2 Về tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên
2.3. Về chứng minh kết quả chính của Phạm Hùng Quý [10]
Quý [10]
2.3.1 Bổ đề. Cho M là một R-môđun FSF và N là một R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó ExtiR(N, M) và T oriR(N, M) là các môđun FSF với mọi i ≥ 0. Chứng minh. Trước hết ta sẽ chứng minh tính FSF của ExtiR(N, M). Vì M
là FSF, nên tồn tại một dãy khớp ngắn
0 //M1 //M //M2 //0,
với M1 là hữu hạn sinh và Supp(M2) là hữu hạn. Dãy khớp trên cảm sinh các dãy khớp
ExtiR(N, M1) //ExtiR(N, M) //ExtiR(N, M2)
với mọi i ≥0. Do N và M1 là các môđun hữu hạn sinh và Supp(M2) là một tập hữu hạn, ta có ExtiR(N, M1) là hữu hạn sinh Supp(ExtiR(N, M2)) là hữu hạn. Nên ExtiR(N, M) là FSF với mọi i ≥0.
Tính FSF của TorRi (N, M) được chứng minh tương tự.
2.3.2 Bổ đề. Cho a là một iđêan của vành R và M là một R-môđun FSF. Giả sử t là một số nguyên không âm sao cho Hai(M) là FSF với mọi i < t. Khi đó HomR(R/a, Hat(M)) là FSF.
Chứng minh. Ta chứng minh HomR(R/a, Hat(M)) là FSF bằng quy nạp theo
t. Trường hợp t = 0 là hiển nhiên do HomR(R/a, Ha0(M)) ⊆ M. Xét t > 0
và Hai(M) ∼= Hi
a(M) với mọi i > 0. Do đó Hai(M) là FSF với mọi i < t và
Hat(M) ∼= Ht
a(M). Thay thế M bởi M, ta có thể giả sử rằng Ha0(M) = 0.
Vì AssR(M) là một tập hữu hạn nên tồn tại một phần tử a ∈ a sao cho a là
M-chính quy. Ta có dãy khớp ngắn sau
0 //M a //M p//M/aM //0,
với p là phép chiếu tự nhiên. Dãy khớp này cho ta các dãy khớp đối đồng điều địa phương
Hai(M) //Hai(M/aM) //Hai+1(M)
với mọi i ≥0. Nên Hai(M/aM) là FSF với mọi i < t−1. Bằng quy nạp cho
M/aM ta có HomR(R/a, Hat−1(M/aM)) là FSF. Mặt khác, xét dãy khớp Hat−1(M) a //Hat−1(M) H t−1 a (p) / / Ht−1 a (M/aM) //Hat(M) a//Hat(M). (∗) Đặt N = Hat−1(M)
aHat−1(M) và N0 = coker(Hat−1(p)). Tách dãy khớp (*) thành hai dãy khớp ngắn sau
0 //N //Hat−1(M/aM) //N0 //0,(∗∗)
0 //N0 //Hat(M) a//Hat(M).(∗ ∗ ∗)
Từ dãy khớp (**) ta có dãy khớp
HomR(R/a, Hat−1(M/aM)) //HomR(R/a, N0) //Ext1R((R/a, N).
Theo trên môđun ngoài cùng bên trái là FSF, và môđun ngoài cùng bên phải là FSF do Bổ đề 2.3.1 Dẫn đến HomR(R/a, N0) là FSF. Hơn nữa, (***) cảm sinh dãy khớp
Đồng cấu nhân
a : HomR(R/a, Hat(M)) → HomR(R/a, Hat(M)) là đồng cấu không do a ∈ a.
Nên ta có HomR(R/a, Hat(M)) ∼= HomR(R/a, N0) một FSF môđun.
2.3.3 Chú ý. Hoàn toàn tương tự như trên ta có thể chứng minh rằng
HomR(R/a, Hat(M)) là hữu hạn sinh nếu Hai(M) là hữu hạn sinh với mọi
i < t.
