Tính artin của mô đun đối đồng điều địa phương hình thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phạm Quốc Sang TÍNH ARTIN CỦA MƠĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG HÌNH THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phạm Quốc Sang TÍNH ARTIN CỦA MƠĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG HÌNH THỨC Chun ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh – 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn tốt nghiệp tơi thực hướng dẫn khoa học PGS TS Trần Tuấn Nam Các nội dung nghiên cứu kết tham khảo luận văn trích dẫn liệt kê đầy đủ mục Tài liệu tham khảo Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 11 năm 2020 PHẠM QUỐC SANG LỜI CẢM ƠN Trong ba năm qua thật khoảng thời gian không dễ dàng đối bạn sinh viên trường phải cố gắng hoàn thành tốt nhiệm vụ quan công việc học tập, kể tơi Có thời điểm cơng việc nhiều tưởng chừng tiếp tục đường học vấn Nhưng, "Khó khăn qua Giống mưa ngồi cửa sổ, có tầm tã cỡ cuối trời quang mây tạnh" Để vượt qua khó khăn ấy, đường tơi ln có đồng hành gia đình, Thầy, Cô bạn bè Luận văn tốt nghiệp hồn thành hướng dẫn tận tình PGS.TS Trần Tuấn Nam Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Tơi trân trọng cảm ơn q thầy giáo khoa Tốn - Tin Phòng Sau đại học tạo điều kiện để tơi hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn tới bạn học viên khóa góp ý giúp đỡ q trình học tập hồn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng khóa luận khơng tránh khỏi sai sót, hạn chế Tơi mong nhận ý kiến đóng góp Thầy, Cơ bạn để hồn thiện luận văn cách tốt Một lần nữa, xin cảm ơn tất người, chúc người thật nhiều sức khỏe thành công sống! Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 11 năm 2020 PHẠM QUỐC SANG Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Giới hạn ngược 1.2 Hàm tử đối đồng điều địa phương 1.3 Iđêan nguyên tố gắn kết 1.4 Đối ngẫu Matlis 1.5 Phức Cech Môđun đối đồng điều địa phương hình thức tính chất liên quan 11 2.1 Mơđun đối đồng điều địa phương hình thức 11 2.2 Tính chất 11 2.3 Đối đồng điều địa phương 12 2.4 Phức đối ngẫu 14 2.5 Đại số giao hoán 16 2.6 Đối đồng điều hình thức 16 2.7 Các định lí triệt tiêu khơng triệt tiêu 18 2.8 2.7.1 Mơđun đối đồng điều địa phương hình thức thứ khơng 18 2.7.2 Tính không triệt tiêu 21 Tính liên thông 26 2.8.1 26 2.8.2 Dãy Mayer - Vietoris Tính liên thơng Tính artin mơđun đối đồng điều địa phương hình thức 3.1 Tính artin mơđun đối đồng điều địa phương hình thức 27 31 31 3.2 Iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương hình thức 38 KẾT LUẬN 41 Tài liệu tham khảo 42 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU R Vành Nơte giao hốn khơng tầm thường (R, m) Vành địa phương với iđêan tối đại m Spec(R) Tập iđêan nguyên tố vành R V (I) Tập iđêan nguyên tố chứa I Supp(M ) Giá môđun M Ass(M ) Tập iđêan nguyên tố