàm tử dẫn xuất phải thứ i của Γa được kí hiệu là Ha và được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i với giá là a i Với một R -môđun M , ta kí hiệu Ha (M ) là ảnh của M qua tác động bởi i i hàm tử Ha Khi đó Ha (M ) là một R -môđun và được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của môđun. .. các kết quả chính của Brodmann và Faghani trong [3], và của Khashyarmanesh và Salarian trong [7] về tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương (Định lý 2.1.2, Định lý 2.1.5, Định lý 2.2.1) 2 Trình bày chứng minh kết quả chính của Phạm Hùng Quý trong [10] (Định lý 2.3.5) Kết quả này là một sự khái quát của [3] và [7] 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn... tập hữu hạn với mọi i < t (xem [7] và [8]) Trong [10], Phạm Hùng Quý đã tổng hợp hai trường hợp nói trên như sau: Cho a là một iđêan của R, và M là một R -môđun hữu hạn sinh Xét t là một i i số nguyên không âm sao cho Ha (M ) là hữu hạn sinh hoặc Supp(Ha (M )) là t một tập hữu hạn với mọi i < t Khi đó AssHa (M ) là một tập hữu hạn t t Như vậy, tập hợp AssHa (M ) là hữu hạn nếu Ha (M ) là môđun đối đồng. .. hợp các kết quả chính trong [3] và [7] và có thể xem là một mở rộng của các kết quả này (xem Định lí 2.2.1) 2.3.5 Định lí Cho a là một iđêan của R, và M là một R -môđun hữu hạn i sinh Giả sử t là một số nguyên không âm sao cho Ha (M ) là hữu hạn sinh i t hoặc Supp(Ha (M )) là một tập hữu hạn với mọi i < t Khi đó AssR (Ha (M )) là một tập hữu hạn Chứng minh Vì R là vành Noether và M là R -môđun hữu hạn. .. là môđun FSF thì môđun con và môđun thương của M cũng là môđun FSF 25 2.2.5 Chú ý (i) Từ định nghĩa ta thấy ngay nếu M là F SF thì AssM là tập hữu hạn (ii) Nếu M là môđun Noether hoặc môđun Artin thì M là môđun FSF 2.3 Về chứng minh kết quả chính của Phạm Hùng Quý [10] 2.3.1 Bổ đề Cho M là một R -môđun FSF và N là một R -môđun hữu hạn R sinh Khi đó Exti (N, M ) và T ori (N, M ) là các môđun FSF với mọi... chính của M Brodmann-A L t i Faghani trong [3] chỉ ra rằng: AssHa (M ) là một tập hợp hữu hạn nếu Ha (M ) là hữu hạn sinh với mọi i < t Kết quả chính của K Khashyarmanesh-Sh t Salarian trong [7] là: AssHa (M ) là một tập hợp hữu hạn nếu một trong các 20 điều kiện sau được thỏa mãn: i (i) Ha (M ) là hữu hạn sinh với mọi i < t; i (ii) Supp(Ha (M )) là một tập hợp hữu hạn với mọi i < t Bài báo [3] của M... chứng minh kết quả chính của M Brodmann-Faghani [3] và của K Khashyarmanesh-Sh Salarian [7] Có thể tóm lược các kết quả này thông qua định lý sau 2.2.1 Định lí Cho M là một R -môđun hữu hạn sinh và là t một số nguyên t không âm Khi đó AssHa (M ) là một tập hợp hữu hạn nếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: i (i) Ha (M ) là hữu hạn sinh với mọi i < t i (ii) Supp(Ha (M )) là một tập hợp hữu hạn với... và M2 là các môđun FSF Chứng minh Nếu M là môđun F SF thì ta dễ dàng chứng minh rằng các môđun M1 và M2 cũng là F SF Giả sử M1 và M2 là các môđun F SF Gọi N1 và N2 là các môđun con hữu hạn sinh của M1 và M2 , tương ứng, sao cho Supp(M1 /N1 ) và Supp(M2 /N2 ) là tập hợp hữu hạn Ta có thể giả sử rằng M1 là một môđun con của M và M2 là môđun thương của M Xét các phần tử x1 , x2 , , xn và y1 , y2 , . . . . . 15 2 Về tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương 18 2.1. Kết quả của Brodmann-Faghani và Khashyarmanesh-Salarian . . 19 2.2. Môđun FSF . Chương 2. Chương 2: Về tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương. Phần đầu chương này, chúng tôi dành trình bày chứng minh kết quả chính của M. Brodmann-A M). 18 CHƯƠNG 2 VỀ TÍNH HỮU HẠN CỦA TẬP CÁC IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Trong chương này vẫn giả thiết vành R là vành giao hoán Noether có đơn vị; a là một iđêan của R và