2.3.4 Hệ quả. Cho a là một iđêan của vành R và M là một R-môđun FSF. Giả sử t là một số nguyên không âm sao cho Hai(M) là FSF với mọi i < t. Khi đó
AssR(Hat(M))
là một tập hợp hữu hạn.
Chứng minh. Vì AssRHat(M)) = AssR(Hom(R/a, Hat(M))), nên từ Bổ đề 2.3.2 và Chú ý 2.2.5 ta có ngay điều cần chứng minh.
Định lí dưới đây là kết quả chính trong [10]. Định lý này là một sự tổng hợp các kết quả chính trong [3] và [7] và có thể xem là một mở rộng của các kết quả này (xem Định lí 2.2.1).
2.3.5 Định lí. Cho a là một iđêan của R, và M là một R-môđun hữu hạn sinh. Giả sử t là một số nguyên không âm sao cho Hai(M) là hữu hạn sinh
hoặc Supp(Hai(M)) là một tập hữu hạn với mọi i < t. Khi đó AssR(Hat(M))
là một tập hữu hạn.
Chứng minh. Vì R là vành Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh nên M
là R-môđun Noether. Do đó theo Chú ý 2.2.5 (ii), M là môđun FSF.
Nếu Hai(M) là R-môđun hữu hạn sinh, cũng tương tự như trên ta suy ra
Hai(M) là môđun FSF.
Nếu Supp(Hai(M)) là một tập hữu hạn thì theo Định nghĩa 2.2.2, Hai(M)
KẾT LUẬN
Luận văn đã hoàn thành được những việc sau:
1. Trình bày chứng minh các kết quả chính của Brodmann và Faghani trong [3], và của Khashyarmanesh và Salarian trong [7] về tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương (Định lý 2.1.2, Định lý 2.1.5, Định lý 2.2.1).
2. Trình bày chứng minh kết quả chính của Phạm Hùng Quý trong [10] (Định lý 2.3.5). Kết quả này là một sự khái quát của [3] và [7].
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1] Nguyễn Tự Cường (2003), Giáo trình Đại số hiện đại, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
[2] Dương Quốc Việt (2008), Cơ sở lý thuyết môđun, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, Hà Nội.
Tiếng Anh
[3] M. Brodmann, A. L. Faghani (2000), A finiteness result for associated primes of local cohomology modules, Proc. Amer. Math. Soc., 128, 2851-2853.
[4] C. Huneke (1992), Problems on local cohomology, in: Free resolutions in commutative algebra and algebraic geometry (Sundance, Utah, 1990), pp. 93 108, Res. Notes Math. 2, Jones and Bartlett, Boston, MA. [5] C. Huneke, R. Sharp (1993), Bass numbers of local cohomology modules,
Trans. Amer. Math. Soc., 339, 765-779.
[6] M. Katzman (2002), An example of an infinite set of associated primes of a local cohomology module, J. Algebra, 252, 161-166.
[7] K. Khashyarmanesh, Sh. Salarian (1999), On the associated primes of local cohomology modules, Comm. Algebra, 27, 6191-6198.
[8] K. B. Lorestani, P. Sahandi and T. Sharif (2006), A note on the asso- ciated primes of local cohomology modules, Comm. Algebra, 34, 3409- 3412.
[9] G. Lyubeznik (1993), Finiteness properties of local cohomology modules (an application of D-modules to commutative algebra), Invent. Math, 113, 41-55.
[10] P. H. Quy (2010), On the finiteness of associated primes of local coho- mology modules, Proc. Amer. Math. Soc., 138, 1965-1968.
[11] A.K. Singh (2000), p-torsion elements in local cohomology modules,
Math. Res. Lett., 7, 165 -176.
[12] A.K. Singh, U. Walther (2011), Bockstein homomorphisms in local co- homology, J. Reine Angew. Math., 655, 147 164.