liên kết M Att(M ) Tập iđêan nguyên tố gắn kết M dimM Chiều Krull môđun M depth(M ) Độ sâu môđun M HIi (M ) Môđun đối đồng điều địa phương thứ i môđun M iđêanl I R − M od Phạm trù R môđun R đồng cấu C(R) Phạm trù phức R môđun ánh xạ dây chuyền D(R) Phạm trù dẫn xuất Mở đầu Vào kỉ 20, nhà tốn học J.P.Serre áp dụng thành cơng đại số đồng điều lĩnh vực hình học đại số Thời gian sau đó, đại số đồng điều nhiều nhà toán học ý nghiên cứu Đối đồng điều địa phương đời nhà toán học Grothendieck giới thiệu giảng đại học Harvard Nó nhanh chóng trở thành cơng cụ hiểu đại số giao hốn hình học đại số Lý thuyết thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học ngồi nước, có nhiều nhà tốn học lớn G.Faltings, R.Hartshorne, Nguyễn Tự Cường, Vào năm 2006, loại đối đồng điều địa phương mới, đối đồng điều địa phương hình thức giới thiệu P Schenzel lý thuyết nhiều người biết đến thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Hiện cịn nhiều tính chất đối đồng điều địa phương hình thức chưa nghiên cứu Do đó, ln đề tài hấp dẫn nhà toán học nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày cách hệ thống kiến thức đối đồng điều địa phương hình thức để đưa số tính chất tính Artin mơđun đối đồng điều địa phương hình thức Nội dung luận văn chia làm ba chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương tơi trình bày sơ lược số kiến thức tảng liên quan đến đề tài như: Giới hạn ngược, hàm tử đối đồng điều địa phương, iđêan nguyên tố gắn kết, phức Cech, đối ngẫu Matlics Chương Mơđun đối đồng điều địa phương hình thức tính chất liên quan Trong chương tơi trình bày mơđun đối đồng điều địa phương hình thức Các nội dung chủ yếu sau: • Mơđun đối đồng điều địa phương hình thức • Đối đồng điều địa phương • Các định lí triệt tiêu khơng triệt tiêu • Tính liên thơng Chương Tính Artin mơđun đối đồng điều địa phương hình thức Trong chương này, tơi trình bày tính Artin mơđun đối đồng điều địa phương hình thức thơng qua nội dung: • Tính Artin mơđun đối đồng điều địa phương hình thức • Iđêan ngun tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương hình thức Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Giới hạn ngược Cho phạm trù C tập số thuận J (tập hợp J trang bị quan hệ thứ tự toàn phần cho i, j ∈ J có k ∈ J : i, j ≤ k) Họ vật Mi xạ φki : Mj → Mi (φii = IdMi ) với i, j ∈ J i ≤ j gọi hệ ngược φki = φkj φji với i ≤ j ≤ k Giới hạn ngược định nghĩa dựa tính phổ dụng Định nghĩa 1.1.1 Với kí hiệu trên, giới hạn hệ ngược hệ {Mi , φji }i∈J vật lim Mi họ xạ fi : lim Mi → Mi thỏa mãn ←− ←− i) φji fi = fi ii) Với vật X họ xạ gi : X → Mi thỏa mãn tính chất đầu tiên, tồn xạ ξ : X → lim Mi cho fi ξ = gi ←− Mệnh đề 1.1.2 Mọi hệ ngược phạm trù R − M od có giới hạn ngược Mệnh đề 1.1.3 Giả sử → {Ni } → {Mi } → {Li } → dãy khớp ngắn hệ ngược định nghĩa Khi đó, ta có dãy khớp R−mơđun → lim Ni → lim Mi → lim Li ←− ←− ←− Mệnh đề 1.1.4 Cho {Mi , φji }i∈J {Ni , ψij }i∈J hệ ngược hệ thuận mơđun Khi ta có đẳng cấu Hom(A, lim Mi ) ∼ = lim Hom(A, Mi ) ←− ←− 30 Vì vậy, theo kết 2.8.3 ta có SuppR S/IS\V (m) = V (I) \V (m) có tính liên kết Cuối ta có SuppR S = SpecR Vậy ta có điều phải chứng minh 31 Chương Tính artin mơđun đối đồng điều địa phương hình thức 3.1 Tính artin mơđun đối đồng điều địa phương hình thức Bổ đề 3.1.1 Cho M R-mơđun I-xoắn Khi đó, FiI (M ) ∼ = Hmi (M ) FiI có tính Artin với i ≥ Chứng minh Do M R-môđun I-xoắn hữu hạn sinh nên I k M = với k ∈ N Từ suy ra, FiI (M ) ∼ = lim Hmi (M/I n M ) ∼ = lim Hmi (M ) ∼ = Hmi (M ) với i ≥ ←− ←− M Trong bổ đề tiếp theo, ta nghiên cứu số kết quan trọng Fdim (M ) I Bổ đề 3.1.2 Cho M R-môđun hữu hạn sinh với chiều d Khi đó, FdI (M ) ảnh đồng cấu Hmd (M ) FdI (M ) Artin Chứng minh Ta có dim I n M ≤ dim M với n ∈ N, theo định lí Grothendieck’s Vanishing, dãy khớp ngắn → I n M → M → M/I n M → cảm sinh dãy khớp φn Hmd (M ) −→ Hmd (M/I n M ) → 31 32 Họ R-môđun {kerφn } họ R-môđun Artin thỏa điều kiện Mittag-Lefler Khi đó, dãy khớp cảm sinh dãy khớp: lim Hmd (M ) → lim Hmd (M/I n M ) → ←− ←− Từ suy ra, ta có dãy khớp Hmd (M ) → Fdm (M ) → Suy FdI (M ) ảnh đồng cấu Hmd (M ) Mặt khác theo định lý 1.2.12 ta có Hmd (M ) Artin Từ suy Fdm (M ) Artin Định lý 3.1.3 Giả sử i số nguyên thỏa FiI (M ) khác không biểu diễn Chứng minh I ⊆ p với p ∈ AttR FiI (M ) Chứng minh Đặt FiI (M ) = S1 + S2 + + Sn biểu diễn thứ cấp tối tiểu FiI (M ) với Si môđun pi −thứ cấp (i = 1, 2, , n) Giả sử tồn số nguyên i ∈ {1, 2, , n} thỏa mãn I pi tìm kiếm điều vơ lí Khi đó, tồn u ∈ I \ pi Lấy = g = (gk ) ∈ Si ⊆ lim Hmi (M/I n M ) Gọi gk thành ←− phần khác không g Từ u ∈ / pi , ta có uSi = Si Nhưng uk Si ⊆ uk FiI (M ) nên Si ⊆ uk FiI (M ) Mặt khác, uk Hmi (M/I k M ) = 0, điều thành phần thứ k g không Nhưng g ∈ uk Hmi (M ) thành phần thứ k g khác khơng, điều vơ lí Vậy ta có điều phải chứng minh Hệ 3.1.4 Nếu FiI (M ) biểu diễn với i ∈ N I ⊆ Đặc biệt, I ⊆ (0 : FiI (M )) (0 : FiI (M )) FiI (M ) môđun Artin Chứng minh Theo mệnh đề 1.3.5 ta có I ⊆ lí 3.1.3, I ⊆ ∩p∈AttFiI (M ) p Suy I ⊆ f (0 : FiI (M )) = ∩p∈AttFiI (M ) theo định (0 : FiI (M )) g Bổ đề 3.1.5 Cho L −→ M −→ N dãy khớp R - đồng cấu môđun Nếu I⊆ (0 : L) I ⊆ (0 : N ) I ⊆ (0 : M ) Chứng minh Lấy r ∈ I Khi tồn t ∈ N thỏa rt g(M ) = Do rt M ⊆ Kerg = Imf Ngoài ra, tồn u ∈ N thỏa ru L = Do ru (Imf ) = Từ suy ru+t M = Do r ∈ Vậy I ⊆ (0 : M ) (0 : M ) 33 Định lý 3.1.6 Cho t ∈ N Khi khẳng định sau tương đương: (i) FiI (M ) Artin với i < t; (ii) I ⊆ (0 : FiI (M )) với i < t Chứng minh (i) =⇒ (ii) theo hệ 3.1.4 (ii) =⇒ (i) Ta chứng minh quy nạp theo t Theo mệnh đề 2.6.3, FiI (M ) FiI R (M ) Vì vậy, ta giả sử R đầy đủ Cho t = 1, F0I (M ) F0I R (M ) dimR (M/IM ) = dimR M / I R M nên ta giả sử M I−adic đầy đủ Khi ta có F0I (M ) ∼ = lim Hm0 (M/I n M ) ⊆ lim(M/I n M ) = M ←− ←− Suy F0I (M ) R - môđun hữu hạn sinh theo hệ 2.7.5, SuppR (F0I (M )) ∩ V (I) ⊆ V (m) Nhưng theo giả thiết, SuppR (F0I (M ) ⊆ V (I) Từ suy ra, SuppR (F0I (M )) ⊆ V (m) F0I (M ) môđun Artin Bây ta giả sử (i) tới t − 2, ta chứng minh (i) tới t − Tức FiI (M ) môđun Artin với i = 1, 2, 3, , t − Ta chứng minh Ft−1 I (M ) môđun Artin Ta có dãy khớp ngắn: −→ ΓI (M ) −→ M −→ M/ΓI (M ) −→ cảm sinh dãy khớp dài i−1 −→ Fi−1 (ΓI (M )) −→ Fi−1 (M/ΓI (M )) −→ FiI (ΓI (M )) −→ I I (M ) −→ FI Theo bổ đề 3.1.1, FiI (ΓI (M )) môđun Artin với i, sử dụng dãy khớp dài FiI (M ) môđun Artin FiI (M/ΓI (M )) môđun Artin với i Theo giả thiết I ⊆ (0 : FiI (M )) với i < t nên theo bổ đề 3.1.5 ta có I ⊆ (0 : FiI (M/ΓI (M ))) với i < t Từ đó, ta giả sử M R-môđun Ixoắn tự Theo mệnh đề 1.2.6 (iii), I chứa phần tử r không ước không M Từ I⊆ (0 : FIt−1 (M )), ta có rk Ft−1 I (M ) = với k ∈ N Dãy khớp ngắn rk −→ M −→ M −→ M/rk M −→ 34 cảm sinh dãy khớp dài rk rk −→ F0I (M ) −→ F0I (M ) −→ F0I (M/rk M ) −→ −→ FiI (M ) −→ FiI (M ) −→ FiI (M/rk M ) −→ Từ dãy khớp dài ta có I ⊆ (0 : FiI (M/rk M )) với i < t − Khi theo giả k thiết quy nạp ta có FiI (M/rk M ) Artin với i < t−1, Ft−2 I (M/r M ) Artin t−2 t−1 k Từ rk Ft−1 I (M ) = 0, dãy khớp dài cảm sinh dãy FI (M/r M ) −→ FI (M ) −→ khớp Khi FIt−1 (M ) đồng cấu ảnh mơđun Artin, Artin (vậy định lí chứng minh) Hệ 3.1.7 Cho u := f grade(I, M ) Thì FuI (M ) Artin I ⊆ (0 : FuI (M )) Chứng minh Từ FiI (M ) = với i < u, hệ chứng minh theo định lí 3.1.6 Hệ 3.1.8 Cho t ∈ N Khi mệnh đề sau tương tương với nhau: (i) FiI (M ) Artin với i < t; (ii) FiI (M ) thứ cấp với i < t Chứng minh (i) ⇒ (ii) Bất kì R-mơđun Artin thứ cấp (ii) ⇒ (i) Theo hệ 3.1.4, I ⊆ (0 : FiI (M )) với i < t Theo định lí 3.1.6 chứng minh hồn tất Định lý 3.1.9 Cho t ∈ N Thì mệnh đề sau tương đương: (i) FjI (M ) Artin với j > t; (ii) I ⊆ (0 : FjI (M )) với j > t Chứng minh (i) ⇒ (ii) theo hệ 3.1.4 (ii) ⇒ (i) ta chứng minh quy nạp theo n := dim M Nếu n = 0, FiI (M ) = với i > 0, kết chứng minh trường hợp Bây giờ, với n > kết chứng minh với R−mơđun có số chiều nhỏ n Chứng minh cách tương tự chứng minh định lí 3.1.6, ta giả sử M R-môđun I-xoắn tự Theo mệnh đề 1.2.6 (iii), I chứa phần tử r không chia hết cho không 35 M Từ FiI (M ) = với i > dim M , từ giả thiết quy nạp tồn số nguyên u thỏa mãn I u FjI (M ) = với j > t Dãy khớp ngắn ru −→ M −→ M −→ M/ru M −→ cảm sinh dãy khớp dài môđun đối đồng điều địa phương hình thức ru ru −→ F0I (M ) −→ F0I (M ) −→ F0I (M/ru M ) −→ −→ FiI (M ) −→ FiI (M ) −→ FiI (M/ru M ) −→ Từ dãy khớp dài bổ đề 3.1.5, ta có I ⊆ (0 : FjI (M/ru M )) với j > t Từ dim(M/ru M ) = n − 1, theo giả thiết quy nạp ta có FjI (M/ru M ) Artin với j > t Từ I u FjI (M ) = với j > t, dãy khớp ru −→ M −→ M −→ M/ru M −→ cảm sinh dãy khớp sau −→ FjI (M ) −→ FjI (M/ru M ) −→ với j > t Suy ra, FjI (M ) đẳng cấu với mơđun FiI (M/ru M ), Artin với j > t Vậy định lí chứng minh Hệ 3.1.10 Giả sử l := dim(M/IM ) Thì FlI (M ) Artin I ⊆ (0 : FlI (M )) Chứng minh Theo định lý 2.7.7, FiI (M ) = với i > l Từ hệ chứng minh theo định lí 3.1.9 Định nghĩa 3.1.11 Ta định nghĩa LqI (M ) số chiều Artin thấp M I, cho số nguyên i nhỏ thỏa FiI (M ) không Artin Mặt khác ta định nghĩa U qI (M ) số chiều Artin cao M I cho có số nguyên i lớn thỏa FiI (M ) khơng Artin Một cách rõ ràng, theo định lí 3.1.6 3.1.9, ta có LqI (M ) = inf {i ∈ N0 : I (0 : FlI (M ))} U qI (M ) = sup{i ∈ N0 : I (0 : FlI (M ))} Định lý 3.1.12 Cho I iđêan nguyên tố (R, m) Khi HomR (R/I, FlI (M )) Artin với i ≥ 36 Chứng minh Cho i ≥ số nguyên Dãy khớp ngắn −→ ΓI (M ) −→ M −→ M/ΓI (M ) −→ cảm sinh dãy khớp dài f g h −→ FiI (ΓI (M )) −→ FiI (M ) −→ FiI (M/ΓI (M )) −→ Fi+1 I (ΓI (M )) −→ Từ dãy khớp dài ta có −→ imf −→ FiI (M ) −→ img −→ 0, −→ img −→ FiI (M/ΓI (M ) −→ imh −→ Rõ ràng, dãy khớp cảm sinh dãy khớp đây: −→ HomR (R/I, imf ) −→ HomR (R/I, FlI (M )) −→ HomR (R/I, img) −→ , −→ HomR (R/I, img) −→ HomR (R/I, FiI (M/ΓI (M ))) −→ HomR (R/I, imh) −→ , Theo bổ đề 3.1.1, FiI (ΓI (M )) Artin HomR (R/I, imf ) Artin Từ dãy khớp trên, ta thấy HomR (R/I, FiI (M/ΓI (M ))) Artin HomR (R/I, FiI (M )) Artin Suy ta giả sử M R−mơđun I−xoắn tự Khi đó, I = Rx với x ∈ R x khơng chia hết không M Bây dãy khớp x −→ M −→ M −→ M/xM −→ cảm sinh dãy khớp dài f g i i i −→ Fi−1 I (M/xM ) −→ FI (M )) −→ FI (M ) −→ FI (M/xM ) −→ Từ M/xM I−xoắn môđun, theo bổ đề 3.1.1, Fi−1 I (M/xM ) Artin Suy ra, imf Artin Nhưng dãy khớp ngắn x −→ imf −→ FiI (M ) −→ img −→ cảm sinh dãy khớp dài x −→ HomR (R/I, imf ) −→ HomR (R/I, FlI (M )) −→ HomR (R/I, img) −→ Từ x ∈ I, thành phần thứ ba dãy khớp không nên HomR (R/I, imf ) HomR (R/I, FiI (M )) Suy ra, HomR (R/I, FiI (M )) Artin, định lí chứng minh 37 Định lý 3.1.13 HomR (R/I, FiI (M )) Artin với i = 0, Chứng minh Từ FiI (M ) ∼ = HomR (R/I⊗R R, FiI (M )) = FiI R (M ), HomR (R/I R, FiI R (M )) ∼ Mặt khác, HomR (R/I, FiI (M ))) ∼ = HomR (R/I, HomR (R, FiI (M )) Điều HomR (R/I, FiI (M ))) ∼ = HomR (R/I R, FiI R (M )) Suy ta giả sử R đầy đủ Do F0I (M ) F0I R (M ) dimR (M/IM ) = dimR M / I R M nên ta giả sử M I−adic đầy đủ Khi ta có F0I (M ) ∼ = lim Hm0 (M/I n M ) ⊆ lim(M/I n M ) = M ←− ←− Suy F0I (M ) R−môđun hữu hạn sinh, theo hệ 2.7.2, AssR (F0I (M )) = {p ∈ AssM : dim(R/(I, p)) = 0} Vậy SuppR (F0I (M )) ∩ V (I) ⊆ V (m), SuppR (HomR (R/I, F0I (M ))) ⊆ V (m); từ suy HomR (R/I, F0I (M )) Artin Điều HomR (R/I, F1I (M )) Artin Bằng cách chứng minh tương tự định lí 3.1.12, ta giả sử M môđun I− xoắn tự Suy ra, tồn x ∈ I thỏa mãn x không chia hết không M Dãy khớp x −→ M −→ M −→ M/xM −→ cảm sinh dãy khớp dài f x g x −→ F0I (M ) −→ F0I (M ) −→ F0I (M/xM ) −→ F1I (M ) −→ F1I (M ) −→ Vì ta có dãy khớp x −→ img −→ F1I (M ) −→ F1I (M ) −→ Từ x ∈ I, cách áp dụng hàm tử trái HomR (R/I, −) dãy khớp dài trên, ta có HomR (R/I, img) HomR (R/I, F1I (M )) Điều HomR (R/I, img) Artin Dãy khớp −→ imf −→ F0I (M/xM ) −→ img −→ sinh dãy khớp dài −→ HomR (R/I, F0I (M/xM )) −→ HomR (R/I, img) −→ Ext1R (R/I, imf ) −→ 38 Từ F0I (M ) hữu hạn sinh, imf hữu hạn sinh Nên Ext1R (R/I, imf ) hữu hạn sinh Mặt khác, SuppR (imf ) ∩ V (I) ⊆ SuppR (F0I (M )) ∩ V (I) ⊆ V (m) Suy ra, SuppR (Ext1R (R/I, imf )) ⊆ V (m), Ext1R (R/I, imf ) Artin Chứng minh hoàn toàn tương tự ta suy HomR (R/I, F0I (M/xM )) Artin Vậy dựa dãy khớp dài ta kết luận HomR (R/I, img) Artin Vậy chứng minh hoàn tất Hệ 3.1.14 Cho t số nguyên Trong trường hợp đây, FtI (M ) Artin I ⊆ (0 : FtI (M )): (i) I nguyên tố; (ii) dim R ≤ 2; (iii) dim R/I ≤ Chứng minh (⇒) Đúng theo hệ 3.1.4 (⇐) Nếu dim R ≤ dim R/I ≤ 1, theo định lý 2.7.7 bổ đề 3.1.2(i), FiI (M ) = với i > F2I (M ) Artin Khi theo định lí 3.1.12 3.1.13 ta suy với trường hợp, HomR (R/I, FiI (M )) Artin với i ≥ Suy ra, HomR (R/I, FtI (M )) Artin Nhưng theo giả thiết, FtI (M )) R−mơđun I−xoắn Từ suy theo ([4], định lí 1.3 ), ta kết luận FtI (M )) Artin 3.2 Iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương hình thức Định lý 3.2.1 AttR FdI (M ) = {p ∈ AssM : dim R/p = dim M, I ⊆ p} Chứng minh Khi dim(M/IM ) < dim M , ta có FdI (M ) = I ⊆ p Khi ta có AttR FdI (M ) = {p ∈ AssM : dim R/p = dim M, I ⊆ p} = ∅ 39 d Ta giả sử dim(M/IM ) = dim M Từ AttR Hm (M ) = AsshR (R) (tham khảo ([30], định lý 7.3.2 ), theo bổ đề 3.1.2(iii) định lí 3.1.3, ta có AttR FdI (M ) ⊆ {p ∈ AssM : dim R/p = dim M, I ⊆ p} Lấy p ∈ AssM thỏa mãn dim R/p = dim M, I ⊆ p Khi tồn mơđun p−nguyên tố N M cho Ass(M/N ) = {p} p = (0 : (M/N )) Suy ra, dim M/N = dim R/p = dim M Theo giả thiết quy nạp, I ⊆ p √ I ⊆ (0 : (M/N )) Suy ra, (0 : (M/N )) /I (M/N ) = I + (0 : (M/N )) = (0 : (M/N )) Điều suy SuppR ((M/N )/I(M/N )) = SuppR (M/N ) dim((M/N )/I(M/N )) = dim(M/N ) Bây theo định lý 2.2.1, ta có FdI (M/N ) = Suy theo bổ đề 3.1.2 (iii), ∅ = AttR FdI (M/N ) ⊆ AttR HId (M/N ) ⊆ Ass(M/N ) = {p} Từ suy ra, ta có AttR FdI (M/N ) = {p} Mặt khác, dãy khớp −→ N −→ M −→ M/N −→ cảm sinh dãy khớp FdI (M ) −→ FdI (M/N ) −→ Khi đó, {p} = AttR FdI (M/N ) ⊆ AttR FdI (M ) Suy p ∈ AttR FdI (M ) Vậy chứng minh hoàn tất Hệ 3.2.2 Cho M N hai R−môđun hữu hạn sinh chiều d thỏa mãn SuppR M = SuppR N AttR FdI (M ) = AttR FdI (N ) Chứng minh Từ giả thiết ta suy AsshR M = AsshR N , AsshR M ∩ V (I) = AsshR N ∩ V (I) Suy ra, AttR FdI (M ) = AttR FdI (N ) Bổ đề 3.2.3 Giả sử FdI (M ) = tồn môđun N M thỏa: 40 (i) FdI (M ) ∼ = FdI (M/N ) ∼ = Hmd (M/N ); (ii) AttR FdI (M ) = AttR FdI (M/N ) = Ass(M/N ) Chứng minh Theo bổ đề 3.1.2 (iii), ta có AttR FdI (M ) ⊆ AttR Hmd (M ), AttR Hmd (M ) = {p ∈ AssM |dim R/p = d} d Suy AttR Hm ⊆ AssM Vì AttR FdI (M ) ⊆ AssM Khi tồn mơđun N M thỏa mãn AssN = AssM − AttR FdI (M ) Ass(M/N ) = AttR FdI (M ) Bây dãy khớp −→ N −→ M −→ M/N −→ cảm sinh dãy khớp dài −→ FdI (N ) −→ FdI (M ) −→ FdI (M/N ) −→ Fd+1 (N ) −→ I Từ dim N < d + 1, theo định lý 2.2.1, ta có Fd+1 (N ) = Nhưng FdI (N ) = Nếu I khơng dim N = d theo định lý 2.2.1 AttR FdI (M ) = ∅ Suy ra, tồn p ∈ AssN thỏa mãn dim R/p = d I ⊆ p Khi đó, p ∈ AttR FdI (M ) suy p ∈ / AssN (mâu thuẫn) Bây cách sử dụng dãy khớp dài trên, ta kết luận FdI (M ) ∼ = FdI (M/N ) Suy ra, AttR FdI (M ) ∼ = AttR FdI (M/N ) = AssM/N Mặt khác, theo định lí 3.2.1, AttR FdI (M ) ⊆ V (I) Suy ra, Ass(M/N ) ⊆ V (I) I ⊆ ∩p∈Ass(M/N ) p = (0 : (M/N )) Trường M/N R−môđun I−xoắn Suy theo bổ đề 3.1.1, FdI (M/N ) ∼ = HId (M/N ) từ suy FdI (M ) ∼ = HId (M/N ) Định lý 3.2.4 Cho I, J hai iđêan (R, m) Nếu AttR FdI (M ) = AttR FdJ (M ) FdI (M ) = FdJ (M ) Chứng minh Giả sử FdI (M ) FdJ (M ) khác không Từ AssM − AttR FdI (M ) = AssM − AttR FdJ (M ) theo chứng minh bổ đề 3.2.3 tồn môđun d N M thỏa FdI (M ) ∼ (M/N ) = FdJ (M ) = Hm 41 KẾT LUẬN Luận văn gồm chương Trong Chương chương tổng hợp kiến thức số kết liên quan mơđun đối đồng điều địa phương hình thức Chương nghiên cứu tính Artin mơđun đối đồng điều địa phương hình thức Tuy nhiên, hạn chế thời gian khả tiếp cận nguồn tư liệu nên tơi chưa hồn thiện đầy đủ tất tính chất tính Artin mơđun đối đồng điều địa phương hình thức Hi vọng, nghiên cứu tiếp theo, trình bày cách đầy đủ tính chất 41 42 Tài liệu tham khảo [1] R.Y Sharp, Steps in Commutative Algebra, London Mathematical Society Student Texts, 19, Cambridge University Press, Cambridge, 1990 [2] P Schenzel, On formal local cohomology and connectedness, J Algebra 315 (2) (2007) 894-923 [3] Bijan-Zadeh Rezaei, Artinianness and Attached Primes of Formal Local Cohomology Modules (2010) [4] L Melkersson, On asymptotic stability for sets of prime ideals connected with the powers of an ideal, Math Proc Cambridge Philos Soc 107 (1990) 267-271 [5] M Aghapournahr and L Melkersson (2000), "Finiteness properties of minimax and coatomic local cohomology modules," Arch Math 94, 519-528 [6] D Delfino, T Marley, Cofinite modules and local cohomology, J Pure Appl Algebra 115 (1997) 107–111 [7] M Asgharzadeh, K Divaani-Aazar (2011), "Finiteness properties of formal local cohomology modules and Cohen-Macaulayness," Comm Algebra 39 (3) 1082-1103 [8] Bourbaki (1964) Commutative Algebra, Addison-Wesley Publishing company [9] M Brodmann, R Y Sharp (1998), Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press [10] M Brodmann (1979), "Asymptotic stability of Ass(M=InM)," proceedings of the American of mathematical society Volume 74, Number I, April 42 43 [11] K Divaani-Aazar, R Naghipour, M Tousi (2002), Cohomological dimension of certain algebraic varieties, Proc Amer [12] H.-B Foxby (1979), Bounded complexes of flat modules, J Pure Appl Algebra 15 149–172 [13] R Hartshorne (1977), Algebraic geometry ,Springer-Verlag [14] R Hartshorne, Residues and Duality, Lecture Notes in Math., vol 41, Springer, 1967 [15] M Hochster, C Huneke, Indecomposable canonical modules and connectedness, in: Contemp Math., vol 159, 1994, pp 197–208 [16] T Kawasaki, On arithmetic Macaulayfication of Noetherian rings, Trans Amer Math Soc 354 (2002) 123–149 [17] C Peskine, L Szpiro, Dimension projective finie et cohomologie locale X Applications la demonstration de conjectures de M Auslander, H Bass et A Grothendieck, Publ Math Inst Hautes Études Sci 42 (1972) 47–119 [18] P Schenzel, Explicit computations around the Lichtenbaum–Hartshorne vanishing theorem, Manuscripta Math 78 (1993) 57–68 [19] P Schenzel, On the use of local cohomology in algebra and geometry, in: J Elias, J.M Giral, R.M Miró-Roig, S Zarzuela (Eds.), Six Lectures in Commutative Algebra, Proceed Summer School on Commutative Algebra at Centre de Recerca Matemàtica, in: Progr Math., vol 166, Birkhăauser, 1998, pp 241292 [20] P Schenzel, Proregular sequences, local cohomology, and completion, Math Scand 92 (2003) 161–180 [21] P Schenzel, On birational Macaulayfications and Cohen–Macaulay canonical modules, J Algebra 275 (2004) 751– 770 [22] P Schenzel, Local homology and completions, in preparation, 2007 44 [23] A.-M Simon, Some homological properties of complete modules, Math Proc Cambridge Philos Soc 108 (1990) 231–246 [24] N Spaltenstein, Resolutions of unbounded complexes, Compos Math 65 (1988) 121–154 [25] W Vasconcelos, Divisor Theory in Module Categories, North-Holland, Amsterdam, 1974 [26] O Zariski, P Samuel, Commutative Algebra, vol II, Van Nostrand, New York, 1960 [27] A Grothendieck (1966), Local Cohomology, Notes by R Hartshorne, Lecture Notes in Math., vol 20, Springer [28] Y.Gu (2014), "The Artinianness of Formal Local Cohomology Modules," Bull Malays Math Sci Soc., 2, no 2, 449456 [29] N Bourbaki, Commutative Algebra, Addison-Wesley, Reading, MA, 1972 [30] M.P Brodmann, R.Y Sharp, Local Cohomology An Algebraic Introduction with Geometric Applications, Cambridge University Press, Cambridge, 1998 [31] N Bourbaki, Algébre commutative, Hermann, Paris, 1961–1965 [32] H Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 8, Cambridge University Press, Cambridge, 1994 ... m? ?đun đối đồng điều địa phương hình thức Trong chương này, tơi trình bày tính Artin m? ?đun đối đồng điều địa phương hình thức thơng qua nội dung: • Tính Artin m? ?đun đối đồng điều địa phương hình. .. có tính liên kết Cuối ta có SuppR S = SpecR Vậy ta có điều phải chứng minh 31 Chương Tính artin m? ?đun đối đồng điều địa phương hình thức 3.1 Tính artin m? ?đun đối đồng điều địa phương hình thức. .. Mô? ?un đối đồng điều địa phương hình thức tính chất liên quan 11 2.1 M? ?đun đối đồng điều địa phương hình thức 11 2.2 Tính chất 11 2.3 Đối đồng